Применение теории молекулярных колебаний к вычислению термодинамических функций кристаллов кубической сингонии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, Безумова, М.А.

• Безумова, М.А.
• 1983

Оглавление диссертации Безумова, М.А.

ВВЕДЕНИЕ . стр. 5

ГЛАВА I. ТЕОРИЯ БОРНА-КАРМАНА И ОБЗОР ЕЁ ПРИМЕНЕНИЙ К ИЗУЧЕНИЮ КОЛЕБАНИЙ И ВЫЧИСЛЕНИЮ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ПРОСТЫХ КРИСТАЛЛОВ

§ I- Основы динамической теории Борна-Кармана для кристаллической решётки . Ю-

§ 2. Дальнейшее развитие теории колебаний в твёрдом теле . 15

§ 3. Применение теории Борна-Кармана к вычислению термодинамических функций простых кристаллов. 20

ГЛАВА II ПОСТРОЕНИЕ МАТРИЦЫ ПОЛНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ КРИСТАЛЛОВ ЛЮБОЙ СИНГОНИИ В ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ

§ Г. Основные формул^РЗШг^табулирования t—*** """* f коэффициентов потенциальной энергии при расчёте колебаний кристаллов любой сингонии при применении модели чисто валентных сил . 25

§ 2. Составление матрицы полного взаимодействия для кристаллов типа алмаза . 34-

§ 3. Учёт дополнительных соотношений между единичными векторами и приведение к прямоугольной системе координат .«. 37-

§ 4. Ошибка, допущенная в работе Смит [28] при составлении матрицы полного взаимодействия алмаза с применением центральных сил. 46~

ГЛАВА ИГ. ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛ, ПОЛУЧЕННЫХ ВО ВТОРОЙ ГЛАВЕ, К ИЗУЧЕНИЮ СИЛОВОГО ПОЛЯ КРИСТАЛЛОВ КУБИЧЕСКОЙ СИНГОНИИ (АЛМАЗ, ГЕРМАНИЙ, КРЕМНИЙ XnS > Лп%) •

§ !• Связь силовых постоянных и элементов матрицы полного взаимодействия с упругими постоянными для решёток типа алмаза в случае применения модели валентных сил. 50

§ 2. Возможность использования молекулярных силовых постоянных для расчёта колебаний кристаллической решётки на примере алмаза. 55«

§ 3. Связь силовых постоянных, упругих постоянных и коэффициентов матрицы полного взаимодействия кристаллов с решёткой типа linS для различных силовых схем 57

§ 4, Вычисление дисперсионных частот германия при применении различных силовых схем .65«

ГЛАВА 1У. ВЫЧИСЛЕНИЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ КРИСТАЛЛОВ БЕЗ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТОТ

§ Г. Приближённый расчёт, теплоёмкости алмаза с помощью метода следов при ис«* пользовании молекулярных силовых постоянных .72

§ 2. Формулы для расчёта теплоёмкости кристаллов без использования функции распределения частот ••.•««••. 77*

§ 3. Машинный расчёт теплоёмкости германия по полученным формулам для различных силовых схем . 85

ГЛАВА У. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАС« ТОТ И СВОБОДНОЙ ЭНЕРГИИ

§ I. Применение преобразования Лапласа для расчёта функции распределения частот. 96-

§ Общий метод получения различных интегральных выражений для функции распределения частот . I0I-I

§ 3. Формула для функции распределения частот и некоторые её применения. Ю5-Ю

§ Получение интегрального выражения для свободной энергии . I09-II

ВЫВОДЫ .III-II

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение теории молекулярных колебаний к вычислению термодинамических функций кристаллов кубической сингонии»

АКТУАЛЬНОСТЬ ПРОБЛЕМЫ И ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Изучение термодинами» ческих свойств твёрдых тел имеет большое значение для расчёта различных технологических процессов* В то же время экспериментальное определение термодинамических функций твёрдых тел в ряде случаев затруднительно, из-за чего большой интерес представляют вопросы их теоретического расчёта.

К настоящему времени в построении теории колебания твёрдого тела сделаны большие успехи » и эта теория нашла многочисленные и разнообразные применения. Получила дальнейшее развитие и теория колебания кристаллической решётки» основою** ложниками которой были Эйнштейн [з] , Дебай [4] , Борн-Карман [5] и другие.

Однако, несмотря на достигнутые успехи, в теории колебания твёрдого тела есть ещё ряд нерешённых задач.

