Применение теории комплексного ростка в статистической физике тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Коваль, Геннадий Васильевич

• Коваль, Геннадий Васильевич
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Коваль, Геннадий Васильевич

ОГЛАВЛЕНИЕ

стр.

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. УРАВНЕНИЕ ЛИУВИЛЛЯ

1.1 Связь решений уравнения Лиувилля и

решений уравнения Шредингера

1.2 Различные постановки задачи для уравнения Лиувилля

ГЛАВА 2. НЕКОТОРЫЕ ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ

ЛИУВИЛЛЯ И ТЕОРИЯ КОМПЛЕКСНОГО РОСТКА

2.1 Новые решения уравнения Лиувилля

для одномерного гармонического осциллятора

2.2 Новые решения уравнения Лиувилля

для гамильтонианов с точкой покоя

2.3 Точно решаемый пример для системы фермионов

и новый вариационный принцип Маслова

ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЕ ЛИУВИЛЛЯ НА РЕШЕТКЕ

3.1 Разностная аппроксимация для уравнения Лиувилля. Сведение задачи к уравнению типа

уравнения Шредингера

3.2 Построение асимптотических решений

для уравнения Лиувилля на решетке

ГЛАВА 4. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ

ЛИУВИЛЛЯ. КАНОНИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

ГЛАВА 5. УРАВНЕНИЯ ХАРТРИ-ФОКА КАК УРАВНЕНИЯ НЕСТАНДАРТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК В ЗАДАЧЕ

ДЛЯ ФЕРМИОННОЙ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение теории комплексного ростка в статистической физике»

ВВЕДЕНИЕ

Уравнение Лиувилля играет важную роль в классической статистической физике. Это уравнение описывает эволюцию во времени состояния классической статистической системы [3,8,48]. Для системы одинаковых N частиц, которые находятся во внешнем поле и(х) и попарно взаимодействуют друг с другом с потенциалом взаимодействия У( хь Х2) = У( Х2, X]) уравнение Лиувилля имеет вид

— (t;x1,p1;...;xN,pN) + 2.—"X-(t;x1,p1;...;xN,pN)-2J

ОС j=l Ш OX j j=i

f \ ш, » av, л

\ k*j J

X

X — (t;x1,p1;...;xN,pN) = 0, (0.1)

где m - масса частиц, t - время, Xj, pj е 913 - координата и импульс j-й частицы, где введено обозначение типа = для производных по трехмерным

¿Ъ а=1

переменным, везде далее будем считать, что ш=1. В статистической физике функции p(t; x!,pi;...; xn.Pn) придают смысл плотности вероятности в фазовом пространстве [3,8]. Это означает, что величина p(t;х°,р°;...;x^,,pN)dx1dp1...dxNdpN является вероятностью того, что в момент времени t система находится в области фазового пространства х°а < х" < х30а + dXja, р°а < Pja < pja + dpJVa = 1, 2, 3, j = 1, ..., N. В

силу тождественности частиц друг другу (хотя в классической физике они различимы) обычно рассматривают симметричные решения уравнения (0.1). Это значит, что функция p(t; x1(pi; ...; xN,pN) в любой момент времени t не изменяет своего значения при перестановке (xj, -pj) и (xj0 р^). Легко убедиться, что если это условие выполнено в какой-то момент времени to, то оно выполняется для

произвольного момента времени t. Симметрия функции p(t; xbpi; •••; xn>Pn) позволяет применять к уравнению (0.1) метод вторичного квантования, что и было сделано в [29,30,32,45,46] . Мы остановимся подробнее на этом обстоятельстве в

