Прямое численное моделирование ядерного магнитного резонанса в насыщенных пористых средах с учетом движения фаз тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Клименок, Кирилл Леонидович

  • Клименок, Кирилл Леонидович
  • кандидат науккандидат наук
  • 2018, Москва
  • Специальность ВАК РФ05.13.18
  • Количество страниц 0
Клименок, Кирилл Леонидович. Прямое численное моделирование ядерного магнитного резонанса в насыщенных пористых средах с учетом движения фаз: дис. кандидат наук: 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. Москва. 2018. 0 с.

Оглавление диссертации кандидат наук Клименок, Кирилл Леонидович

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Глава 1. Современное состояние метода ядерного магнитного резонанса в изучении транспорта флиюда в пористых средах и различные методики его моделирования. Обзор литературы

1.1. Физические основы ядерного магнитного резонанса

1.1.1. Поведения спина ядра в магнитном поле

1.1.2. Уравнение Блоха и его решение. Спад свободной индукции. Спиновое эхо

1.1.3. Влияние диффузии на сигнал ЯМР. Уравнение Блоха -Торри

1.1.4. Влияние порового пространства на сигнал ЯМР

1.1.5. Применение ЯМР-пропагатора в экспериментах по изучению диффузии

1.1.6. Использование потокового пропагатора в задачах конвективного переноса

1.2. Методы изучения и моделирования пористых сред и их использование в задачах моделирования ЯМР

1.2.1. Рентгеновская компьютерная томография (микротомография)

1.2.2. Порово-сетевое моделирование

1.2.3. Использование порово-сетевой модели для моделирования ЯМР. Метод случайных блужданий

1.2.4. Прямое моделирование пористых сред. Классические методы вычислительной гидродинамики. Метод решеточных уравнений Больцмана

1.2.5. Метод функционала плотности для задач гидродинамики

1.3. Формулировка основных задач исследования

Глава 2. Моделирование процесса Ядерной магнитной релаксации в пористых средах. Применение модели для получения информации о молекулярном транспорте

2.1. Математические постановки задач

2.1.1. Постановка задачи моделирования ЯМР релаксации в пористых средах

2.1.2. Постановка задачи моделирования расчёта смещения молекул в пористых средах

2.2. Математическое описание расчёта пропагатора методом ЯМР и методом смещения молекул. Их эквивалентность

2.2.1. Метод смещения молекул

2.2.2. Метод ЯМР. Его эквивалентность методу смещения молекул

2.3. Численная реализация решения задач моделирования

2.3.1. Расчетный сетки

2.3.2. Комментарии и упрощения исходных уравнений

2.3.3. Численный метод и учет граничных условий

2.3.4. Тестирование численного метода

2.3.5. Моделирование импульсного воздействия

2.4. Основные выводы второй главы

Глава 3. Моделирование пропагатора для простейших геометрий

3.1. Модельные течения, параметры флюидов, общая методология построения пропагатора

3.1.1. Однофазное течение Пуазейля

3.1.2. Двухфазное течение Пуазейля

3.1.3. Основные параметры исследуемых флюидов

3.1.4. Общая методология построения потокового пропагатора

3.2. Результаты моделирования одномерных потоковых пропагаторов

3.2.1. Однофазное течение Пуазейля

3.2.2. Двухфазное течение Пуазейля

3.2.3. Влияние поверхностной релаксационной активности на потоковый пропагатор

3.3. Моделирование многомерных потоковых пропагаторов

3.3.1. Обобщение методологии построения потоковых пропагаторов на многомерный случай

3.3.2. Двухмерный потоковый пропагатор для течения Пуазейля

Глава 4. Моделирование потокового пропагатора для образцов реальных горных пород и их применение

4.1. Потоковые пропагаторы для моделей образцов реальных горных пород

4.1.1. Потоковый пропагатор для однофазного течения воды в образце Berea B28(1)

4.1.2. Диффузионный пропагатор для стационарного двухфазного распределения в образце Berea B28(2)

4.1.3. Влияние поверхностной релаксационной активности для образцов породы ачимовского горизонта и Fontainebleau

4.1.4. Двухмерный потоковый пропагатор для однофазного течения воды в образце Fontainebleau

4.2. Использование потокового пропагатора для определения порога подвижности фаз

4.2.1. Задача вытеснения гексана водой в модельной геометрии

Заключение

Список литературы

Рекомендованный список диссертаций по специальности «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», 05.13.18 шифр ВАК

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Прямое численное моделирование ядерного магнитного резонанса в насыщенных пористых средах с учетом движения фаз»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования и степень ее разработанности

Ядерный магнитный резонанс (ЯМР) является одним из самых информативных классических физических методов исследования микроструктуры вещества. в методе условно выделяют два основных направления: спектроскопию и релаксометрию, к которой, в частности, относится магнитно-резонансная томография. ЯМР, как физическое явление, основан на резонансном поглощении радиочастотных квантов веществом в сильном магнитном поле. Этот метод широко используется в химии и биологии для структурных исследований макромолекул, например белков. Релаксометрия ЯМР рассматривает процессы установления равновесного состояния ядерной макроскопической намагниченности в статическом магнитном поле. Процесс ядерной магнитной релаксации определяется интенсивностью флуктуирующих магнитных полей в веществе, поэтому изучение этих процессов представляет собой исследование взаимодействий ядерных магнитных диполей с магнитными полями в веществе, а также характера и скорости их молекулярного движения.

Физическими предпосылками эффективного применения ядерно-магнитных исследований нефтегазовых месторождений являются прямая связь измеряемой ядерной намагниченности с количеством водородосодержащей жидкости, насыщающей горные породы, а также высокая чувствительность к ее подвижности на молекулярном уровне. Чтобы оценить надежность метода ЯМР для оценки петрофизических свойств пород с одно- или многофазной насыщенностью, крайне важно иметь детальное теоретическое понимание ядерного магнетизма насыщающих породу жидкостей в условиях сложной геометрии. в случае равновесных флюидосодержащих систем динамика ядерных магнитных моментов содержит информацию об общих значениях насыщения, геометрии и внутренней структуре пор, распределении жидкости, ее составе

и взаимодействии с твердой фазой на границе флюид-порода (адгезия, адсорбция, степень смачиваемости и др.). В неравновесных случаях (течения, фазовые переходы, химические реакции) ЯМР также уверенно отражает гидродинамические и кинетические свойства системы флюид-порода[1]. Таким образом, разработка надежных интерпретационных подходов для анализа ЯМР-релаксации в присутствии молекулярного транспорта требует возможности моделирования многофазных насыщающих жидкостей в пористых средах, которая явно может учитывать динамику ядерной намагниченности в сочетании с конвективным и диффузионным переносом флюидов в порах, а также поверхностным взаимодействием и межфазным обменом.

Цель работы

Целью работы является разработка систем компьютерного и имитационного моделирования процессов ЯМР-релаксации в пористых средах с учетом различной насыщенности и движения фаз, а также их использование для исследования и описания характеристик молекулярного транспорта в поровом пространстве.

