Прямое численное моделирование дозвуковых турбулентных течений газа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, доктор физико-математических наук Ключников, Игорь Геннадьевич

• Ключников, Игорь Геннадьевич
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Ключников, Игорь Геннадьевич

СОДЕРЖАНИЕ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

ВВЕДЕНИЕ

1. ФИЗИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ

1.1. Формы расчетных областей и их декомпозиция для параллельных алгоритмов. Исходные уравнения

1.2. Граничные и начальные условия

2. КЛАСС РАЗНОСТНЫХ СХЕМ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА ТОЧНОСТИ

2.1. Формулы высокого порядка точности для аппроксимации пространственных производных

2.2. Схемы Рихтмайера высокого порядка точности

для уравнений гиперболического типа

2.3. Искусственная диссипация

2.4. Схемы высокого порядка точности для уравнений параболического типа

2.5. Схемы высокого порядка точности для нестационарных трехмерных уравнений Навье-Стокса

2.5.1. Двухшаговая схема Рихтмайера с расщеплением по пространственным направлениям. Аппроксимация конвективных членов уравнений

2.5.2. Аппроксимация диссипативных членов уравнений

2.5.3. Монотонный метод нелинейной коррекции потоков переноса (РСТ) в сочетании со схемой высокого порядка точности для нестационарных трехмерных уравнений Навье-Стокса

2.6. Обобщение класса разностных схем для решения систем уравнений гидромеханики с произвольно высоким

порядком точности по времени и пространству

2.7. Обобщение схем высокого порядка точности для

нерегулярных и криволинейных сеток

2.8. Исследование устойчивости и монотонности схем

высокого порядка точности

2.8.1. Линейная дисперсия и диссипация схем высокого порядка для уравнений гиперболического типа

2.8.2. Свойства схем высокого порядка с искусственной диссипацией для уравнений гиперболического типа

2.8.3. Свойства схем высокого порядка для уравнений параболического типа

3. АПРОБАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ. ТЕСТОВЫЕ РАСЧЕТЫ

3.1. Решение модельных гиперболических задач о движении квадратной волны, гауссова профиля и полукупола

3.2. Решение обобщенного уравнения Бюргерса

3.3. Решение одномерной задачи Римана о распаде произвольного разрыва на основе уравнений Эйлера

3.4. Сравнение последовательного и параллельного алгоритмов для

модельных задач

4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРЕХМЕРНЫХ ПЕРЕХОДНЫХ И ТУРБУЛЕНТНЫХ ТЕЧЕНИЙ В ПЛОСКОМ КАНАЛЕ И

В КАНАЛЕ С УСТУПОМ

4.1. Исследование процесса перехода от ламинарного течения к турбулентному. Детализация картины течения

4.2. Исследование статистических характеристик турбулентного течения в плоском канале

4.3. Исследование характеристик турбулентности в канале

с обратным уступом

4.3.1. Структура и пульсационные характеристики дозвукового турбулентного течения за обратным уступом

4.3.2. Влияние сжимаемости на структуру и пульсационные характеристики дозвукового отрывного турбулентного потока

5. МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ АКУСТИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ И ВИХРЕОБРАЗОВАНИЯ В ДВУМЕРНЫХ КАНАЛАХ С РЕЗКИМ РАСШИРЕНИЕМ НА ВХОДЕ ПРИ Re=s 103

5.1. Исследование влияния порядка точности схем на картину и параметры течений

5.2. Исследование влияния числа Рейнольдса на структуру и параметры течений

5.3. Исследование механизма вихреобразования и акустических колебаний в потоках. Резонанс

5.4. Изучение структуры и эволюции вихревых потоков в каналах. Слияние и разрушение вихрей

6. МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРЕХМЕРНЫХ ТУРБУЛЕНТНЫХ

ТЕЧЕНИЙ В КАНАЛАХ С РЕЗКИМ РАСШИРЕНИЕМ

НА ВХОДЕ ПРИ Ые^Яекр

6.1. Асимптотическая сходимость результатов в зависимости от порядка точности схем и числа расчетных узлов

6.2. Отличия механизмов вихреобразования в турбулентном и ламинарном потоках

6.3. Исследование эволюции трехмерных турбулентных течений

7. МОДЕЛИРОВАНИЕ РАЗВИТЫХ ТУРБУЛЕНТНЫХ

ТЕЧЕНИЙ ПРИ Ке=104,105

7.1. Сравнительный анализ газодинамических процессов при увеличении числа Яе до 105. Асимптотическая сходимость численных результатов

7.2. Исследование процессов диссипации вихрей и перехода к развитому турбулентному течению

7.3. Исследование колебаний в турбулентных течениях. Детерминистский характер поведения псевдослучайных турбулентных процессов

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Турбулентность- одна из основных и пока нерешенных проблем фундаментальной и прикладной науки. За более чем сто лет изучения турбулентных течений накоплен большой опыт их теоретических и экспериментальных исследований. Однако, до сих пор не существует единой теории турбулентности, объясняющей механизмы ее возникновения и существования. Сложность структуры и динамики турбулентных потоков затрудняет получение надежных экспериментальных данных.

Численное моделирование турбулентности из-за ограничения возможностями современной техники и существующих алгоритмов в большинстве случаев основывается на использовании различных полуэмпирических моделей турбулентности, содержащих ряд констант, справедливость которых в каждом конкретном случае не очевидна.

Прямое численное моделирование турбулентности основано на численном интегрировании полных уравнений Навье-Стокса без привлечения дополнительных эмпирических моделей и констант. Для такого моделирования требуется высокопроизводительная вычислительная система и эффективный численный метод, позволяющий получать достоверные численные результаты.

Цель работы

Диссертация посвящена: разработке методов высокого порядка точности для численного решения на параллельных вычислительных системах полных уравнений Навье-Стокса, описывающих трехмерные турбулентные течения вязкого, сжимаемого газа; прямому численному

моделированию трехмерных переходных и развитых турбулентных течений в каналах- плоских, с уступом и с резким расширением на входе; детальному исследованию механизмов и эволюции переходных и турбулентных течений в каналах в широком диапазоне чисел Рейнольдса и Маха.

Научная новизна

-Разработан класс устойчивых разностных схем высокого порядка точности для прямого численного решения полных уравнений Навье-Стокса, описывающих трехмерные турбулентные течения вязкого, сжимаемого газа.

-Получены оценки устойчивости, диссипативных и дисперсионных свойств схем высокого порядка точности, описаны методы монотонизации и нелинейной коррекции схем в случае разрывных решений.

-Показана высокая точность, экономичность и хорошая работоспособность предлагаемых схем в широком диапазоне варьируемых параметров и в сравнении с имеющимися аналитическими, расчетными и экспериментальными данными.

-Впервые исследовано влияние порядка точности схем на структуру и параметры двух- и трехмерных ламинарных вихревых и турбулентных течений в плоских каналах, каналах с уступом и каналах с резким

О с

расширением на входе в широком диапазоне чисел Рейнольдса (10 -10 ) . Найдена асимптотическая сходимость по порядку аппроксимирующих полиномов, определяющих пространственный порядок точности схем, на соответствующей разностной сетке.

-Проведено детальное численное моделирование трехмерных переходных и турбулентных течений в плоских каналах и каналах с

уступом. Исследована структура и параметры течений в переходной области и области развитой турбулентности, получены статистические характеристики турбулентности в пограничном слое. Рассчитаны детальные трехмерные распределения нормальных и касательных турбулентных напряжений в каналах, исследовано влияние сжимаемости на структуру турбулентных дозвуковых течений и распределение их пульсационных характеристик.

-Проведены детальные численные исследования структуры и параметров трехмерных переходных и турбулентных течений в каналах с резким расширением на входе в широком диапазоне чисел Рейнольдса (102 -105). Впервые исследованы все основные стадии эволюции турбулентного потока: вихреобразование и связанные с ним колебания газодинамических параметров, взаимодействие вихрей в потоке, их диссипация и переход к развитому турбулентному течению.

Достоверность результатов

Достоверность научных положений, выводов и результатов, приведенных в работе, подтверждается следующим:

-Использованные математические модели на основе системы полных уравнений Навье-Стокса базируются на фундаментальных законах механики сплошной среды;

-Разработанные численные алгоритмы апробированы при решении тестовых задач и показывают высокую точность и работоспособность в широком диапазоне варьируемых параметров;

-Полученные численные результаты хорошо согласуются с известными аналитическими, расчетными и экспериментальными данными.

Научная и практическая значимость

Значимость полученных в диссертации результатов заключается в следующем:

-Полученная асимптотическая сходимость численных решений по пространственному порядку точности разработанных разностных схем дает возможность эффективного использования такого класса схем для решения теоретических и прикладных задач прямого численного моделирования дозвуковых турбулентных течений в широком диапазоне чисел Рейнольдса и Маха со значительным сокращением вычислительных затрат;

-Исследованные механизмы возникновения и эволюции турбулентных течений газа подтверждают детерминистский характер протекающих процессов и полученные данные могут быть использованы для прогнозирования и управления потоком в конкретных технических устройствах и изделиях;

-Рассчитанные нестационарные и осредненные поля газодинамических параметров могут служить основой для проведения других расчетов, например, расчета трения и теплообмена, тестирования существующих и создания новых моделей турбулентности, тарировки экспериментальной аппаратуры.

Апробация работы

Основные результаты диссертационной работы докладывались и получили положительную оценку:

-на международном форуме по тепло- и массообмену (Минск, 1992г.);

-на всероссийских Школах молодых ученых (ИММ РАН, ВЦ Ростовского университета, рук. акад. A.A. Самарский, Абрау-Дюрсо, 19931995г.);

-на международной научно-технической конференции "Актуальные проблемы фундаментальных наук" (Москва, 1994 г.);

-на Первой Российской национальной конференции по теплообмену (Москва, 1994 г.);

-на международных конференциях по горению ICOC, NATO-ARW (рук. чл.-корр. А.М.Липанов, проф. Кеннет К. Куо (США), Москва, С.Петербург, 1993-1996 г.);

-на научно-технических конференциях ИжГТУ (Ижевск, 1994,1995г.); -на научно-технической конференции (ИПМ УрО РАН, рук. чл.-корр. А.М.Липанов, Ижевск, 1995 г.);

-на международной конференции "Математическое моделирование в науке и технике" ( ИММ РАН, ИПМ УрО РАН, рук. акад. A.A.Самарский, чл.-корр. А.М.Липанов, Ижевск, 1996 г.);

-на семинаре ОАО "Авиадвигатель" (Пермь, 1997 г.); -на семинаре в Институте механики МГУ (рук. С.А.Лосев, Москва, 1997 г.);

-на заседании Президиума УрО РАН (Екатеринбург, 1996 г.); -на заседании Президиума РАН (Москва, 1996 г.); -на семинаре PAP АН (рук. И.В. Величко, Миасс, 1997 г.); -на семинарах в университетах США, Китая, Германии, Индии, Франции (1995-1997 г.);

-на семинаре Института прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН (рук. А.В.Забродин, Москва, 1997г.);

-на семинаре Института высоких температур РАН (рук. А.Ф. Поляков, Москва, 1997г.);

- на международной конференции "Математическое моделирование в науке и технике" ( ИММ РАН, ИПМ УрО РАН, рук. акад. А.А.Самарский, чл.-корр. А.М.Липанов, Ижевск, 1998 г.);

Научные результаты работы вошли в перечень наиболее существенных фундаментальных результатов по УрО РАН (Екатеринбург, 1995-1997 г.),

Публикации и личный вклад автора

По материалам диссертации опубликовано 20 работ. Личный вклад автора в работах, опубликованных совместно с А.М.Липановым, Ю.Ф.Кисаровым, заключается: в разработке методов высокого порядка точности, численных алгоритмов и программ для их реализации на параллельных вычислительных системах, тестировании методов и алгоритмов, проведении численных расчетов, обработке и описании полученных результатов. В работах, опубликованных совместно с А.М.Липановым, Е.В.Моховым, Е.Ю.Глуховой, личный вклад автора заключается: в постановке задач, разработке методов высокого порядка точности, численных алгоритмов, тестировании методов и алгоритмов, обработке и описании полученных результатов.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, 7 глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации- 230 страниц, включая 82 рисунка, 7 таблиц и список литературы из 165 наименований.

