Программно-математическое обеспечение автоматизированного управления микро-и нанозондовыми системами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Альзаяди Лаис Х Малек

• Альзаяди Лаис Х Малек
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Альзаяди Лаис Х Малек

Введение

ГЛАВА 1. ФОРМАЛИЗАЦИЯ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ПУЧКАМИ ЧАСТИЦ

§1.1. Определение магнитооптической системы

§1.1.1. Понятие структурного элемента системы управления

§1.1.2 . Описание магнитного поля в магнитооптических системах

§1.1.3. Уpавнения Максвелла и Лапласа

§1.1.4. Условия симметрии структурного элемента

§1.1.5. Представление скалярного магнитного потенциала, магнитного поля

§1.1.6. Матричный формализм при описании полей управления

§1.1.7. Заключение к Главе

ГЛАВА 2. МАТРИЧНЫЙ ФОРМАЛИЗМ ДЛЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ

§2.1. Матричный формализм для систем нелинейных ОДУ

§2.2. Сходимость рядов Ли для ОДУ

§2.3. Заключение к Главе

ГЛАВА 3. ФОРМАЛИЗАЦИЯ ДИНАМИКИ ПУЧКОВ (ДИНАМИКА ЧАСТИЦ В СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ)

§3.1. Уравнения движения частиц пучка в магнитооптических

системах

§3.2. Матрицы для уравнений движения и их классификация

§3.3. Решение системы нелинейных диффеpенциальных

уравнений в магнитооптических системах

§3.4. Заключение к Главе

ГЛАВА 4. МЕТОДИКА МОДЕЛИРОВАНИЯ

§4.1. Объектно-ориентированное моделирование (программирование)

§4.2. Аберрации и их краткая классификация

§4.3. Аппроксимация краевых полей в выбранных классах

функций

§4.4. Искусственные нейронные сети в физике пучков частиц

§4.5. Заключение к Главе

ПРИЛОЖЕНИЯ

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ

СПИСОК РИСУНКОВ

СПИСОК ТАБЛИЦ

Список используемой литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Программно-математическое обеспечение автоматизированного управления микро-и нанозондовыми системами»

Введение

Актуальность темы. В настоящее время микро- и нано-технологии активно используются в самых различных направлениях и представляют интерес как для ученых, инженеров, промышленников, так и для общественности поскольку получаемые результаты востребованы как в фундаментальных, так и в прикладных исследованиях. Следует отметить, что особое внимание уделяется разработке эффективных (с вычислительной точки зрения) и высокоточных инструментов, позволяющих проводить исследования в самых различных областях как в прикладной, так и в фундаментальной науке. Проведенный анализ подобных систем демонстрирует активный интерес к использованию микро- и нано-объектов в самых различных областях знания, в частности, в механике, электромагнитных процессах, термодинамике, а также в оптике и квантовой механике. В настоящее время подобные объекты используются в самых различных областях науки и технологий, см., например, [40,63,64,65,66,67]. В частности, в последние годы микро- и нано-зондовые системы находят самое широкое применение в самых различных направлениях, в том числе в неразрушающем анализе, в биомедицине, в металлургии, в археологии, в промышленности, в кристаллографии и т.д.

Динамика различных физических объектов, явлений и технологических процессов традиционно исследуется с помощью построения различных моделей. Практика использования различных моделей (например, теоретических, технологических и информационных) приводит к необходимости повышения адекватности1 получаемых моделей, повышения сложности и стоимости объектов и процессов. Проблемы безопасности для человека привели к необходимости разработки эффективных (с вычислительной точки зрения) моделей. С другой стороны, естественный ход развития методов и инструментов теоретической и практической математики, компьютерной архитектуры, системного и математического обеспечения, методов и инструментов компьютерной алгебры, методов объектно-ориентированного программирования2 привел к появлению большого числа практических методов решения соответствующих задач. Это позволяет создавать необходимые условия для формирования и реализации качественно новых идей в различных областях математического моделирования физических явлений, процессов и объектов.

Именно бурное развитие прикладной математики привело к глубокому взаимному проникновению и взаимовлиянию практически всех ее разделов. Осмысление реальных процессов и явлений в самых различных областях человеческого знания привело к глубокому пониманию процессов, корректного описания, формализации и моделирования динамических процессов и явлений, в том числе с целью их анализа и синтеза. В данной работе используется концепция динамического моделирования, объединяющего в себе

1 Повышение адекватности во многом определяется практическими областями применения предлагаемых моделей.

2Объектно-ориентарованное программирование (ООП) — методология программирования, основанная на представлении программы в виде совокупности объектов, каждый из которых является экземпляром определённого класса, а классы образуют иерархию наследования.

самые современные идеи не только классического моделирования (как математического, так и программного) сложных систем различного предназначения, но позволяет осуществлять формирование и построение, использование специализированного программного обеспечения, основанного на современных программных методах и технологиях.

В дальнейшем под динамическим моделированием будем понимать инструмент прогнозирования и планирования в неопределенных динамически развивающихся ситуациях, возникающих в тех или иных процессах, объектах, явлениях. В работе используются процедуру моделирования (описания) с использованием, прежде всего, математических и программных методов моделирования. При этом предполагается, что сами модели и/или их составные части рассматриваются как объекты, снабженные необходимыми атрибутами экспертных3, а также средствами «сшивки» этих объектов в суперобъекты. При этом объекты могут развиваться, совершенствоваться и пополняться (при необходимости) независимо как обособленные объекты, при выполнении некоторых «правил игры» (принципов). Заметим также, что предлагаемые в работе позволяют использовать дополнительные технологии, в частности концепции LEGO объектов, которые широко используются в самых различных областях практического моделирования как процессов, так и объектов.

Укажем некоторые из них: принцип модульности4, принцип активности данных, принцип автоматической передачи сообщений, принцип наследования. Следует отметить, что последние два принципа не входят в традиционный список принципов, на которых традиционно строятся экспертные системы. Принцип автоматизированной передачи сообщений обеспечивает обмен («сшивки») информацией (при необходимости) между объектами (моделями). Иными словами, все «манипуляции», производимые в среде одного из объектов, должны сообщаться другим объектам с целью перенастройки последних автоматически (в том числе, по некоторому заданному «ключу»). Естественно, что необходимо предусмотреть и возможность запрета передачи подобной информации.

Принцип наследования состоит в том, что каждая следующая модель не только наследует признаки предыдущей, стоящей на низшей ступени иерархии, но и пробретает новые свойства. При этом исследователь должен предусматривать возможность множественного наследования, когда на некотором этапе модель наследует признаки нескольких, более ранних моделей. В качестве классического примера следует упомянуть примеры из современной физики, например, релятивистскую квантовую теорию поля, генетически наследующую признаки более ранних моделей (например, квантовой механики, классической теории поля и специальной теории относительности), так и современных информационных технологий, см., например, [16,35,36,42].

3Экспертная система (ЭС, Expert system) — предиктивная система, включающая в себя знания об определенной слабо структурированной и трудно формализуемой узкой предметной области и способная предлагать и объяснять пользователю разумные решения. Экспертная система состоит из базы знаний, механизма логического вывода и подсистемы объяснений. Экспертная система включает в себя большое число структурных составляющих меньшего размера.

4Принцип модульности состоит в организации программ ( в виде совокупности небольших независимых модулей) структура и «поведение» которых подчиняются определенным (заранее сформулированными) правилам. Основное предназначение модульного программирования заключается как в упрощении тестирования программа, так и в обнаружение ошибок.

Необходимо особо обратить внимание на основные проблемы, успешно решаемые с помощью методов и кодов компьютерной алгебры5.Так как формирование управляющих объектов представляет собой достаточно сложную задачу6, то в процессе решения часто требуется обеспечить, с одной стороны, наибольшую адекватность физической модели исходному объекту или процессу, а с другой стороны, наибольшую эффективность (прежде всего вычислительную) самого процесса как математического, так и компьютерного моделирования, и как следствие, выполняемых вычислительных операций. Особо необходимо отметить, что с учетом развития современных информационных технологий огромную помощь при формировании объектов и обеспечении их оптимального функционирования оказывают методы и средства компьютерной алгебры. Необходимо отметить, что традиционные математические методы, интенсивно используемые в процессе моделирования7, требуют достаточно громоздких и трудоемких вычислений, что часто приводит к повышению вероятности ошибок, особенно если в качестве «вычислителя» используется человек. «Ручное кодирование» соответствующих многострочных (и даже многостраничных, см., например, Приложение) выражений также часто приводит к многочисленным ошибкам. Заметим, что формирование соответствующих объектов и реализущих их технологий представляет собой достаточно сложную задачу, так как в процессе решения часто требуется обеспечить, с одной стороны, наибольшую адекватность рассматриваемой физической модели, а с другой стороны, наибольшую вычислительную эффективность самого процесса моделирования. Именно поэтому, с учетом развития современных информационных технологий огромную помощь при формировании объектов и обеспечении их оптимального функционирования играют методы и средства компьютерной алгебры. В качестве основных процессов, которые реализуются в рамках символьных операций можно, прежде всего, указать следующие:

1) определение/выделение математических объектов с заданными свойствами;

2) разработка и использование средств выполнения подстановок с учетом свойств используемых математических объектов;

3) средства выполнения подстановок с использованием различных стратегий;

4) методы и средства символьного дифференцирования;

5) методы и средства полиномиальных преобразований, как для упрощения входных выражений, как и для специальных полиномиальных преобразований;

6) средства вывода (посроения) необходимых формульных выражений, например, в традиционной форме;

7) проблемно-ориентированная среда, необходимая для разработки и модификации методов аналитических и символьных преобразований;

5Система компьютерной алгебры (СКА, англ. computer algebra system, CAS) — это прикладная программа для символьных вычислений, то есть выполнения преобразований и работы с математическими выражениями в аналитической (символьной) форме.