Задачи работы

1. Разработка нового математического метода моделирования эволюции намагниченности флюида в пористой среде, его верификация и обобщение для случая многофазного насыщения.

2. Разработка комплекса программ для численной реализации построенной математической модели для томографических образцов реальных горных пород.

3. Использование разработанного комплекса для исследования и расчетов среднего относительного смещения молекул (потокового ЯМР-пропагатора) флюида в образце путем моделирования реальных ЯМР-экспериментов. Проверка соответствия полученных распределений смещений с данными расчета методом переноса пассивной примеси.

4. Описание влияния ЯМР-свойств образца на потоковый ЯМР-пропагатор для модельных и реальных течений.

Научная новизна

Все результаты диссертации являются новыми, в частности:

• Аналитически доказано совпадение потокового пропагатора, построенного методом ЯМР, и суммарного относительного смещения молекул. Сформулированны условия, при которых это совпадение достигается.

• Показано влияние поверхностной релаксационной активности типов горных пород в зависимости от их пористости на структуру потокового ЯМР-пропагатора.

• Предложенная схема моделирования одномерного потокового ЯМР-пропагатора обобщена на двумерный случай.

• Показано использование потокового ЯМР-пропагатора, как инструмента для определения порога подвижности одной из фаз в задачах вытеснения одного флюида другим.

Теоретическая и практическая значимость работы

Теоретическая значимость работы представлена доказательством эквивалентности потокового пропагатора, рассчитанного методом ЯМР, и суммарного относительного смещения молекул в образце, которое позволяет проводить обоснованную интерпретацию результатов лабораторных экспериментов.

Практическая значимость и возможность применения новых научных результатов отражена несколькими направлениями:

1. Предложенная методика позволяет рассчитывать эволюцию сигнала ЯМР в образцах горной породы, полученных на основе данных томографии реальных кернов (цифровой керн), с учетом их геометрических и физических свойств, без различных упрощений.

2. Сопоставление результатов моделирования с экспериментальными данными может быть использовано для оценки и учета влияния свойств породы, например, эффективной поверхностной релаксационной активности.

3. Развитие принципов построения потокового ЯМР-пропагатора на двумерный случай позволяет определять корреляции между характеристиками молекулярного транспорта во взаимно перпендикулярных направлениях.

4. Применение методики расчета потоковых ЯМР-пропагаторов для многофазных течений, в случаях вытеснения одной фазы другой, позволяет определять порог подвижности фаз при построении кривых относительных фазовых проницаемостей.

Методология и методы исследования

В работе использовались методы математического моделирования,

вычислительной математики, проведения численных экспериментов на

многопроцессорных ЭВМ, в частности, метод Маккормака.

Положения, выносимые на защиту

1. Модифицирована математическая модель эволюции сигнала ядерного магнитного резонанса на ядрах водорода в пористых средах с учетом движения фаз, путем добавления конвективного члена, позволяющая рассчитывать намагниченность в образцах, различные последовательности радиочастотных импульсов, используемые в лабораторных ЯМР-экспериментах, а также влияние неоднородностей магнитного поля и поверхностной релаксационной активности.

2. Разработан программный комплекс, реализованный на параллельных системах вычислений с распределенной памятью на ускорителях вычислений на основе GPU, позволяющий рассчитывать эволюцию намагниченности для томографических образцов реальных горных пород.

3. Проведены вычислительные эксперименты, подтверждающие приемлемость использования выбранных численных методов для решения задач на реальных образцах породы.

4. Доказано, что при условии отсутствия поверхностной релаксационной активности и продольной релаксации потоковый ЯМР-пропагатор совпадает с суммарным относительным смещением молекул.

5. Модифицированная модель и разработанный программный комплекс использованы при имитационном и компьютерном моделировании для расчета влияния поверхностной релаксационной активности на структуру потокового ЯМР-пропагатора, а также его применение для определения порога подвижности фаз.

Степень достоверности и апробация результатов

Достоверность полученных результатов обеспечена корректным проведением теоретических исследований с применением методов математического моделирования, совпадением с известными аналитическими решениями, экспериментальными данными, результатами альтернативных методов моделирования, а также согласованностью с теоретическими выводами в работах других авторов.

По теме диссертации автором опубликовано 7 научных работ [2-8], 3 из которых [2-4] в рецензируемых изданиях, рекомендованных ВАК РФ. Результаты исследований докладывались на 57-60-ой научных конференция МФТИ (Москва, 2014-2017), а также на семинарах Московского научно-исследовательского центра Шлюмберже (Москва, 2011-2018) и кафедры информатики и вычислительной математики МФТИ.

Личный вклад

Все работы, кроме одной, выполнены в соавторстве с научным руководителем. Личный вклад автора - разработка метода моделирования и вычислительного алгоритма для расчета сигнала намагниченности, разработка соответствующего комплекса программ, проведение

вычислительных экспериментов и анализ результатов. Основной вклад научного руководителя заключается в постановке задачи и интерпретации некоторых полученных результатов.

Благодарности

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю к.ф.-м.н. А. Ю. Демьянову за постановку темы и неоценимую помощь в процессе работы над диссертацией. Автор считает своим долгом выразить благодарность коллективу Московского научно-исследовательского центра Шлюмберже: А.С. Денисенко, Л.Е. Довгиловичу, О.Ю Динариеву за их помощь и поддержку в ходе работы над диссертацией. особую благодарность автор выражает своей жене к.С. Ануфриевой за личную поддержку на всех этапах работы.

ГЛАВА 1. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ МЕТОДА ЯДЕРНОГО МАГНИТНОГО РЕЗОНАНСА В ИЗУЧЕНИИ ТРАНСПОРТА ФЛИЮДА В ПОРИСТЫХ СРЕДАХ И РАЗЛИЧНЫЕ МЕТОДИКИ ЕГО МОДЕЛИРОВАНИЯ.

ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ. 1.1. Физические основы ядерного магнитного резонанса 1.1.1. Поведения спина ядра в магнитном поле Рассмотрим ядро атома, которое обладает магнитным моментом д и

моментом количества движения Н1. Эти векторы параллельны, поэтому:

д = уМ (11)

где у - скалярная величина, которая называется гиромагнитным отношением[9-11]. Через I принято обозначать ядерный момент количества движения в единицах Н (редуцированная постоянная Планка). Энергия взаимодействия магнитного момента д с внешним магнитным полем с индукцией В0:

и = -(м-ВО) (12)

Если поле направлено вдоль одного из базисных векторов к, то:

и = -Оь-во) = -уНВоЬ (13)

Обозначим через т1 = I, I — 1,..., —I + 1, —I разрешенные значения ; следовательно разрешенные значения энергии:

и = —уНВ0т1 (14)

В магнитном поле ядро, у которого I = 1/2, может находиться в одном из двух энергетических состояний, соответствующих т1 = ±1/2. Если разность этих двух состояний приравнять Нш0, то Нш0 = уНВ0 и, следовательно,

= уВ0 (15)

Это равенство является основным условием магнитного резонансного поглощения.

