Проекционно-операторные методы синтеза динамических систем с ограничениями состояний и управлений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, доктор наук Ефремов Артем Александрович

• Ефремов Артем Александрович
• доктор наук
• 2026

Оглавление диссертации доктор наук Ефремов Артем Александрович

Введение

Глава 1. Проекционные конечномерные операторы

оптимизации для синтеза систем стабилизации программных движений динамических объектов

1.1 Математические задачи стабилизации положения равновесия и программных движений динамических объектов

1.2 Проекционные операторы решения задач стабилизации положения равновесия

1.3 Проекционные операторы решения обобщенных задач стабилизации программных движений и положения равновесия

1.4 Проекционные операторы решения задач минимизации и максимизации линейного функционала с ограничениями

1.5 Выводы по главе

Глава 2. Методы синтеза локально и интервально допустимых управлений программными движениями нелинейных стационарных динамических объектов

2.1 Методы синтеза локально допустимых управлений программными движениями линейных стационарных динамических объектов

2.1.1 Синтез локально допустимых управлений на основе проекционного оператора решения задач стабилизации положения равновесия

2.1.2 Достаточные условия устойчивости динамических систем управления, синтезированных на основе проекционного оператора решения задач стабилизации положения равновесия

2.1.3 Синтез локально допустимых управлений на основе проекционного оператора решения обобщенных задач стабилизации программных движений

2.1.4 Достаточные условия устойчивости динамической системы управления, синтезированной на основе обобщенного проекционного оператора

2.2 Методы синтеза локально допустимых управлений программными движениями нелинейных стационарных динамических объектов

2.2.1 Синтез локально допустимых управлений на основе проекционного оператора решения задач стабилизации положения равновесия

2.2.2 Достаточные условия устойчивости нелинейной динамической системы управления в области притяжения, синтезированной на основе проекционного оператора решения задач стабилизации положения равновесия

2.2.3 Синтез локально допустимых управлений на основе проекционного оператора решения обобщенных задач стабилизации программных движений

2.2.4 Достаточные условия устойчивости динамической системы управления, синтезированной на основе проекционного оператора решения обобщенных задач стабилизации программных движений

2.3 Методы синтеза интервально допустимых управлений программных движений линейных стационарных динамических объектов

2.3.1 Синтез интервально допустимых управлений на основе проекционного оператора решения задач стабилизации положения равновесия

2.3.2 Синтез интервально допустимых управлений на основе проекционного оператора решения обобщенных задач стабилизации программных движений

2.4 Методы синтеза интервально допустимых управлений программными движениями нелинейных стационарных динамических объектов

2.4.1 Синтез интервально допустимых управлений на основе проекционного оператора решения задач стабилизации положения равновесия

2.4.2 Синтез интервально допустимых управлений на основе проекционного оператора решения обобщенных задач стабилизации программных движений

2.5 Выводы по главе

Глава 3. Проекционно-операторные методы синтеза

динамических систем управления объектами высокой размерности с ограничениями векторов прогнозов состояний и управлений

3.1 Блочно-диагональные проекционные операторы решения

конечномерных задач математического программирования

3.1.1 Блочно-диагональные операторы нелинейных динамических объектов управления высокой размерности

3.1.2 Свойства блочно-диагональных проекционных операторов

3.1.3 Блочно-диагональный проекционный оператор решения задач стабилизации положения равновесия

3.1.4 Достаточные условия устойчивости нелинейной

динамической системы управления высокой размерности в области притяжения, синтезированной на основе оператора решения задач стабилизации положения

равновесия

3.1.5 Блочно-диагональный проекционный оператор решения обобщенных задач стабилизации программных движений

и положения равновесия

3.1.6 Достаточные условия устойчивости нелинейной динамической системы управления высокой размерности в области притяжения, синтезированной на основе оператора решения обобщенных задач стабилизации программных движений

3.2 Структурно-инвариантные проекционные операторы решения

конечномерных задач математического программирования

3.2.1 Структурно-инвариантные операторы нелинейных

динамических объектов управления высокой размерности

3.2.2 Структурно-инвариантный проекционный оператор решения задач стабилизации положения равновесия

3.2.3 Структурно-инвариантный проекционный оператор решения обобщенных задач стабилизации программных движений и положения равновесия

3.3 Выводы по главе

Глава 4. Проекционные операторы решения задач

стабилизации программных движений и положения равновесия электроэнергетических систем

4.1 Операторы на основе уравнений синхронного генератора в

фазных координатах

4.2 Операторы на основе именованных уравнений Горева-Парка

4.2.1 Операторы динамики электромагнитных процессов

4.2.2 Операторы совместной динамики электромагнитных и приближенных электромеханических процессов

4.3 Операторы на основе безразмерных уравнений Горева-Парка

4.3.1 Операторы динамики электромагнитных процессов

4.3.2 Операторы совместной динамики электромагнитных и приближенных электромеханических процессов

4.3.3 Операторы совместной динамики электромагнитных и электромеханических процессов

4.4 Операторы на основе общих уравнений Горева-Парка

4.4.1 Операторы динамики электромагнитных процессов

4.4.2 Операторы совместной динамики электромагнитных и приближенных электромеханических процессов

4.4.3 Операторы совместной динамики электромагнитных и электромеханических процессов

4.5 Блочно-диагональные проекционные операторы

электроэнергетических систем

4.5.1 Блочно-диагональные проекционные операторы на

основе безразмерных уравнений Горева-Парка

4.5.2 Проекционные операторы электроэнергетических систем

на основе общих уравнений Горева-Парка

4.6 Структурно-инвариантые проекционные операторы

электроэнергетических систем

4.6.1 Структурно-инвариантные проекционные операторы на основе безразмерных уравнений Горева-Парка

4.6.2 Структурно-инвариантные проекционные операторы на основе общих уравнений Горева-Парка

4.7 Выводы по главе

Глава 5. Информационные модели динамических систем

высокой размерности

5.1 Инструментальная платформа синтеза информационных

моделей динамических систем

5.2 Синтез информационной модели динамической системы

5.2.1 Информационный модуль вычисления параметров оператора динамики электромагнитных процессов

5.2.2 Информационный модуль вычисления проекционного оператора решения обобщенных задач стабилизации программных движений

5.2.3 Информационный модуль управления приближенными электромеханическими процессами

5.2.4 Информационный модуль моделирования нагрузки

5.2.5 Вычислительный эксперимент

5.3 Синтез информационной модели динамической системы на

основе блочно-диагональных операторов

5.3.1 Структурная схема информационной модели

5.3.2 Информационный модуль моделирования линий электропередачи

5.3.3 Вычислительный эксперимент

5.4 Синтез информационной модели динамической системы на

основе структурно-инвариантных операторов

5.4.1 Структурная схема информационной модели

5.4.2 Информационный модуль управления приближенными электромеханическими процессами

5.4.3 Информационный модуль моделирования нагрузки

5.4.4 Информационный модуль интегрирования структурно-инвариантного дифференциального

оператора

5.4.5 Вычислительный эксперимент

5.5 Синтез информационной модели динамической системы

высокой размерности

5.5.1 Структурная схема информационной модели

5.5.2 Информационный модуль вычисления структурно-инвариантного проекционного оператора

5.5.3 Информационный модуль моделирования нагрузки

5.5.4 Вычислительный эксперимент

5.6 Выводы по главе

Заключение

Список сокращений и условных обозначений

Список литературы

Список рисунков

Список таблиц

Приложение А. Значения коэффициентов в общих уравнениях

Горева-Парка

Приложение Б. Технические данные синхронных

турбогенераторов

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Проекционно-операторные методы синтеза динамических систем с ограничениями состояний и управлений»

Введение

Актуальность темы исследования. «Российская Федерация в настоящее время находится в процессе перехода к цифровой энергетике» [1—3]. «Отличительной особенностью цифровой энергетики является возможность организовывать энергообмен распределённой генерации, внедрение системы накопления энергии, использование устройств и комплексов с регулируемым электропотреблением» |4 7|.

В соответствии с Федеральным законом от 26.03.2003 N 35-Ф3 «Об электроэнергетике« (с изменениями на 25 октября 2024 года) определены понятия:

- «перспективная расчетная модель электроэнергетической системы — математическое описание электроэнергетической системы, сформированное с использованием специализированных программно-технических средств на основе цифровой информационной модели электроэнергетической системы и предназначенное для выполнения расчетов и анализа перспективных электроэнергетических режимов, балансовой надежности, устойчивости или токов короткого замыкания;... »

- «цифровая информационная модель электроэнергетической системы — представленное в унифицированном электронном машиночитаемом виде множество взаимоувязанных сведений об электроэнергетической системе (включая фрагменты цифровых информационных моделей объектов электроэнергетики, необходимые для описания электроэнергетической системы), однозначно идентифицирующих и описывающих электроэнергетическую систему и входящие в нее объекты, а также связи между ними;...» [8].

Указанные модели электроэнергетических систем применяются для целей перспективного развития электроэнергетики, определяемых постановлением Правительства Российской Федерации от 30 декабря 2022 г. N 2557 «Об утверждении Правил формирования и поддержания в актуальном состоянии цифровых информационных моделей электроэнергетических систем и перспективных расчетных моделей электроэнергетических систем для целей перспективного развития электроэнергетики» [9].

Для обеспечения устойчивой параллельной работы электроэнергетических систем необходимо решение комплекса задач управления с учетом источников угроз энергетической безопасности [10; 11]. Источниками угроз могут

являться ограничения генерирующих и передающих ресурсов, хаотические режимы, соответствующие возникновению каскадных аварий в электроэнергетических системах и др [12; 13].

Для решения указанных задач используются линейные дифференциальные и квазистационарные модели (операторы) электромеханических процессов [12; 14 17|. Проблема высокой размерности объектов, решается приближенным описанием процессов методами динамического «эквивалентирования» на основе замещения исходной сложной модели электроэнергетической системы более простой моделью, тождественной по заданным свойствам оригиналу [18—21]. К сожалению, существующие модели и методы не могут в полной мере обеспечить решение комплекса задач управления единой энергетической системы [22].

На современном этапе синтеза цифровых информационных моделей электроэнергетических систем требуется разработка перспективных расчетных моделей в форме нелинейных стационарных разностных операторов динамических систем управления, синтезированных на основе адекватных методов для сложных динамических объектов с большим числом распределенных генерирующих агрегатов. Указанные методы должны учитывать свойства электромагнитных и электромеханических процессов электроэнергетических систем, а также ограничения на векторы состояний и управлений.

Важно отметить, что электромагнитные процессы электроэнергетических систем качественно задаются билинейными уравнениями Горева-Парка [23—26], имеющими общую структуру с уравнениями Лоренца, описывающими динамический хаос [27; 28]. Анализ хаотических режимов электроэнергетических систем приведен в работах [29—31]. Ограничения определяются нормативными документами [10] и требованиями к физическим процессам в электроэнергетических системах.

Из анализа следует, что синтез адекватных методов управления для динамических систем, обеспечивающих устойчивое энергоснабжения и качество электроэнергии электроэнергетических систем с учетом электромагнитных процессов, высокой размерности объектов управления и ограничений на векторы состояний и управлений, имеет важное хозяйственное значение.

Тема диссертационной работы соответствует Стратегии научно-технического развития Российской Федерации, утверждённой Указом Президента Российской Федерации от 28 февраля 2024 г. № 145 и приоритетному направлению в рамках этой Стратегии: «переход к передовым технологиям

проектирования и создания высокотехнологичной продукции, основанным на применении интеллектуальных производственных решений, роботизированных и высокопроизводительных вычислительных систем, новых материалов и химических соединений, результатов обработки больших объемов данных, технологий машинного обучения и искусственного интеллекта».

Степень научной разработанности проблемы. Методы синтеза систем автоматического управления ориентированы на различные классы моделей динамических объектов управления, представленных в форме Коши. Для линейных стационарных объектов используется классический метод функций A.M. Ляпунова и его обобщения [32; 33]. Для стационарных динамических объектов управления, заданных операторами с аддитивной правой частью в виде суммы линейной и нелинейной частей используется метод Ляпунова-Пуанкаре, основанный на анализе асимптотики [33—35]. Для объектов управления, описываемых дифференциальными уравнениями с линейной нестационарной правой частью используется обобщение метода A.M. Ляпунова, полученное К.П. Персидским [36]. Существенное развитие метода функций Ляпунова получено в работах И.Г. Малкина и О. Перрона [37—39].

Казанская научная школа, основанная академиком АН СССР Н.Г. Че-таевым, внесла существенный вклад в развитие методов теории синтеза динамических систем управления [40]. Академик АН СССР В.М. Матросов разработал метод векторных функций Ляпунова, применяемый им для исследования и синтеза больших динамических систем управления |41 43|. Развитие метода далее было выполнено учениками В.М. Матросова - акад. РАН С.Н. Васильевым, Р.И. Козловым, А.И. Маликовым и многими другими |44 48|.