Автор выражает большую благодарность своим учителям А.М.Липанову и Ю.Ф.Кисарову за постоянную помощь и поддержку в работе, а также коллегам в лабораториях физической гидромеханики и гидродинамики ИПМ УрО РАН за сотрудничество.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Прямое численное моделирование дозвуковых турбулентных течений газа»

ВВЕДЕНИЕ

Первые результаты экспериментальных и теоретических исследований турбулентных течений относятся еще к началу XIX века (Hagen, 1839) [1] и затем к 1883 г. [2 ], когда Осборном Рейнольдсом были получены критические значения безразмерного параметра- числа Рейнольдса, при котором происходит переход от ламинарного к турбулентному течению жидкости в трубе. На протяжении последующих ста с лишним лет интенсивных экспериментальных и теоретических исследований многих ученых, среди них- Richardson L.S., Batchelor G.K., Prandtl Z.A., Karman Т., Колмогоров А.Н., Ландау Л.Д., Taylor G.L., Никурадзе И., Шлихтинг Г., накоплен богатый опыт по изучению турбулентности (одни из первых работ [ 3 ]- [ 11 ]). Однако, и по сей день турбулентность остается одной из самых загадочных проблем науки. Несмотря на то, что турбулентное движение является наиболее распространенным видом движения в природе, на вопрос : «Что такое турбулентность ?» и в настоящее время не найдено исчерпывающего ответа [12]. Существующее в науке представление о турбулентных процессах, как о случайных, беспорядочных, долгое время являлось преградой для их эффективного теоретического исследования. Только с открытием "детерминированного хаоса", странных аттракторов и науки "синергетика" об эволюции диссипативных структур [13] появились предпосылки детерминированного подхода к проблеме турбулентности и ее моделированию. В настоящее время широко обсуждаются четыре сценария перехода от ламинарного течения к турбулентному [12]. Так по Ландау и Хопфу переход к турбулентности происходит через последовательность квазипериодических течений; по сценарию Рюэля и Такенса возникновение турбулентности связывается с появлением

странного аттрактора; по Фейгенбауму турбулентность также связывается с появлением странного аттрактора, но возникающего после каскада бифуркаций удвоения периода; по сценарию Ротеап, МаппеуШе переход к турбулентности происходит через чередование (перемежаемость) ламинарного и турбулентного течений. Экспериментальные данные показывают, что при разных видах течений реализуются разные сценарии перехода к турбулентности. Вопрос о характере и природе развитой турбулентности в настоящее время в значительной степени остается открытым. До сих пор приходится пересматривать многие традиционные положения, являющиеся основой используемых моделей турбулентности.

Несмотря на то, что регулярные структуры в турбулентном течении известны из экспериментальных данных уже давно [14 ]-[16 ] и продолжают интенсивно изучаться [17] - [21 ], механизмы турбулентных процессов, порождающих и поддерживающих такие структуры до настоящего времени не изучены [22]. Важный вклад в понимание физики турбулентных процессов внесли экспериментальные исследования, связанные с визуализацией течения. Так, еще в работе [23] было показано существование внутри вязкого подслоя упорядоченных структур, получивших название полосок или жгутов. По мере перемещения жгутов поперек погранслоя во внешнюю область течения колебания усиливаются и внезапно происходит взрывное разрушение подслоя с периодическими выбросами жидкости.

Исследования взаимодействия подслоя и внешнего потока [24] показали, что и в подслой периодически вносятся мелкомасштабные возмущения из внешних слоев, которые при больших числах Рейнольдса могут доходить до стенки. Расчеты напряжений Рейнольдса показали, что выбросы жидкости являются основными источниками энергии турбулентности и при их взаимодействии с внешним течением возникает

турбулентность [24], [25]. Вместе с тем по поводу механизмов турбулентных процессов в подслое нет единого мнения [26]. В работе [27] выбросы из подслоя связываются с вращающимися крупномасштабными вихревыми структурами, которые обеспечивают движение низкоскоростных слоев жидкости к внешним высокоскоростным и обусловливают напряжения Рейнольдса. В [28] считается, что появление крупномасштабных вихрей с ячеистой структурой (в виде шестиугольников с пустотами в центре ) в областях турбулентности может наблюдаться на границах первоначальных турбулентных пятен, число таких вихрей может периодически удваиваться. Напротив, в [29] утверждается, что в пристенных течениях наиболее характерны не крупномасштабные вихревые структуры а шпилькообразные вихри. Подобные им подковообразные вихри, объединенные в цепочки или нити, наблюдались в [30] и были смоделированы в работах [31], [32 ].

Изучение пространственно- временных корреляций турбулентных выбросов [33 ] подтверждают, что выбросы являются крупномасштабной вихревой структурой. Причем, продольные вихри появляются в основном вблизи стенки, в области вязкого подслоя, а поперечные- вдали от стенки. При взаимодействии продольных и поперечных вихрей возникают подковообразные вихри [34]- [36]. Между продольными вихрями, вращающимися в противоположных направлениях и выталкивающих жидкость от стенки, возникают узкие всплески низкоскоростных слоев жидкости. Выбросы и прорывы жидкости к стенке существуют независимо от возмущений, вызываемых шероховатостью стенки [37], хотя структура течения в подслое на сильно шероховатой стенке меняется. В ряде работ [38], [39] указывается на существование в пристеночных слоях так называемых карманов, клубов, пробок и других крупномасштабных когерентных образований турбулентного потока. Увеличение размеров

таких образований происходит за счет присоединения новых вихрей, появляющихся на их границах.

Фундаментальные исследования микроструктуры пристенной турбулентности [40]-[42] позволили выявить ряд механизмов воздействия пульсационных характеристик потока на процессы обновления в пограничном слое и эволюцию крупномасштабных вихревых структур. При этом имеют место различные взгляды на природу протекающих процессов. Так в работах [43]-[45] показано, что в вязком подслое основной вклад в напряжения Рейнольдса вносят высокоскоростные пульсации, а не выбросы низкоскоростных слоев жидкости. В работе [46] утверждается, что выбросы на границе вязкого подслоя являются причиной турбулентности в ядре потока.

В настоящее время нет ясности и в определении масштаба организованных структур в турбулентном течении. Экспериментальные исследования [47]-[49] по определению характерного поперечного размера структур показали, что расстояние между соседними выбросами жидкости имеет определенную величину, зависящую от параметров осредненного течения. Однако, существующие экспериментальные методики его определения довольно ненадежны и зависимость такого масштаба от числа Рейнольдса пока установить не удалось. В [49] характерный размер определяется соседними вихрями, вращающимися в противоположные стороны, которые могут объединяться в подковообразный вихрь.

В последнее время перспективным направлением в экспериментальном исследовании турбулентности является использование бесконтактных методов лазерной доплеровской анемометрии (ЛДА). Так в работе [50], с помощью методов ЛДА с высокой разрешающей способностью получены детальные поля пульсационных характеристик турбулентных течений за обратным уступом в щелевом канале. Вместе с

тем большинство экспериментальных методов из-за ограничения техническими возможностями аппаратуры позволяют получать результаты лишь для небольших чисел Маха входного потока газа. Поэтому вопрос о влиянии сжимаемости на турбулентные процессы в дозвуковых безотрывных и отрывных течениях остается до сих пор открытым.

Численное моделирование турбулентности до настоящего времени ограничивалось возможностями вычислительной техники и численных алгоритмов [51]. С появлением высокопроизводительных многопроцессорных вычислительных систем решение многих проблем, связанных с турбулентными процессами, становится реальным. Быстрое совершенствование методологии и алгоритмов численного моделирования [52]-[63] позволило решить многие важные прикладные и фундаментальные задачи турбулентности. В численном моделировании турбулентности к настоящему времени сформировалось несколько основных направлений [64]. Выделим два из них: моделирование на основе полуэмпирических моделей турбулентности и прямое численное моделирование турбулентности.

Численное моделирование турбулентности, использующее различные полуэмпирические модели, в большинстве случаев основывается на использовании гипотезы О.Рейнольдса о локальном осреднении по времени гидромеханических параметров течения. Для замыкания решаемой системы уравнений используются различные алгебраические или дифференциальные модели турбулентной вязкости, содержащие ряд эмпирических констант, значениями которых приходится варьировать в каждом конкретном случае. Большой объем численных исследований, проведенных с использованием такого подхода, позволил существенно уточнить картину протекающих процессов в турбулентном потоке (см. напр. [65]- [69]). В работе [70] представлен обзор отечественных работ,

опубликованных за последние 10-15 лет, по разработке дифференциальных моделей турбулентности и численному исследованию турбулентных течений жидкости и газа с использованием уравнений переноса для характеристик турбулентности.

Из двухпараметрических дифференциальных моделей турбулентности наиболее распространенной является (к, г )-модель турбулентности. Такая модель в сочетании с уравнениями Навье-Стокса для вязкого сжимаемого газа была реализована в [71] для расчета до- и сверхзвуковых турбулентных течений с учетом вращения и перегрузок, воздействующих на поток (рис.1). Полученные результаты позволили существенно уточнить картину протекающих процессов. Вместе с тем, рассчитанные стационарные поля газодинамических параметров не дают полного представления о механизмах и эволюции турбулентных течений. Необходимость подбора эмпирических констант, входящих в ( к, е )-модель турбулентности, а также в любую другую полуэмпирическую модель турбулентности связано с определенными трудностями обоснования корректных значений таких констант для конкретного расчетного варианта. Работоспособность подобных моделей в широком диапазоне изменения параметров турбулентного течения в большинстве расчетных случаев также ограничена. Это приводит к неточным результатам в сопоставлении с экспериментальными данными [50].

Прямое численное моделирование турбулентности- одно из новых и развивающихся научных направлений, основано на численном интегрировании нестационарных полных уравнений Навье-Стокса без привлечения дополнительных эмпирических моделей и констант. Рассчитываемые нестационарные трехмерные поля параметров турбулентного потока позволяют определять любые требуемые его средние характеристики.

Рис.1. Картины турбулентных течений в областях различной конфигурации

(пунктирные линии- без вращения, сплошные- с вращением 500 об/мин).

Сложность прямого численного моделирования турбулентности обусловлена прежде всего тем, что нестационарные турбулентные течения характеризуются широким диапазоном пространственных и временных масштабов [72]. Поэтому большинство полученных к настоящему времени численных результатов относится либо к исследованию начальных стадий ламинарно- турбулентного перехода, либо к расчету развитой турбулентности, либо к расчету пограничных слоев в том или ином приближении. В [73], [74] проведен расчет переходных течений, в [75] -расчет осесимметричных течений вязкой несжимаемой жидкости в круглой трубе, в [76] исследована конечно- амплитудная неустойчивость течения Гагена-Пуазейля с помощью трехмерных возмущений параболического профиля скорости, в [77] конечно- разностным методом проведен расчет трехмерной турбулентности в круглой трубе , в [78] рассчитаны стадии ламинарно- турбулентного перехода и развитая турбулентность в круглой трубе. Проведены расчеты ламинарно-турбулентного перехода и турбулентного течения вязкой несжимаемой жидкости на основе нестационарных уравнений Навье-Стокса в плоском канале [79]- [81] ([79]-высокоточный расчет на сетке 129x162x192) и погранслое на пластине в плоско-параллельном приближении [82]. Рассчитаны начальные стадии ламинарно-турбулентного перехода с условиями периодичности по продольной координате с помощью тригонометрической аппроксимации методом Галеркина по двум координатам [83]. Проведено моделирование турбулентных течений в погранслое на пластине и в плоском канале при условии симметричности течения относительно трансверсальной координаты [84], [85]. Условия допущения симметрии на основе уравнений Навье-Стокса в несжимаемом случае для течения Тейлора-Куэтта и сферического течения Куэтта используются в [86],[87], в плоском канале - [88].

