Прямая и обратная задачи анализа бифуркационных точек временных рядов с применением нейросетевых моделей и имитационного моделирования тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Лукьянченко Петр Павлович

• Лукьянченко Петр Павлович
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Лукьянченко Петр Павлович

Введение

Глава 1. Бифуркационные точки в временных рядах

1.1 История развития представления о случайностях и изменениях

1.2 Формирование концепции бифуркационных событий

1.3 Основы теории цветных шумов

1.4 Цветные шумы в динамических системах

1.5 Прикладные применения предсказания бифуркаций

1.6 Применение нейронных сетей

Глава 2. Исследование дифференциальной модели

динамической системы

2.1 Формализация понятия бифуркация динамической системы

2.2 Дифференциальная модель

2.3 Компонента шума

2.3.1 Белый шум

2.3.2 Цветные шумы

2.4 Исследование аномалий в динамической системе

2.5 Постановка задачи предсказания аномалий

2.6 Подход к решению задачи с применением нейросетевых моделей

2.7 Результаты исследования

2.8 Выводы

Глава 3. Метод детекции и предвидения бифуркации в модели

Васичека

3.1 Математическая модель процесса

3.2 Существующие подходы к выявлению аномалий процентных

ставок

3.3 Моделирование цветных шумов в моделе Васичека

3.4 Генерация траекторий временного ряда

3.4.1 Алгоритм генерации шумов

3.4.2 Настройка шага интегрирования

3.5 Постановка задачи выявления и предвидения аномалий временного ряда

3.6 Предлагаемый метод

3.6.1 Критерий определения аномалий процентной ставки

3.6.2 Реализация метода определения аномалий

3.6.3 Нейросетевая модель

3.7 Результаты

3.8 Выводы

Глава 4. Мультиагентная модель динамической системы

4.1 Существующие подходы

4.2 Постановка задачи воссоздания бифуркации

4.3 Разработка мультиагентной модели

4.3.1 Архитектура

4.3.2 Типы агентов

4.4 Функция шока цены

4.5 Алгоритм определения состояния

4.6 Решение задачи воссоздания аномалии в мультиагентной моделе

4.7 Реализация программмного комплекса

4.8 Выводы

Глава 5. Результаты мультиагентного моделирования аномалий

5.1 Влияние агентов на стабильность системы

5.2 Влияние внешнего воздействия

5.3 Результаты численных экспериментов

5.4 Выводы

Заключение

Список литературы

Список рисунков

Список таблиц

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Прямая и обратная задачи анализа бифуркационных точек временных рядов с применением нейросетевых моделей и имитационного моделирования»

Введение

Проблема детекции и анализа аномалий временных рядов в контексте возможного применения нейросетевых моделей приобретает особую актуальность. Временные ряды являются основным результатов взаимодействия динамических систем. В качестве приоритетных обычно указывают физические, химические, физиологические и др. В настояшее время продолжает оставаться актуальной проблема анализа и прогнозирования большого количества гетерогенных временных рядов в сложных сетевых структурах, подверженных резким шоковым событиям. Под воздействием таковых внутри временных рядов наблюдаются резкие переходы на новые уровни стабильности и стационарности, так называемые бифуркационные события, другими словами аномалии временных рядов. Траектории временных рядов становятся чувствительными даже к малым возмущениям, что приводит к частым и предсказуемым переходам на новые уровни значений, аккумулирующие вокруг себя большое количество наблюдений. Подобные явления часто присутствуют в метеорологических временных рядах, а также свойственны большому количеству физических систем. В последнее время активно стали исследовать динамические системы, имитирующие финансовые процессы. Причиной этого является то, что финансовые временные ряды подвержены бифуркационным событиям с большой частотностью, и поэтому являются предметом научного интереса. В результате внешнего или внутреннего возмущения процесс, генерирующий временной ряд, может переходить с одного состояния развития на иной, причем часто воздействующий шок характеризуется внутренней автокорреляцией.

В данной предложено описание ряда новых математических подходов к воссозданию и моделированию эволюционный процессов, протекающих внутри динамических систем и приводящим к образованию аномалий внутри наблюдаемых временных рядов.

Целью данной работы является исследование аномалий временных рядов, оценки вероятности их происхождения под воздействием цветных шумов, а также воссоздание бифуркационных событий на основе мультиагентного моделирования воздействия шока.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Исследование бифуркационные события внутри динамических систем под воздействием цветных шумов.

2. Разработка алгоритма предсказания бифуркационных событий внутри временных рядов, порождаемых динамическими системами.

3. Исследование применимости алгоритма предсказания на несколько шагов вперед при наличии различных цветных шумов на примере выбранной динамической системы.

4. Практическое применение разработанных алгоритмов и их программных реализаций для финансовой временного ряда процентной ставки Васичка.

5. Предложить мультиагентную модель для решения обратной задачи воссоздания бифуркационных событий.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Результаты исследования влияния цветных шумов разного спектра на возникновения бифуркационных событий внутри динамической системы.

2. Применение моделей LSTM и CatBoost для оценки вероятности возникновения аномалий временных рядов на несколько шагов вперед.

3. Алгоритм детекции аномалий внутри модели Васичка, а также предсказания возникновения бифуркационных событий внутри данной модели.

4. Программно реализованная модель "мультиагентный симулятор торгов "1D АВМ"и ее программная реализация.

5. Результаты мультиагентного моделирования фазовых переходов на примере биржевых торгов под воздействием внешних шоков с применением мультиагентного симулятора торгов "1D АВМ".

Научная новизна:

1. Проведено оригинальное исследования влияния цветных шумов на образования аномалий временных рядов внутри динамической системы на примере дифференциальной модели.

2. Разработаны и апробированы методы машинного обучения (LSTM и CatBoost) для предсказания бифуркаций в стохастических системах, что расширяет возможности анализа динамических моделей.

3. Впервые предложена модификация модели процентной ставки Васиче-ка с внедрение цветных шумов для анализа аномалий временного ряда.

4. Разработан алгоритм определения и оценки вероятности возникновения аномалии на примере предложенной модели.

5. Впервые предложен подход воссоздания аномалий временных рядов на основе мультиагентных систем. Программно реализована мультиагент-ная модель динамической системы для имитационного моделирования аномалий временных рядов, вызванных незначительными внутренними шоками.

