Программный комплекс аппроксимативного анализа законов распределения случайных процессов ортогональными функциями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Дегтярева, Ольга Александровна

  • Дегтярева, Ольга Александровна
  • кандидат технических науккандидат технических наук
  • 2006, Самара
  • Специальность ВАК РФ05.13.18
  • Количество страниц 134
Дегтярева, Ольга Александровна. Программный комплекс аппроксимативного анализа законов распределения случайных процессов ортогональными функциями: дис. кандидат технических наук: 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. Самара. 2006. 134 с.

Оглавление диссертации кандидат технических наук Дегтярева, Ольга Александровна

Перечень условных обозначений и сокращений

Введение

Глава 1. Анализ методов аппроксимативного анализа законов 10 распределения случайных процессов

1.1. Основные понятия и определения в анализе случайных 10 процессов

1.2. Методы аппроксимации законов распределения

1.2.1. Параметрическая аппроксимация законов 18 распределения

1.2.2. Непараметрические оценки плотности вероятности

1.3. Выводы

Глава 2. Применение ортогональных базисов для оценивания 27 плотности вероятности

2.1. Проекционные и гистограммно-аппроксимационные оценки 27 плотности вероятности

2.1.1. Проекционные оценки плотности вероятности

2.1.2. Гистограммно - аппроксимационные оценки 32 плотности вероятности

2.1.3. Сравнение проекционных и гистограммно- 38 аппроксимационных оценок

2.2. Обеспечение непрерывности аппроксимирующей функции в 42 точке соединения правой и левой ветвей

2.3. Обеспечение гладкости аппроксимирующей функции в точке 46 соединения правой и левой ветвей

2.4. Свойства проекционных и гистограммно-аппроксимационных 52 оценок

2.5. Исследование аппроксимационных возможностей 55 ортогональных базисов

2.6. Выводы

Глава 3. Определение наилучших оценок плотности вероятности

3.1. Определение оценок, удовлетворяющих критериям согласия

3.1.1. Поиск набора «наилучших» оценок по критерию 61 Пирсона

3.1.2. Применение критерия Колмогорова для проверки 69 согласованности класса оценок плотности вероятности

3.2. Зависимость сложности оценки от объема выборки

3.3. Исследование погрешности аппроксимации для 75 согласованных оценок

3.4. Аналитические выражения для характеристических функций

3.5. Выводы

Глава 4. Программный комплекс аппроксимативного анализа законов 88 распределения случайных процессов

4.1. Описание программного комплекса

4.2. Подсистема имитационного моделирования и первичной 92 статистической обработки данных

4.3. Подсистема аппроксимации законов распределения 94 функциями заданного вида

4.4. Подсистема аппроксимации плотностей вероятности 96 ортогональными функциями

4.5. Подсистема аппроксимации характеристических функций 99 ортогональными функциями

4.6. Выводы

Глава 5. Примеры апробации программного комплекса

5.1. Апробация программного комплекса на тестовом примере

5.2. Применение комплекса программ для обработки результатов 103 экспериментальных исследований

5.3. Выводы 108 Заключение 109 Список литературы 111 Приложение 1. Типовые законы распределения 118 Приложение 2. Формулы преобразования коэффициентов разложения 122 для «склеивания», «гладкого склеивания», аналитических выражений для характеристической функции

Рекомендованный список диссертаций по специальности «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», 05.13.18 шифр ВАК

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Программный комплекс аппроксимативного анализа законов распределения случайных процессов ортогональными функциями»

Всесторонний анализ первичной экспериментальной информации, как правило, является начальным этапом поиска решений для явлений и объектов различной природы и сложности. Физические явления, которые рассматриваются при решении разнообразных задач научных исследований, зачастую описываются массивами данных, имеющих случайный характер. Иногда, когда исследуемый объект не имеет полного математического описания, экспериментальная информация становится единственным источником получения важных инженерных параметров исследуемого объекта. Целью статистической обработки массивов экспериментальной информации в рамках анализа реализаций случайных процессов часто является получение системы статистических оценок с определенной доверительной вероятностью и точностью. При этом, как правило, оцениваются числовые характеристики, корреляционные и спектральные функции и характеристики, законы распределения.

