Применение методов математического программирования в анализе термодинамических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Анциферов, Евгений Георгиевич

• Анциферов, Евгений Георгиевич
• доктор физико-математических наук
• 1990

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Анциферов, Евгений Георгиевич

ВВЕДЕНИЕ.5

ГЛАВА 1. Математически модели получения термодинамических опенок и свойства этих моделей. . 1 ~

1.1. Свойства функции свободной энергии.16

1.1.1. Идеальный газ. Формула приращения для энергии.16-2$

1.1.2. Вэальные газы. Уравнение состояния Ван-дер-Ваальса, уравнение состояния Редлиха- Квонга. Достаточные условия выпуклости свободной энергии.

1.2. Свойства балансного многогранника, связанные с законом невозрастания энергии.29 - 5~

1.2.1. Минимальное значение энергии на отрезке как функция концов отрезка. Вычисление минимума на отрезке.----зС

1.2.2. Множества уровня, термодинамически допустимые траектории <пути) и множества достижимости.

1.2.3. Представление балансного многогранника в виде симплекса. Вершины балансного многогранника- точки локального максимума энергии.37-7У

1.2.4. Зоны недоступности при вершине. Вычисление запрещающего уровня- задача вогнутого программирования. Простейшие пути. Движения по 2-граням.

Множества достижимости из вершины.УУ

1.3. Главная задача: нахождение максимума линейной функции на множествах достижимости.

1.3.1. Главная задача- задача выпуклого программирования с неявно заданным допустимым множеством. .S6

1.3.2. Вспомогательная линейная задача- нахождение вершин свободного максимума.57—

1.3.3. Элементарная операция- нахождение максимума линейной функции на подмножествах уровня.53- <оО

1.3.4. Оптимальный уровень энергии, достижимый в главной задаче. Сведение главной задачи к элементарной выпуклой путем вычисления оптимального уровня.6с

1.3.5. Евристиче ский алгоритм нахождения оптимального уровня энергии, соответствующего начальному состоянию- вершине.

1.4. Двухуровневые модели поиска оптимального начального состояния. Постановки задач.- ^ ~ 7*

1.4.1. Необходимые определения.70—

1.4.2. Задачи верхнего уровня- задачи выбора оптимального начального состояния (состава реагентов).~

ГЛАВА 2. Алгоритмы поиска равновесия и решения элементарной выпуклой задачи.7Ъ —

2.1. Введение. 7Ъ^7Ц

2.2. Симплекс- процедура решения вспомогательной линейной задачи. Модификация процедуры для поиска оптимального уровня энергии.7Ц —

2.3. Поиск равновесия.7/—

2.3.1. Алгоритм внутренних точек.

2.3.2. Поиск равновесия как задача обобщенного линейного щюграмюфования <ОЛП).—

2.3.3. Модификация алгоритма ОЛП для поиска равновесия системы, состоящей из реальных газов.S3- 1 СЮ

2.4 Алгоритмы решения элементарной задачи.100 ~МЪ

2.4.1. Модификация алгоритма ОЛП для решения элементарной выпуклой задачи.ЮО— io

2.4.2 Алгоритм опорного конуса для решения элементарной задачи. Берлина свободного максимума- стартовая точка алгоритма.fo7— ИЗ

ГЛАВА 3. Модель термодинамической химической цепи. 11?) —

3.1. Введение в проблему.ЦЪ-М'Ч

3.2. Граф реакций.^

3.3. Модель оптимизации на графе химических реакций.— 122.

3.4. Алгоритм расчета химической цепи. • Т^О

ГЛАВА 4. Алгоритмы отсечения-погружения в выпуклом программировании.130. — 162.

4.1. Краткий обзор проблемы.432.^43.5"

4.2 Об одной модификации метода эллипсоидов.

4.2.1 Метод эллипсоидов для решения выпуклой квадратичной задачи.ъ

4.2.2. Алгебраический вывод формул метода эллипсоидов.---- —

4.2.3 Задача о погружении в эллипсоид пересечения двух эллипсоидов. 435—"Ж

4.2.4 Оценки для сокращения об'ема в задаче о двух эллипсовдах.ЛШ ~

4.2.5. Алгоритм построения эллипсоида-смеси, содержащего пересечение двух эллипсоидов.

