Прогностическое моделирование и анализ двумерного перехода от упорядоченности к хаосу на основе итерационного уравнения Ферхюльста-Пирла тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат физико-математических наук Волкова, Наталья Владимировна

• Волкова, Наталья Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Волкова, Наталья Владимировна

Введение.

Глава 1. Основные направления исследований связанные с темой диссертации

1.1. Элементы общей теории систем и управления.

1.2. Непрерывная модель конкуренции.

1.3. Математические модели. Бифуркация, одномерная модель Ферхюльста-Пирла.

1.4. Основы ренормгруппового анализа, фракталы в итерационном процессе.

Глава 2. Ренормгрупповой анализ.

2.1. Ренормгрупповой анализ при а = р

Глава 3. Анализ двумерной модели и управление числом Решений

3.1 Численное моделирование.

3.2. Эволюция корней системы при а = р.

Глава 4. Исследование модели в общем случае

4.1. Эволюция корней системы при а* р.

4.2. Исследование зоны четырех корней.

4.3. Модель с частичной зависимостью от конкурирующего вида.

4.4. Приближенный ренормгрупповой анализ системы в общем случае.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Прогностическое моделирование и анализ двумерного перехода от упорядоченности к хаосу на основе итерационного уравнения Ферхюльста-Пирла»

Актуальность темы исследования. Модель, согласно В. А. Штоф фу [8], это мысленно представимая или материально реализованная система, которая, отображая или воспроизводя объект исследования, способна замещать его так, что ее изучение дает новую информацию об этом объекте. Модель, которая соответствует своему оригиналу, - это уже новая информация о моделируемом объекте. Методами моделирования широко пользуются самые разные науки (см. например [5]). Огромное количество работ относится к моделированию и изучению исторически первых по рассмотрению (В 1931 г. Вито Вольтерра предложил эту модель) отношений "хищник-жертва". Здесь отметим некоторые работы, монографии, и учебники в которых с разных сторон изучались эти отношения [36] - [42]. В этих работах рассматривают: и влияние среды обитания, и кормовую базу, решают задачи линейного и динамического программирования для оптимизации численности определенных популяций, и моделируют схемы сетей и графов, и применяют элементы теории матричных игр для принятия решений по ведению фермерских хозяйств или одновременного разведения различных популяций рыб и т.д. Применяют методы компьютерного моделирования [3]. Отношение ''хищник-хищник" изучено значительно хуже.

Отметим непрерывную модель в [5], описываемую системой двух дифференциальных уравнений. Изучение устойчивости отличных от нуля решений в данной работе проходит с помощью фазовых диаграмм (см. главу 1 п. 1.2), с определением вида критической точки. Отметим также, целый цикл работ Шапиро А.П. [23], [44] -[50], которые по-видимому впервые образовали целое направление изучения конкурирующих популяций. Недавно, в Ростовском университете была выполнена интересная работа по изучению конкурирующих групп людей [17].

Именно эти работы, в которых определены и выделены случаи возможного устойчивого ненулевого существования двух конкурирующих популяций, послужили идеей рассмотрения дискретной модели совместного существования двух хищных популяций, которые не просто конкурируют, а осуществляют восстановление за счет частичного уничтожения или полного использования антагонистической популяции. Популяции рассматриваются как динамические системы (образующие во времени "траектории", последовательности или "орбиты"), связанные рекуррентными соотношениями, регулирующими численность. Полученный в работе сценарий имеет два управляющих параметра (управляющие константы).

Известно, что системы с отрицательной обратной связью в некоторых случаях являются неустойчивыми. Возможно возникновение незатухающих колебаний, неустойчивых состояний и переход через удвоение периода к хаосу.

Анализ сценария перехода к хаосу, проведенный в средине 70-х годов американским физиком Митчеллом Фейгенбаумом, ознаменовал прорыв в понимании проблемы перехода к хаосу. В модели двух систем (глава 2) настоящей работы указанный сценарий (дерево Фейгенбаума) получается как частный случай из более общей модели, при равенстве управляющих параметров а = р.