6 Современные задачи достаточно сложны, что приводит, чаще всего, использование численного описания соответствующих объектов. Однако подобный подход не обладает достаточной вычислительной эффективности. Использование методов компьютерной (символьной) математики позволяет строить точные решения (в рамках рассматриваемых задач). Накапливание соответствующих решений позволяет проводить необходимые численные исследования.

7

Объектно-ориентированное программирование (ООП) — методология программирования, основанная на

8) разработка и внедрение графических средств, инструментов с целью повышения практических вычислительных операций;

9) вычислительно эффективные средства численного программирования.

Заметим, что вычислительная эффективность применяемых систем может существенно различаться как по возможностям в решении поставленных задач, так и в вычислительной эффективности (временные затраты на получение соответствующих конструктивных элементов). Среди универсальных и наиболее востребованных систем, прежде всего, следует указать следующие две системы MATHEMATICA8 и MAPLE9. Формирование соответствующих баз данных и знаний, генерируемых средствами человеческого интерфейса и компьютерной алгебры, позволяет построить базовые "кирпичики", из которых и «строятся» соответствующие модели. Следует также отметить, что используемые математические модели должны допускать, с одной стороны, возможность построения баз данных и знаний средствами компьютерной алгебры, а, с другой стороны, обеспечить достаточную гибкость и необходимые корректность и адекватность самого процесса моделирования. Необходимо также упомянуть проблему достаточности (адекватности) математических методов и используемых аппаратных средств соответствующим процессам и явлениям.

Заметим, что применение методов и кодов компьютерной алгебры10 может практически полностью снять эти проблемы. Формирование соответствующих баз данных и знаний, генерируемых средствами как «человеческого интерфейса», так и компьютерной алгебры, позволяет построить те базовые кирпичики, из которых и строятся соответствующие модели.

Следует также отметить, что используемые математические модели должны допускать, с одной стороны, возможность построения баз данных и знаний средствами компьютерной алгебры, а с другой стороны, обеспечить достаточную гибкость и необходимую адекватность самого процесса моделирования. Необходимо также упомянуть проблему адекватности и корректности математических методов и используемых аппаратных средств соответствующим процессам и явлениям. В этой связи следует указать на современные вычислительные (информационные) технологии - многопроцессорные, мультипроцессорные, транспьютерные и нейроподобные системы, которые требуют проведения адекватных процедур по распараллелированию и распределению соответствующихвычислительных процессов. Следует также отметить, что в настоящее

8Система Mathematica предназаначена для проведения символьной математики (в частности, предусмотрено использование как традиционной графики изображения исследуемых объктов, так и поиск исследуемых решений с использованием вариативны графических объектов). Пакет Mathematica предназанчена для проведения анализа рассматриваемых задач, демонстрирует высокую эффективность ивостребован среди научных работников в самых различных направлениях, от аналитической математики, до практических задач. Имеются возможности для разработки специальных средств (в рамках существующих матемтических методов и инструментов).

9 Программа MAPLE Система компьютерной математики, предназначенная для выполнения решения

математических и физических задач, имеет большой набор функций для численных и символьных вычислений.

время в сферу научных и технических расчетов активно привлекаются методы и средства искусственного интеллекта, реализация которых осуществляется в виде создаваемых в основном прототипов экспертных систем, например таких как, [69,70], CODES (пример экспертной системы в информатике) [70,71].

Заметим, что частным случаем подобного рода систем являются так называемые электронные учебники, позволяющие исследователю в интерактивном режиме получать новые знания и приобретать опыт в исследовании интересующих его процессов и объектов.

Обзор современной литературы, прежде всего, материалов конференций, как наиболее быстро реагирующих на современные достижения, обнаруживает быстрорастущий интерес к повышению эффективности (в том числе и вычислительного характера) и необходимой информативности корректности используемых методов с одновременным развитием интерфейсов самого различного предназначения (например, графического). Действительно, именно графические (наглядные) объекты позволяют активно использовать конструируемые объекты, получаемые в процессе проводимых исследований.

Заметим также, что именно существование огромного числа пакетов прикладных программ указывает также и на необходимость разработки (по мере возможности) единообразного набора инструментов, основанного на максимально адекватном математическом аппарате и обеспечивающего эффективное (прежде всего, с вычислительной точки зрения) решение задач.

Следует также отметить, что и повышение эффективности (вычислительной, прежде всего) должно происходить с учетом новых теоретических и экспериментальных знаний, которые формализуются в процессе исследований.

Следует также отметить, что, исходя из указанных принципов и целей исследований, в работе рассматриваются возможности использования методов и инструментов компьютерной алгебры11 при моделировании динамики пучков заряженных частиц, которые позволяют эффективно использовать нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) как при описании динамики нелинейных систем, так и при разработке новых методов и инструментов (в том числе информационных технологий). Именно привлечение методов и инструментов ОДУ во многом определяется спецификой рассматриваемых в данной работе задач.

В качестве альтернативного инструмента (к рассматриваемому в данной работе) следует указать работы AXDragt^ и его коллег (см., например [35,36]), которые посвящены изложению конструктивных методов решения задач нелинейной динамики в рамках теории возмущений на основе алгебраических методов Ли12.

11В математике и информатике, компьютер алгебра, также называемая символьным вычислением или алгебраическим вычислением, является научной областью, которая относится к изучению и разработке алгоритмов и программного обеспечения для управления математическими выражениями и другими математическими объектами. Хотя компьютерную алгебру можно рассматривать как подполе научных вычислений , они обычно рассматриваются как отдельные области, поскольку научные вычисления обычно основаны на числовых вычислениях с приблизительными числами с плавающей запятой , в то время как символьные вычисления подчеркивают точное вычисление с выражениями, содержащими переменные , которые не имеют заданного значения и обрабатываются как символы.

12Мариус Софус Ли создал значительную часть теории непрерывной симметрии и использовал её в изучении геометрии и дифференциальных уравнений (см., например, ).Основным инструментом Ли и главным открытием было то, что непрерывные группы преобразований можно понять лучше, линеаризуя их и

Необходимо также отметить, что в основном, эти методы применялись в задачах небесной механики и в задачах физики пучков заряженных частиц. Необходимо отметить тот факт, что практически все работы в этом направлении основывались на использовании гамильтонового формализма для стационарных задач, что, в общем-то, существенно сужает класс задач.

В данной работе будут использоваться методы и инструменты так называемого матричного формализма [6].

В отличие от упомянутых и других работ предлагаемый в работе подход допускает применение идеологии объектно-ориентированного программирования в широком смысле этого понятия естественным образом. Основные понятия, методы и соответствующие преимущества перед другими подходами, а также практические реализации используемого матричного формализма для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений подробно изложены в работах Андрианова С.Н. (см., например,[6^8]).

С учетом специфики рассматриваемых в данной работе физических объектов (в рамках указанного формализма), в данной работе представлен единообразный подход автоматизированного решения трех основных этапов динамики пучков в магнитооптических системах:

• описание магнитного (и/или электрического) поля мультипольных линз с помощью

скалярного потенциала V(X,у,51) , используя его разложение в ряд Тейлора и свойства симметрии поля:

В = -gradV, Е = -gradV ;

• генерация порождаемых системой управления уравнений эволюции (движения) заряженных частиц в этих полях, их матричное представление, генерация уравнений движения заряженных частиц в этих полях, их матричное представление при помощи кронекеровского произведения вектора фазовых моментов [1]:

= ^ р1к х[ к ] ^ к=0

• решение указанных уравнений в символьном нелинейном виде высоких порядков в различных мультипольных магнитных линзах:

изучая образующиеся векторные поля (так называемые инфинитезимальные генераторы). Генераторы подчиняются линеаризованной версии группового умножения, называемой теперь коммутатором, и имеют структуру алгебры Ли.

Компьютерная алгебра представляет собой математические методы используемых как в естественных науках, так и в многочисленных приложениях из различных областях знания. В последние годы значение и распространение методов и систем компьютерной алгебры значительно возросли. В настоящее время существует огромное число систем компьютерной алгебры, например, таких как CoCoA, Macaulay, Magma, Maple, Mathematica, Maxima, Reduce, Sage, Singular. Эти и другие системы предоставляют многочисленные возможности, как для символьных, так и численных вычислительных процедур, а также решения задач визуализации. Развитие и интеграция систем компьютерной алгебры с другими программными продуктами позволяет существенно увеличить возможности подобных систем, что демонстрируется использованием методов и инструентов компьютерной алгебры позволяет использовать не только эффективно инструменты компьютерной алгебры, но и использовать при решениях сложных прикладных задач в самых различных областях знания.

да

X = X R 1к X[k ], к=0

решение которых может осуществляться как с использованием различных численных методов, так и применением символьных методов.

Отметим, что предлагаемый подход открывает перед исследователями новые возможности проводимых исследований (как с численной, так и с качественной стороны) различных эффектов, выявляющихся при исследовании динамики пучков заряженных частиц.