В случае протона у = 2.675 -108 рад/(с - Т), а для частоты соответственно у(МГц) = 42,58 -В0 (Т) [12]

Воспользуемся классическим описание движения спина во внешнем магнитном поле. Изменение момента импульса системы равно моменту сил, действующих на нее со стороны магнитного поля:

(1.6)

м г

— = [д X Во]

Учитывая (1.1) и исключая из уравнения механический момент получим:

(1.7)

— =[р X уВо]

Решение уравнения (1.7) при различных предположениях о характере зависимости В0 от времени можно получить стандартными методами решения дифференциальных уравнений. Однако в дальнейшем будет удобно применить специальный прием, который заключается в преобразовании координат, или, как его называют в классической литературе по теории ЯМР, переходе во «вращающуюся систему отсчета» [11].

Рассмотрим векторную функцию F(t), которая зависит от времени. Ее можно разложить по базису ¿,у, к, однако предположим, что базисные вектора не неподвижны, а вообще говоря, могут вращаться с мгновенной угловой скоростью Л. Тогда:

( М

ш= [п х

л = [п х Л йк

— = [Л х к]

Тогда производная Р(1) по времени:

(1.8)

йР йР-у

~т = + }-г + к

м м

бх

^ +[П х Р\= — +[П х Р]

(1.9)

Запись 8Р¡8Ь введена для обозначения скорости изменения вектора Р в новой системе отсчета, связанной с ¿, у, к.

Тогда с учетом (1.7) уравнение движения для вектора д в системе координат, вращающейся относительно лабораторной системы координат с произвольной угловой скоростью Л, можно записать в следующем виде:

Из уравнения (1.10) видно, что движение вектора д во вращающейся системе координат будет таким ж, как в лабораторной системе при замене магнитного поля эффективным полем:

Теперь уравнение движение вектора намагниченности легко решается для случая постоянного поля, например В0 = кВ0. Если выбрать эффективное поле равное нулю, то = 0 и, следовательно, вектор намагниченности

покоится в этой вращающейся системе отсчета. Другими словами, вектор намагниченности вращается в лабораторной системе отсчета с угловой скоростью ш0 = уВ0к. Угловая частота называется ларморовской частотой.

Стоит отметить, что полученная из классических предпосылок частота совпадает с результатом, полученным из элементарной квантовой теории для наблюдения магнитного резонансного поглощения[11]. Также рассмотрим влияние переменного внешнего магнитного поля на спин в постоянном магнитном поле. Для упрощения рассмотрим переменное поле с ларморовской частотой ш0 в плоскости (¿,у):

(1.12)

При подстановке (1.12) в исходное уравнение (1.10) можно исключить зависимость от времени, если также воспользоваться системой координат, вращающейся вокруг оси к. В такой системе составляющая переменного поля не будет зависеть от времени. Тогда окончательно (1.10) примет вид:

(1.10)

Вегг = уВо + &

(111)

(1.13)

Таким образом видно, что в случае совпадения частоты переменного внешнего поля и ларморовской частоты в эффективном поле остается только слагаемое связанное с полем Вг. Тогда если в начальный момент времени магнитный момент параллелен постоянному полю В0, то он будет прецессировать в плоскости (/, к). Он также периодически будет принимать направление, антипараллельное В0. Если включить поле В± на короткий промежуток времени t то момент будет поворачиваться на угол в = уВ^. Если выбрать t таким образом, чтобы в = п, то такой импульс просто переворачивает магнитный момент. Такой импульс принято называть 180-градусным. При в = п/2 (90-градусный импульс) магнитный момент будет ориентирован по оси у и после выключения В± момент перестаёт двигаться во вращающейся системе координат, следовательно, в лабораторной системе он будет прецессировать, сохраняя ориентацию, перпендикулярную постоянному полю.

1.1.2. Уравнение Блоха и его решение. Спад свободной индукции.

Спиновое эхо.

Все сказанное выше описывает поведение одного спина в магнитном поле без учета взаимодействия спинов друг с другом и с окружающей средой. Для описания поведения ансамбля спинов, например, в случае сплошных сред, это необходимо учитывать, что было сделано Блохом[13]. Рассматривается система спинов в сильном постоянном поле В0 вдоль оси г и слабом переменном поле Въ которые не коллинеарны. В начальный момент времени суммарная намагниченность спинов направлена параллельно В0. Как было показано выше, вектор намагниченности будет прецессировать вокруг направления Вг во вращающейся системе координат, ориентируясь попеременно параллельно и антипараллельно постоянному магнитному полю. В этом случае намагниченность будет непрерывно менять свою ориентацию по отношению к большему по величине постоянному внешнему полю. При этом энергия, затрачиваемая на поворот спинов от параллельной к антипараллельной ориентации, будет

периодически возвращаться обратно. Такая ситуация напоминает выравнивание населенностей в термодинамической системе с двумя уровнями энергии при наличии связи с тепловым резервуаром («решеткой»). Тогда равновесное значение намагниченности М2 будет устанавливаться по закону: йм1 = Мщ - М2

¿г т± '

Здесь М2 это текущая намагниченность, а Мес[ ее равновесное значение. Тг — это характеристическое время «тепловой» или «продольной» релаксации. Отдельно стоит рассмотреть взаимодействие спинов между собой. Каждый спин создает вокруг себя локальное магнитное поле, но его величина много меньше постоянного поля, в котором находится вся система. Таким образом оно влияет только на поперечные компоненты намагниченности Мх и Му. Отличие скорости затухания колебаний поперечных компонент от продольных заключается в неизменности общей энергии системы, так как не происходит передачи энергии в решетку. Тогда для каждой из поперечных компонент можно записать: йМх Мх

ЧГ = (1.15)

dMy Му

дх = -~т2

Здесь введено Т2 — это характеристическое время для «поперечной» или «спин-спиновой» релаксации. Необходимо прокомментировать, что времена продольной и поперечной релаксации в общем случае для системы спинов не совпадают и Т2<Тг

Объединяя (1.14) и (1.15) с уравнением (1.7), определяющим изменение намагниченности под действием момента внешних сил со стороны магнитного поля и обобщая на случай произвольного направления внешнего поля имеем:

ам

= у[М х (В0 + Вг)] -1 (п0(п0М) - Мед) -1 (М-щ (п0М))

бл

(1.16)

где щ = В0/\В01 — нормированный вектор направления внешнего постоянного магнитного поля.