44b-4*t

4.3. Алгоритм симплексных погружений.Щв

4.3.1 .Определения.*.-. 4ГО-/

4.3.2. Построение симплекса минимального об'ема, содержащего ' заданный усеченный симплекс. 4S1—

4.3.3. Оценка для сокращения об'ема в метода симплексных погружений.

4.3.4. Алгориш. ^

4.3.5.Сравнение метода симплексов с методом эллипсоидов. • • 162.

ГЛАВА 5. Алгоритмы нахождения локально оптимальных решений в двухуровневых моделях выбора начальных состояний термодинамических систем.

5.1. Некоторые дополнительные допущения и уточнения, касающиеся структуры задач верхнего уровня. 4(оЪ

5.2. Решение двухуровневых задач выбора начального состава с помощью техники симплексных погружении.

5.3. Вычисление термодинамических оценок в условиях неполной информации о начальном составе реагентов. "/72 — 17'Ъ

5.3.1. Одномерные балансные многогранники. 173

5.4. Задачи вычисления термодинамических оценок как задачи d.c. программирования. А~7&-47$

5.5 Вычисление нижних оценок выхода полезных продуктов в в условиях неопределенности начального состояния. • • - - A76-W

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение методов математического программирования в анализе термодинамических систем»

Цель настоящей работы - изложение основных результатов, полученных автором при изучении экстремальных свойств закрытых термодинамически! систем и при построении системы алгоритмов для вычислительного обеспечения этого анализа.

Об'ект исследования является классическим. Это так называемые закрытые термодинамические системы (з), моделируемые следующим образом.

1. Задается взаимно-однозначное отображение множества п целых чисел J={1,2.п) на множество пар, состоящих из формулы химического вещества номер j и величины свободной энергии Гиббса G°, соответствующей одному молю этого вещества. J

2. Формулы всех веществ из J порождают множество 1= U,2,. такое, что каждому i«i соответствует имя атома периодической системы Менделеева, входящее в формулу хотя бы одного из веществ.

3. Под состоянием системы X понимается вектор х, принадлежащий п— мерному евклидову пространству R", каяодая компонента х. которого неотрицательна и обозначает количество < в молях) 3- го вещества, присутствующее в системе.

4. Выделятся особое состояние системы y«Rn и указывается множество Y из неотрицательного ортанта R^e Rn, которому это состояние должно принадлежать.

5. Начальное состояние у полностью определяет количества атомов вида i для каждого iei, то есть вектор Ъ<у)е Rm. Поскольку химические формулы всех веществ J заданы, то вектор количеств атомов в системе ж можно подсчитать по формуле

Ь(У) = А«у, <0.1) где элементы at. так называемой матрицы веществ А размеров пып равны количеству 1-го атома в одном моле вещества j. 6. Постулируется, что для любого состояния х должно выполняться равенство атомного баланса

А°х = А*у, (0.2) которое означает, что количество атомов каждого вида в системе для любого состояния х постоянное и вполне определено начальным состоянием у.

Таким образом, все множество возможных состояний хе Rn принадлежит так называемому балансному многограннику Р(у). порожденному начальным состоянием г. который является пересечением линейного многообразия, заданного уравнениями атомного баланса, и неотрицательного ортанта fT. Очевидно, уе Б(у). Т. Любому состоянию xeD(y) ставится в соответствие вещественное число G(x), называемое свободной энергией Гиббса состояния х. В данной работе эта функция моделируется формулой С(Х) - Г $ + I^I.P.^)].^ + £ Gj.Xj. <0.3)

9 в

Здесь Cr (3«J)- энергия одного моля j-ro вещества;

J- множество номеров веществ в газовой фазе, <Те£ J- множество номеров веществ в конденсированной фазе (J и J = J, J * 0, J л J = 0); в 9 0 С

Т- постоянная температура, F- постоянное давление; х)= Е X. (0.4)

До сравнительно недавнего времени внимание исследователей данной модели было, в основном, сосредоточено на проблемах, связанных с поиском состояния хв(у), доставляющего минимум свободной энергии (так наываемого состояния равновесия) системы ж (И-гЗ- [46]).

