Применение методов теории оптимальной нелинейной фильтрации марковских случайных процессов для решения задач обработки нестационарных сигналов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Польдин, Олег Викторович

• Польдин, Олег Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Польдин, Олег Викторович

Введение.

Глава 1. Применение методов теории оптимальной нелинейной фильтрации марковских случайных процессов для задач обнаружения и оценивания статистических характеристик случайных процессов.

1.1. Фильтрация марковского случайного процесса с обнаружением внезапных изменений статистических характеристик.

1.2.Фильтрация марковской последовательности с оцениванием скачкообразно изменяющихся параметров.

1.3.Оценивание вероятностного распределения момента изменения свойств марковской последовательности.

Глава 2. Обнаружение, фильтрация и оценивание параметров импульсных марковских случайных процессов.

2.1. Оптимальная фильтрация случайного марковского сигнала с оцениванием амплитуды импульсного возмущения.

2.2. Обнаружение и фильтрация потока различных импульсных сигналов, наблюдаемых на фоне шума.

2.3. Оценивание плотности вероятностей момента появления импульсного сигнала.

Глава 3. Оценивание тренда статистических характеристик случайного процесса.

3.1. Оценивание параметров кусочно-полиномиального тренда среднего значения случайного процесса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ^

3.2. Оценивание нестационарных параметров динамической системы

Глава 4. Применение методов теории оптимальной нелинейной фильтрации марковских случайных процессов для синтеза быстрых алгоритмов настройки адаптивных антенных решеток при нестационарной помеховой обстановке.

4.1 Постановка задачи.

4.2 Вывод уравнений настройки вектора весовых коэффициентов

4.3 Результаты численного моделирования алгоритма.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение методов теории оптимальной нелинейной фильтрации марковских случайных процессов для решения задач обработки нестационарных сигналов»

В течение последних десятилетий активно развивается раздел статистической радиофизики, занимающийся обработкой случайных процессов, статистические характеристики которых нестационарны во времени. Значительный интерес вызван широким кругом практических задач, в которых встречаются процессы с изменяющимися характеристиками. В радиосвязи, радио- и гидролокации часто приходится иметь дело с нестабильной сигнально-помеховой обстановкой, обусловленной случайными изменениями условий распространения сигналов, импульсными помехами естественного и искуствен-ного происхождения, перемещениями источников излучения. Задача скорейшего обнаружения и оценивания изменений, неисправностей весьма актуальна в системах автоматического регулирования, мониторинга состояния сложных технических и природных систем. Разделение наблюдаемого сигнала на участки с локально стационарными характеристиками необходимо производить при обработке сигналов в медицине, сейсмологии, при распознавании речи и т.п.

Задача выделения, или фильтрации, полезного сигнала из шума является классической задачей обработки сигналов. Основы теории оптимальной фильтрации случайных процессов были заложены в работах [1, 2]. За последние десятилетия накоплен значительный опыт решения различных задач теории оптимального приема сигналов [331] .При решении задач оптимального обнаружения и оценивания сигналов обычно предполагается, что статистические характеристики сигналов, помех и структура наблюдений известны и постоянны во времени (стационарны) или лее изменяются во времени (нестационарны) по заранее известному закону.

В теории оптимальной обработки сигналов очень продуктивным оказался метод математического описания случайных сигналов марковскими случайными процессами, которые обычно задаются с помощью системы линейных дифференциальных (в непрерывном времени) или разностных (в дискретном времени) уравнений для переменных в пространстве состояний, в правой части которой содержатся возмущения типа белого гауссовского шума. Провести оптимальное оценивание линейных процессов позволил подход линейной фильтрации Калмана-Бьюси, предложенный в [3, 4]. В работах [5-7] была разработана общая теория оптимальной нелинейной фильтрации марковских случайных процессов, которая, как частный случай, включает в себя теорию линейной фильтрации. Строгое математическое рассмотрение проблем оптимальной нелинейной фильтрации дано в [8]. Вопросы применения марковской теории фильтрации к обработке радиосигналов исследовались в [9-16]. Развитый в этих и других работах аппарат марковской теории нелинейной фильтрации позволил эффективно решать многие задачи синтеза оптимальных систем обработки сигналов при действии разнообразных помех.

В любой системе обработки сигналов используется различие в тех или иных статистических характеристиках полезного сигнала и помехи. При неполной априорной информации относительно этих характеристик или в ситуации, когда они случайным образом изменяются с течением времени широкое распространение получили разнообразные адаптивные методы фильтрации [32-35]. В адаптивных фильтрах на основе текущих наблюдений производится подстройка параметров с целью увеличения точности оценивания. Погрешность оценивания в адаптивных системах зависит от соотношения между скоростью изменения характеристик сигнала и скоростью настройки фильтра.

Вместе с тем во множестве практических ситуаций различные измерительные радиофизические системы работают в условиях существенно нестационарной сигнально-помеховой обстановки со скачкообразными изменениями параметров или импульсными возмущениями, возникающими в заранее неизвестные моменты времени. Скачкообразныё изменения происходят практически мгновенно, а в системах с дискретным временем - за интервал времени порядка периода дискретизации. Характер изменений парамеров во времени лишь в простейшем случае имеет вид перехода от одного значения к другому. В других моделях изменяются параметры, описывающие более сложную динамику переменных, например тренды или периодические движения. Часто встречающиеся в практических приложениях импульсные сигналы ъьпомехи также могут быть отнесены к данному типу нестационарности. При этом сама величина скачкообразных изменений может быть незначительной.

Учет скачкообразных изменений параметров сигналов или импульсных возмущений необходим, например, в следящих системах сопровождения при маневрах цели, в системах связи при резком изменении уровня помех или случайных замираниях сигнала. При диагностике сложных технических систем часто необходимо оценивать переменные, характеризующие состояние системы, и своевременно обнаруживать скачки параметров, приводящие к нарушению нормального режима ее работы (отказу).