Недостаточно разработана теория определения силового поля в кристаллах» с помощью которой можно было бы судить, какого рода силы наиболее существенны при расчёте колебаний решётки» Особенно это относится к кристаллам с гомеополярной связью* т.к., например, для ионных кристаллов такая теория разработана достаточно полно»

При этом для конкретных расчётов является существенным* чтобы число используемых опытных параметров было невелико и выбранное силовое поле достаточно хорошо соответствовало реальному силовому полю.

Значительные трудности встречаются также и на пути непосредственного вычисления термодинамических функций при заданном силовом поле. При решении указанных задач существенную помощь мо~ жет оказать теория колебания молекул, которая к настоящему времени разработана достаточно полно,

В принципе, задача расчёта колебаний в твёрдом теле похожа на задачу расчёта колебаний в молекулах, хотя первая и является более сложной вследствии большого числа частиц» Однако, несмотря на общность проблем, возникающих при рассмотрении колебательных задач в твёрдом теле и в молекулах» традиционно сложились совершенно различные методы рассмотрения этих вопросов. Согласование методов теории колебаний молекул и теории колебания твёрдого тела с тем* чтобы использовать их для непосредственного расчёта различных термодинамических величин кристаллов, является актуальной задачей.

Целью диссертации и является рассмотрение этих вопросов-НАУЧНАЯ НОВИЗНА, Научная новизна диссертации состоит в том, что с помощью теории молекулярных колебаний, получены формулы для составления матрицы полного взаимодействия кристаллов любой сингонии при применении модели чисто валентных сил. Матрица Ъ используется непосредственно для вычисления термодинамических функций и функции распределения частот*

Показана возможность дальнейшего усложнения валентной схемы, причём коэффициенты матрицы полного "взаимодействия выражаются через небольшое число опытных постоянных.

Разработана теория расчёта термодинамических функций (с учётом особенностей колебаний кристаллической решётки)* основанная на применении предложенной ранее методики для вычисления колебательных слагаемых термодинамических функций молекул 9 « Преимуществом такой теории является то» что получаемые ряды сходятся при всех температурах. На основании этой теории получены формулы для нахождения теплоёмкости твёрдых тел через определитель вида | Е + —- К ) | , где Е • единичная матрица, а Ъ(к) • матрица полного взаимодействия» для нахождения которой использовались выведенные нами формулы.

С другой стороны, представляет интерес задача дальнейшего развития существующих методов расчёта функции распределения частот. В настоящее время известны методы, основанные на применении для вычисления функции распределения частот преобразо-* вания Лапласа и экспоненциального преобразования Фурье. Отсюда, используя значения матрицы полного взаимодействия Т) ♦ От~ крываются возможности применения и других интегральных преоб~ разований (Стильтьеса, синус и косинус преобразования Фурье и др.) с целью получения наиболее простых формул для вычислен ния термодинамических функций и функции распределения частот. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ РАБОТЫ. Предложенные методы открывают возможность теоретического расчёта термодинамических функций немолекулярных гфисталлов исходя из немногих, определённых на опыте величин, таких как упругие постоянные и предельная частота оптической ветви»

Рассмотрение общего подхода к проблемам расчёта колебательной части термодинамических функций твёрдых тел позволяет использовать богатый опыт, накопленный в разделе исследования колебаний молекул, для решения задач теоретического определеделения термодинамических функций твёрдых тел, таких» как, например» теплоёмкость.

Новые методы расчёта термодинамических функций твёрдых тел менее трудоёмки и требуют меньшего количества машинного времени, чем применяемые в настоящее время.

Ясно, что решение проблем, поставленных в диссертации, необходимо как для практических приложений» так и для дальней* шего понимания процессов, происходящих в кристаллах.

Материал, представленный в настоящей диссертации, расположен в следующем порядке:

В главе I даётся краткий исторический обзор и рассматриваются работы, посвящённые дальнейшему развитию теории колебания кристаллической решётки. ,

Заключение диссертации по теме «Другие cпециальности», Безумова, М.А.

выводы

Результаты, полученные в диссертации, можно резюмировать следующим образом:

1. Показана возможность использования теории молекулярных колебаний для получения дифференциальных уравнений, описывающих движение частиц в кристаллической решётке и выведены общие формулы, позволяющие вычислять коэффициенты матрицы полного взаимодействия кристаллов любой сингонии в декартовых координатах при применении модели чисто валентных сил. С помощью этих формул элементы матрицы полного взаимодействия выражаются через валентные силовые постоянные и геометрические параметры кристалла.