Уравнение (1.16) на компоненты вектора намагниченности в пространстве называется уравнением Блоха. Это уравнения является несимметричными относительно координат, поскольку с самого начала было выбрано выделенное направление внешнего постоянного магнитного поля. Очевидно, что в случае установившегося равновесия в постоянном однородном внешнем магнитном поле решением уравнения (1.16) является постоянная равновесная намагниченности Мес[, которая сонаправлена с В0. Рассмотрим теперь нестационарный случай установления намагниченности в бесконечном пространстве с постоянными временами релаксации после единичного 90-градусного импульса, переводящего равновесную намагниченность из продольной в поперечную. Этот процесс называется спадом свободной индукции. Для упрощения задачи предположим, что внешнее поле В0 = кВ0, а начальные условия после импульса задаются как Мг=0 = IМ0 Для решения уравнение (1.16) перейдем во вращающуюся с ларморовской частотой систему отсчета и представим намагниченность как сумму продольной(Мц) и поперечной(М±) составляющих, где

Здесь символ I соответствует мнимой единице. Используя такое представление уравнение (1.16) разделяется на два независимых уравнения на каждую из компонент и их решение:

М± = Мх + 1Му Щ = Мг

(1.17)

М± = Мо ех?(-1/Т2) М^ = Мо(1 - ехр^/Т!))

Однако эксперименты показали что характерное время оказывалось много меньше предполагаемых значений Т2. Причиной этого являлось влияние неоднородности внешнего поля, которое зависело от различных аппаратных факторов. Это ограничение позволило обойти открытие такого явления как спиновое эхо [14], которое относится к наиболее значительным вкладам в изучение магнитного резонанса. Оно положило начало развитию импульсных методов в ЯМР.

Рассмотрим ситуацию, когда к группе спинов прикладывается 90-градусный импульс. Как показано выше сигнал поперечной намагниченности затухает экспоненциально с постоянной Т2. Открытие Хана состояло в том, что при возбуждении системы спинов вторым 90-градусным импульсом через время т, в момент времени 2т после первого импульса наблюдался второй сигнал свободной индукции. Это явление было названо спиновым эхом.

Наиболее просто процесс формирования эха и перефразировки спинов объясняется для последовательности 90- и 180-гарусного импульса ( последовательность Карра-Парселла [15]). Предполагается что система спинов находится в постоянном магнитном поле В0 = кВ0 и внутри образца существует разброс полей около среднего значения В0 вдоль вектора к. Поведение спинов рассматривается во вращающейся системе отсчёта с ларморовской частотой. Тогда после первого 90-гдаусного импульса вся намагниченность переходит в поперечную. Неоднородность магнитного поля приводит к распределению скоростей прецессии спинов и их разфазировке. Тогда угол, на который повернутся спины зависит от времени между импульсами т и степени неоднородности 8В = В — В0:

в = утбВ (119)

После 180-градусного импульса ориентация вектора намагниченности изменится на противоположенную и через время т намагниченность повернется обратно на такой же угол в. После совпадения всех фаз в момент 2т, снова происходит их расфазировка, вызванная неоднородностью поля,

и, поэтому, сигнал свободной индукции снова затухает. Тогда для амплитуды спинового эха после такой последовательности можно записать:

М± = М0 ехр(-2т/Т2) (120)

Также были обнаружены и изучены [16] серии спиновых эхо после трех 90-градусных импульсов. Если время между первым и вторым , а между вторым и третьим Т, то, помимо обнаруженных Ханом сигналов в моменты 2т, 2Т - 2т и 2Т, сигналы эха появляются в моменты времени Т + т и 2Т -. Такие эха, индуцированные третьим импульсом, называются также «стимулированными».

1.1.3. Влияние диффузии на сигнал ЯМР. Уравнение Блоха -

Торри.

Затухание спинового эха вследствие объемной диффузии ядер в неоднородном постоянном магнитном поле является одним из многих эффектов, которые позволили ЯМР найти полезные применения в физике и химии. В процессе самодиффузии ядра перемешиваются в пространстве между различными положениями, в которых значения напряженности магнитного поля отличаются и, следовательно, отличаются частоты прецессии. Если выбрать некоторое среднее магнитное поле и перейти во вращающуюся систему отсчета, связанную с ним, то, как было показано выше, в ней вектора намагниченности в разных точка пространства будут поворачиваться на различные углы с течение времени. Благодаря этому возникнет градиент намагниченности. Тогда для него можно будет записать диффузионный поток, используя феноменологический закон Фика для каждой компоненты вектора намагниченности: ]Мх = - БУМХ

]Му = - БУМу (О1)

]Мх = -0ЪМ2

Проводя дальнейшие рассуждения аналогичные выводу уравнения диффузии можно получить дополнительный член для уравнений Блоха,

который связан с диффузией. Эта процедура была проведена Торри [17] и результатом стало обобщенное уравнение Блоха-Торри:

йМ 1 , ч 1 , ч

-— = у[М X В] -- (п0(п0М) - Мед) — — (М — щ(п0М))

М 11 12 (1.22) д /дМ\ д /дМ\ д /дМ\

дх\ дх) ду\ ду) дг\ дг) Рассмотрим влияние диффузии на спад свободной индукции в бесконечном пространстве. Для простоты предполагаем аксиальную симметрию неоднородного поля вдоль базисного вектора к (ось г):

В = В0 + (123)

аг

Начальная поперечная намагниченность после 90-градусного импульса находится в плоскости (х,у). Аналогично предыдущему разделу можно исключить из уравнения (1.22) прецессию, связанную с постоянной составляющей поля, перейдя в систему отсчета, вращающуюся с ларморовской частотой. Также, аналогично (117) разложим намагниченность на продольную и поперечную составляющие. Продольная компонента в независимости от положения в пространстве релаксирует одинаково и диффузия не нее не влияет, ее можно исключить из рассмотрения. Для поперечной составляющей после исключения прецессии уравнение (1.22) преобразуется к виду:

йМ± йВ М, д ( дМ<

& и* 12

ав М± д / дМл п олл

При отсутствии диффузии (Б = 0) и с учетом постоянного Т2 решение уравнения (1.24) имеет вид:

ав \ / г

м

± (г, 0 = М0 ехр 'У^г) ехр (125)

Таким образом видно, что в зависимости от координаты по оси г поперечная намагниченность во вращающейся системе отсчета поворачивается со временем. В лабораторной системе это означает изменение фазы прецессии.

Для учета влияния диффузии рассмотрим плотность намагниченности в слоях образца с координатами 2 - бг, г, г + йг, где йг — малая часть размера рассматриваемого пространства вдоль оси . Эти три плоскости находятся на одинаковом расстоянии друг от друга, потому частоты прецессии отличаются на одну и ту же величину. В момент 1 = 0 фазы прецессии ядер в этих слоях совпадают. Затем вектор намагниченности слоя г + йг опережает намагниченность слоя г, а намагниченность слоя г - йг отстает. Фазы опережения и отставания постепенно растут во времени, но остаются равными. Если спины из двух крайних слоев одинаково диффундируют в центральный слой, то их количество будет одинаково. Поэтому они будут приносить одинаковые по величине добавки как с опережением так и с отставанием по фазе. В результате фаза слоя г не изменится. Таким образом диффузия не влияет на фазу, но влияет на

величину намагниченности. Решение (1.24) ищется в виде М0 ехр ^ I-у — гЛ ехр (- — ) А(¿). Подставив его, получим уравнение на А(¿).