Функциональные характеристики положения — законы распределения — занимают особое место в статистическом анализе. Их получение требует серьезных вычислительных затрат, однако они несут в себе существенную информацию об исследуемых процессах. В данной работе исходной информацией для проведения анализа являются временные ряды, представляемые для стационарных процессов совокупностью отсчетов. На основе полученных статистических данных строятся аналитические модели законов распределения и характеристических функций с неизвестными параметрами, удовлетворяющими заданному критерию оптимальности.

Задача аппроксимативного анализа случайных процессов сводится к получению аналитического выражения для интересующей характеристики. Такое выражение может быть найдено, например, в виде ряда по некоторой полной ортогональной системе функций, выбор которой связан с видом исследуемых функциональных характеристик.

Следует отметить, что перечисленным задачам в своих работах уделяли большое внимание такие ученые, как М. Розенблат, Г. Крамер, Л.Деврой, JL Дьерфи, Б.В. Сильверман, В.Н. Вапник, Н.Н. Ченцов, Б.Р. Левин, С.А. Прохоров, Ф.П. Тарасенко, Э.А.Недарая и другие, однако интерес к ним не пропадает. Совершенствуются методы оценивания, информационное обеспечение, разрабатываются специализированные программные комплексы.

Существующие современные автоматизированные системы математических расчетов предназначены для решения широкого круга задач и обладают высокой степенью универсальности. Многие позволяют использовать ортогональные функции для аппроксимации функциональных характеристик, однако получение непараметрических оценок плотности вероятности требует дополнительной настройки универсальных программ, то есть создания специального программного обеспечения. Узкоспециализированные программные комплексы [3,4] оказываются сильно привязанными к выбранному методу оценивания плотности вероятности и ориентированы на решение задач выбранного класса. Добавление новых методологий и алгоритмов решения задач требует существенного развития имеющихся комплексов программ, то есть создания подсистем, реализующих эти алгоритмы.

В связи с этим актуальной представляется задача создания программного комплекса непараметрического оценивания плотности вероятности ортогональными функциями Эрмита, Лагерра, Лежандра, Дирихле, реализующего предлагаемые и известные алгоритмы построения аппроксимативных оценок плотности вероятности и позволяющего провести исследования оценок. Разработанный комплекс является составной частью программного комплекса, созданного на кафедре информационных система и технологий Самарского государственного аэрокосмического университета.

Целью работы является разработка алгоритмического и информационного обеспечения программного комплекса непараметрического оценивания законов распределения случайных процессов ортогональными функциями Эрмита, JIareppa, Лежандра, Дирихле.

В соответствии с поставленной целью решаются следующие задачи исследования:

• разработка алгоритмов построения проекционных и гистограммно-аппроксимационных оценок плотности вероятности, удовлетворяющих свойству нормировки, основанных на использовании ортогональных базисов, не содержащих постоянную функцию нулевого порядка (Эрмита, Лагерра, Лежандра, Дирихле);

• исследование и сравнительный анализ проекционной и гистограммно-аппроксимационной оценок;

• построение аналитических выражений для характеристической функции по параметрам аппроксимации плотности вероятности;

• разработка алгоритма формирования класса «согласованных» оценок плотности вероятности в соответствии с критерием согласия Пирсона и исследование оценок построенного класса на альтернативных реализациях;

• разработка программного комплекса, реализующего разработанные методы и алгоритмы и его апробация на реальных данных;

Методы исследования. В качестве методологической основы работы используются методы теории вероятностей и математической статистики, теории случайных процессов, теории оптимизации и аппроксимации, системного анализа, имитационного моделирования и численные методы.

Научная новизна работы заключается в следующих положениях:

• предложен алгоритм получения модифицированной проекционной оценки плотности вероятности, определенной на всей числовой оси, который основан на идее разбиения плотности вероятности на две полубесконечные ветви и применении ортогональных функций Лагерра, Лежандра, Дирихле для оценивания ветвей с последующим нормированием аппроксимирующего выражения;

• предложен алгоритм построения гистограммно-аппроксимационной оценки плотности вероятности, основанной на сглаживании гистограммной оценки плотности вероятности ортогональными функциями Эрмита и ортогональными функциями Лагерра, Лежандра, Дирихле с разбиением плотности вероятности на две ветви относительно точки, в которой полигон частот не равен нулю;

• получены соотношения, обеспечивающие «склеивание» и «гладкое склеивание» аппроксимирующих выражений в точке разбиения;

• разработан алгоритм построения класса «согласованных» оценок по критериям согласия и методика отбора «наилучших» оценок из построенного класса.