Научная и практическая значимость полученных в диссертационном исследовании научных результатов обеспечена ценностью для исследований в области оценки и анализа стабильности временных рядов. Алгоритмы предсказания бифуркаций могут быть применены в широком спектре задач, включая управление сложными системами, прогнозирование кризисных явлений и анализе финансовых временных рядов. Практическая значимость заключается в том, что разработка подхода на основе нейросетевых моделей и имитационного моделирования для анализа аномалий временных рядов вносят весомый вклад, дополняющие существующие традиционные методы анализа бифуркационных событий в динамических системах. Результаты исследования динамики системы Васичека под воздействием цветных шумов могут быть использованы для улучшения моделей управления рисками на финансовых рынках, что позволит лучше учитывать неопределенность и стохастические процессы. Мультиагент-ная модель, разработанная в ходе работы, демонстрирует, как даже незначительные шоки могут привести к фазовым переходам. Разработанные методы и программное обеспечение могут быть использованы для моделирования поведения сложных систем и их переходов в новое состояние при внешних возмущениях, что найдет применение в ряде практических задач, связанных с прогнозированием и анализом нестабильных систем.

Степень достоверности полученных результатов исследования обеспечивается использованием строго формализованных методов обучения нейросе-тевых моделей. Архитектуры сетей и их гиперпараметры согласованы с известными математическими подходами к анализу бифуркаций. Применяемые алгоритмы проверены на примере общеизвестной дифференциальной модели, для

которой известны точные параметры бифуркаций, что подтверждает корректность работы предложенных методов.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих конференциях:

1. Шестнадцатая международная конференция «Управление развитием крупномасштабных систем» (MLSD'2023), 2023, Москва, Россия

2. Всероссийский семинар, приуроченный к 120-летию со дня рождения Андрея Николаевича Колмогорова "Избранные вопросы финансовой математики 2023, Москва, Россия

3. 65 Всероссийская научная конференция МФТИ в честь 115-летия Л.Д. Ландау, 2023, Москва, Россия

4. Искусственный интеллект и Общество (Artificial intelligenceand Society, AIS), 2023, Москва, Россия

5. Летняя школа "Искусственный интеллект и Общество"(Artificial intelligenceand Society, AIS), 2022, Москва, Россия

6. Международная конференция 3rd International Conference on Artificial Intelligence For Internet of Things (AIIoT 2024), Tamilnadu, India

7. Международная конференция Zooming Innovation in Consumer Technologies Conference (ZINC 2024), Novi Sad, Serbia

8. 26-й Международная конференция "Цифровая обработка сигналов и её применение"(DSPA-2024), 2024 года, ИПУ им.Трапезникова, Москва, Россия

9. Международная конференция 7th IEEE Congress on Information Science and Technology (CiSt 2023), Agadir - Essaouira, Morocco

Личный вклад. Все основные результаты диссертационного исследования, выносимые на защиту, получены лично автором.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 9 печатных изданиях, из которых 5 изданы в тезисах докладов, 9 — в журналах, индексируемых ВАК/Scopus .

Получены свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ №2023661571 от 01 июня 2023 года Лукьянченко П.П. и Никитин Б.Н. "Мультиагентный симулятор торгов "1D ABM" и свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ №2023661571 от 21 сентября2023 года Лу-

кьянченко П.П., Никитин Б.Н., Асташкин А.А. и Калманович П.П. "Мультиа-гентный симулятор торгов "2D ABM".

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и двух приложений. Полный объём диссертации составляет 117 страниц с 33 рисунками и 5 таблицами. Список литературы содержит 113 наименований.

Глава 1. Бифуркационные точки в временных рядах 1.1 История развития представления о случайностях и изменениях

В нынешних условиях невозможно говорить о системах, не принимая во внимание понятие самоорганизации. Самоорганизация системы - это процесс, при котором элементы системы упорядочиваются по некоторому правилу, порожденному локальными взаимодействиями её объектов. Подобные идеи озвучивались еще в XVI веке: в трудах «Рассуждения о методе» [1] и «Le Monde» [2] Рене Декарт высказал гипотезу упорядочения системы за счет её внутренней динамики. Также как некоторую предпосылку к появлению термина «самоорганизация» можно понимать второй закон термодинамики, в соответствии с которым полная энтропия замкнутой системы всегда увеличивается с течением времени.

Впервые приведенный Уильямом Эшби в 1947 году [3], оригинальный принцип самоорганизации заключался в том, что детерминированная динамическая система эволюционирует к состоянию равновесия. В 1960 году Хейнцом фон Фёрстером был сформулирован еще один основополагающий принцип: самоорганизация обосновывается влиянием на систему случайных факторов («шумов»), благодаря которым происходит «исследование» множества ее состояний [4]. Аналогичный принцип был разработан Ильей Пригожиным и получил название «порядок из хаоса» [5]. Основная идея его концепции состоит в том, что новый порядок системы возникает с помощью случайных флуктуаций состояний её объектов. В случае сложных открытых систем флуктуации не нейтрализуются, а накапливаются со временем. Накопленные отклонения постепенно приводят к неустойчивости прежнего порядка и возникновению нового. Из этой теоремы также выводятся необходимые условия для возникновения самоорганизации в системе: открытость системы (иначе в неё не проникнет энергия из внешней среды), дальность системы от состояния термодинамического равновесия, наличие условий для накапливания изменений с течением времени и наличие взаимодействия между частями системы.

Таким образом, концепция самоорганизации приводит к пониманию, что любая новация есть результат совокупности факторов, некоторые из которых -случайны.

Первой работой, в которой упоминается математический аспект случайности, считается «Книга перемен» [6], в которой рассматривалась задача, связанная с подбрасыванием нескольких монет. Западная философия же вплоть до XVI века фокусировалась лишь на семантической составляющей случайности: так, в работах Аристотеля [7] и Демокрита, она считалась явлением, подчиненным некоторым правилам, и лишь в более поздних работах Эпикура [8], [9] и Лукреция Кара [10] предлагалась концепция, согласно которой случайность существовала сама по себе и не зависела от человеческих знаний.