С1 % ) \ Т2/

Окончательный вид решения исходного уравнения:

Ь» = м°ехрО-УТТг11)ехр{-Т2-Вт) (126)

Если вместо спада свободной индукции рассмотреть последовательность из 90- и 180-градусного импульса с разницей во времени т и решить уравнение Блоха-Торри на момент появления спинового эха 2т, то диффузия

дополнительно уменьшит его амплитуду:

I 2, / и.^^

М±{

■(2Т)= Мо еХР {- Щ (127)

Это решение означает, что потеря фазы происходит в каждом интервале времени т.

Дальнейшее развитие экспериментальных методов ЯМР диффузометрии привело к различным доработкам и уточнениям описанных выше идей. В частности, в работе по изучению диффузии в парафинах методом ЯМР [18]

было показано, что сдвиги фаз между слоями в общем случае не равны между собой, а их разность распределена по Гауссу. Эта идея использована в работах [19,20] по измерению коэффициентов самодиффузии различных жидкостей в ограниченных средах, а также для измерения коэффициентов самодиффузии различных жидкостей [21,22].

Все работы, описанные выше использовали постоянный градиент внешнего поля, что приводило к достаточно быстрому затуханию сигнала. Отдельно, параллельно с ними развивались идеи импульсной градиентной техники. Первой работой, где было предложено рассмотреть импульсное включение градиента была работа Стежскала[23], где величина градиента зависела от времени. Исходно была взята стандартная последовательно Карра-Парселла (90-градусный импульс, ожидание , 180-градусный импульс, ожидание , эхо, см. Рис. 1-1) на которую был наложен градиент следующего вида: в0 при 0 < I < ^

Похожие диссертационные работы по специальности «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», 05.13.18 шифр ВАК

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Клименок, Кирилл Леонидович, 2018 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Хаматдинов Р.Т. и др. Ядерномагнитный томографический каротаж //

Каротажник. 2002. Т. 100. С. 138-171.

2. Клименок К.Л., Демьянов А.Ю. Численное моделирование сигнала ядерного магнитного резонанса в насыщенных пористых среда с учетом движения фаз [Электронный ресурс] // Вычислительные методы и программирование. 2017. Т. 18. , № 3. С. 192-203. Режим доступа: http: //num-meth. srcc. msu. ru/zhurnal/tom_2017/v 18г317. html — (Дата обращения 09.09.2018)

3. Клименок К.Л., Демьянов А.Ю., Динариев О.Ю. Влияние релаксационных процессов на потоковые пропагаторы ядерного магнитного резонанса [Электронный ресурс] // Вычислительные методы и программирование. 2018. Т. 19, № 1. С. 112-120. Режим доступа: http://num-meth.srcc.msu.ru/zhurnal/tom_2018/pdf/v19r110.pdf — (Дата обращения 09.09.2018)

4. Клименок К.Л., Динариев О.Ю. Доказательство эквивалентности потокового проагатора и суммарного относительного смещения молекул флюида в пористых средах // Естественные и технические науки. 2018. Т. 4 (118). С. 317-322.

5. Клименок К.Л., Демьянов А.Ю., Динариев О.Ю. Численное моделирование влияния поверхностных эффектов на спектр времен релаксации насыщенных пористых материалов // Труды 57-й научной конференции МФТИ с международным участием, посвященной 120-летию со дня рождения П. Л. Капицы. (24-29 ноября 2014 г. ., М. — Долгопрудный — Жуковский) Молекулярная и химическая физика — М: МФТИ, 2014. — С.84 - 85

6. Клименок К.Л., Демьянов А.Ю., Прямое численное моделирование потоковых пропагаторов в пористых средах с использованием ядерного магнитного резонанса [Электронный ресурс] // Труды 58-й

научной конференции МФТИ с международным участием. — М.: МФТИ, 2015. — 2 с. — Режим доступа: http://conf58.mipt.ru/static/reports_pdf/276.pdf — (Дата обращения 09.09.2018)

7. Клименок К.Л., Демьянов А.Ю., Моделирование потоковых пропагаторов в пористых средах с многофазным насыщением с учетов влияния поверхности [Электронный ресурс] // Труды 59-й научной конференции МФТИ с международным участием. — М.: МФТИ, 2016.

— 2 с. — Режим доступа: http://conf59.mipt.ru/static/reports_pdf/1733.pdf — (Дата обращения 09.09.2018).

8. Клименок К.Л., Демьянов А.Ю. Теоретические основы и моделирование многомерных потоковых пропагаторов // Труды 60-й всероссийско научной конференции МФТИ (20-26 ноября 2017 г., М.

— Долгопрудный — Жуковский). Прикладные математика и информатика. Том 1 — М: МФТИ, 2017. — С. 133 - 134

9. Фаррар Т., Беккер Э. Импульсная и Фурье-спектроскопия ЯМР. Москва: Мир, 1973. 164 С.

10. Чижик В.И. Ядерная магнитная релаксация. СПб: Издательство С.-Петербургского университета, 2000. 388 С.

11. Slichter C.P. Principles of Magnetic Resonance. 3rd ed. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 1990. Vol. 1.

12. Layer H.P. et al. A Low Field Determination of the Proton Gyromagnetic Ratio in Water // IEEE Trans. Instrum. Meas. 1989. Vol. 38, № 2. P. 233237.

13. Bloch F. Nuclear induction // Phys. Rev. 1946. Vol. 70, №№ 7-8. P. 460-474.

14. Hahn E.L. Spin Echoes // Phys. Rev. 1950. Vol. 80, № 4. P. 580-594.

15. Carr H.Y., Purcell E.M. Effects of diffusion on free precession in nuclear

magnetic resonance experiments // Phys. Rev. 1954. Vol. 94, № 3. P. 630638.

16. Norberg R.E., Knoebel H.W. Spin Echo Delay Line: A Memory Device Based on Nuclear Magnetic Resonance (Preliminary Report) // Control Syst. Lab. Rep. no. R-022. 1952.

17. Torrey H.C. Bloch equations with diffusion terms // Phys. Rev. 1956. Vol. 104, № 3. P. 563-565.

18. Douglass D.C., McCall D.W. Diffusion in paraffin hydrocarbons // J. Phys. Chem. 1958. Vol. 62, № 9. P. 1102-1107.

19. Murday J.S., Cotts R.M. Self-diffusion coefficient of liquid lithium // J. Chem. Phys. 1968. Vol. 48, № 11. P. 4938-4945.

20. Neuman C.H. Spin echo of spins diffusing in a bounded medium // J. Chem. Phys. 1974. Vol. 4508. P. 4508-4511.

21. Mccall D.W., Douglass D.C., Anderson E.W. Self-Diffusion Studies by Means of Nuclear Magnetic Resonance Spin-Echo Techniques // Berichte der Bunsengesellschaft für Phys. Chemie. 1963. Vol. 67, № 3. P. 336-340.