2. В приближении модели чисто валентных сил получены формулы для вычисления элементов матрицы полного взаимодействия кристаллических решёток типа алмаза и inS , с помощью которых можно находить эти элементы на основании двух силовых постоянных, а также получены соотношения между упругими постоянными кристалла.

3. На основании указанного в предыдущем пункте соотношения между упругими постоянными показано, что модель чисто валентных сил удовлетворительна для алмаза и Si , а для &€, и молекул

Ьп$ требуется при более точных расчётах вводить дополнительные силовые постоянные.

4. Разработана методика вычисления элементов матрицы полного взаимодействия кристаллов кубической сингонии для модифицированной схемы сил, в которой наряду с валентными силами учйтываются центральные силы между валентно-несвязанными атомами. Такая схема позволяет находить элементы матрицы полного взаимо-» действия по упругим постоянным и значению предельной частоты оптической ветви.

5. На основании теории молекулярных колебаний получена формула для вычисления теплоёмкости твёрдых тел через определитель вида | Е + ^.д, Ъ ( К J | t где Е ~ единичная матрица, а <й(к) - матрица полного взаимодействия.

Показаны преимущества полученной формулы по сравнению с формулой Тирринга.

6. Составлена программа для вычисления на ЭЦВМ логарифма оп*» ределителей матриц би Е +-т-^г^ (ic ) ) кристаллов кубической

I 12 т J' сингонии. Знание tn|E + Ъ( к) позволяет просто рассчитать термодинамические функции кристаллов.

7. С помощью указанных выше формул и программы на машине М-222 произведён расчёт теплоёмкости германия для пяти различных силовых схем. На основании сравнения с опытом установлено» что модифицированная схема сил может быть использована для расчёта термодинамических функций кристаллов типа алмаза и цинковой обманки .

8. Показана возможность переноса силовых постоянных, описыва» ющих силовое поле соответствующих связей молекул, в кристаллы на примере алмаза )• С помощью молекулярных силовых постоянных рассчитана дебаевская температура, а также изложен упро~ щённый метод расчёта теплоёмкости.

9. Предложена методика» позволяющая применять различные интегральные преобразования (Лапласа,Стильтьеса»Фурье) для расчёта функции распределения частот в твёрдом теле» показано преимущество применения преобразования Стильтьеса перед обычно используемым преобразованием Лапласа*

10. Путём двухкратного применения синус-преобразования Фурье получена формула, представляющая функцию распределения частот кристалла в виде определённого интеграла от функции» указанного выше определителя, а также получено интегральное представление свободной энергии.

Список литературы диссертационного исследования Безумова, М.А., 1983 год

1. Марадудин А., Монтролл Э., Вейс Дж. Динамическая теория кристаллической решётки в гармоническом приближении. М.: Мир, 1966-381с.

2. Маделунг О.М. Теория твёрдого тела. М.: Наука, 1980-416с.

3. Эйнштейн А. Собрание трудов, т.З. М.: Наука, 1966.

4. ВеЪуе P. Ann. Phys., £9, 789, 1912.

5. Born М., von Karraan Т. Phys. Zs., JJ3, 297, 1912.

6. Свердлов Л.M., КовнерМ.А., Крайнов Е.П. Колебательные спектры многоатомных молекул. М.: Наука, 1970.

7. Волькенштейн М.В., Грибов Л.А., Ельяшевич М.А., Степанов Б.И. Колебания молекул. М.: Наука, 1972.8i Маянц Л.С. Теория и расчёт колебаний молекул. М.: АН СССР, I960.

8. Зайцев Г.А. Новый метод нахождения колебательных частей термодинамических функций. Доклады АН СССР. 1954, 97, №5, 817-819.

9. Wulff G. Phys. Zs., 14, p.217, 1913.

10. Wulff G. Zs. f. Krist., 52, p.65, 1913.

11. Bragg W.H. , Bragg W.L. Proc. Roy. Soc., A 88, 428, 1913.

12. Bragg W.H., Bragg W.L. Proc. Roy. Soc., A 89, 246, 1913.

13. Born II., von Karraan T. Phys. Zs., 21, 15, 1913.

14. Born H., von Karraan T. Phys. Zs., H, 65, 1913.

15. Нокс P., Годц А. Симметрия в твёрдом теле. М.-.Наука, 1970.