В развитие методов оптимального управления внесли большой вклад российские ученые В.Г. Болтянский [49], Р.В. Гамкрелидзе [49], А.А. Красовский [50], Н.Н. Красовский [51], A.M. Летов [52], А.И. Лурье [53], Е.Ф. Мищенко [49], Н.Н. Моисеев [54], Л.С. Понтрягин [49], А.А. Фельдбаум [51] и зарубежные исследователи М. Атанс [55], Р. Беллман [56], Э.Б. Ли [57], Р.Ф. Стенгель [58], П.Л. Фалб [55]и многие др.

Далее задачи стабилизации программных движений и положения равновесия динамических объектов выделены в отдельные классы задач управления [59]. Для задач указанного класса предполагается, что задано некоторое программное движение и необходимо синтезировать такой закон управление

и

объектом, при котором программное движение будет устойчивым по Ляпунову [60; 61].

Задачи стабилизации программных движений определяют актуальные прикладные задачи синтеза линейных и нелинейных динамических систем управления [62^66]. Например, в работе [67] решается задача посадки летательного аппарата без шасси на подвижную платформу. В [68] осуществляется координация движений модулей механизмов относительного манипулирования с тремя степенями свободы. В [69] решается задача синтеза программных движений квадрокоптера с тросовой подвеской переменной длины для транспортировки грузов. Для решения указанных задач применяются барьерные функции Ляпунова [70], методы обратных задач динамики [71] и др. |72 74|.

Из множества различных методов решения задач стабилизации программных движений и положения равновесия динамических объектов можно отметить проекционно-операторные методы, разработанные проф. В.Н. Козловым [16; 17; 75]. Результаты применения проекционно-операторных методов иллюстрируют их эффективность для синтеза управлений линейными стационарных динамическими объектами с ограничениями [12; 13].

Развитие и расширение области применения указанных методов в диссертации позволило разработать обобщенные операторы программных движений и стабилизации положения равновесия динамических объектов управления высокой размерности.

Цель и задачи исследования. Целью диссертационного исследования является синтез перспективных расчетных и цифровых информационных моделей электроэнергетических систем, основанных на проекционно-операторных методах решения задач стабилизации программных движений и положений равновесия, учитывающих электромагнитные процессы в большом числе распределенных генерирующих агрегатов. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующий комплекс задач:

1. Сформулировать математические постановки задач стабилизации программных движений и положения равновесия объектов управления с функционалами линейного и квадратичного типов при ограничениях-равенствах и ограничениях-неравенствах на векторы их состояний.

2. Разработать методы синтеза проекционных операторов для задач стабилизации программных движений и/или положения равновесия объектов

управления с ограничениями-равенствами и ограничениями-неравенствами на векторы состояний.

3. Разработать методы синтеза локально и интервально допустимых управлений для стабилизации программных движений и/или положения равновесия линейных и нелинейных стационарных динамических объектов управления с ограничениями-равенствами и ограничениями-неравенствами на векторы прогнозов состояний (выходов) и управлений.

4. Синтезировать блочно-диагональные и структурно-инвариантные разностные операторы нелинейных стационарных динамических объектов управления высокой размерности для обеспечения целей управления.

5. Разработать методы синтеза локально допустимых управлений для стабилизации программных движений и положения равновесия нелинейных стационарных динамических объектов управления высокой размерности с ограничениями-равенствами и ограничениями-неравенствами на векторы прогнозов состояний и управлений.

6. Синтезировать перспективные расчетные и цифровые информационные модели электроэнергетических систем в форме блочно-диагональных и структурно-инвариантных проекционных операторов решения задач стабилизации программных движений и положения равновесия динамических объектов с ограничениями прогнозов состояний и управлений.

Объекты исследования. Нелинейные стационарные динамические объекты управления высокой размерности с ограничениями-равенствами и ограничениями-неравенствами на векторы прогнозов состояний и управлений.

Предмет исследования. Проекционно-операторные методы синтеза управлений для стационарных нелинейных динамических объектов управления высокой размерности с ограничениями-равенствами и ограничениями-неравенствами на векторы прогнозов состояний и управлений.

Методы исследования. В работе использованы методы линейной алгебры, теории дифференциальных уравнений, теории математического программирования, теории автоматического управления, методы системного и функционального анализа. Вычислительные эксперименты выполнены с помощью математических и информационных моделей нелинейных стационарных динамических объектов управления, синтезированных в среде динамического моделирования технических систем БтЫТесЬ.

Научная новизна. Заключается в развитии и расширении области применения проекционно-операторных методов оптимизации для синтеза управлений нелинейными динамическими объектами управления высокой размерности с ограничениями на векторы прогнозов состояний и управлений. Разработанные в диссертационной работе проекционно-операторные методы синтеза динамических систем управления нелинейными объектами высокой размерности с ограничениями-равенствами и ограничениями-неравенствами на векторы прогнозов состояний и управлений, являются новыми в теории автоматического управления.

Основные научные результаты диссертации.

1. Сформулированы математические постановки обобщенных конечномерных задач стабилизации программных движений и положения равновесия объектов управления с ограничениями-равенствами и ограничениями-неравенствами на векторы состояний (глава 1; п. 2 паспорта специальности 2.3.1).

2. Синтезированы проекционные операторы решения обобщенных конечномерных задач стабилизации программных движений и/или положения равновесия объектов управления с ограничениями-равенствами и ограничениями-неравенствами на векторы состояний (глава 1; п. 1 паспорта специальности 2.3.1).

3. Синтезированы локально допустимые управления для стабилизации программных движений и/или положения равновесия нелинейных стационарных динамических объектов с ограничениями-равенствами и ограничениями-неравенствами на векторы прогнозов состояний и управлений (глава 2; п. 4 паспорта специальности 2.3.1).

4. Синтезированы интервально допустимые управления для стабилизации программных движений и/или положения равновесия нелинейных стационарных динамических объектов с ограничениями-равенствами и ограничениями-неравенствами на векторы прогнозов выходов и управлений (глава 2; п. 4 паспорта специальности 2.3.1).

5. Определены достаточные условия устойчивости в области притяжения стационарных нелинейных динамических систем управления с ограничениями-равенствами и ограничениями-неравенствами на векторы прогнозов состояний (выходов) и управлений (глава 2; п. 1 паспорта специальности 2.3.1).

6. Синтезированы блочно-диагональные и структурно-инвариантные проекционные операторы для решения задач стабилизации программных движе-

ний и положения равновесия нелинейных динамических объектов управления высокой размерности с ограничениями-равенствами и ограничениями-неравенствами на векторы прогнозов состояний и локально допустимых управлений (глава 3; п. 5, п. 7, п. 8 паспорта специальности 2.3.1).

7. Разработаны перспективные расчетные модели электроэнергетических систем в форме блочно-диагональных и структурно-инвариантных проекционных операторов, синтезированных с учетом совместной динамики электромагнитных и электромеханических процессов (глава 4; п. 1 паспорта специальности 2.3.1).

8. Синтезированы цифровые информационные модели для стабилизации программных движений и положения равновесия электроэнергетических систем высокой размерности с ограничениями-равенствами и ограничениями-неравенствами на векторы прогнозов состояний и локально допустимых управлений (глава 5; п. 5, п. 7, п. 8 паспорта специальности 2.3.1).

Соответствие паспорту специальности. Работа соответствует специальности 2.3.1. «Системный анализ, управление и обработка информации, статистика» по пунктам:

1. Теоретические основы и методы системного анализа, оптимизации, управления, принятия решений, обработки информации и искусственного интеллекта.

2. Формализация и постановка задач системного анализа, оптимизации, управления, принятия решений, обработки информации и искусственного интеллекта.

4. Разработка методов и алгоритмов решения задач системного анализа, оптимизации, управления, принятия решений, обработки информации и искусственного интеллекта.

5. Разработка специального математического и алгоритмического обеспечения систем анализа, оптимизации, управления, принятия решений, обработки информации и искусственного интеллекта.

7. Методы и алгоритмы структурно-параметрического синтеза и идентификации сложных систем.

8. Теоретико-множественный и теоретико-информационный анализ сложных систем.

Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая значимость результатов диссертации заключается в развитии и расширении

области применения проекционно-операторных методов для решения задач стабилизации программных движений и положений равновесия нелинейных динамических объектов управления высокой размерности с ограничениями-равенствами и ограничениями-неравенствами на векторы прогнозов состояний и управлений.

Практическая значимость результатов работы заключается в реализации полученных в диссертации теоретических результатов в виде научно обоснованной методологии синтеза систем управления сложными электроэнергетическими системами высокой размерности с ограниченными ресурсами.

Проекционно-операторные методы синтеза динамических систем управления программными движениями могут быть предложены для решения задач управления беспилотными летательными аппаратами. Позволяют оптимизировать широкий спектр производственных процессов и снизить влияние человеческого фактора на принятия технических и организационных решений в промышленности. Полученные результаты могут применяться для разработки цифровых информационных моделей управления и стабилизации плазменного шнура сферического токамака. Указанные возможности применения подтверждаются актами внедрения и использования от ООО «КТ-Сегмент», ООО «Адакта», ФТИ им Иоффе.

Достоверность. Обоснована адекватностью математических постановок и операторов решения задач управления, корректными доказательствами лемм, следствий и утверждений, корректностью проведенных математических преобразований, дополнительно проиллюстрированных результатами вычислительных экспериментов, согласующимися с теоретическими результатами.

Апробация работы. Основные теоретические и практические результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на 34 международных и всероссийских научных конференциях: XIX Международная научно-практическая конференция «Системный анализ в проектировании и управлении» 8АЕС-2015 (Санкт-Петербург, 2015), Международный научный семинар по обратным и некорректно поставленным задачам (Москва, 2015), Международная научная конференция «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения VI» ОТНА-2016 (Ростов-на-Дону, 2016), XXIX Международная научная конференция «Математические методы в технике и технологиях» ММТТ-29 (Санкт-Петербург, 2016), «Информационные технологии в управлении» ИТУ-2016 (Санкт-Петер-

бург, 2016), Международная научная конференция «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения VII» ОТНА-2017 (Ростов-на-Дону, 2017), XXX Международная научная конференция «Математические методы в технике и технологиях» ММТТ-30 (Санкт-Петербург, 2017), XI Международная научная конференция «Аналитическая механика, устойчивость и управление» (Казань, 2017), 10-я Всероссийская Мультиконференция по проблемам управления МКПУ-2017 (Геленджик, 2017), Международная научная конференция «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения VIII» ОТНА-2018 (Ростов-на-Дону, 2018), XXII Международная научно-практическая конференция «Системный анализ в проектировании и управлении» SAEC-2018 (Санкт-Петербург, 2018), 11-й Российская мультиконференция по проблемам управления РМКПУ-2018 (Санкт-Петербург, 2018), Международная научная конференция ММЕТ NW 2018 (Санкт-Петербург, 2018), 5-я Международная конференция «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования», посвягцённая 95-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН, академика Европейской академии наук Л.Д. Кудрявцева (Москва, 2018), XIII Всероссийское совещание по проблемам управления, посвященное 80-летию Института проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН (Москва, 2019), International Conference Cyber-Physical Systems and Control CPSC'2019 (Санкт-Петербург, 2019), 12-я Мультиконференция по проблемам управления МКПУ-2019 (Геленджик, 2019), XVII Санкт-Петербургской международной конференции «Региональная информатика РИ-2020 (Санкт-Петербург, 2020), 3-я Мультиконференция по проблемам управления МКПУ-2020 (Санкт-Петербург, 2020), 13th Multiconference on Control Problems MCCP 2020 (Санкт-Петербург, 2021), XXV Международная научно-практическая конференция «Системный анализ в проектировании и управлении» SAEC-2021 (Санкт-Петербург, 2021), XXVI Международная научно-практическая конференция «Системный анализ в проектировании и управлении» SAEC-2022 (Санкт-Петербург, 2022), XXVII Международная научно-практическая конференция «Системный анализ в проектировании и управлении» SAEC-2023 (Санкт-Петербург, 2023).

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 63 печатных изданиях, 13 из которых изданы в журналах, рекомендованных

ВАК, 11 — в периодических научных журналах, индексируемых Web of Science и Scopus, 34 и трудах конференций и тезисах докладов.

Личный вклад. Все выносимые на защиту научные результаты получены соискателем лично. Из совместных работ в диссертацию включены только те результаты, которые принадлежат непосредственно автору.

На защиту выносятся:

1. Проекционные операторы решения задач стабилизации программных движений и положения равновесия динамических объектов (глава 1).

2. Проекционно-операторные методы синтеза локально и интервально допустимых управлений программными движениями нелинейных стационарных динамических объектов управления (глава 2).

3. Проекционно-операторные методы синтеза динамических систем управления объектами высокой размерности с ограничениями векторов прогнозов состояний и управлений (глава 3).

4. Перспективные расчетные модели электроэнергетических систем в форме блочно-диагональных и структурно-инвариантных проекционных операторов (глава 4).

5. Цифровые информационные модели, реализующие блочно-диагональные и структурно-инвариантные проекционные операторы решения задач стабилизации программных движений и положения равновесия электроэнергетических систем высокой размерности (глава 5).