Следует особо отметить, что проводимые символьные вычисления необходимо выполнять только один раз (в форме символьных объектов) для каждого выбранного порядка аппроксимации и типа управляющих элементов (например, диполей, мультипольных линз и т.п.). При необходимости подобные объекты размещаются в соответствующих базах данных и могут использоваться для других задач. Отметим, что подобные вычисления не зависят от начальных и краевых условий решаемых задач. При необходимости результаты вычислений могут быть внесены в соответствующие базы данных (более точно, в специальные базы знаний), так как эти результаты имеют различного рода дополнительную информацию (кроме численной). В частности, например,

каждый элемент матриц k>0 обладает определенным физическим содержанием в

зависимости от рассматриваемых задач (см., например, п.1.6.). Заметим, что в процессе вычислительного эксперимента (см. Рис.1), между элементами может (при необходимости) осуществляеться обмен требуемой информацией. Кроме того, соответствующие базы данных также в любой момент доступны пользователю для просмотра и редактирования.

Необходимо также отметить, что указанные инструменты компьютерной алгебры позволяют создавать коды численного программирования (например, с использованием современных языков высокого уровня) автоматически. Тем самым, имеется возможность тесного сотрудничества аналитических (символьных) и численных средств программирования.

Используемые инструменты построения соответствующих систем управления базами данных (СУБД) в данной работе ориентируются на идеологию объектно-ориентированного программирования, что позволяет использовать такие пакеты, как, например MATHEMATICA, MAPLE и др.

Предлагаемый в работе подход базируется на использованииуравнений Максвелла и их решений в терминах рядов для скалярного магнитного потенциала (в данной работе для магнитостатического случая).

Заметим, что ограничение в данном случае, с одной стороны, вызвано необходимостью выявить составляющие поля, элементы матриц уравнений движения и матриц решения, соответствующих этому случаю, с другой стороны, предоставляет возможность классифицировать коэффициенты разложения поля в соответствии с их физическим содержанием.

^иведенные результаты совпадают с известными в литеpатуpе, полученными в частных случаях, и являются распространением идеологии теоpии возмущений на произвольный случай.

Рис. 1. Взаимодействие баз данных в процессе вычислительного эксперимента

Представленная к защите диссертационная работа состоит из Введения, четырех Глав, Заключенияи пяти Приложений. Каждая Глава имеет Введение и Заключение, что помогает войти читателю в суть предлагаемых методов, а также использует вводные требования и заключения, поясняющие суть получаемых результатов в соответствующих Главах и Параграфах, Приложениях и в Списке используемой литературы.

Научная задача.

Разработка математических и информационных методов и технологий повышения эффективности проводимых вычислений на основе проведенных (предварительных) вычислений (в качестве готовых инструментов формирования систем управления пучками частиц).

Задачи исследования:

1) концептуальный анализ проблем существующих управляющих элементов и их формализация;

2) выбор и разработка инструментальных технологий, с использованием, как матеметических, так и информационных технологий;

3) разработка специализированного программного обеспечения компьютерного моделирования, осуществляющего необходимые вычислительные процессы;

4) экспериментальная оценка вычислительных процессов с точки зрения вычислительной эффективности.

Объект исследования. Выбор математических методов и информационных технологий, предназначены для решения практических задач модклирования микро- и нанозондовых систем.

Предмет исследования. Разработка математического и программного обеспечения систем специализованных математических методов на основе вычислительных процедур, и с использованием разработанных элементов, полученных как с использованием вычислительных методов, с использованием как классических математических методов и технологий, так и с использованиемметодов и инструментов информационных технологий.

Цель исследования заключается в разработке и внедрения элементов моделирование объектов с целью повышения как вычислительной эффективности, так и возможность использования информационных технологий с целью поиска оптимальных структур, описывающих управляющие элементы в микро- и назондовых системах.

Методы исследования. Методы системного анализа, современного алгебрического инструментария при использовании как математического, так и специализированного программного исследования.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Альзаяди Лаис Х Малек, 2022 год

список используемой литературы

1. Альзаяди Л.Х. Математическое и компьютерное моделирование нелинейных систем управления пучками частиц. Процессы управления и устойчивость, 6(1), pp.203-207.2019.

2. Альзаяди Л.Х. Математические и компьютерные технологии формирования зондоформирующих систем высоких порядков нелинейности. Вестник Санкт-Петербургского государственного университета технологии и дизайна. Серия 1: Естественные и технические науки, (1), pp.46-52. 2020.

3. Альзаяди Л. Математические и информационные технологии в моделировании ускорительных систем. Процессы управления и устойчивость, 7(1), pp.193-199.2020.

4. Андрианов С.Н., Альзаяди Лаис Х Малек. Математическое моделирование сложносоставных систем управления пучками частиц. Статья в сборнике трудов конференции «Лазерные, плазменные исследования и технологии Лаплаз-2019». V Международная конференция, 2019. Национальный исследовательский ядерный университет "МИФИ" (Москва). С. 162-163

5. Л.Х.Альзаяди, С.Н.Андрианов, Н.С.Едаменко. Математическое и компьютерное моделирование систем транспортировки заряженных частиц в зондовых системах. Научный журнал «Вестник Санкт-Петербургского государственного университета технологии и дизайна». 2020. ISSN: 2079-8199 DOI: 10.46418.pp. 39-44.

6. Андрианов С.Н. Динамическое моделирование систем управления пучками частиц. СПбГУ, 2004.

7. Андрианов С.Н. Метод погружения в пространство фазовых моментов. Управление в динамических системах. Вып. 2 Деп.. В ВИНИТИ, 1981. С.98-103.

8. Андрианов С.Н., Дымников А.Д. Осетинский Г.М. Система формирования протонных пучков микронных размеров. Препринт ОИЯИ P-9-12873. Дубна 1978. 15 стр. Приборы и техника эксперимента.1982. Т.1. С.39-42.

9. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. Физматлит. 2004.

10. Глазер В. Основы электронной оптики. Гостехиздат. М., 1957.

11. Карташев В.П. Котов В.И. Методы формирования пучков частиц на ускорителях высоких энергий. М. Энергоатомиздат, 1989.

12. Коломенский А.А. Физические основы методов ускорения заряженных частиц. Московский университет, 1980.

13. Лагутин А.Е. Программа создания ионного микрозонда для ядерного микроанализатора на базе электростатического ускорителя. Сборник докладов ФТТ-2005. С.504-506.

14. Лебедь С.А. Двухрежимная зондоформирующая система для современного ядерного нанозонда // ЖТФ, 2002, Т.72, Вып.1. С. 92-95.

15. Мешков И.Н. Транспортировка пучков заряженных частиц. Новосибирск, Наука, 1991.

16. Овсянников Д.А. Математические методы оптимизации динамики пучков частиц. Ленинградский университет, 1986.

17. Рошаль А.С. Моделирование заряженных пучков. М., 1979.

18. Таненбаум Э. Компьютерные сети. Питер, 2006.

19. Штеффен К. Оптика пучков высокой энергии. М., 1969, 233 с.

20. Явор С.Я. Фокусировка заряженных частиц квадрупольными линзами. М., Атомиздат, 1968. 263 с.

21. Al-Zayadi LH. Computationally Effective Solution Methods for multi-parameter problems. In 2019 11th International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops (ICUMT). 2019 Oct 28 (pp. 1-4). IEEE.

22. Andrianov S., Edamenko N. Modeling of fringe fields effects in transport and focusing systems. EPAC, 2006

23. Andrianov S., Chernyshev A., Edamenko N., Tereshonkov Yu. Some problems of nanoprobe modeling. Proc. of the 11-th EPAC, Genoa, Italy, 2008 P.2969-2971.

24. Andrianov S., Tereshonkov Yu. Comparative Analysis of Different Kinds of Effects in the Nanoprobe // Proc. of 11th EPAC, Genoa, Italy, 2008. - P. 3065-3067.

25. Andrianov S., Tereshonkov Yu. Some Problems of Optimal Nanoprobe Design // Proc. of 11th ICNMTA, Debrecen, Hungary, 2008. - P. 89.

26. Berz M., Erdelyi B., Makino K. Fringe field effects in small rings of large acceptance // Phys. Rew. St-Accelerators and Beams. 2000. Vol. 3. N 124001. P. 1-11.

27. V. Brazhnik, S. Lebed, W. Kwiatek, Z. Stachura, M. Cholewa, D. Jamieson and G.

28. Legge Numerical optimization of a short version of proton microprobe focusing system in the Institute of Nuclear Physics in Cracow. NIM B, Vol. 130, 1997, P. 104-108.

29. M.B.H. Breesea and D.N. Jamieson A detailed account of the correction of parasitic sextupole fields in a magnetic quadrupole lens. NIM B, Vol. 83, 1993, P. 394-406.

30. M.B.H. Breesea, D. N. Jamieson, B. L. Doyle The use of solenoid lenses in a two-stage nuclear microprobe probe-forming system. NIM B, Vol. 188, 2002, P. 261-266.

31. Brown K. L., Belbeoch R., Bounin P., First- and second-order magnetic optics matrix equations for the midplane of uniform-field wedge magnets. Rev. Sci. Instrum. Vol. 35, 1964. P. 481-485.

32. J.A. Cookson The production and use of a nuclear microprobe of ions at MeV energies. NIM B, Vol. 165, 1979, P. 477-508.

33. Datzmann G., Dollinger G., Hinderer G., Korner H.-J., A superconducting multipole lens for focusing high energy ions. NIM B, Vol. 158, 1999, P. 74-80.

34. Davies W.G. The theory of the measurement of magnetic multipole fields with rotating coil magnetometers. NIM in Physics Research, A311, 1992.

35. Dragt A. Convergence of Taylor Transfer Map for Duffing Equation. https://arxiv.org/abs/1212.4515

36. Dragt A. Lie Methods for Nonlinear Dynamics with Applications to Accelerator Physics University of Maryland, College Park http://www.physics.umd.edu/dsat/

37. DymnikovA.D., GarciaGustavo High-frequency focusing system for nuclear microprobes. NIM B, Vol. 158, P. 85-89.

38. Enge H. A. Effect of Extended Fringing Fields on Ion-Focusing Properties of Deflecting Magnets. Review of Scientific Instruments, Vol. 35, 1963, P. 278-287.