Здесь были разработаны эффективные алгоритмы поиска равновесия и, в связи с необходимостью практических расчетов, созданы мощные банки термодинамических данных.

Состояние равновесия системы- это то состояние, к которому при отсутствии внешних воздействии система приходит из начального состояния независимо от самого процесса перехода. Поэтому в ряде случаев расчет равновесия оказывается недостаточным для оценки эффективности химических технологий. Так, например, в состоянии равновесия процесса синтеза метанола из водорода и окиси углерода целевой продукт- метанол присутствует в исчезающе малых количествах. В то же время, реально работающие установки синтеза дают около 96% полезного продукта на единицу вводимой смеси.

Следовательно, полезный продукт получается на пути к равновесию. Отсюда ясна важность изучения динамики химических процессов. Такие исследования являются предметом химической кинетики. В этой отрасли науки разработан универсальный аппарат, позволяющий, подобно уравнениям динамики в механике, рассчитать траектории движения системы от начального состояния к состоянию равновесия.

Однако, для достаточно точного моделирования процессов с помощью уравнений кинетики необходим огромный об'ем информации о параметрах этих уравнений, и получение этой информации является непростой задачей.

Более того, существуют ситуации, когда подобная информация весьма приблизительна или вообще отсутствует. Например, это имеет место при оценив перспективности химической переработки сырья, когда детали самого технологического процесса заранее неизвестны и, тем не менее, важно получить ответы на вопросы подобные следующим: на какой выход целевого продукта можно рассчитывать при переработке данного вида сырья?"; "насколько рискованной для окружающей среды является проектируемая химическая технология- каков максимально возможный выход вредных веществ может иметь место в процессе перехода системы из начального состояния в состояние равновесия?"; "в каких пропорциях следует использовать исходное сырье, чтобы получить максимальный выход целевого продукта при соблюдении установленных требований к экологической безопасности?".

Форма этих вопросов приводит к мысли о возможности записать их на языке математического программирования, подобному тому, как задачу поиска состояния равновесия можно записать в виде задачи выпуклого программирования.

Интуитивно ясно также, что для получения ответов на последние два вопроса необходимо будет сформулировать некоторые параметрические или двухуровневые задачи математического программирования.

Двухуровневая задача подобного вида -задача выбора начального состояния y<sY, порождающего наиболее благоприятное в заданном смысле состояние равновесия, рассматривалась в работе 13й].

Сделаем небольшой исторический экскурс, поясняющий мотивы появления данной работы.

Примерно с середины 80-х годов в Сибирском Энергетическом Институте вопросами эффективности переработки топлив занимается группа сотрудников, руководимая Б. М. Кагановичем. На первом этапе исследований для получения экспертных оценок эффективности использовалась, как и во многих других научных коллективах, классическая модель равновесия.

Уже первые рассмотренные примеры быстро обнаружили отмеченную выше недостаточность информации о составе веществ в состоянии равновесия.

На дальнейшее развитие исследование значительное влияние оказали работы, принадлежащие советским ученым В. И.Быкову, А. Н. Горбаню и Г. 0. Яблонскому ([52 3-Е5Л5), а также работа американца П. Шиннара ([37]), в которых были изложены теоретические основы для решения проблэмы поиска состояний, не совпадающих с состоянием равновесия и достижимых из начального состояния (неравновесных состояний).

Особо следует отметить монографию А. Н. Горбаня Ц361), в которой была сформулирована идэя "обхода равновесия*' , введено понятие термодинамически допустимого пути и разработан конструктивный аппарат получения неравновесных состояний.

Идеи, сформулированные а [3£], послужили фундаментом для начатой в конце 1985 года работы по созданию автоматизированной системы получения термодинамических оценок эффективности и безопасности технологий.