6. Результаты вычислительных экспериментов, иллюстрирующие корректность разработанных методов синтеза динамических систем управления, алгоритмов, математических и информационных моделей (главы 1 и 5).

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения и 2 приложений. Полный объём диссертации составляет 290 страниц, включая 91 рисунок и 5 таблиц. Список литературы содержит 281 наименование.

Глава 1. Проекционные конечномерные операторы оптимизации для синтеза систем стабилизации программных движений

динамических объектов

«Оптимизация — процесс вычисления экстремума (глобального максимума или минимума) функционалов для выбора оптимального варианта из заданного множества возможных» [76—79]. Идеи оптимизации прослеживаются в работах Ж.Л. Лагранжа [80; 81], A.A. Маркова [82; 83], И. Ньютона[84], П. Ферма [85; 86], Ж. Фурье [87], П.Л. Чебышева [88], Л. Эйлера [89—91] и др. [92—94].

Прорывные идеи теории оптимизации принадлежат Л.В. Канторовичу [95—101] и Дж. Данцигу [102; 103]. Дальнейшее развитие теории оптимизации связано с фамилиями отечественных ученых Н.И. Ахиезера [104], В.Г. Болтянского [49; 105], Е.Г. Гольштейна [106—108], В.Н. Козлова [16; 109; 110], М.Г. Крейна [83], К.А. Лурье [111], H.H. Моисеева [112; 113], A.A. Первозван-ского [114], Б.Т. Поляка [115—117], Л.С. Понтрягина [49; 105], Д.Б. Юдина [106; 107]. Так же необходимо упомянуть иностранных ученых Р. Беллмана [56; 118], X. Куна [119], Э. Полака [120], А. Таккера [119] внесших вклад в развитие теории.

В главе 1 сформулирован комплекс задач конечномерного математического программирования для синтеза управлений на основе операторов условной максимизации или минимизации квадратичных и линейных функционалов с ограничениями равенствами и неравенствами. Синтезированы аналитические проекционные операторы для решения указанных задач управления.

1.1 Математические задачи стабилизации положения равновесия и программных движений динамических объектов

Как отмечено во введении, методы синтеза систем автоматического управления ориентированы на различные классы моделей динамических объектов управления, представленных дифференциальными операторами в форме Коши.

Пусть линейный стационарный дифференциальный оператор в форме Ко-ши имеет вид:

x' = Лжх + Bu,x (0) = x0, 0 ^ t < T,t G R1,

m , () 0, T , (1.1)

x = [xi,x2,...,xnf G Rn, u = [ui,u2,...,umf G RmA G Rnxn, B G Rnxm

«Численное решение (интегрирование) задачи (1.1) сводится к нахождению последовательности векторов x1,x2,...,xn, аппроксимирующих истинное решение x (t) в дискретные моменты модельного времени t1,t2,...,t^ » [121] и определяет разностный стационарный оператор: .

xk+i = f (tk ,xk ) = Hxfc + Fuk, x^o = xo, = [xi,X2,...,Xn]T G Rn, Uk = [ui,U2,...,Un]T G Rm,H G Rnxn, F G Rnxm.

Далее выполнено преобразование разностного оператора к структуре линейного многообразия. По определению [122] множество E в линейном пространстве E — линейное многообразие (линейное множество), если для любых x,y G E и любых скал яров Л,^ G Ri (Л,^ G C^ линейная комбинация элементов Àx + ц,у G E, причем E может не содержать нулевой элемент.

Преобразование разностного оператора (1.2) к линейному многообразию выполняется перенесом матрицы и вектора управления в левую часть разностного оператора с выделением обобщенного вектора zk

[E | —F]

= Hx k

хк+1

и

Таким образом, линейное многообразие для задач конечномерного математического программирования определено в виде:

= Ьк, (1.3)

В (1.3) введены следующие обозначения: = [х к+11 и к]Т С R(n+т) — вектор прогнозов состояний-управлений; Л = [Е | —Е] С Rnx(n+т) — оператор линейного многообразия, определяющий объект управления;

Ьк = Нхк С Rn — вектор правой части линейного многообразия.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Ефремов Артем Александрович, 2026 год

Список литературы

1. Кивчун O.P. Методы и модели управления электропотреблением в изолированной энергосистеме на основе векторного рангового анализа: диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук: 2.3.1 [Текст] / Кивчун O.P. — Калининград, 2024. — С. 451.

2. Постановление Правительства Российской Федерации от 21.03.2022 № 431 «О внесении изменений в государственную программу Российской Федерации «Развитие энергетики» [Электронный ресурс]. — М.:Правительство РФ: [сайт], 2022. 30 с. URL: http://government.ru/docs/all/140043/ (дата обр. 09.10.2025).

3. Федеральный закон "Об энергосбережении и повышении энергетической эффективности в Российской Федерации 261-ФЗ [принят Государственной думой 11 ноября 2009 года: одобрен Советом Федерации 18 ноября 2009 года, с изменениями на 21 декабря 2021 года, редакция, действующая с 1 января 2023 года] [Электронный ресурс]. — М.:МТУ Ростехнадзор: [сайт], 2009. — 52 с. — URL: http://mos.gosnadzor.ru/reception/faq/261-%D0%Â4%D0%97.pdf (дата обр. 09.10.2025).

4. Гнатюк В. И. Имитационное моделирование объектов системы технического обеспечения регионального электротехнического комплекса [Текст] / Гнатюк В.И., Дорофеев С.А., Кивчун O.P. // Вестник БФУ им. И.Канта. Сер.: Физико-математические и технические науки. — 2017. — Л" 1. - С. 59 69.

5. Модели и методы прогнозирования электропотребления при управлении объектами регионального электротехнического комплекса [Текст] / Гнатюк В.И. [и др.] // Математическое моделирование. — 2017. — Т. 29, Л" 5. - С. 109—121.

6. Кивчун O.P. Режимное нормирование электропотребления объектов региональной электротехнического комплекса на основе векторного рангового анализа [Текст] / Кивчун O.P. // Промышленная энергетика. — 2023. — Л" 4. - С. 48 58.

7. Гнатюк В.Н. Обоснование качества управления электропотреблением регионального электротехнического комплекса [Текст] / Гнатюк В.И., Кивчун O.P. // Промышленная энергетика. — 2024. — № 5. — С. 13—18.

8. «Об электроэнергетике» (с изменениями на 25 октября 2024 года) : [фе-дер. закон: принят Гос. Думой 21 фев. 2003 г. Одобрен Советом Федерации 12 мар. 2003 г.] [Электронный ресурс]. — М.:АО «СО ЕЭС», 2003. — 172 с. — URL: https://www.so-ups.ru/fileadmin/files/laws/fz35_260303.pdf (дата обр. 20.10.2025).

9. «Об утверждении правил формирования и поддержания в актуальном состоянии цифровых информационных моделей электроэнергетических систем и цифровых информационных моделей объектов электроэнергетики»: [Постановление правительства РФ от 29 сентября 2025 г. N 1491] [Электронный ресурс]. — М.:АО «СО ЕЭС», 2025. 19 с. URL: https: / / www. so - ups. ru / fileadmin / files / laws / regulations / regl491 - 290925. pdf (дата обр. 20.10.2025).

10. Официальный сайт акционерного общества «Системный оператор Единой энергетической системы» (АО «СО ЕЭС») [Электронный ресурс]. — М.: 2025. - URL: https://www.so-ups.ru (дата обр. 20.10.2025).

11. Козлов В.Н. Управление энергетическими системами и объединениями в пред аварийных режима [Текст] / Козлов В.Н. CI 16.: Из л-по Политехи, ун-та, 2011. - С. 479.

12. Козлов В.Н. Управление частотой и перетоками активной мощности электроэнергетических объединений с учетом энергетической безопасности [Текст] / Козлов В.Н. // Известия РАН. Энергетика. — 2012. Т. 3.

С. 128—143.

13. Козлов В.Н. Локальная оптимальность и устойчивость систем ограничения перетоков активной мощности по линиям энергообъединений [Текст] / Козлов В.Н. // Известия РАН. Энергетика. — 2014. — № 2. — С. 107—117.

14. Жданов П. С. Устойчивость параллельной работы электрических систем [Текст] : Допущено Глав. упр. учеб. заведениями НКТП в качестве учеб. руководства для энергетич. втузов - 2-е изд., перераб. и доп. / Жданов П.С., Лебедев С.А. — М.;Л.:Энергоиздат, 1934. — С. 387.

15. Жданов П.С. Вопросы устойчивости электрических систем [Текст] : Под ред. Л.А. Жукова / Жданов П.С. — М.:Энергия, 1979. — С. 455.

16. Козлов В.Н. Управление энергетическими системами. Электромеханические процессы [Текст] / Козлов В.Н. — СПб.:Изд-во Политехи, ун-та., 2006. - С. 256.

17. Козлов В.Н. Управление энергетическими системами и объединениями [Текст] / Козлов В.Н. CI16.: И зд-по Политехи, ун-та., 2011. — С. 498.

18. Груздев H.A. Частотные характеристики электроэнергетических систем и их использование в задачах устойчивости и эквивалентирования: Учеб. пособие [Текст] / Груздев И.А. — I.: Л II II. 1982. — С. 68.

19. Щедрин H.H. Упрощение электрических систем при моделировании [Текст] / Щедрин H.H. — М.: Л.:Энергия, 1966. — С. 159.

20. Воропай H.H. Упрощение математических моделей динамики электроэнергетических систем [Текст] / Воропай Н.II. — Новосибирск:Наука, 1981. - С. 110.

21. Wa F.F. Critical review of external network modelling for online security analysis [Текст] / Wa F.F., Monticelli A. // Elec. Power and Enecly Syst. — 1983. — No. 4. — P. 222—235.

22. «Об утверждении правил расследования причин аварий в электроэнергетике и инцидентов в электроэнергетике»: [Постановление правительства РФ от 29 сентября 2025 г. N 1489] [Электронный ресурс]. — М.:АО «СО ЕЭС», 2025. 33 с. URL: https://www.so-ups.ru/fileadmin/files/laws/ regulations/regl489-290925.pdf (дата обр. 25.10.2025).

23. Горев A.A. Переходные процессы синхронной машины [Текст] / Горев A.A. — Л.; М.:Госэнергоиздат, 1950. — С. 552.

24. Горев A.A. Избранные труды по вопросам устойчивости электрических систем [Текст] / Горев A.A. — М.;Л.:Госэнергоиздат, 1960. — С. 260.

25. Park R.H. Two-reaction theory of synchronous machines [Текст] : pt.l / Park R.H. // AIEE Trans. — 1929. — Vol. 48. — P. 716 730.

26. Park R.H. Two-reaction theory of synchronous machines [Текст] : pt.2 / Park R.H. // AIEE Trans. — 1933. — Vol. 52. — P. 352 355.

27. Козлов В.Н. О структуре систем управления с хаотическими режимами // Фундаментальные исследования и инновации в национальных технических университетах [Текст] / Козлов В.Н., Тросько И.У. — СПб.:Изд-во Политехи, ун-та, 2011. — С. 140 148.

28. Статическая устойчивость электрических систем [Текст] / Левинштейн М.Л. [и др.]. — СПб.:Изд-во Политехи, ун-та, 1981. — С. 263.

29. Козлов В.Н. Анализ хаотических режимов в электроэнергетических системах [Текст] / Козлов В.Н., Тросько И.У. // Научно-технические ведомости СПбГУ. Наука и образование. — 2011. — 2(123). — С. 35 43.

30. Козлов В.Н. Хаотическая динамика управляемых электроэнергетических систем [Текст] / Козлов В.Н., Тросько И.У. // Известия РАН. Энергетика. - 2016. .\'"1. С. 24 37.

31. Козлов В.Н. Условия устойчивости энергосистем на основе метода Ляпунова и нелинейных уравнений динамики [Текст] / Козлов В.Н., Тросько И.У., Ефремов A.A. // Известия российской академии наук. Энергетика, _ 2017. Л" 2. С. 62 72.

32. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения [Текст] / Ляпунов A.M. - М,- Л.:ГИТТЛ, 1950. - С. 472.

33. Малкин Н.Г. Методы Ляпунова и Пуанкаре в теории нелинейных колебаний [Текст] / Малкин И.Г. — М,- Л.:Гостехтеориздат, 1949. — С. 244.

34. Роз о М. Нелинейные колебания и теория устойчивости [Текст] / Розо М. - М.:Наука, 1971. - С. 288.

35. Моисеев H.H. Асимптотические методы нелинейной механики [Текст] / Моисеев H.H. — М.:Наука, 1969. — С. 380.

36. Персидский К.П. Избранные труды: В 2-х томах. Т. 1 Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. Теория вероятностей [Текст] / Персидский К.П. — Алма-Ата:Наука, 1976. — С. 272.

37. Oskar Р. Die Ordnungszahlen linearer Differentialgleichungssysteme [Текст] / Oskar P. // Math. Zeitschrift. Springer-Verlag. — 1930. —Vol. 31, no. 1. — P. 748—766.