39. Gillespie G. H., Hill B. W., Martono H., Moore J. M., Brown N. A. The Particle Beam Optics Interactive Computer Laboratory For Personal Computers And Workstation // Proc. Particle Accelerator Conference _ PAC'97, Vancouver, BC, Canada. Piscataway (NJ, USA) 1997. P. 2562 -2564.

40. Grime G. W., Watt F. Beam Optics of Quadrupole Probe-forming Systems, Adam Hilger Ltd, Bristol, 1984.

41. G.Hinderer, G.Dollinger,G. Datzmann and H. J. Korner Design of the new superconducting microprobe system in Munich. NIM B, Vol. 130, 1997, P. 51-56.

42. Humphrey W., Ryne R., Cummings J., Cleland T., Habib S., Mark G., Qiang J. Particle Beam Dynamics Simulations Using the POOMA Framework. Los Alamos National Laboratory, 1998.

43. Jamieson D. N., Grime G. W., Watt F. The new Oxford scanning proton microprobe analytical facility NIM B, Vol. 40-41, 1989, P. 669-674.

44. Jamieson D. N., Legge G. J. F. Aberrations of single magnetic quadrupole lenses. NIM B, Vol. 29, Issue 3, 1987, P. 544-556.

45. Jamieson D. N., Ryan C. G., Sie S. H. Measurement of the aberrations of an electrostatic quadrupole probe forming lens system. NIM B, Vol. 54, 1991, P. 33-37.

46. V. Khomenko, S. Lebed and S. Mordik A new magnetic scanning system for proton microprobe. NIM B, Vol. 130, 1997, P. 86-89.

47. S. Lebed and A. Ponomarev Field reconstruction technique for testing magnetic quadrupole lenses. NIM B, Vol. 130, 1997, P. 90-96.

48. Lee-Whiting G. E. Measurement of quadrupole lens parameters. NIM, Vol. 82, P. 157-161.

49. Lee-Whiting G. E. Third-order aberrations of a magnetic quadrupole lens. NIM, Vol. 83, Issue 2, 1970, P. 232-244.

50. G. J. F. Legge A history of ion microbeams. NIM B, Vol. 130, 1997, P. 9-19.

51. Matsuda H., Wollnik H. Third order transfer matrices for the fringing field of magnetic and electrostatic quadrupole lenses. NIM, Vol. 103, Issue 1, P. 117-124

52. Moloney G. R., Jamieson D. N., Legge G. J. F. Measurement, analysis and modification of the fifth-order fringe field components of magnetic quadrupole lenses. NIM B, Vol. 54, 1991, P. 2427.

53. Moloney G. R., Jamieson D. N., Legge G. J. F. Design modifications to reduce duodecapole components in the fringe field region of magnetic quadrupole lenses. NIM B,Vol. 77, 1993, P. 3538.

54. Moloney G. R., Jamieson D. N., Legge G. J. F. Analysis of the fringe field region of magnetic quadrupole lenses: field measurements and ion optical calculations. NIM B, Vol. 130, 1997, P. 97103.

55. Sie S.H., Ryan C.G. An electrostatic «Russian» quadruplet microprobe lens. NIM B, Vol. 15, 1986, P. 664-668.

56. StephanA., J. Meijer, M. Hofert, H.H. Bukow and C. Rolfs A superconducting solenoid as probe forming lens for microprobe applications. NIM B, Vol. 89, 1994, P. 420-423.

57. StephanA., MeijerJ., H. H. Bukow and C. Rolfs Operation of the new microprobe at Bochum. NIM B, Vol. 104, 1995, P. 31-35.

58. StephanA., MeijerJ., J. Adamczewski, H. Rocken, D. Loffelmacher, H. H. Bukow and RolfsC. Investigation of the resolution affecting parameters of a nuclear microprobe using a solenoid lens. NIM B, Vol. 113, 1996, P. 387-390.

59. TadicT., JaksicM. Heavy ion microbeam vacuum requirements. NIM B, Vol. 267,2009, P. 20282031.

60. Tereshonkov Yu., Andrianov S. Load Curves Distortion Induced by Fringe Fields Effects in the Ion Nanoprobe // Proc. of 11th European Particle Accelerator Conference, Italy, Genova, 2008, P. 1514—1516.

61. Tereshonkov Yu. Nanoprobe Modeling With Critical Characteristics // Proc. of 11th ICNMTA, Debrecen, Hungary, 2008. - P. 92.

62. Frank Watt The nuclear microprobe: a unique instrument. NIM B, Vol. 130, 1997, P. 1-8.

63. WattF., I. Rajta, J. A. van Kan, A. A. Bettiol, T. Osipowicz Proton beam micromachined resolution standards for nuclear microprobes, NIM B, Vol. 190, 2002, P. 306-311.

64. WollnikH., M. I. Yavor Nonlinear effects in fine focus applications with quadrupole multiplets and solenoids. NIM B, Vol. 158, 1999, P. 113-118.

65. http://www.dehnel.com Ресурс предоставляет информацию, посвященную ускорительной физике и программные продукты для моделирования ускоритетелей.

66. http://www.caari.com/ Сайт конференции по применению ускорителей в исследованих и промышленности

67. http://laacg1.lanl.gov Ресурс содержит документацию по ускорительной физике и физике пучков

68. http://bourabai.ru/alg/expert21.htm (примеры экспертных систем)

69. FALCON (управление процессами)

70. CLIPS (весьма популярная оболочка для построения ЭС)

71. OpenCyc (мощная динамическая ЭС с глобальной онтологической моделью и поддержкой независимых контекстов)

SAINT-PETERSBURG STATE UNIVERSITY

ALZAYADI LAITH H. MALEK

Software and mathematical support for automated control of micro and nano zonde

systems

Speciality 05.13.18

Mathematical modelling, numerical methods, and software complexes Candidate of Technical Sciences

Translation from Russian

Supervisor:

Dr. of Physical and Mathematical Sciences, Professor

Sergey N. Andrianov

Saint Petersburg — 2021

Contents

INTRODUCTION...................................................................................................4

CHAPTER 1. FORMALIZATION OF CONTROL SYSTEM FOR

PARTICLE BEAMS.........................................................................16

§1.1. Definition of magneto-optic system...........................................18

§1.1.1. Structural element of control system.........................................18

§1.1.2. Magnetic field in magneto-optic systems....................................20

§1.1.3. Maxwell and Laplace equation Scalar magnetic potential...............22

§1.1.4. Symmetry conditions of the structural element.............................24

§1.1.5. Representation of scalar magnetic potential , magnetic field.............25

§1.1.6. Matrix formalism for control fields description............................28

§1.1.7. Conclusion for Chapter 1.....................................................29

CHAPTER 2. MATRIX REPRESENTATION FOR SYSTEMS OF NONLINEAR ORDINARY DIFFERENTIAL SYSTEMS.................................30

§2.1. Matrix formalism for systems of non-linear ordinary differential

equations......................................................................................30

§2.2. Convergence of Lie Series for Ordinary Differential Equations............33

§2.3. Conclusion for Chapter 2.........................................................45

CHAPTER 3. FORMALIZATION OF BEAM DYNAMICS (DYNAMICS OF PARTICLES IN CONTROL SYSTEMS)...............................................46

§3.1. Equations for motion of beam particles in magneto-optic systems.........46

§3.2. Matrices for the equations of motion and their classification...............49

§3.3. Solution of system of non-linear differential equations in

magneto-optic systems.......................................................................51

§3.4. Conclusion for Chapter 3........................................................52

CHAPTER 4. MODELING TECHNIQUE.............................................54

§4.1. Object oriented modeling (programming)......................................................................54

§4.2. Aberration and their brief classification........................................61

§4.3. Approximation of boundary fields in selected classes

Of functions...................................................................................63

§ 4.4. Artificial neural networks in particle beam physics..........................68

§4.5. Conclusion for Chapter 4.........................................................69

SUPPLEMENTS...........................................................................73

LIST OF CONTRACTIONS............................................................137

LIST Of FIGURES.......................................................................138

LIST OF TABLES.........................................................................139

REFERENCES.............................................................................140

INTRODUCTION

Relevance of the topic. At present, micro and nano technologies are widely used in various fields and are of particular interest to scientists, engineers, industrial engineers, and the society. We should remember that special attention is drawn to the development of effective and high-precision tools that allow us to conduct research in a wide variety of areas, including both applied and fundamental science. The analysis of such systems shows deep interest in the use of micro-and nano- objects in various knowledge domains, in particular, mechanics, electromagnetic processes, thermodynamics, as well as optics and quantum mechanics. Currently, such objects are used in various fields of science and technology. see, for example, [40,63,64,65,66,67]..In particular, in recent years, micro- and nano-probe systems have found the widest application in various fields, including non-destructive analysis, biomedicine, metallurgy, archeology, industry, crystallography, etc.

The dynamics of various physical objects, phenomena and technological processes is usually studied by constructing various models. The use of models (theoretical, technological and informational) leads to the need to increase the adequacy of the resulting models, to increase the complexity and cost of objects and processes, problems of their safety for humans. The experience of using various models led to the necessity of developing effective models. On the other hand, natural development of theoretical and applied mathematics, computer architecture, system and mathematical tools, methods and tools of computer algebra, methods of object-oriented programming, etc. created the necessary conditions for the emergence and implementation of qualitatively new ideas in the field of mathematical modeling of physical phenomena, processes and objects.