16. Griineisen E., Goens P. Zs. f. Phys., 29, 141, 1924.

17. Hooton D., Phil Mag. Ser., 7, 422, 433, 1955, Z. Phys., 142, 42, 1955.

18. Raman C.V. Proc. Indian Acad. Sci. Bangalore, jQ, 1, 1941.

19. Zedermann W. Proc. Roy. Soc., A 182, 362, 1944.

20. Peierls R.E. Proc. Natl Inst. Sci. India, 20, 121, 1954.

21. Blackman M. Proc. Roy. Soc., A 148, 365, 384, 1934; A 149, 117, 1935.

22. Kellerman E.W. Phil. Trans. Roy. Soc. London, A 238, 513, 1940.

23. Iona Ш. Phys. Rev., 60, 822, 1941.

24. Porod W., Vogl P., Bauer G. J. Phys. Soc. Jap., Suppl A, 649, 1980.

25. Кипе K., Nielsen O.H. Comput Phys. Commun., 17.» N 4, 413, 1979.

26. Nielsen O.H., Jasv/al S.S. Comput. Phys. Commun., 2£, H 3, 269, 1982.

27. Smith H.M. J. Phil. Trans. Roy. Soc., London, 105, 1948.

28. Hsieh I.e. Journ. Chem. Phys.', 22, 306, 1954.

29. Porod W., Yogi P., Bauer G. J. Phys. Soc. Jap., 49, Suppl A, 649, 1980.

30. Merton L. Zs. Naturforsch., 13 a, 662, 1958.

31. Brockhause B.N., Ivengur P.K. Phys. Rev., JMM, 747, 1958.

32. Сирота Н.Н., Соколовский Т.Д. Поверхности равной частоты и спектры колебаний решётки алмаза, кремния. В сб.: Химическая связь в 1фисталлах. Минск.: Наука и техника, 1969, 299 - 303 с.

33. Сирота Н.Н., Орлова Н.С. Исследование динамики решётки германия методом теплового диффузного рассеяния рентгеновских лучей. В сб. Химическая связь в полупроводниках и полуметаллах. Минск.: Наука и техника, 1972, с. 319-322.

34. Hielsen О.Н., Weber W. Coraput Phys. Commim., J8, IT 1, 101, 1979.

35. Mont roll E.W. Journ. Chem. Phys., Ц, 481, 1943.

36. Mont roll E.W., Peaslee D.C. Journ. Chem. Phys., 12, 98, 1944.

37. Ъазс M., Lebowitz J. Phys. Rev., £6, 594, 1954.

38. Rosenstock H.B. Phys. Rev., .97, 290, 1955.

39. Houston W.V. Rev. Mod. Phys., 20, 161, 1948.

40. Mtsovieh U.U. Fiz. Met., 1., 23, 1958.

41. Mott IT.P., Jones H. The Theory of the Properties of Metals and Alloys, Hew York, 1958.

42. Born M., Lande A. Sitzber. Prense. Akad. Wise., 1048, 1918.

43. Born M., Lande A., Yerhandl. Dent. Phys. Ges., 20, 202, 210, 1918.

44. Madelung E. Phys. Zs., 524, 1918.

45. Evrald P.P. Ann. d. Phys., 6±, 253, 1921.

46. Maclagan Robert G.A.R. Chem. Phys. Lett., 82, IT 3, 501, 1981.

47. ITarayan Ramesh, Pramana J. Phys., Г7, IT 1 , 13, 1981.

48. KeHermann E.W. Phil. Trans. Roy. Soc., A 238, 513, 1940.

49. Kellermann E.W. Proc. Hoy. Soc., A 178, 17, 1941.

50. Yamashita J., Kurosawa T. Journ. Phys. Soc. Japan, 10, 610, 1955.

51. Dick B.G., Jr. Overhauser A.W. Phys. Rev., 112, 90, 1958.

52. Hani on I.E., Lav/son A.W. Phys. Rev., 133, 472, 1959.

53. Cochran Г/. Rep. Progr. Phys., 26, 1, 1963.

54. Cochran W. Adv. Phys., 9, 387, 1960.

55. Cochran W. Adv. Phys., JO, 401, 1961.

56. Машкевич B.C. Электрические, оптические и упругие свойства кристаллов типа алмаза. ЖЭТШ, 1957, №32, с.866.

57. Толпыго К.Б. Дальнодествутощие силы и уравнения динамики гомео-полярных кристаллов типа алмаза. Шизика твёрдого тела, 1961, 3, с.943.