Одним из первых западных трудов, рассуждающих о случайности с математической точки зрения, является «Liber de Lude Aleae» Джероломо Кардано [11], в котором анализировались шансы на победу в азартных играх. Вслед за ним к случайности все чаще обращались как к математической концепции. В 1654 году совместные обсуждения Блеза Паскаля и Пьера де Ферма «парадокса де Мере» [12] заложили некоторые основы теории вероятностей и математической статистики, что было продолжено Лейбницем в «Discours de metaphysique» [13] и Гюгенсом в приложении к «De Ratiociniis in Ludo Aleae» [14]. Официально же теория вероятности как математическая дисциплина была представлена Яковом Бернулли в «Ars Conjectandi» [15].

С математической статистикой, составляющей теории вероятности, неразрывно связано понятие сомнительных данных - то, что позже будет названо аномалиями. Изначально считалось, что подобные результаты, полученные во время экспериментов, стоит находить и отбрасывать, так как они оказывали влияние на метрики, используемые в статистике (например - среднее арифметическое). Различные подходы к решения задачи детекции аномалий в данных предлагали Пирс, Шовене и Гулд.

Одно из первых правил отбрасывания сомнительных данных было предложено Бенджамином Пирсом в «Criterion for the Rejection of Doubtful Observation» [16]. Его тест, позже названный критерием Пирса, утверждает следующее: предлагаемые наблюдения должны быть удалены, если вероятность системы ошибок, содержащей их, меньше, чем вероятность системы ошибок без них, умноженная на вероятность проведения некоторого зафиксированного

количества аномальных наблюдений. Главным достоинством критерия Пирса является то, что при его применении могут быть обнаружены несколько выбросов.

Не меньший вклад в решение задачи детекции аномалий с помощью статистических критериев внес Уильям Шовене. В «Treatise On the Method of Least Squares: Or, the Application of the Theory of Probabilities in the Combination of Observation» [17] им была приведена таблица коэффициентов, упрощающих проверку критерия Пирса, а в «A manuel of spherical and practical astronomy» [18] Шовене предложил собственный критерий для определения одной аномалии: сначала вводилась функция, отражающая число ошибок, меньше некоторого порога а, и потом, с её помощью, вычислялась ошибка, превышающая порог.

Над упрощением критерия Пирса работал и Бенджамин Гулд. В «On Pierce's Criterion for the Rejection of Doubtful Observations, with Tables for Facilitating Its Applications» [19] он представил таблицу значений коэффициентов из уравнения Пирса, но на практике его алгоритм отличается от реализации критерия Пирса.

Лишь в XX веке отношение к необъяснимым данным изменилось: было признано, что их стоит не выбрасывать из выборки, а анализировать. Одним из первых случаев, продемонстрировавших важность аномалий, является смена интерпретации квантовой механики: когда результаты экспериментов, проведенных Луи де Бройлем, не подчинились законам общепринятого копенгагенского толкования, они были не проигнорированы, а заложены в основу формирования альтернативной концепции - бомовской механики [20]. Более подробно роль аномалий как явления в науке описывается в «Структуре научных революций» Куна [21]. Главной её идеей является периодичность развития науки, где каждый цикл состоит из трех этапов: нормальной науки, экстраординарной науки и научной революции. Во время первого этапа все открытия соответствуют общепринятой парадигме; второй этап наступает при первом появлении аномалий -фактов или объектов, необъяснимых с точки зрения текущей концепции, а потому активизирующих появление новых интерпретаций; научная революция же случается в момент формирования новой парадигмы. Таким образом, с точки зрения Куна, аномалия играет значительную роль в развитии науки и расширении знания.

В то же время аномалии могут быть связаны с внутренними изменениями - например, как следствие некоторых метаморфоз или качественных перестроек, произошедших с объектом из-за изменения определяющих их параметров, иначе говоря - бифуркации.

1.2 Формирование концепции бифуркационных событий

Термин «бифуркация» был введен Пуанкаре в 1885 году [22] для обозначения приобретения системой нового качества при малом изменении параметров. Его происхождение связано с тем, что система, чье поведение в равновесной области можно задать через систему линейных дифференциальных уравнений, достигает состояния, при котором дальнейшая эволюция не определена - точки бифуркации. Этот момент соответствует переходу системы в неустойчивое относительно флуктуаций, неравновесное состояние.

На поведение системы вблизи точки бифуркации значительное влияние начинают оказывать малые возмущения параметров, которые могут быть как целенаправленными, так и случайными. Подобное свойство, зависимость системы от случая в критической точке, связывает теорию бифуркации и теорию хаоса. В рамках этой концепции подразумевается, что влияние внешних факторов на сложную систему, зависящую от первоначальных условий, может привести к её неопределенному поведению. С помощью теории хаоса можно определить точку бифуркации в терминах дифференциальных уравнений: из того, что, согласно этой теории, линейные системы не могут быть хаотическими, можно сделать вывод, что точка бифуркации - это момент перехода от системы, заданной линейной системой дифференциальных уравнений, к нелинейной.

Для третьего определения точки бифуркации стоит ввести термин «аттрактор». Аттрактор - это компактное подмножество фазового пространства динамической системы, все траектории из некоторой окрестности которого сходятся к нему при времени, стремящемся к бесконечности. Набор аттракторов задает факторы, влияющие на траекторию эволюции системы, поэтому точку бифуркации можно понимать как момент смены набора аттракторов системы.

Одним из важнейших применений бифуркации является объединение с помощью неё квантовых систем и динамики в их классических аналогах. Причиной подобной связи между квантовыми системами и бифуркациями в классических уравнениях движения является то, что при бифуркациях сигнатура классических орбит становится большой, как указывает Мартин Гутцвиллер в своей работе о квантовом хаосе [23].

Общефилософское же осмысление явления бифуркации приведено в книге Эрвина Ласло «Век бифуркации: постижение изменяющегося мира» [24]. В ней бифуркацией называется метод научного познания социальных явлений, связанный с поведением сложных систем в состояниях и условиях, далеких от равновесия. Как отмечает Ласлов в Приложении к «Веку бифуркации», новые теории эволюционирующих систем берут начало из общей теории систем Людвига фон Берталанфи, теории информации Клода Шеннона и кибернетики Норберта Винера.