Решению задач синтеза оптимальных алгоритмов обнаружения и оценивания марковских сигналов при внезапных, скачкообразных изменениях описывающих сами сигналы и условия их наблюдения статистических характеристик посвящена настоящая диссертационная работа.

Для решения задач оптимального оценивания и обнаружения сигналов в работе использованы общие методы теории фильтрации дискретно - непрерывных процессов. К настоящему времени ряд результатов по фильтрации дискретно-непрерывных и импульсных марковских процессов получен в работах [9-16, 36-38]. Задачи оценивания и идентификации состояния динамических систем со случайной скачкообразно изменяющейся структурой при пуассоновской статистике потока переключений рассматривались в работах [11, 39-44]. Фильтрации импульсных марковских процессов^ описываемых в непрерывном времени интегродифференциальным уравнением Колмогорова-Феллера, посвящены статьи [45-48].

Как известно, задача оптимального оценивания случайных сигналов при скачкообразных изменениях их параметров взаимосвязана с задачей оптимального обнаружения скачков [12, 49, 50]. По проблеме обнаружения скачкообразных изменений свойств случайных процессов к настоящему времени опубликовано большое число-работ (ем. обзоры [51-55], библиографии [56,57], монографии [58-62] и специальные выпуски [63, 64]). Для решения данной проблемы используются различные методы. Например, в работах [55, 65, 66] рассматриваются процедуры обнаружения и оценивания моментов скачкообразных изменений свойств случайных процессов, осуществляемые после окончания наблюдений. При этом для оценивания моментов появления скачков могут применяться метод максимального правдоподобия (см. также [62, 67-73]) или байесовский подход (если задана априорная плотность вероятности моментов появления скачков). Однако в случае многокомпонентных процессов или при большом числе скачков на интервале наблюдения реализация синтезированных в [65, 66] процедур требует слишком большого объема вычислений.

При использовании этих методов обычно также подразумевается, что обработка сигналов проводится после завершения очередного этапа наблюдений, а для ее осуществления применяются параллельные схемы с запоминанием всей наблюдаемой реализации. Более удобными для реализации представляются последовательные статистические методы обнаружения моментов изменения свойств случайных процессов и оценивания их параметров. При этом анализ проводится рекуррентным образом по мере поступления информации в ходе наблюдения случайного процесса. Среди последовательных методов к настоящему времени наиболее развиты процедуры, не использующие (в явном виде) априорную информацию о моментах появления скачков или импульсов. К ним относятся, например, алгоритмы кумулятивных сумм [59, 74-77], различные алгоритмы с ограниченной памятью на наблюдения^ или с применением скользящих окон [78, 79], а также алгоритмы, использующие так называемые "обновляющие процессы" [80] и их свойства изменять свои статистические характеристики при появлении очередного скачкообразного или импульсного возмущения [52, 54, 81-86].

Последовательные статистические методы обнаружения скачкообразных изменений параметров случайных процессов с известной априорной информацией о возможных моментах появления скачков исследовались в меньшей степени. Учет данной априорной информации в принципе дает возможность улучшить алгоритмы оптимальной обработки сигналов на фоне помех. Вопросы скорейшего обнаружения момента изменения свойств случайного процесса (задача о разладке) без проведения оценивания с использованием априорной плотности вероятности момента появления скачка были рассмотрены в работах [7, 58, 87-89], близкие задачи решались в [90-92]. В работе [93] была рассмотрена задача оптимального обнаружения на фоне белых гауссовских шумов детерминированного сигнала со случайным моментом включения на интервале наблюдения. Некоторые вопросы оптимального обнаружения детерминированного сигнала на фоне импульсных помех исследовались в [94, 95]. В перечисленных работах показано, что для апостериорных вероятностей появления скачка к текущему моменту времени, с учетом наблюдений можно записать замкнутые уравнения, позволяющие вычислять данные вероятности рекуррентным образом по мере поступления новых наблюдений. При этом оказалось, что для вычисления апостериорной вероятности появления скачка параметров в случайном процессе не требуется дополнительно оценивать сам момент скачка или прибегать к сложным многоканальным схемам с запоминанием реализации наблюдений. При использовании некоторых методов последовательного статистического анализа [51-55, 88, 96] для обнаружения моментов разладок статистических характеристик случайных процессов необходимо производить их оценивание, которое в этом случае носит вспомогательный характер.

Значительное число работ (например, [7, 9, 27, 39-41, 97-109]) посвящено исследованию алгоритмов оптимальной фильтрации случайных процессов, имеющих на случайных интервалах времени различные структуры, с учетом многократных возможных переходов из одной структуры в другую, описываемых марковским процессом с априорно известными вероятностями переходов из одного состояния в другое. В этом случае можно найти последовательные алгоритмы для вычисления апостериорных вероятностей состояний и оценок случайных процессов. Йо при этом явным образом не учитывается вклад в данные апостериорные вероятности каждого отдельно взятого скачка и тем самым теряется часть априорной информации о каждом скачке в отдельности.Это приводит в общем случае к потере точности оценивания сигналов.

В работах [110-123] показано, что синтез алгоритмов фильтрации, обнаружения и оценивания параметров случайных сигналов при скачкообразных и импульсных изменениях их характеристик может быть осуществлен с использованием методов теории условных марковских процессов [7-9]. Статистический синтез алгоритмов обработки проводился в предположении, что моменты изменения характеристик сигналов образуют марковский точечный случайный процесс. В этом случае удалось получить более точные процедуры оценивания сигналов с учетом появления каждого отдельного скачка или импульса и применить разработанные методы к решению задач обнаружения внезапных изменений характеристик случайных процессов и сигналов. Эти задачи оптимального оценивания сигналов со скачкообразными изменениями параметров или импульсными возмущениями решались в предположении, что априорно задано число скачков или импульсов на интервале наблюдения и известна априорная плотность вероятности моментов появления возмущений.