38. Сергеев И.Н. Определение устойчивости по Перрону и ее связь с устойчивостью по Ляпунову [Текст] / Сергеев И.Н. // Дифференциальные Уравнения. — 2018. — Т. 54, № 6. — С. 855 850.

39. Малкин Н.Г. Теория устойчивости движения [Текст] : Издание 2-е, исправленное / Малкин И.Г. — М.:Науки. 1966. — С. 532.

40. Четаев Н.Г. Устойчивость движения [Текст] / Четаев Н.Г. М.:Наука, 1965. - С. 380.

41. Матросов В.М. Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем [Текст] / Матросов В.М. — М.:Физматлит, 1965. — С. 380.

42. Метод векторных функций Ляпунова в теории устойчивости [Текст] : Под ред. А. А. Воронова, В. М. Матросова / Абдуллин Р.З. [и др.]. — М.:Науки. 1987. - С. 312.

43. Воронов A.A. Введение в динамику сложных управляемых систем [Текст] : Теория и методы систем, анализа / Воронов A.A. — М.:Наука. 1985. - С. 351.

44. Матросов В.М. Метод сравнения в математической теории систем [Текст] / Матросов В.М., Анапольский Л.Ю., Васильев С.Н. — Новосибирск: Наука. 1980. — С. 481.

45. Алгоритмы вывода теорем метода векторных функций Ляпунова [Текст] : Под ред. В.М. Матросова / Матросов В.М. [и др.]. — Новосибирск:Наука: Сиб. отд-ние, 1981. — С. 271.

46. Маликов А.И. Методы анализа и оценивания состояния нелинейных систем управления со структурными изменениями: диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук [Текст] / Маликов А.И. — Казань, 1998. — С. 330.

47. Васильев С.Н. Устойчивость многорежимных формаций [Текст] / Васильев С.Н., Козлов Р.И., Ульянов С.А. // Доклады Академии Наук. — 2014. - Т. 455, № 3. - С. 269-274.

48. Маликов А.И. Оценивание состояния и стабилизация непрерывных систем с неопределенными нелинейностями и возмущениями [Текст] / Маликов А.И. // Автоматика и телемеханика. — 2016. Л'° 16. С. 19—36.

49. Математическая теория оптимальных процессов [Текст] / Понтрягин Л.С. [и др.]. — М.:Физматлит, 1961. — С. 391.

50. Красовский Н.Н. Теория управления движением. Линейные системы [Текст] / Красовский Н.Н. — М.:Наука, 1968. — С. 476.

51. Фелъдбаум А. А. Основы теории оптимальных автоматических систем [Текст] / Фельдбаум А.А. — М.:Наука, 1966. — С. 623.

52. Летов А.М. Устойчивость нелинейных регулируемых систем [Текст] / Летов А.М. — М.:Физматгиз, 1962. — С. 483.

53. Лурье А.И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования [Текст] : Современные проблемы механики / Лурье А.И. — М.;Л.:Гос. изд-во техн.-теорет. лит., 1951. — С. 216.

54. Моисеев Н.Н. Численные методы в теории оптимальных систем [Текст] / Моисеев Н.Н. - М.:Наука, 1971. - С. 424.

55. Атанс М. Оптимальное управление [Текст] : Перевод с англ. канд. техн. наук Г. Н. Алексакова, под ред. д-ра техн. наук проф. Ю. И. Топчеева / Атанс М., Фалб П. — М.Машиностроение, 1968. — С. 746.

56. Беллман Р. Динамическое программирование [Текст] / Беллман Р. — М.:Изд-во Иностранная литература, 1960. — С. 400.

57. Ли Э.Б. Основы теории оптимального управления [Текст] : Пер. с англ. Л. Л. Леонтьевой; Под ред. Я. Н. Ройтенберга / Ли Э.Б., Маркус Л. — М.:Наука, 1972. - С. 574.

58. Stengel R.F. Optimal Control and Estimation [Текст] / Stengel R.F. — New York:Courier Corporation, 1994. — P. 639.

59. Новиков Д.A. Классификации систем управления [Текст] / Новиков Д.А. // Анализ и синтез систем управления. — 2019. — № 4. — С. 27^42.

60. Зубов В.Н. Теория оптимального управления судном и другими подвижными объектами [Текст] / Зубов В.И. Ленинград:Судостроение, 1966. — С. 352.

61. Зубов В.Н. Теория уравнений управляемого движения [Текст] : Учеб. пособие / Зубов В.И. — Ленинград:Изд-во Ленингр. ун-та, 1980. — С. 288.

62. Polyanina A.S. Synthesis of stabilizing control in the generation of multi-body systems program motions [Текст] / Polyanina A.S. // Современные наукоемкие технологии (Modern High Technol. — 2020. — №2 2020. — C. 45—50.

63. Special vehicle motion stabilization system [Текст] / Lyashenko M.V. [et al.] // Izv. Volgogr. STATE Tech. Univ. — 2021. — 9(256). — P. 37—41.

64. Alekseev A. An algorithm for constructing an optimal ship's path with elements of the ship's program motion systems on the course [Текст] / Alekseev A., Stukonog S. // Transp. Bus. Russ. — 2022. — No. 2. — P. 217 221.

65. Голубев A.E. Стабилизация программных движений механических систем с учетом ограничений [Текст] / Голубев А.Е. // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2023. — № 4. — С. 153—167.

66. Li Т. Intelligent electric vehicle trajectory tracking control algorithm based on weight coefficient adaptive optimal control [Текст] / Li Т., Ren H., Li C. // Trans. Inst. Meas. Control. — 2023. — P. 014233122211415.

67. Мещапов А.С. Стабилизация программной посадки летательных аппаратов без шасси на подвижную платформу в атмосфере при неопределенных возмещения. 4.1 [Текст] / Мещанов А.С., Бикмурзин A.M. // Вестник технологического университета. — 2020. — Т. 23, № 12. — С. 109-117.

68. Воробьев Е.И. Построение программных движений механизмов относительного манипулирования с тремя степенями свободы [Текст] / Воробьев Е.И., Михеев А.В., Моргуненко К.О. // Проблемы машиностроения и надежности машин. — 2019. — № 6. — С. 42—48.

69. Adaptive Trajectory Tracking Control for the Quadrotor Aerial Transportation System Landing a Payload Onto the Mobile Platform [Текст] / Yu H. [et al.] // IEEE Trans. Ind. Informatics. — 2023. — P. 1—12.

70. Barrier Lyapunov function-based fixed-time FTC for high-order nonlinear systems with predefined tracking accuracy [Текст] / Wang X. [et al.] // Nonlinear Dyn. — 2022. — Vol. 110, no. 1. — P. 381 394.

71. Голубев, А.Е. Построение программных движений механических систем с учетом ограничений при помощи многочленов третьего порядка [Текст] / Голубев, А.Е. // Известия Российской академии наук. Теория и системы управления. — 2021. — Т. 2, № 2. — С. 120 137.

72. Александров О.В. Минимаксная оптимизация параметров стабилизации программного полета [Текст] / Александров О.В., Козик A.A. // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. — 2019. — Т. 3. - С. 45 49.

73. Котина Е.Д. Математическая модель совместной оптимизации программного и возмущенных движений в дискретных системах [Текст] / Котина Е.Д., Овсянников Д.А. // Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. — 2021. - Т. 17, № 2. - С. 213—224.

74. Andreev A.S. PID controllers with delay in a problem of stabilization of robotic manipulators' desired motions [Текст] / Andreev A.S., Kolegova L.V. // Zhurnal Sredn. Mat. Obs. — 2022. — Vol. 34, no. 3. — P. 207 279.

75. Козлов В.Н. Системный анализ, оптимизация и принятие решений [Текст] / Козлов В.Н. — СПб.:Изд-во Политехи, ун-та., 2009. — С. 225.

70. Моисеев H.H. Методы оптимизации [Текст] / Моисеев H.H., Иванилов Ю.П., Столярова Е. М. - М.:Науки. 1978. - С. 352.

77. Карманов В. Г. Математическое программирование [Текст] / Карманов В. Г. - М.:Наука, 1975. - С. 272.

78. Полах Э. Численные методы оптимизации. Единый подход [Текст] : Перевод с английского Ф.И. Ерешко. Под редакцией И.А. Вателя. С предисловием H.H. Моисеева / Полак Э. — М.:Мир, 1974. — С. 370.

79. Ермольев Ю. М. Методы стохастического программирования [Текст] / Ермольев Ю. М. - М.:Наука, 1970. - С. 239.

80. Жозеф Л.Л. Сборник статей к 200-летию со дня рождения [Текст] / Жо-зеф Л.Л. - М.; Л.:Изд-во Акад. наук СССР, 1937. - С. 141.

81. Тюлина И.А. Жозеф Луи Лагранж. 1736—1813 [Текст] / Тюлина И.А. — М.:Книжный дом «Либроком», 2010. — С. 224.

82. Марков A.A. Избранные труды по теории непрерывных дробей и теории функций, наименее уклоняющихся от нуля [Текст] / Марков A.A. — М.:ОГИ3-Гостехиздат, 1948. - С. 412.

83. Крейн М.Г. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи [Текст] : Идеи и проблемы П.Л. Чебышева и A.A. Маркова и их дальнейшее развитие / Крейн М.Г., Нудельман A.A. — М.:Науки. 1973. — С. 551.

84. Ньютон Н. Математические работы [Текст] : Пер. с лат., вводная статья и комментарии Д.Д. Мордухай-Болтовского / Ньютон И. — М.-Л.:ОНТИ, 1937. - С. 478.

85. Башмакова Н.Г. История диофантова анализа от Диофанта до Ферма [Текст] / Башмакова И.Г., Славутин Е.И. — M.:URSS : ЛЕНАНД, сор., 2015. - С. 256.

86. Бэлл Э.Т. Творцы математики [Текст] / Бэлл Э.Т. — М.:Просвещение, 1979. - С. 256.

87. Титчмарш Э. Ч. Введение в теорию интегралов Фурье. Перевод с английского Д. А. Райкова [Текст] / Титчмарш Э. Ч. — М.:ГИТТЛ, 1948. — С. 479.

88. Чебышев П.Л. Избранные математические труды [Текст] : Ред.-сост. А. О. Гельфонд / Чебышев П.Л. — М.ЮГИЗ-Гостехиздат, 1946. — С. 200.

89. Эйлер Л. Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума, либо минимума или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле [Текст] / Эйлер Л. — М.; Л.:ГИТТЛ, 1934. — С. 600.

90. Эйлер Л. Дифференциальное исчисление [Текст] / Эйлер Л. — М.:ГИТТЛ, 1949. - С. 580.

91. Полах Л.С. Вариационные принципы механики. Сб. статей: Ферма, Гамильтон, Эйлер, Гаусс и др [Текст] / Полак Л.С. — М.:Физматлит, 1959. — С. 932.

92. Юшкевич А.П. История математики. Т.2. [Текст] / Юшкевич А.П. — М.:Наука, 1972. - С. 302.

93. Фрейман Л. С. Творцы высшей математики [Текст] / Фрейман Л. С. — М.:Наука, 1968. - С. 216.

94. Шаль М. Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. Том 1-2: История геометрии. (Репринт с издания 1883г.) [Текст] / Шаль М. - М.:Моск. мат. о-во, 2019. - С. 748.

95. Поляк Б. Т. История математического программирования в СССР: попытка анализа [Текст] / Поляк Б. Т. // Байкальская международная школа-семинар. — 2008. — С. 1 25.

96. Канторович, Л. В. Математические методы организации планирования производства [Текст] / Канторович, Л.В. Л.:Издание Ленинградского государственного университета, 1939. — С. 67.

97. Канторович, Л.В. Об одном эффективном методе решения некоторых классов экстремальных проблем [Текст] / Канторович, Л.В. // Доклады Академии Наук СССР. - 1940. - Т. XXVIII, № 3. - С. 212 213.

98. Канторович Л. В. Функциональный анализ и прикладная математика [Текст] / Канторович Л.В. // Успехи математических наук. — 1948. — Т. III, 6 (28). - С. 89—185.

99. Канторович Л. В. О конформном отображении [Текст] / Канторович Л.В. // Мат. сб. - 1933. - Т. 40, № 3. - С. 294 325.

100. Канторович Л.В. О некоторых методах построения функции, совершающей конформное отображение [Текст] / Канторович Л.В. // Изв. АН СССР _ 1933 _ Т 2, _ С. 229^235.

101. Канторович Л.В. Некоторые частные методы расширения пространств Гильберта [Текст] / Канторович Л.В. // ДАН СССР. — 1935. — Т. 4, ..V" 4/5. - С. 163 167.

102. Данциг Дж.Б. Линейное программирование, его применения и обобщения [Текст] : Пер. с англ. Под ред. Н.Н. Воробьева / Данциг Дж.Б. — М.:Прогресс, 1966. - С. 600.

103. Андрианов А.Л. Зарождение и ранняя история линейного программирования : диссертация ... кандидата физико-математических наук: 07.00.10 [Текст] / Андрианов А.Л. — М.: 2018. — С. 215.