Общая теория систем, предсказанная Александром Богдановым [25] и предложенная Людвигом фон Берталанфи [26], представляет собой концепцию исследования систем в соответствии с признанием изоморфизма законов, по которым они функционируют. В этом случае, зная законы одной системы, могут быть выведены законы другой, имеющей с исходной некоторые соответствия, системы. Таким образом задача построения основной теории систем состоит из определения общих принципов функционирования систем вне зависимости от семейства и применения изоморфизма законов. В рамках теории фон Берталанфи отдельно выделил два типа систем: открытые системы, у которых происходит постоянный обмен веществом и энергией с внешней средой, и замкнутые системы, функционирующие независимо от внешней среды.

Определенная Клодом Шенноном теория информации как раздел математической теории связей задает правила разработки систем передачи информации и их воплощения, устанавливая границы их возможностей [27]. Данная теория предлагает следующую схему системы связи: вся информация, порожденная источником, преобразуется в электрический сигнал и проходит через кодер источника, кодер канала и модулятор, после чего попадает в среду распространения и хранения информации. При передаче информации получателю зашумленное сообщение извлекается из среды и проходит через демодулятор, декодер канала и декодер информации.

Введенный Норбертом Винером термин «кибернетика» обозначает саморегулируемые механизмы и, впоследствии, науку об общих закономерностях функционирования и взаимодействия в машинах и живых организмах [28]. Одним из основных понятий кибернетики является понятие об обратной связи, стабилизирующей выход системы в некотором значении - тогда, приняв желаемое значение за «цель», для построения системы необходимо и достаточно задать цель и действия для её достижения.

Несмотря на существование и достаточную изученность аналитического и численного подходов к изучению сложных систем, в проблеме решения нелинейных задач по отдельности каждый из них не был успешен. Из-за несовершенности существующих концепций научным сообществом все чаще обсуждалась идея создать подход, объединяющий эти две методологии. Как следствие, во второй половине XX века на основе тектологии А.И. Богданова, теории систем Л. фон Берталанфи и кибернетики Н.Винера родилась синергетика - наука о процессах развития и самоорганизации сложных систем произвольной природы. Сам термин «синергетика» начал использовался еще до этого: впервые он был введен Чарльзом Скоттом Черрингтоном применительно к согласованному процессу работы нервной системы [29]. Позже, описывая непрерывную совместную работу машины и оператора, Станислав Улам использовал понятие «синергия» [30]. Наконец, попыткой создать подход, совмещающий численную математику и анализ, для решения задач систем уравнений является синергетический подход 3абуского[31].

Язык и методы современной синергетики опираются на нелинейную математику и результаты естественных наук. Исследования эволюции сложных систем бы начато еще силами Анри Пуанкаре. Отметим, что Анри Пуанкаре считается основателем методов нелинейной динамики и качественной теории дифференциальных уравнений. Понятия аттракторов, точек бифуркаций, неустойчивых траекторий и динамического хаоса были предложены именно Анри Пуанкаре.

Илья Пригожин [32] исследовал исследовал образование энтропии в рамках второго начала термодинамики. В равновесном состоянии при постоянных внешних параметрах скорость производства энтропии в термодинамической системе минимальна, а для необратимых процессов скорость производства энтропии в открытой системе стремится к минимуму.

Наравне с синергетикой, к теории самоорганизации также можно отнести теорию катастроф - раздел математики, включающий в себя теорию бифуркаций дифференциальных уравнений и теорию особенностей гладких отображений. Впервые термин «катастрофа» в значении скачкообразного изменения, возникающего в виде внезапного отклика системы на плавное изменение внешних условий, ввели Рене Том и Кристофер Зиман как замену использовавшейся до этого «бифуркации» [33]. Главным объектом изучения теории катастроф являются статические неустойчивости - те, что связаны исключительно с действием потенциальной энергии.

Главные основы области динамических систем были заложены Анри Пуанкаре [34] и Александром Андроновым [35] - это бифуркация динамических систем и метод нормальных форм в теории дифференциальных уравнений. В области теории особенностей гладких отображений основными считались работы Хасслера Уитни.

Основной задачей теории катастроф является изучение критических точек потенциальной функции. Рене Том выделил семь фундаментальных типов катастроф, определяющихся свойствами их производных: «складка», «сборка», «ласточкин хвост», «бабочка», «гиперболическая омбилика», «параболическая омбилика» и «эллиптическая омбилика». Другую, «ЛБЕ-классификацию», использующую связи с группой Ли, предложил Владимир Арнольд [36].

По мере существования, язык синергетики, благодаря своей универсальности, врывался во все большее числом наук: как в технические, так и в социальные. В качестве примера синергетизации социально-гуманитарного знания можно привести теорию универсального эволюционизма Н.Н. Моисеева [37], в центре которой - проблема осмысления и обоснования мира и человека как единой системы в непрерывной эволюции. Существенной особенностью теории является демонстрация ею прикладных возможностей естествознания в изучении актуальных проблем социально-гуманитарного знания.

Центральными объектами исследования стали биосфера, человек, коэволюция, проблемы настоящего и будущего, а основными понятиями - система, самоорганизация и бифуркация. Есть у теории универсального эволюционизма и некоторая аксиоматика - «эмпирические обобщения», среди которых можно выделить три наиболее важных:

1) все процессы во Вселенной не детерминированы, мир по своей природе - стохастичен.

2) настоящее и будущее системы определяются её прошлым.

3) все процессы развития подчиняются некоторым законам.

Таким образом, с помощью синергетического подхода появилась оригинальная теория развития общества в его динамической модели.

Подведем некоторый итог: в большинстве случаев для рассмотрения протекающих в системах процесса нельзя ограничиваться описанием его как детерминированного или как хаотического - его нужно считать результатом совместной работы случайных факторов и предопределенных векторов эволюции. Однако, наравне с внешними случайными силами, в реальных системах всегда присутствуют внутренние, принципиально неустранимые факторы, приводящие к случайным колебаниям внутри системы. Тогда возникает вопрос: какое влияние может оказать на систему совокупность внешних и внутренних факторов и можно ли его предсказать.

1.3 Основы теории цветных шумов

В аудиотехнике, электронике, физике и многих других областях цвет шума или спектр шума относится к спектру мощности шумового сигнала (сигнала, создаваемого случайным процессом).