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Коваль, Геннадий Васильевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В заключении кратко перечислим основные результаты, которые были получены в диссертационной работе. Во введении поставлена новая для статистической физики задача о нахождении спектра и отвечающих ему собственных функций уравнения Лиувилля, дан вывод формул для асимптотических собственных функций и асимптотических собственных значений бозонных гамильтонианов, формулы получены методом отличным от методов теории комплексного ростка. В главе 1 показано, что некоторые, вообще говоря обобщенные, решения уравнения Лиувилля на собственные значения могут быть получены как слабый предел функций Вигнера, построенных из собственных функций уравнения Шредингера, а отвечающие таким решениям собственные значения уравнения Лиувилля выражаются через разности собственных значений уравнения Шредингера. Таким образом обоснована значимость нахождения спектра и решений уравнения Лиувилля для статистической физики. В главе 2 рассмотрен простой пример - одномерный гармонический осциллятор - для которого найдены новые решения уравнения Лиувилля, являющиеся линейными комбинациями функции Дирака и ее производных. Найдены подобные новые решения для уравнения Лиувилля, отвечающего гамильтониану довольно общего вида, у которого есть точка покоя. Также в главе 2 найдена волновая функция основного состояния точно решаемого уравнения Шредингера для N фермионов, показано, что эта функция может быть получена с помощью нового вариационного метода, предложенного Масловым. В главе 3 построены асимптотические собственные функции и собственные значения уравнения, которое является разностной аппроксимации уравнения Лиувилля для системы большого числа частиц с потенциалом взаимодействия специального вида. В главе 4 построены асимптотические собственные функции и собственные значения уравнения Лиувилля для системы большого числа частиц с потенциалом взаимодействия специального вида, собственные значения уравнения Лиувилля интерпретированы как частоты колебаний около состояния статистического равновесия, в частности дана новая математическая интерпретация плазменных волн. Также в главе 4 получено асимптотическое решение уравнения Лиувилля, отвечающее каноническому распределению. В главе 5 рассмотрена задача нахождения асимптотических решений уравнения специального вида для многочастичной матрицы плотности, показано, что уравнение нестандартных характеристик для данной асимптотической задачи имеет решения, которые выражаются через решения уравнений Хартри-Фока, обнаружены некоторые специальные свойства решения бесконечномерного уравнения типа уравнения Риккати, возникающего в данной задаче.

Полученные в диссертации результаты могут быть использованы при решении конкретных многочастичных задач теоретической физики. В частности, к возможным областям применения данных результатов относятся теория равновесного состояния в статистической физике, теория фермионных систем с очень сильным притяжением,. Также возможно, что некоторые результаты диссертации найдут применение в теории кристаллического состояния.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Коваль, Геннадий Васильевич, 1998 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Арнольд В.И. Математические методы классической механики / М.: "Наука", 1974.

2. Базаров И.П., Геворкян Э.В., Николаев П.Н. Термодинамика и статистическая физика / М.: Издательство московского университета, 1986

3. Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика, том 1,2 / М.: "Мир", 1978.

4. Балеску Р. Статистическая механика заряженных частиц / М.: "Мир", 1967.

5. Белов В.В., Доброхотов С.Ю. Канонический оператор Маслова на изотропных многообразиях с комплексным ростком и его приложения к спектральным задачам

■ // Доклады академии наук, 1988, т. 298, № 5, стр. 1037-1042.

6. Белов В.В., Доброхотов С.Ю. Квазиклассические асимптотики Маслова с комплексными фазами. I // Теоретическая и математическая физика, 1992, т. 92, № 2, стр. 215-254.

7. Березин Ф.А. Метод вторичного квантования / М.: "Наука", 1986.

8. Боголюбов H.H. Проблемы динамической теории в статистической физике / М.-Л. ОГИЗ, "Гостехиздат", 1946.

9. Боголюбов H.H. К теории сверхтекучести /'/ Известия академии наук СССР, 1947, т. 11, № 1, стр. 77-90.

10. Боголюбов М.М. Лекци з кваитово! статистики. Питания статистично! мехашки квантових систем. / К.: "Радяньська школа", 1949.

11. Давыдов A.C. Квантовая механика / М.: "Наука", 1973.

12. Кадомцев Б.В. Коллективные явления в плазме / М.: "Наука", 1976.

13. Кац М. Вероятность и смежные вопросы в физике / М.: "Мир", 1965.

14. Коваль Г.В. О свойствах бесконечномерного уравнения Риккати, возникающего в многофермионной задаче // Математические заметки, 1996, т. 60, №2, стр.298299.

15. Коваль Г.В. Об асимптотическом пределе матричных элементов канонического оператора для комплексного ростка в точке // Математические заметки, 1998, т. 63, №3, 1996.

16. Koval' G.V. On the exact solution of a many-fermion problemin the form of Maslov pairs. // Russian J. Math. Phys., 1997, vol. 5, no. 4, pp. 527-528.

17. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория / М.: "Наука", 1989.

18. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика / М.: "Наука", 1973.

19. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. Часть 1 / М.: "Наука", 1995. "

20. Маслов В.П. Асимптотические методы и теория возмущений / М.: "Наука", 1988.

21. Маслов В.П. Асимптотические методы решения псевдодифференциальных уравнений / М.: "Наука", 1987.

22. Маслов В.П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях / М.: "Наука", 1977.

23. Маслов В.П. Операторные методы / М.: "Наука", 1973.

24. Маслов В.П. Нестандартные характеристики в асимптотических задачах // Успехи математических наук, 1983, т. 38, № 6, стр. 3-36.

25. Маслов В.П., Коваль Г.В. Отклонения от состояния температурного равновесия для классических бозонов в классической статистической физике. // Доклады академии наук, 1998, т. 360, № 2, стр. 175-178.

26. Маслов В.П., Федорюк М.В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики / М.: "Наука", 1976.