Для прямого численного моделирования турбулентности требуется высокопроизводительная вычислительная система и эффективный численный метод, позволяющий получать достоверные численные результаты. Большинство разностных методов, как правило первого или второго пространственного порядков точности, обладают значительной схемной диссипацией. Для повышения разрешающей способности этих методов приходится сильно измельчать расчетную сетку, что существенно увеличивает затраты машинных ресурсов. В связи с этим, такие методы применяются, как правило, для моделирования крупных вихрей в течениях несжимаемой жидкости. Так в работе [89] исследуется эволюция крупных вихревых образований при числах Яе от 460 до 3000, т.е. от границы начала генерации вихрей в ламинарных условиях до одного из уровней в турбулентном потоке. Поскольку по пространственным переменным используется 2-ой порядок аппроксимации, то могут рассматриваться только крупномасштабные вихреобразования. Аналогичные результаты получены в работе [90] при обтекании цилиндра, т.к. по пространственным переменным используется та же аппроксимация второго порядка. Такого же порядка точности подход при аппроксимации по пространственным переменным используется в работе [91], рассматривающей течения в круглом канале при числе Яе=п-104, где 1<п<2 и в работе [92], изучающей течение несжимаемой жидкости вдоль ребер рифленой поверхности при Ке= 4,2-103.

Для повышения разрешающей способности и точности алгоритмов могут служить методы подсеточной аппроксимации [64] и методы повышенного пространственного порядка точности [93]. Среди методов повышенного пространственного порядка точности известны спектральные методы "глобальной аппроксимации". Так в работах [94]- [97] с помощью спектральных методов, на основе разложения функций в ряд Фурье,

проведены численные исследования переходных и турбулентных потоков несжимаемой жидкости с периодическими граничными условиями. В работе [98] решается задача о смешении двух потоков сжимаемого газа при числе И.е до 105 . Численный алгоритм включает разложение в ряд Фурье по пространственным переменным, и метод Рунге-Кутта для интегрирования по времени. Проведено моделирование преимущественно крупномасштабных вихрей. Явная линейная схема в сочетании с разложением ожидаемого решения в ряд Фурье по пространственным переменным в работе [99] используется при изучении движения падающей струи после вращающегося колеса.

Известны псевдоспектральные методы, использующие для вычисления пространственных производных разложение функций по полиномам Чебышева и алгоритмы быстрого преобразования Фурье (БПФ) [100]. Однако, в большинстве случаев эти методы применяются для расчета течений несжимаемой жидкости в простых расчетных областях и , как правило, изотропной либо однородной турбулентности [51].

В работах [101], [102] представлен псевдоспектральный метод численного моделирования нестационарных сжимаемых течений, описываемых полными уравнениями Навье-Стокса, в конических каналах, каналах с резким расширением и трехмерных кавернах (рис.2). Численный метод решения использует для интегрирования по времени двухшаговый метод Рунге-Кутта, а для вычисления пространственных производных -разложение функций по полиномам Чебышева и алгоритмы быстрого преобразования Фурье [103]. Использование полиномов Чебышева для определения точек коллокации, размещенных по косинусу, приводит к мелкой около границ и сравнительно грубой во внутренних областях сетке. Это позволяет получить при расчете вязких течений хорошее разрешение тонких пограничных слоев, возникающих около стенок при больших

Рис. 2.

Мгновенные картины а) изолиний завихренности в каверне с движущимися

верхней и нижней крышками (эволюция по времени :фрагменты слева-направо),

Ь), с) векторов скоростей в разных плоскостях в каверне с движущейся верхней крышкой

числах Рейнольдса. Для задач с отрывными и вихревыми сжимаемыми течениями такое распределение точек может не обеспечивать желаемой детализации расчета. Одним из путей решения этой проблемы, и позволяющим применять спектральные методы для расчета в областях сложной формы, является разделение расчетной области на несколько подобластей. В каждой подобласти используется спектральный метод. Применение отдельных спектральных разложений в каждой из подобластей приводит к необходимости обеспечения непрерывности решения при переходе из одной подобласти в другую.

Известно, что высокая точность аппроксимации пространственных производных с помощью разложения в ряд по полиномам Чебышева достигается при достаточно гладком поведении функции. В случае вычисления производных газодинамических функций при значительных градиентах их изменения по пространству и времени БПФ по косинусам приводит к осцилляциям решения. Для подавления таких осцилляций и сохранения порядка точности аппроксимации применяется сглаживание решения с помощью цифровых фильтров высокого порядка, использующих разложение в ряд по полиномам Чебышева [104]. Если для получения устойчивого численного решения частота включения фильтров параметров велика, то это приводит к сильному искажению картины протекающих процессов. Поэтому, в каждом конкретном случае приходится искать оптимальное решение по выбору того или иного фильтра, частоте его включения и выбору газодинамических параметров, нуждающихся в фильтрации.

Известны работы по прямому моделированию турбулентности, в которых реализуется сочетание спектральных, конечно-разностных или каких- либо других методов, которые используются, например, вдоль различных координатных направлений расчета. Так в работах [55],[105]-

[107] предлагается спектрально- конечно- разностный метод численного решения уравнений Навье-Стокса для течений несжимаемой жидкости в каналах и трубах в диапазоне чисел Яе от 2000 до 10000. Изучены временная эволюция течения и распределение средних характеристик в предельных режимах. Делается вывод о том, что используемые условия периодичности вдоль основного потока справедливы в случае однородной развитой турбулентности, для моделирования пространственных неоднородных течений необходима постановка задачи, допускающая возможность развития возмущений при их распространении вдоль по потоку. В радиальном координатном направлении расчета применяется конечно-разностный метод 2-го порядка точности, при этом используется метод перемежающихся сеток Харлоу, Уэлша и Вильямса. На основе расчетов делается вывод об устойчивости течения Пуазейля к малым возмущениям. Для реализации турбулентного режима течения в расчетах поддерживаются возмущения значительной амплитуды, искусственно вносимые в поток, иначе решение возвращается к ламинарному режиму. Рассчитанные статистические характеристики турбулентности хорошо согласуются с известными экспериментальными и расчетными данными для несжимаемой жидкости. В работе [96] по двухшаговой схеме 2-го порядка точности по времени проводится прямое численное моделирование вязкой несжимаемой жидкости в круглой трубе. Дискретизация уравнений Наве-Стокса проводится псевдоспектральным методом по радиальной координате и методом Галеркина по двум другим координатам. Отмечаются трудности постановки граничных условий на оси симметрии , связанные с сингулярностью уравнений.

Среди схем высокого порядка точности большое внимание в последнее время уделяется схемам, типа ТУБ и ЕЖ), разработанных для сквозного расчета течений с ударными волнами. Однако, порядок точности

таких схем не выше третьего, что недостаточно для прямого моделирования турбулентных течений. Так в работе [108] предлагается способ построения разностных схем повышенного порядка аппроксимации, принадлежащих к классу TVD- схем, для решения уравнения переноса, и заключается в добавлении к исходной монотонной схеме первого порядка антидиффузионных потоков. Получаемая схема-явная, третьего порядка точности на равномерной пространственной сетке, при решении тестовых задач о движении квадратной волны и гауссова профиля показывает наличие значительной схемной диссипации, приводящей к существенному сглаживанию и обрезанию расчетных профилей. В работе [109] на основе метода расщепления вектора потока строятся квазимонотонные схемы для течения невязкого нетеплопроводного газа с использованием формул типа Ван-Лиира и функций-анализаторов гладкости, улучшающих свойства схем. В работе

[110] рассмотрен алгоритм для решения задач вязкого газа на искривленных сетках , основанный на аппроксимации уравнений Навье-Стокса с помощью компактных схем 3-го порядка.

Одним из перспективных направлений в методологии численного моделирования является разработка устойчивых конечно-разностных схем произвольно высокого порядка точности [93]. Среди известных немногочисленных работ в этом направлении можно отметить работы

[111]-[113], где предлагаются схемы произвольно высокого пространственного порядка точности для решения уравнений гиперболического типа и схемы FCT- нелинейной коррекции потоков переноса. В работах [114], [115] описывается алгоритм коррекции потоков консервативных схем типа предиктор-корректор произвольного порядка аппроксимации. Приводится условие, необходимое для наложения на временной шаг, чтобы схемы с коррекцией были монотонными . В

качестве примера рассматривается схема 6-го порядка для решения одномерного уравнения переноса. Рассматриваются методы

монотонизации симметричных схем повышенной точности с помощью нелинейных сеточных фильтров. В работе [116] рассматривается торможение сверхзвукового потока при начальном числе Маха, равном 1.2, в слабой ударной волне. При расчете в прямоугольном канале по пространству используется аппроксимация шестого порядка точности, а по времени - схема Рунге-Кутта 3-го порядка, что позволяет получить детальную картину протекающих процессов. Вместе с тем, нет вывода о том, почему используется схема именно 6 порядка и какого порядка точности по пространству достаточно для получения необходимой детализации расчета. В работах [117]-[123] методами высокого порядка точности по пространству проведено прямое численное моделирование переходных и развитых турбулентных течений в каналах- прямых и с резким расширением на входе.

Для эффективной реализации методов прямого численного моделирования турбулентности необходимо использовать высокопроизводительные вычислительные системы. Наиболее эффективными из современных вычислительных систем являются многопроцессорные вычислительные комплексы. Использование таких систем требует разработки экономичных параллельных алгоритмов расчета, что является самостоятельной, достаточно сложной задачей математического и программного обеспечения. В работах [124]-[126] обсуждаются вопросы о транспьютерной реализации алгоритмов моделирования различных задач газовой динамики. Предложен алгоритм решения двумерных задач на многопроцессорных вычислительных системах МШГО-архитектуры с распределенной памятью. Рассматриваются вопросы эффективного использования многопроцессорных

вычислительных систем для реализации ряда трудоемких алгоритмов математической физики, представлены некоторые примеры численных расчетов. В работе [126] осуществлена реализация кинетически согласованных разностных схем на параллельных вычислительных системах . Использовалась топология вычислительной сети типа "линейка транспьютеров" и деление расчетной области на части только вдоль одной координаты на полосы, организация обмена между процессорами в граничных точках сетки одновременно с расчетом во внутренних узлах с соответствующей синхронизацией. В работе [127] рассматривается численное решение одномерных задач радиационной газовой динамики на многопроцессорных системах с распределенной памятью. Сравнение последовательного и параллельного алгоритмов для схем высокого порядка точности приводится в [128].