Понятие цветной шум используется для обозначения любого случайного шума, который не является белым, т.е. его спектральная плотность не является константой, а какая-то функция зависящая от частоты. Самый распространенный, встречаемый в природе тип цветных шумов называется степенной шум, т.е. такой шум, который имеет степенную зависимость между амплитудами сигнала и их частотами, т.е. его спектральная плотность задается функцией 1//^. Тогда в зависимости от значения ¡3 можно выделить следующие шумы: белый при Р = 0 при котором спектральная плотность такая же на всех частотах, розовый при Р = 1 при котором спектральная плотность убывающая обратно пропорционально частоте, красный (или же коричневый) при @ = 2 имеет еще более быстрое уменьшение спектральной плотности с ростом частоты, синий

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Лукьянченко Петр Павлович, 2025 год

Список литературы

1. Декарт Р. Рассуждение о методе с приложениями. — М.: АН СССР, 1953.

2. Декарт Р. Собрание сочинений. — М.: Мысль, 1989.

3. Ashby W. R. Principles of the Self-Organizing Dynamic System // Journal of General Psychology. — 1947. — т. 37. — с. 125—128.

4. Von Foerster H. On self-organizing systems and their environments // Self-organizing systems. — 2003.

5. Prigogine I., Stengers I. Order out of chaos: Man's new dialogue with nature. — Bantam Books, 1984.

6. Wang Z. W. Book of Changes. — Sichuan People's Publishing House Co., Ltd., 2018.

7. Aristotle. The Physics. т. 2. — Oxford University Press, 1991.

8. Epicurus. Letter to Pythocles. — Oxford University Press, 1931. — с. 89—90.

9. Epicurus. Letter to Menoeceus. — Oxford University Press, 1926. — с. 131, 133, 134.

10. Lucretius. On the Nature of Things. — Harvard University Press, 1924.

11. Cardano G. The book on games of chance. — New York, Holt, Rinehart, Winston, 1963.

12. Ван дер Варден Б. Л. Переписка между Паскалем и Ферма по вопросам теории вероятностей // М.:Наука. — 1976. — с. 228—232.

13. Leibniz G. W. The Discourse on Metaphysics. — Open Court, 1902.

14. Huygens C. The Value of all Chances in Games of Fortune; cards, dice, wagers, lotteries, &c. — S. Keimer, 1714.

15. Bernoulli J. On the Law of Large Numbers / под ред. O. Sheynin. — Berlin: Akademie Verlag, 2005.

16. Peirce B. Criterion for the Rejection of Doubtful Observations // Astronomical Journal II. — 1852. — т. 45. — с. 161—163.

17. Chauvenet W., Peirce B. A Treatise On the Method of Least Squares: Or, the Application of the Theory of Probabilities in the Combination of Observations. — Franklin Classics, 2018.

18. Rider P. Criteria for rejection of observations. — Washington: U.S. Government Printing Office, 1933.

19. Gould B. A. On Peirce's Criterion for the Rejection of Doubtful Observations, with Tables for Facilitating Its Application // Astronomical Journal IV. — 1855. — т. 83. — с. 81—87.

20. Broglie L. de. The Interpretation of Wave Mechanics with the help of Waveswith Singular Regions. — Oliver, Boyd, 1953.

21. Kuhn T. The Structure of Scientific Revolutions. — University of Chicago Press, 1962.

22. Poincare H. L'Équilibre d'une masse fluide animee d'un mouvement de rotation. — Gauthier-Villars, 1885.

23. Gutzwiller M. C. Chaos in Classical and Quantum Mechanics. — SpringerVerlag, 1990.

24. Laszlo E. The Age of Bifurcation: Understanding the Changing World. — Gordon, Breach, 1991. — (Iucn Conservation Library). — ISBN 9782881244919.

25. Богданов А. Тектология: Всеобщая организационная наука. — М.:Экономика, 1989. — (Экономическое наследие).

26. Bertalanffy L. v. General System Theory - A Critical Review. т. VII. — General Systems, 1962. — с. 1—20.

27. Shannon C. E. A Mathematical Theory of Communication // Bell System Technical Journal. — 1948. — т. 27. — с. 379—423.

28. Wiener N. Cybernetics: Or Control and Communication in the Animal and the Machine. — MIT Press, 1961.

29. Sherrington C. Flexion-reflex of the limb, crossed extension-reflex, and reflex stepping and standing // The Journal of Physiology. — 1910. — т. 40. — с. 28—121. — DOI: 10.1113/jphysiol.1910.sp001362. — URL: https://doi.org/ 10.1113/jphysiol.1910.sp001362.

30. Улам С. Нерешенные математические задачи. — М.: Наука, 1964.

31. Zabusky N. Nonlinear partial differential equations. — Academic Press, 1967.

32. Пригожин И., Гленсдорф П. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций. — М.:Мир, 1973.

33. Арнольд В. Теория катастроф. — Наука, 1984.

34. Arnold V. Geometrical methods in the theory of ordinary differential equations. — Springer-Verlag, 1973.

35. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости / А. Андронов [и др.]. — Наука, 1967.

36. Arnold V. Mathematical developments arising from Hilbert problems. — American Mathematical Society, 1976.

37. Моисеев Н. Алгоритмы развития. — Наука, 1987.

38. Kasdin N. J., Walter T. Discrete simulation of power law noise // Proceedings of the 1992 IEEE Frequency Control Symposium. — 1992.

39. Timmer J., Koenig M. On generating power law noise. // Astronomy and Astrophysics. — 1995. — т. 300. — с. 707.

40. Guz S., Sviridov M. Brownian motion with "green" noise in a periodic potential // Physics Letters A. — 1998. — т. 240, № 1. — с. 43—49. — DOI: https://doi.org/10.1016/S0375-9601(98) 00009-7. — URL: https: //www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0375960198000097.

41. Guz S. A., Sviridov M. V. "Green" noise in quasistationary stochastic systems // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. — 2001. — т. 11, № 3. — с. 605—610. — DOI: 10.1063/1.1379309. — eprint: https: //doi.org/10.1063/1.1379309. — URL: https://doi.org/10.1063/L1379309.

42. Guz S., Sviridov M. "Green"noise in quasistationary stochastic systems // Chaos (Woodbury, N.Y.) — 2001. — окт. — т. 11. — с. 605—610. — DOI: 10.1063/1.1379309.