В диссертации, сначала в главе 2 в виде компьютерной программы численными методами изучается модель совместного существования двух конкурирующих, антагонистических популяций, которые частично, или полностью поддерживают свое современное состояние уничтожая соперника. В главе 2 получена приближенная картина двупараметрической модели Ферхюльста - Пирла и рассмотрены некоторые родственные модели. Полученные в этой главе результаты показали, что, так же как и в обычной, однопараметрической модели возможно появление точек бифуркации, возможны различные циклы разных периодов и даже явление хаоса. В отличие от традиционного дерева, демонстрирующего удвоение длинны циклов (см. гл. 1 и приложение 1) в главе 3 аналитическими методами с вычислением границ различных состояний решений итерационной системы и компьютерной графики получена фрактальная капуста. (Приложение 4 - рост графического объекта при увеличении по разным координатам параметров модели.) Глава 3 содержит аналитические методы изучения модели существования - двух конкурирующих, антагонистических популяций на основе двух связанных вместе итерационных уравнений типа уравнений Ферхюльста - Пирла. Известно, что наиболее интересным и содержательным выводом, который получается при изучении дискретных моделей динамики численности локальной популяции [4] - это наличие собственных внутренних колебаний численности без всякого влияния среды. Полученная в главе 3 двупараметрическая модель полностью подтверждает эти явления и на диагонали демонстрирует известную ранее модель Фейгенбаума [10], и Шарковского [9], являясь тем самым, обобщением известных ранее явлений. В четвертой главе проведен приближенный ренормгрупповой анализ и приведены некоторые вспомогательные утверждения. Первая глава носит вводный, ознакомительный характер, содержит известные утверждения помогающие определить направление исследований в главах 2-4.

Результаты, полученные в диссертационной работе, имеют и практическую значимость. Антагонистические отношения последнее время рассматривают и для моделирования взаимодействия социальных групп. Так в 2002 году в Ростовском госуниверситете [17] построили модель для определения численности групп субъектов. Каждый субъект в группе характеризовался двумя параметрами: силой (физической, интеллектуальной и т.д.) и рейтингом (звание, должность и т.д.). Взаимодействие заключалось в переходе участников из одной группы в другую в соответствии с функцией доход/рейтинг. Были выявлены: как явления устойчивого существования групп, так и. условия неустойчивости и раскола, явления циклического обмена участников между группами. Бесспорно, интересным и перспективным направлением является изучение взаимодействия групп органов правопорядка и криминальных групп, групп экономического роста и теневой экономики и т.д. Построение таких моделей, к сожалению, сверх актуальная задача нашего времени. Известно, что как и в Чеченской республике так и в Грузии и в других районах существенному ухудшению уровня жизни предшествовала значительная криминализация этих территорий и потеря государственной власти.

Наиболее серьезными работами, оказавшими большое влияние на стиль и направление исследований в диссертационной работе, являются работы Кузнецова С.П. и соавторов [11]-[12] , [20]-[22]. Эти работы в отличие от основополагающих теоретических работ - в первую очередь Арнольда В.И. (например обзор [13], [14] ) носят более прикладной и демонстрационный характер, что соответствует тематике диссертационной работы - управление процессами на основе изучения модели. В работах [12], [21]-[22] рассмотрено много примеров систем итерационных уравнений, ведущих к двупараметрическим моделям, но указанные системы в этих работах носят принципиально другой характер, чем в диссертационной работе. Так как в основном одно из уравнений в системе, как правило, линейно. Наиболее близкими к тематике работы можно определить исследования проведенные Шапиро А.П. [19] - по моделированию явлений каннибализма в популяции окуня, при этом различные возрастные группы выступают как антагонистические. В указанной работе рассматривалась несколько другая система итерационных уравнений, так как младшая группа в данной модели выступает скорее как жертва. Удивительным явлением открытым в указанной работе является существование ненулевого устойчивого состояния разных по возрасту групп.

Отметим монографии [3] - [6] содержащие обширную библиографию, как наиболее конкретно связанные с материалом, изучаемым в работе, а также работы Шапиро А.П. в сборнике [23].

Диссертационная работа выполнена на кафедре теории функций и геометрии Воронежского госуниверситета. Материалы работы опубликованы в работах [24] - [35].

Цели и задачи исследования. Рассмотрим систему итерационных уравнений, описывающую изменение численности двух взаимодействующих популяций yn+i=ax„(l-x„) 1 xn+i=fiy„+i(l-yn+i)'

Здесь xn - численность одного вида, a yn - другого в л-ом году. Заметим, что относительная численность в и + i году популяции уп+1 зависит от численности хп в п -ом году (0<хп,уп <1). В свою очередь лг„+1 зависит от уп+\. Поскольку численность вида регулируется исключительно враждующей популяцией — такое взаимодействие мы называем антагонистическим.

