Процедуры обучения алгоритмов распознавания стационарных случайных сигналов в радиотехнических системах в условиях априорной параметрической неопределенности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.12.04, кандидат технических наук Егоров, Алексей Владимирович

• Егоров, Алексей Владимирович
• кандидат технических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат технических наук Егоров, Алексей Владимирович

ВВЕДЕНИЕ.

1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЪЕМА ОБУЧАЮЩЕЙ ВЫБОРКИ ПРИ РАСПОЗНАВАНИИ СТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ В СПЕКТРАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ.

1.1 Вводные замечания.

1.2 Решающее правило для распознавания стационарных случайных сигналов, отличающихся корреляционными функциями, во временной области.

1.3 Статистические свойства спектральных оценок.

1.4 Решающее правило при распознавании случайных сигналов в спектральной области.

1.5 Оценка вероятности правильного распознавания

1.6 Решающее правило в условиях параметрической априорной неопределенности.

1.6.1 Определение необходимого объема обучающей выборки.

1.6.2 Обучение по одной реализации

1.6.2.1 Выбор способа обучения и оценка вероятности распознавания.

1.6.2.2 Выбор ширины спектрального окна при распознавании сигналов с СПМ, имеющими монотонный характер

1.6.2.3 Выбор ширины спектрального окна при распознавании сигналов с СПМ, имеющими тонкую структуру.

1.6.3 Разработка процедур оценки значений параметров решающего правила при ограниченном объеме обучающей выборки

1.7 Выводы

2 МЕТОДЫ СНИЖЕНИЯ ВЛИЯНИЯ ПРОПУСКОВ НАБЛЮДЕНИЙ НА ВЕРОЯТНОСТЬ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЯ ПРИ РАСПОЗНАВАНИИ СТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ В СПЕКТРАЛЬНОЙ

ОБЛАСТИ.

2.1 Вводные замечания

2.2 Случайный процесс с пропусками наблюдений

2.3 Оценка влияния пропусков наблюдений на вероятность ошибки

2.4 Распознавание в условиях мощной импульсной помехи или пропусков наблюдений

2.4.1 Методы компенсации влияния пропусков наблюдений

2.4.2 Заполнение средним

2.4.3 Масштабирование выборочного спектра

2.4.4 Заполнение пропусков с помощью линейного предсказания.

2.4.5 Заполнение пропуска временным сдвигом реализации

2.4.6 Частичное заполнение пропусков временным сдвигом

2.4.7 Заполнение сдвигом с коррекцией весовых коэффициентов

2.4.8 Медианная фильтрация

2.4.9. Использование окон просмотра данных.

2.4.10 Адаптация параметров решающего правила к помеховому воздействию

2.5 Сравнение методов компенсации влияния помехи на вероятность правильного распознавания

2.5.1 Результаты моделирования для случайных сигналов, имеющих

СПМ первого и второго типа.

2.5.2 Результаты моделирования для случайных сигналов, имеющих

СПМ третьего типа .Ю

2.5.3 Результаты моделирования для случайных сигналов, имеющих СПМ четвертого типа

2.6 Процедура, обеспечивающая снижение влияния пропусков наблюдений на вероятность ошибки распознавания. ^

2.7 Выводы

3 АЛГОРИТМ РАСПОЗНАВАНИЯ ВЕКТОРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ ПРИ ИХ БИНАРНОМ КВАНТОВАНИИ

3.1 Вводные замечания . ПО

3.2 Решающее правило для распознавания векторных случайных сигналов, отличающихся корреляционными матрицами.

3.3 Выбор числа уровней квантования

3.4 Распределение вероятностей бинарно квантованного случайного процесса

3.5 Синтез решающего правила для бинарно квантованных векторных случайных сигналов

3.6 Синтез решающего правила, использующего оценку матрицы ковариации бинарно квантованного векторного случайного сигнала.

3.7 Оценка вероятности правильного распознавания для бинарно квантованных векторных случайных сигналов

3.8 Влияние аддитивного шума на распознавание бинарно квантованных векторных случайных сигналов

3.9 Решающее правило для распознавании бинарно квантованных векторных случайных сигналов в условиях параметрической априорной неопределенности.

ЗЛО Выводы

4 ОЦЕНКА ЗНАЧЕНИЙ ПАРАМЕТРОВ РЕШАЮЩЕГО ПРАВИЛА ПРИ РАСПОЗНАВАНИИ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫХ 141 СИГНАЛОВ В СПЕКТРАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ

4.1 Вводные замечания.

4.2 Способы представления пространственно-временного стационарного случайного сигнала

4.3 Статистическое описание выборочного спектра и основанные на нем алгоритмы принятия решений

4.4 Статистическое описание двумерного спектра и алгоритм распознавания, использующий в качестве признаков двумерный спектр

4.5 Определение параметров решающего правила

4.6 Разработка процедуры обучения при распознавании пространственно-временных стационарных случайных сигналов по двумерным спектрам мощности

4.6.1 Оценка вероятности ошибочного решения

4.6.2 Распознавание пространственно-временных стационарных случайных сигналов со структурой СПМ 1 типа

4.6.3 Распознавание пространственно-временных стационарных случайных сигналов со структурой СПМ 2 типа

4.7 Распознавание реальных пространственно временных случайных сигналов в спектральной области.

4.7.1 Электроэнцефалограмма как пространственно временной случайный сигнал

4.7.2 Экспериментальные данные для исследований.

4.7.3 Распознавание по двумерному выборочному спектру.

4.8 Выводы . I

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Процедуры обучения алгоритмов распознавания стационарных случайных сигналов в радиотехнических системах в условиях априорной параметрической неопределенности»

Актуальность темы. Одним из путей расширения функциональных возможностей современных радиотехнических систем (РТС), комплексов, оборудования предназначенного для медицинских и биологических исследований, диагностики состояния технических средств, применения в радио- и гидролокации, сейсмологии, системах контроля и идентификации является внедрение в их состав устройств и алгоритмов распознавания. Повышение качества их функционирования, в сложных помеховых условиях, неопределенности в описании эталонов, при требованиях о минимизации программно-аппаратных затрат - задача весьма актуальная.

Основы статистической теории распознавания заложены и развиты в работах таких зарубежных ученых как Ф. Розенблатт, Р. Гонсалес, Дж. Ту, Ш. Закс, Э. Леман, К. Фу, К. Фукунага [1.5]. Значительный теоретический вклад в решение задач распознавания внесли также отечественные ученые: А.А. Хар-кевич, В. Н. Вапник, В.Г. Репин, Г.П. Тартаковский, А.В. Миленький, Я.А. Фомин, Г.Р. Тарловский, А.Л. Горелик, В.А. Скрипкин и другие [6. 14]. Возникновение ряда прикладных задач потребовало дальнейшего развития статистической теории распознавания, рассмотрения частных случаев и разработки подходов к их решению. При этом исследования ведутся в различных направлениях.

1. Выделение совокупности информационных признаков для классификации объектов, образов, процессов или сигналов, определение их статистических характеристик, а также минимизация признакового пространства с помощью оптимальных, асимптотически оптимальных разложений. Важную роль в этой области занимают работы по статистической радиотехнике, прикладной теории случайных процессов (СП) и полей отечественных и зарубежных ученых, таких как Б.Р. Левин, B.C. Пугачев, А.Н. Тихонов, В.И. Трифонов, Е.И. Куликов, Я.Д. Ширман, И.А. Большаков, B.C. Ракошиц, Дж. Бендат, А. Пир-сол, С.Уилкс, Д. Бриллинджер, М. Кендалл, А. Стюарт, Г. Чернов, Л. Мозес, Д.

Кокс, П. Льюис, Э Хеииан и других [15.33]. Они послужили основой для ряда исследований, посвященных, в частности, обеспечению экстремального значения критерия эффективности за счет вариации алфавита классов и словаря [14]; сокращению размерности описания сигналов применительно к синтезу решающего правила [34,35]; синтезу оптимальных алгоритмов разрешения классов сигналов для нормальных и гамма распределенных процессов [36.41]; алгоритмам многоальтернативного распознавания [42.46]. В связи с более компактной записью решающего правила, упрощением анализа эффективности алгоритмов, достаточно традиционным является рассмотрение ситуации распознавания простой гипотезы против простой альтернативы. Не нарушая общности рассуждений и аналитических выводов, таким же образом ставится задача и в данной работе.

В ряде исследований, например [47.55], показано, что распознавание случайных сигналов (СС), являющихся реализациями СП, отличающихся вторыми моментными функциями, целесообразно проводить в спектральной области. Основой для синтеза устройств обработки и распознавания в спектральной области является статистическая теория спектрального анализа, ключевое место в которой занимают исследования и выводы, сделанные в работах Г. Дженкинса, Д. Ваттса, Дж. Бокса, Д. Бриллинджера, Г. Ван Триса, С.Л. Марп-ла, A.M. Трахтмана, А.А. Харкевича, Ю.И. Грибанова, В.Л. Малькова, В.Г. Алексеева и др.[56.62]. В дальнейшем элементы этой теории получили развитие в публикациях, связанных со спектральным оцениванием, многомерным спектральным анализом, решением ряда прикладных задач. К этим работам в частности следует отнести [52,63.69], где предложен байесовский подход к многомерному спектральному анализу [63] и синтезирован рекуррентный метод параллельного спектрального анализа [52], повышающий его скорость.