43. Online Change Point Detection in Molecular Dynamics With Optical Random Features / A. Chatelain [и др.] // ArXiv. — 2020. — т. abs/2006.08697.

44. Duarte B. P., Saraiva P. M. Change point detection for quality monitoring of chemical processes // Éuropean Symposium on Computer Aided Process Éngineering-13. т. 14 / под ред. A. Kraslawski, I. Turunen. — Elsevier, 2003. — с. 401—406. — (Computer Aided Chemical Engineering). — DOI: https://doi.org/10.1016/S1570-7946(03)80148-7. — URL: https://www. sciencedirect.com/science/article/pii/S1570794603801487.

45. Liu S., Wright A., Hauskrecht M. Change-Point Detection Method for Clinical Decision Support System Rule Monitoring // Artificial Intelligence in Medicine / под ред. A. ten Teije [и др.]. — Cham : Springer International Publishing, 2017. — с. 126—135. — ISBN 978-3-319-59758-4.

46. Yang P., Dumont G., Ansermino M. Adaptive Change Detection in Heart Rate Trend Monitoring in Anesthetized Children // IÉÉÉ transactions on bio-medical engineering. — 2006. — дек. — т. 53. — с. 2211—2219. — DOI: 10.1109/TBMÉ.2006.877107.

47. A new method for change-point detection developed for on-line analysis of the heart beat variability during sleep / M. Staudacher [и др.] // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. — 2005. — т. 349, № 3. — с. 582—596. — DOI: https://doi.org/10.1016/j.physa.2004.10.026. — URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0378437104013640.

48. Malladi R., Kalamangalam G. P., Aazhang B. Online Bayesian change point detection algorithms for segmentation of epileptic activity // 2013 Asilomar Conference on Signals, Systems and Computers. — 2013. — с. 1833—1837.

49. Adams R. P., MacKay D. J. C. Bayesian Online Changepoint Detection // arXiv: Machine Learning. — 2007. — URL: %%20https://arxiv.org/pdf/0710. 3742.pdf.

50. Bachelier L. Theorie de la speculation // Annales scientifiques de l'École normale superieure. — 1900. — т. 3. — с. 21—86.

51. Black F., Scholes M. The Pricing of Options and Corporate Liabilities // Journal of Political Économy. — 1973. — т. 81, № 3. — с. 637—654. — URL: http://www.jstor.org/stable/1831029 (дата обр. 12.04.2023).

52. C. C. G. Tests of Équality Between Sets of Coefficients in Two Linear Regressions // Économetrica Vol. 28. — 1960.

53. Structural Clustering of Volatility Regimes for Dynamic Trading Strategies / A. Prakash [h gp.] // Applied Mathematical Finance. — 2020. — anp. — t. 28, № 3. — c. 236—274. — DOI: 10.1080/1350486x.2021.2007146.

54. Li H, Fan Y. Identification of Temporal Transition of Functional States Using Recurrent Neural Networks from Functional MRI // Medical image computing and computer-assisted intervention, International Conference on Medical Image Computing and Computer-Assisted Intervention. — 2018. — t. 11072. — DOI: 10.1007/978-3-030-00931-1_27.

55. Automatic Change-Point Detection in Time Series via Deep Learning / J. Li [h gp.] // Proceedings of the 39th International Conference on Machine Learning (ICML). — 2022. — URL: https://arxiv.org/abs/2211.03860.

56. Memory-free Online Change-point Detection: A Novel Neural Network Approach / Z. Atashgahi [h gp.] // ArXiv. — 2022. — t. abs/2207.03932.

57. Stepikin A., Romanenkova E., Zaytsev A. Deep learning model solves change point detection for multiple change types // arXiv preprint arXiv:2204.07403. — 2022.

58. Outlier Detection for Spatio-Temporal Data / M. Gupta [h gp.] // Outlier Detection for Temporal Data. — Springer, 2014. — c. 49—59.

59. Hawkins D. M. Identification of outliers. t. 11. — Springer, 1980.

60. Fox A. J. Outliers in time series // Journal of the Royal Statistical Society Series B: Statistical Methodology. — 1972. — t. 34, № 3. — c. 350—363.

61. Tsay R. S. Outliers, level shifts, and variance changes in time series // Journal of forecasting. — 1988. — t. 7, № 1. — c. 1—20.

62. Tsay R. S., Pena D., Pankratz A. E. Outliers in multivariate time series // Biometrika. — 2000. — t. 87, № 4. — c. 789—804.

63. Mandelbrot B. B., Van Ness J. W. Fractional Brownian motions, fractional noises and applications // SIAM review. — 1968. — t. 10, № 4. — c. 422—437.

64. Box G. E., Jenkins G. M. Time series analysis: forecasting and control. — Holden-Day, 1976.

65. Гуз С. А. и Свиридов М. В. Теория стохастических систем, находящихся под действием широкополосного стационарного шума, фильтрованного в области низких частот: монография. — Москва : Университетская книга, 2016. — с. 24.

66. Deep learning for early warning signals of tipping points / T. M. Bury [и др.] // Proceedings of the National Academy of Sciences. — 2021. — т. 118, № 39. — e2106140118.

67. Аверина Т. А. Статистическое моделирование решений стохастических дифференциальных уравнений и систем со случайной структурой. — Новосибирск : Изд-во СО РАН, 2019.

68. Held H, Kleinen T. Detection of climate system bifurcations by degenerate fingerprinting // Geophysical Research Letters. — 2004. — т. 31, № 23.

69. Bjork T. Arbitrage Theory in Continuous Time. — Oxford University PressOxford, 09.1998. — DOI: 10.1093/0198775180.001.0001. — URL: https: //doi.org/10.1093/0198775180.001.0001.

70. White A., Hull J. Pricing Interest-Rate-Derivative Securities // Review of Financial Studies. — 1990. — февр. — т. 3. — DOI: 10.1093/rfs/3.4.573.

71. Johannes M. The Statistical and Economic Role of Jumps in Continuous-Time Interest Rate Models // Journal of Finance. — 2004. — февр. — т. 59. — с. 227—260. — DOI: 10.1111/j.1540-6321.2004.00632.x.