Основной целью работы являлось изучить свойства модели отношения "хищник-хищник" на базе указанной выше системы и на базе некоторых других родственных систем итерационных уравнений. Данные свойства менялись под управлением двух параметров. В соответствии с поставленной целью задачами исследования являются:

1. Построение численной модели на основе компьютерной программы улавливающей такие явления как: устойчивость решений, число решений, появление циклов и хаотическое поведение.

2. Разработка аналитических методов исследования задачи управления возможными состояниями системы - характеризующиеся разным числом решений, в зависимости от размеров управляющих параметров как для случая а = р, так и для ранее неизвестного случая аФ р.

3. Получить аналитическое описание и графическое изображение зон появления циклов в итерационной системе, зоны непредсказуемости и зоны хаоса, а так же поведения траекторий решений в случае произвольного изменения управляющих параметров.

4. Провести приближенный ренормгрупповой анализ системы.

Методы исследования. Для решения поставленных в диссертации задач использовались методы теории динамических систем, математического моделирования, теории систем и управления, геометрические методы исследования алгебраических уравнений, методы теории функций действительной переменной и методы функционального анализа, методы вычислительной математики и программирования.

Научная новизна. На защиту выносятся следующие результаты, впервые полученные в настоящей работе:

1. Разработаны аналитические методы исследования задачи управления возможными состояниями системы - характеризующиеся разным числом решений, в зависимости от размеров управляющих параметров для случая а = р. Получена новая графическая иллюстрация расположения корней системы.

2. Получено описание зон появления циклов в итерационной системе, зон непредсказуемости и зоны хаоса для случая а^р. Дано графическое изображение указанных выше зон.

3. Получен пакет компьютерных программ, позволяющий проследить и эволюцию решений в зависимости от значений управляющих параметров.

4. Проведено сравнение исходной системы с системой на базе логистического уравнения и проведен приближенный ренормгрупповой анализ системы.

Теоретическая и практическая значимость. В процессе диссертационных исследований получены следующие результаты, имеющие теоретическую значимость:

1. Описана аналитическими методами бифуркационная диаграмма двумерного отображения типа Ферхюльста - Пирла, обобщающая классические исследования. Диагональное сечение этого отображения содержит известное бифуркационное дерево Фегенбаума. Данную диаграмму можно иллюстрировать, как двумерный переход от устойчивости решений к хаосу.

2. На базе полученных исследований, усложняя модель в дальнейшем возможно моделирование антагонистических отношений социальных, экономических и др. сообществ с целью прогнозирования развития ситуации.

3. Получено графическое изображение двумерной модели Ферхюдьста — Пирла, которое можно использовать для практической демонстрации сценария перехода от неустойчивости к хаосу в качестве учебного пособия в курсах: "Теория катастроф", "Динамические системы", и др.

Реализация и внедрение результатов работы. Получен программный продукт, позволяющий демонстрировать двумерный сценарий перехода к хаосу ("фрактальная капуста"). Исследования внедрены в учебный процесс Воронежского госуниверситета в качестве спецкурса на 5-ом курсе на кафедре теории функций и геометрии. (Акт внедрения от 2004 г.)

Личный вклад автора в диссертационную работу. Диссертационные исследования проводились автором на кафедре теории функций и геометрии Воронежского госуниверситета под руководством доктора физико-математических наук, профессора Родина В.А. Большая часть результатов получена автором самостоятельно, что подтверждается единоличными публикациями. Полностью самостоятельно выполнены все алгоритмы.

Апробация результатов работы. Основные результаты работы докладывались, обсуждались и получили положительные оценки на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу (Лиманчик РГУ, 2002г. 2004г.); международной конференции "Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений" ВГУ, Воронеж, 2003г.2005г.; научно-практических конференциях ВИ МВД России (2002-2004); научном семинаре ВГУ по теории функций и функциональному анализу; на кафедре Т.и П.М.Д. ВИ МВД России (2002-2005).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 12 печатных работах. В том числе 9 статей в журналах и сборниках, из них 3 в списках ВАКА, - 3 в сборниках тезисов докладов.