В настоящей работе данный подход, основанный на применении методов марковской теории оптимальной фильтрации случайных процессов, применается для решения ряда задач оптимальной обработки нестационарных случайных процессов. Для удобства практической реализации разработанных методов в диссертации рассматриваются сигналы и алгоритмы их обработки в дискретном времени. Разумеется, аналогичные алгоритмы могут быть записаны и для случая немперывного времени. Кроме этого в работе основное внимание сосредоточено на рассмотрении "ситуации, при которой на интервале наблюдения возможно появление лишь одного изменения статистических характеристик или импульсного возмущения. Практически этим предполагается, что алгоритмы успевают обнаружить произошедшее изменение за интервал времени между двумя последовательными возмущениями. Данное упрощение обусловлено стремлением сосредоточится на принципиальных особенностях разработанных методов. Все приведенные в работе алгоритмы для случая одного изменения или импульса легко обобщаются на случай множества возмущений. Кроме того, как показано в работе [122], оптимальная фильтрация случайного марковского сигнала при потоке импульсных возмущений с независимыми и одинаково распределенными амплитудами при помощи метода суммирования по кратному числу импульсов в простейшем случае сводится фактически к " зацикливанию" алгоритма с одним возмущением.

Цель работы. В соответствии с рассмотренным выше состоянием проблемы оптимального оценивания нестационарных сигналов со случайными скачкообразными и импульсными возмущениями при проведении исследований, отраженных в диссертации, были поставлены следующие цели:

1. На основе общих методов марковской теории нелинейной фильтрации разработать алгоритмы обработки нестационарных случайных процессов с трендами и импульсными возмущениями, происходящими в случайные "моменты времени.

2. Получить алгоритмы оптимального оценивания случайно изменяющихся во времени параметров нестационарных случайных марковских процессов и параметров импульсных возмущений, задаваемых квазидетерминированными функциями времени. - 3. Исследовать возможность-применения методов марковской теории нелинейной фильтрации для решения задачи настройки вектора весовых коэффициентов адаптивных антенных решеток в условиях быстро изменяющейся нестационарной помеховой обстановки.

4. Выполнить компьютерное моделирование полученных алгоритмов, изучить их точность, эффективность и связь с известными методами.

Методы решения. При решении поставленных задач использовались методы марковской теории нелинейной фильтрации случайных процессов [7-9], а также общие методы теории вероятностей, статистической радиофизики, оптимальной и адаптивной обработки сигналов [124-152].

Научная новизна работы заключается в следующем: • 1. Разработаны методы оптимальной фильтрации нестационарных процессов с кусочно-полиномиальными трендами, изменяющими свои параметры в случайные моменты времени, и методы оптимального и квазиоптимального оценивания случайных параметров трендов характеристик марковских последовательностей.

2. Синтезированы алгоритмы оптимальной фильтрации импульсного сигнала с одновременным текущим оцениванием его амплитуды, а также алгоритмы обнаружения и фильтрации потока различных импульсных сигналов, появляющихся независимо друг от друга в случайные моменты времени со случайными амплитудами.

3. Получен алгоритм последовательного вычисления апостериорной плотности вероятностей моментов случайных скачкообразных изменений параметров сигналов и моментов появления импульсных возмущений.

4. Исследовано приложение разработанных методов обработки нестационарных случайных процессов для синтеза алгоритма настройки вектора весовых коэффициентов адаптивных антенных решеток в условиях нестационарной сигнально-помеховой обстановки. Также рассмотрены другие примеры, представляющие практический интерес и демонстрирующие работу синтезированных схем оптимального оценивания нестационарных сигналов: алгоритмы обнаружения и фильтрации на фоне шума импульсных сигналов со случайными амплитудами и моментами появления; текущего оценивания амплитуды и плотности вероятностей момента появления импульса; оптимального оценивания тренда среднего значения и тренда коэффициентов авторегрессии случайного процесса. Результаты компьютерного моделирования подтвердили высокую эффективность синтезированных алгоритмов и теоретические выводы о возможности их использования для задач обработки нестационарных сигналов с учетом. скачкообразных и импульсных изменений параметров в случайные моменты времени.

Практическая ценность. Полученные в диссертации теоретические результаты могут быть использованы при проектировании оптимальных и адаптивных систем обработки нестационарных сигналов в радиолокации, радиосвязи, радиоавтоматике, гидроакустике и других областях науки и техники. Приведенные в диссертации алгоритмы оптимального оценивания и обнаружения сигналов могут применяться в системах управления объектами, функционирующими в изменяющихся условиях, а также при диагностировании состояния сложных технических систем для своевременного обнаружения нарушений нормального режима их работы. Полученные результаты могут быть применены для обработки данных радиофизических экспериментов как в научно - исследовательских учреждениях, так и в других организациях, связанных с практическим использованием систем оптимальной и адаптивной обработки сигналов.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Польдин, Олег Викторович

Основные результаты диссертационной работы и следующие из них практические выводы могут быть сформулированы следующим образом:

1. На основе марковской теории нелинейной фильтрации случайных процессов разработаны методы оптимальной и квазиоптимальной обработки нестационарных случайных сигналов со случайными полиномиальными трендами, изменяющими свои параметры в случайные моменты времени. Выведены алгоритмы оценивания параметров случайных трендов характеристик марковских последовательностей. Полученные выражения представляют собой систему взаимосвязанных уравнений для апостериорных вероятностей появления изменений и апостериорной плотности вероятности оцениваемого сигнала. Квазиоптимальные алгоритмы позволяют в текущем времени находить непосредственно оценки и апостериорные дисперсии сигналов.

2. Синтезированы алгоритмы оптимальной фильтрации нестаци-онаых сигналов с импульсными возмущениями, задаваемых квазиде-терминированными функциями времени, с одновременным текущим оцениванием амплитуды импульсов. Получены алгоритмы обнаружения и фильтрации потока различных импульсных сигналов, появляющихся независимо друг от друга в случайные моменты времени со случайными амплитудами. Найдены рекуррентные уравнения для апостериорных плотностей вероятности сигналов, амплитуд импульсных возмущений и апостериорных вероятностей появления импульсов.