We also need to consider rapid development of applied mathematics, which has led to deep mutual penetration and interaction of almost all of its branches. On the other hand, comprehension of real processes and phenomena in various areas of human knowledge has led to a deep understanding of the processes of description, formalization and modeling of dynamic processes and phenomena, including their analysis and synthesis. This thesis uses dynamic modeling, which combines the most advanced ideas of classical modeling (both mathematical and software) of complex systems for various purposes, and also the use of special software based on modern software methods and technologies.

In further context, dynamic modeling of a process, object, phenomenon is understood in the work as a modeling (description) procedure, using, first of all, a combination of mathematical and

software modelling. It is assumed that the models themselves and / or their constituent parts are considered as objects equipped with necessary attributes of expert systems , as well as by means of "stitching" these objects into superobjects.

At the same time, objects can develop, improve and replenish (if necessary) independently, as separate objects, while fulfilling certain "rules of the game" (principles). Some of these principles include the principle of modularity1, the principle of data activity, the principle of automatic message transmission, the principle of inheritance. It should be noted that the last two principles are not included in the traditional list of principles on which expert systems are traditionally built. The principle of automated message transfer ensures information exchange (if necessary) between objects (models). In other words, all "manipulations" performed in the environment of one of the objects should be communicated to other objects in order to reconfigure the latter automatically (including by some given "key"). It is also necessary to provide for the possibility of prohibiting the transfer of such information.

The inheritance principle signifies that each subsequent model not only inherits the characteristics of the previous one, which is at the lowest level of the hierarchy, but also acquires new properties. In this case, the researcher should provide for the possibility of multiple inheritance, when at some stage the model inherits the features of several, earlier constructed models. The classical examples are from modern physics, for example, relativistic quantum field theory, genetically inheriting the characteristics of earlier models (for example, quantum mechanics, classical field theory and special relativity), and modern information technologies, see, for example, [16,35,36,42]. .

It is necessary to pay special attention to the main problems that can be successfully solved with the help of computer algebra codes . Since the formation of control objects is a rather complex task2, it is often required to ensure, on the one hand, the greatest adequacy of the physical model, and on the other hand, the greatest efficiency of the process of mathematical and computer modeling, and, as a consequence, the performed computational operations. It should be noted that,

1 The principle of modularity consists in organizing programs (in the form of a collection of small independent modules) whose structure and "behavior" obey certain (pre-formulated) rules. The main purpose of modular programming is both to simplify the testing of the program and to detect errors.

2 Modern problems are quite complex, which often leads to the use of a numerical description of the corresponding objects. However, this approach does not have sufficient computational efficiency. The use of methods of computer (symbolic) mathematics allows one to construct exact solutions (within the framework of the problems under consideration). Accumulation of the corresponding solutions allows us to carry out the necessary numerical studies.

taking into account the development of modern information technologies, methods and means of computer algebra play a huge role in the formation of objects and ensuring their optimal functioning. It should be noted that traditional mathematical methods, which are widely used in the modeling process, require a rather cumbersome and time-consuming calculations, which often lead to an increase in the probability of errors, especially if a person is used as a "calculator". "Manual coding" of the corresponding multi-line (and even multi-page, see, for example, Appendix) expressions also leads to numerous errors, if a human is used as a calculator. "Manual coding" of the corresponding multi-line (and even multi-page, see, for example, Appendix) expressions also leads to numerous errors. Note that the formation of the corresponding objects and the technologies that implement them is a rather difficult task, since in the solution is often required to ensure, on the one hand, the greatest adequacy of the considered physical model, and on the other hand, the greatest computational efficiency of the modeling process itself. Therefore, due to the development of modern information technologies, we employ methods and means of computer algebra for the formation of objects and ensuring their optimal functioning. The main processes that are implemented in the framework of symbolic operations include the following:

1) definition / selection of mathematical objects with given properties;

2) development and use of means for performing substitutions taking into account the properties of the used mathematical objects;

3) means of performing substitutions using various strategies;

4) methods and means of symbolic differentiation;

5) methods and tools for polynomial transformations, both for simplifying input expressions, as well as for special polynomial transformations;

6) means of outputting the necessary formula expressions in the traditional form;

7) problem-oriented environment necessary for the development and modification of methods for analytical and symbolic transformations;

8) development and implementation of graphical tools;

9) computationally efficient means of numerical programming.

Note that computational efficiency of the systems can differ significantly both in terms of their capabilities in solving the problems posed and in computational efficiency. Among the universal and most demanded systems are the following two systems MATHEMATICA and MAPLE3,

3 The Mathematica system is designed to carry out symbolic mathematics (in particular, it provides for the use of both traditional graphics of the image of the objects under investigation, and the search for solutions under study using

[MATHEMATICA, MAPLE]. The formation of databases and knowledge generated by means of the human interface and computer algebra makes it possible to build "basic bricks" from which the corresponding models are built. It should also be noted that the mathematical models should allow, on the one hand, the possibility of building databases and knowledge by means of computer algebra, and on the other hand, provide sufficient flexibility and the necessary adequacy of the modeling process itself. It is also necessary to mention the problem of the adequacy of mathematical methods and hardware to the corresponding processes and phenomena. Note that the use of methods and codes of computer algebra4 can almost completely remove these problems. The formation of the corresponding databases and knowledge generated by means of both the "human interface" and computer algebra, allows you to build those "basic bricks" from which the corresponding models are built.

We should note that the used mathematical models should allow, on the one hand, the possibility of building databases and knowledge by means of computer algebra, and on the other hand, provide sufficient flexibility and the necessary adequacy of the modeling process itself. It is also necessary to mention the problem of adequacy of mathematical methods and hardware to the corresponding processes and phenomena.

In this regard, one should point to modern computational (information) technologies -multiprocessor, transputer and neural-like systems, which require adequate procedures for the parallelization and distribution of the corresponding computational processes.

variable graphic objects). The Mathematica package is designed to analyze the problems under consideration, demonstrates high efficiency and is in demand among scientists in a variety of fields, from analytical mathematics to practical problems. There are opportunities for the development of special tools (within the framework of existing mathematical methods and tools).

4 Computer algebra is a mathematical method used both in the natural sciences and in numerous applications from various fields of knowledge. In recent years, the importance and spread of methods and systems of computer algebra has increased significantly. Currently, there are a huge number of computer algebra systems, such as CoCoA, Macaulay, Magma, Maple, Mathematica, Maxima, Reduce, Sage, Singular. These and other systems provide numerous possibilities for both symbolic and numerical computational procedures, as well as solving visualization problems. The development and integration of computer algebra systems with other software products can significantly increase the capabilities of such systems, which is demonstrated by the use of methods and tools of computer algebra, which makes it possible to use not only effectively the tools of computer algebra, but also to use solutions to complex applied problems in various fields of knowledge.

At present, methods and means of artificial intelligence are actively involved in the field of scientific and technical calculations, the implementation of which is carried out in the form of prototypes of expert systems that are mainly created so far (see, for example, [например, http://bourabai.ru/alg/expert21.htm], the implementation of which is carried out in the form of created mainly prototypes of expert systems, see, for example, FALCON (process control)[69,70], CODES example of an expert system in computer science)[70,71].Note that a special case of this kind of systems are the so-called electronic textbooks, which allow researcher to interactively obtain new knowledge and gain experience in the study of the processes and objects of interest.

Review of modern literature, primarily conference materials, as the most responsive to modern advances, reveals a rapidly growing interest in increasing efficiency (including computational ones) and the necessary information content of the approaches used with the simultaneous development of interfaces for various purposes (for example, graphical). Indeed, it is the graphic (visual) objects that make it possible to actively use the constructed objects obtained in the process of ongoing research.

Existence of a huge number of applied software packages also indicates the need to develop (when possible) a uniform set of tools based on the most adequate mathematical apparatus and providing an effective (primarily from a computational point of view) problem solving. Increase in efficiency (computational, first of all) should take into account new theoretical and experimental knowledge that is formalized in the research process.

Based on the indicated principles and research objectives, the paper considers the possibility of using methods and tools of computer algebra in modeling the dynamics of charged particle beams, which allow us to effectively use nonlinear ordinary differential equations (ODEs) both in describing the dynamics of nonlinear systems and and in the development of new methods and tools (including information technology). Methods and tools of ODEs are largely determined by the specifics of the problems considered in this work.

As an alternative tool, one should point out the works of AJDragt and his colleagues (see, for example, [35,36]),which are devoted to the presentation of constructive methods for solving nonlinear dynamics problems in the framework of perturbation theory based on algebraic Lee methods5. Basically, these methods were applied in celestial mechanics and in physics of charged

5 Marius Sophus Lee created a significant part of the theory of continuous symmetry and used it in the study of geometry and differential equations (see, for example,). Lie's main tool and main discovery was that continuous

particle beams. It should also be noted that almost all works in this area were based on the use of the Hamiltonian formalism for stationary problems, which, in general, significantly narrows the class of problems.

In this work,we will use the methods and tools of the so-called matrix formalism [6].In contrast to the above and other works, the proposed approach allows the use of the ideology of object-oriented programming in the broad sense of this concept in a natural way. The basic concepts, methods and corresponding advantages over other approaches, as well as practical implementations of the used matrix formalism for nonlinear ordinary differential equations, are detailed in the works of S.N. Andrianov. (see, for example, [6 ^ 8]).