Структура диссертации. Диссертационная работа изложена на 118 страницах машинописного текста, состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 90 наименований, приложений 1-4 с графическими иллюстрациями, приложения 5 с текстами программ и 6 — с документами о внедрении результатов исследований.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Волкова, Наталья Владимировна

Заключение

В работе моделируется ситуация совместного существования двух антагонистических популяций частично или полностью восстанавливающих свою численность за счет уничтожения противоположного вида. В качестве уравнения описывающего "собственную жизнь одной популяции" (изменения численности во времени в зависимости от значения управляющего параметра) в основном (гл. 2-4) выбрано классическое разностное уравнение Ферхюльста — Пирла, или эквивалентное по поведению логистическое уравнение. Система таких двух уравнений, в которой выходные данные первого уравнения являются входными (начальными) для второго, дает двупараметрическую картину (параметры в разных уравнениях разные), впервые подробно изученную в данной диссертационной работе.

Опираясь на многочисленные диаграммы Ламерея, полученные с помощью использования стандартных программ и индивидуального программирования, рассматривающие одновременно две параболы (это тоже впервые применено в диссертации, все известные автору работы содержат биссектрису первого координатного угла и кривую линию - график определенного полинома, как правило параболу) позволили в работе применить "симметричные" аналитические и геометрические соображения и, как следствие, впервые получить трехмерное графическое изображение эволюции перехода через удвоение к хаосу ("фрактальная капуста").

Актуальность и ценность полученных результатов подтверждается тем фактом, что в сечении, при равенстве управляющих параметров а =р получено известное классическое дерево Фейгенбаума со сдвигом на одно бифуркационное число. Изменяя соотношения между управляющими параметрами в работе не только получены известные факты о переходе через удвоение периода к непредсказуемому поведению "траектории решения", но и получено численным моделированием и изучено аналитически новое явление, контролирующее перескакивание "траектории решения" от одного аттрактора к другому, расположенному по другую сторону от биссектрисы первого координатного угла.

Работа показала, что в зависимости от значения управляющих параметров "траектории решений" могут иметь от одной точки сходимости (0,0) (эффект вырождения) до четырех (из них три невырожденных (х],х2) и xj х2*0). При этом каждая из невырожденных точек может не быть точкой сходимости а иметь "вокруг себя" некоторый аттрактор (в простейшем случае это прямоугольник с центром в этой точке). Этот прямоугольник является предельным множеством для траектории. Впервые обнаружена и аналитически доказана возможность случайного переброса траектории от одного такого прямоугольника к другому.

Результаты диссертационной работы опубликованы в 12 работах. Пункт 2.1 второй главы, в котором содержится численное моделирование, позволившее сделать различные гипотезы, был выполнен автором самостоятельно и являлся первой нитью в исследовании. Моделирование, основанное на самостоятельном применении диаграмм Ламерея, содержащих две параболы выполнено в работах ранее и затем внедрено в исследования диссертации. Аналитическое вычисление момента переброса траектории с одного аттрактора на другой приведено в работе для полноты и последовательности изложения. Модель частичного использования ресурсов антагонистической популяции и все выводы о возможности нетривиального сосуществования полностью получены и опубликованы [35] автором самостоятельно. В этой главе для управляющих параметров системы определенного вида найдено множество, гарантирующее устойчивое ненулевое решение системы. Глава 1 необходима для определения места положения исследований, проведенных в диссертации. В главе 2 получено новое оригинальное представление (в виде эллипса) о множестве точек, которое может содержать неподвижные точки системы при равенстве управляющих параметров.

В четвертой главе в отличие от классического ренормгруппового анализа (см. например работы [20] — [22], [85]), этот анализ проведен сразу для системы, а не путем сведения к одному уравнению со сложным параметром. Однако точность приближенного анализа в системе получилась не высокой, что скорее говорит о не совершенстве этого метода.

После учета замечаний рецензентов на работы [29] - [34] автор ознакомился с работами [85] - [87]. Бесспорно результаты исследований проведенных в диссертации имеют связь с классической теорией катастроф и синергетикой (см. работы [86] - [90]), но автор в диссертационной работе изучал установленные явления с позиций динамических итерационных систем и теории управления моделями.

Работа проходила под руководством профессора Родина В.А. (кафедра теории функций и геометрии ВГУ).

Результаты, подтверждающие возможность не вырождающегося со временем, совместного сосуществования двух антагонистических популяций очень актуальны в современной действительности.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Волкова, Наталья Владимировна, 2005 год

1. Месарович М. Основания общей теории систем. В.Сб.: Общая теория систем. М.: Мир, 1966.