3. Решена задача последовательного вычисления апостериорной плотности вероятностей моментов случайных скачкообразных изменений параметров сигналов и моментов появления импульсных возмущений. Предполагается, что момент появления возмущения является случайной величиной с известным априорным распределением на интервале наблюдения. Найденные выражения позволяют вычислять оптимальную оценку момента появления скачка или импульса в текущем времени по любому критерию качества.

4. Исследовано приложение разработанных методов обработки нестационарных случайных процессов для синтеза алгоритма настройки адаптивной антенной решетки в условиях нестационарной сигнально-помеховой обстановки, которая моделировалась скачкообраз ным изменением параметров трендов компонент оптимального вектора весовых коэффициентов. На основе этой модели решена задача синтеза оптимальных и квазиоптимальных алгоритмов настройки антенной решетки, работающей по критерию минимизации средней квадратичной ошибки.

5. Исследованы примеры, представляющие практический интерес и демонстрирующие работу синтезированных схем оптимальной обработки нестационарных сигналов: алгоритмы обнаружения и фильтрации на фоне шума импульсных сигналов со случайными амплитудами и моментами появления; текущего оценивания амплитуды и плотности вероятностей момента появления импульса; оптимального оценивания тренда среднего значения и тренда коэффициентов авторегрессии случайного процесса. Результаты компьютерного моделирования подтвердили высокую эффективность синтезированных алгоритмов и теоретические выводы о возможности их использования для задач обработки нестационарных сигналов с учетом скачкообразных и импульсных изменений параметров в случайные моменты времени.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Польдин, Олег Викторович, 1999 год

1. Колмогоров А.Н. Интерполирование и экстраполирование стационарных последовательностей. // Изв. АН СССР. Сер. математ. 1941. № 5. С. 3-14.

2. Wiener N. Extrapolation, interpolation and smoothing of stationary time series with engineering applications. N.Y.: Wiley, 1949. 162 p.

3. Kaiman R.E. A new approach to linear filtering and prediction problem. // J. Basic Eng. ASME, ser. D. 1960. VT 82. N 1. Pp. 35-45.

4. Kaiman R.E., Busy R.S. New results in linear filtering and prediction theory. // J. Basic Eng. ASME, ser. D. 1961. V. 83. N 1. Pp. 95-108.

5. Стратонович P.JI. К теории оптимальной нелинейной фильтрации случайных функций. // Теория вероятностей и ее применения. 1959. Т. 4. Вып. 2. С. 239242.

6. Стратонович Р. Л Применение теории марковских процессов для оптимальной фильтрации сигналов. // Радиотехника и электроника. 1960. Т. 5. №11. С. 1751-1763.

7. Стратонович Р.Л Условные марковские процессы и их применение к теории оптимального управления. М.: Изд-во МГУ, 1966. 319 с.

8. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов (нелинейная фильтрация и смежные вопросы). М.: Наука, 1974. 696 с.

9. Тихонов В.И., Кульман Н.К. Нелинейная фильтрация и квазикогерентный прием сигналов. М.: Сов. радио, 1975. 704 с.

10. Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи. М.: Сов. радио, 1973. 232 с.

11. Параев Ю.И. Введение в статистическую динамику процессов управления и фильтрации. М.: Сов. радио, 1976. 184 с.

12. Сосулин Ю.Г. Теория обнаружения и оценивания стохастических сигналов. М.: Сов. радио, 1978. 320 с.

13. Ярлыков М.С. Применение марковской теории нелинейной фильтрации в радиотехнике. М: Сов. радио, 1980. 360 с.

14. Тихонов В.И. Оптимальный прием сигналов. М.: Радио и связь, 1983. 320 с.

15. Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем. М.: Радио и связь, 1991. 608 с.

16. Ярлыков М.С., Миронов М.А. Марковская теория оценивания случайных процессов. М.: Радио и связь, 1993.

17. Вудворд Ф.М. Теория вероятностей и теория информации с применением в радиолокации. / Пер. с англ. -Под ред. Г.С.Горелика. М.: Сов. радио, 1955. -128 с.

18. Вальд А. Последовательный анализ. / Пер. с англ. Под ред. Б.А.Севостьянова. М.: Физматгиз, 1960. 328 с.

19. Миддлтон Д. Введение в статистическую теорию связи. В 2-х т. / Пер. с англ. Под ред. Б.Р.Левина. М.: Сов. радио, 1962. Т.2 832 с.

20. Вопросы статистической теории радиолокации. В 2-х т. / Под ред. Г.П.Тартаковского. М.: Сов. радио, 1963. Т. 1 424 е.; 1964. Т.2 - 1080 с.

21. Большаков И.А., Гуткин Л.С., Левин Б.Р., Стратонович Р.Л. Математические основы современной радиоэлектроники. / Под ред. Л.С.Гуткина. М.: Сов. радио, 1968. 208 с.

22. Большаков И.А. Выделение потока сигналов из шума. М.: Сов. радио, 1969. -464 с.

23. Лезин Ю.С. Оптимальные фильтры и накопители импульсных сигналов. М.: Сов. радио, 1969. 446 с.

24. Амиантов И.Н. Избранные вопросы статистической теории связи. М.: Сов. радио, 1971.-416 с.

25. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. В 3-х кн. М.: Сов. радио, 1975. Кн. 2. 392 е.; 1976. Кн. 3. - 288 с.

26. Куликов Е.И., Трифонов А.П. Оценка параметров сигналов на фоне помех. М.: Сов. радио, 1978. 296 с.

27. Бакут П.А., Жулина Ю.В., Иванчук H.A. Обнаружение движущихся объектов. / Под ред. П.А.Бакута. М.: Сов. радио, 1980. 288 с.

28. Ширман Я.Д., Манжос В.Н. Теория и техника обработки радиолокационной информации на фоне помех. М.: Радио и связь, 1981. 416 с.

29. Акимов П.С., Бакут ILA., Богданович В.А. и др. Теория обнаружения сигналов. М.: Радио и связь, 1984. 440 с.