27. Маслов В.П., Шведов О.Ю. Квантование в окрестности классических решений в задаче N частиц и сверхтекучесть. // Теоретическая и математическая физика, 1994, т. 98, № 2, стр. 266-288.

28. Маслов В.П., Шведов О.Ю. Комплексный метод ВКБ в пространстве Фока. // Доклады академии наук, 1995, т. 340, № 1, стр. 42-47.

29. Маслов В.П., Шведов О.Ю. Метод комплексного ростка в пространстве Фока. I. Асимптотика типа волновых пакетов. // Теоретическая и математическая физика, 1995, т. 104, № 2, стр. 310-329.

30. Маслов В.II., Шведов О.Ю. Метод комплексного ростка в пространстве Фока. II. Асимптотики, отвечающие конечномерным изотропным многообразиям. // Теоретическая и математическая физика, 1995, т. 104, № 3, стр. 310-329.

31. Маслов В.П., Шведов О.Ю. О проблеме больших уклонений в задаче многих тел. // Математические заметки, 1995, т. 1, вып. 57, стр. 133-137.

32. Маслов В.П., Шведов О.Ю. О проблеме сохранения хаоса в многочастичных системах. // Доклады академии наук, 1994, т. 338, № 1, стр. 15-18.

33. Maslov V.P. Quasi-particles associated with lagrangian manifolds corresponding to classical self-consistent fields. I. // Russian J. Math. Phys., 1995, vol. 2, no. 4, pp. 527-534.

34. Maslov V.P. Quasi-particles associated with lagrangian manifolds corresponding to classical self-consistent fields. II. // Russian J. Math. Phys., 1995, vol. 3, no. 1, pp. 123-132

35. Maslov V.P. Quasi-particles associated with lagrangian manifolds corresponding to semiclassical self-consistent fields. III. // Russian J. Math. Phys., 1995, vol. 3, no.

2, pp. 248-253.

36. Maslov V.P. Quasi-particles associated with lagrangian manifolds corresponding to semiclassical self-consistent fields. IV. // Russian J. Math. Phys., 1995, vol. 3, no.

3, pp. 401-406.

37. Maslov V.P. Quasi-particles associated with lagrangian manifolds and (in the ergodic case) with constant energy manifolds corresponding to semiclassical self-consistent fields. V. // Russian J. Math. Phys., 1996, vol. 3, no. 4, pp. 529-534.

38. Maslov V.P. Quasi-particles associated with lagrangian manifolds corresponding to classical self-consistent fields. VI. // Russian J. Math. Phys., 1996, vol. 4, no. 1, pp. 117-122.

39. Maslov V.P. Quasi-particles associated with lagrangian manifolds corresponding to classical self-consistent fields. VII. // Russian J. Math. Phys., 1996, vol. 4, no. 2,

. pp. 232-237.

40. Maslov V.P. Quasi-particles associated with isoenergetic manifolds corresponding to classical self-consistent fields. VIII. // Russian J. Math. Phys., 1996, vol. 4, no. 4, pp. 525-530.

41. Maslov V.P. Quasi-particles associated with isoenergetic manifolds corresponding to classical self-consistent fields. IX. // Russian J. Math. Phys,, 1997, vol. 5, no. 1, pp. 127-132.

42. Maslov V.P. Quasi-particles associated with isoenergetic manifolds corresponding to classical self-consistent fields. X. // Russian J. Math. Phys., 1997, vol. 5, no. 2, pp. 273-278.

43. Maslov V.P. Quasi-particles associated with isoenergetic manifolds corresponding to classical self-consistent fields. XI. // Russian J. Math. Phys., 1997, vol. 5, no. 3, pp. 405-412.

44. Maslov V.P. Quasi-particles associated with isoenergetic manifolds corresponding to classical self-consistent fields. XII. // Russian J. Math. Phys., 1997, vol. 5, no. 4, pp. 529-534.

45. Maslov V.P., Shvedov O. Yu. An asymptotic formula for the N-particle density function as N—>oo and a violation of the chaos hypothesis. // Russian J. Math. Phys., vol. 2, no. 2. pp. 217-234.

46. Maslov V.P., Shvedov O. Yu. Asymptotic solutions to the Wigner equation for systems of a large number of particles. // Russian J. Math. Phys., vol. 3, no. 1, pp. 65-80.

47. Павленко Ю.Г. Лекции по теоретической механике / М.: Издательство московского университета, 1991.

48. Пригожин И. Неравновесная статистическая механика / М.: "Мир", 1964.

49. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Функциональный анализ / М.: "Мир", 1977.

50. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики / М.: "Мир", 1982.

51. Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс математического анализа / М.: "Наука", 1988.

52. Шварц A.C. Элементы квантовой теории поля / М.: "Атомиздат"» 1975.