Taking into account the above (within the framework of the specified formalism, this work presents a uniform approach for the automated solution of three main stages of beam dynamics in magneto-optical systems:

• characteristic of magnetic (and/or electric) field of multipole lenses using a scalar potential V (X, y, s), using its expansion in the Taylor series and the field symmetry properties:

B = - gradV E = - gradV

• generation evolution (motion) equations of charged particles in these fields, generated by the control system, their matrix representation; generation of equations of motion of charged particles in these fields, their matrix representation using the Kronecker product of the vector of phase moments [1]:

dX = £ plk X[ k ]

ds k=0

• solution of these equations in a symbolic nonlinear form of high orders in various multipole magnetic lenses:

transformation groups can be better understood by linearizing them and studying the resulting vector fields (the so-called infinitesimal generators). The generators obey the linearized version of group multiplication, now called the commutator, and have the structure of a Lie algebra.

XI

X = ¿ R1k X[k]. k=0

The suggested approach provides new opportunities for researchers on the way of ongoing research (both numerically and qualitatively) of various effects that are revealed in the study of the dynamics of charged particle beams.

The performed symbolic computations must be performed only once (in the form of symbolic objects) for each selected approximation order and type of control elements (dipoles, multipole lenses, etc.). If necessary, such objects are placed in the appropriate databases and can be used for other tasks. Note that such calculations do not depend on the initial and boundary conditions of the problems being solved.

Symbolic calculations results can be entered into the corresponding databases (more precisely, special knowledge bases), since these results have various kinds of additional information in addition to numerical information. In particular, for example, each element of the matrices has a certain physical content depending on the problems under consideration (see, for example, item 1.6.), We note that in the process of a computational experiment (see Fig. 1), between the elements, we can perform exchange of the required information. In addition, the corresponding databases are also available to the user for viewing and editing at any time.

The indicated computer algebra tools allow you to create numerical programming codes automatically (for example, using modern high-level languages). Thus, there is a possibility of close interaction between analytical and numerical programming tools.

The tools used for constructing the corresponding database management systems (DBMS) in this work are guided by the ideology of object-oriented programming, which will allow the use of packages such as MATHEMATICA, MAPLE, etc.

Fig. 1. Interaction of databases during the computational experiment

The approach suggested in this thesis is based on the use of Maxwell's equations and their solutions in terms of series for the scalar magnetic potential (in this work for the magnetostatic case). The limitation to this case, on the one hand, is caused by the need to identify field components, the elements of the matrices of the equations of motion and the solution matrices corresponding to this case, on the other hand, it provides an opportunity to classify the field expansion coefficients in accordance with their physical content. The results presented coincide with those known in the literature, obtained in special cases, and are an extension of the ideology of perturbation theory to an arbitrary case.

The PhD thesis consists of Introduction, four Chapters, Conclusion, and five Appendices. Each chapter has Introduction and Conclusion, which helps the target reader get into the essence of the proposed methods, and also uses introductory requirements and conclusions that explain the essence of the results obtained in the corresponding Chapters and Paragraphs, Appendices and the List of literature.

First Chapter is devoted, first of all, to the staging part, namely formalization of control systems for beams of charged particles. It introduces necessary designations and concepts of a magneto-optical system (MOS)6, a structural element of such a system, provides schematic images of some of them. Under the MOS conditions, using a scalar magnetic potential and its expansion in a Taylor series, representations of the magnetostatic field (interesting from the point of view of "ideality") for various structural elements are obtained.

The thesis introduces unified classification of control elements - expansion coefficients, in accordance with their physical content. All field constructions of structural elements are constructive. As part of the research, the author used various programs that allow us to obtain the necessary representations of the magnetic field of various structural elements (including dipole, quadrupole, sextupole, octupole and solenoidal7). Formalization of structural elements is new, although in a different representation the description of the magnetic field has been known for a long time and is described in numerous literature. However, such descriptions do not have the necessary generality to quickly "connect" new orders of nonlinearity. The formulas above are consistent and implemented using the language of matrix formalism.

Second Chapter describes basic principles of matrix formalism both for the representation of the equations of motion of charged particles and their solution. In the thesis, all the necessary statements are derived and proved that guarantee the convergence and correctness of the solution methods. We estimate the rate of convergence in the nonstationary case of matrices of equations of motion are given. The advantages of using the concept of matrix formalism are also demonstrated. For example, from a computational point of view, it is more economical, since it does not use "extra" variables - phase variables.

In addition, it uses only algebraic operations over objects that describe the phenomena under study - matrices. This makes it possible to maximize the use of modern achievements of modern

6 It should be noted that it is magneto-optical systems that are considered in this work. However, a similar approach can be used for systems with both electrostatic control systems and for systems with a combination of both magneto-optical and electrostatic control elements (depending on the problems under consideration).

7 In this work, we used universal methods of series expansion of the corresponding control elements in the vicinity, the so-called reference trajectory. Such trajectories can be constructed both taking into account the smoothness of the corresponding transformations, and taking into account the structure and configuration of the reference trajectories.

software - computers with parallelization and distribution of computational flows. The research conducted by Professor S.N. Andrianov has demonstrated the necessary efficiency of the method of successive approximations in matrix representation (the method of immersion in the space of phase moments, see, for example [7]).

In Third Chapter, we can read about the used equations of motion of particles in magneto-optical systems (described in detail, both in the usual and in the matrix form of notation in an arbitrary curvilinear coordinate system). A family of control actions is selected taking into account their physical content8. The work also uses the concept of "modified" Kronecker product, generated by the properties of symmetry of structural elements, and presents its advantages. The third paragraph of this chapter is devoted to the method of solving the obtained equations of motion on the basis of the matrix formalism. As an example, a specific example of particle beam control systems, the so-called micro- and nano-probes, is considered in the work. The choice of just this kind of devices is largely determined by their wide application: from medicine (for example, for the treatment of cancer, see, for example)9 [33^43]. Note that in order to understand the degree of demand for the corresponding devices, one should turn to an extremely wide area of knowledge, which is presented in many publications and articles [33-64]. It is the analysis of such publications that made it possible to propose new methods (specialized for the corresponding tasks) for solving the problems of finding optimal control systems for particle beams. Note that the above references form the basis of the theory and technology of particle beams physics. At present, the tasks and methods considered in the work are largely based on the developed standard modeling methods. However, the developed technologies are no longer sufficiently effective, which has led to the need to develop special software that will allow users to carry out significantly more efficient research and development of the corresponding devices. In standard existing approaches, the required studies require multiple numerical procedures. Within the framework of the methods and tools proposed in this work, researchers are offered a set of "ready-made" elements, from which the control system is constructed. The use of LEGO technology can

8 It should be noted that the choice of both physical control elements and their mathematical counterparts is determined, first of all, by the geometry of the considered trajectories (depending on the problems under consideration), and by possible simplifications in the case of using complex trajectories.

9 The National Cancer Center in Heidelberg is the leading center for the comprehensive treatment of cancer in Europe.

significantly reduce the required calculations. It is this concept that underlies the technology proposed in this thesis for describing control parameters and elements in the form of LEGO objects of various configurations (see, for example, Appendices to the thesis).

Fourth chapter is devoted to the modeling technique used in this work, namely object-oriented modeling. Using the constructed matrices of equations describing the dynamics of particle beams, a classification of aberrations (arising distortions that are present in almost any particle beam control system) is carried out. Also provided is a description of the edge field of a structural control (e.g., "lens"). In the terminology of object-oriented programming, examples of possible classes for modeling problems of particle beam control systems are described. Methods and means of computer algebra are also given, which are used in this work in the construction of databases and corresponding knowledge bases.

In the Conclusion, the main results obtained by the author are presented, which are new at the time of their publication and demonstrate greater efficiency of the developed approach.

Appendix A describes the "modified" Kronecker product used in this work when modeling magneto-optical systems, presents examples of the Kronecker product of the phase vector of a moving particle up to the 8th order10 (in symbolic form).

Appendix B describes the magnetostatic field generated in dipole, quadrupole, sextupole, octupole, and solenoidal structural elements. These control elements are the most common and are used in solving a wide class of practical problems. The thesis also considers the necessary field representations in both curvilinear and Cartesian coordinate systems up to the 8th order of nonlinearity. This level of nonlinearity is motivated by the expediency of the practical use of this order of decomposition, both taking into account modern physical settings and taking into account the requirements for solving practical problems.

Appendix C shows the equations of motion in the above structural elements up to the 8th order of expansion in the conventional and matrix forms.

Appendix D List of publications on the topic of the presented Dissertation.

10 The use of the Konecker product up to the 8th order is caused by the need to study the influence of different orders of nonlinearity on the beam characteristics.

The purpose of the thesis is to develop modern approaches to mathematical and computer modeling for forming control parameters of dynamic systems (using the problems related to physics of particle beams). Despite a fairly large number of publications in this area, until now there is no universal concept of describing both control systems and controlled elements that could be used by researchers. This work is an attempt to fill the gap.

The theoretical significance of the presented work lies in the use of a symbolic representation of the control parameters of dynamical systems (in this case, using the example of particle beam control systems). It is necessary to use just the symbolic (in the form of formulas) representation of the controls used and allows you to form the corresponding LEGO objects in the form of special databases, the use of which allows you to increase the efficiency of the computational procedures. It should also be noted that the use of just the symbolic representation of the necessary objects (for using the proposed methods in practice) in the work presents both methods for modeling control parameters and their description in the form of a set of universal formulas. It should also be noted that the use of such a set of parameters and objects not only makes it possible to significantly reduce the necessary computational procedures, but also to carry out a dynamic search for optimal solutions, including using modern multi-agent multisystems.

the last Chapter presents the results obtained, describes the practical and theoretical significance, and also tests the results obtained on practical examples (in this case, the dynamics of particle beams in micro- and nanoprobe systems), which are actively used in a variety of physics problems.

CHAPTER 1.