Синтез устройств распознавания СС в спектральной области рассмотрен в [47.51, 70]. Там же оценена эффективность распознавания гауссовских векторных процессов в базисе Карунена-Лоэва, а также упрощение практической реализации устройства распознавания за счет снижения размерности базиса.

Обоснована возможность замены оптимального декоррелирующего преобразования частично декоррелирующими дискретными спектральными преобразованиями [70].

Большое число работ посвящено синтезу и анализу алгоритмов принятия решений с использованием различных спектральных базисов, оценке их эффективности. Предложена замена разложения Карунена-Лоэва и синтезированы алгоритмы распознавания на основе дискретных спектральных преобразований Фурье, Уолша, Хаара [55,71], для которых проработаны методы "быстрых" преобразований, отмечено асимптотическое стремление преобразования Фурье к преобразованию Карунена-Лоэва [72]. Выполнены синтез и анализ решающего правила для распознавания стационарных случайных сигналов (ССС) по нормированному спектру мощности Фурье, инвариантного к параметру масштаба [73. 75].

2. Одной из принципиальных проблем синтеза и функционирования устройства принятия решения является то, что реализация заданного классификатора практически не выполнима, поскольку сведения о распознаваемых сигналах могут быть получены лишь на основе оценки статистических характеристик обучающей выборки. Во многих случаях устранение параметрической неопределенности решающего правила сталкивается с тем, что объем выборки доступный на этапе обучения весьма ограничен. Это может быть связано с редкостью явлений, подлежащих обнаружению [76], или высокой стоимостью получения обучающей выборки. Недостаток априорных сведений о распознаваемом сигнале вследствие ограниченного объема обучающей статистики приводит к росту вероятности ошибки решения [12, 41, 77.79]. Следовательно, возникает задача определения объема обучающей выборки необходимого для достижения заданной вероятности ошибки, а также выбора способа оценивания статистических характеристик процесса, обеспечивающего при заданном объеме обучающей выборки минимальную вероятность ошибки. Подобные вопросы рассматривались в работах [12, 80.84], но в основном для нормальных совокупностей.

Задача выбора необходимого объема обучающей выборки, оценка вероятности правильного решения при фиксированном объеме обучающей статистики и определение подхода к процедуре обучения при распознавании в спектральной области, в частности по оценкам спектральных плотностей мощности, в настоящее время не решена.

3. Синтез и адаптация алгоритмов и устройств распознавания к мешающим воздействиям, помехам и неинформативным параметрам, получение роба-стных, инвариантных алгоритмов - типичная задача, возникающая в процессе функционирования РТС различного назначения. Компенсация влияния помех требует в первую очередь их обнаружения и оценки параметров. Подобные задачи возникают и в устройствах восстановления изображений и сигналов. Значительные достижения в этом направлении сделаны такими учеными как Ю.Г. Сосулин, А.П.Трифонов, А.А. Харкевич, Я.Д. Ширман, В.Н. Голиков, Г.И. Василенко, A.M. Тараторин, Е.И. Куликов, В.Г. Алексеев, Л.П. Конончук, Ю.С. Радченко, Р.Дж. Литтл, Д.Б. Рубин, Хант, У. Прэтт [85. 100]. Ряд работ [84,90,101. 107] посвящен синтезу алгоритмов распознавания, адаптивных и инвариантных к мешающим параметрам. Значительная часть публикаций относится к распознаванию радиолокационных объектов и изображений [66,94,108. 117], обеспечению качества функционирования систем связи [54,85, 118].

Наиболее распространенной моделью помехи является гауссовский белый шум, воздействие которого на точность оценки характеристик, вероятность ошибки распознавания рассматривается во многих работах. Тем не менее, этой моделью далеко не ограничивается класс мешающих воздействий. В условиях функционирования систем сбора и хранения информации, телеметрии, связи и ряда других возникает необходимость распознавания, в условиях помех такого уровня, который приводит к полной потере информативной составляющей сигнала на некоторых интервалах времени, кроме того, возможны сбои регистрации сигнала вследствие программных и аппаратных прерываний.

Влияние этих факторов эквивалентно регистрации сигнала с пропусками наблюдений.

В математической статистике для однородных данных с пропусками разработан соответствующий математический аппарат [100], но в теории статистического принятия решений этому вопросу уделено явно недостаточно внимания [100,119. 121]. Необходимо отметить ряд публикаций в этом направлении. В работе [119] подобная задача поставлена в плане кластерного анализа при наличии пропусков компонент у векторов наблюдений в предположении, что случайная природа пропусков зависит от класса, к которому принадлежит наблюдение. Статистические методы восстановления пропущенных данных рассмотрены в [122. 124], а в [65, 125] сделана оценка выборочного спектра гауссовского СП по его реализации с пропусками. Тем не менее, в доступной литературе практически не рассмотрена оценка эффективности распознавания при наличии пропусков и отсутствуют рекомендации по выбору способа построения решающего правила в такой ситуации.

4. Несмотря на значительный рост быстродействия и объема памяти цифровых устройств остаются актуальными вопросы синтеза максимально эффективных с точки зрения вычислительных и аппаратных затрат алгоритмов распознавания. Некоторые исследования посвящены архитектуре устройств принятия решения, например, [110] показано, что с точки зрения увеличения скорости работы наиболее предпочтительной является нейронная сеть Хэммин-га и применение поэтапного распознавания. В ряде случаев для обеспечения максимального быстродействия устройства принятия решения его целесообразно реализовывать на программируемых логических интегральных схемах (ПЛИС). Известно [10,126], что применение бинарного квантования позволяет упростить аппаратную часть устройства обработки сигнала. Следовательно, разработка алгоритма распознавания, использующего бинарное квантование векторного СС может значительно сократить программно-аппаратные затраты на реализацию устройства распознавания, что повысит эффективность соответствующей РТС.

5. Все чаще устройства обработки предполагают их функционирование в составе систем, существенной особенностью которых является многомерность или многокомпонентность сигнала. Это относится к регистрации и обработке сигналов гидролокации, метеолокации для определения пространственных неоднородностей скорости воздушного потока, обнаружения метеообразований [47,48], диагностике состояния технических средств [1] и т.д. В связи с этим актуальны исследования по статистике многомерных временных рядов, процессов, полей и пространственно-временных ССС (ПВССС), основанные на основополагающих работах по теории случайных процессов, потоков и событий во временной и спектральной области таких ученых как М. Кендалл, А. Стюарт, Э. Хеннан, Д. Даджион, Р. Мерсеро, С.М. Рытов, Б. Эфрон [25, 41, 63, 123,127, 128]. Синтезу и анализу решающего правила при классификации многомерных нормально распределенных СС посвящены, например, работы [39,129. 136], в которых получены зависимости вероятности ошибки от расстояния между классами при независимых компонентах распознаваемого процесса [39], предложены адаптивные алгоритмы распознавания многомерных нормальных измерений при коротких обучающих выборках [136].

Кроме ряда радиотехнических приложений распознавание, в том числе и в спектральной области, целесообразно использовать также для задач, связанных с медицинской диагностикой. Особенно это характерно для исследования функциональных особенностей головного мозга с помощью электроэнцефалографии (ЭЭГ). Электрические потенциалы, зарегистрированные с кожи головы человека, отражают интегральные системные характеристики работы головного мозга. Следует отметить исследования в направлении технического и математического обеспечения диагностики заболеваний головного мозга проводимые JI.P. Зенковым, В.А. Боханастюк, А.П. Кулаичевым, Э.М.Рутманом, В.Е. Май-ориком, И. Сватош, А.И. Фединым, Я.А. Капланом, и другими [137. 155]. Тем не менее, попытки формализовать процедуру выявления патологий, очагов поражения, автоматической постановки диагноза сталкиваются с трудностями адекватности статистического описания сигнала ЭЭГ, выявления связи его статистических характеристик с тем или иным диагнозом. Положительные результаты, достигнутые в этом направлении, могли бы дать возможность раннего выявления патологий, сделать ЭЭГ исследование более информативным и объективным.

Цель работы: разработка процедур обучения алгоритма распознавания стационарных случайных сигналов, различающихся корреляционными связями при априорной параметрической неопределенности; его адаптация к воздействию мощной импульсной помехи, приводящей к пропускам наблюдений; а также синтез алгоритма распознавания векторных ССС при их бинарном квантовании, минимизирующего требования к вычислительным и аппаратным затратам на его реализацию в РТС.

Для достижения поставленной цели в работе решены следующие задачи.

1. Разработка процедуры оценки значений весовых коэффициентов решающего правила, обеспечивающей снижение вероятности ошибки в условиях априорной параметрической неопределенности при распознавании ССС по выборочной спектральной плотности мощности (СПМ).

2. Выбор и анализ методов, позволяющих снизить влияние помех, приводящих к пропускам наблюдений в контрольной реализации, на достоверность распознавания. Разработка процедуры, обеспечивающей с учетом статистических характеристик распознаваемых сигналов и помех компенсацию влияния пропусков наблюдений на вероятность ошибки.

3. Синтез и анализ решающего правила, использующего бинарное квантование векторного ССС и минимизирующего программно-аппаратные затраты на его реализацию. Адаптация решающего правила для бинарно квантованных сигналов к статистическим характеристикам аддитивного шума.