Практическая ценность работы заключается в создании комплекса программ, который является:

• средством построения аппроксимативных оценок плотности вероятности в виде конечных разложений по ортогональным функциям;

• средством проведения вычислительных экспериментов методом имитационного моделирования временных рядов с заданным законом распределения для исследования свойств алгоритмов оценивания плотности вероятности;

• средством обработки данных натурного эксперимента.

Положения, выносимые на защиту:

• предложенные алгоритмы построения оценок плотности вероятности, использующие метод деления плотности вероятности на две ветви, позволяют обеспечить свойство непрерывности, а также гладкости получаемой оценки с обеспечением свойства нормировки;

• разработанный программный комплекс аппроксимативного анализа законов распределения случайных процессов ортогональными функциями позволяет эффективно решать задачи построения класса оценок плотности вероятности с помощью разложений по ортогональным функциям, выявлять «наилучшие» оценки из числа согласованных по критериям согласия; является средством численного моделирования временных рядов (реализаций стационарных случайных процессов) и исследования свойств проекционных и гистограммно-аппроксимационных оценок плотности вероятности методом имитационного моделирования; а также является инструментом для обработки реальных экспериментальных данных.

Внедрение результатов работы

Результаты работы внедрены в Институте Дистанционного Образования УлГТУ (Ульяновск) в работу университетской интегрированной информационной системы Мотор (УИС Мотор),, а также в учебный процесс кафедры информационных систем и технологий Самарского государственного аэрокосмического университета при подготовке студентов 3-4 курсов по специальности 230102 - автоматизированные системы обработки информации и управления- при выполнении лабораторных, курсовых работ и дипломного проектирования.

Апробация работы

Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на студенческих научно-технических конференциях (г. Самара), международной конференции "Информационные, измерительные и управляющие системы" (г. Самара, 2005), международном симпозиуме "Надежность и качество 2005" (г. Пенза), II научно-практической конференции "Качество, безопасность и диагностика в условиях информационного общества КБД-инфо 2005" (г. Сочи).

Публикации

По результатам исследований опубликовано 7 печатных работ, в том числе 1 тезисы докладов и 6 статей.

Объем и структура работы

Диссертация состоит из введения, 5 глав и заключения. Основное содержание работы изложено на 110 страницах, включая 24 рисунка и 8 таблиц. Список использованных источников включает 69 наименований, 4 приложения размещены на 17 страницах.

Похожие диссертационные работы по специальности «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», 05.13.18 шифр ВАК

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Дегтярева, Ольга Александровна

4.6 Выводы.

1. Разработана структура и программное обеспечение комплекса аппроксимативного анализа законов распределения случайных процессов.

2. Программный комплекс включает подсистему генерирования дискретных реализаций случайных процессов с заданным законом распределения и с заданными параметрами. Подсистема позволяет использовать метод имитационного моделирования для исследования свойств алгоритмов аппроксимации функциональных вероятностных характеристик.

3. Аппроксимация плотностей вероятности и функций распределения реализаций случайного процесса может проводиться параметрическим методом. Оценка параметров распределения производится методом моментов и методом наименьших квадратов.

4. Программный комплекс позволяет получать оценки плотности вероятности с помощью разложения в ортогональных базисах Эрмита, Лагерра, Лежандра и Дирихле; определять класс оценок, согласующихся с эмпирической информацией по критериям согласия Пирсона и Колмогорова, а также производить оценку характеристической функции по параметрам аппроксимации плотности распределения вероятностей.

5. Комплекс позволяет проводить тестирование разработанных алгоритмов оценивания плотности вероятности с целью исследования точностных характеристик оценок, свойства их состоятельности, определения оптимального числа слагаемых в сумме ряда при фиксированном объеме выборки, используя при этом метод имитационного моделирования.