Итак, на основании приведенного краткого обзора можно сформулировать следующие выводы:

-отсутствие единой теории, с детерминистских позиций объясняющей механизмы возникновения и существования турбулентности, противоречивость имеющихся экспериментальных и теоретических данных, приводит к необходимости дальнейшего детального изучения переходных и турбулентных процессов в течениях сжимаемого газа;

-сложность рассматриваемых нестационарных трехмерных турбулентных процессов затрудняет получение исчерпывающих экспериментальных данных, поэтому важным является разработка численных методов расчета исследуемых процессов;

-ограничение возможностей моделирования на основе полуэмпирических моделей турбулентности, прогресс в развитии многопроцессорных вычислительных систем делают предпочтительным

развитие методов прямого численного моделирования турбулентных течений;

-необходимость повышения точности численных расчетов для детализации картины протекающих процессов приводит к необходимости разработки эффективных методов высокого порядка точности, работоспособных в широком диапазоне варьируемых параметров дозвуковых турбулентных потоков;

-ограниченность большинства численных исследований турбулентности рамками несжимаемой жидкости ставит задачу проведения детальных численных исследований дозвуковых переходных и турбулентных безотрывных и отрывных течений газа в широком диапазоне чисел Рейнольдса и Маха.

Решению поставленных задач посвящены последующие главы диссертационной работы.

1. ФИЗИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ

1.1. Формы расчетных областей и их декомпозиция для параллельных алгоритмов. Исходные уравнения.

Рассматриваются три вида трехмерных расчетных областей (рис. 1.1) в форме каналов -плоского (а), с обратным уступом (Ь) и с резким расширением на входе (с), в декартовых координатах х,у,г. Частным случаем являются двумерные расчетные области в плоскостях (ху). Трехмерные области ограничены в направлении оси у непроницаемыми стенками, одним или двумя симметричными уступами; в направлении оси х имеют проницаемые входную и выходную границы, а в направлении оси 2 ограничены условиями периодичности течения. Размеры каналов изменяются в различных вариантах расчетов.

Для расчета течений вязкого сжимаемого газа с сильным вязко-невязким взаимодействием и большими отрывными зонами, характерными для рассматриваемых расчетных областей (рис. 1.1), нельзя использовать упрощенные параболизованные или частично параболизованные уравнения Навье-Стокса, так как это может приводить к ошибочным результатам [129]. В этих случаях решают полные уравнения Навье-Стокса (или осредненные по Рейнольдсу уравнения Навье-Стокса). Нестационарные уравнения Навье-Стокса для несжимаемой жидкости образуют смешанную систему эллиптически- параболических уравнений, а для сжимаемой жидкости- гиперболически- параболических уравнений. Для турбулентных течений часто применяются осредненные по Рейнольдсу уравнения Навье-Стокса с использованием для осреднения гипотезы Буссинеска. Для замыкания системы уравнений используют ту или иную модель

а)

И

16/?

Ъ)

л;

С)

/ / 3/7 /

ЗА 8/1- Ш

Рис. 1.1. Формы расчетных областей (а-с). Фрагмент расчетной сетки (с1). Декомпозиция (е).

турбулентной вязкости. В этом случае стационарные решения получают установлением по времени. Для прямого численного моделирования нестационарных турбулентных сжимаемых течений необходимо использовать систему полных уравнений Навье-Стокса.

Рассматривается система полных нестационарных, трехмерных уравнений Навье-Стокса вместе с уравнением неразрывности и уравнением энергии, описывающих вязкое сжимаемое течение однокомпонентного, нереагирующего и неизлучающего, теплопроводного газа. Исходные уравнения в векторном виде законов сохранения, в дивергентной форме записываются так [129]:

+ Ех+ву+Нг=0, (1.1)

(ру { ри \ ( рУ 1 ' рм? у

ри ри2 +р ри\ рим>

ру , F = рм , в- ру1 +р , Н = рш

рГА> рпш р\№ рм1 + р

кРЕ> К(рЕ + р)У; к(рЕ + р)м>)

F =

А и

О

"XX

>ху

о

+ + + Я2)

О

ух

УУ

У2

, р = РКТ , Е =

2 2 2 и + V

р(к-1)'

ди 2 т7 д? 2 7 дм 2

ск Ъ ду 3 ¿^3

Тху = дх + ду ух ' Тхг= + х' Ту2==М^ + ^ = Тгу>

-у ди ск дм . дГ -дг . дГ

шуУ =— + — + —, Чх ~ л—> Яу = л—> Чг = —• ¿к ду д2 дх ду дг

Здесь х, у, 2, / - декартовые координаты и время, р, и , V , м>, р , Т, Е -плотность, компоненты скорости в направлениях х, у и г, соответственно, давление, температура и полная энергия газа, т, ¿/ - компоненты тензора вязких напряжений и теплового потока, коэффициенты молекулярной вязкости- р, и теплопроводности -А, полагаются постоянными, Я -газовая постоянная, Рг = \хср / X -число Прандтля, к -показатель адиабаты .

Система уравнений (1.1) преобразуется к безразмерному виду. Для этого безразмерные значения переменных выражаются в единицах /0, /0 / и0, щ =Ма0 , р0, р0, Т0, где /0- ширина входного сечения канала,

а0 = (кЯТ0)1/2-адиабатическая скорость звука, р0, р0, Г0-характерные величины давления, плотности и температуры (р0 = р0КТ0), М = и0 / а0, Ке = р0и010 / \1 -заданные характерные числа Маха и Рейнольдса. Тогда безразмерные переменные запишутся так:

х=х/10, у=у/10, 2=2! /0, 7 = //0, р = р/р0, и = и/и0 , V = у/и0, ч>=ц>!и0, р = р! ро, Т - Т /Т0, Е = Е / Н=Н /и2 , (1.2)

й2+у2 1 р 1 р_

Е=---+--г, Н = Е +-гзг, р = рТ

2 (к - \)кМ р кМ2 р

¡1 = 1/ Ие, А, = *

(А: - 1) М2 Яе Рг

В дальнейшем при написании безразмерных переменных черту сверху будем опускать.

Решение преобразованной системы уравнений (1.1) будем искать на классе непрерывных и всюду дифференцируемых функций. Вопрос о непрерывности производных газодинамических параметров турбулентного течения подробно теоретически исследовался, например, в работе [56]. К сожалению, в настоящее время окончательного ответа на этот вопрос не получено. Поэтому в дальнейшем будем исходить из положения о непрерывности производных газодинамических параметров в исследуемом диапазоне чисел Рейнольдса и Маха. Частично подтверждение этому удалось получить при исследовании в проводимых расчетах значений производных ^-порядка от вектора IV, соответствующих членам искусственной диссипации. Разрывов таких производных в рассматриваемых расчетных случаях обнаружено не было.

1.2. Граничные и начальные условия.

Необходимым требованием при расчете по схеме высокого порядка точности по пространственным переменным является сохранение высокого порядка при постановке граничных условий. Для этого особенно важно, чтобы конечно-разностное представление граничных условий было согласовано с конечно-разностной схемой, используемой во внутренних точках [129]. Все границы каналов (рис. 1.1) располагаются в промежуточных точках (у + 1 / 2) сетки, поэтому для постановки граничных условий вводятся фиктивные узлы, располагающиеся за пределами расчетных областей, и количество которых определяется порядком аппроксимации расчетной схемы.

На непроницаемых границах каналов для компонент скорости ставятся условия непротекания и прилипания:

м = у = и/ = 0. (1.3)

Для обеспечения условия (1.3) с заданным порядком аппроксимации для компонент скорости в фиктивных узлах используется антисимметрия:

Щ+пк = ~иу~п+1к ? Уу+пк = -Уу-п+\к-> Мц+пк = ' П = 1,М /2 , (1.4)

где Л^-порядок аппроксимации схемы. Стенки каналов считаются адиабатическими, что определяет нулевые градиенты давления, плотности и температуры:

1^0,^ = 0,^ = 0. (,.5)

Эх дх дх

Для вычисления (1.5) с заданным порядком аппроксимации N в фиктивных узлах используется симметрия:

Ру+пк ~ Ру-п+\к > Ру+пк ~ Ру-п+\к ■-> Ту+нк = ^у-п+\к » П = \Ы /2 (1.6) Угловые точки уступа канала (рис. 1.1, Ь) и канала с резким расширением (рис. 1.1, с), как внутренние, где происходит отрыв потока и генерация вихрей, так и внешние -области застойных и рециркуляционных зон, требуют специального описания. Известные трудности с постановкой граничных условий в угловых точках обусловлены прежде всего необходимостью сохранения высокого порядка аппроксимации при вычислении конвективных и диссипативных потоков через обе стороны угловых ячеек сетки [129]. В рассматриваемом случае расположения границ между узлами расчетной сетки угловые точки не являются расчетными. Для применения схемы расщепления по направлению в фиктивных узлах угловых ячеек используются двузначные величины параметров [130], переопределяемые при расчете потоков в разных направлениях, например по х и у:

и1-щк = ~иип-\)к И иц+пк = ~иц-п+\к ИЛИ ий-пк = ~иц+п-\к-> П = /2

-для внутренних углов, (1.7)

Щ-щк = -Ч+Н-1Д И иц+пк =-иц-п+\к ИЛ11 ии-пк =~иу+п-\к> П = \,Ы /2 - для внешних углов.

Проницаемыми границами являются входная и выходная границы каналов и границы в направлении оси г . При моделировании нестационарных дозвуковых течений возникает сложная проблема постановки граничных условий для входного и выходного потока газа, содержащего интенсивные вихревые структуры [131]. Возможные нефизические эффекты генерации и отражения звуковых волн на таких границах могут существенно искажать реальную картину протекающих процессов. Известные способы задания локальных граничных условий, справедливые для квазипараллельных потоков, в данном случае непригодны. Использование таких условий приводит к нефизическим эффектам преобразования вихревых (вращательных) возмущений в акустические [132 ]. В работе [133] предложены вычислительные алгоритмы управляющего типа для постановки корректных граничных условий для рассматриваемых течений. Параметры потока на границах раскладываются на две составляющие- параметры невозмущенного потока и их возмущения:

Р=Р0 +Р' , Р'=Ра + Ра > где -вихревое возмущение в зоне вихря , ра -акустическое возмущение

. при пересечении границы вихрем. Использование на выходной границе "традиционного" граничного условия р= р0 противоречит реальным процессам выхода вихря во "внешнюю" среду с заданным давлением и приводит к тому, что отрицательное вихревое возмущение рф при

пересечении границы вызывает положительный импульс давления ра и

излучение энергии за время ~ 2г/и0(г- радиус вихря) от источников типа монополя. Использование на границе выражений, типа р' + аи' (а-константа), порождает искусственные источники акустических волн дипольного характера. С учетом сделанных замечаний, сформулируем граничные условия на входной и выходной границах.

На входной границе задаются следующие соотношения [133 ]:

у = ^ = 0, р^и ~и(у) + ФСУ,/) = 0, | = 0;1 (1.8)

Т - - 1)/(65) -1 = 0, 8>0, (1.9)

Щу) = /(6„) , Ф(У,0 = сх(р-Р1)ДЬХ) ,сх*0,

/ =

1-(у)п/Ъ\ у<Ь 1 , Ь<у<к-Ь . \-(у-И + Ь)" /Ь",И -Ь<у<И

где с помощью функции II(у) задается характерный средний профиль и или ри с ядром потока и погранслоями, толщиной 6 , (р(у, I) -определяет малые (|ф|«1) изменения этого профиля при отклонении локальной величины давления р от среднего значения рх, связь (1.9) обеспечивает неизменную величину энтропии б в ядре входного потока. Выбором соответствующих значений входящих констант реализуется эффективное поглощение звуковых волн, приходящих к входной границе из области канала. В расчетах были заданы [133]:

^ = 0, 5 = 1, «1, 6„«1, (1.10)

км

На выходной границе используется следующее соотношение [133 ]: р = \ + о(у,1), |а|«1, (1.11)

где функция о определяется с использованием нелокального алгоритма граничного управления процессами генерации и поглощения звуковых

волн, что обеспечивает исключение нефизических эффектов. При длине каналов La: 8 использовалась следующая модель [133 ]:

o = o(t) = c2[m(L,t)-m(t)], с2 0-12)

1 1 L m(x,t) = — J*pidydz , m{t) =-^m{x.J)dx ,

^ S(x) x0

C2 =

JcM

Н + т{1)М

где фс)-площадь сечения канала при фиксированном х, средний по

пространству массовый расход в канале, т(Ь^)-мгновенный расход в выходном сечении, Н- ширина канала по у. Такая модель обеспечивает эффективное поглощение продольных квазиплоских звуковых волн, приходящих ко входной границе из области, а также компенсирует эффекты генерации звуковых волн на выходной границе при пересечении ее вихрями.