30. Сосулин Ю.Г., Фишман М.М. Теория последовательных решений и ее применения. М.: Радио и связь, 1985. 272 с.

31. Трифонов А.П., Шинаков Ю.С. Совместное различение сигналов и оценка их параметров на фоне помех. М.: Радио и связь, 1989. 264 с.

32. Фомин В.Н. Рекуррентное оценивание и адаптивная фильтрация. М.: Наука, 1984.- 288 с.

33. Адаптивные фильтры. / Пер. с англ. Под ред. К.Ф.Н.Коуэна и П.М.Гранта. М.: Мир, 1988. 392 с.

34. Уидроу Б., Стирнз С. Адаптивная обработка сигналов. / Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1989. 440 с.

35. Первачев C.B., Перов А.И. Адаптивная фильтрация сообщений. М.: Радио и связь, 1991.

36. Тихонов В.И., Степанов A.C. Совместная фильтрация непрерывных и дискретных марковских процессов. // Радиотехника и электроника. 1973. Т. 18. № 7. С. 1376-1383.

37. Ярлыков М.С., Смирнов В.А. Нелинейная фильтрация дискретно-непрерывных марковских процессов. // Радиотехника и электроника. 1975. Т. 20. № 2. С. 280-287.

38. Тихонов В.И., Харисов В.Н., Смирнов В.А. Оптимальная фильтрация дискретно-непрерывных процессов. // Радиотехника и электроника. 1978. Т. 23. № 7. С. 1441-1452.

39. Бухалев В.А. Оптимальная фильтрация в системах со случайной скачкообразной структурой. // Автоматика и телемеханика. 1976. № 2. С. 44-54.

40. Артемьев В.М. Теория систем со случайными изменениями структуры. Минск: Вышэйш. школа, 1979. 160 с.

41. Казаков И.Е., Артемьев В.М. Оптимизация динамических систем случайной структуры. М.: Наука, 1980. 384 с.

42. Ганэ В.А., Куклев Е.А., Степанов B.JI. Системы управления при скачкообразных воздействиях. / Под ред. В.М.Артемьева. Минск: Наука и техника, 1985. -216 с.

43. Гришин Ю.П., Казаринов Ю.М. Динамические системы, устойчивые к отказам. М.: Радио и связь, 1985. 176 с.

44. Немура А., Клекис Э. Оценивание параметров и состояния систем. Системы со скачкообразно меняющимися свойствами. Вильнюс: Мокслас, 1988. 183 с.

45. Шмелев А.Б. Об обнаружении сигнала на фоне импульсов затухающих колебаний и белого шума. // Тр. Радиотехн. ин-та АН СССР, 1977. № 27. С. 177-186.

46. Шмелев А.Б. Обнаружение сигнала на фоне импульсной марковской помехи и белого шума. // Радиотехника и электроника. 1975. Т. 20. № 12. С. 24672474.

47. Тихонов В.И., Ершов JI.A. Оптимальная нелинейная фильтрация импульсного процесса. // Радиотехника и электроника. 1979. Т. 24. № 3. С. 551-556.

48. Чесноков М.Н. Оптимальный прием дискретных сообщений в канале с переменными параметрами на фоне импульсных и флуктуационных помех. // Изв. вузов Радиоэлектроника. 1983. Т. 26. № 7. С. 3-11.

49. Гришин Ю.П., Катиков В.М. Совместное обнаружение и оценивание случайных сигналов (обзор). // Зарубежная радиоэлектроника. 1977. № 6. С.3-25.

50. Левин Б.Р., Шинаков Ю.С. Совместно оптимальные алгоритмы обнаружения сигналов и оценивания их параметров (обзор). // Радиотехника и электроника. 1977. Т. 22. № 11. С. 2239-2256.

51. Торговицкий И.Ш. Методы определения момента изменения вероятностных характеристик случайных величин. // Зарубежная радиоэлектроника. 1976. № 1.С. 3-52.

52. Willsky A.S. A survey of design methods for failure detection in dynamical systems. // Automática, Journal of IFAC. 1976. V. 12. N. 6. Pp. 601-611.

53. Гришин Ю.П. Обнаружение нарушений в динамических системах. // Зарубежная радиоэлектроника. 1981. № 5. С. 42-53.

54. Кириченко А.А., Коломейцева Т.А., Логинов В.П., Тихомирова И.Г. Оценивание параметров движения маневрирующих объектов. // Зарубежная радиоэлектроника. 1983. № 4. С. 3-30.

55. Клигене Н., Телькснйс JI. Методы обнаружения моментов изменения-свойств случайных процессов. // Автоматика и телемеханика. 1983. № 10. С. 5-56.

56. Kassam S.A. A bibliography on nonparametric detection. // IEEE Trans. 1980. IT-26. N. 5. Pp. 595-602.

57. Shaban S.A. Change point problem and two-phase regression: an annotated bibliography. // International statistical review. 1980. V. 48. Pp. 83-93.

58. Ширяев A.H. Статистический последовательный анализ. M.: Наука, 1976. -231с.

59. Никифоров И.В. Последовательное обнаружение изменения свойств временных рядов. М.: Наука, 1983. 200 с.

60. Жиглявский A.A., Красковский А.Е. Обнаружение разладки случайных процессов в задачах радиотехники. Ленинград: Изд-воЛГУ, 1988.- 224 с.

61. Обнаружение изменения свойств сигналов и динамических систем. / Под ред. М.Бассвиль, А.Банвениста. М.: Мир, 1989. 278 с.

62. Трифонов А.П., Нечаев Е.П., Парфенов В.И. Обнаружение стохастических сигналов с неизвестными параметрами. Воронеж: Изд-во ВГУ, 1991. 246 с.

63. Обнаружение изменений свойств случайных процессов. // Статистические проблемы управления. Вильнюс. 1984. Вып. 65. С. 9-243.