Глава 5 Примеры апробации программного комплекса

5.1 Апробация программного комплекса на тестовом примере

С помощью разработанного программного комплекса был проведен ряд вычислительных экспериментов с использованием тестовых примеров. Частично результаты экспериментов приведены в главах 2 и 3. Здесь рассматривается пример расчета согласованных оценок, полученных во всех четырех ортогональных базисах.

Для генерирования реализации дискретного случайного процесса была использована двумодальная плотность вероятности, определенная на всей числовой оси и представляющая собой линейную комбинацию плотностей Ре лея и Вейбулла:

-ррхм 1 ехр (- рхм ) (- оо < х < 0), 2

1 / 1 X ( X1 Л , ч (5.1)

-Мрхи ехр {- рхи )+ -• —г-ехр--- ДО < х < с),

I Zcr ^

V 2о-2 у

1 * 2 где ц = 4, р = 0.05 - параметры закона Вейбулла; сг = 1.5 - параметр закона Релея; с -1.5 - сдвиг закона Вейбулла.

График плотности вероятности изображен на рисунке 5.1 сплошной черной линией. Для оценивания плотности вероятности была получена реализация объемом N=1000. Оценивание проводилось с использованием базисов Эрмита, Лагерра, Лежандра и Дирихле. Причем для последних трех базисов применялся алгоритм «гладкого склеивания» ветвей. Во всех случаях проводилась нормировка.

При построении класса согласованных оценок проводилось последовательное наращивание их сложности (то есть числа слагаемых в сумме ряда) начиная с одного слагаемого для базиса Эрмита и четырех слагаемых для остальных базисов (по два слагаемых для правой и левой ветви). Расчет коэффициентов разложения для проекционных оценок проводился по формулам (2.15), (2.17), (2.18), а для гистограммно-аппроксимационных оценок - по формулам (2.53), (2.78) с применением численного интегрирования.

Для каждой оценки проверка ее согласованности с выборкой по

I критериям Пирсона и Колмогорова при доверительной вероятности 0.95.

Далее генерировались 30 контрольных выборок и проверялась согласованность построенных ранее оценок с этими выборками.

В таблице 5.1 приведены диапазоны значений параметров сложности оценок для указанных базисов. Здесь за wmin и ттах обозначены минимальное и максимальное число слагаемых для согласованных оценок; через т обозначена характеристика сложности наилучшей (то есть наиболее простой) из числа «хорошо согласованных» оценок. Из проекционных оценок наилучшими оказались оценки в базисах Лагерра и Дирихле, имеющие одинаковую характеристику сложности т = 12, но погрешность АТ оценки рядом Лагерра оказалась меньше. Среди гистограммно-аппроксимационных оценок наилучшей оказалась оценка в базисе Лежандра с характеристикой сложности т = 11.

На рисунке 5.1 синей линией изображена наилучшая гистограммно-аппроксимационная оценка, красной линией - наилучшая проекционная оценка.

5.2 Применение комплекса программ для обработки результатов экспериментальных исследований

Описанные методы и алгоритмы аппроксимативного анализа могут быть использованы в решении достаточно широкого круга задач, связанных с обработкой экспериментальных данных. Примером этого служит использование разработанной автоматизированной системы при определении характеристик университетской интегрированной информационной системы Мотор (УИС Мотор) [38].

0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0

Л 1 К V. w л

1 1 I г г

-2,5 -0,5

1,5

3,5

5,5

-плотность вероятности гистограммно-аппроксимационная оценка в базисе Лежандра л ■ ■ проекционная оценка в базисе Лагерра

Рисунок 5.1 - Наилучшие оценки двумодальной плотности вероятности Таблица 5.1. Значения параметров сложности оценок двумодальной

2 Уровень значимости « = 0.05 ~ 1) = 33.924

Функции Эрмита Функции Лагерра Функции Лежандра Функции Дирихле

Г роекционные оценки т '"mm 9 11 14 10 max 19 20 20 20 т 13 12 17 12

А.Т 0.0057 0.0043 0.0119 0.0047

Гистограммно-аппроксимац донные оценки тш 8 11 9 11 т шах 18 19 20 20 т 12 13 11 15 д7. 0.0036 0.0044 0.0028 0.0053

УИС Мотор, созданная на основе ISO и IMS стандартов, является специально разработанной системой массового обслуживания (СМО) для управления деятельностью российских высших и средних профессиональных учебных заведений. УИС Мотор совершенствуется таким образом, чтобы автоматизировать все основные направления образовательной деятельности, начиная со школ, включая учреждения среднего профессионального образования, ВУЗы и, наконец, корпоративные центры или университеты предприятий.