104. Ахиезер H.H. Классическая проблема моментов и некоторые вопросы анализа, связанные с нею [Текст] / Ахиезер Н.И. — М.:Физматгиз, 1961. — С. 310.

105. Болтянский В. Г. К теории оптимальных процессов [Текст] / Болтянский

B.Г., Гамкрелидзе Р.В., Понтрягин Л.С. // Докл. АН СССР. — 1956. — Т. 110, № 1. - С. 7-10.

106. Юдин Д. Б. Задачи и методы линейного программирования [Текст] : Изд. 2-е. / Юдин Д.Б., Голынтейн Е.Г. — М.:Советское радио, 1964. — С. 310.

107. Гольштейн Е.Г. Новые направления в линейном программировании [Текст] / Гольштейн Е.Г., Юдин Д. Б. — М.:Советское радио, 1966. —

C. 310.

108. Гольштейн Е.Г. Модифицированные функции Лагранжа. Теория и методы оптимизации [Текст] / Гольштейн Е.Г., Третьяков H.B. — М.:Науки. 1989. - С. 310.

109. Козлов В.Н. Негладкие системы, операторы оптимизации и устойчивость энергообъединений [Текст] : Совместно написанные разделы 4.2 и 4.3 / Козлов В.Н. — СПб.:Изд-во Политехи, ун-та, 2012. — С. 177.

110. Козлов В.Н. Проекционный метод синтеза ограниченных оптимальных управлений динамических систем энергетики: монография [Текст] : Совместно написанные разделы 1.5 и 3.5 / Козлов В.Н. — СПб.:Изд-во Политехи, ун-та, 2019. — С. 165.

111. Лурье К.А. Оптимальное управление в задачах математической физики [Текст] : Теоретические основы технической кибернетики; 33 / Лурье К.А. - М.:Наука, 1975. - С. 478.

112. Моисеев H.H. Численные методы теории оптимального управления [Текст] / Моисеев H.H. - М.:б. и., 1968. - С. 163.

113. Моисеев H.H. Математические задачи системного анализа [Текст] : учебное пособие для студентов вузов, обучающихся по специальности "Прикладная математика" / Моисеев H.H. — М.:Наука, 1981. — С. 488.

114. Первозванский A.A. Декомпозиция, агрегирование и приближенная оптимизация [Текст] : Теория и методы системного анализа / редкол. сер.: Д. М. Гвишиани (пред.) [и др.] / Первозванский A.A. — М.:Наука. 1979. — С. 342.

115. Поляк Б.Т. Один общий метод решения экстремальных задач [Текст] / Поляк Б.Т. // ДАН СССР. - 1967. - Т. 174, № 1. - С. 33 36.

116. Поляк Б.Т. Итерационные методы, использующие множители Лагран-жа, для решения экстремальных задач с ограничениями типа равенств [Текст] / Поляк Б.Т. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1970. — Т. 10, ..V" 5. - С. 42 52.

117. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию [Текст] / Поляк Б.Т. — М.: Наука. 1983. - С. 384.

118. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений [Текст] : Пер. с англ. А. Д. Мышкиса. / Беллман Р. — М.: Изд-во иностр. лит., 1954. — С. 216.

119. Линейные неравенства и смежные вопросы [Текст] : сборник статей / под ред. Г. У. Куна, А. У. Таккера; сборник пер. с англ. под ред. Л.В. Канторовича, В.В. Новожилова. — М.:Издательство иностранной литературы, 1959. - С. 469.

120. Полах, Э. Численные методы оптимизации: единый подход [Текст] / По-лак, Э. - М.:Мир, 1974. - С. 376.

121. Скворцов Л.М. SimlnTech: Численное решение обыкновенных дифференциальных и уравнений [Текст] : 2-е изд. / Скворцов Л.М. — М.:ДМК Пресс, 2023. - С. 236.

122. Козлов В.Н. Функциональный анализ [Текст] / Козлов В.Н. — 0116.:Изд-во Политехи, ун-та., 2012. — С. 461.

123. Козлов В.Н. Проекционный метод синтеза оптимальных ограниченных управлений динамических систем [Текст] : Совместно написанные разделы 3.2, 3.4 и 4.4 / Козлов В.Н. - СПб.:Изд-во Политехи, ун-та, 2017. -С. 151.

124. Ефремов A.A. Метод синтеза локально допустимых ограниченных управлений для стабилизации программных движений динамических объектов [Текст] / Ефремов A.A., Козлов В.Н. // Информационно-управляющие системы. — 2023. — № 4. — С. 47^55.

125. Ефремов A.A. Проекционный оператор решения обобщенных задач стабилизации программных движений [Текст] / Ефремов A.A. // Информатика, телекоммуникации и управление. — 2023. — Т. 16, № 4.

126. Ефремов A.A. Обобщенный проекционный оператор решения задач стабилизации программных движений [Текст] / Ефремов A.A. // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. — 2024. — Т. 7. - С. 230-235.

127. Ефремов A.A. Проекционный оператор минимизации и максимизации линейного функционала с ограничениями на вектор допустимых программных движений [Текст] / Ефремов A.A. // Инженерный вестник Дона. — 2024. — Т. 12. — URL: http://www.ivdon.ru/ru/magazine/ archive / n 12у2024/9694.

128. Kozlov V.N. Operators of Bounded Locally Optimal Controls for Dynamic Systems [Текст] / Kozlov V.N., Efremov A.A. // Cyber-Physical Syst. Control. Lect. Notes Networks Syst. — Cham, 2020. Vol. 95. — P. 140 145.

129. Kozlov V.N. Projection-operator optimization of controls of dynamic objects [Текст] / Kozlov V.N., Efremov A.A. //J. Phys. Conf. Ser. — 2021. — May. — Vol. 1864, no. 1.

130. Козлов В.Н. Проекционный метод синтеза систем с ограниченными координатами и управлениями [Текст] / Козлов В.Н., Ефремов A.A. // XXIX международная научная конференция. Математические методы в технике и технологиях - ММТТ 29. — Санкт-Петербург, Саратов : Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А., 2016. — С. 50-54.

131. Козлов В.Н. Проекционный метод синтеза ограниченных оптимальных управлений сверхбольшими динамическими объектами [Текст] / Козлов В.Н., Ефремов A.A. // Материалы 10-й Всероссийской мультиконференции в 3 томах. Том 3. - Геленджик : Южный федеральный университет, 2017. - С. 29-31.

132. Козлов В.Н. Проекционный метод синтеза интервально-оптимальных систем [Текст] / Козлов В.Н., Ефремов A.A. // XXX международная научная конференция. Математические методы в технике и технологиях -ММТТ 30. Т. 11. — Санкт-Петербург, Саратов:Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А., 2017. — С. 71—75.

133. Ефремов A.A. Оператор минимизации нормы на множествах с частично ограниченными переменными [Текст] / Ефремов A.A., Козлов В.Н. // Системный анализ в проектировании и управлении. Сборник научных трудов XXII Международной научно-практической конференции. Часть 1. — Санкт-Петербург : Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого", 2018. — С. 219—223.

134. Козлов В.Н. Квазианалитические проекционные операторы в задачах синтеза оптимальных систем [Текст] / Козлов В.Н., Ефремов A.A. // Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования. Тезисы докладов Пятой Международной конференции, посвящённой 95-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН, академика Европейской академии наук Л.Д. Кудрявц. — Москва : Российский университет дружбы народов (РУДН), 2018. - С. 263^266.

135. Козлов В.Н. Проекционные операторы математического программирования для интеллектуальной оптимизации управлений динамическими объектами [Текст] / Козлов В.Н., Ефремов A.A. // Информационные технологии в управлении (ИТУ-2018). Материалы 11-ой Российской мультиконференции по проблемам управления. — Санкт-Петербург : "Концерн "Центральный научно-исследовательский институт "Электроприбор", 2018. - С. 21—31.

136. Козлов В.Н. Проекционный метод оптимизации динамики управления в конечномерных и функциональных пространствах [Текст] / Козлов В.Н., Ефремов A.A. // Системный анализ в проектировании и управлении. Сборник научных трудов XXIII Международной научно-практической конференции. Часть 2. — Санкт-Петербург : Политех-Пресс, 2019. — С. 5—11.

137. Козлов В.Н. Проекционные операторы оптимизации ограниченных управлений динамическими объектами [Текст] / Козлов В.Н., Ефремов A.A. // XIII Всероссийское совещание по проблемам управления (ВСПУ-2019). Сборник трудов XIII Всероссийского совещания по проблемам управления ВСПУ-2019. Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН. - Москва, 2019. - С. 1137 1140.

138. Козлов В.Н. Операторы оптимизации для сетевых систем с математическим программированием целей и ограничений [Текст] / Козлов В.Н., Ефремов A.A. // XII Мультиконференция по проблемам управления (МКПУ-2019). Материалы XII мультиконференции по проблемам управления в 4 томах. — Ростов-на-Дону : Южный федеральный университет, 2019. - С. 137—139.

139. Козлов В.Н. Алгоритм стабилизации программных движений линейных объектов [Текст] / Козлов В.Н., Ефремов A.A., Рябов Г.А. // Региональная информатика и информационная безопасность. Сборник трудов конференций Санкт-Петербургской международной конференции и Санкт-Петербургской межрегиональной конференции. Выпуск 8. — Санкт-Петербург : Региональная общественная организация "Санкт-Петербургское Общество информатики, вычислительной техники, систем связи и управления", 2020. — С. 213—215.

140. Козлов В.Н. Проекционно-операторная оптимизация управлений динамическими объектами [Текст] / Козлов В.Н., Ефремов A.A. // Информационные технологии в управлении. Сборник научных трудов 13-ой мультиконференции по проблемам управления. — Санкт-Петербург : "Концерн "Центральный научно-исследовательский институт "Электроприбор", 2020. - С. 10-11.

141. Козлов В.Н. Проекционные операторы оптимизации в задачах синтеза оптимальных систем управления (обзор) [Текст] / Козлов В.Н., Ефремов A.A. // Региональная информатика и информационная безопасность. Сборник трудов конференций Санкт-Петербургской международной конференции и Санкт-Петербургской межрегиональной конференции. Выпуск 8. — Региональная общественная организация "Санкт-Петербургское Общество информатики, вычислительной техники, систем связи и управления", 2020. — С. 215—220.

142. Васильев Ю. С. Проекционный метод оптимизации динамических систем: состояние и перспективы развития [Текст] / Васильев Ю.С., Ефремов A.A., Козлов В.Н. // Системный анализ в проектировании и управлении. Сборник научных трудов XXV Международной научной и учебно-практической конференции. В 3 ч. — Санкт-Петербург : Политех-Пресс, 2021. — С. 7-26.

143. Козлов В.Н. Оптимальная стабилизация цифровых транспортных систем [Текст] / Козлов В.Н., Ефремов A.A. // Системный анализ в проектировании и управлении. Сборник научных трудов XXVI Международной научно-практической конференции. В 3-х частях. — Санкт-Петербург : Политех-Пресс, 2023. — С. 157—166.

144. Устинов С.М. Вычислительная математика [Текст] : учебное пособие для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям подготовки 220100 "Системный анализ и управление"и 230100 "Информатика и вычислительная техника" / Устинов С.М., Зимницкий В.А. — СПб.:БХВ-Петербург, 2009. - С. 330.

145. Первозванский A.A. Курс теории автоматического управления: учебное пособие [Текст] / Первозванский A.A. — М.:Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит., 1986. - С. 616.

146. Мирошник И.В. Теория автоматического управления. Нелинейные и оптимальные системы [Текст] / Мирошник И.В. — СПб. Литер, 2006. — С. 273.

147. Петров H.H. Об управляемости автономных систем [Текст] / Петров H.H. // Дифференц. уравнения. — 1968. — Т. 4, № 4. — С. 606 617.

148. Kaiman R.E. Discussion: "On the Existence of Optimal Controls" (Markus L., and Lee E. B. ASME J. Basic Eng., 1962, 84, pp. 13-20) [Текст] / Kaiman R.E. // J. Fluids Eng. — 1962. — Vol. 84. — P. 21—22.

149. Петров H.H. Локальная управляемость автономных систем [Текст] / Петров H.H. // Дифференц. уравнения. — 1968. — Т. 4, № 7. — С. 1218 1232.

150. Мастерков Ю.В. Условия локальной управляемости систем со случайными параметрами [Текст] / Мастерков Ю.В., Родина Л. И. // Вестник Удмуртского университета. Математика. — 2006. ..Vo 1. С. 84 94.

151. Аграчев A.A. Геометрическая теория управления [Текст] / Аграчев A.A., Сачков Ю.Л. — М.:Физматлит, 2005. — С. 392.

152. Efremov A.A. Stability Analysis of Dynamical Systems Based on Lyapunov Vector Functions [Текст] / Efremov A.A., Kozlov V.N., Karakchieva V.V. // Intern. Conf. "System Anal. Eng. Control. Lect. Notes Networks Syst. Vol. 442. — Cham : Springer Nature, 2022. — P. 177 186.