64. Методы распознавания случайных процессов. // Статистические проблемы управления. Вильнюс. 1990. Вып. 89. С. 3-235.

65. Телькснис Л.А. О применении оптимального байесова алгоритма обучения при определении моментов времени изменения свойств случайных сигналов. // Автоматика и телемеханика. 1969. № 6. С. 52-58.

66. Клигене Н.И. Оценка момента изменения параметров распределения случайных последовательностей. // Теория вероятностей и ее применения. 1973. Т. 18. Вып. 3. С. 677-678.

67. Ибрагимов И.А., Хасьминский Р.З. Оценка параметров разрывного сигнала в белом гауссовском шуме. // Проблемы передачи информации. 1975. Т. 11. № 3. С. 31-43.

68. Ибрагимов И.А., Хасьминский Р.З. Асимптотическая теория оценивания. М.: Наука, 1979. 528 с.

69. Голубев Г.К. О вычислении эффективности оценки максимального правдоподобия при наблюдении разрывного сигнала в белом шуме. // Проблемы передачи информации. 1979. № 3. С. 61-69.

70. Дарховский Б.С., Бродский Б.Е. Апостериорное обнаружение момента "разладки" случайной последовательности. // Теория вероятностей и ее применения. 1980. Т. 25. Вып. 3. С. 635-639.

71. Трифонов А.П. Прием сигнала с неизвестной длительностью на фоне белого шума. // Радиотехника и электроника. 1977. Т.22. №1. С.90-98.

72. Галун С.А., Трифонов А.П. Обнаружение и "оценка момента изменения интенсивности пуассоновского потока. // Автоматика и телемеханика. 1982. № 6. С. 95-106.

73. Трифонов А.П., Бутейко В.К. Приём сигнала с неизвестными амплитудой и длительностью на фоне белого шума. // Изв. вузов Радиоэлектроника. 1984. Т. 27. № 8. С. 28-34.

74. Page E.S. Continuous inspection schemes. // Biometrika. 1954. V. 41. N. 2. Pp. 100-114.

75. Бородкин Л.И., Моттль B.B. Алгоритм обнаружения моментов изменения параметров уравнения случайного процесса. // Автоматика и телемеханика. 1976. №6. С. 23-32.

76. Sastri Т., Flores В., Valdes J. Detection points of change in time series. // Computers and Operations Research. 1989. V. 16. N. 3. Pp. 271-293.

77. Nikiforov I.V. A generalized change detection problem. // IEEE Trans. 1995. IT-41. N. l.Pp. 171-187.

78. Jazwinski A.H. Limited memory optimal filtering. // IEEE Trans. 1968. AC-13. N. 5. Pp. 558-563.

79. Шильман C.B. Итеративное оценивание с регулируемым объемом информации. // Автоматика и телемеханика. 1983. № 5. С. 90-98.

80. Кайлат Т. Метод порождающего процесса в применении к теории обнаружения и оценки. // ТИИЭР. 1970. Т. 58. № 5. С. 82-99.

81. Newbold P.M., Yu Chi Ho. Detection of changes in the characteristics of a Gauss-Markov process. // IEEE Trans. 1968. AES-4. N. 5. Pp. 707-718.

82. Sanual R., Shen C.N. Bayes' decision for rapid detection and adaptive estimation scheme with space applications.// IEEE Trans. 1974. AC-19. N. 3. Pp. 228-231.

83. Willsky A.S., Jones H.L. A generalized likelihood ratio approach to the detection and estimation of jumps in linear systems. // IEEE Trans. 1974. AC-21. N. 1. Pp. 108-112.

84. Patton R.J., Frank P., Clark R., eds. Fault Diagnosis in Dynamic Systems Theory and Application. London: Prentice Hall, 1989

85. Chan Y.T., Hu A.G.C., Plant J.B. A Kalman filter based tracking scheme with input estimation. // IEEE Trans. 1979. AES-15. N. 2. Pp. 237-244.

86. Демин H.C., Жадан Л.И. Синтез и анализ оптимального алгоритма фильтрации для дискретных сигналов с аномальными помехами. // Радиотехника и электроника. 1984. Т. 29. № 2. С. 250-255.

87. Ширяев А.Н. Обнаружение спонтанно возникающих эффектов. // ДАН СССР. 1961. Т. 138. №4. С. 799-801.

88. Стратонович P.JI. Об оптимальном обнаружении разладки производственного процесса. // Вестник МГУ. Серия математика, механика. 1962. № 2. С. 63-71.

89. Ширяев А.Н. Об оптимальных методах в задачах скорейшего обнаружения. // Теория вероятности и ее применения. 1963. Т.8. Вып.1. С. 26-51.

90. Дарховский Б.С. Обнаружение разладки в двумерном случайном процессе. // Кибернетика. 1968. № 5. С. 84-91.

91. Куликовская Е.С., Федунов Б.Е. Определение случайного момента появления полезного сигнала. // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1975. № 4. С. 148-153.

92. Тихомирова И.Г., Бакут П.А. Обнаружение случайно появляющегося сигнала случайной длительности. // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1977. №2. С. 137-141.

93. Сосулин Ю.Г., Фишман М.М. Оптимальное обнаружение сигналов со случайным моментом появления. // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1977. №3. С. 149-155.

94. Марченко Б.Г., Проценко Л.Д. Определение характеристической функции и пуассоновского спектра скачков порождающего процесса по характеристической функции отклика линейной системы. // Изв. вузов Радиоэлектроника. 1982. Т. 25. №9. С. 31-37.

95. Проценко Л. Д. Импульсные-помехи и оптимальное обнаружение детерминированного сигнала на их фоне. // Изв. вузов Радиоэлектроника. 1984. Т. 27. № 7. С. 66-69.

96. Davies М.Н.А. The application of nonlinear filtering to fault detection in linear systems. // IEEE Trans. 1975. AC-20. N. 2. Pp. 257-259.

97. Липейкене И., Телькснис Л. Тестовые задачи и результаты их решения участниками семинара по обнаружению изменений свойств случайных процессов. //Статистические проблемы управления. Вильнюс. 1984. Вып. 65. С. 107-133.