72. Fleming M., Remolona E. M. What Moves the Bond Market? // Monetary Economics. — 1997. — URL: https://api.semanticscholar.org/CorpusID: 14523700.

73. Goldberg L, Leonard D. What Moves Sovereign Bond Markets? The Effects of Economic News on U.S. and German Yields // Current Issues in Economics and Finance. — 2003. — янв. — т. 9.

74. Tankov P. Barndorff-Nielsen and Shephard (BNS) Models //. — Wiley, 05.2010. — DOI: 10.1002/9780470061602.eqf08017.

75. Bollerslev T, Diebold F., Andersen T. Roughing It Up: Including Jump Components in the Measurement, Modeling, and Forecasting of Return Volatility // The Review of Economics and Statistics. — 2007. — февр. — т. 89. — с. 701—720. — DOI: 10.2139/ssrn.1150061.

76. Lee S., Mykland P. Jumps in Financial Markets: A New Nonparametric Test and Jump Dynamics // Review of Financial Studies. — 2008. — нояб. — т. 21. — с. 2535—2563. — DOI: 10.2139/ssrn.686372.

77. Lee S., Mykland P. Jumps in Equilibrium Prices and Market Microstructure Noise // Journal of Econometrics. — 2008. — сент. — т. 168. — DOI: 10.2139/ ssrn.1343724.

78. Bakshi G., Cao C, Chen Z. Empirical Performance of Alternative Option Pricing Models // Journal of Finance. — 1997. — февр. — т. 52. — с. 2003— 49. — DOI: 10.1111/j.1540-6261.1997.tb02749.x.

79. Bates D. Jumps and Stochastic Volatility: Exchange Rate Process Implicit in Deutsche Mark Options // Review of Financial Studies. — 1996. — февр. — т. 9. — с. 69—107. — DOI: 10.1093/rfs/9.1.69.

80. Sorwar G. Estimating single factor jump diffusion interest rate models // Applied Financial Economics. — 2005. — дек. — т. 21. — DOI: 10.1080/ 09603107.2011.591729.

81. Kim D., Wright J. Jumps in Bond Yields at Known Times // Finance and Economics Discussion Series. — 2016. — янв. — т. 2016. — с. 1—46. — DOI: 10.17016/FEDS.2014.100r.

82. Moumouni Z., SADEFO KAMDEM J. Production decision using jumps and seasonal volatility in commoditites prices. — 01.2016. — DOI: 10.13140/RG. 2.2.28258.12486.

83. Bootstrapping High-Frequency Jump Tests / P. Dovonon [и др.] // Journal of the American Statistical Association. — 2018. — апр. — т. 114. — с. 1—35. — DOI: 10.1080/01621459.2018.1447485.

84. Barndorff-Nielsen O. E., Shephard N. Non-Gaussian Ornstein-Uhlenbeck-based models and some of their uses in financial economics // Journal of the Royal Statistical Society: Series B (Statistical Methodology). — 2001. — т. 63, № 2. — с. 167—241. — DOI: 10.1111/14679868.00282.

85. Auret L, Aldrich C. Change point detection in time series data with random forests // Control Engineering Practice. — 2010. — авг. — т. 18. — с. 990— 1002. — DOI: 10.1016/j.conengprac.2010.04.005.

86. Moskvina V., Zhigljavsky A. An Algorithm Based on Singular Spectrum Analysis for Change-Point Detection // Communications in Statistics simulation and Computation. — 2003. — hhb. — t. 32. — c. 319—352. — DOI: 10.1081/SAC-120017494.

87. Prediction of the Change Points in Stock Markets Using DAE-LSTM / S. Yoo [h flp.j // Sustainability. — 2021. — okt. — t. 13. — c. 11822. — DOI: 10.3390/su132111822.

88. Oh K. J., Han I. Using change-point detection to support artificial neural networks for interest rates forecasting // Expert Systems With Applications. — 2000. — t. 19. — c. 105—115.

89. Orlando G., Mininni R., Bufalo M. Forecasting interest rates through Vasicek and CIR models: a partitioning approach. — 01.2019.

90. Guz S., Mannella R., Sviridov M. Catastrophes in Brownian motion // Physics Letters A. — 2003. — okt. — t. 317, № 3/4. — c. 233—241. — DOI: 10.1016/j.physleta.2003.08.043. — URL: https://doi.org/10.1016/j.physleta. 2003.08.043.

91. Mannella R. Integration of stochastic differential equations on a computer // International Journal of Modern Physics C. — 2002. — hoh6. — t. 13, № 09. — c. 1177—1194. — DOI: 10.1142/s0129183102004042. — URL: https: //doi.org/10.1142/s0129183102004042.

92. Orlando G., Mininni R. M, Bufalo M. A New Approach to CIR Short-Term Rates Modelling // New Methods in Fixed Income Modeling. — Springer International Publishing, 2018. — c. 35—43. — DOI: https://doi.org/10.1007/ 978-3-319-95285-7_2. — URL: https://doi.org/10.1007%2F978-3-319-95285-7_2.

93. Stoyanov M, Gunzburger M, Burkardt J. PINK NOISE AND THEIR EFFECT ON SOLUTIONS OF DIFFERENTIAL EQUATIONS // International Journal for Uncertainty Quantification. — 2011. — t. 1, № 3. — c. 257—278.

94. Schroeder M. R. Fractals, chaos, power laws : minutes from an infinite paradise / Manfred Schroeder. — W.H. Freeman New York, 1991. — xviii, 429 p., [8] p. of plates : — ISBN 0716721368.

95. Nonlinear stochastic models of noise and power-law distributions / B. Kaulakys [и др.] // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. — 2006. — июнь. — т. 365, № 1. — с. 217—221. — DOI: 10.1016/j.physa.2006. 01.017. — URL: https://doi.org/10.1016/j.physa.2006.01.017.

96. Sauer T. Numerical Solution of Stochastic Differential Equations in Finance // Handbook of Computational Finance. — Springer Berlin Heidelberg, 07.2011. — с. 529—550. — DOI: 10.1007/978-3-642- 17254-0_19. — URL: https://doi.org/10.1007/978-3-642-17254-0_19.