К началу 1986 года автором данной работы и Б. М. Кагановичем были записаны модели поиска оптимальных неравновесных состояний в виде моделей выпуклого программирования, разработаны и проверены на практических примерах алгоритмы поиска этих состояний (названных авторами "оптимальными прмежуточными состояниями'*). Подученные результаты были опубликованы в работах [34ЬС4?],и докладывались на семинарах в Вычислительном Центре СОАН СССР (г. Красноярск) и в Тувинском Комплексном Отеделе СОАН СССР, руководимых А. Н. Горбанем и Г. С. Яблонским, в Институте

Механики АН ССОР и получили одобрение.

В предлагаемой диссертационной работе излагается собственные результаты автора в очерченном выше круге исследований. По мнению автора, они дополняют теоретические положения работ С ] - С 5*3 3 и дают эффективный алгоритмический аппарат для решения экстремальных задач, возникающих при термодинамическом анализе систем.

Перечислим кратко эти результаты. Дана точная математическая запись модели поиска оптимальных неравновесных состояний в вице задачи выпуклого программирования специального вида: поиска максимума линейной функции на так называемых множествах достижимости. Установлены такие важные с точки зрения математического программирования свойства задачи, как выпуклость либо вогнутость соответствующих функций и множеств.

Создана автоматизированная система алгоритмов, позволяющая давать в приемлемое время и в удобной форме количественные оценки эффективности для широкого класса технологий. Эта система была разработана при решающем участии автора совместно с М. К. Такайшвили и начинает приобретать известность как в СССР так и за рубежом. Она включает в себя ряд блоков, один из которых- блок расчета равновесия успешно конкурирует с известными аналогами.

Работа состоит из пяти глав.

В первой главе изучаются свойства функции свободной энергии Гиббсэ и широко известное свойство выпуклости этой функции обобщается на две модели реальных газов: модели Ван-дэр-Ваальса и Ввдлиха-Квонга.

Получены достаточные условия выпуклости свободной энергии в этих моделях, имеющие вид неравенства, связывающего температуру Т системы с критическими температурами Ik реальных газов, образующих систему.

Вводятся необходимые определения, такие как термодинамически допустимая траектория и множество достижимости; на их основе дается формальное описания модели промежуточных состояний (МПС) и параметрической модели,описывающей задачу оптимального выбора начального состояния системы (исходного состава реагентов). В этой же главе исследуются свойства множеств достижимости и приводится несложное для доказательства, но чрезвычайно важное для дальнейшего анализа свойство выпуклости этого множества Указывается, что хотя задача поиска оптимального промежуточного состояния формально является задачей выпуклого программирования, непосредственное применение для ее решения выпуклой техники оказывается невозможным в силу неявного описания множества достижимости.

Следуя работам В. И. Быкова, дается формальное описание так называемых " зон недоступности при вершинах" допустимого множества и доказывается утверждение о том, что любая вершина балансного многогранника является вершиной локального максимума и, тем самым, имеет зону недоступности.

Введенное в работе понятие "запрещенного уровня энергии" в вершине позволяет сформулировать некоторые достаточные условия, при выполнении которых исходная задача сводится к задаче выпуклого программирования в явном виде.

Поскольку вершина допустимого множества, в которой достигается максимальный выход полезного продукта, оказывается недоступной гш условию невозрастания энергии, предлагается евристический алгоритм, имеющие целью построить термодинамически допустимую траекторию, приводящую к состоянию с анергией, максимально близкой к запрещенному уровню.

Вторая глава работы посвящена описанию алгоритмов, образующих вычислитеьную базу упоминавшейся выше автоматизированной системы получения термодинамических оценок.

Сюда относятся: два алгоритма поиска равновесия, один из них- это алгоритм внутренних точек Дикииа, строящие последовательность внутренних точек балансного многогранника, сходящуюся к состоянию равновесия, второй алгоритм, описанный в монографии [£?], сводит задачу к задаче обобщенного линейного программирования.

Предложенные автором модификации последнего алгоритма делают возможным его использование в задаче поиска равновесия системы реальных газов и для решения так называемых р (у, с,g)-задач, заключающихся в максимизации линейное функции 1<х)= стх на балансном многограннике Б (у), порожденном начальным состоянием у, при дополнительном ограничении сверху на значение свободной анергии: G(X)< g.