2. Новик И.Б. О моделировании сложных систем. М.: Мысль, 1965.

3. Меншуткин В.В. Математическое моделирование популяций и сообществ водных животных. Наука. Ленинград, 1971.

4. Скалецкая Е.И., Фрисман Е.Я., Шапиро А.П. Дискретные модели динамики численности популяций и оптимизация промысла. Изд. Наука. Москва, 1979. — 166 с.

5. Тарасевич Ю.Ю. Математическое и компьютерное моделирование. УРСС, Москва, 2002. 142 с.

6. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры. М.: Физматлит, 2001.

7. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Элементы математического моделирования в программных средах MATLAB 5 и Scilab. СПб., Наука, 2001.

8. Штофф В.А. Моделирование и философия. Изд.Наука. Москва, 1966.

9. Шарковский А.Н. Сосуществование циклов непрерывного отображения прямой в себя // УМЖ, 1964, т. 16, № 1, С. 61 -71.

10. Ричард М. Кроновер. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. Москва: Постмаркет, 2000. 352 с.

11. П.Кузнецов С.П. Хаос: сценарий Фейгенбаума и его обобщения // Империя математики,, 2000. № 1. С. 1-119.

12. Кузнецов С.П.-, Кузнецов А.П., Сатаев И.П. Воздействие фрактального сигнала на систему Фейгенбаума и бифуркация в уравнении ренормогруппы // Изв. Вузов. Радиофизика. 1990. т.34. №6.

13. Арнольд В.И Перестройка особенностей потенциальных потоков бесстолкновительной среды и метаморфозы каустик в трехмерном пространстве // Труды сем. И.Г.Петровского, 1982. Т.8. С. 21-57.

14. Арнольд В.И. Теория катастроф 3-е изд. М. '.Наука. 1990.- 123 с.

15. Rodin V.A., Rodina E.V. The fractal dimension of Tokyo's streets.// FRACTALS, 2000. Vol.8. N4. P. 413-418.

16. Rodin, V., Rodina, E., Dumachev, V. Methods and Principles of Police Deployment within "Chaotic" Urban Structure, In the Materials of the University Collage of London, 2003. Vol.2. P. 410-419.

17. Ильичев В.Г., Задорожный А.И. К моделированию динамики групп // Матем. Моделирование, 2002. т. 14. №12. С. 72-86.

18. Компьютеры и нелинейные явления. Сборник, М.: Наука. 1988.

19. Шапиро А.П. Об устойчивости популяций каннибалов // Матеем. Мод ел. Популяционных экологических процессов. Владивосток, 1987. С. 106-112.

20. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П. Критическая динамика одномерных отображений. Часть 1. Сценарий Фейгенбаума // Изв. Вузов. ПНД, 1993. т.1. № 1-2 С. 15-31.

21. Кузнецов С.П. Динамика двух однонаправлено-связных систем у порога гиперхаоса. Ренормгрупповой анализ // Изв. Вузов. Радиофизика, 1990. т.ЗЗ. №7.

22. Кузнецов С.П. Универсальность и подобие в поведении связанных систем Фуйгенбаума // Изв. Вузов. Радиофизика, 1985. т.28. №6.

23. Динамические системы и теория приближений. Сборник работ Даль. отд. Акад. Наук. Владивосток. 1979.

24. Волкова Н.В. О совместном существовании двух популяций хищников // Промышленная информатика. Межвузовский сборник трудов ВГПУ, Исследования в смежных областях. Воронеж. 2003. С.131-134.

25. Волкова Н.В. Об одной модели естествознания, основанной на системе разностных уравнений // Междунар. Школа-семинар по геометрии и анализу. Лиманчик, Ростов-на-Дону,Тез. Докл. 2002, С. 182.

26. Волкова Н.В. О некоторых особенностях решения системы рекуррентных уравнений, основанной на дискретном аналоге модели Ферхюльста-Пирла. // ВГУ, факультет ПММ, Сб. матем. моделирование, 2003. № 2. С. 46-49.

27. Волкова Н.В., Думачев В.Н., Родин В.А. О расширении модели Ферхюльста-Пирла // Вестник ВИ МВД России, Воронеж, 2004. 1(16). С. 21-25.

28. Волкова Н.В., Родин В.А. О совместном существовании двух популяций хищников. Промышленная информатика. Межвуз. Сборник трудов ВГГГУ, 2002.