В данной СМО [17,50] некоторые входные процессы в подсистемы являются близкими к пуассоновским, а некоторые времена обслуживания заявок в системе имеют показательный закон распределения. В этом случае расчет параметров подсистем и вероятностей перехода в СМО не представляет труда. Однако такие процессы, как процесс подачи заявок на перезачет и последовательность времен обслуживания заявок, имеют законы распределения, которые трудно отнести к какому-либо конкретному классу. Для плотностей распределения этих процессов были получены оценки в ортогональных базисах.

На рисунке 5.2 представлен фрагмент графика процесса поступления в учебный отдел заявок на перезачет дисциплин, сданных ранее (для второго высшего образования или повторного обучения) и соответствующий ему полигон частот, изображенный черной линией (N=212).

-—i—>—: ■ -■■:■ -■ ■-■ к M.JIII 1

0,13 0,12 0.11 0.1 оде ода

0,07 ода ода ода ода

0,03 V эти» я) bj л> во » 100 110 120

S 10 15 20 25 30 35 40 *55055

К 70 а) процесс подачи заявок на перезачет б) плотность вероятности Рисунок 5.2 - Подача заявок на перезачет в учебном отделе

Как видно из рисунка 5.2 закон распределения процесса подачи заявок на перезачет не является типовым. Наиболее простой из числа согласованных по критерию Пирсона оказывается гистограммно-аппроксимационная оценка функциями Лагерра. Она содержит 6 слагаемых в сумме ряда. Для сравнения отметим, что полигон частот характеризуется 44 параметрами. По параметрам полученных аналитических выражений проводится расчет характеристик потока заявок, характеристик пропускной способности системы, вероятности перехода системы из состояния в состояние [9], а также возможно имитационное моделирование процессов в системе, по результатам которого принимаются превентивные управленческие решения по распределению персонала, обслуживающего заявки, поступающие в ту или иную подсистему УИС.

На рисунке 5.3 изображен фрагмент случайного процесса, характеризующего время обслуживания заявки студента на перезачет в учебном отделе (N=2836). Также представлен закон распределения времени обслуживания. Наиболее простой оказывается гистограммно-апроксимационная оценка с разделением в базисе Лежандра, содержащая 20 слагаемых в сумме ряда. Для левой ветви значения аппроксимирующего выражения, имеющие отрицательную абсциссу, обнуляются, и проводится перенормировка оценки.

0,000016 0,000014 0,000012 0ДШ1 0,000006 0.000006 е.ооооси 0,0000(0 G . , J. щ \. ч т. i -г г

1 ч

100 200 ЭСО 4d0

100 «с УХ)

I 100 000 гооооо эооооо чооооо б) плотность распределения а) времена обслуживания заявок

Рисунок 5.3 - Время обслуживания заявки студента на перезачет

Параметры аналитических выражений для плотностей распределения вероятностей времен обслуживания заявок в разных подсистемах используются для расчета вероятности состояний системы [9], а также расчета нормативов времени обслуживания заявок различного типа.

Программный комплекс был также использован для обработки результатов измерений, полученных при вибрационной диагностики газотурбинного двигателя. Для обработки использовались последовательности результатов измерения вибросигналов осевыми датчиками, полученные на различных стадиях процесса наработки подшипников, разрушившихся в ходе испытаний. При стандартной работе подшипника плотность распределения результатов измерения вибросигналов имеет вполне определенную форму. При возникновении нарушений в работе подшипника форма плотности распределения претерпевает изменения. То есть, наблюдая плотность распределения вибросигналов, можно судить о состоянии подшипника.

На рисунке 5.4 приведены результаты аппроксимации плотности вероятности для подшипника №383.

Рисунок 5.4 - Оценки плотностей вероятности сигнала с вертикального датчика различного для времени наработки подшипника №383

Каждый из приведенных графиков характеризует наиболее простую t оценку, согласованную с реализацией, имеющей 9966 отсчетов при уровне значимости 0.95. Графики 1, 2 и 3 соответствуют гистограммно-аппроксимационным оценкам в базисе Эрмита, содержащим 8, 7 и 4 слагаемых в сумме ряда соответственно.