По отношению к задаче нахождения термодинамических оценок решение подобной задачи является элементарной операцией. Поэтому с целью расширения возможностей вычислительной системы в работе излагается и второй алгоритм ее решения, разработааный В. П. Булатовым и автором данной работы- алгоритм опорного конуса ([G ]-[3 3).

В третьей главе рассматривается одна модификация модели

1 ь неравновесных состояние- модель химических термодинамических цепеа. В этой модели , как и в модели неравновесных состояний, не I используется аппарат химической кинетики и вместе с тем модель неравновесных состояний расширяется введением априорного списка реакций, протекание которых, по мнению исследователя наиболее вероятно и графа реакций, учитывающего механизм протекания реакций в системе. При этом физические ограничения модели неравновесных состояний- постулат о невозрастании свободной энергии и равенства атомного баланса остаются в силе. Решение задачи на минимум свободной энергии в конечном узле графа позволяет определить для каждой реакции из априорного списка их интенсивности и, таким образом, отобрать из априорного списка, который может оказаться слишком избыточным, наиболее вероятные. Идея данной модели принадлежит Б. М. Кагановичу. В первоначальной записи она была малопригодна для исследования методами математического программирования. Автору диссертации удалось, с помощью введения новых гоременных модели- интенсивностей отдельных реакций, свести модель к задаче на минимум выпуклой функции на выпуклом многограннике. Проведанные автором расчеты на многочисленных графах реакций показали эффективность этого подхода и дали результаты, близкие к полученным ранее другими методами.

Четвертая глава посвящена изложению результатов автора в области так называемых методов отсечения-погружения для решения задач выпуклого программирования.

Одной из основополагающих работ в этом направлении является монография В. П. Булатова [£Г ], в которой изложена общая идея методов подобного рода.

В частности, в четвертой главе излагается алгоритм симплексных погружений в выпуклом программировании <[2 3-СЗ ]). Идея использования множества n-мерных симплексов в качестве семейства множеств, локализующих оптимальное решение была сообщена автору диссертации В. П. Булатовым в конце 1980 года. В начале 1981 года автором данной работы был получен оригинальный алгоритм, названный алгоритмом симплексных погружений <-ИЗ). Он относится к классу так называемых полиномиальных алгоритмов (Н7]-С23>3).

Автору диссертации принадлежит также излагаемая в главе 4 вычислительная схема метода опорного конуса {17 ]-[# ]), являющаяся обобщением двойственной симплекс-процедуры для решения задач выпуклого программирования и одна модификация широко известного метода эллипсоидов <[?о]-[131), специально приспособленная для решения выпуклых квадратичных задач "полного вида", то есть задач с квадратичными выпуклыми ограничениями-неравенствами.

Универсальность и простая вычислительная схема алгоритма симплексных погружений обеспечивают его успешное использование в задачах математического программирования с недифференцируемыми и неявно заданными функциями.

По этой причине он используется в пятой главе при поиске локально оптимальных решений в сложных двухуровневых задачах оценки эффективности и безопасности использования различных видов химического сырья и топлива.

В этой же главе изучаются задачи получения термодинамических оценок в условиях неполной информации о начальном составе реагентов.

Эти задачи отражают ситуации, в которых выбор желаемого начального состава невозможен и технолог может лишь оценить степень экологического риска при использовании поступающего в реактор сырья.

Одна из таких задач состоит в нахождении наихудшего с экологической точки зрения варианта состава загружаемой в реактор смеси, который следует считать возможным в силу неточной информации о составе поступающего сырья.

Как установлено в разделе 5.4., эта задача сводится к так называемой задаче d.c.~ программирования, то есть к задаче математического программирования, в которой целевая функция и функции, определяющие ограничения задачи, представимы в виде разности двух выпуклых функций. Такие функции в литературе по глобальной оптимизации называются й.с.-функциями ("difference of two convex functions"). Далее с помощью аппарата штрафных функций задача вычисления верхней оценки для максимального выхода вредных веществ при неопределенности в задании множества начальных состояний Y сводится к последовательности задач вогнутого программирования. В настоящее время уже разработана мощная теория вогнутого программирования и d.c.- программирования ([^l-C^l). что дает основание для их успешного использования в новых задачах термодинамического анализа.