29. Волкова Н.В., Думачев В.Н., Родин В.А. О расширении модели Ферхюльста-Пирла // Вестник ВГУ, Серия Физика, Математика, 2004. № 1. С. 88-96.

30. Волкова Н.В., Думачев В.Н., Родин В.А. Приближенный ренормгрупповой анализ двумерной модели Ферхюльста-Пирла // Труды участников межд. шк.-семинара по геом. и анализу памяти Н.В.Ефимова. Лиманчик, Ростов-на-Дону, 2004. С. 182-184.

31. Волкова Н.В., Думачев В.Н., Родин В.А. Сценарий перехода к хаосу в двумерной модели Ферхюльста-Пирла // Системы управления и информационные технологии, 2004. № 4 (16). С. 5-11.

32. Волкова Н.В. Моделирование сосуществования двух конкурирующих видов, непосредственно влияющих на численность друг друга. // Известия РАЕН серия МММИУ, 2003. т.7. № 3-4 (80-86). С. 80-87.

33. Андреев B.JL, Нагорский А.А., Шапиро А.П. Модель популяции рыб с двухлетним циклом и однократным нерестом // Проблемы кибернетики, 1972. вып. 25.

34. Гиммельфарб А.А., Гинзбург J1.P. Динамическая теория биологических популяций. М.: Наука. 1974.

35. Колмогоров А.Н. Качественное изучение математических моделей динамики популяций // Проблемы кибернетики, 1972. в.25.

36. Математическое моделирование в популяционных исследованиях.-.Владивосток-ИАПУ ДВО АН СССР, 1990. 142 с.

37. Свирежев Ю.М., Елизаров Е.Я. Математическое моделирование экологических систем // Проблемы космической биологии, 1972. в.20.

38. Фрисман Е.Я. Об одной модели динамики численности // Модели биологических сообществ. Владивосток. ДВНЦ. 1978.

39. Jaquette D.L. Mathematical models for controlling growing biological populations.-Surv.Curr. Res. 1972. N6.

40. May R.M. Stability and complexity in model ecosystems. New Jersey.-Princeton Univ.- Chicago Press. 1968.

41. Шапиро А.П. Математические модели конкуренций // Управление и информация. Владивосток. ДВНЦ, 1974. в.2. .

42. Шапиро А.П. Об одной модели конкурирующих видов // ДАН СССР. 1975. т.215. № 5.

43. Шапиро А.П. Дискретная модель конкуренции двух популяций // ДАН СССР. 1975. т.215. №3.

44. Шапиро А.П., Лейбович Т.Е. Оптимизация вылова нескольких конкурирующих популяций. Математическая теория биологических процессов. Калининград, 1976.

45. Шапиро А.П., Лейбович Т.Е. Оптимизация режима эксплуатации конкурирующих популяций // Математическая моделирование биологических сообществ. Владивосток. ДВНЦ. 1977.

46. Шапиро А.П., Луппов С.П. Об управлении некоторыми биосистемами, состоящими из конкурирующих популяций // Управление и информация. Владивосток. ДВНЦ. 1974. в.2, 5.

47. Шапиро А.П. Математические модели конкуренции // Управление и информация. Владивосток. ДВНЦ АН СССР. 1974. т. 10. С. 5-75.

48. May R.M. Biological populations obeying difference equations stable points, stable cycles and chaos // J.Theor. Biol. 1975.V.51. P.511 -524.

49. Feigenbaum M. J. Quantitative universality for a class of nonlintar transformations //J. Stat. Phys. 1978. v.19. N 1. P. 25-52.

50. Collet P., Eckman J.P. Iterated maps of the interval as dynamical sestem. Boston. Birkhauser, 1980.-248 p.

51. Жолондей Г. Версальность одного семейства симметричных векторных полей на плоскости // Мат. Сб. 1983. № 120. С. 473-499.

52. Zoladek Н. Bifurcations of Certain Family of Planar Vector Fields Tangent to Axes//Journ. OfDiff. Equa. 1987. V.67. N 1. P. 1-55.

53. Меншуткин B.B., Жаков Л.А. Опыт математического определения характера динамики численности окуня в заданных экологических условиях // Озера Карельского перешейка. М.Л. 1964. С. 140-155.

54. Бурмакин Е.В., Жаков Л.А. Опыт определения рыбопродуктивности окуневого озера//Научно-техн. Бюлл. ГосНИОРХ, 1961. № 17.