153. Ефремов A.A. Анализ устойчивости динамических систем на основе векторных функций Ляпунова [Текст] / Ефремов A.A., Козлов В.Н., Ка-ракчиева В.В. // Системный анализ в проектировании и управлении. Сборник научных трудов XXIV Международной научной и учебно-практической конференции в 3 ч. — Санкт-Петербург : Политех-Пресс, 2020. — С. 23-37.

Козлов В.Н. Введение в функциональный анализ [Текст] / Козлов В.Н., Ефремов A.A. — СПб.:Издательско-полиграфическая ассоциация высших учебных заведений, 2018. — С. 82.

Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения [Текст] : Пер.с англ. Г.Х.Бермана и И.Б.Раскиной / Эдварде Р. — М.:Мир, 1969. — С. 1072.

Канторович Л.В. Функциональный анализ [Текст] / Канторович Л.В., Акилов Г.П. - М.:М, 1977. - С. 744.

Треногий В.А. Функциональный анализ [Текст] : Учебник. — 3-е изд., испр. / Треногий В.А. — М.:Физматлит, 2002. — С. 488.

van Neerven J. Functional Analysis [Текст] / van Neerven J. — Cam-bridge:Cambridge University Press, 2022. — P. 714.

Козлов В.Н., E. Сходимость систем с регуляризованными операторами локально допустимых управлений [Текст] / Е. Козлов В.Н. // Int. Work. Inverse Ill-Posed Probl. - Москва : РУДН, 2016. - С. 107-108.

160. Козлов В.Н. Устойчивость дискретных систем с проекционными управлениями и сжимающие разностные операторы [Текст] / Козлов В.Н., Ефремов A.A. // Системный анализ в проектировании и управлении. Сборник научных трудов XX Международной научно-практической конференции. Часть 1. — Санкт-Петербург : Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого", 2016. — С. 209-212.

161. Козлов В.Н. Устойчивость интеллектуальных локально оптимальных систем управления с операторами математического программирования [Текст] / Козлов В.Н., Ефремов A.A. // Информационные технологии в управлении (ИТУ-2016). Материалы 9-й конференции по проблемам

154.

155.

156.

157.

158.

159.

управления. — Санкт-Петербург : Концерн "Центральный научно-исследовательский институт "Электроприбор", 2016. — С. 63 66.

162. Ефремов A.A. Достаточные условия устойчивости систем ограничения перетоков по линиям энергообъединений [Текст] / Ефремов A.A., Козлов В.Н. // Аналитическая механика, устойчивость и управление. Труды XI Международной Четаевской конференции, посвященной 115-летию со дня рождения Н.Г. Четаева и памяти академика АН РТ Т.К. Сира-зетдинова. Том 2. — Казань : Казанский государственный технический университет им. А.Н. Туполева, 2017. — С. 109 115.

163. Козлов В.Н. К устойчивости разностных операторов с проекционными интервально допустимыми и оптимальными управлениями [Текст] / Козлов В.Н., Ефремов A.A. // Modern Methods, Problems and Applications of Operator Theory and Harmonic Analysis VII. — Ростов-на-Дону : Донской государственный технический университет, 2017.

164. Ефремов A.A. Достаточные условия устойчивости локально-допустимой динамической системы с ограничениями на фазовые координаты и управления [Текст] / Ефремов A.A., Козлов В.Н. // Информационно-управляющие системы. — 2023. — № 6. — С. 26 34.

165. Ефремов A.A. Достаточное условие устойчивости динамической системы стабилизации положения равновесия и программных движений [Текст] / Ефремов A.A. // Инженерный вестник Дона. — 2024. — Т. 10. — URL: http://www.ivdon.ru/ги/magazine archive nl0y2024 9547.

166. Ефремов A.A. Достаточные условия устойчивости нелинейной проек-ционно-операторной динамической системы с ограничениями [Текст] / Ефремов A.A. // Известия Тульского государственного университета. Технические науки (в печати). — 2026.

167. Козлов В.Н. Проекционный метод синтеза оптимальных ограниченных управлений динамических систем [Текст] : Совместно написанные разделы 3.2, 3.4 и 4.4 / Козлов В.Н. - СПб.:Изд-во Политехи, ун-та, 2017. -С. 151.

168. Козлов В.Н. Проекционный метод синтеза ограниченных оптимальных управлений динамических систем энергетики: монография [Текст] : Сов-

местно написанные разделы 1.5 и 3.5 / Козлов В.Н. — СПб.:Изд-во Политехи, ун-та, 2019. — С. 165.

169. Системный анализ и принятие решений [Текст] : словарь-справ.: учеб. пособие для студентов вузов, обучающихся по направлению подгот. бакалавров и магистров "Систем, анализ и упр." / под общ. ред. В.Н. Волковой и В.Н. Козлова. — М.:Высш. шк., 2004. — С. 613.

170. Волкова В.Н. Истоки и перспективы наук о системах: монография [Текст] / Волкова В.Н. - М.:КУРС, 2024. - С. 369.

171. Бусленко Н.П. Моделирование сложных систем [Текст] / Бусленко Н.П. — М.:Наука, 1978. - С. 400.

172. Эшби У.Р. Введение в кибернетику [Текст] / Эшби У.Р. — М.:Изд-во иностр. лит., 1959. — С. 432.

173. Бусленко Н.П. Лекции по теории сложных систем [Текст] / Бусленко Н.П, Калашников В.В., Коваленко И.Н. — М.:Советское радио, 1973. — С. 441.

174. Денисов A.A. Теория больших систем управления [Текст] : [Учеб. пособие для вузов по спец. "Автоматика и телемеханика"] / Денисов A.A., Колесников Д.Н. — Л.:Энергоиздат: Ленингр. отд-ние, 1982. — С. 287.

175. Исследования по общей теории систем [Текст] : Сборник переводов / Общ. ред. В.Н. Садовского и Э.Г. Юдина. — М.:Прогресс, 1969. — С. 518.

176. Флейшман Б.Ш. Элементы теории потенциальной эффективности сложных систем [Текст] / Флейшман Б.Ш. — М.:Сов. радио, 1971. — С. 225.

177. Черняк Ю.И. Системный анализ в управлении экономикой [Текст] / Черняк Ю.И. - М.:Экономика, 1975. - С. 191.

178. Имитационное моделирование производственных систем [Текст] : Под общ. ред. A.A. Вавилова. / Вавилов A.A. [и др.]. — М.Машиностроение; Берлин: «Техника», 1983. — С. 416.

179. Ефремов A.A. Структурно-инвариантный оператор решения задач стабилизации программных движений сложной динамической системы с ограничениями [Текст] / Ефремов A.A. // Инженерный вестник Дона. — 2024. Т. 9. URL: http://www.ivdon.ru/ru/magazine/archive/n9y2024/ 9482.

180. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц [Текст] / Гантмахер Ф.Р. — М.:Физматлит, 2010. — С. 559.

181. Электрические системы. Математические задачи электроэнергетики [Текст] : [учебник для электроэнергетических специальностей вузов]. 2-е изд., перераб. и доп. / Веников В.А. [и др.]. — М.:Высш. шк., 1981. — С. 288.

182. Электрические системы : Управление переходными режимами электро-энерг. систем [Текст] : [Учебник для электроэнерг. спец. втузов] / Веников

B.А. [и др.]. — М.:Высш. шк., 1982. — С. 247.

183. Веников В.А. Кибернетические модели электрических систем [Текст] : [учебное пособие для вузов по специальности "Кибернетика электрических систем"] / Веников В.А., Суханов O.A. — М.:Энергоиздат, 1982. —

C. 327.

184. Веников В.А. Переходные электромеханические процессы в электрических системах [Текст] : [Учеб. для электроэнерг. спец. вузов]. 4-е изд., перераб. и доп. / Веников В.А. — М.:Высш. шк., 1985. — С. 535.

185. Важное А.И. Основы теории переходных процессов синхронной машины [Текст] / Важнов А.И. — М.;Л.:Госэнергоиздат, 1960. — С. 312.

186. Важнов А.И. Электродинамическая модель энергосистем [Текст] / Важнов А.И, Розовский Ю.А., Салита П.З. — М.;Л.:Госэнергоиздат, 1961. — С. 312.

187. Важнов А.И. Электрические машины [Текст] : [Учебник для энерг. и элек-тротехн. вузов и фак.] / Важнов А.И. — Л.:Энергия. Ленингр. отд-ние, 1969. - С. 768.

188. Веретенников Л. П. Классификация дифференциальных уравнений Го-рева-Парка [Текст] / Веретенников Л.П. // Электричество. — 1959. — ..V" И. - С. 14—20.

189. Веретенников Л.П. Дифференциальные уравнения типа Горева-Пар-ка [Текст] : Учебное пособие / Веретенников Л.П., Вилесов Д.В. — Л.:Воен.-морская акад. кораблестроения и вооружения им. А. Н. Крылова, 1959. - С. 110.

190. Веретенников Л.П. Исследование процессов в судовых электроэнергетических системах. Теория и методы [Текст] / Веретенников Л.П. — Л.Судостроение, 1985. — С. 375.

191. Волъдек А. И. Электрические машины [Текст] : [учебник для электротехнических специальностей втузов] 3-е изд., перераб. / Вольдек А.И. — Ленинград:Энергия. Ленингр. отд-ние, 1978. — С. 832.

192. Герценберг Г.Р. Регуляторы возбуждения сильного действия для мощных генераторов и синхронных компенсаторов [Текст] : Науч. разработка, конструктивно-аппаратное решение: Доклад, обобщающий опублик. работы автора в связи с соисканием учен, степени доктора техн. наук / Герценберг Г.Р. — М.:Моск. энергет. ин-т, 1965. — С. 61.

193. Автоматическое регулирование и управление в энергосистемах [Текст] : [Сб. статей] / Под общ. ред. Г.Р. Герценберга. — М.:Энергия, 1980. — С. 114.

194. Глебов И.А. Системы возбуждения синхронных генераторов с управляемыми преобразователями [Текст] / Глебов И.А. — М.;Л.:Изд-во Акад. наук СССР. [Ленингр. отд-ние], 1960. — С. 335.

195. Глебов И.А. Синхронные генераторы в электрофизических установках [Текст] / Глебов И.А. — Л.:Науки : Ленингр. отд-ние, 1977. — С. 127.

196. Глебов И.А. Электромагнитные процессы систем возбуждения синхронных машин [Текст] / Глебов И.А. — Л.:Наука : Ленингр. отд-ние, 1987. — С. 342.

197. Горев A.A. Высоковольтные линии передачи электрической энергии. (Электрический расчет) [Текст] / Горев A.A. — Л.:Кубуч (первое Ленингр. печатное производство "Дело"), 1927. — С. 87.

198. Горев A.A. Введение в теорию устойчивости параллельной работы электрических станций [Текст] / Горев A.A. — Л.:Кубуч (1 тип.изд-ва Леноблисполкома и Ленсовета), 1935. — С. 205.

199. Грузде в И.А. Устойчивость и управление переходными процессами гидрогенераторов с малыми постоянными инерции: диссертация ... доктора технических наук: 05.14.06 [Текст] / Груздев И.А. — . I.:. 111II. — С. 433.

200. Капля,некий А.Е. Введение в общую теорию электрических машин [Диссертация на степень доктора тех. наук] [Текст] / Каплянский А.Е. — М.;Л.:Госэнергоиздат, 1941. — С. 96.

201. Копылов И. П. Электрические машины [Текст] : [Учеб. для электромех. и электроэнерг. спец. вузов] / Копылов И.П. — М.:Энергоатомиздат, 1986. - С. 360.

202. Копылов И. П. Математическое моделирование электрических машин [Текст] : Учеб. для студентов электротехн. и энергет. специальностей вузов. 3. изд., перераб. и доп. / Копылов И.П. — М.:Высш. шк. (BIII). 2001. - С. 326.

203. Костенко М.П. Электрические машины [Текст] : Часть общая: Допущено ВКВШ при СНК СССР в качестве учебника для энергет. ин-тов / Костенко М.П. — Л.;М.:Госэнергоиздат, 1944. — С. 815.

204. Костенко М.П. Электрические машины [Текст] : [Учебник для энергет. и электротехн. вузов и фак.]: [В 2 ч.] - 2-е изд. / Костенко М.П., Пиотровский Л.М. — Л.;М.:Энергия, 1965.

205. Литкенс И. В. Колебательные свойства электрических систем [Текст] / Литкенс И.В., Пуго В.И. — М.:Энергоатомиздат, 1988. — С. 216.

206. Пет,ров Г.Н. Электрические машины [Текст] : [учебник для электротехнических и энергетических вузов и факультетов]: [в 3 ч.] - 2-е изд., перераб. / Петров Г.Н. — М.;Л.:Энергия, 1968.

207. Соколов Н.П. Аналитический метод синтеза линеаризованных систем автоматического регулирования [Текст] / Соколов H.H. — М.Машиностроение, 1966. — С. 328.

208. Шакиров М.А. Трансформаторная модель синхронного генератора [Текст] / Шакиров М.А. // Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. — 2014. — Т. 202, № 3. - С. 119—130.