Так как на всех границах число независимых граничных функциональных связей ^ 3 , то вычисление остальных параметров потока осуществляется на этих границах на каждом временном слое с помощью алгоритмов нормальной экстраполяции, обычно имеющих смысл краевых

д/ Л

условии второго рода — = 0.

дп

Разностные аналоги рассмотренных граничных условий для сохранения высокого порядка точности расчетной схемы формируются с помощью конечно- разностных аппроксимаций соответствующего порядка с использованием необходимого количества фиктивных узлов.

На границах подобластей , полученных после декомпозиции расчетных областей каналов для реализации параллельных вычислений, ставятся условия непрерывности течения, обеспечивающие сквозной расчет параметров и сохраняющие высокий порядок точности схем.

Границы подобластей располагаются между последним расчетным узлом левой подобласти и первым расчетным узлом правой подобласти. Поэтому фиктивными узлами для левой подобласти служат первые N/2 узлов правой подобласти, а для правой, соответственно N/2 последних узлов левой (ЬГ-порядок точности). Поскольку в трехмерном случае стыковка подобластей производится по плоскостям ХЪ , то для аппроксимации пространственных производных на границах подобласти должны обмениваться информацией в N/2 плоскостях УЪ фиктивных узлов.

Обмен данными в фиктивных узлах между соседними процессорами осуществляется на каждой итерации по времени:

Л2) _ Л\) Л1) _ Н2) _ л М/7 • _ 1~7

где верхние индексы обозначают параметры: (1)-левой, (2)-правой подобласти.

На боковых границах каналов в направлении оси 7 для всех параметров используются либо условия периодичности [94]:

где Ь2- ширина канала по 2 , или период, варьируется для каждого расчетного случая; либо условия непрерывности течения в направлении

Конечно- разностная аппроксимация условий (1.13) и (1.14) проводится с заданным порядком точности для соответствующих фиктивных узлов на каждом временном слое.

Начальными условиями рассматриваемых задач являются либо поля параметров газа без течения:

u(x,y,z, 0) = v(x,y,z,0) = w{x,y,z$>) = 0, (1.15)

f(x,У,z,0 = f(x,y,z + Lz,t),

(1.13)

оси z:

dz

(1.14)

p(x,y, z,0) = 1, p(x,y, z,0) = 1,

либо установившееся двумерное поле течения при низком числе Рейнольдса, рассчитанное с начальными условиями (1.15). В начальный момент времени в первое или второе начальное поле параметров вносится малое возмущение входного профиля скорости, отклоняющего входной поток по осям у и z :

v(0,y,z,t0) = v0 , w(0,y,z,t0) = w0 (1.16)

где |v0|~0.1- возмущение компонент скорости в направлениях у и z, t0-

малый промежуток времени (-100 итераций), в течении которого вносится возмущение . По истечении t0 возмущение снимается и развитие течения дальше происходит самостоятельно, без каких-либо искусственно поддерживаемых извне возмущений. Одновременно с внесением возмущения либо без входного возмущения может изменяться число Рейнольдса. В последнем случае сохраняется симметричная картина течения.

2. КЛАСС РАЗНОСТНЫХ СХЕМ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА ТОЧНОСТИ

Для решения задач, сформулированных в гл.1, необходима разработка эффективных и высокоточных разностных схем. Построение класса разностных схем произвольно высокого порядка точности по пространственным переменным будем рассматривать в общей постановке для систем уравнений в частных производных гиперболического и параболического типов, частным случаем которых являются полные уравнения Навье-Стокса.

Рассмотрим сначала систему уравнений гиперболического типа, записанную в консервативной форме законов сохранения:

+И(Ж)г = 0, (2.1)

где IV, / & к - вектор-функции независимых переменных х, у, 2, t -декартовых координат и времени. Используя расщепление по пространственным направлениям, аппроксимацию уравнения (2.1) , с учетом, к примеру, производных по х, в консервативной форме запишем так:

где нижние индексы / -номера узлов пространственной сетки с координатами х,- и шагом Лх. = х;+1/2 -хм/2 , верхний индекс п - номер

временного слоя Г с шагом Д/ = - 1п . Здесь Ж; - среднее значение Ж внутри ячейки г:

хит

Ж,- р(х)с1х(хм/2 -х^у1 ,

^/+1/2" потоки через границы ячейки / , являющиеся функцией вектора /. Функциональная зависимость Г от / на одном или нескольких временных

•г»»

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Ключников, Игорь Геннадьевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Разработан класс устойчивых разностных схем высокого порядка точности для прямого численного решения на параллельных вычислительных системах полных уравнений Навье-Стокса, описывающих трехмерные турбулентные течения вязкого сжимаемого газа. Численные алгоритмы включают:

-Методы разностной аппроксимации с заданным порядком точности по пространственным переменным, с использованием двухшаговой схемы Рихтмайера для интегрирования по времени и схемы расщепления по пространственным направлениям;

-Методы монотонизации схем заданного порядка точности по пространственным переменным с использованием искусственной диссипации и нелинейной коррекции потоков переноса (ТСТ);

-Многошаговые методы заданных порядков точности по пространственным переменным и по времени.

2. Проведены исследования устойчивости и монотонности разработанных схем высокого порядка точности:

-Получены оценки линейной дисперсии и диссипации схем высокого порядка с использованием анализа Фурье устойчивости методом Неймана при решении уравнений гиперболического и параболического типа;

-Показано, что схемы, имеющие порядок точности по пространственным переменным 4 и выше, обладают в основном дисперсионными свойствами и проявляют Фурье- неустойчивость в областях малых волновых чисел в случае разрывных решений уравнений гиперболического типа. Численные исследования коэффициентов перехода при разных числах Куранта показывают уменьшение относительной фазовой ошибки при увеличении порядка точности схем и уменьшении числа Куранта. Получено монотонизирующее влияние членов искусственной диссипации заданного порядка точности на численные значения модуля коэффициента перехода и относительной фазовой ошибки схем при разных числах Куранта.

-Получены оценки устойчивости численных решений уравнений параболического типа заданного порядка точности по пространственным переменным. Показано, что схемы произвольного порядка точности N ведут себя устойчиво без дополнительной искусственной диссипации в следующем диапазоне коэффициентов е и г : при е ^ 0.4 для //¿10 и при е ^ 0.5 для N ^ 6, а также при г ^ 0.03 для N £ 10 и при г ^ 0.01 для N 3.6. С увеличением порядка точности N необходимо уменьшать е и увеличивать г.

3. Проведены решения тестовых задач, подтверждающие приемлемость разработанного класса разностных схем, высокую точность и работоспособность численных алгоритмов, путем сопоставления с имеющимися аналитическими и численными решениями:

-Тестовые задачи о распространении квадратной волны, резкого гауссова профиля и профиля в виде полукупола показывают исключение осцилляций и размазывания решений, возникающих из-за явления Гиббса и численной диффузии, минимизацию фазовых и амплитудных ошибок при сохранении свойств положительности и консервативности решения при увеличении порядка точности схем;

-Тестовые решения обобщенного уравнения Бюргерса параболического типа показывают высокую точность схем по пространству и времени;

-Полученные численные решения задачи Римана о распаде произвольного разрыва на основе уравнений Эйлера по схемам Рихтмайера высокого порядка точности по пространственным переменным в сочетании с методом ГСТ хорошо соответствуют точному решению при описании волны разрежения, контактного разрыва и фронта ударной волны.

4. Проведено прямое численное моделирование двумерных и трехмерных переходных и турбулентных течений в плоском канале:

-Показано, что любые возмущения в двумерном течении затухают, в трехмерном при 11е 2: Кекр выходят на режим самоподдерживающихся незатухающих колебаний, не зависящих от начальных данных и начальных возмущений, вносимых в поток;

-Исследован процесс перехода от ламинарного течения к турбулентному по длине канала. Показано, что течение волнистого характера зарождается вблизи стенок канала в виде турбулентных пятен зон перемежаемости, характерных для переходных течений. Развивающиеся вихревые структуры эволюционируют вниз по потоку и от стенок канала к ядру течения. В развитом турбулентном течении в выходной части канала выявлена пульсационная структура потока в виде полюсов разной направленности локальных течений, перемещающихся во времени и пространстве. Колебания параметров течения с частотой ~2000Гц и их мгновенные распределения коррелируют со структурой рассматриваемых течений;

-Рассчитанные осредненные по времени профили скоростей трехмерных течений при Яе=1313 , /?е=2037 и двумерного течения при Яе=2952, М— 0.6 хорошо согласуются с экспериментальными данными [138] при Ке=2\21, Яе=1217; [139] при Яе= 2070, 1294 и расчетными данными [140 ]для несжимаемой жидкости;

-Исследованы статистические характеристики развитых турбулентных течений в выходной части канала. Осредненные профили продольной скорости в пристенных переменных, полученные расчетом по схеме 8 порядка точности при Яе=2500 и Де=5600 хорошо согласуются с теоретическими профилями, включая вязкий, буферный и логарифмический слои. Участки профилей, соответствующие буферному и логарифмическому слоям более выражены при увеличении числа Не ;

-Анализ статистических моментов второго порядка на основе среднеквадратичной интенсивности пульсаций продольной скорости при Ке=5600, М= 0.6 показывают хорошее соответствие расчетным данным [142] и расчету в пограничном слое [ 143 ] для несжимаемой жидкости;

-Расчетные распределения статистических моментов старших порядков при Ре-5600, М= 0.6 в виде коэффициентов асимметрии и эксцесса пульсаций продольной скорости хорошо согласуются с расчетом [142] и экспериментальными данными [144] для несжимаемой жидкости;

-Проведенные исследования пристенных областей дозвуковых турбулентных течений в плоском канале, сравнение с другими расчетными и экспериментальными данными для несжимаемой жидкости позволяют подтвердить вывод о том, что характеристики турбулентности в пристенных областях безотрывных течений в каналах несжимаемой жидкости и сжимаемого газа совпадают [8], [141], а распределение скоростей сжимаемых течений в пристенных переменных хорошо описывается теоретической кривой универсального логарифмического закона для больших чисел Рейнольдса [8].

5. Проведено исследование структуры течений и характеристик турбулентности в канале с обратным уступом:

- Получены детальные картины течения при Яен=2600, М= 0.2 и распределения турбулентных нормальных и касательных напряжений: профили интенсивностей пульсаций компонент скорости и касательного напряжения Рейнольдса, хорошо согласующиеся с экспериментальными данными [50], полученными методами ЛДА для воздуха;

-Перемещения локальных максимумов профилей соответствуют расположениям сдвигового слоя смешения и рециркуляционной области. Хорошее соответствие результатов расчетов экспериментальным данным работы [50] подтверждает выводы относительно поперечных размеров сдвигового слоя, увеличивающихся по мере удаления от уступа теми же темпами, что и у плоского слоя смешения;

-Исследовано влияние сжимаемости (в диапазоне чисел Маха 0.2-0.6) на структуру и пульсационные характеристики дозвукового отрывного турбулентного потока. Полученные максимальные значения пульсаций при Ren=2600, М=0.6 (-0.043) выше по сравнению с вариантом при М= 0.2 (-0.018) в -2.4 раза. Поперечные размеры сдвигового слоя смешения увеличиваются медленнее, чем при М=0.2. Отрывная зона длиннее при М= 0.6 (-6-7И), чем при М= 0.2 (~4-5/г) в -1.5 раза. Вихревая структура потока при Л/= 0.6 сохраняется и в зоне релаксации течения.