55. Ricker W.E. Stock and recruitment // Journ. Fish, re 3. Doard of Canada. 1954. V.ll. N 5. P.559-623.

56. Арнольд В.И. Потеря устойчивости автоколебаний вблизи резонанса и версальные деформации эквивалентных полей // Функц. анализ и его приложения, 1977. Т.2. №2. С. 1 10.

57. Гарднер М. От мозаик Пенроуза к надежным шифрам. М.: Мир, 1993.

58. Mandelbrot Benoit В. The Fractal Geometry of Nature. Freeman. San Francisco, 1982.

59. Mandelbrot Benoit В., Van Ness J.W. Fractional Brownian Motions? Fractional Noises and Applications. SIAM Review, 1968. Vol.10. N.4. P. 422-437.

60. Feder G. Fractals. Plenum Press, New York, 1988.

61. Шредер M. Фракталы, хаос, степенные законы. Ижевск. Изд. дом "Удмурдский университет 2000.

62. Пригожин И., Стенгерс И. Время, хаос, квант. М.: Мир, 1994.

63. Prusinkiewicz P., Hanan, J. Lindenmayer Systems, Fractals, and Plents, Lecture Notes in Biomathematics, N.79, Springer Verlag, New York, 1989.

64. Каток А.Б., Хефелблат Б. Введение в современную теорию динамических систем. М.: Факториал. 1999.

65. Якобсон М.В. О свойствах динамических систем, порождаемых отображениями вида х-*Ахе~Рх // В кн. Моделирование биологических сообществ. Владивосток. ДВНЦ, 1975.

66. Вул Е.Б., Синай Я.Г., Ханин К.М. Универсальность Фейгенбаума и термодинамический формализм // УМН. 1984. т.39, в. 3. С. 3-37.

67. Каданов Л.П. Пути к хаосу. // В кн. Физика за рубежом.- М.: Мир. 1985. С. 9-32.

68. Говорухин В.Н., Цибулин В.Г. Введение в Maple. Математический пакет для всех. М.: Мир, 1997.

69. Hudchinson John Е. Fractals and Self Similarity // Indiana University Mathematics Journal. 1981. Vol. 30. N. 5. P. 713-747.

70. Damsley M. Fractals Everywhere. Academic Press. Boston. 1988.

71. Sullivan D. Bounded structure of infinitely renormalizable mappings, in P.Cvitanovic (ed.), Universality in Chaos, Sec. Ed., Fdam Hilger, Bristol, 1989.

72. McMullen C.T. Renormalization and 3-manifjIds which fiber over the circle, Princeton University Press, 1996.

73. McMullen C.T. Complex dynamics and renormalization, Princeton University Press, 1994.

74. Tresser С., Coullet P. Ieration d'tndomorphismes et droupe de renormalization, C.R. Acad. Sc. Paris 287 A, 1978, P. 577-580.

75. Gleick J. Chaos: Making a New Science, Viking, New York, 1987.

76. Jackson T.A. Perspectives in Nonlinear Dynamics // Cambridge University Hress, Cambridge. 1989. Vols. 1-2,

77. Levaney R. L. A Fist Course in Chaotic Dynamical Systems: Theory and Experimtnts, Addison Wesly, Reading, Mass., 1993.

78. Banks J.,Drooks J., Cairns G., Davis G., Stacey P. On Devaney's Definition of Chaos, Amer. Math. Monthly, 1992. Vol.99. N.4. P. 332-334.

79. Kenneth Falconer, Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications, John Wiley & Sons, New York, 1990.

80. Devaney R.L. A First Course in Chaotic Dynamical Systems: Theory and Experiments, Addison Wesley, Reading, Vass.,1993.

81. Banks J.,Brooks G.,Davis G., Stacey. On Devaney's Definition of Chaos, American Mathematical Monthly, 1992. Vol.99. No. 4. P. 332-334.

82. Шустер Г. Детерминированный хаос. М.: Мир, 1988.

83. Капица С.П., Курдьмов С.П., Малинецкий Г.Г. Синергетика и прогнозы будущего. -М.:Наука, 1997.

84. Малинецкий Г.Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент: Введение в нелинейную динамику. М.:УРСС, 2000.

85. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. М.-УРСС, 2000.

86. Арнольд В.И. Теория катастроф. Изд. Московского университета, 1983.

87. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский А.А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. М.: Наука, 1992.92