Таким образом, применение разработанных алгоритмов позволяет получить оценки плотности вероятности в довольно простом аналитическом виде, что выгодно отличает их от гистограммных. 5.3 Выводы

1. Разработанные алгоритмы и методы, а также программный комплекс применены для исследования характеристик УИС Мотор, для определения характеристик системы и принятия управленческих решений, повышающих эффективность работы УИС Мотор и оптимизирующих распределение персонала Института Дистанционного Управления Ульяновского Государственного Технического Университета.

2. Проведена апробация комплекса программ применительно к исследованию вибросигналов подшипника газотурбинного двигателя.

Параметры аппроксимации плотности вероятности позволяют не только исследовать процесс разрушения подшипника, но и проводить имитационное моделирование подобных процессов.

Заключение

Разработанные алгоритмы аппроксимативного анализа законов распределения позволяют решить различные задачи анализа случайных процессов. В ходе исследования были получены следующие выводы и результаты:

1. Предложены алгоритмы построения проекционных и гистограммно-аппроксимационных оценок плотности вероятности, определенной на всей числовой оси, с помощью ортогональных функций Лагерра, Лежандра, Дирихле, основанные на разделении аппроксимируемой функции на две ветви. Эти алгоритмы расширяют возможности построения наименее сложных оценок плотности вероятности, согласующихся с эмпирическими данными.

2. Предложены формулы расчета коэффициентов разложения оценок плотности вероятности, обеспечивающие «склеивание» а также «гладкое склеивание» аппроксимирующих ветвей при соблюдении условия нормировки.

3. Проведен сравнительный анализ результатов аппроксимации плотности вероятности с использованием ортогональных функций Эрмита, Лагерра, Лежандра, Дирихле на различных тестовых примерах.

4. Разработан алгоритм формирования класса согласованных с экспериментальными данными оценок плотности вероятности, основанный на применении критерия Пирсона.

5. Предложен алгоритм получения аналитических выражений для характеристической функции по параметрам аппроксимирующего выражения для плотности вероятности

6. Разработан комплекс программ аппроксимативного анализа законов распределения ортогональными функциями. Комплекс реализован в среде программирования Delphi 6.

7. С помощью разработанного комплекса программ было проведено исследование зависимости погрешности оценивания от числа отсчетов реализации случайного процесса (объема выборки). Исследование I проводилось на тестовых примерах с использованием имитационного моделирования временных рядов; были получены оценки плотностей вероятности входных процессов и времени обслуживания заявок в университетской интегрированной информационной системе Мотор (Ульяновск), использующиеся для определения характеристик системы и оценки плотности вероятности вибросигналов подшипников газотурбинного двигателя.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Дегтярева, Ольга Александровна, 2006 год

1. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. М.: Наука, 1979.-832 с.

2. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. Основы моделирования и первичная обработка данных. — М.: Финансы и статистика, 1983.-471 с.

3. Алгоритмы и программы восстановления зависимостей / Под ред. В.Н. Вапника. М.: Наука, 1984.-816с.

4. Ахметшина О.Р. Исследование метода построения плотности распределения с помощью проекционного оценивания — 2005. http://nit.miem.edu.ru/2005/sectionl/3.1 l(m).htm.

5. Ахметшина О.Р. Разработка методов оценки плотности методом вейвлет-анализа с учетом цензурированной информации — 2004. http://www.polar.mephi.ru/conf/2004/tez2004/bez.htm

6. Бендат Дж., Пирсол А. Применение корреляционного и спектрального анализа: Пер. с англ. — М.: Мир, 1983. 312 с.

7. Бенткус Р., Казбарас А. Оптимальные статистические оценки плотности распределения в присутствие априорной информации / Литовский математический сборник. T.XXII, №3, 1982. с.29-40.

8. Богданов Ю.И. Информация Фишера и непараметрическая аппроксимация плотности распределения / Заводская лаборатория. Диагностика материалов, т. 64. N 7. 1998. с. 54-60.