58. Демвденко З.А., Кучер Т.И., Толпыго К.Б. Частоты и амплитуды колебаний атомов кристалла типа алмаза для волнового вектора, направленного по диагонали грани куба. Шизика твёрдого тела, 1962, 4, 104.

59. Кучер Т.И. Собственные частоты колебаний кремния и алмаза.-Шизика твёрдого тела, 1962, 4, с.992.

60. Landshoff R. Zs. Phys., 102, 201, 1936.

61. Landshoff R. Phys. Rev., 52, 246, 1937.

62. Абаренков И.В., Братцев В.Ш., Тулуб A.B. Неэмперический расчёт поляризуемостей ионов в окислах металлов. Шизика твёрдого тела, 1982, 24, PI, с.272.

63. S Murti Y V.G., Selvarajan T.V. Phys. status solidu, В 108, Н 2, 315, 1981.

64. Dim J., Yin M.T., Cohen Marvin L. Solid State Commun., 2L, Ж 6, 491, 1981.

65. Sommerfeld A. Zs. Phys., £7, 1, 43, 1928.

66. Thomas L.H. Proc. Cambr. Phil. Soc., 23, 542, 1927.

67. Fermi E. Zs. Phys., 48, 73, 1928.

68. Wigner E., Seitz P. Phys. Rev., 43, 804, 1933.

69. Wigner E., Seitz P. Phys. Rev., 46, 509, 1934.

70. Зейтц Ф. Современна теория твёрдого тела. М.: Наука, 1948.

71. Lenz W. Zs. Phys., 77, 713, 1932.

72. Jensen Н. Zs. Phys., 77, 722, 1932.

73. Khanno R.1T., Rathore R.P.S. Z. Uaturforsch., A 35, IT 9, 920, 1980.

74. Базаров И.П., Николаев П.Н. Корреляционная теория кристалла, М.: МГУ, 1981 232с.

75. Lowdin P.O. Journ. Chem. Phys., 19, 1570, 1579, 1957.

76. Dermit G. Phys. Rev., 127, 1110, 1962.

77. De Heer J., Paunez R. Journ. Chem. Phys., 39, 2314, 1963.

78. Paunez R. Molekular Orbitals in Chemistry, Physics and Biology, Hew York, 1964,

79. Грибов JI.А. Теория инфракрасных спектров полимеров. М.: Наука, 1977.

80. Yu Chane Hsich. Journ. Chem. Phys., 22, 2, 306-311, 1954.

81. РигинаИ.В., Зайцев А.А., Подгаецкая Р.И. О применении естественных координат при расчёте колебаний частиц в кристаллической решётке, Известия вузов, физика, 1979, И, с.87-91.

82. Tubino R., Piseri L. J. Phys., С 13, N 7, 1197, 1980.

83. Терентьева JI.M., Логачёв Ю.А., Мойжес Б.Я. Нецентральное взаимодействие в кристаллах и молекулах в модели валентных сил,- Физика твёрдого тела, 1972, 10, с.2957.

84. Kushwaha M.S. Phys. status solidi, В 98, IT 2, 623, 1980.

85. Singh B.D., Dayal B. Phys. Stat. Scl., J38, 141, 1970.

86. Cupta H.C., Bose G., Tripathi B. Journ. Phys. Chem. Colids., 1867, 1973.

87. Kushwaha M.S. IJuovo cim., В 60, 11 2, 187-200, 1980.

88. Van Camp P.E., Van Daren V.E., Devruse J.T. Phys. Semiconductors, Bristol London, 685-688, 1979.

89. Keating P.N. Phys. Rev., Vjjj, 637, 1966.

90. Thirring H. Phys. Zs., 1Д, 867, 1913; 15, 127, 180, 1914.

91. Shanks D.I. Math, and Phys., 21» 1» 1955.

92. Horten G.K., Schiff H. Proc. Roy. Soc., A 250, 248, 1959.

93. Domb C., Isenberg C. Proc. Phys. Soc., 79, 659, 1962.

94. Baker G.A., Gammel J.L., Wills J.G. Journ. Math. Anal, and Applications, 2, 405, 1961.

95. Salter L. Proc. Roy. Soc., A 233, 418, 1955.

96. De Launay J. Solid state Physics, v.2, 219, New York, 1956.

97. Лейбфрвд Г., Лвдвиг В. Теория ангармонических эффектов в кристаллах. М. :ИЛ, 1963.

98. Born М. Festschrift Acad. Wiss., Gottingen, Math. Phys. Kl., 1951.

99. Krishnan R.S., Srinivasan R., Devanarayanan S. Thermal Expansion of Crystals, Oxford e.a., Pergamon Press,1979, 305pp.