FORMALIZATION OF CONTROL SYSTEM FOR PARTICLE BEAMS

This Chapter introduces the concept of a magneto-optical system as a control system for beams of charged particles. We also consider the main structural elements, and the choice of a method for describing magnetic fields in the considered control elements.

As indicated in the Introduction, specifics of the evolution of an ensemble (beam) of particles in accelerator systems leads to the need to describe the spatial evolution of particles either with neglect of interparticle interaction, or with allowance for the interaction of particles, or with allowance for the intrinsic field, i.e. interactions of a beam of particles with each other (so-called self-consistent evolution). It should be noted that both external (control) fields and intrinsic fields (created by the beam particles) are generally nonlinear. This leads to the need to simulate these fields taking into account the known (available) information both about the nature of the particle beam itself (for example, the density of particles in the beam), and about the nature of external (control) fields.

Based on the theory of electromagnetic fields, the field acting on particles consists of two components. The first (main) field is created by external (control) devices (see below). In this case, the main field (or rather, its characteristics) is controlled by researchers and, thereby, is a managing field. The second (own) field is created by charged particles of the beam. Traditionally, it has a smaller effect (in comparison with an external effect) on the dynamics of the particle beam, but in modern accelerator systems there is a trend to an increase in the particle density and, as a consequence, to an increase in the degree of influence of the intrinsic field on the evolution of particles in the beam (it is also necessary to take into account the self-consistency). This is due to both the complication of tasks and the requirements for beam characteristics, both in the accelerator channel itself and in certain places along the evolution system of the beam (in particular, taking into account the so-called controllers11), which makes it possible to control the required characteristics of the particle beam.

Expansions of functions describing the corresponding fields in Taylor series in the vicinity of the so-called equilibrium (or reference) trajectory are traditionally used as the main tool for

11 Controller is a control device in electronics and computing.

describing both external (control) and intrinsic (created by the beam itself) fields. This trajectory either coincides with the orbit of the "central" particle, or with some reference trajectory, which is constructed taking into account the existing experimental and theoretical data.

Note that in practice, the influence of the intrinsic field is considered using the Taylor series expansion using geometry of the accelerator. The field created by the beam itself has a similar structure and is added to the external field in accordance with the laws of physics. However, during the evolution of the beam and structural changes (as a consequence, the beam can be considered as rather sparse), which allows us not to consider this field.

Next, we describe the necessary procedures and demonstrate the correctness (from a mathematical point of view) of the procedures.

It should also be noted that, in practice, the Taylor series are formed in terms of the scalar magnetic potential. This makes it possible to describe the magnetic (and, if necessary, electric) field of the structural (control) elements, taking into account the symmetry that are generated by control elements. At the first stage, the coefficients of the expansion of the potential are classified in accordance with their physical content in the Taylor series and the selection of "suitable" ones, taking into account the properties of the considered control system (in our case, the control system for particle beams). It should also be noted that for this purpose we use expansion of functions describing the external (and, if necessary, the intrinsic, field of the beam) in a Taylor series in the vicinity of the equilibrium trajectory. Note that the "choice" of an equilibrium (programmed) trajectory is determined by the geometry of the accelerator complex or accelerator. It should also be noted that traditionally, this curve is flat (ie, lies in a certain plane determined by the structure of the accelerator), and its "construction" is a separate task. It should also be noted that this curve must have the required smoothness (at least up to the second order of nonlinearity). It should also be noted that, if necessary, an equilibrium trajectory can be built taking into account additional requirements for the particle beam control system12.

12 In particular, such a need may be required in complex systems in which the evolution of particles takes place.

§1.1. Definition of magneto-optic system.

In this research, evolution of charged particles in the so-called magneto-optical systems (MOS) is considered see, for example, publications[1,2,3,4,5,21]. These are traditionally understood as electromagnetic systems created by magnetic external (control) elements. Such systems consist of three main components: system for the formation of an initial set of particles, system for transporting particles in a channel, and a target (see Fig. 2).

FS

CSE DSE

formation system, control structural element, drift structural element

Fig. 2. Diagram of magneto-optical system

The particle transport system consists of a sequence of structural elements. In our case, these are control electromagnetic and drift elements. Electromagnetic structural elements are separated from each other by segments without a magnetic field - drift structural elements (separating real control elements from each other). Note that, ideally, in these areas, no external forces act on the moving particles.

It is assumed that the particles "move" in the area of absolute vacuum, where there are no currents (in this case, the electric charge density and current density are zero, that is, and, the magnetic permeability of the medium. Fig. 2 shows schematic representation of a magneto-optical system consisting of a beam formation system (SF), five control structural elements (SSE), six drift structural elements (DSE) and a target (M). The so-called micro- and nanoprobe systems, see, for example[8,11,13,14,17,19,23,27,29,30,31,33,36,39],, which are considered in this work at the stage of the computational experiment in Chapter 5.

§1.1.1. Structural element of control system.

As mentioned earlier, structural elements are the constituent components of the transport of the particle beam. Structural elements (ES) of a magneto-optical system are understood as control electromagnetic elements and drift gaps (free from the electromagnetic field), by which they are separated from each other. Electromagnetic SCs are a dipole magnet (two poles), multipole lenses

with an even number of poles, and a solenoid, through the windings of which an electric current passes, generating an electromagnetic field, which has the necessary (control) effect on the beam particles. In addition to control elements in such installations there is a "pipe" of the required section and shape, onto which the considered MOS is "strung". A sufficiently high vacuum is created inside this tube (ideally, it is necessary to reach at least 10-6 torr), which makes it possible to neglect the interaction of particles with possible remnants of the gaseous medium13.

Drift structural elements are sections of a magneto-optical system (MOS) (pipe sections) without a magnetic field, in other words, the free evolution of the beam particles14 is implemented (without external influence). A drift solar cell is a section of a MOC tube of a uniform shape without foreign objects in the area of motion of the beam particles. In what follows, we restrict ourselves to the case of an ideal structural element. By an ideal electromagnetic ESS we mean an electromagnet, the poles of which are located at the vertices of a regular polygon and have the same shape (and in the case of a solenoid, this is a cylinder with a uniform winding, generating a uniform field in the region of beam passage).

Fig. 3 shows schematic representation of the three above representatives of electromagnetic SE: quadrupole SE, dipole SE and solenoidal SE. Here is the length of the FE with respect to the "iron", is the radius of the FE aperture. In a dipole FE, a curvilinear trajectory of particle motion is depicted, which is tangent to the electric axis of the element15.

13 It should be noted that in modern systems the requirements for vacuum are extremely high, which leads to the need to simulate (at least theoretically) the dynamics of a particle beam taking into account the presence of residual gas in the chamber of the accelerating system.

14 In some cases, sections of the magneto-optical system can be complex (depending on the control device).

15 It should be noted that in practice, geometrically more complex forms of the equilibrium trajectory are possible. The general provisions presented in this work remain valid. However, in this case, the corresponding mathematical models become more complicated. Similar variants of accelerating systems are used in some (not numerous) systems.

Fig.3. Schematic representation of structural elements: quadrupole, dipole,

and solenoidal

§1.1.2. Magnetic field in magneto-optic systems.

Currently, three methods are used to describe the magnetic field of electromagnetic SEs.

The first method is that the field generated by the control element is described (specified) by some analytic function (the degree of smoothness is determined by the problem under consideration).

The second method consists in the fact that the magnetic field is "constructed" using the so-called field map, which is a two-dimensional lattice, at the nodes of which the field values are directly measured (with a certain specified measurement accuracy). The corresponding set of "flat" field maps is formed as a result of special measurements (for example, "special installation"

in the process of measurement "moves" on a special trolley along the MOS pipe along the structural element), which makes it possible to restore, for example, the magnetic field at any point of the SE with a given degree of accuracy to the required order of nonlinearity of the control field.

The third method for characterizing the field consists in expanding the scalar or vector magnetic potential in a Taylor series in a certain neighborhood of a certain selected (reference) trajectory of particle motion. The coefficients of the corresponding series can be measured (using special devices) or calculated by solving Maxwell's equations, taking into account the symmetry conditions of the considered SE. In practice, the obtained coefficients are "brought" to the required accuracy, taking into account information about the "physical essence" of both existing elements and new (additional) elements, built into the structure under consideration as needed. In particular, the characteristics of such a family of coefficients can be measured using the so-called field map with the required degree of accuracy. It should be noted that if there is an order of the field decomposition (that is, the calculation of the derivatives of the field of order up to order), then information is required about (at least) the nodes of the field map, in accordance with the formula for equidistant values of the argument [17] (for example, along one of the transverse coordinates of the field):

k 1 / 1 1 \k

dk 1

dx

k

(Ax)

A-1A2 +1 A3 -... v 2 3 j

where A is the final difference, which is determined taking into account the existing possibilities for carrying out the necessary measurements (taking into account the required accuracy)16. In addition, it is necessary that all derivatives of the field of the considered FE in the MOS are calculated with the same degree of accuracy (for example, with a finite difference of the same order). All these requirements determine the required degree of reliability of the information received (see 1.6.). Regarding control actions that depend (largely) on the available technical capabilities, for example, taking into account the available field maps. In this work, the third option is considered, as the closest to both real knowledge of information about the field and convenient from the point of view of using the mathematical apparatus and organizing the corresponding calculations.

16 It should be noted that modern accelerator systems not only provide effective control systems, but also the corresponding automated control systems.

§1.1.3. Maxwell and Laplace equations Scalar magnetic potential.