6. Проведено прямое численное моделирование взаимодействия акустических колебаний и вихреобразования в двумерных каналах с резким расширением на входе при Re^ 103:

-Впервые исследовано влияние порядков точности схем по пространственным переменным и по времени на структуру и параметры течений в диапазоне чисел Яе=50-1000, М=0.4-0.8. Найдена асимптотическая сходимость численных решений при увеличении порядка точности схем по пространственным переменным до N=S и порядка точности по времени до 4 на соответствующей разностной сетке. Показано, что величины максимальной завихренности и частоты вихреобразования с точностью -0.1% совпадают при N=6 и 8. Схема второго порядка точности по пространственным переменным существенно искажает картину протекающих процессов . Полученные результаты со 2 и 4 порядками точности по времени отличаются не более 1 -2% ;

-Исследовано влияние числа Ке на структуру и параметры течений, в которые в начальный момент времени вносилось малое несимметричное возмущение. При Ке=50 течение устанавливается к симметричной картине, при Яе=150 к несимметричной, при Яег 500- течение выходит на незатухающий вихревой режим. Вихри эволюционируют в пространстве и во времени;

-Детально исследованы механизмы вихреобразования и связанные с ними эффекты акустических колебаний в дозвуковых потоках. Выявлены резонансные условия самовозбуждения и вихреобразования в сдвиговых слоях, влияния входного профиля скорости на структуру течения;

-Изучена структура и эволюция вихревых потоков в каналах, слияние и разрушение вихрей, периодические присоединения потока к стенкам канала;

-Рассмотрено влияние вихреобразования на трение и теплообмен. Полученные распределения коэффициентов трения вдоль стенок каналов имеют сложный характер и соответствуют эволюции вихревых структур рассматриваемых течений;

-Получено хорошее согласие результатов расчетов, проведенных на нерегулярных и регулярных сетках.

7. Проведено прямое численное моделирование трехмерных турбулентных течений в каналах с резким расширением на входе при ЯеьЯе^:

-Впервые получена асимптотическая сходимость численных результатов для Яе=\04 , М= 0.6 при увеличении порядка точности схем по пространственным переменным до N=10. Отличия величин модуля вихря и частоты вихреобразования при //=8 и 10 не превышают 0.25% ;

-Исследованы отличия механизмов вихреобразования в турбулентном (Де-104 ) и ламинарном (7?е=103 ) потоках. Выявлено появление новых частот на кривых колебаний параметров по времени. Колебания давления за уступами связаны с генерацией и эволюцией мелкомасштабных вихрей в отрывающихся сдвиговых слоях;

-Исследована эволюция трехмерных турбулентных течений, слияние, разрушение вихрей в каналах, прослежены временные характеристики существования вихрей-доноров, результирующих после их слияния конгломератов и шнуров и их повторного дробления. Детально прослежена пространственная конфигурация трехмерных вихревых структур.

8. Проведено прямое численное моделирование развитых турбулентных течений при Ке=104 и 105:

-Впервые получена асимптотическая сходимость численных результатов для Яе=\05, М= 0.6 при увеличении порядка точности схем по пространственным переменным до N=10;

- Проведен сравнительный анализ газодинамических процессов при увеличении числа Ке до 105 . Получено изменение частотных характеристик колебаний параметров в сравнении с Яе= 104 , увеличение модуля максимальной завихренности на 26% , частоты генерации вихрей в 1.4 раза;

-Впервые детально исследованы все основные стадии эволюции турбулентного потока при Яе=104 и 105 , М= 0.6: вихреобразование и связанные с ним колебания газодинамических параметров, взаимодействие вихрей в потоке, их диссипация и переход к пульсационному движению в области развитой турбулентности;

-Показано, что с ростом числа Ке до 105 турбулентные процессы интенсифицируются, явно выражена каскадность процессов: вихревого -ламинарного, переходного и развитого турбулентного режимов течения.

Мгновенные картины векторов скоростей коррелируют с кривыми колебаний давления в разных сечениях по длине канала. Акустические колебания, связанные с периодическими колебаниями потока между стенками канала, затухают после -40000 шагов по времени и вихревые потоки приобретают стабильную форму с несимметричным присоединением к стенкам канала. Расположение точек присоединения и размеры отрывных зон за уступами в осредненных по времени картинах течений согласуются с известными экспериментальными и расчетными данными;

-Детально исследованы распределения параметров и пространственная конфигурация вихревых структур в развитых турбулентных течениях. Показан детерминистский характер статистически стационарных турбулентных процессов, внешне проявляющих себя как "хаотические", и поэтому называемых "псевдослучайными", обоснованы самоподдерживающиеся автоколебательные режимы турбулентных течений.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Ключников, Игорь Геннадьевич, 1998 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Hagen G. Uber die Bewegung des Wassers in ehgen zylindrischen Rohren.-Pogg. Ann, 1839, 46, 423-442.

2. Reynolds O. An experimental investigation of the circumstances which determine whether the motion of water shall be direct or sinuons, and of the law of resistance in parallel channels.- Philos. Trans.Roy. Soc. London Ser., 1883, Al 74, 935-982.

3. Никурадзе И. Закономерности турбулентного движения жидкостей в гладких трубах.- В сб.: "Проблемы турбулентности", ОНТИ, М., 1936, с.75-150.

4. Шиллер Л. Движение жидкостей в трубах. ОНТИ, М., 1936.

5. Ландау Л Д. К проблеме турбулентности. - ДАН, 1944, т.4, N8, с.339.

6. Таунсенд A.A. Структура турбулентного потока с поперечным сдвигом.-ИИЛ, М„ 1959.

7. Хинце И.О. Турбулентность: ее механизм и теория.- ГИФМЛ, М., 1963.

8. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя., М. Наука., 1974.

9. Монин A.C., Яглом A.M. Статистическая гидромеханика, Часть 1., М. Наука, 1965.

10. Laufer J. The structure of turbulence in fully developed pipe flow.- NAC A, 1954, Rep. 1174.

11. Leite R.J. An experimental investigation of the stability of Poiseuille flow.- J. Fluid Mech., 1959,5,81-96.

12. Климонтович Ю.Л. Что же такое турбулентность?- Изв. вузов , ПНД, т.З, N2, 1995, с.7-41.

13. Берже П., Полю И., Видалъ К. Порядок в хаосе. О детерминистском подходе к турбулентности, М., Мир, 1991, 368с.

14. Прандтль Л. Результаты работ последнего времени по изучению турбулентности.-Проблемы турбулентности, M.-JL: ОНТИ, 1936, с.9-34.

15. Фейдж, Тоуненд. Исследование турбулентного течения при помощи ультрамикроскопа.-Проблемы турбулентности, M.-JL: ОНТИ, 1936, с.163-183.

16. Современное состояние гидроаэродинамики вязкой жидкости.-т.2: Обзор теории и экспериментальных работ по вопросам пограничного слоя, турбулентного движения и движения в спутной среде.-Под ред. Гольдштейна С.-М.,ИЛ, 1948, 408 с.

17. Репик Е.У., Соседко Ю.П. Исследование прерывистой структуры течения в пристеночной области турбулентного пограничного слоя,-Турбулентные течения, М.,Наука, 1974, с. 172-184.

18.Репик Е.У., Соседко Ю.П. Исследование пространственно-временной картины течения в пристеночной области турбулентного пограничного слоя.-Аэромеханика, М., Наука, 1976, с. 170-179.

19. Козлов Л.Ф., Бабенко В.В. Экспериментальные исследования пограничного слоя.-Киев: Наукова думка, 1978, 184 с.

Ю.Козлов Л.Ф., Цыганюк А.И., Бабенко В.В. и ф.-Формирование турбулентности в сдвиговых течениях.-Киев: Наукова думка, 1985.-284 с.

21. Власов Е.В., Гиневский A.C. Когерентные структуры в турбулентных струях и следах.-Итоги науки и техники, сер.: Механика жидкости и газа, 1986, вып.20, с.3-84.

22. Кантуэлл Б.Дж. Организованные движения в турбулентных потоках,-Вихри и волны, М., Мир, 1984, с. 9-79.

23. Клайн С., Рейнольде У., Шрауб Ф.,Ранстэдлер. Структура турбулентных пограничных слоев,- Механика, 1969, N4, с.41-78.

24. Корин о Е.Р., Бродки С. Визуальное исследование пристеночной области в турбулентном течении,- Механика, 1971,N1, с.56-82.

25. Eckelmann H., Nychas S. Vorticity and turbulence production in pattern recognized tubulent flow structures.- Phys. Fluids, 1977, v.20, N10, Pt.2, p.225-231.

26. Lymley I.L. Drag reduction by additives.-Ann.rev. of mech.,1969, v.l, p.367-384.

27. Nychas S.G., Hershey H.C., Brodkey R.S. A visual study of turbulent shear flow.-I. Fl. Mech, 1973, v.61, p.523-540.

28. Savas O. Some measurements in synthetic turbulent boundary lay er s.-Ph.D.Thesis., Calif., Pasadena: Calif.Tech.-Inst., 1979.

29. Head M.R., Bandyopadhyay R. Combined flow visualisation and hot Wire measurements in turbulent boundary layers.-Lehigh workshop on coherent structure in turbulent boundary layers, 1978, p.98-129.

30. Hama F.R., Nutant J. Detalied flow field observations in the transitions process in a thock layer.- Head Transfer and Fluid Mech., 1963, p.77-93.

31. Perry A.E. Lim T.T., ChongM.S., Teh E.M. The fabric of turbulence.-AIAA, 1980, v.90, p.1358.

32. Perry A.E. Lim T.T., ChongM.S. Instantaneous vector fields in coflowing jets and wakes.-J.Fl.Mech., 1980, v.l, p.243-256.

33. Nakagawa H, Nezu J. Structura of space -time correlations of the Fac. End.Kyoty Univ., 1980, v.42, N1, p.85-124.

34. Praturi A.K., Brodkey R.S. A stereoscopic visual study of coherent structures in turbulent shear flow.-J.Fl.Mech., 1978, p.251-272.

35. Nakagawa H., Nezu J. On a new eddy model in turbulent shear flow.- Proc.of JSCE, 1974, N234, p.61-70.

36. Blackwelder R.F., Eckelmann H. Streamwise vortices associated with the bursting phenomenon.-J.Fl.Mech., 1979, v.94, p.577-594.

37. Grass A.J. Structural features of turbulent flow over snooth and rough boundaries.-J.Fl.Mech., 1971, v.50, p.233-255.

38. Wallace J.M., Eckelmann П., Brodkey R.S. The wall region in the turbulent shear flow.- J.Fl.Mech., 1972, v.54, p.19

39. Wygnaski /., Champagne F. On transition in a pipe.Partl .The origin of puffs and slugs and flow in a turbulent slug.-J.Fl.Mech, 1973, v.59, p.281-335.

40. Струминский В. В. О возможности применения динамических методов для описания турбулентных течений -Турбулентные течения, М.,Наука,

1974, с. 19-23.

41. Филиппов В.М., Струминский В. В. Экспериментальные исследования возникновения и развития турбулентности в трубах.-Турбулентные течения, М.,Наука, 1970, с.240-246.

42. Репик Е.У., Соседко Ю.П., Тронина Н.М. Исследование структуры течения в пристеночной области турбулентного пограничного слоя.-Сб.труд. Сиб. теплофиз. семин., Новосибирск, 1975, с. 186-202.