22. McCall D.W., Douglass D.C., Anderson E.W. Diffusion in Liquids // J. Chem. Phys. 1959. Vol. 31, № 6. P. 1555-1557.

23. Stejskal E.O., Tanner J.E. Spin Diffusion Measurements: Spin Echoes in the Presence of a Time-Dependent Field Gradient // J. Chem. Phys. 1965. Vol. 42, № 1. P. 288-292.

24. Tanner J.E. Use of the stimulated echo in nmr diffusion studies // J. Chem. Phys. 1970. Vol. 52, № 5. P. 2523-2526.

25. De Swiet T.M., Sen P.N. Decay of nuclear magnetization by bounded diffusion in a constant field gradient // J. Chem. Phys. 1994. Vol. 100, № 8. P. 5597-5604.

26. Brownstein K.R., Tarr C.E. Spin-lattice relaxation in a system governed by

diffusion // J. Magn. Reson. 1977. Vol. 26, № 1. P. 17-24.

27. Brownstein K.R., Tarr C.E. Importance of classical diffusion in NMR studies of water in biological cells // Phys. Rev. A. 1979. Vol. 19, № 6. P. 2446-2453.

28. Kleinberg R.., Horsfield M.. Transverse relaxation processes in porous sedimentary rock // J. Magn. Reson. 1990. Vol. 88, № 1. P. 9-19.

29. Kleinberg R.L. et al. Nuclear Magnetic Resonance of Rocks: T1 vs. T2 // SPE Annu. Tech. Conf. Exhib. 1993. P. 553-563.

30. Kleinberg R.L., Kenyon W.E., Mitra P.P. Mechanism of NMR Relaxation of Fluids in Rock // J. Magn. Reson. Ser. A. 1994. Vol. 108, № 2. P. 206214.

31. Kleinberg R.L. Utility of NMR T2 distributions, connection with capillary pressure, clay effect, and determination of the surface relaxivity parameter p2 // Magn. Reson. Imaging. 1996. Vol. 14, № 7-8. P. 761-767.

32. Slijkerman W.F.., Hofman J.. Determination of surface relaxivity from NMR diffusion measurements // Magn. Reson. Imaging. 1998. Vol. 16, № 98. P. 541-544.

33. Toumelin E., Torres-Verdin C., Chen S. Modeling of Multiple Echo-Time NMR Measurements for Complex Pore Geometries and Multiphase Saturations // SPE Reserv. Eval. Eng. 2003. Vol. 6, № 04. P. 234-243.

34. Перепухов А.М. Применение методов ЯМР к исследованию геометрических характеристик порового пространства гранулярных силикатов и свойств поровых флюидов. Дисс...канд физ.-матю наук 01.04.17/МФТИ(ГУ), — М. 2013.—145 с.

35. Перепухов А. М., Кишенков О.В., Гуденко С.В., Максимычев А.В. Исследование порового пространства силикатов и протонной релаксации флюида магнитно- резонансными методами // Труды МФТИ. 2013. Т. 5, № 3. С. 154-163.

36. Cotts R.M. et al. Pulsed Field Gradient Stimulated Echo Methods for Improved NMR Diffusion Measurements in Heterogeneous Systems // J. Magn. Reson. 1989. Vol. 266, № 83. P. 252-266.

37. Vasenkov S. et al. Determination of genuine diffusivities in heterogeneous media using stimulated echo pulsed field gradient NMR // J. Magn. Reson. 2001. Vol. 149, № 2. P. 228-233.

38. Mutina A.R., Skirda V.D. Porous media characterization by PFG and IMFG NMR // J. Magn. Reson. 2007. Vol. 188, № 1. P. 122-128.

39. Crank J. The Mathematics of Diffusion. Oxford: Oxford university press, 1979. 414 p.

40. Kärger J., Heink W. The propagator representation of molecular transport in microporous crystallites // J. Magn. Reson. 1983. Vol. 51, № 1. P. 1-7.

41. Zibrowius B., Caro J., Kärger J. Application of NMR Spectroscopy to Study Diffusion Anisotropy in Polycrystalline Samples // Z. Phys. Chemie. 1988. Vol. 269, № 1988. P. 1101-1106.

42. Cory D.G. Measurement of translational displacement probabilities by NMR: An indicator of compartmentation // Magn. Reson. Med. 1990. Vol. 14, № 3. P. 435-444.

43. Kärger J. NMR self-diffusion studies in heterogeneous systems // Adv. Colloid Interface Sci. 1985. Vol. 23, № C. P. 129-148.

44. Callaghan P.T. et al. High-resolution q-space imaging in porous structures // J. Magn. Reson. 1990. Vol. 90, № 1. P. 177-182.

45. Van-Den-Begin N. et al. Fast adsorption-desorption kinetics of hydrocarbons in silicalite-1 by the single-step frequency response method // Zeolites. 1989. Vol. 9, № 4. P. 287-292.

46. Callaghan P.T. et al. Diffraction-like effects in NMR diffusion studies of fluids in porous solids // Nature. 1991. Vol. 351, № 6326. P. 467-469.

47. Mitra P.P. et al. Diffusion propagator as a probe of the structure of porous media // Phys. Rev. Lett. 1992. Vol. 68, № 24. P. 3555-3558.

48. Mitra P.P., Sen P.N., Schwartz L.M. Short-time behavior of the diffusion coefficient as a geometrical probe of porous media // Phys. Rev. B. 1993. Vol. 47, № 14. P. 8565-8574.

49. Song Y.Q., Ryu S., Sen P.N. Determining multiple length scales in rocks // Nature. 2000. Vol. 406, № 6792. P. 178-181.

50. Mitra P.P., Halperin B.I. Effects of Finite Gradient-Pulse Widths in Pulsed-Field-Gradient Diffusion Measurements // Journal of Magnetic Resonance, Series A. 1995. Vol. 113, № 1. P. 94-101.

51. Callaghan P.T. et al. Diffusion in porous systems and the influence of pore morphology in pulsed gradient spin-echo nuclear magnetic resonance studies // J. Chem. Phys. 1992. Vol. 97, № 1. P. 651-662.

52. Callaghan P.T. A Simple Matrix Formalism for Spin Echo Analysis of Restricted Diffusion under Generalized Gradient Waveforms // J. Magn. Reson. 1997. Vol. 129. P. 74-84.

53. Kuchel P.W., Coy A., Stilbs P. NMR "diffusion-diffraction" of water revealing alignment of erythrocytes in a magnetic field and their dimensions and membrane transport characteristics // Magn. Reson. Med. 1997. Vol. 37, № 5. P. 637-643.

54. Price W.S. et al. A model for diffusive transport through a spherical interface probed by pulsed-field gradient NMR // Biophys. J. Elsevier, 1998. Vol. 74, № 5. P. 2259-2271.

55. Codd S.L., Callaghan P.T. Spin Echo Analysis of Restricted Diffusion under Generalized Gradient Waveforms: Planar, Cylindrical, and Spherical Pores with Wall Relaxivity // J. Magn. Reson. 1999. Vol. 137. P. 358-372.