209. Юрганов A.A. Динамические свойства и устойчивость мощных турбогенераторов АЭС с сильным регулированием возбуждения: автореферат дис. ... доктора технических наук: 05.14.02 [Текст] / Юрганов A.A. — Л.:Ленинград. гос. техн. ун-т., 1990. — С. 217.

210. Юрганов A.A. Регулирование возбуждения синхронных генераторов [Текст] : Отв. ред. И.А. Глебов / Юрганов A.A., Кожевников В.А. — СПб.:Наука, 1996. - С. 137.

211. Адкинс Б. Общая теория электрических машин [Текст] : Пер. с англ. И. В. Антика / Адкинс Б. — М.;Л.:Госэнергоиздат, 1960. — С. 272.

212. Андерсон П. Управление энергосистемами и устойчивость [Текст] : Сокр. пер. с англ. А. М. Машанского, Р. С. Рабиновича / Андерсон П., Фуад А. — М.:Энергия, 1980. - С. 569.

213. Blondel A. Complément à là théorie des alternateurs à deux réactions [Текст] / Blondel A. // Rev. Gén. de l'Electricité. — 1922. — Vol. 12.

214. Blondel A. Application de la méthode des deux réactions à l'etule des phénomènes oscillatoires des alternateurs couplés [Текст] / Blondel A. // Rev. Cén. de l'Electikité. — 1924. — Vol. 14. — P. 23.

215. Dreyfus L. Einführung in lie Théorie der sel steregten Schwingungen sinchro-ner Maschinen [Текст] / Dreyfus L. // E. u. M. — 1911. — Jg. 29. — S. 323.

216. Dreyfus L. Freie magnetische Energie zwischen verketteten Mehrphasensystemen [Текст] / Dreyfus L. // E. u. M. — 1911. — Jg. 29. — S. 891.

217. Dreyfus L. Ausgleichvorgange in der symmetrischen Mehrfasenmaschinen [Текст] / Dreyfus L. // E. u. M. — 1912. — S. 121.

218. Крон Г. Применение тензорного анализа в электротехнике [Текст] : Пер. с англ. канд. техн. наук М. С. Либкинда, канд. техн. наук В. А. Тафта; Под ред. и с прил. "Геометрич. теория электр. цепей"д-ри техн. наук проф. Э. А. Мееровича / Крон Г. — М.;Л.:Госэнергоиздат, 1955. — С. 275.

219. Kron G. Equivalent circuits of electrical machinery [Текст] / Kron G. — New York:Wiley, 1951. — P. 278.

220. Ефремов A.A. Конструктивная форма коши билинейных дифференциальных уравнений электромагнитных процессов [Текст] / Ефремов A.A., Козлов В.Н. // Системный анализ в проектировании и управлении. Сборник научных трудов XXII Международной научно-практической конференции. Часть 1. — Санкт-Петербург : Федеральное государственное

автономное образовательное учреждение высшего образования "Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого", 2018. — С. 213—219.

221. Ефремов A.A. Модифицированная структурно-инвариантная модель электроэнергетических объединений [Текст] / Ефремов A.A. // Системный анализ в проектировании и управлении. Сборник научных трудов XXI Международной научно-практической конференции в 2-х томах. Том 1. — Санкт-Петербург : Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого", 2017. — С. 289 294.

222. Козлов В.Н. Структурно-инвариантные уравнения для спектрального анализа регулярной и хаотической динамики энергообъединений [Текст] / Козлов В.Н., Ефремов A.A., Тросько И.У. — СПб.:Издательско-полиграфическая ассоциация высших учебных заведений, 2019. — С. 68.

223. Фирсов А.Н. О методах теории подобия и размерности [Текст] / Фир-сов А.Н., Журавская А.М. // Системный анализ в проектировании и управлении. Сборник научных трудов XXIV Международной научной и учебно-практической конференции в 3 ч. Том часть 2. — Санкт-Петербург : Политех-Пресс, 2020. — С. 23 37.

224. Кирпичев М.В. Теория подобия [Текст] : [учеб. пособие для втузов] - 2-е изд., доп. и перераб. / Кирпичев M.B. — М.:Изд-во Акад. наук СССР, 1953. - С. 96.

225. Гухман A.A. Введение в теорию подобия [Текст] : [учеб. пособие для втузов] - 2-е изд., доп. и перераб. / Гухман A.A. — М.:Высш. шк., 1973. — С. 295.

226. Седое Л.Н. Методы подобия и размерности в механике [Текст] : 10-е изд., доп. / Седов Л.И. — М.:Науки. 1987. — С. 430.

227. Приказ Минэнерго России от 07.08.2014 № 506 «Об утверждении Методики определения нормативов потерь электрической энергии при ее передаче по электрическим сетям» [Зарегистрировано в Минюсте РФ 17 сентября 2014 г. Регистрационный N 34075] [Электронный ресурс]. — М.Министерство Юстиции Российской Федерации: [сайт], 2014. — 9 с. —

URL: https : / / minjust . consultant . ru / documents / 11644 ? ysclid = mgjqoqi4y3448017216 (дата обр. 09.10.2025).

228. Распоряжение Правительства РФ от 9 июня 2020 г. № 1523-р Об Энергетической стратегии РФ на период до 2035 г. [Электронный ресурс]. — М.:Правительство РФ: [сайт], 2020. 93 с. URL: http : / / static . government. ru / media / files / w4sigFOiDjGVDYT4IgsApssm6mZRb7wx. pdf (дата обр. 09.10.2025).

229. ГОСТ P 59853-2021. Информационные технологии. Комплекс стандартов на автоматизированные системы. Автоматизированные системы. Термины и определения : национальный стандарт Российской Федерации : дата введения 2022-01-01 / Федеральное агентство по техническому регулированию и метрологии. - Изд. официальное. [Электронный ресурс]. — М.Российский институт стандартизации, 2021. 16 с. URL: https: / / rosgosts . ru / file / gost / 01 / 040 / gost _ r _ 59853 - 2021 . pdf ? ysclid = m7eqf5p5uc249903479 (дата обр. 20.10.2025).

230. Zhilenkov A. A. Evaluation of rotation frequency gas-diesel engines when using automatic control system [Текст] / Zhilenkov A.A., Efremov A.A. // IOP Conf. Ser. Earth Environ. Sci. Vol. 50. — Institute of Physics Publishing, 2017. — P. 1—7.

231. The conception of information system for support decision-making under conditions of territoriale-distributed database [Текст] / Volkova V.N. [et al.] // Proc. 2017 IEEE 2nd Int. Conf. Control Tech. Syst. (CTS 2017). — Institute of Electrical, Electronics Engineers Inc., 2017. — P. 79—82.

232. The models and technologies for supporting decision making in design of information-control complexes [Текст] / Efremov A.A. [et al.] // 2017 XX IEEE International Conference on Soft Computing and Measurements (SCM). — Institute of Electrical, Electronics Engineers Inc., 2017. — P. 846—848.

233. Zhilenkov A.A. A quality evaluation of stabilization of rotation frequency of gas-diesel engines when using an adaptive automatic control system [Текст] / Zhilenkov A.A., Efremov A.A. // IOP Conf. Ser. Mater. Sci. Eng. 10th Int. Conf. Mech. Eng. Autom. Control Syst. (MEACS 2016). Vol. 177. — Institute of Physics Publishing, 2017. — P. 1—5.

234. Kiyashko М.А. Quadrotor mathematical and information model analysis [Текст] / Kiyashko M.A., Sholmov A.K., Efremov A.A. // 2017 IEEE Conf. Rush. Young Res. Electr. Electron. Eng. — IEEE, 2017. — P. 901 904.

235. Information technologies to support decision-making in the engineering and control [Текст] / Volkova V.N. [et al.] // Proc. 2017 XX IEEE Int. Conf. soft Comput. Meas. / ed. by Saint Petersburg. — Institute of Electrical, Electronics Engineers, 2017. — P. 727—730.

236. Comparison of Spider-Robot Information Models [Текст] / Kravchenko V.V. [et al.] // J. Robot. Control. — 2023. — Vol. 4, no. 5. — P. 719 725.

237. Mathematical Model of a Robot-spider for Group Control Synthesis: Derivation and Validation [Текст] / Kravchenko V.V. [et al.] // J. Robot. Control. — 2023. — Vol. 4, no. 6. — P. 849 855.

238. Развитие теории систем для принятия решений при управлении предприятиями и организациями [Текст] / Васильев Ю.С. [и др.] // XXI Международная конференция по мягким вычислениям и измерениям. Т. 2. — Санкт-Петербург : Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"им. В.И. Ульянова (Ленина), 2018. — С. 247-250.

239. Завьялова Е.В. Математическая модель квадрокоптера на базе уравнения Лагранжа [Текст] / Завьялова Е.В., Ефремов А.А. // Системный анализ в проектировании и управлении. Сборник научных трудов XXVII Международной научной и учебно-практической конференции. В 2 ч. — Санкт-Петербург : Политех-Пресс, 2024. — С. 7—26.

240. Щербачев О. В. Применение цифровых вычислительных машин в электроэнергетике [Текст] : [Учеб. пособие для электроэнерг. спец. вузов]. Под ред. О. В. Щербачева / Щербачев О.В., Зейлигер А.Н., Кадомская К.П. — Ленинград:Энергия : Ленингр. отд-ние, 1980. — С. 236.

241. MVSTUDIUM Group. Официальный сайт [Электронный ресурс]. — MVSTUDIUM Group. — URL: https://www.mvstudium.com/ (дата обр. 23.02.2025).

242. Колесов Ю.Б. Компонентное моделирование сложных динамических систем [Текст] : учебное пособие / Колесов Ю.Б., Сениченков Ю.Б. — СПб.:ПОЛИТЕХ-ПРЕСС, 2020. - С. 236.

243. Маликов Р.Ф. Компьютерное моделирование динамических систем в среде Rand Model Designer [Текст] / Маликов Р.Ф. — М.:Издательство Юрайт, 2021. - С. 223.

244. MathWorks. Официальный сайт [Электронный ресурс]. — MathWorks, Inc. — URL: https://www.mathworks.com/ (дата обр. 23.02.2025).

245. Дьяконов В.П. Simulink. Самоучитель [Текст] / Дьяконов В.П. — М.:ДМК Пресс, 2013. - С. 784.

246. Дьяконов В.П. MATLAB. Полный самоучитель [Текст] / Дьяконов В.П. — М.:ДМК Пресс, 2014. - С. 770.

247. GNU Octave. Официальный сайт [Электронный ресурс]. — John W. Eaton. — URL: https://octave.org/ (дата обр. 23.02.2025).

248. Фролов A.B. Программирование в среде Octave [Текст] : Учебное пособие для вузо / Фролов A.B. — М.:ЛАНЬ, 2024. — С. 173.

249. Scilab. Официальный сайт [Электронный ресурс]. — Dassault Systèmes. — URL: https://www.scilab.org/ (дата обр. 23.02.2025).

250. Шакин В.Н. Базовые средства математического пакета Scilab [Текст] : учебное пособие / Шакин В.Н., Фриск В.В. — М.:Горячая Линия - Телеком, 2023. - С. 338.

251. Классификация информационных технологий [Текст] / Волкова В. Н. [и др.] // Открытое образование. — 2015. — 5 (112). — С. 16—24.

252. Классификация информационных технологий [Текст] / Волкова В. Н. [и др.] // Прикладная информатика. — 2015. — Т. 10, 5 (59). — С. 124—141.

253. Системный анализ информационных технологий [Текст] / Волкова В. Н. [и др.] // Системный анализ в проектировании и управлении. Сборник научных трудов XIX Международной научно-практической конференции. Часть 2. — Санкт-Петербург : Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого", 2015. — С. 5—15.

254. Модели и технологии для поддержки принятия решений при проектировании информационно-управляющих комплексов [Текст] / Ефремов A.A. [и др.] // XX Международная конференция по мягким вычислениям и измерениям (SCM'2017). Том 2. — Санкт-Петербург, 2017. — С. 510—513.

255. Концепция информационной системы для поддержки принятия решений в условиях территориально распределенных баз данных [Текст] / Волкова В. Н. [и др.] // Международная научная конференция по проблемам управления в технических системах. — Санкт-Петербург : Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого", 2017. - С. 82-85.

256. Информационные технологии для поддержки принятия решений в проектировании и управлении [Текст] / Волкова В. Н. [и др.] // XX Международная конференция по мягким вычислениям и измерениям. Т. 2. — Санкт-Петербург : Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"им. В.И. Ульянова (Ленина), 2017. — С. 356-359.

257. Волкова В. Н. Классификация технологий для проектирования информационных систем [Текст] / Волкова В. И., Ефремов A.A., Логинова A.B. // Инжиниринг предприятий и управление знаниями (ИП&УЗ-2017). Сборник научных трудов XX юбилейной Всероссийской научной конференции. Том 1. ФГБОУ ВО «Российский экономический университет имени Г. В. Плеханова»; Российская ассоциация искусственного интеллекта. — Москва : Российский экономический университет имени Г.В. Плеханова, 2017. - С. 100-105.