4. Распознавание пространственно-временных СС (ПВСС) по двумерной СПМ при ограниченном объеме обучающей выборки.

Методы исследования. При решении поставленных задач использовался математический аппарат теории случайных процессов, статистической радиотехники, теории принятия решений, спектрального анализа сигналов. Теоретические методы сочетались с экспериментальными исследованиями на основе имитационного моделирования, а также натурного эксперимента.

Научная новизна. В рамках диссертационной работы получены следующие новые научные результаты.

1. Предложены процедуры обучения, позволяющие эффективным образом оценивать значения параметров решающего правила в условиях априорной параметрической неопределенности при распознавании ССС по СПМ.

2. Предложены и обоснованы процедуры, обеспечивающие снижение влияния импульсных помех, приводящих к пропускам наблюдений, на вероятность принятия решения.

3. Синтезировано решающее правило, получены выражения для параметров отношения правдоподобия и его распределения при распознавании бинарно квантованных векторных ССС. Получено выражение для плотности распределения оценки корреляционной матрицы бинарно квантованного векторного СС.

Практическая ценность. Полученные результаты позволяют минимизировать объем обучающей выборки и повысить вероятность принятия правильного решения в условиях априорной параметрической неопределенности; повысить помехоустойчивость устройств распознавания посредством адаптации их к присутствию в сигнале импульсных помех, приводящих к пропускам наблюдений; создать эффективные с точки зрения аппаратных и вычислительных затрат устройства распознавания ССС, обеспечив улучшение показателей РТС.

Часть приведенных результатов получена при выполнении НИР №17-96 Г «Автоматизация диагностики состояния пациентов по данным электроэнцефалографии» в которой автор являлся ответственным исполнителем.

Результаты диссертационной работы внедрены в разработки ОАО «Энергобаланс-Рязань», ООО ЦМП «Истоки здоровья», в учебный процесс РГРТУ, планируются к применению при модернизации радиолокационной аппаратуры в ОАО завод «Красное Знамя», что подтверждено соответствующими актами.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Процедура оценки значений параметров решающего правила, обеспечивающая при ограниченном объеме обучающей выборки снижение вероятности ошибки распознавания ССС по выборочной СПМ. При обучающей выборке, состоящей из одной реализации для каждого из классов, достигается снижение вероятности ошибки в 1.2+4 раза в зависимости от вида СПМ распознаваемых сигналов.

2. Процедура, позволяющая оценить необходимый для достижения заданной вероятности ошибки распознавания объем обучающей выборки и снижающая его величину в 2-4 0 раз для выбранных моделей сигналов по сравнению с обучением на основе усреднения по ансамблю несглаженных оценок СПМ.

3. Процедура распознавания ССС по выборочной СПМ, позволяющая снизить влияние импульсных помех и пропусков наблюдений в контрольной реализации на вероятность ошибки решения в 1.2-в раза в зависимости от СПМ распознаваемых сигналов и характеристик помех.

4. Алгоритм распознавания векторных ССС при их бинарном квантовании, обеспечивающий сокращение числа вычислительных операций пропорционально квадрату размерности вектора и значительное упрощение аппаратной части устройства распознавания, а также решающее правило, адаптивное к характеристикам аддитивного шума.

Апробация работы. Основные результаты и положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях и семинарах: Украинская республиканская школа-семинар "Вероятностные модели и обработка случайных сигналов и полей", Черкассы, ЧФКПИ, 1991 г.; 2-я, 3-я и 7-я МНТК "Распознавание", Курск, КГТУ, 1995, 1997, 2005 г.; Международный конгресс "Медицинские технологии на рубеже веков", Тула, 1998 г.; 37-я НТК, поев. 50-летию РГРТА, Рязань, РГРТА, 2002 г.; МНТК, поев. 80-летию гражданской авиации России, Москва, МГТУ ГА, 2003 г.; научная сессия РНТОРЭС им. А.С.Попова, Москва, 2005 г.; 2-й международный РЭ форум "Прикладная радиоэлектроника. Состояние и перспективы развития", Харьков,

АПНПРЭ, ХНУРЭ, 2005 г.; 14-я МНТК "Проблемы передачи и обработки информации в сетях и системах телекоммуникаций", Рязань, РГРТА, 2005 г.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 22 научных работах, из них 9 статей, среди которых 4 в журналах из перечня, рекомендованного ВАК РФ для публикации результатов диссертационных работ; 12 текстов и тезисов докладов на конференциях; 1 отчет по НИР.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографии из 235 наименований, 6 приложений. Содержание работы изложено на 260 стр., в том числе основного текста 149 стр., 92 иллюстрации, выполненных на 38 стр., и 46 стр. приложений.

Заключение диссертации по теме «Радиотехника, в том числе системы и устройства телевидения», Егоров, Алексей Владимирович

4.7 Выводы

В этом разделе рассмотрены возможные методы распознавания ПВССС в спектральной области. Наиболее компактное решающее правило получается при использовании в качестве статистики двумерного спектра мощности. Схожесть статистических свойств СПМ ПВССС с СПМ ССС позволило использовать для оценки вероятности ошибки при заданном объеме обучающей выборки подход, примененный в главе 1.

Основными результатами главы являются.

1. Подтверждение возможности перенесения процедур получения коэффициентов отношения правдоподобия при априорной параметрической неопределенности, использованных в главе 1 для скалярных ССС, на ПВССС. Поскольку не найдено строгого аналитического решения задачи, то большая часть выводов основана на результатах моделирования.

Для этого исследовано поведение вероятности ошибки при распознавании имеющих различные структуры спектров в зависимости от параметров процедуры обучения, таких как объем обучающей выборки и размеры сглаживающего спектрального окна.

2. Вследствие возросшей размерности поставленной задачи выбор оптимальных значений спектральных окон более сложен, чем для скалярного случая. Поэтому предложена частичная декомпозиция учета влияния параметров процедуры обучения. Это позволило независимо рассмотреть влияние объема обучающей выборки и размеров спектрального окна по каждому из его сечений на вероятность ошибки. Выявленные тенденции и закономерности позволяют в зависимости от априорных сведений о спектрах и возможном объеме обучающей выборки выбрать параметры окон сглаживания.

3. Показана целесообразность анализа логарифмической функции расстояния между СПМ процессов гипотез. При этом для выбора параметров двумерного спектрального окна становится возможным использовать подходы, принятые в спектральном оценивании.

4. Показано, что для оптимального выбора окна сглаживания определяющее значение имеет объем обучающей выборки, поскольку потенциальную точность (минимальную вероятность ошибки) можно достичь только при сглаживании по ансамблю СПМ обучающей выборки (правда при ее неограниченном объеме). Если при малом объеме обучающей статистики применение спектральных окон необходимо для снижения дисперсии оценок, то возникающее при этом смещение приводит к искажениям спектра, которые не дают возможности при дальнейшем увеличении объема обучающей выборки обеспечить хорошие показатели. Следовательно, величина спектрального окна должна находиться в обратной зависимости от объема обучающей статистики. При наличии обучающей выборки, состоящей из более 1000 реализаций, применение сглаживания спектральными окнами нецелесообразно.

5. Общепринято мнение, что изменения ЭЭГ при различных заболеваниях неспецифичны, автоматизированная диагностика на основе электроэнцефалографического исследования нереализуема, а диагностическое значение могут иметь только повторные ЭЭГ-исследования в сочетании с динамическим неврологическим наблюдением и учетом показателей других исследований. Рассмотрение сигнала ЭЭГ в виде ПВСС и применение алгоритма принятия решения, основанного на оценках двумерного спектра, позволило дать положительный ответ на вопрос о возможности статистического распознавания ЭЭГ и использования ее для постановки диагноза.

Несмотря на то, что для имеющихся в наличии ЭЭГ записей вероятность правильного решения не превысила 75% этот опыт нельзя назвать неудачным. С точки зрения практикующих врачей такая вероятность вполне приемлема, тем более что ЭЭГ является дополнительным методом обследования и до сих пор не используется для постановки окончательного диагноза. Особенно актуальным является применимость решающего правила для диагностики эпилепсии, выявления патологий на ранних стадиях заболевания.

Предпосылкой к формальному рассмотрению поставленной задачи является предположение о локальной стационарности многомерного ЭЭГ сигнала, его модели в виде ПВССС с гауссовским распределением компонент. Применен байесовский адаптивный подход к синтезу решающего правила в условиях ограниченного объема обучающей выборки, использующий статистические характеристики двумерных СПМ.

6. Среди результатов, полученных при тестировании алгоритма распознавания с использованием групп пациентов, имеющих диагнозы эпилепсия, сосудистые заболевания головного мозга и условно здоровых (без выявленных патологий), следует выделить рекомендации и выводы, которые необходимо учитывать при использовании предлагаемого подхода:

- определены частотные диапазоны, существенные при распознавании ЭЭГ для трех диагнозов;

- целесообразно масштабирование двумерной СПМ, а не использование инвариантного к параметру масштаба преобразования по каждой компоненте;

- возможно снижение вероятности ошибки при корректной компенсации влияния артефактов;

- возможно использование для распознавания сглаженных в диапазонах ритмов спектральных матриц;

- выявлены устойчивые множества внутри массивов каждой группы, отличающиеся возможностью принятия относительно них правильного или ложного решения; возможно, это связано с сопутствующими патологиями, предраспо-ложенностями, состоянием обследуемых и др.