В разделе 5.5. рассматриваются задачи получения нижних оценок выхода полезных продуктов в условиях неполной информации о начальном состоянии.

Эти задачи принципиально отличаются от задач получения оценок сверху на максимальный выход вредных веществ. Если в последних начальное состояние и наиболее опасное с экологической точки зрения состояние являются равноправными переменными задачи (то есть оба состояния выбираются из условия максимального выхода вредных веществ), то для получения оценок снизу по выходу полезных веществ при неполной информации о начальном состоянию! у формулируются некоторые минимаксные задачи. Здесь уже переменные неравноправны: внешняя переменная- начальное состояние у, выбирается таким образом, чтобы обеспечить минимальный выход полезных продуктов, при условии, что внутренняя переменная х выбирается из некоторого подмнонества множества достижимости, определяемого состоянием у.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Анциферов, Евгений Георгиевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Таким образом, в предлагаемой диссертационной работе получены результаты, перечисляемые ниже.

1. Новые проблемы отыскания прогнозных термодинамических оценок сформулированны в виде достаточно широкого набора задач математического программирования, тем самым открыта новая область для плодотворного практического использования этой науки.

2. Проведен достаточно полный анализ применяемых моделей, обнаружены их свойства, упрощающие процесс получения решения. Важнейшим из таких свойств является свойство выпуклости оптимизируемых функций и функций, определяющих допустимые решения.

3. Создана надежная и легко доступная пользователю система алгоритмов, которая включает в себя как алгоритмы для расчета равновесия, так и новые специально разработанные алгоритмы получения новых прогнозных термодинамических оценок.

Из результатов пунктов 1 и 2, отметим следующие: -формулировка задачи поиска оптимального неравновесного состояния как задачи максимизации линейной функции на выпуклом множестве состояний термодинамической системы, заданном неявным образом < так называемом множестве достижимости); -введение понятия запрещающего уровня энергии при вершинах балансного многогранника, составляющего все множество состояний и постановка задачи нахождения этой величины как задачи вогнутого программирования;

- введение понятия оптимального уровня энергии при вершинах, нахождение которого позволяет свести задачу поиска оптимальных неравновесных состояний к элементарной задаче выпуклого программирования;

- формулировка на языке выпуклого программирования модели термодинамической химической цепи, позволяющей представить химические реакции, протекающие в системе в вице графа и учесть, в отличие от обычной равновесной модели, априорные знания о механизме протекающих в системе реакций;

- формулировка новых двухуровневых моделей математического программирования, отражающих проблемы, связанные с выбором начальной загрузки химического реактора, удовлетворяющей заданным требованиям, пред'являемым к эффективности и безопасности технологического процесса.

- Формулировка задачи получения термодинамических оцэнок в условиях неполной информации в виде задачи d.-c. программирования;

- новые результаты, касающиеся свойств выпуклости функции свободной энергии в системах, состоящих из реальных газов. К пункту 3 относятся следующие результаты:

- принадлежащие автору новые алгоритмы выпуклого программирования-алгоригм симплексных погружений, модификация метода опорного конуса, специальный алгоритма для решения элементарной внутренней выпуклой задачи, обобщающий известный алгоритм Дж. Данцига для поиска равновесия, специальный алгоритм для решения полной квадратичной задачи.

Созданная система математических моделей, имеющая вед иерархии задач математического программирования, в совокупности с подробно описанной системой алогоригмов, решающих эти задачи, дает возможность создателям новых химических и энергетических технологий, получать более полную количественную информацию о возможностях этих технологий-и опасностях, связанных с вероятными выходами вредных продуктов при эксплуатации оборудования.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Анциферов, Евгений Георгиевич, 1990 год

1. Левин Ю.Я. Об одном алгоритме минимизации выпуклых функций //

2. Доклада АН СССР. 1965. - т.160, N.6. - с.1244-1247. 2. Александров И.А., Анциферов Е.Г., Булатов В.П.