98. Яшин А.И. Фильтрация скачкообразного марковского процесса с неизвестными вероятностными характеристиками при аддитивной помехе. // Автоматика и телемеханика. 1968. № 12. С. 25-30.

99. Яшин А.И. О фильтрации скачкообразных процессов. // Автоматика и телемеханика. 1970. № 5. С. 52-58.

100. ЮО.Демин Н.С. Оптимальное распознавание скачкообразных компонент марковских сигналов. // Проблемы передачи информации. 1977. Т. 13. № 2. С. 45-54.

101. Ackerson G.A., Fu K.S. On state estimation in switching environment. // IEEE Trans. 1970. AC-15.N. 1. Pp. 10-17.

102. Fujishige S., Sawaragi Y. Optimal estimation for continuous system with jump process. // IEEE Trans. 1974. AC-19. N. 3. Pp. 225-228.

103. Sawaragi Y., Katayama Т., Fujishige S. State estimation for continuous-time system with jump interrupted observation. // IEEE Trans. 1974. AC-19. N. 4. Pp. 307-314.

104. Chan C.B., Athans M. State estimation for discrete systems with switching parameters.// IEEE Trans. 1974. AES-14. N. 3. Pp. 418-425.

105. Moose R.L. An adaptive state estimation solution to the maneuvering target problem. // IEEE Trans. 1975. AC-20. N. 3. Pp. 359-362.

106. Moose R.L., Vanlandingham H.F., McCabe D.H. Modeling and estimation for tracking maneuvering targets. // IEEE Trans. 1979. AES-15. N. 3. Pp. 448-456.

107. Ricker G.G., Williams J.R. Adaptive tracking filter for maneuvering targets. // IEEE Trans. 1978. AES-14. N. 1. Pp. 185-193.

108. Tugnait J.K., Haddad A.H. Adaptive estimation in linear systems with unknown Markovian noise statistics. // IEEE Trans. 1980. IT-26. N. 1. Pp. 66-78.

109. Tugnait J.K., Detection and estimation for abruptly changing systems. // Automática. Journal of IFAC. 1982. V. 18. N. 5. Pp. 607-617.

110. Ю.Мальцев A.A., Силаев A.M. Оптимальное оценивание при скачкообразных изменениях параметров сигнала. // Изв. вузов Радиофизика. 1983. Т. 26. № 1. С. 49-57.

111. П.Мальцев А.А., Силаев А.М. Оптимальное оценивание в динамических системах при совместном действии импульсных и шумовых возмущений. // Изв. вузов Радиофизика. 1983. Т. 26. № 8. С. 981- 995.

112. Мальцев А.А., Силаев А.М. Обнаружение скачкообразных изменений параметров и оптимальное оценивание состояния дискретных динамических систем. // Автоматика и телемеханика. 1985. № 1. С. 48-58.

113. З.Мальцев А.А., Силаев А.М. Синтез алгоритмов настройки адаптивных систем при нестационарной помеховой обстановке с импульсными и скачкообразными возмущениями. I. // Изв. вузов Радиофизика. 1985. Т. 28. № 11. С. 1413-1420.

114. М.Мальцев А.А., Силаев А.М. Синтез алгоритмов настройки адаптивных систем при нестационарной помеховой обстановке с импульсными и скачкообразными возмущениями. И. // Изв. вузов Радиофизика. 1985. Т. 28. № 12. С. 1590-1596.

115. Мальцев А.А., Силаев А.М. Оптимальное оценивание состояния линейных дискретных динамических систем при импульсных возмущениях. // Изв. вузов Радиофизика. 1986. Т. 29. № 5. С. 537-544.

116. Мальцев А.А., Силаев А.М. Оптимальное обнаружение сигналов со случайными скачкообразными изменениями параметров. // Радиотехника и электроника. 1987. Т. 32. № 6. С. 1241 1250.

117. Мальцев А.А., Силаев А.М. Оптимальное оценивание моментов случайных скачкообразных изменений параметров сигналов. // Радиотехника и электроника. 1989. Т. 34. № 5. С. 1023-1033.

118. Мальцев А.А., Силаев А.М. Оптимальное оценивание момента изменения характеристик случайной марковской последовательности. // Автоматика и телемеханика. 1992. № 1. С. 63-71.

119. Мальцев A.A., Силаев A.M. Оптимальное обнаружение скачкообразных изменений параметров сигналов в дискретном времени. // Изв. вузов Радиофизика. 1992. Т. 35. № 11-12. С. 938-951.

120. Ванжа A.B., Мальцев A.A., Силаев A.M. Оптимальное оценивание момента появления импульсного возмущения сигнала в дискретном времени. // Изв. вузов Радиофизика. 1993. Т. 36. № 6. С. 498-511.

121. Ванжа A.B., Силаев A.M. Оптимальное оценивание импульсных сигналов со случайными амплитудами и моментами появления. // Изв. вузов Радиофизика. 1995. Т. 38. № 12. С. 1257-1266.

122. Силаев A.M. Алгоритм оптимального оценивания состояния динамической системы при пуассоновском потоке импульсных возмущений. // Радиотехника й электроника. 1996. Т. 41. № 3. С. 322-327.

123. Силаев A.M. Оптимальное оценивание параметров марковских последовательностей, изменяющих свои свойства в случайный момент времени. // Автоматика и телемеханика. 1997. № 10. С. 58-70.

124. Медич Дж. Статистически оптимальные линейные оценки и управление. / Пер. с англ. Под ред. А.С.Шаталова. М.: Энергия, 1973. 440 с.

125. Фильтрация и стохастическое управление в динамических системах. / Под ред. К.Т.Леондеса. Пер. с англ. М.: Мир, 1980. 408 с.

126. Дэвис М.Х.А. Линейное оценивание и стохастическое управление. / Пер. с англ. Под ред. А.Н.Ширяева. М.: Наука, 1984. 208 с.