7. Результаты распознавания ЭЭГ в спектральной области позволяют дать положительный ответ о возможности автоматической диагностики ряда заболеваний, в частности, эпилепсии. Однако необходимо решение дополнительных задач.

- Весь массив данных, имеющийся в распоряжении, предварительно классифицирован лечащим врачом. То есть нахождение весовых коэффициентов (обучение) решающих правил осуществлялось после определения диагноза по клиническим показаниям. Такая классификация, вероятно, ограничивает возможности автоматической диагностики заболеваний. Для увеличения достоверности распознавания представляется необходимым произвести классификацию ЭЭГ с помощью формальных методов.

- Необходимо существенно расширить имеющийся банк данных. Поскольку существующий объем может оказаться недостаточным при решении задачи многоальтернативного распознавания.

- Проявления индивидуальных особенностей каждого пациента в ЭЭГ, наличие сопутствующих заболеваний приводит к тому, что каждому из основных диагнозов, поставленных врачом, не соответствует компактное множество в пространстве признаков. Дополнительная классификация внутри каждого множества (диагноза), по всей видимости, позволит определить компактные локальные множества. Определение таких множеств наряду с многоступенчатой процедурой распознавания на основе имеющихся алгоритмов позволит повысить достоверность автоматической диагностики заболеваний.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе рассмотрено распознавание скалярных СС, векторных сигналов и ПВССС, отличающихся корреляционными связями. При этом выполнен анализ и синтез решающих правил, получены зависимости, характеризующие влияние на вероятность ошибки таких факторов как априорная параметрическая неопределенность, воздействие импульсной помехи, приводящей к пропускам наблюдений, использование бинарного квантования распознаваемого сигнала.

Основные научные положения диссертации сводятся к следующему.

1. На основе анализа решающего правила для распознавания СС в спектральной области в условиях априорной параметрической неопределенности показано, что применение на этапе обучения одновременно усреднения по пространству выборочных СПМ и сглаживания спектральными окнами позволяет значительно снизить вероятность ошибки распознавания. Предложены соотношения, позволяющие оценить аналитически вероятность ошибки при использовании классических методов спектрального оценивания на стадии обучения.

2. Предложено для выбора параметра спектрального окна использовать функцию расстояния между СПМ сигналов гипотез. Впервые предложены процедуры обучения, обеспечивающие как сокращение объема обучающей выборки при заданной вероятности ошибки, так и минимизацию вероятности ошибочного решения при фиксированном объеме обучающей выборки. Применение разработанных процедур обучения позволило для выбранных в качестве моделей СПМ обеспечить снижение вероятности ошибки в 1.2+4 раза при наличии одной реализации обучения для каждого класса, а также снижение объема обучающей выборки в 2+10 раз при заданной вероятности ошибки.

3. Рассмотрена задача адаптации решающего правила к наличию в контрольной реализации импульсных помех, приводящих к пропускам наблюдений. Даны рекомендации по использованию методов обработки сигналов с точки зрения их использования в целях компенсации влияния пропусков наблюдений на вероятность ошибки. Показано, что наиболее устойчивых результатов можно добиться, используя адаптивный подход с коррекцией весовых коэффициентов решающего правила в зависимости от параметров пропусков.

4. Впервые предложена процедура, позволяющая на основе информации о СПМ распознаваемых ССС и оценок параметров импульсной помехи выбрать метод обработки, обеспечивающий снижение влияния пропусков наблюдений на вероятность ошибочного решения. В частности, для модельных задач удалось снизить влияние пропусков наблюдений на вероятность ошибки в 1.2-^-3 раза в зависимости от СПМ распознаваемых сигналов и характеристик помех.

5. Получена плотность распределения оценки корреляционной матрицы бинарно квантованного векторного СС. Синтезирован алгоритм распознавания векторных ССС с использованием бинарного квантования. Это позволяет значительно упростить техническую реализацию устройства распознавания, вследствие отказа от аналогово-цифрового преобразования и операций умножения, при общем сокращении вычислительных операций пропорциональном квадрату размерности вектора. Аналитически получены выражения для весовых коэффициентов решающего правила в предположении о гауссовости распознаваемого сигнала.

6. Получены выражения для моментов распределения отношения правдоподобия, позволяющие аналитически оценить вероятность ошибки при распознавании векторных бинарно квантованных ССС. Исследовано влияние объема обучающей выборки на вероятность ошибки. Оценено влияние аддитивного шума на вероятность ошибки при использовании бинарного квантования. Синтезирован адаптивный к характеристикам шума алгоритм распознавания.

7. Рассмотрены способы представления пространственно временного случайного сигнала с точки зрения компактности его статистического описания. Выполнен анализ решающего правила, использующего двумерные выборочные СПМ в зависимости от объема обучающей выборки и параметров сглаживающего окна. Показано, что подходы к устранению параметрической неопределенности, разработанные для скалярных ССС, приемлемы и для ПВССС.

8. Обоснована возможность применения решающего правила, использующего двумерные СПМ, для распознавания ЭЭГ. Получены положительные результаты распознавания с использованием реальных ЭЭГ записей, соответствующих трем диагнозам. Даны рекомендации, позволяющие повысить вероятность правильного решения при использовании предлагаемого алгоритма.

Достоверность представленных в работе результатов подтверждается аналитическими расчетами, имитационным моделированием и натурным экспериментом. Все результаты расчетов, моделирования, обработки экспериментальных данных получены лично автором. Для выполнения машинного эксперимента был разработан ряд программ на алгоритмических языках С, Fortran (в среде Microsoft Developer Studio/ Fortran PowerStation ver. 4.0), VBA, в системе для математических расчетов Matlab 6.5.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Егоров, Алексей Владимирович, 2006 год

1. Ту Дж., Гонсалес Р. Принципы распознавания образов. М.: Мир, 1978. 416 с.

2. Закс Ш. Теория статистических выводов. М.: Мир, 1975. 776 с.

3. Леман Э. Проверка статистических гипотез. М.: Наука, 1979. 408 с.

4. Фукунага К. Введение в статистическую теорию распознавания образов. М.: Наука, 1979. 367с.

5. Фу К. Структурные методы в распознавании образов. М.: Мир, 1977. 360 с.

6. Харкевич А.А. Опознавание образов // Радиотехника. 1959. Т. 14, №5. С. 3-9.

7. Пугачев B.C. Введение в теорию вероятностей. М.: Наука, 1968. 368 с.

8. Вапник В.Н. Червоненкис А.Я. Теория распознавания образов (статистические проблемы обучения). М.: Наука, 1979. 416 с.

9. Репин В.Г., Тартаковский Г.П. Статистический синтез при априорной неопределенности и адаптация информационных систем. М.: Сов. Радио, 1977. 432 с.

10. Сенин А.Г. Распознавание случайных сигналов. Новосибирск: Наука, 1974. 76 с.

11. Миленький А.В. Классификация сигналов в условиях неопределенности. М.: Советское радио, 1975. 328 с.

12. Фомин Я.А., Тарловский Г.Р. Статистическая теория распознавания образов. М.: Радио и связь, 1986. 263 с.

13. Горелик А.Л., Скрипкин В.А. Методы распознавания. М.: Высшая школа, 1989. 232 с.

14. Горелик А.Л. Систематические аспекты проблемы распознавания объектов и явлений // Радиотехника. 1990, № 9. С. 13 -16.

15. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Книга первая. Изд. 2-е, перераб. М.: Сов. Радио, 1974. 552 с.

16. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Изд. 3-е. М.: Радио и связь, 1989. 656 с.

17. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. М.: Радио и связь, 1982. 624 с.

18. Куликов Е.И. Методы измерения случайных процессов. М.: Радио и связь, 1986. 272 с.

19. Ширман Я.Д., Голиков В.Н. Основы теории обнаружения радиолокационных сигналов и измерения их параметров. М.: Сов. Радио, 1963. 148 с.

20. Большаков И.А., Ракошиц B.C. Прикладная теория случайных потоков. М.: Сов. Радио, 1978.248 с.

21. Бендат Дж., Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов. Пер. с англ. / Под ред. Г.Я. Мирского. М.: Мир, 1974. - 464 С.

22. Бендат Дж., Пирсол А. Применение корреляционного и спектрального анализа. Пер. с англ. / Под ред. И.Н. Коваленко. М.: Мир, 1983. 312 с.

23. Уилкс С. Математическая статистика. М.: Наука, 1967. 632 с.

24. Бриллинджер Д. Временные ряды. Обработка данных и теория. М.: Мир, 1980. 536 с.

25. Кендалл М. Дж., Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. Пер. с англ. / Под ред. А.Н. Колмогорова, Ю.В. Прохорова. М.: Наука. 1976. 736 с.

26. Чернов Г., Мозес JI. Элементарная теория статистических решений. М.: Сов. Радио, 1962.407 с.

27. Кокс Д., Льюис П. Статистический анализ последовательности событий. М.: Мир, 1969.312 с.

28. Хеннан Э. Многомерные временные ряды. Пер. с англ. / Под ред. Прохорова Ю.В. М.: Мир, 1974. 576 с.

29. Хан Г., Шапиро С. Статистические модели в инженерных задачах. М.: Мир, 1969. 395 с.

30. Мирский Г.Я. Аппаратурное определение характеристик случайных процессов. М.-Л.: Энергия, 1967. 432 с.