3. К методам центрированных оечений // Тезисы докл. конф. по матем. программированию.- Свердловск: ИММ УНЦ АН СССР, 1981. с. 162-163 ЗЭ. Александров И.А., Анциферов Е.Г., Булатов В.П.

4. Экономика и математические метода. -1976.- Вып.2. -с.357-369 11. Ццин Д.В., Немировский А. С. Информационна я сложность и эффективные метода выпуклого программирования.- Москва.: Наука, 1977.- 460 с.

5. Шор Н.З. Метода отсечения с растяжением пространства для решения задач выпуклого программирования // Кибернетика. Н.1.- 1977. - с. 94-95

6. Шор Н.З., Гершович В.И. Об одном семействе алгоритмов для решения задач выпуклого программирования // Кибернетика. N.4.- 1979.

7. Анциферов Е.Г. К методу эллипсоидов в квадратичном программировании // Тезисы докл. конф. по матем. программированию.- Свердловск: ИММ УНЦ АН СССР, 1987. с. 9-1 □

8. Анциферов Е.Г. К методу эллипсоидов в выпуклом программировании // Числэнные методы анализа и их приложения- Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1987,с.5-29

9. Анциферов Е.Г. К методу эллипсоидов в выпуклом программировании // Модели и метода исследования операций- Новосибирск: Наука, 1988,с.4-22

10. Хачиян Л.Г. Полиномиальный алгоритм в линейном программировании. Доклада АН СССР. 1979. - т.244, N.5. - с.1093-1096.

11. Козлов М.К., Тарасов С.П., Хачиян Л.Г. Полиномиальная разрешимость выпуклого квадратичного программирования // Доклада АН СССР. 1979. - т.20, N.1. - с.1051-1053.

12. Кагшагкаг, N. A new polinomial-tlme algorithm for linear programming. Combinatorica 4 (1984), pp. 373-395.

13. Хачиян Л.Г. Полиномиальный алгоритм в линейном программировании. // Журнал вычислительной математики и математической физики.- 1980. т.20, N.1 -с.51-58.

14. Е21. Goldfarb, D. and Liu, S. An 0(naL) primal interior point algorithm for convex quadratic programming. Technical Report, Department of IEOR, Columbia University (New York, NY 1988).

15. Kojima, M., Mizuno, S., and Yoshise, A. An 0(V5~ L) iteration potential reduction algorithm for linear complemennary problems.

16. Research Report, Department of Information Science, Tokyo Institute of Technology (Tokyo, Japan, 1988).

17. Pardalos, P.M., Ye, Y., and Han, G.G. Algorithms for the solution of quadratic Knapsack Problems. Technical Report CS-89-10, April (1989), Computer Science Department, The Pennsylvania State University.

18. Шор H.3., Гершович B.H. Об одном семействе алгоритмов для решения задач выпуклого программирования // Кибернетика. N.4- 1979. - с. 62-67

19. Черноусько Ф.Л. Оптимальные гарантированные оценки неопределенностей с помощью эллипсоидов.2. // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика.- 1980. -N 4.- с.3-11.

20. Kahan, V. Circumscribing an ellipsoid about intersection of two ellipsoids. Canad. Math. Bull.- 1968. -11,N3.

21. Маркус M., Минк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств.- Москва.: Наука, 1972. 232 с.

22. Дииин И.И. Итеративное решение задач линейного и квадратичного программирования // Доклады АН СССР. -1967. -т. 174, N.4. с.747-748.

23. Анциферов Е.Г., Булатов В.П. Алгоритм симплексных погружений в выпуклом программировании // Журнал вычислительной математики и математической физики.1987. Т.27, N.3. -с.377-384.

24. Б. Н. Каганович, С. П. Филиппов, Е. Г. Анциферов Эффективность энергетических технологий.- Новосибирск.: Наука, Сибирское Отделение, 1989.- 253 с.