56. Mair R.W. et al. Pulsed-Field-Gradient Measurements of Time-Dependent Gas Diffusion // J. Magn. Reson. 1998. Vol. 486. P. 478-486.

57. Jones D.K., Knosche T.R., Turner R. NeuroImage White matter integrity , fi ber count , and other fallacies : The do ' s and don ' ts of diffusion MRI // Neuroimage. Elsevier Inc., 2013. Vol. 73. P. 239-254.

58. Jensen J.H., Helpern J.A. MRI quantification of non-Gaussian water diffusion by kurtosis analysis // NMR Biomed. 2010. Vol. 23, № 7. P. 698710.

59. Assaf Y., Pasternak O. Diffusion Tensor Imaging (DTI)-based White Matter Mapping in Brain Research: A Review // J. Mol. Neurosci. 2008. Vol. 34, № 1. P. 51-61.

60. Cohen Y., Avram L., Frish L. Diffusion NMR Spectroscopy in Supramolecular and Combinatorial Chemistry: An Old Parameter?New Insights // Angew. Chemie Int. Ed. 2005. Vol. 44, № 4. P. 520-554.

61. Valiullin R.R. et al. Molecular exchange processes in partially filled porous glass as seen with NMR diffusometry // Phys. Rev. E - Stat. Physics, Plasmas, Fluids, Relat. Interdiscip. Top. 1997. Vol. 55, № 3. P. 2664-2671.

62. Valiullin R., Skirda V. Time dependent self-diffusion coefficient of molecules in porous media // J. Chem. Phys. 2001. Vol. 114, № 1. P. 452458.

63. Grebenkov D.S. NMR survey of reflected Brownian motion // Rev. Mod. Phys. 2007. Vol. 79, № 3. P. 1077-1137.

64. Lebon L. et al. Pulsed field gradient NMR measurements of probability distribution of displacement under flow in sphere packings // Magn. Reson. Imaging. 1996. Vol. 14, № 7-8. P. 989-991.

65. Lebon L., Leblond J., Hulin J.P. Experimental measurement of dispersion processes at short times using a pulsed field gradient NMR technique // Phys. Fluids. 1997. Vol. 9, № 3. P. 481-490.

66. Kandhai D. et al. Influence of stagnant zones on transient and asymptotic dispersion in macro scopically homogeneous porous media // Phys. Rev.

Lett. 2002. Vol. 88, № 23. P. 2345011-2345014.

67. Kandhai D. et al. Numerical simulation and measurement of liquid hold-up in biporous media containing discrete stagnant zones // Philos. Trans. R. Soc. A Math. Phys. Eng. Sci. 2002. Vol. 360, № 1792. P. 521-534.

68. Bijeljic B. et al. Predictions of non-Fickian solute transport in different classes of porous media using direct simulation on pore-scale images // Phys. Rev. E - Stat. Nonlinear, Soft Matter Phys. 2013. Vol. 87, № 1. P. 19.

69. Bijeljic B., Mostaghimi P., Blunt M.J. Signature of Non-Fickian Solute Transport in Complex Heterogeneous Porous Media // Phys. Rev. Lett. 2011. Vol. 107, № 20. P. 204502.

70. Scheven U.M. et al. Quantitative nuclear magnetic resonance measurements of preasymptotic dispersion in flow through porous media // Phys. Fluids. 2005. Vol. 17, № 11. P. 117107.

71. Scheven U.M., Harris R., Johns M.L. Intrinsic dispersivity of randomly packed monodisperse spheres // Phys. Rev. Lett. 2007. Vol. 99, № 5. P. 14.

72. Scheven U.M., Seland J.G., Cory D.G. NMR propagator measurements on flow through a random pack of porous glass beads and how they are affected by dispersion, relaxation, and internal field inhomogeneities // Phys. Rev. E - Stat. Nonlinear, Soft Matter Phys. 2004. Vol. 69, № 2. P. 021201.

73. Mitchell J. et al. Determining NMR flow propagator moments in porous rocks without the influence of relaxation // J. Magn. Reson. 2008. Vol. 193, № 2. P. 218-225.

74. Seymour J.D., Callaghan P.T. Generalized Approach to NMR Analysis of Flow and Dispersion in Porous Media // AIChE J. 1997. Vol. 43, № 8. P. 2096-2111.

75. Van As H., Van Dusschoten D. NMR methods for imaging of transport

processes in micro-porous systems // Geoderma. 1997. Vol. 80, № 3-4. P. 389-403.

76. Shattuck M.D. et al. Convection and flow in porous media. Part 1. Visualization by magnetic resonance imaging // J. Fluid Mech. 1997. Vol. 332. P. 215-245.

77. Lehoux A.P. et al. Magnetic resonance imaging measurements evidence weak dispersion in homogeneous porous media // Phys. Rev. E. 2016. Vol. 94, № 5. P. 053107.

78. Britton M.M. et al. NMR velocimetry and spectroscopy at microscopic resolution in small rheometric devices // Appl. Magn. Reson. 1998. Vol. 15, № 3-4. P. 287-301.

79. Wassenius H., Callaghan P.T. NMR velocimetry studies of the steady-shear rheology of a concentrated hard-sphere colloidal system // Eur. Phys. J. E. 2005. Vol. 18, № 1. P. 69-84.

80. Callaghan P.T. Rheo-NMR and velocity imaging // Curr. Opin. Colloid Interface Sci. 2006. Vol. 11, № 1. P. 13-18.

81. Callaghan P.T. Rheo NMR and shear banding // Rheol. Acta. 2008. Vol. 47, № 3. P. 243-255.

82. Callaghan P.T. Rheo-NMR: A new window on the rheology of complex fluids // eMagRes. Chichester, UK: John Wiley & Sons, Ltd, 2012. Vol. 1, № 1. P. 155-168.

83. Tessier J.J., Packer K.J. The characterization of multiphase fluid transport in a porous solid by pulsed gradient stimulated echo nuclear magnetic resonance // Phys. Fluids. 1998. Vol. 10, № 1. P. 75-85.

84. Holmes W.M., Graham R.G., Packer K.J. Diffusion in surface-wetting films in a two-phase saturated porous solid characterized by pulsed magnetic field gradient NMR // Chem.Eng.J.(Amsterdam). 2001. Vol. 83, № 1. P. 33-38.

85. Sederman A.., Gladden L.. Magnetic resonance visualisation of single- and

two-phase flow in porous media // Magn. Reson. Imaging. 2001. Vol. 19, № 3-4. P. 339-343.

86. Stapf S., Packer K.J. Two-Dimensional Propagators and Spatio-Temporal Correlations for Flow in Porous Media: a Comparative Study // Appl. Magn. Reson. 1998. Vol. 322. P. 303-322.

87. Khrapitchev A.A. et al. Spectrally resolved velocity exchange spectroscopy of two-phase flow // J. Magn. Reson. 2002. Vol. 159, № 1. P. 36-45.

88. Han S.I., Stapf S., Blümich B. Two-Dimensional PFG NMR for Encoding Correlations of Position, Velocity, and Acceleration in Fluid Transport // J. Magn. Reson. 2000. Vol. 146, № 1. P. 169-180.