258. SimlnTech. Официальный сайт [Электронный ресурс]. — ООО «ЗВ Сервис». — URL: https://simintech.ru/ (дата обр. 21.02.2025).

259. Среда динамического моделирования технических систем SimlnTech: Практикум по моделированию систем автоматического регулирования [Текст] : учебное пособие / Карташов Б.А. [и др.]. — М.:ДМК Пресс, 2017. - С. 423.

260. Хабаров С. П. Основы моделирования технических систем. Среда SimlnTech [Текст] : учебное пособие - Изд. 2-е, стер. / Хабаров С.П., Шилкина М.Л. - СПб.:Лань, 2024. - С. 119.

261. Гайдук А.Р. Применение программного пакета SimlnTech для изучения теории автоматического управления [Текст] : учебное пособие / Гайдук

А.Р., Пьявченко T.А. — Ростов-на-Дону; Таганрог:Изд-во Южного федерального ун-та, 2021. — С. 128.

262. Щекатуров A.M. SimlnTech: Методика моделирования динамики октоко-птера [Текст] / Щекатуров A.M. - М.:ДМК-Пресс, 2021. - С. 228.

263. Калаче в Ю.Н. SimlnTech: Системы управления и моделирования электропривода [Текст] / Калачев Ю.Н., Онищенко Г.Б. — СПб.:ДМК-Пресс, 2022. - С. 154.

264. Калиткин Н.Н. Численные методы [Текст] : [Учеб. пособие для вузов] / Под ред. А.А. Самарского / Калиткин Н.Н. — М.:Наука, 1978. — С. 512.

265. Бахвалов Н.С. Численные методы [Текст] : 2-е изд. / Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. — М.:Физматлит; Санкт-Петербург: Лаб. базовых знаний, 2001. — С. 630.

266. Козлов В.Н. Устойчивость аналитико-численных разностных схем для билинейных дифференциальных операторов [Текст] / Козлов В.Н., Ефремов А.А. // Mod. Methods, Probl. Appl. Oper. Theory Harmon. Anal. VI. — Ростов-на-Дону : Донской государственный технический университет, 2016.

267. Справочная система SimlnTech [Электронный ресурс]. — ООО «ЗВ Сервис». — URL: https://help.simintech.rU/#4_nachalo_raboty/sozdanie_ kompleksnoj _ modeli / razrabotka_ kompleksnoy _ modeli / DAT _ razrabotka_ kompleksnoy_modeli.html (дата обр. 23.02.2025).

268. Справочник по проектированию электроэнергетических систем [Текст] : Под ред. С.С. Рокотяна и И.М. Шапиро. — М.:Энергоатомиздат, 1985. — С. 352.

269. Неклепаев Б.Н. Электрическая часть электростанций и подстанций [Текст] : 2-е изд. / Неклепаев Б.Н. — М.:Энергоатомиздат, 1986. — С. 640.

270. Электротехнический справочник. Т.2 Электротехнические изделия и устройства [Текст] : Под ред. Герасимова В.Г. — М.:Издательнство МЭИ, 2004. - С. 518.

271. Kirchmayer L.K. Differential analyzer aids design of electrical utility automatic dispatching system [Текст] / Kirchmayer L.K. // Transactions of the American Institute of Electrical Engineers, Part II: Applications and Industry. _ 1959. _ Vol. 77. — P. 572—579.

272. Стернинсон, Л. Д. Переходные процессы при регулировании частоты и мощности в энергосистемах [Текст] / Стернинсон, Л. Д. — М.:Энергия, 1975. - С. 216.

273. Tildon Н. Glisson. Introduction to Circuit Analysis and Design [Текст] / Tildon H. Glisson. — Raleigh:Springer, 2011. — P. 783.

274. George G. Karady. Electrical Energy Conversion and Transport: An Interactive Computer-Based Approach [Текст] : Second Edition / George G. Karady, Keith E. Holbert. — Tempe:John Wiley, Sons, 2013. — P. 854.

275. Карапет ян И. Г. Справочник по проектированию электрических сетей [Текст] : под ред. Д. Л. Файбисовича. - 4-е изд., перераб. и доп. / Кара-петян И.Г., Файбисович Д.Л., Шапиро И.М. — М.:ЭНАС, 2012. — С. 376.

276. Berg G.J. Power-System Load Representation [Текст] / Berg G.J. // Proc. Inst. Electr. Eng. — 1973. — Vol. 3. — P. 344 348.

277. Load representation for dynamic performance analysis [Текст] / Price W.W. [et al.] // IEEE Trans. Power Syst. — 1993. — Vol. 8, no. 2. — P. 472 482.

278. Математическое моделирование переходных процессов гидроагрегата Са-яно-Шушенской ГЭС [Электронный ресурс] / Леонов Г.А. [и др.] // Дифференциальные уравнения и процессы управления. — 2018. — Т. 4. — q gQ—105. — URL: https://diffjournal.spbu.ru/pdf/kuznetsov_5.pdf (дата обр. 28.02.2025).

279. Ульянов С.А. Электромагнитные переходные процессы в электрических системах [Текст] : [Учебник для электротехн. и энерг. вузов и фак.] / Ульянов С.А. — М.:Энергия, 1970. — С. 517.

280. Ефремов А.А. Стабилизация программных движений большой динамической системы с ограничениями на векторы координат и управлений [Текст] / Ефремов А.А. // Вестник Российского нового университета. Серия: Сложные системы: модели, анализ и управление. — 2024. Т. 3.

С. 53-64.

281. Ефремов А.А. Информационная модель динамической системы высокой размерности [Текст] / Ефремов А.А. // Известия Тульского государственного университета. Технические науки (в печати). — 2026.

Список рисунков

1.1 Программная траектория элементов Си и Ск2 вектора допустимых программных движений Ck ....................... 27

1.2 Динамика параметров ви а и корни квадратного уравнения Ли и

Л&2 ..................................... 29

1.3 Значения элементов векторов минимизирующих и максимизирующих квадратичный функционал ............ 30

1.4 Динамика минимума и максимума квадратичного функционала

ф (хк) = Их*|| 2............................... 30

1.5 Геометрическая интерпретация задач минимизации и максимизации для программного вектора Ck = [0 | 2] Е R2.............. 31

1.6 Геометрическая интерпретация задач минимизации и максимизации для программного вектора Ck = [1 | 2] Е R2.............. 31

1.7 Программная траектория элементов Си и Ск2 вектора допустимых программных движений Ck ....................... 37

1.8 Динамика параметров ви ак и корни квадратного уравнения Ли и

Лк2 ..................................... 38

1.9 Динамика элементов векторов х*^ = х*\к х*2к и

xl = х\к х*2к минимизирующих и максимизирующих квадратичный функционал ....................... 39

1.10 Динамика минимума и максимума квадратичного функционала

ф (хк) = || хк - Cko || 2 .......................... 40

1.11 Геометрическая интерпретация задач минимизации и максимизации для значения вектора допустимых программных движений

Ck = [0,36 | 2]................................ 40

1.12 Геометрическая интерпретация задач минимизации и максимизации для значения вектора допустимых программных движений

Ck = [1 | 2]..................................................................41

1.13 Программная траектория элементов Си и Ск2 вектора допустимых программных движений C& ..............................................47

1.14 Изменение параметра ак..................................................48

1.15 Корни квадратного уравнения Ли и Лк2 ................................48

1.16 Динамика элементов векторов х*к = [х*^ | х^ ] и х*^ = [х*^ | х*2к ] минимизирующих и максимизирующих линейный функционал

ф {хк) = С^х^ .............................. 49

1.17 Динамика минимума и максимума линейного функционала

ф {хк) = С^х^ .............................. 49

1.18 Геометрическая интерпретация задач минимизации и максимизации для двух значений программного вектора Ск ............. 50

4.1 Условное изображение идеализированной синхронной машины . . . 132

4.2 Структурная схема синхронной машины................133

4.3 Условное изображение идеализированной синхронной машины в ¿д-координатах ..............................137

4.4 Структурная схема синхронной машины в ¿д-координатах......137

5.1 Пример интегрирования в БтЫТесЬ ..................189

5.2 Настройки параметров расчета в среде БтЫТесЬ...........190

5.3 Структурная схема информационной модели .............191

5.4 Пакет проектов информационной модели динамической системы . . 192

5.5 Редактор базы данных сигналов.....................192

5.6 Модуль ввода начальных данных синхронного генератора......193

5.7 Модуль вычисления параметров общего уравнения Горева-Парка . . 194

5.8 Блок «Субмодель» для вычисления параметров общего уравнения Горева-Парка ...............................194

5.9 Модуль вычисления определителя и элементов матрицы Ьтд .... 195

5.10 Пример блока «Субмодель» для вычисления элемента Ь31......195

5.11 Модуль вычисления обратной матрицы ..............196

5.12 Модуль вычисления матрицы Атд ...................197

5.13 Модуль вычисления матрицы Втд ...................197

5.14 Субмодель вычисления матрицы управляемости 8 ..........198

5.15 Модуль синтеза блочной матрицы «квазилинейного» многообразия

А ......................................200

5.16 Модуль вычисления проекционных операторов Р+ и Р0 .......200

5.17 Подмодуль проверки корректности вычисления проекционных операторов Р+ и Р0............................201

5.18 Модуль вычисления скалярного параметра ак.............203

5.19 Модуль вычисления скалярного параметра в к.............203

5.20 Информационный модуль вычисления проекционного оператора решений обобщенных задач стабилизации программных движений . 204

5.21 Модуль вычисления параметра динамической проекционно-операторной обратной связи ...............204

5.22 Информационный модуль управления приближенными электромеханическими процессами ...................205

5.23 Информационный модуль реализации модели нагрузки MVA .... 206

5.24 Динамика мощности Р и напряжения нагрузки udk и иф ......207

5.25 Динамика частоты синхронного генератора ............207

5.26 Ограниченные локально допустимые управляющие воздействия Ufk

и параметр динамической обратной связи ук .............208

5.27 Ограниченные векторы состояний динамической системы ......209

5.28 Осциллограммы динамики процессов синхронных генераторов . . . 209

2 о

5.29 Иллюстрация выполнение условия-неравенства ||z& — C&||° ^ г . . . 210

5.30 Структура электроэнергетической системы ..............211

5.31 Структурная схема информационной модели .............212

5.32 Пакет проектов информационной модели динамической системы . . 213

5.33 Модель ¿-ой лини электропередачи ...................214

5.34 Графики изменения мощности турбин .................215

5.35 Динамика частот и углов ф^ синхронных генераторов .....216

5.36 Напряжения нагрузки синхронного генератора Udik ж идгк ......216

5.37 Ограниченные локально допустимые управляющие воздействия

Ufik и параметры динамической обратной связи у^..........217

5.38 Ограниченные статорные токи синхронных генераторов .......217

5.39 Динамика квадрата нормы разности обобщённого вектора программных движений-управлений z^ и вектора допустимых программных движений C& .......................218

5.40 Структура электроэнергетической системы ..............219

5.41 Структурная схема информационной модели .............221

5.42 Пакет проектов информационной модели динамической системы . . 221

5.43 Модуль управления приближенными электромеханическими процессами.................................222

5.44 Модуль моделирования нагрузки ....................223

5.45 Субмодель вычисления активной и реактивной мощностей .....223

5.46 Модуль интегрирования структурно-инвариантного дифференциального оператора .....................224

5.47 Субмодель вычисления вектора Н ^Х^ ................224

5.48 Субмодель загрузки дифференциального векторно-матричного оператора турбогенератора ТВВ-200-2 ................. 225

5.49 Динамика мощности Р и напряжения нагрузки и^к и Пф^ электроэнергетической системы.....................226

5.50 Графики изменения мощности р^ и динамика частот подсистем электроэнергетической системы.....................226

5.51 Графики изменения локально допустимых управляющих воздействий и/-^ и параметра динамической обратной связи у^ . . . 227

5.52 Графики изменения токов подсистем с номерами 1 и 6........228

5.53 Динамика квадрата нормы разности обобщённого вектора программных движений-управлений Zк и вектора допустимых программных движений (Ск .......................228

5.54 Электроэнергетическая система, объединяющая 6 электроэнергетических подсистем....................230

5.55 Структурная схема информационной модели динамической системы 233

5.56 Электроэнергетическое объединение ..................233

5.57 Пакет проектов информационной модели динамической системы . . 234

5.58 Информационный модуль вычисления структурно-инвариантного проекционного оператора.........................235

5.59 Подмодуль векторов программных движений-управлений ......236

5.60 Подмодуль интегрирования структурно-инвариантного дифференциального оператора .....................237

5.61 Модуль моделирования нагрузки ....................237

5.62 Мощность электроэнергетических систем Ребъ и мощность турбогенераторов электроэнергетической системы ЭС2........238

5.63 Динамика нагрузки электроэнергетических систем иЕвг и напряжения нагрузки и,¿к и ичк первого и третьего

турбогенераторов электроэнергетической системы ЭС1........239

5.64 График изменения частоты электроэнергетических систем ШЕвг и динамика частот подсистем электроэнергетической системы