25. Е. Г. Анциферов, Л. X. Ащепков, В. П. Булатов Метода оптимизации и их приложения. 1. Математическое программирование.-Новосибирск.:

26. Наука, Сибирское Отделение, 1990.- 153 с.

27. Kelley J. Е. The cutting plane methods for solving convex programme // SIAM J.-1960.-Vol.8, N 4. pp 703-712.

28. Veinott A.F. The Supporting Hyperplane Method for Unimodal Programming, Operations Research, 15, pp. 147-152, 1967

29. I.G. Antsiferov, V.P. Bulatov

30. The Method of Simplex Immersions in Convex Programming and Its Application1.ternational Symposium On Engineering Mathematics & Applications. ISEMA 88, 25-30 July, 1988, Bejing, China

31. Горбань A. H. Обход равновесия. Уравнения химической кинетики и их термодинамический анализ.-Новосибирск.: Наука, Сибирское Отделение, 1984.- 223 с.

32. Reuel Shinnar and Cheng A. Feng

33. Dempe S. A On the Directional Derivative of the Optimal Solution Mapping without Linear Independence

34. Akademie- Verlag Berlin, optimization 20 (1989) 4, pp. 401-414

35. White V. В., Johnson 5. M., Dantzig G. В., Chemical equilibrium in complex mixtures, J. Chem. Phys.,28 (1958), 751-755.

36. Clasen R. J., The numerical solution of chemical equilibrium problem, RAND Corp. Memo RM-4345-PR, January 1965.

37. Туя X. Вогнутое программирование при линейных ограничениях. ДАН СССР, 1964, 159, N 1, с. 32-36.

38. Баабуз В.Ф., Зицерман В.Ю., Голубушкин Л.М., Чернов Ю.Г., Химическое равновесие в неидэальных системах.

39. ИВТАН СССР, Москва 1988, 215 с.

40. Прикладная химическая термодинамика. Модели и расчеты. Под редакцией Т.Барри. Москва, Мир, 1988, 273 с.

41. Анциферов Е.Г., Каганович Б.М., Семеней П.Т., Такайшвили М.К. Поиск промежуточных состояний физикохимических систем. // 6 кн: Численные метода анализа и их приложения. Сибирский Энергетический Институт СОАН СССР, Иркутск, 1987, с 150-169.

42. Dantzig G. В., Johnson S. М., White V. В., A linearprogramming approach to the chemical equilibrium problem. -Management Science, 1958, vol. 5, N 1, pp. 38-43.

43. Горбань А.Н., Быков В.И., Яблонский Г.С.

44. Метод последовательного изучения динамики сложной каталитической реакции. В кн: Гетерогенный катализ/ Труда 4- го Международного Симпозиума по гетерогенному катализу. Варна, 1979, т.2, Изд. Болгарской АН, 1980, с. 157-162.

45. Яблонский Г.С., Быков В.И., Горбань А.Н.

46. Кинетические модели каталитических реакций. Новосибирск, Наука, 1983 , 256 с.

47. Зельдович Я.Б. Доказательство единственности решения уравнений закона действующих масс. Журнал физической химии, 1938, т.11, вып.5, с. 685-687.

48. Antsiferov I.G. Evaluation of Harmful 1 Substance Yield in Chemical Reactions. 14-th IFIP Conference on System Modelling and Optimization, leipzig, GDR, July 3-7,1989, Part 1, Heft 7, s. 5-6.

49. Каганович Б.М., Филиппов С.П., Анциферов Е.Г.

50. Применение термодинамики ,при решении задач научно-технического прогресса в энергетике. В кн: Системные оценки эффективности и выбор направления технического прогресса в энергетике. Сибирский Энергетический Институт СОАН СССР, Иркутск, 1990, с. 76-89.

51. Карманов В. Г. Математическое программирование.- Москва, Наука, 1975, 269 с.

52. Данциг Дж. Линейное программирование, его обобщения и применения. Москва, " Прогрессм, 1966.

53. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию Москва, Наука, 1981

54. Базара М., Шетти К. Нелинейное пргораммированив. Теория и алгоритмы. Москва, Мир, 1982