The most convenient way to study the dynamics of the behavior of charged particles in a beam is

to introduce a reference curve r , which can be both the so-called equilibrium trajectories and design trajectories (constructed) of the particle beam. As an equilibrium trajectory of a particle beam, we consider such a trajectory of some arbitrary particle of the beam (in the absence of momentum spread, is a fixed momentum), which "closes" in a smooth manner (at least up to the second order of nonlinearity) after the completion of a complete revolution in the accelerator facility.

Ap = P - P0 = 0, p0 - is a fixed impulse (smooth, up to 2nd order of non-linearity) after completion of a full turn in accelerating device.

The design trajectory of a particle beam (artificially projected trajectory) is a special trajectory created by the researcher himself (often based on the requirements for the geometric configuration of the MOS), consisting, for example, of straight line segments and arcs of circles "sewn" together with a given order smoothness (not less than second order).

Fig. 4. Curvlinear coordinate system

To analyze the trajectory of particles in a deflecting field, evolving in the vicinity of a given reference (equilibrium) curve r , we introduce a curvilinear coordinate system with an axial coordinate and curvature (see Fig. 4). This curvilinear coordinate system {x, y, s} is formed by a right-handed system S of unit vectors h (see Fig. 4). It "moves" along the reference curve r in such a way that the particles whose trajectories are being investigated always remain in the plane {x, y} , and the direction of the unit vector k coincides with the direction of the tangent to the reference curve r .

Comment. In the process of work (if necessary), Cartesian and cylindrical coordinate systems are also used. The Cartesian coordinate system (see Fig. 6, Appendix B) is used in those FEs in which there are more than two planes of symmetry, since in this case the particle trajectory will be rectilinear at the exit from the FE. In a dipole FE, a curvilinear coordinate system is used, since the trajectory of particles "inside" in such an FE is curvilinear. The cylindrical coordinate system is used in solenoidal ESS (see Fig. 7 in item B.5 of Appendix B).

As is known, under the above assumptions, the magnetic induction b( x, y, s) vector satisfies the Maxwell equations

divb = 0, rotb = 0,

which can also be described using scalar magnetic potential V ( x, y, s) in the form:

b( x, y, s) = - gradV (x, y, s) (12)

Substituting equality (1.2) into the first equation (1.1), we obtain

divgradV (x, y, s) = 0

or the Laplace equation for the potential

A V = 0 (1.3)

Expanding V (x, y, s ) in the Taylor series in powers and in the independent variable, we obtain a geometric representation of the magnetostatic field in the conditions of magneto-optical

systems using the scalar magnetic potential V = V (x, y, s) in the following form:

V(x y.,s) = ^ vy.(s)xV (14)

i+j=0

How the coefficients of the series (1.4) are calculated will be described below in Section 1.5.

§1.1.4. Symmetry conditions of the structural element.

As is known, FE has symmetry (antisymmetry) relative to the corresponding planes of symmetry (antisymmetry) (as an example, see Fig. 5).

Fig. 5. Schematic location of poles: dipole (a), quadrupole (b), sextupol (c), octupole (d), solenoidal (e) in the plane (x,y). Axis trajectory s is out of the figure plane

For example, the figure shows that the quadrupole SC has the property of antisymmetry about the axes and, the sextupole SC has the property of symmetry about the axis and the property of antisymmetry about the axis.

Symmetry conditions are written out when transforming coordinates, namely when the FE is rotated by a certain angle around the electric axis of the FE, that is, the geometric axis of an ideal FE (in the case of a dipole and solenoidal FE, the reflection property and the circular symmetry property are considered, see Appendix B). The angle of rotation is found by the formula:, where is the base of the solar cell (the number of poles of the solar cell, divided by two). Coordinate transformation is given by the rotation matrix:

f ~

=

V ~J

cosß - sinß 0Yx^ sinß cosß 0 y

. 0 0 lA

, ß = na, n = 1,N

(1.5)

or in

vector form X — P(n&)X , where X — (x? y>s) . Equation (1.5) yields the symmetry conditions of the considered FE, imposed on the function V ( x, y, s ) , which in the

vector form have the form:

V(X) = (-1)nV(P(na)X), n = 1, N

(1.6)

where Tl is the symmetry exponent (for an odd value of antisymmetry □) of transformation (1.6). One of the most important problems is the problem of describing the magnetic field in terms that are convenient both for writing and solving the equations of motion of particles, as well as for introducing a unified classification of control elements.

The paper discusses in detail (as the most common), dipole, quadrupole, sextupole, octupole SE, the location of the poles, which are schematically shown in Fig. 5, as well as solenoidal and drift SE.

§1.1.5. Representation of scalar magnetic potential , magnetic field .

To find out the form of the scalar magnetic potential, it is necessary to determine the values of the series (1.4). The symmetry conditions (1.6) and Fig. 5 determine the evenness (oddness) of the function by the first two arguments (as an example, see items 2, 3 or 4 of Appendix B). Therefore, the function under consideration can take a simpler form, with correspondingly even (odd) powers for the variables and. For example, a function that is even in and odd in terms of function has the form.

V(x,y,s) — X +r(s)x2,y2J+l

i+j—0

Further, the simplified series (1.4) is substituted into both parts of the first symmetry condition (1.6) of the considered FE (the cases of a dipole and solenoidal FE are presented in the corresponding paragraphs of Appendix B). Equating the terms at the corresponding powers of the variables and, we can write (in the general case, an infinite-dimensional) linear system of homogeneous equations of the form

Av = °,v = [Vik ^o,det a = o (1.7)

Here A is a constant matrix (in the general case, infinitely dimensional). Solving equations (1.3) and (1.7) together, we find the required expansion coefficients of the series (1.4), vik (s) is

linear combination [v\d (s)}, 0 < lx, l2 < i + k, i, k > 0,

f

v'M. s ) =

ô

ôs

д' Bx (x> У,s)

ôy'1

V

л

x=0, y=0

f

д

ôs

ô'1 By ( x, y, s)

ôx:

V

,o( s ) =

4+1,

f N

ô ô * Bx ( x, y, s) _ ô

ôs '2 ôx * x=0, ôs '2

V y=0

f

\

x=0,

y=0 \

ô'1 By ( x, y, s)

ôy :

and for solenoidal SE v0 (s) = Bs (0,0, sX

v2'ô! '-1 Bx( x y, s)

dx

V2' = Ë2'Bs(^ ^^ s)

V

ô2'-1 Bv ( x, y, s)

x=0,

y=0 y

(1.8)

y

ôs /

2'

x=0, y=0

x=0, ôs

y=0

dy

2'-1

x=0, y=0

i d'-2

52'- 2 Bx( x, y, s )

л

2' - 2

V

_ô_

ôs

л

ô2'-2 By ( x, y, s )

ôy

2' - 2

V

x=0,

y=0

ôx

'> 0

У

x=0, y=0

Hereinafter d = 0 or d = 1 , depending on the symmetry of the considered field, in particular, d = 0 for an octupole lens, d = 1 , for a dipole magnet, quadrupole and sextupole lenses. The powers ^ J in the expansion (1.4) take even and odd values depending on the evenness (oddness) of the function V .

For convenience and clarity, we introduce the following notation for the coefficients in the expansion of the magnetic field:

2

vlMs)=(s), ^ \2o(s)=vl>(s), vi+i(s)=v1 (1.9)

where lj2> 0 and li is even in the second equality. Then, in accordance with (1.2), we obtain the components of the magnetic induction vector B :

r

dV (x, y, s )

Bx ( x y, s)

By (x У, s) Bs (x У, s)

dx

dV ( x, y, s )

dy (1.10)

dV ( x, y, s )

ds

As will be seen from the further description (in terms of matrices of equations of motion and

matrices of the solution), it is the coefficients v¡ ( s ) that are conveniently chosen as control

functions. The physical meaning of these coefficients (see (1.8)) is that they are derivatives of the field and their derivatives along the axis, which can be measured by modern instruments with the required degree of accuracy (from the point of view of a designer-measuring device). This justifies their use as control functions for a particle beam. In addition, with such a choice of control coefficients, there are the following significant advantages:

1) the transition from differential-algebraic equations to algebraic, which greatly simplifies the necessary calculations;

2) the introduction of a unified classification for the expansion coefficients of the scalar magnetic (electric) potential, and, consequently, the magnetic (electric) field, for various structural elements.

Taking into account finite information about real fields, series (1.4) is approximated by finite segments of series of the form

L

V(^ ^ s) = ^ vv (s)x'yJ , (1.11)

i+j=0

where L is the order of approximation. This means that information about all management fVl2( s)}

functions [ h )i i -ô~£ is sufficiently reliable.

s

§1.1.6. Matrix formalism for control fields description.

Matrix representation of the magnetic induction vector introduced in this subsection serves for the convenience and simplicity of recording the magnetic field of various FEs, storing this information in databases and knowledge, and is also a link for all stages of modeling a particle beam in magneto-optical systems within the framework of the matrix formalism. Following the concept of matrix formalism, the magnetic induction vector can be written as:

« [k]

B = Z B kX или B = BX«

k=0

(1.12)

where B k

= K(s)t , dimBk = (3*) is the

matrix composed of the expansion coefficients of the scalar magnetic potential, X = (- y) is the coordinate vector,

X[k] s k k-1 k-1 k\* 1

and - (X , X y,-., -y , y ) is the th Kronecker power of the k -th

coordinate vector. As an example of equation (1.12), let us give its form for a quadrupole SE of the 5th order, using expressions (B.2.7) in item B.2 of Appendix B.

Г

0 5v 0

0

B = Г B 1 x B y = V50 5 0 -10v5° +

V B s J 0 0 0

v,

24 1

10v5° + — vi 5 24 1

0 0

л

0

5v0

0