97. Kayode S., Ganiyu A., Ajiboye A. On One-Step Method of Euler-Maruyama Type for Solution of Stochastic Differential Equations Using Varying Stepsizes // OALib. — 2016. — янв. — т. 03. — с. 1—15. — DOI: 10.4236/ oalib.1102247.

98. Mikosch T. Elementary stochastic calculus with finance in view // Proceedings of the European Mathematical Society Workshop on Stochastic Calculus in Finance. — 1998. — URL: https://api.semanticscholar.org/ CorpusID:117107839.

99. Reuvers H. The Vasicek short-rate model // Hanno Reuvers' Blog. — 2021. — URL: https://hannoreuvers.github.io/post/vasicek/.

100. Comparison of three algorithms for parametric change-point detection / C. Faure [и др.] // Proceedings of the 2016 IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing (ICASSP). — 04.2016.

101. Wambui G. D., Waititu G. A., Wanjoya A. K. The Power of the Pruned Exact Linear Time(PELT) Test in Multiple Changepoint Detection // American Journal of Theoretical and Applied Statistics. — 2015. — т. 4. — с. 581. — URL: https://api.semanticscholar.org/CorpusID:4647879.

102. Killick R., Fearnhead P., Eckley I. A. Optimal Detection of Changepoints With a Linear Computational Cost // Journal of the American Statistical Association. — 2012. — окт. — т. 107, № 500. — с. 1590—1598. — DOI: 10. 1080/01621459.2012.737745. — URL: https://doi.org/10.1080/01621459. 2012.737745.

103. Chen J., Gupta A. K. Parametric Statistical Change Point Analysis. — Birkhauser Boston, 2012. — DOI: 10.1007/978-0-8176-4801-5. — URL: https://doi.org/10.1007/978-0-8176-4801-5.

104. A statistical approach for array CGH data analysis / F. Picard [h gp.] // BMC Bioinformatics. — 2005. — t. 6, № 1. — c. 27. — DOI: 10.1186/14712105-6-27. — URL: https://doi.org/10.1186/1471-2105-6-27.

105. Wooldridge M, Jennings N. R. Intelligent agents: Theory and practice. — Elsevier, 1995.

106. Railsback S. F., Grimm V. Agent-Based and Individual-Based Modeling: A Practical Introduction. — Princeton University Press, 2011.

107. Tesfatsion L. Agent-based computational economics: A constructive approach to economic theory // Handbook of Computational Economics. — 2006. — t. 2. — c. 831—880.

108. Panait L, Luke S. Cooperative multi-agent learning: The state of the art // Autonomous agents and multi-agent systems. — 2005. — t. 11, № 3. — c. 387— 434.

109. Bonabeau E. Agent-based modeling: Methods and techniques for simulating human systems // Proceedings of the National Academy of Sciences. — 2002. — t. 99. — c. 7280—7287.

110. Rock around the clock: An agent-based model of low-and highfrequency trading / Leal [h gp.] // Journal of Evolutionary Economics. — 2014.

111. Noise trader risk in financial markets / J. B. De Long [h gp.] // Journal of Political Economy. — 1990. — t. 98, № 4. — c. 703—738.

112. Lux T. The socio-economic dynamics of speculative markets: interacting agents, chaos, and the fat tails of return distributions // Journal of Economic Behavior & Organization. — 1998. — t. 33, № 2. — c. 143—165.

113. Chen S.-H., Kirmas T. A multi-agent, evolutionary simulation of a double auction stock market with human traders // Proceedings of the 2004 International Conference on Computational Science and Its Applications (ICCSA 2004). — Springer. 2004. — c. 1194—1203.

Список рисунков

2.1 Примеры реализации временных рядов с цветными шумами ... 31

2.2 Пример реализации временного ряда с белым шумом..............32

2.3 Распределение переходов под воздействием белого шума..........33

2.4 Пример реализации временного ряда с розовым шумом............34

2.5 Пример реализации временного ряда с красным шумом............35

2.6 Распределение переходов под воздействием шумов..................35

2.7 Распределение переходов под воздействием розового шума .... 36

2.8 Распределение переходов под воздействием красного шума .... 37

2.9 Влияние соотношения сигнал-шум при белом шуме................37

2.10 Влияние соотношения сигнал-шум при белом и цветных шумах . 38

2.11 Влияние шага времени на частоту переходов при белом шуме . . 39

2.12 Влияние шага времени на частоту переходов при розовом шуме . 40

2.13 Влияние шага времени на частоту переходов при красном шуме . 41

2.14 Временной ряд с белым шумом........................................42

2.15 Временной ряд с розовым шумом......................................44

2.16 Временной ряд с красным шумом ....................................45

2.17 Аномалия временного ряда с белым шумом..........................45

2.18 Аномалия временного ряда с розовым шумом........................46

2.19 Аномалия временного ряда с красным шумом ......................46

3.1 Пример модели Васичека под воздействием белого, розового и красного шумов..........................................................56

3.2 Примеры траектории процентной ставки по модели Васичека. . . 59

3.3 Пример обнаружения точек перехода описанным методом на модели с белым шумом ................................................63

3.4 Пример обнаружения точек перехода описанным методом на модели с розовым шумом ..............................................64

3.5 Пример обнаружения точек перехода описанным методом на модели с красным шумом ..............................................66

5.1 Восстановление рынка после падения цены на 1%..................88

5.2 Число шагов до равновесия и значение цены при шоке -1 (2x2) . . 89

5.3 Число шагов до равновесия и значение цены при шоке -5..........91

5.4 Число шагов до равновесия и значение цены при шоке -1 (2x2) . . 92

5.5 Число шагов до равновесия и значение цены при шоке -20 .... 93

5.6 Число шагов до равновесия и значение цены при шоке -20 (2x2) . 94

5.7 Число шагов до равновесия и значение цены при шоке -50 .... 96

5.8 Число шагов до равновесия и значение цены при шоке -50 (2x2) . 97

5.9 Число шагов до равновесия и значение цены при шоке -75 (2x2) . 98

Список таблиц

1 Результат применения ЬБТМ при разных окрестностях............47

2 Результат применения Са1Вооэ1 при разных окрестностях .... 48

3 Результат модели ЬБТМ ..............................................67

4 Результат модели СаЛооэ!............................................67

5 Результаты тестирования гипотез ..................100