9. Богданов Ю.И., Богданова Н.А. и др. Статистическое исследование времени до пробоя подзатворного диэлектрика в условиях электрического стресса//Микроэлектроника. 1994. Т. 23. №1. С. 75-85.

10. Ю.Болыпев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. М.: Наука, 1965.

11. Боровков А.А. Курс теории вероятностей М.: Наука, 1972. - 287 с.

12. Боровков А.А. Математическая статистика. Учебник. М.: Наука, 1984. — 472 с.

13. Бочаров П. П., Печинкин А. В. Теория вероятностей. Математическая > статистика. Учебное пособие. М.: Гардарика, 1998. - 326 с.

14. М.Вапник В.Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. -М.: Наука, 1979.

15. Вапник В.Н., Стефанюк А.Р. Непараметрические методы восстановления плотности вероятности / Автоматика и телемеханика, №8, 1978. — с.38-52.

16. Вентцель Е.С., Овчаров JI.A. Теория вероятностей. Изд 2-е, стереотипное М.: Наука, 1973. - 368 с.

17. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Высшая школа, 2001. - 576 с.

18. Гихман И.И. Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов Изд. 2-е М.: Наука ,1977. - 568 с.

19. Гольцов Н.А. Метод наименьших квадратов.- М.: МТИПП, 1989.- 20с.

20. Гольцов Н.А. Некоторые обобщения методов конструирования алгоритмов прикладного численного анализа.- М.: МГУ леса, 2001.- 64с.

21. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. Пер. с англ. Изд 5-е М.: Наука, 1977. - 224 с.

22. Деврой JL, Дьерфи JI. Непараметрическое оценивание плотности. Li -подход. Пер. с англ. М.: Мир, 1988. - 408 с.

23. Дегтярева О.А. Анализ методической погрешности аппроксимации плотностей вероятности ортогональными функциями Лагерра. / Актуальные проблемы гуманитарных и общественных наук. Самара: СаГА 2004.-С.281-286.

24. Дьяконов В.П. MATLAB 6/6.1/6.5 + Simulink 4/5 в математике и моделировании. Полное руководство пользователя. М.: СОЛОН-Пресс. -2003.-657 с.25.3аездный A.M. Основы расчетов по статистической радиотехнике. — М.: Связь, 1969.-447 с.

25. Иващенко А.В. Аппроксимативный анализ взаимных корреляционно-спектральных характеристик временных рядов с помощью ортогональных функций Лагерра. Дисс. канд. техн. наук. Самара, 2004. - 182 с.

26. Коваленко И.Н., Филипова А.А. Теория вероятностей и математическая % статистика. Учебное пособие для втузов. М.: Высшая школа, 1973. - 368 с.

27. Коварцев А.Н. Численные методы: Учебное пособие. Самара: НВФ "Сенсоры. Модули. Системы", 1998. - 143с.

28. Крамер Г. Математические методы статистики. Изд. 2-е, стереотипное. -М: Мир, 1975.-648 с.

29. Кудрина М.А. Программный комплекс аппроксимации корреляционно-спектральных характеристик случайных процессов параметрическими моделями. Дисс. канд. техн. наук. Самара, 2004. - 173 с.

30. Кузнецов Ю.Н., Кузубов В. И., Волощенко А. Б. Математическое программирование. М.: Высшая школа, 1976. - 351 с.

31. Кулаичев А.П. Полное собрание сочинений в трех томах. Том 1. Методы и средства анализа данных в среде Windows. STADIA. Изд. 3-е, перераб и доп. М.: Информатика и компьютеры, 1999. - 341 е., ил.

32. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Книга первая. М.: Советское радио, 1969. - 725 с.

33. Лукач Е. Характеристические функции. Пер. с англ./ Под ред. В.М. Золотарева. М.: Наука, 1979. - 424 с.

34. Математическая статистика: Методические указания к решению задач./ сост. Э.И. Коломиец. — Куйбышев: Куйбышев, авиац. ин-т, 1990.-32 с.

35. Надарая Э.А. Непараметрическое оценивание плотности вероятности и кривой рег-рессии. Тбилиси: ТГУ, 1983. - 194 с.

36. Надарая Э.А. Об оценке плотности распределения случайных величин // Сообщ. АН ГССР. 1964. - Т.34. - № 2. - С. 277-280.