31. Крамер Г. Математические методы статистики: Пер. с англ. / Под ред. Колмогорова А.Н. М.: Мир, 1975. 648 с.

32. Дюге Д. Теоретическая и прикладная статистика. Пер с фран. / Под ред. Линника Ю.В. М.: Наука, 1972. 384 с.

33. Ван дер Варден Б.Л. Математическая статистика. М. Иностранная литература, 1960. 340 с.

34. Безрук В.М., Голиков B.C., Тихонов В.А. Распознавание случайных сигналов, описываемых авторегрессионной моделью // Изв. вузов. Радиоэлектроника. Т. 47. 2004, №4. С. 59-65.

35. Гольфельд Г.Б., Шлома A.M. Выбор признаков при последовательном распознавании случайного сигнала в коррелированных помехах // Изв. вузов. Радиоэлектроника. Т. 26. 1983, №1., С. 60 64.

36. Ибатуллин Э.А. Методы разрешения классов стохастических сигналов // Изв. вузов. Радиоэлектроника. 1995, №1. С. 13-26.

37. Ибатуллин Э.А. Разрешение классов гамма распределенных сигналов // Изв. вузов. Радиоэлектроника. 2000, №3. С. 33 - 37.

38. Ибатуллин Э.А. Решающее правило идентификации классов сигналов, синтезированное с помощью критерия Махаланобиса // Изв. вузов. Радиоэлектроника. 1997, №7. С. 3 -10.

39. Ибатуллин Э.А. Вероятностный анализ при классификации многомерных сигналов по классам // Изв. ВУЗов. Радиоэлектроника, 2002, №2. С. 31 36.

40. Натан А.А., Самыловский А.И. Распознавание гауссовских случайных процессов на основе локального анализа их свойств // Техническая кибернетика. 1985, №6. С. 172 180.

41. Фомин Я.А., Савич А.В. Оптимизация системы распознавания многомерных нормальных совокупностей // Радиотехника. 1985, №12. С. 8 11.

42. Певцов Г.В. Колисниченко Д.А. Синтез алгоритмов многоальтернативного распознавания образов, заданных сложными эталонными описаниями, при наличии класса неизвестных объектов // Изв. вузов. Радиоэлектроника. Т. 48. 2005, №12. С. 27-31.

43. Певцов Г.В. Синтез байесовских алгоритмов многоальтернативного распознавания образов заданных сложными эталонными описаниями // Изв. вузов. Радиоэлектроника. 2003, №1. С. 58 63.

44. Певцов Г.В., Лупандин В.А. Синтез алгоритмов многоальтернативного распознавания образов на основе проверки сложных статистических гипотез по критерию максимума апостериорной вероятности // Изв. вузов. Радиоэлектроника. 2001, № 11. С. 77 80.

45. Певцов Г.В. Синтез статистических алгоритмов распознавания образов, заданных составными эталонными описаниями // Изв. вузов. Радиоэлектроника. Т. 47. 2004, №12. С. 45 54.

46. Певцов Г.В. Синтез алгоритма распознавания радиоизлучений на основе байесовского правила проверки сложных гипотез // Изв. вузов. Радиоэлектроника. 1998, №4. С. 49 57.

47. Омельченко В.А. Основы спектральной теории распознавания сигналов Харьков: Вища школа, 1983. 156 с.

48. Омельченко В.А., Матевицкий Е.О., Балабанов В.В., Безрук В.М. Распознавание случайных сигналов по спектру // Изв. вузов. Радиоэлектроника. Т. 22. 1979, № 12. С. 16-22.

49. Омельченко В.А. Распознавание сигналов по спектру в условиях априорной неопределенности. Харьков: ХПИ, 1979. 100 с.

50. Омельченко В.А. Распознавание сигналов по спектру мощности в оптимальном базисе Карунена-Лоэва // Изв. вузов. Радиоэлектроника. Т.23. 1980, №12. С.11-17.

51. Омельченко В.А. Представление случайных сигналов в различных функциональных пространствах // Радиотехника. 1981, вып. 59. С. 3 9.

52. Савченко В.В. Различение случайных сигналов в частотной области // Радиотехника и электроника. 1997. Т.42, № 4. С. 426 430.

53. Савченко В.В. Принцип минимакса энтропии в задаче многомерного спектрального анализа // Радиотехника и электроника. 1990, №2. С. 1650 1654.

54. Смольянинов В.М., Назаров JI.E. Алгоритм подоптимальной обработки двоичных мультипликативных сигналов при их распознавании // Радиотехника и электроника. 1990, №10. С. 2111-2116.

55. Смольянинов В.М., Назаров JI.E. Оптимизация алгоритма спектрального анализа при распознавании дискретных мультипликативных сигналов // Радиотехника и электроника. 1989, №12. С. 2650 2654.

56. Дженкинс Г., Ватте Д. Спектральный анализ и его приложения. Т. 1. М.: Мир, 1971. 316 с.

57. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов, прогноз и управление. Вып. 1. М.: Мир, 1974. 406 с. Вып.2. М.: Мир, 1974. 197 с.

58. Ван Трис Г. Теория обнаружения, оценок и линейной модуляции. Том 1. М. Сов. Радио, 1972. 744 с.

59. Марпл-мл. C.JI. Цифровой спектральный анализ и его приложения. М.: Мир, 1990. 584 с.

60. Трахтман A.M. Введение в обобщенную спектральную теорию сигналов. М.: Сов. радио, 1972. 180 с.

61. Грибанов Ю.И., Мальков B.JI. Выборочные оценки спектральных характеристик стационарных случайных процессов. М.: Энергия, 1978. 152 с.

62. Харкевич А.А. Спектры и анализ. М. Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1952. 176 с.

63. Аратский Д.Б., Солдатов Е.А., Фидельман В.Р. Многомерный спектральный анализ. Байесовский подход. Горький, ВИНИТИ, 1988. 42 с.

64. Фельдман Ю.И. Плотность вероятности случайного процесса при весовом квадратичном суммировании //Радиотехника. Т. 34. 1979, №4. С. 71-74.

65. Алексеев В.Г., Савицкий Ю.А. Об оценке спектра гауссовского случайного процесса по его реализации с пропусками // Проблемы передачи информации. Т. 9.1973, вып. 1.С. 66-72.

66. Горбатенко П.К. Использование весовых окон в спектральном анализе радиолокационных сигналов // В сб. 5-я Международная конференция «Цифровая обработка сигналов и ее применение». 2002 №3 . С. 337 340 .

67. Минин В.И., Чулин C.J1. Искажения в спектральной области при цифровом представлении гармонического сигнала//Радиотехника. 1984, №12. С. 51 53.

68. Кириллов С.Н., Соколов М.Ю., Стукалов Д.Н. Оптимальная весовая обработка при спектральном анализе сигналов// Радиотехника. 1996, №6. С. 36 -38.

69. Абраменков В.В Накопление сигнала при использовании современных методов цифрового спектрального оценивания //Радиотехника. 2002, № 12. С. 88 92.

70. Рог А.И., Сирота А.А. Исследование декоррелирующих свойств дискретных спектральных преобразований при многоальтернативном распознавании сигналов на фоне коррелированных шумов // Изв. вузов. Радиоэлектроника. Т. 26.1983, №3. С. 45-49.

71. Гусинская Г.В. Распознавание случайных сигналов по спектральным коэффициентам Уолша и Хаара // Изв. вузов. Радиоэлектроника. Т.31. 1988, №7. С. 13-18.

72. Пирл Дж. Обработка случайных сигналов функциями Уолша // Зарубежная радиоэлектроника. 1972, №8. С.42-50.

73. Атаянц Б.А., Паршин B.C. Распознавание случайных сигналов по нормированному спектру мощности // Изв. вузов. Радиоэлектроника. Т. 26. 1983, №11. С. 73-75.

74. Паршин B.C., Комаров А.А. Распознавание случайных сигналов по спектру наблюдений // Статистический синтез и анализ информационных систем. Тез. докл. Российского научн. Техн. общества радиотехники, электроники и связи им. Попова А.С. Рязань: РРТИ, 1991.

75. Паршин B.C., Комаров А.А. Оценка эффективности инвариантного решающего правила в спектральном пространстве // В сб. «Вероятностные модели и обработка случайных процессов и полей» / Под ред. Омельченко К.И. Киев: УМКВО, 1991. 192 с.

76. Бейли Н. Математика в биологии и медицине. М.: Мир, 1970. 327с.

77. Биленко Л.Ю., Бурдейный Л.М., Лифанов П.С. О реализуемости алгоритма различения радиоэлектронных сигналов в условиях априорной неопределенности // Вопросы радиоэлектроники. Серия "Общие вопросы радиоэлектроники". 1987, № 3. С. 20-32.

78. Буркин B.C. Синтез оптимальных алгоритмов портретного распознавания при различном уровне априорной осведомленности // Техническая кибернетика. 1997, №6. С. 152- 164.

79. Лапко А.В., Лапко В.А., Ченцов С.В. Непараметрические модели распознавания образов в условиях малых выборок // Автометрия. 1999, №6. С. 105.

80. Пинскер И.Ш. Оценка метода обучения и обучающей выборки // «Моделирование и автоматический анализ электрокардиограмм». М.: Наука, 1973. С. 13-23.