43. Кутателадзе С.С. Пристенная турбулентность, Новосибирск, Наука, 1973, 228с.

44. Кутателадзе С.С., Миронов Б.П., Накоряков В.Е. Экспериментальное исследование пристенных турбулентных течений, Новосибирск, Наука,

1975, 168с.

45. Хабахпашева ЕМ., Михайлова Е.С., Перепелица Б.В., Ефименко Г.И. Экспериментальные исследования структуры пристенной турбулентности.- Сб.труд. Сиб. теплофиз. семин., Новосибирск, 1975, с.138-162.

46. Шланчяускас А.А., Вегите Н.И. Модель турбулентного слоя, составленная по крупномасштабным перемешиваниям,- Сб.труд. Сиб. теплофиз. семин., Новосибирск, 1975, с.203-207.

47. Morrison W,R.B., Bullock R.Т., Kronauer R.E. Experimental eviderce of waves in the sublayer.-J.Fl.Mech., 1971, v.47,pt.4.

48. Gupta А. К., Lauf er J., Kaplan R.E. Spatial structure in the viscous sublayer. -J.Fl.Mech., 1971, v.50, p.493-512.

49. Clark J.A., Markland E. Flow visualisation in turbulent boundary layers.-J.Hydraulios Div.Proc. ASCE, 1971,N10, p.1653-1660.

50. Комаров П.Л., Поляков А.Ф. Исследование характеристик турбулентности и теплообмена за обратным уступом в щелевом канал е.-Препринт ИВТАН N 2-396, М.,1996, 70с.

51. Шуманн У., Гретцбах Г., Кляйзер Л. Прямые методы численного моделирования турбулентных течений .-В книге "Методы расчета турбулентных течений", М., Мир, 1984, с.464.

52. Самарский A.A. Теория разностных схем . М. Наука. Гл. ред физ.-мат. лит., 1977, 656с.

53. Годунов С.К, Рябенький B.C. Разностные схемы. М. Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1973, 400 с.

54. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена. М. Наука, 1984, 286с.

55. Герценштейн С.Я., Никитин Н.В. Автоколебания конечной амплитуды во вращательном течении Гагена-Пуазейля,- МЖГ, 1984, N5, с. 181-183.

56. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М., Наука, 1970, 288с.

57. Рождественский Б.Л., Стойнов М.И. Алгоритмы интегрирования уравнений Навье-Стокса, имеющие аналоги законам сохранения массы, импульса и энергии. -Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша, 1987, № 119.

58. Струминский В.В. Аэродинамика и молекулярная газовая динамика. М.: Наука, 1985, 240 с.

59. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Метод крупных частиц в газовой динамике. М. Наука. Гл. ред физ.-мат. лит., 1982, 392 с.

60. Патан кар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости: Пер. с англ.- М.: Энергоиздат, 1984, 152 с.

61. Ковеня В.М., Яненко H.H. Метод расщепления в задачах газовой динамики., Новосибирск: Наука, 1981, 304 с.

62. Булгаков В.К., Липанов A.M. Взаимодействие турбулентности и химической реакции в теории эрозионного горения конденсированных веществ,- Хим. физика, 1986, т. 5, N4, с. 548-556.

63. Роди В. Модели турбулентности окружающей среды- В кн.: Методы расчета турбулентных течений/ Под ред. В. Кольмана. М. Мир, 1984, с. 227-322.

64. Rodi W. Simulation Approaches for Turbulent Flows.- Comp. Fluid. Dynamics, 1994, pp. 149-158.

65. Горский Дж.Дж, Говиндан Т.P., Лакишинараяна Б. Расчет трехмерных свиговых турбулентных течений в углах .- Аэрокосмическая техника, 1986, N5, с. 119-129.

66. Найт ДД. Гибридный явно-неявный метод численного решения трехмерных уравнений Навье-Стокса для течений сжимаемого газа.-Аэрокосмическая техника, 1985, N2, с. 132-141.

67. Куон, Плетчер. Метод вязко-невязкого взаимодействия. Часть 2. Приложение к расчету турбулентного течения при обтекании уступа, обращенного по потоку.- Тр. ам. об-ва. инж-мех., ТОИР, 1986, N1, с. 242-248.

68. Пейтел В.К., Роди В., Шойерер Г. Модели турбулентности для течений в пристеночной области с малыми числами Рейнольдса.: Обзор.-Аэрокосмическая техника, 1986, N2, с. 183-197.

69. Чжен К.Ю. Расчет течений в каналах и пограничных слоях на основе модели турбулентности, применимых при низких числах Рейнольдса. -РТК, 1982, N2, с. 30-37.

70. Лущик В.Г., Лавелъев А.А., Якубенко А.Е. Турбулентные течения. Модели и численные исследования.-МЖГ, 1994, N4.

И.Липанов A.M., Кисаров Ю.Ф., Ключников И.Г. Численный метод расчета турбулентных течений и теплообмена в двигателях летательных аппаратов,- Авиационная техника, 1988, N1, с. 49-53.

12. Hunt J.C.R.. Studying turbulence using direct numerical simulation: 1987 Center for Turbulence Research NASA Ames/Stanford Summer Programme.-J. Fluid Mech, 1988, 190, 375-392.

73. О 'Sullivan P.L., Breuer K.S. Transient growth in circular pipe flow. I. Linear disturbances.- Phys. Fluids, 1994, 6, pp. 3643-3651.

74. О'Sullivan P.L., Breuer K.S. Transient growth in circular pipe flow. II. Nonlinear development.- Phys. Fluids, 1994, 6, pp. 3652-3664.

15. Patera А.Т., Orszag S.A. Finite- amplitude stability of axisimmetric pipe-flow.- J. Fluid Mech, 1981, 112, pp.467-474.

76. Boberg L., Brosa U. Onset of turbulence in a pipe.-Z. Naturforsch, 1988, 43a, pp.697-726.

77. Eggels J.G.M., Unger F., Weiss M.H., Westerwell J., Adrian R. J., Friedrich R., Nieuwstadt F.T.M. Fully developed turbulent pipe flow: a comparison between direct numerical simulation and experiment.- J.Fluid Mech., 1994, 268, pp. 175-209.

78. Priymak V.G., Miyazaki T. Efficient implementation of influence matrices and collocation technique in cylindrical coordinates.- In Proc 6 th Internat. Symp. On Comput. Fluid Dyn., 1995, 2, pp. 958-963.

79. Mansour N.N., Kim J., Moin P. Reinolds- stress and dissipation rate budgets in a turbulent channel flow.- J. Fluid Mech., 1988, 194, pp. 15-44.

80. Orszag S.A., Kells L.C. Transition to turbulence in plane Poiseuille and plane Couette flow.- J. Fluid Mech., 1980, 96, pp. 159-205.

81. Kleiser L, Schumann U. Spectral simulation of the laminar-turbulent transition process in plane Poiseuille flow.- In Spectral Methods for Partial Differential Equations.: SIAM, 1984, pp. 141-163.

82. Laurien E., Kleiser L. Numerical simulation of boundary- layer transition and transition control.- J. Fluid Mech., 1989, 199, pp.403-440.

83. Orszag S.A., Patera A.T. Secondary instability of wall- bounded shear flows. -J. Fluid Mech., 1983, 128, pp.347-385.

84. Henningson D., Spalart P., Kim J. Numerical simulation of turbulent spots in plane Poiseuille and boundary- layer flow.-Phys.Fluids,1987,30,pp.2914-2917.

85. Sandhem N.D., Kleiser L. The late stages of transition to turbulence in channel flow.- J. Fluid Mech., 1992, 245, pp.319-348.

86. Marcus P.S., Tuckerman L.S. Simulation of flow between concentric rotating spheres. Part 2. Transitions.- J. Fluid Mech., 1987, 185, pp.31-66.

87. Marcus P.S. Simulation of Taylor-Couette flow.Part 2. Numerical results for wavy-vortex flow with one travelling wave.-J.FluidMech.,1984,146,pp.65-113.

88. Kim J., Hussain F. Propagation velocity of perturbations in turbulent channel flow.- Phys. Fluids, 1993, N3, pp.695-706.

89. Shariff K, Verzicco R., Orlandi P. A numerical study of three-dimensional vortex ring instabilities: viscous corrections and early nonlinear stay.- J. Fluid Mech., vol. 261, 1994.

90. Chie-Cheng Chang, Ruey-Ling Chern. A numerical study of flow around an impulsively started circular cylinder by a determinist vortex method.- J. Fluid Mech., vol. 233, 1991, pp. 243-263.

91. Kristoffersen R, Andersson H.I Direct simulation of low-Reynolds-number turbulent flow in a rotating channel.-J. Fluid Mech.,vol.256,1993, pp. 163-197.

92. Choi H., Moin P., Kim J. Direct numerical simulation of turbulent flow over riblets.- J. Fluid Mech., vol. 255, 1993, pp. 503-539.

93. Grinstein F.F., Kailasanath К. Tree- dimensional numerical simulations of unsteady reactive square jets.- Combustion and flame, 1995, v.100, pp.2-10.

9А. Рождественский Б.Л., Силшкин И.Н. Моделирование турбулентных течений в плоском канале. -ЖВМ и МФ, 1985, Т.25 № 1 с.96-121.

95. Пршмак В.Г., Рождественский Б.Л., Силшкин И.Н. Описание турбулентных течений нестационарными решениями уравнений Навье-Стокса. -Совр. пробл. прикл. матем. и матем. физики,М., 1988, с. 182-200.

96. Приймак В.Г. Результаты и возможности прямого численного моделирования турбулентных течений вязкой жидкости в круглой трубе.-ДАН, 1991, т.316, N1.

97. Пономарев С.Г., Рождественский Б.Л., Стойнов М.И. Структура двумерных пространственно периодических решений уравнений Навье-Стокса: длинноволновый предел.- Математическое моделирование, 1994, т.6, N5.

98. Sandham N.D., Reynolds W.C. Three-dimensional simulation of large eddies in the compressible mixing layer.- J. Fluid Mech., vol. 224, 1991, pp. 133-158.

99. Karniadakis G., Triandafyllou G.S. Three-dimensional dynamics and transition to turbulent in the wave of bluff objects.- J. Fluid Mech., vol. 238, 1992, pp. 1-30.

100.Драммонд Дж., Д., Хуссейни М.Ю., Цанг Т.А. Спектральный метод численного расчета сверхзвуковых реагирующих потоков.-Аэрокосмическая техника, 1987, N9, с. 66-73.

101. Липанов A.M., Кисаров Ю.Ф., Ключников И.Г. Использование конечно-разностных и псевдоспектральных схем высокого порядка точности для расчета взаимодействий акустических колебаний и вихреобразования в каналах со ступенчатым изменением площади,- Деп. в ВИНИТИ, N2462B93, 1993, 32с.

102. Липанов A.M., Кисаров Ю.Ф., Ключников И.Г. Псевдоспектральные и конечно-разностные методы высокого порядка для расчета сжимаемых течений в областях сложной формы.- Труды Второй между нар. науч,-техн. конф.: Актуальн. пробл. фундам. наук, 1994, т.1, ч.1, с.72-73.

103. Хуанг Т.С., Эклунд Дж. Быстрые алгоритмы в цифровой обработке изображений, М.: Радио и связь, 1984, 224 с.

104. Хуссейни М.И., Коприва Д.А., Сейлас М.Д., Цанг Т.А. Спектральные методы решения уравнений Эйлера. Часть 1, 2.-Аэрокосмическая техника, 1986, N2, с.39-57.

105. Никитин Н.В. Спектрально- конечно- разностный метод расчета турбулентных течений несжимаемой жидкости в трубах и каналах.» ВММФ, 1994, Т.34, N6.

106. Никитин Н.В. Прямое численное моделирование 3-х мерных турбулентных течений в трубах кругового сечения - МЖГ, 1994, N6.