37. Панова В.М., Исаев Ю.В., Соснин П.И., Мухина Н.Б., Гадалина Н.Н., Вьюговский А.В., Сидоров А.С. Университетская интегрированная информационная система Мотор. Ульяновск: УлГТУ, 2005. - 32 с.

38. Прохоров А.В., Ушаков В.Г., Ушаков Н.Г. Задачи по теории вероятностей: Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы: Учебное пособие. М.: Наука, 1986. - 328 с.

39. Прохоров С.А. Аппроксимативный анализ случайных процессов. — 2-е • изд., перераб. и доп. Самара: СНЦ РАН, 2001. - 380 с.

40. Прохоров С.А. Математическое описание и моделирование случайных процессов. Самара: СГАУ, 2001. - 329 с.

41. Прохоров С.А., Графкин А.В. Программный комплекс корреляционно-спектрального анализа в ортогональных базисах. — Самара: СНЦ РАН, 2005.- 198 с.

42. Прохоров С.А., Дегтярева О.А. Подсистема генерирования псевдослучайных последовательностей автоматизированной системыаппроксимативного анализа законов распределения. / Актуальные i проблемы радиоэлектроники. Выпуск 6. — Самара: СГАУ 2001. с. 100110.

43. Рытов С.Н. Введение в статистическую радиофизику. Часть 1. Случайные процессы. М.: Наука, 1976. - 496 с.

44. Смагин В.А., Бубнов В.П., Филимонихин Г.В. Расчет вероятностно-временных характеристик пребывания задач в сетевой модели массового обслуживания // Изв. ВУЗов. Приборостроение. T.XXXII - № 2. - 1989. -С.23-25.

45. Смолянский М.Л. Таблицы неопределенных интегралов. Издание 2-е. исправленное. М.: — Физматгиз, 1963. 112 с.1 52.Солодянников Ю. В. Математическая статистика. Учебное пособие кспецкурсу. 4 1./ Куйбышевский государственный университет, 1982. -106 с.

46. Справочник по математике (для научных работников и инженеров) / Корн Г., Корн Т. Пер. со 2-го амер. перераб. изд. М.: Наука, 1974. - 831 с.

47. Терехов С.А. Лекции по теории и приложениям искусственных » нейронных сетей. Снежинск, 1994-1998,http://alife.narod.ru/lectures/neural/Neu index.htm.

48. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М.: Физматгиз, 1978. - 624 с.

49. Тихонов А.Н. Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. Учебное пособие для вузов. Изд 3-е, исправленное. М.: Наука, 1986. -288 с.

50. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Анализ данных на компьютере / Под ред. В.Э.

51. Фигурнова. 3-е изд., перераб. и доп. - М.: ИНФРА-М, 2003. - 544 с.

52. Фаронов В. Delphi 6: учебный курс. СПб.: Питер, 2002. - 512 с.

53. Ходасевич Г.Б. Обработка экспериментальных данных на ЭВМ. Часть 1. Обработка одномерных данных. Учебное пособие. http://www.dvo.sut.ru/libr/opds/il30hodo parti/index.htm

54. Численные методы: Курс лекций / А.Н. Коварцев. Самарскийгосударственный аэрокосмический университет, 2000. 177 с. бЗ.Ченцов Н.Н. Оценка неизвестной плотности распределения по наблюдениям / Доклады АН СССР, т. 147, №1, 1962.- с.45-48.

55. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1978. - 224 с.

56. Шумаков П.В. Delphi 3 и разработка приложений баз данных. М.: Нолидж, 1999. - 704 с.

57. Е. Parzen On the estimation of probability density and mode. Ann. Math. Statist. 1962, v.33, N3, p.1065-1076.

58. Zeevi A.J., Meir R. Density Estimation Through Convex Combination of Densities: Approximation and Estimation Bounds // Neural Networks. 1996, v.10, p.99-109.

59. Lampard D.G. A new Method of determining Correlation Function Stationary Time Series. "Proceedings of the Institution of Electrical Engineers", vol. 102, part. C. March, 1955, London, № 1.

60. Prokhorov S. Manual for the Simulation of Random Processes and Dynamic • Systems. IRB- Zagreb. - 1980. - 62 p.i

Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.