81. Пинскер И.Ш. Выбор структуры и вычисление параметров решающего правила при ограниченных выборках // В сб. «Моделирование и автоматический анализ электрокардиограмм». М.: Наука, 1973. С. 24-34.

82. Харин Ю.С. Об устойчивости решающих правил при наличии ошибок классификации обучающей выборки // Автоматика и телемеханика. 1983, №11. С. 100-110.

83. Трунов В.Г. Сравнение нескольких критериев остановки при построении решающего правила по ограниченной выборке // В сб. «Математическая обработка медико-биологической информации»/ Под ред. И.Ш. Пинскера М.: Наука, 1976 С. 58 64.

84. Зинчук В.М., Лимарев А.Е., Сосулин Ю.Г. Инвариантное многоальтернативное обнаружение и различение сигналов в условиях параметрической априорной неопределенности //Радиотехника. 2001, № 3. С. 6-16.

85. Трифонов А.П., Радченко Ю.С. Совместное асинхронное обнаружение-различение сигналов на выходе многолучевых каналов с замираниями // Изв. вузов. Радиоэлектроника. Т. 48. 2005, № 2. С. 3 13.

86. Трифонов А.П., Нечаев Е.П., Парфенов В.И. Обнаружение стохастических сигналов с неизвестными параметрами / Под. ред. А.П. Трифонова. Воронеж.: ВГУ, 1991. 245с.

87. Василенко Г.И., Тараторин A.M. Восстановление изображений. М.: Радио и связь, 1986. 304 с.

88. Хант. Структура данных и организация вычислений при цифровом улучшении качества изображений // ТИИЭР. Т. 60. 1972, №7. С. 160 164.

89. Прэтт У. Цифровая обработка изображений. Кн.1 и 2. Пер с англ. М.: Мир, 1982. 312 и 480 с.

90. Сосулин Ю.Г., Костров В.В. Обнаружение и классификация сигналов на основе оценочно-корреляционной статистики // Радиотехника и электроника. 2002, №3. С. 322-333.

91. Сосулин Ю. Г. Теория обнаружения и оценивания стохастических сигналов. М.: Сов. радио, 1978. 320 с.

92. Куликов Е.И., Трифонов А.П. Оценка параметров сигналов на фоне помех. М.: Сов. Радио, 1978. 296 с.

93. Харкевич А.А. Борьба с помехами. Изд-е 2. М:. Наука, 1965. 267 с.

94. Ширман Я.Д., Лещенко С.П., Орленко В.М. О моделировании вторичного излучения воздушных целей и его использовании в технике радиолокационного распознавания // Вестник МГТУ. Серия «Приборостроение». 1998, № 4. С. 14-24.

95. Акимов П.С., Евстратов Ф.Ф., Захаров С.И. и др. Обнаружение радиосигналов / Под ред. А.А. Колосова. М.: Радио и связь, 1989. 216 с.

96. Сейдж Э. Меле Дж. Теория оценивания и ее применение в связи и управлении. М.: Связь, 1976. 496 с.

97. Конончук Л.П. Об оценке спектра однородного случайного поля // В Межведомственном научн. сб. «Теория вероятностей и математическая статистика». Вып.1. Киев, 1969. С. 69 79.

98. Конончук Л.П. К вопросу о статистическом спектральном анализе стационарного процесса со случайными пропусками наблюдений // В

99. Межведомственном научн. сб. «Теория вероятностей и математическая статистика». Вып.2. Киев, 1970. С. 121 -132.

100. Радченко Ю.С., Радченко Т.А., Назарьев A.JI. Вероятностные характеристики случайных процессов на выходе медианного фильтра // Тезисы докл. 51 научной сессии РНТО РЭС им. А.С. Попова, М.: 1996, часть 2, 196 с.

101. Литтл Р. Дж. А., Рубин Д.Б. Статистический анализ данных с пропусками. М.: Финансы и статистика, 1991. 188 с.

102. Гиголо Л.А., Комарова С.А. Адаптивный алгоритм распознавания разномасштабных сигналов // Вопросы радиоэлектроники. Серия "Общие вопросы радиоэлектроники". 1993, №1. С. 103 112.

103. Богданович В.А. Обнаружение и различение сигналов с априорно неопределенными параметрами // Радиотехника. 1988, №6. С. 44 50.

104. Цепкин В.В., Берека В.В. Цифровые устройства распознавания, инвариантные к статистическим свойствам сигналов и помех // Зарубежная радиоэлектроника. 1992, №10. С. 20-28.

105. Шаталова В.А., Ястребков А.Б. Адаптивный алгоритм распознавания сигналов различных объектов, принимаемых на фоне помех // Изв. вузов. Радиоэлектроника. Т. 45. 2002, №11. С. 54 62.

106. Лаврентьев Е.А., Шаталов А.А. Алгоритм распознавания протяженных объектов в условиях априорной неопределенности статистических характеристик сигнала и шума // Изв. вузов. Радиоэлектроника. Т. 45. 2002, №11. С. 63 74.

107. Курлович В.И., Гейстер С.Р. Дискретный метод анализа характеристик обнаружения-распознавания коррелированных сигналов на коррелированном фоне // Радиотехника и электроника. 1992, №6. С. 1057 1063.

108. Карпов И.Г., Евсеев В.В., Мариненеко А.С. Различение сигналов на фоне узкополосных негауссовых помех // Изв. вузов. Радиоэлектроника. Т. 47. 2004, №4. С. 33 -45.

109. Самойлин Е.А. Нелинейные алгоритмы фильтрации импульсного шума на изображениях // Автометрия. Т. 41. 1995, №5. С. 26.

110. Опознавание образов / Под ред. проф. И.Т. Турбовича. М.: Наука, 1968. 228 с.

111. Матвеев A.M. Распознавание радиолокационного изображения объектов //Радиотехника, приложение радиосистемы. Вып. 65. 2002, №9. С.71 75.

112. Феоктистов Ю.А. Статистический подход к проблеме радиолокационного распознавания // Зарубежная радиоэлектроника. 1992, №10. С. 41 48.

113. Клочко В.К. Методы оптимального восстановления радиолокационных изображений поверхности // Автометрия. Т. 41. 1995, №6. С. 62.

114. Клочко В.К., Чураков Е.П., Фатьянов С.О. Калмановский алгоритм восстановления смазанного радиолокационного изображения // Изв. вузов. Радиоэлектроника. 2004, №9. С. 54 58.

115. Татарский Б.Г. Радиолокационное распознавание объектов в условиях неопределенности//Радиотехника. 2002, №6. С. 15 -17.

116. Соколов К.Г. Распознавание радиолокационных объектов при воздействии аддитивных и мультипликативных помех // Изв. вузов. Радиоэлектроника. 1990, №7.С. 3-6.

117. Лихарев В.А., Страхова Л.А. Спектральные адаптивные алгоритмы обнаружения сигналов на фоне коррелированных помех // Радиотехника. 1987, №4. С. 54-58.

118. Небабин В.Г., Сергеев В.В. Методы и техника радиолокационного распознавания. М.: Радио и связь, 1984. 246 с,

119. Шахтарин Б.И., Шелухин А.О. Помехоустойчивость алгоритмов распознавания дискретных сигналов в негауссовых помехах //Вестник МГТУ. Серия «Приборостроение». 2000, №1. С. 60 67.

120. Жук Е.Е. Кластер анализ многомерных наблюдений с пропусками // Автоматика и телемеханика. 1997, №12. С. 40-48.

121. Айвазян С.А., Бухштабер В.М., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика: Классификация и снижение размерности. М.: Финансы и статистика, 1989. 254 с.

122. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. Исследование зависимостей. М.: Финансы и статистика, 1985. 487 с.

123. Злоба Е., Яцкив И. Статистические методы восстановления пропущенных данных. Computer Modelling & New technologies, Riga. Vol. 6. 2002, № 1. P. 51-61.

124. Эфрон Б. Нетрадиционные методы многомерного статистического анализа. Пер. с англ. / Под ред. Ю.П. Адлера. М.: Финансы и статистика, 1988. 264 с.

125. Рыбин А.И., Васютинский B.C. Восстановление сигнала с ограниченной полосой по прореженному числу отсчетов // Изв. вузов. Радиоэлектроника. 1998, №8. С. 44-49.

126. Козминых С.Е., Паршин B.C. Оценивание спектров мощности стационарных сигналов с пропусками наблюдений // В сб. «Радиоэлектонные системы и устройства». Рязань: РГРТА, 1999.

127. А.С. СССР № 1667117. МКИ G06K 9/00. Устройство для распознавания N-мерных сигналов/ Паршин B.C., Кулакова М.В. БИ № 28, 1991.

128. Рытов С.М., Кравцов Ю.А., Татарский В.И. Введение в статистическую радиофизику. Часть 2. Случайные поля. М.: Наука, 1978. 464 с.

129. Даджион Д., Мерсеро Р. Цифровая обработка многомерных сигналов. Пер. с англ. / Под. ред. Л.П. Ярославского. М.: Мир, 1988. 488 с.

130. Омельченко В.А., Колесников О.А., Безрук В.М. Распознавание векторных случайных сигналов в условиях априорной неопределенности. Киев.: УМКВО, 1983. 16 с.

131. Паршин B.C., Егоров А.В., Комаров А.А. Алгоритмы распознавания многомерных сигналов // Вероятностные модели и обработка случайных сигналов и полей. Тез. докл. Украинской респ. школы-семинара. Черкассы: ЧФКПИ, 1991. С. 108.