107. Никитин Н.В. Пространственный подход к численному моделированию турбулентности в трубах,- ДАН, 1995, т.343, N6.

108. Диянкова Е.В., Широковская О.С. Разностные схемы повышенного порядка аппроксимации для уравнения переноса.- Математическое моделирование, 1994, т. 6, N2.

109. Евсеев Е.Г., Убилава М.Г., Шония В.В. Квазимонотонные разностные схемы для некоторых систем гиперболических уравнений первого порядка Математическое моделирование, 1991, т.З, N5

ПО .Савельев АД Расчеты течений вязкого газа на основе компактных схем 3-го порядка.- ВММФ, т.35, N10.

111. Zalesak S. Т. A Physical Interpretation of the Richtmyer Two- Step Lax-Wendroff Scheme,and its Generalization to Higher Spatial Order.- Advances in Computer Methods for Partial Differential Equations, Publ. IMACS, 1984, pp.491-496.

112. Zalesak S.T. Fully Multidimensional Flux- Corrected Transport Algorithms for Fluids.-Journal of Computation Physics, 1979, N31, pp.335- 362.

113. Оран Э., Борис Дж. Численное моделирование реагирующих потоков: Пер. с англ.- М.: Мир, 1990.-660 е., ил.

114. Пин чу ков В. И. О построении монотонных схем типа предиктор-корректор произвольного порядка аппроксимации.- Математическое моделирование, 1991, т.З, N9.

115. Пин чу ков В. И. Нелинейные сеточные фильтры и монотонизация симметричных схем повышенной точности.- Математическое моделирование, 1995, т.7, N3.

116. Lee S., Lele S.K., Mo in P. Direct numerical simulation of isotropic turbulence interacting with a weak shock wave.-J.Fluid Mech.,vol.251,1993, pp. 533-562.

\\1.Ключников И.Г. Моделирование эволюции двухмерных и трехмерных вихревых течений методами высокого порядка точности.- Труды науч.-техн. конф. ИжГТУ, Ижевск, 1994, с. 153.

118 .Липанов A.M., Кисаров Ю.Ф., Ключников КГ. Численное моделирование развития вихревых структур в отрывных течениях,-Математическое моделирование, 1994, т.6, N 10, с. 13-23.

119. Липанов A.M., Кисаров Ю.Ф., Ключников И.Г. Моделирование эволюции вихреобразования в канале с резким расширением,- Труды Первой Росс, национ. конф. по теплообмену, 1994, т.1, с.171-176.

120.Липанов A.M., Кисаров Ю.Ф., Ключников И.Г. Прямое численное моделирование трехмерных турбулентных течений методами высокого порядка точности.-В кн. "Современные проблемы внутренней баллистики РДТТ", Ижевск, 1996, с.9-37.

121 .Липанов A.M., Кисаров Ю.Ф., Ключников И.Г. Математическое моделирование турбулентных потоков,- Математическое моделирование, 1997, т.9, N 2, с.113-116.

122. Липанов A.M., Кисаров Ю.Ф., Ключников И.Г. Численное моделирование вязких дозвуковых потоков при числе Рейнольдса 104 Математическое моделирование, 1997, т.9, N 3, с.3-12.

123. Липанов A.M., Кисаров Ю.Ф., Ключников И.Г. Класс разностных схем высокого порядка точности для прямого моделирования турбулентных потоков при числе Рейнольдса 105.- В кн. "Применение математического моделирования для решения задач в науке и технике", Ижевск, 1997, с.81-102.

124. Музафаров Х.А., Четверушкин Б.Н. О моделировании задач радиационной газовой динамики на многопроцессорных вычислительных системах.-Математическое моделирование, 1992,т.4, N2.

125. Елизарова Т.Г., Четверушкин Б.Н. Применение многопроцессорных транспьютерных систем для решения задач математической физики.-Математическое моделирование, 1992, т.4, N11.

126. Самарская Е.А., Четверушкин Б.Н., Чурбанова Н.Г., Якобовский М.В. Моделирование на параллельных вычислительных системах процессов распространения примесей в горизонтах подземных вод Математическое моделирование, 1994, т. 6, N4.

127. Козубская Т.К. Численное моделирование одномерных задач радиационной газовой динамики на многопроцессорных системах с распределенной памятью.-Математическое моделирование, 1994, т.6, N7.

128.Липанов A.M., Ключников И.Г., Мохов Е.В. Сравнение прямого и параллельного алгоритмов для модельной задачи о распространении ударной волны,- Математическое моделирование, 1997,т.9,N 2, c.l 11-112.

129. Андерсон Д., Таннехилл Дж, Плетчер Р.. Вычислительная гидромеханика и теплообмен, в 2-х т., М.: "Мир" ,1990.

130. Роуч П. Вычислительная гидромеханика.: Пер. с англ., Мир, 1980, 616с.

131. Федорченко А.Т. О расчетных моделях взаимодействия вихрей с проницаемой границей области дозвукового потока,- ДАН, 1983, т.273, N1, с.66-70.

132. Федорченко А.Т. О проблеме вывода вихрей через проницаемую границу расчетной области нестационарного дозвукового потока.- ЖВМ и МФ, 1986, t.26,N1,c.1 14-129.

133. Федорченко А.Т. Численное исследование нестационарных дозвуковых течений вязкого газа во внезапно расширяющемся плоском канале.-Механика жидкости и газа, 1988, № 4, с. 32-41.

134. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей: В 2-х т,-М, Мир, 1991.

135. NichiokaM., AsaiM., Iida S. Wall phenomena in the final stage of transition to turbulence.- Transition and Turbulence (ed. Meyer R.E.), New York: Academic, 1981, pp.113-126.

136. Kozlov V.V., Ramazanov M.P. Development of finite-amplitude disturbances in Poiseuille flow.-J. Fluid Mech, 1984,147, pp.149-157.

137. Kachanov Yu.S., Levchenko V.Ya. The resonant interaction of disturbances at laminar-turbulent transition in a boundary layer.- J. Fluid Mech., 1984, 138, pp.209-247.

138. Whan G.A., Rothfus R.R.- Amer. Inst. Chem. Eng. J., 1959, vol.5, N2, p.205-208.

139. Patel V.C., Head M.R. Some observations on skin friction and velocity profiles in fully developed pipe and channel flows.-- J. Fluid Mech., 1969, vol. 38, N1, p.181-201.

140. Рождественский Б.Л., Симакин И.Н. Двумерные и трехмерные вторичные течения в плоском канале, их связь и сравнение с турбулентными течениями,- ДАН, 1983, т.273, N3, с.553-558.

141. Абрамович Г.Н., Гиршович Т.А., Крашенинников С.Ю., Секундов А.Н., Смирнова И.П. Теория турбулентных струй.-М., Наука, 1984, 715 с.

142. Kim J., Moin P., Moser R.D. Turbulence statistics in fully developed channel flow at low Reynolds number.- J. Fluid Mech., 1987, 177, pp.133-166.

143. Spalart P.R. Direct simulation of a turbulent boundary layer up to R=1410 -J. Fluid Mech., 1988, 187, pp.61-98.

144. Kreplin H.-PEckelmann H. -Phys Fluids, 1979, v.22, N7, pp. 1233-1239.

145. Abbott D.E., Kline S.J. Experimental investigation of subsonic turbulent flow over single and double backward facing steps.- J. Basic Eng., 84, 317, 1962.-B кн.: Турбулентные сдвиговые течения, М.: Машиностроение, 1982, с.259.

146. Минх X., Шассен П. Возмущения в турбулентном потоке в трубе.- В кн.: Турбулентные сдвиговые течения, М.: Машиностроение, 1982, с.181-202.

147. Госмен А.Д., Халил Е.Е., Уайтлоу Дж.Г. Расчет двумерных турбулентных рециркуляционных течений,- В кн.: Турбулентные сдвиговые течения, М.: Машиностроение, 1982, с.247-269.

148. Amal М., Friedrich R. The Instantaneous Structure of a Turbulent Flow over a Back-Ward-Facing Step.- Separated Flows and Jets.- Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1991, pp.709-717.

149.Armaly B.F., Durst F., Pereira J.C.F. Experimental and theoretical investigation of backward-facing step flow.- J. Fluid Mech., 1983, v. 127, pp.473-496.

150. Кайласанат К, Гарднер Дж.Г., Борис Дж.П., Оран Э.С. Взаимодействие акустических и вихревых волн и процесс низкочастотных колебаний в осесимметричных камерах сгорания.-Аэрокосмическая техника, 1990, N1, с.41-48.

151 .Кайласанат К., Гарднер Дж.Г. и др. Расчет взаимодействия звуковых волн с крупными вихрями в камере сгорания ПВРД с резким расширением на входе.-Аэрокосмическая техника, 1988, N7, с.60-71.

152. Шляжас Р.Б. Турбулентный перенос импульса и тепла в пограничном слое за препятствием: Дисс. канд.тех.наук, Каунас,1984.

153. Мосс БД., Бэкер С., Бредбери ЛДж.С. Измерения средней скорости и рейнольдсовых напряжений в некоторых областях рециркуляционных течений.- В сб. Турбулентные сдвиговые течения, М., Машиностроение, 1982, с.203-213.

154. Итон Дж.К, Джонстон Дж.П. Обзор исследований дозвуковых турбулентных присоединяющихся течений,- Ракетная техника и космонавтика, 1981, т. 19, N10, с.7-19.

155. Адаме Э.Б., Джонстон Дж.П. Структура течения в пристеночной зоне турбулентного отрывного течения.- Ракетная техника и космонавтика, 1989, N5, с.3-13.

156. Крюков В.Н. Исследование турбулентного отрыва за уступом, расположенным по потоку,- В сб. Отдельные задачи тепло- и массообмена между потоками и поверхностями, М., 1986, с.24-28.

157. Даррет Р.П., Стивенсон В.Х., Томпсон ХД. Измерения с помощью ЛДИС радиальной и продольной составляющих скорости в осесимметричном турбулентном потоке воздуха за внезапным расширением сечения трубы.- Современное машиностроение, сер.А, 1989, N7, с.1-7.

158. Oma Т., Итасака M. Отрыв и присоединение потока на плоской пластине с затупленной передней кромкой,- Теоретические основы, 1976, N2, с.321-327.

159. Эббот Д.Е., Клайн С.Дж. Экспериментальное исследование дозвукового турбулентного течения при обтекании одинарных и двойных уступов,- Техническая механика, 1962, т.84, N3, с.20-28.

160. Ким Дж., Клайн С.Дж., Джонстон Дж.П. Исследование присоединения турбулентного сдвигового слоя: обтекание обратного уступа.- Теоретические основы, 1980, т. 102, N3, с. 124-132.

161. Bradshaw P., Wong F.Y.F. The reattachment and relaxation of a turbulent sheer layer.- J. of Fluid Mechanics, 1972, v.52, Pt.l, p.113-139.

162. Смит. Турбулентное течение при симметричном внезапном расширении плоского канала,- Теоретические основы, 1979, т. 101, N3, с.200-206.

163. Brighton S.A., Jones J.B. Fully developed turbulent flow in annuli.- J.of Basic Engineering, 1964, B.835.

164. Синха C.X., Гупта A.K., Оберай M.M. Ламинарное отрывное обтекание уступов и каверн. Часть 1. Течение за уступом.- Ракетная техника и космонавтика, 1981, т.19, N12, с.33-37.

165. Зайков Л.А., Стрелец М.Х., Шур М.Л. Сравнение возможностей дифференциальных моделей турбулентности с одним и двумя уравнениями при расчете течений с отрывом и присоединением. 1. Течение в каналах с обратным уступом, ТВТ, 1995.