127. Де Гроот М. Оптимальные статистические решения. / Пер. с англ. Под ред. Ю.В.Линника и А.М.Кагана. М.: Мир, 1974. 496 с.128.3ельнер А. Байесовские методы в эконометрии. М.: Статистика, 1980.

128. Хей Дж. Введение в методы байесовского статистического вывода. М.: Финансы и статистика, 1987.-335с.

129. Солодов A.B., Солодов A.A. Статистическая динамика систем с точечными процессами. М.: Мир, 1988.

130. Ш.Самойленко В.И., Шишов Ю.А. Управление фазированными антенными решетками. / Под ред. Г.Г.Бубнова. М.: Радио и связь, 1983. 230 с.

131. С.А. Baird, "Kalman-Type Processing for Adaptive Antenna Arrays", IEEE International Conference on Communications, June 1974, Minneapolis, Minnesota, pp.lOG-l-lOG-4.

132. Монзинго P.A., Миллер Т.У. Адаптивные антенные решетки. Введение в теорию. / Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1986. 448 с.

133. Пистолькор<гА.А., Литвинов О.С. Введение в теорию адаптивных антенн. М.: Наука, 1991.-200 с.

134. Волков Е.В. Численные методы. М: Наука, 1987. 248 с.

135. Дынкин Е.Б. Марковские процессы. М.: Физматгиз, 1963. 859 с.

136. Баруча-Рид А.Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения. -М.: Наука, 1969. 512 с.

137. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. М.: Сов. радио, 1977. -488 с.

138. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. М.: Радио и связь, 1982. 624 с.

139. НО.Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. В 2-х т. / Пер. с англ. М.: Мир, 1984. Т. 1. - 528 е.; Т. 2. - 738 с.

140. Малахов А.Н. Флуктуации в автоколебательных системах. М.: Сов. радио, 1968. 660 с.

141. Малахов А.Н. Кумулянтный анализ негауссовых случайных процессов и их преобразований. М.: Сов. радио, 1978. 376 с.

142. Кляцкин В.И. Статистическое описание динамических систем с флуктуирующими параметрами. М.: Наука, 1975. 239 с.

143. Рытов С.М. Введение в статистическую радиофизику, 4.1. Случайные процессы. М.: Наука, 1976. 494 с.

144. Рытов С.М., Кравцов В.И., Татарский В.И. Введение в статистическую радиофизику, ч.2. Случайные поля. М.: Наука, 1978. 464 с.

145. Справочник по прикладной статистике. В 2-х т. / Под ред. Э.Ллойда и др. М.: Финансы и статистика. Т. 1, 1989. Т. 2, 1990.

146. Snyder D.L. Random point processes. New York: Wiley and Sons, 1975.

147. Айвазян C.A., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. Исследование зависимостей. М.: Финансы и статистика, 1985.

148. Fporr Д. Методы идентификации систем. Москва: Мир, 1979.

149. Hamilton J. D. Time series analysis. Princeton University Press, 1994

150. Harvey A. C. Forecasting, structural time series models and the Kalman filter. Cambridge University Press, 1989

151. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1973.- 832 с.

152. Джонсон С. Теория регуляторов, приспосабливающихся к возмущениям. -В кн.: Фильтрация и стохастическое управление в динамических системах. / Под ред. К.Т.Леондеса. Пер. с англ. М.: Мир, 1980. С. 253-320.

153. Польдин О.В., Силаев A.M. Алгоритм оптимальной фильтрации случайных марковских сигналов с оцениванием амплитуд импульсных возмущений. // Изв. вузов Радиофизика. 1996. Т. 39. № 4.С. 496 - 513.

154. Мальцев А.А., Польдин О.В., Силаев A.M. Оптимальное оценивание и прогнозирование временных рядов с трендом среднего значения. // В сб.: "Современные проблемы радиофизики". Н.Новгород: Изд-во ННГУ. 1996. С. 150- 154.

155. Мальцев А.А., Польдин О.В., Силаев A.M. Обнаружение и фильтрация смеси различных импульсных сигналов, наблюдаемых на фоне шума. // Изв. вузов Радиофизика. 1999. Т. 42. № 1. С. 92 - 100.

156. Мальцев А.А., Польдин О.В., Силаев A.M. Оценивание параметров кусочно-полиномиального тренда среднего значения стохастического временного ряда. // Изв. вузов Радиофизика. 1997. Т. 40. № 11. С. 1405 -1415.

157. Мальцев A.A., Польдин O.B., Силаев A.M. Фильтрация тренда стохастического процесса. // В сб.: "Направления развития систем средств связи". Воронеж. 1996. Т. 1. С. 234-239.

158. Польдин О.В.Обнаружение и оценивание внезапных изменений параметров авторегрессионного случайного процесса // В сб.: Итоговая научная конференция радиофизического факультета. Тезисы докладов. Н.Новгород, ННГУ, 1996, с.21132

159. Мальцев A.A., Польдин О.В., Силаев A.M. Обнаружение и фильтраций смеси различных импульсных сигналов. // В сб.: "Научная конференция по радиофизике, посвященная 95-летию со дня рождения М.Т.Греховой". Н.Новгород: Изд-во ННГУ. 1997. С. 72.

160. Польдин О.В. Фильтрация нестационарных коэффициентов регрессионной модели // В сб.: "Третья нижегородская сессия молодых ученых", Н.Новгород, 1998, С. 57.

161. Мальцев A.A., Польдин О.В., Силаев A.M. Алгоритмы нелинейной фильтрации сигналов на фоне потока негауссовских импульсных возмущений// В сб. докладов III Международной конференции «Радиолокация, навигация и связь», Воронеж. 1998, С. 53-64

162. Мальцев A.A., Польдин О.В., Силаев A.M. Алгоритмы настройки адаптивных антенных решеток при нестационарной помеховой обстановке. // В сб. докладов III Международной конференции «Радиолокация, навигация и связь», Воронеж. 1998, С. 1865-1870