132. Паршин B.C., Комаров А.А. Алгоритмы распознавания многомерных стационарных сигналов в спектральной области // Методы представления иобработки случайных сигналов и полей. Тез. докл. II Всесоюзной конференции (г.Туапсе). Харьков: ХИРЭ, 1991. С. 30-31.

133. Паршин B.C., Комаров А.А. Распознавание многомерных случайных сигналов в спектральном пространстве // Повышение эффективности средств обработки информации. Тез. докл. второй Всесоюзной конференции. Тамбов: ВВАИУ, 1991. С.45.

134. Паршин B.C. Оценка эффективности распознавания пространственно-временных сигналов в спектральной области // Автометрия. 1997, №4.

135. Паршин B.C. Распознавание пространственно-временных сигналов в спектральной области // Современные научно-технические проблемы гражданской авиации. Тез. докл. Междунар. науч.-техн. конф. Москва: МГТУ ГА, 1996. С.45.

136. Паршин B.C., Егоров А.В. Распознавание векторных случайных процессов в спектральной области // Тез. докл. II Международной конференции "Распознавание-95". Курск: КГТУ, 1995. С.42-43.

137. Бондаренко А.Л., Мехов П.В. Адаптивные алгоритмы распознавания многомерных нормальных измерений при коротких обучающих выборках // Изв. вузов. Радиоэлектроника. 1997, №7. С. 25 29.

138. Зенков Л.Р. Компьютерные методы обработки клинической ЭЭГ. Обзор // Журнал невропатологии и психиатрии им. Корсакова. Т. 90. 1990, вып. 12. С. 103 -109.

139. Зенков Л.Р., Ронкин М.А. Функциональная диагностика нервных болезней. Руководство для врачей. 2-е изд. М.: Медицина, 1991. 639 с.

140. Зенков Л.Р. Клиническая ЭЭГ с элементами эпилептологии. Таганрог: ТРТУ, 1996. 358 с.

141. Зенков Л.Р., В.Х. Браненштейн В.Х., Лукьянов В.М. Эпилептологическая электроэнцефалография // Биомедицинские технологии и радиоэлектроника. 2001, № 10. С. 21 -32.

142. Зенков Л.Р. Клиническая электроэнцефалография с элементами эпилептологии. Руководство для врачей. М.: Медпресс информ, 2004. 368с.

143. Сватош И. Анализ биологических сигналов в спектральной области // Изв. вузов. Радиоэлектроника. 1996, № 12. С. 48 57.

144. Боханастюк В.А., Мудряк В.И., Бешляга П.В. Техническое и математическое обеспечение в диагностике и прогнозировании эпилепсии. Кишинев: Штиинца, 1989. 328 с.

145. Кулаичев А.П., Каплан А.Я. Системы компьютерного анализа биоэлектрических сигналов// Мир ПК. 1994, №8. С. 95.

146. Кулаичев А.П. Компьютерный анализ ЭЭГ и ВП: проблемы и решения // Журнал высшей нервной деятельности им. Павлова. Т. 45 . 1995, вып. 3. С. 599 607.

147. Рутман Э.М. Вызванные потенциалы в психологии и психофизиологии. М.: Медицина. 1979. 248 с.

148. Федин А.И. Компьютерная электроэнцефалография новая "философия" в клинической неврологии // Неврологический журнал. 1996, №1. С. 7- 12.

149. Федин А.И. Компьютерная электроэнцефалография // Журнал невропатологии и психиатрии. Т.81. 1981, №9. С. 1337 1341.

150. Каплан А.Я. Нестационарность ЭЭГ: методологический и экспериментальный анализ // Успехи физиологических наук. Т. 29. 1998, № 3. С. 35 55.

151. Каплан А.Я. Проблема сегментного описания ЭЭГ человека // Физиология человека. 1998, №1. С. 125 133.

152. Каплан А.Я., Фингелькурц Ал. А., Фингелькурц Ан. А. Адаптивная классификация динамических спектральных паттернов ЭЭГ человека // Журнал высшей нервной деятельности. 1999, вып.З. С. 416 426.

153. Шишкин С.Д., Каплан Я.А. Некоторые топографические закономерности синхронности сдвигов мощности ос активности в ЭЭГ человека // Физиология человека. 1999, №6. С. 5 -14.

154. Шишкин С.Л., Бродский Б.Е., Дарховский Б.С., Каплан Я.А. ЭЭГ как нестационарный сигнал: подход к анализу на основе непараметрической статистики // Физиология человека. Т. 23. 1997, №4. С. 124 126.

155. Пинскер И.Ш., Трунов В.Г. Построение решающего правила в некоторых задачах медицинской диагностики // Моделирование и автоматический анализ электрокардиограмм». М.: Наука, 1973. С. 151 164.

156. Майорик В.Е. Клиническая электроэнцефалография. М.: Медицина, 1973. 148 с.

157. Егоров А.В., Паршин B.C. Оценка влияния объема обучающей выборки на вероятности распознавания стационарных процессов в спектральной области // Вестник РГРТА. Вып. 7. Рязань, 2000. С. 11-14.

158. Егоров А.В., Паршин B.C. Распознавание случайных процессов в спектральной области // Тез. докл. 37., посвященной 50-летию РГРТА. Рязань: РГРТА, 2002. С. 14.

159. Егоров А.В. Выбор способа обучения при распознавании случайных процессов в спектральной области // Тезисы докл. Международной научн.-техн. конф., посвященной 80-летию гражданской авиации России. Москва: МГТУ ГА, 2003. С. 117.

160. Егоров А.В., Паршин B.C. Определение объема обучающей выборки при распознавании случайных процессов по спектру // Тезисы докл. Международной научн.-техн. конф., посвященной 80-летию гражданской авиации России. Москва: МГТУ ГА, 2003. С. 117 118.

161. Егоров А.В., Паршин B.C. Оценка влияния объема обучающей выборки на вероятности распознавания стационарных случайных процессов в спектральной области // Изв. вузов. Радиоэлектроника. Том. 48, 2005, № 2. С. 55-61.

162. Заездный A.M. Основы расчетов по статистической радиотехнике. М.: Связь, 1969. 448 с.

163. Митропольский А.К. Техника статистических вычислений. М.: Наука, 1971. 576 с.

164. Егоров А.В., Паршин B.C. Распознавание стационарных случайных сигналов с пропусками наблюдений // Труды РНТОРЭС им. А.С.Попова. Серия «Научная сессия, посвященная дню радио». Вып. LX-2. Москва, 2005. С. 63 66.

165. Егоров А.В., Паршин B.C. Минимизация вероятности ошибки решения при распознавании стационарных случайных процессов в условиях воздействия импульсной помехи // Тез. докл. 7 научн.-техн. конф. "Распознавание-2005". Курск: КГТУ, 2005. С. 49 50.

166. Bouzdine-Chameeva Т., Egorov А. V., Thion В. Comparative Analysis of Several Models of Price Indices in Real Estate Transactions // Cahiers de recherche. CEREFI № 26-01, Bordeaux, France, 2001. 37 p.

167. Егоров А.В. Реализация методов регрессионного анализа индекса цен применительно к данным о повторных продажах недвижимости // Вестник РГРТА. Вып. 13. Рязань, 2003. С. 97 102.

168. Паршин В. С. Оценка влияния импульсных помех на распознавание стационарных сигналов в спектральной области // Изв. вузов. Радиоэлектроника. 1999, №3. С. 44-50.

169. Коновалов Г.В., Тарасенко Е.М. Импульсные случайные процессы вэлектросвязи. М.: Связь, 1973. 304 с.

170. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 286 с.

171. Тоцкий А.В., Астола Я., Егизарян К.О., Зеленский А.А., Курбатов И.В., Лукин В.В. Восстановление сигналов по оценкам биспектров в присутствии гауссовых и негауссовых помех // Зарубежная радиоэлектроника. 2002, №11. С. 44-57.

172. Рабинер Л.Р., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. Пер. с англ. / Под ред. Ю.И. Александрова. М.: Мир, 1978. 848 с.

173. Оппенхейм А., Шафер Р. Цифровая обработка сигналов. Пер. с англ. М.: Связь, 1979. 416 с.

174. Гольденберг Л.М., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. Цифровая обработка сигналов: Справочник. М.: Радио и связь, 1985. 312 с.

175. Хуанг Т.С., Эклунд Дж. О., Нуссбаумер Г.Дж. и др. Быстые алгоритмы в цифровой обработке изображений. М.: Радио и связь, 1984. 222 с.

176. Егоров А.В., Лавров A.M., Паршин B.C. Оценка эффективности распознавания векторных случайных процессов при их бинарном квантовании //Вестник РГРТА. Вып.5. Рязань, 1998. С. 14 -16.

177. Егоров А.В. Оценка влияния шума на эффективность распознавания многомерных случайных процессов при их бинарном квантовании // В сб. «Радиоэлектронные системы». Рязань: РГРТА, 1999. С. 68-71.

178. Егоров А.В., Лавров A.M., Паршин B.C. Распознавание векторных случайных процессов при их бинарном квантовании // Изв. вузов. Радиоэлектроника. 2000, №10. С. 49-54.

179. Егоров А.В., Журин С.А. Распознавание векторных случайных процессов в условиях ограниченного разрешения цифрового представления // Вестник РГРТА. Вып. 16. Рязань, 2005. С. 23 27.

180. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1971. 1108 с.

181. Прокис Дж. Цифровая связь. М.: Радио и связь, 2000. 800 с.

182. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. Изд. 3-е. М.; Наука, 1964. 576 с.

183. Унковский В.А. Теория вероятностей. М.: Воен.мор. издат., 1953. 320с.

184. Бондаренко Б.Ф., Платонов С.Ю., Сащук И.Н. Синтез оптимальных и квазиоптимальных алгоритмов сверхразрешения для информационных систем с антенными решетками // Изв. вузов. Радиоэлектроника. 2000, № 5. С. 66 72.

185. Ламберт, Арм, Аймет. Электронно-оптическая обработка сигналов в ФАР //Зарубежнаярадиоэлектроника. 1968, №8. С. 3-34.

186. Нейрокомпьютеры в системах обработки изображений. Кн. 7 / Под ред. Ю.В. Гуляева, А.И. Галушкина. М.: Радиотехника, 2003. 192 с.

187. Стародубцев Л.А. К вопросу автоматизации процесса распознавания подводных объектов в гидроакустической томографии // Автометрия. 2003, № 6. С. 78.

188. Черноусов Е.В., Горбадей Ю.К. Применение многомерного спектрального анализа для оценки измерений ЭЭГ // Физиологический журнал СССР им. Сеченова. Т.65. 1979, №5. С. 772 774.

189. Паршин B.C., Егоров А.В., Комаров А.А. Алгоритмы распознавания многомерных сигналов // Тез докл. Украинской респ. школы-семинара "Вероятностные модели и обработка случайных сигналов и полей". Черкассы: ЧФКПИ, 1991. С.108.

190. Паршин B.C., Егоров А.В. Распознавание векторных случайных процессов в спектральной области // Тез. докл. II Международной конф. "Распознавание-95". Курск: КГТУ, 1995. С.44.

191. Паршин B.C., Егоров А.В. Распознавание векторных случайных сигналов в спектральной области // Тез докл. 37 научн.-техн. конф., посвященной 50-летию РГРТА. Рязань: РГРТА, 2002. С. 15.

192. Егоров А.В., Жаднов В.А., Паршин B.C. Автоматизация диагностики состояния пациентов по данным электроэнцефалографии. Отчет о НИР. (промежут.) / РГРТА. Тема № 17-96Г, инв. № 02970000601. Рязань, 1996. 21 с.

193. Егоров А.В., Жаднов В.А., Паршин B.C. Автоматизация диагностики состояния пациентов по данным электроэнцефалографии. Отчет о НИР (аннотированный) / РГРТА. Науч. рук. Паршин B.C. Тема № 17-96Г, № Гр 01970001304 Рязань, 1998. 26 с. отв. исп. Егоров А.В.

194. Егоров А.В., Жаднов В.А., Паршин B.C. Распознавание электроэнцефалограмм в спектральной области // Тез. докл. Международного конгресса «Медицинские технологии на рубеже веков». Тула, 1998. С. 101.

195. Жаднов В.А., Егоров А.В., Паршин B.C. Оценка эффективности распознавания электроэнцефалограмм в спектральной области // Вестник РГРТА. Вып.2. Рязань: РГРТА, 1997 С. 12 15.

196. Карлов В.А. Эпилепсия. М: Медицина, 1988. 260 с.

197. Ливанов М.Н. Пространственная организация процессов головного мозга. М.: Наука, 1972. 182 с.

198. Вельский Ю.Л., Веденяпин А.Б., Дмитриев А.С. и др. Диагностика патологических состояний мозга на основе анализа электроэнцефалограмм методами нелинейной динамики // Радиотехника и электроника. 1993, № 9. С. 1625 1635.

199. Чурносов Е.В., Горбадей Ю.И. Применение многомерного спектрального анализа для оценки изменений электроэнцефалограммы. // Физиологический журнал им. И.М. Сеченова. 1979, №5. С. 772 774.

200. Вейн A.M., Гафуров Б.Г., Рахимджанов А.Р. Эпилепсия и функциональное состояние мозга. Ташкент, 1985.168 с.

201. Matoushek М., Petersen I. Automatic evaluation of EEG background activity by means of agedepend EEG quotiens // EEG and Clin. Neurophysiol. 1973a. V.35.1. Р.603 -612.

202. Ливанов М.Н., Труш В.Д., Ефремова Т.М., Потулова Л.А. // Основные проблемы электрофизиологии головного мозга. М.: Наука, 1974. 50 с.

203. Козлов М.К., Думенко В.Н. Новый метод разложения ЭЭГ в систему колебаний, обеспечивающий анализ ЭЭГ-феноменов различной длительности // Журнал высшей нервной деятельности им. акад. И.П. Павлова. Т. 40. 1990. № 5 С. 1004- 1012.

204. Бодунов М.В. Индивидуально-типологические особенности структуры ЭЭГ// Журнал высшей нервной деятельности им. акад. И.П. Павлова. Т.35. 1985. С. 1045 1052.

205. Жадин М.Н. Биофизические механизмы формирования электроэнцефалограммы. М.: Наука, 1984. 196 с.

206. Лазарев В.В. Факторная структура основных параметров ЭЭГ при интеллектуальной деятельности. Локальные характеристики неоднородности функциональных состояний // Физиология человека. 1986. Т. 12. С. 891.

207. Овсяник В.П., Коваленко Л.С., Вовчинский А.Н. Исследование временных и спектральных характеристик некоторых сигналов артефактов и фоновой биоэлектрической активности // Медицинская техника. 1984, № 6. С. 15-18.

208. Алхасан А., Васерман Е.А., Геппенер В.В. Спектральные методы автоматического определения артефактов в цифровых ЭЭГ-системах // Медицинская техника. 1996, №4. С. 5 7.

209. Жирмунская Е.А., Лосев B.C. Системы описания и классификации ЭЭГ человека. М. Наука, 1984. 80 с.

210. Лукашевич И.П., Мачинская Р.И., Фишман М.Н. Автоматизированная диагностическая система ЭЭГ-эксперт // Медицинская техника. 1999, № 6. С. 29-34.

211. Мохова Е.А., Жаднов В.А. Прогностические возможности математического анализа ЭЭГ // Диагностика и реабилитация физического состояния человека. Т. 1. Рязань, 1997. С. 99- 100.

212. Бехтерева Н.П. Здоровый и больной мозг человека. Л.: Медицина, 1980.

213. Карлов В.А. Эпилепсия. М: Медицина, 1988.

214. Балантер Б.И., Ханин М.А., Чернавский Д.С. Введение в математическое моделирование патологический процессов. М.: Медицина, 1980. 263 с.

215. Дюк В.А. Компьютерная психодиагностика. С.-Пб.: Братство, 1994. 364 с.

216. Стариков Н.А., Стариков А.С., Жаднов В.А. Влияние гипервентиляции на спектральные характеристики ЭЭГ // Диагностика и реабилитация физического состояния человека. Т.1. Рязань, 1997. С. 122 124.

217. Пестряев В.А. Анализ ЭЭГ с помощью нормированных эмпирических функций распределения вероятностей // Биофизика. Т. 39. 1994, вып. 6. С. 1066-1069.

218. Нидеккер И.Г., Антонов А.А. Спектральный анализ длительных записей ЭЭГ // Физиология человека. 2003, № 3. С. 129 -135.

219. Козлов М.К. Построение профиля плотности многомерного распределения как реализация кластерного подхода к задаче классификации ЭЭГ // Журнал высшей нервной деятельности им. Павлова. Т. 44. 1995 , вып. 1. С. 175 179.

220. АН СССР, институт передачи информации. Моделирование и автоматический анализ ЭКГ. М.: Наука, 1973. 188 с.

221. Кукинов A.M. О некоторых рекуррентных алгоритмах обучения классификации // В сб. «Математическая обработка медико-биологической информации» / Под ред. И.Ш. Пинскера. М.: Наука, 1976. С. 46 57.

222. Браиловский В.JI. О задаче восстановления неизвестной зависимости по экспериментальным данным // Автоматизация, организация, диагностика. 4.1. М.: Наука, 1971. С. 221 -230.

223. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. Пер. с фран. М.: Радио и связь, 1982. 432 с.

224. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта / Под. ред. Д.А. Поспелова. М.: Наука, 1986. 230 с.

225. Орловский С.А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной инфомации. М.: Наука, 1981. 288 с.

226. Hoesli М., Giaccotto С., Favarger P. Three New Real Estate Price Indices for Geneva, Switzerland //Journal of Real Estate Finance and Economics, Vol. 15, No.l. P. 93-109.1997.

227. Case К. E. and Shiller R. J. The Efficiency of the Market for Single Family Homes //American Economic Review. 79(1). P. 125-137. 1989.

228. Bailey M. J., Muth R. F. and Nourse H. O. A Regression Method for Real Estate Price Index Construction // Journal of the American Statistical Association. 58. P. 933-942. 1963.

229. Thion В., Bouzdine-Chameeva T. Modeling of Price Indices in Real estate Transactions // 7th European Real Estate Society Conference, 14-16 June 2000, Bordeaux.

230. Goetzmann W., Peng L. The Bias of the RSR estimator and the accuracy of some alternatives // Yale School of Management working paper. No ICF-00-27. 2001.