100. Волькенштейн M.B., Ельяшевич M.A., Степанов Б.И. Колебания молекул, т.1. М-Л.: Гостехиэдат, 1949.

101. Годнев И.Н., Зайцев А.А., Ригина И.В. О применении уравнений лагранжа с неисключё иными связями для построения теории колебаний молекул в зависимых координатах. Оптика и спектроскопия, 1965, 19 ,с.874-880.

102. Зайцев А.А., Безумова М.А. О составлении матрицы полного взаг-имодействия кристаллов при применении модели валентных сил. Депонирована редколлегией журнала Известия вузов СССР, химия и химическая технология. Деп. № 7722 73.

103. Зайцев А.А., Безумова М.А. О применении модели валентных сил при расчёте колебаний в кристалле с решёткой типа алмаза. Депонирована редколлегией журнала Известия зузов СССР, химия и химическая технология, Деп W 7723 73.

104. Jamas D. St. Journ. Phys. and Chera. Solids, v.5, p.337-341, 1958.

105. Физико-химические свойства полупроводниковых веществ. Справочник, М.: Наука 1979.

106. Кучер Т.И., Нестеренко Б.А., Томосевич О.Ф. Теоретическое и экспериментальное определение термодинамических функций кремния, -Шизика твёрдого тела, 1981, 26, №4, с.590-593.

107. НО. Финт А. Применение длинноволнового ИК спектра в химии. М.: Наука, 1973.

108. Yoshinaga Н. Phys. Rev., 100, 753, 1955.

109. Slutsty L.J., Garlang C.W. Phys. Rev., 113, 167, 1959.

110. Brockhause B.H., Ivengar P.K. Phys. Rev., 111, 747, 1958.

111. Безумова M.А., Зайцев A.A., Журавлёва JI.H. Расчёт теплоёмкости германия по пяти силовым схемам. Известия вузов СССР, физика, 1977, 5, 57.

112. Краткий справочник физико-химических величин. Под ред. Мищенко К.П. и Равделя А.А. М.: Химия, 1967,412с.

113. Безумова М.А., Зайцев А.А. О некоторых методах расчёта теплоёмкости кристаллов без нахождения спектра частот. Известия вузов СССР, физика, 1974, 5, 135.

114. Безумова М.А., Зайцев А.А. Расчёт теплоёмкости алмаза с помощью метода следов при использовании молекулярных силовых постоянных. -Труды Ивановского химико-технологического института, 1974, 17, 106.

115. Зайцев А.А., Лапин В.А. К вычислению статистической суммы и теплоёмкости твёрдого тела. Журнал физической химии, 1966, 7, 1501 -1507.

116. Годнев И.Н. Вычисление термодинамических функций по молекулярным данным. М.: Гостехиздат, 1956,275с.

117. Маделунг Э. Математический аппарат физики. М.: Наука, 1968.

118. Flubacher P., Leadbetter A.J., Morrison J.A. The Phyloso-phical Magazine, 4, II 39, 273-294, 1959.

119. Диткин В.A., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Наука, 1974.

120. Зайцев А.А. О вычислении суммы по состояниям методом следов. -Известия вузов СССР» физика, 1962, 2, с.70-76.

121. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1975.

122. Бейтмен Г., Эрцейн А. Таблицы интегральных преобразований, Т. I, 2. М.: Наука, 1969.

123. Лаппо-Данилевский И.А. Применение функции от матриц к теории линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Тех-нико-теоретич. лит., 1957.

124. Левич В.Г. Курс теоретической физики, т.1. М.:Наука, 1969.

125. Зайцев А.А., Безумова М.А. Использование интегральных преобразований для вычисления функции распределения частот в твёрдом теле.-Известия вузов СССР, Шизика, 1974, 7, 160.

126. De Sorbo W. Journ. Chem. Phys., 5, 876-880, 1953.

127. Chelam, Proc. Ind. Acad. Sci., 18, 257, 1943.

128. Безумова М.А., Журавлёва Л.H., Зайцев А.А. О применимости схемы межчастичного взаимодействия Юри-Брэдли к кристаллам типа цинковой обманки. Известия вузов СССР, физика, 1982, 2,125.

129. Соколовский Т.Д. Расчёт частотного спектра алмаза. В сб. Химическая связь в кристаллах и их физические свойства, т.1. Минск.: Наука и техника, 1976, с. 134-139.