89. Stapf S. et al. Spatial correlations and dispersion for fluid transport through packed glass beads studied by pulsed field-gradient NMR // Phys. Rev. E. 1998. Vol. 58, № 5. P. 6206-6221.

90. Packer K.J. et al. The characterisation of fluid transport in porous solids by means of pulsed magnetic field gradient NMR // Magn. Reson. Imaging. 1998. Vol. 16, № 5-6. P. 463-469.

91. Peters E.J., Gharbi R., Afzal N. A look at dispersion in porous media through computed tomography imaging // J. Pet. Sci. Eng. 1996. Vol. 15, № 1. P. 23-31.

92. Dunsmuir J.H. et al. X-Ray Microtomography: A New Tool for the Characterization of Porous Media // SPE Annual Technical Conference and Exhibition. Society of Petroleum Engineers, 1991. Vol. 61, № 12. P. 13051316.

93. Coles M.E. et al. Computed microtomography of reservoir core samples // Proc. 1994 Int. Symp. SCA. 1994. P. 12.

94. Coles M.E. et al. Developments in Synchrotron X-Ray Microtomography With Applications to Flow in Porous Media // SPE Reserv. Eval. Eng. 1998. Vol. 1, № 04. P. 288-296.

95. Spanne P. et al. Synchrotron Computed Microtomography of Porous Media: Topology and Transports // Phys. Rev. Lett. 1994. Vol. 73, № 14. P. 20012004.

96. Hazlett R.D. Simulation of capillary-dominated displacements in microtomographic images of reservoir rocks // Transp. Porous Media. 1995. Vol. 20, № 1-2. P. 21-35.

97. Coker D. a., Torquato S., Dunsmuir J.H. Morphology and physical properties of Fontainebleau sandstone via a tomographic analysis // J. Geophys. Res. Solid Earth. 1996. Vol. 101, № B8. P. 17497-17506.

98. Anovitz L.M., Cole D.R. Characterization and Analysis of Porosity and Pore Structures // Rev. Mineral. Geochemistry. 2015. Vol. 80, № 1. P. 61164.

99. Chatzis I., Dullien F.A.L. Modelling Pore Structure By 2-D And 3-D Networks With ApplicationTo Sandstones // J. Can. Pet. Technol. 1977. Vol. 16, № 01.

100. Diaz C.E., Chatzis I., Dullien F.A.L. Simulation of capillary pressure curves using bond correlated site percolation on a simple cubic network // Transp. Porous Media. 1987. Vol. 2, № 3. P. 215-240.

101. Kantzas A., Chatzis I., Dullien F.A.L. Enhanced oil recovery by inert gas injection // SPE Enhanc. Oil Recover. Symp. 1988.

102. Neuman S.P., Tartakovsky D.M. Perspective on theories of non-Fickian transport in heterogeneous media // Adv. Water Resour. Elsevier Ltd, 2009. Vol. 32, № 5. P. 670-680.

103. Varloteaux C., Bekri S., Adler P.M. Pore network modelling to determine the transport properties in presence of a reactive fluid: From pore to reservoir scale // Adv. Water Resour. 2013. Vol. 53. P. 87-100.

104. Blunt M.J. et al. Detailed physics, predictive capabilities and macroscopic consequences for pore-network models of multiphase flow // Adv. Water

Resour. 2002. Vol. 25, № 8-12. P. 1069-1089.

105. Fatt I. The network model of porous media // Trans. Am. Inst. Min. Met. Pet. Eng. 1956. Vol. 207, № 7. P. 144-177.

106. Silin D.B., Patzek T.W. Predicting Relative-Permeability Curves Directly From Rock Images // SPE Annu. Tech. Conf. Exhib. 2009. № October. P. 4-7.

107. Lindquist W.B. et al. Pore and throat size distributions measured from synchrotron X-ray tomographic images of Fontainebleau sandstones // J. Geophys. Res. Solid Earth. 2000. Vol. 105, № B9. P. 21509-21527.

108. 0ren P.E., Bakke S. Process based reconstruction of sandstones and prediction of transport properties // Transp. Porous Media. 2002. Vol. 46, № 2-3. P. 311-343.

109. Youssef S. et al. Quantitative 3D Characterisation of the Pore Space of Real Rocks : Improved M -Ct Resolution and Pore Extraction Methodology // Int. Symp. Soc. Core Anal. 2007. № September 2015. P. 1-13.

110. Ovaysi S., Piri M. Direct pore-level modeling of incompressible fluid flow in porous media // J. Comput. Phys. Elsevier Inc., 2010. Vol. 229, № 19. P. 7456-7476.

111. Talabi O. et al. Pore-scale simulation of NMR response // J. Pet. Sci. Eng. Elsevier B.V., 2009. Vol. 67, № 3-4. P. 168-178.

112. Talabi O. Pore-Scale simulation of NMR response in porous media. 2008. 167 p.

113. Talabi O., Blunt M.J. Pore-scale network simulation of NMR response in two-phase flow // J. Pet. Sci. Eng. Elsevier B.V., 2010. Vol. 72, № 1-2. P. 1-9.

114. Talabi O.A. et al. Predictive Pore Scale Modeling: From 3D Images to Multiphase Flow Simulations // SPE Annual Technical Conference and Exhibition. Society of Petroleum Engineers, 2008. Vol. 3.

115. Ramakrishnan T.S. et al. Forward Models for Nuclear Magnetic Resonance in Carbonate Rocks // Log Anal. 1999. Vol. 40, № 4. P. 260-270.

116. Adler P.M. Fractal Porous Media III " Transversal Stokes Flow Through Random and Sierpinski Carpets. 1988. Vol. 3. P. 185-198.

117. Manwart C., Hilfer R. Numerical simulation of creeping uid ow in reconstruction models of porous media. 2002. Vol. 314. P. 706-713.

118. Manwart C. et al. Lattice-Boltzmann and finite-difference simulations for the permeability for three-dimensional porous media. 2002. Vol. 66. P. 111.

119. Hlushkou D. et al. Pore-Scale Dispersion in Electrokinetic Flow through a Random Sphere Packing // Anal. Chem. 2007. Vol. 79, № 1. P. 113-121.

120. Higuera F.J., Jim??nez J. Boltzmann approach to lattice gas simulations // Epl. 1989. Vol. 9, № 7. P. 663-668.

121. McNamara G.R., Zanetti G. Use of the boltzmann equation to simulate lattice-gas automata // Phys. Rev. Lett. 1988. Vol. 61, № 20. P. 2332-2335.

122. Succi S. The Lattice Boltzmann Equation for Fluid Dynamics and Beyond. Oxford: Oxford university press, 2001. 101 p.

123. Maier R.S. et al. Simulation of flow through bead packs using the lattice Boltzmann method. 2012. Vol. 60, № 1998.

124. Pan C., Hilpert M., Miller C.T. Lattice-Boltzmann simulation of two-phase flow in porous media. 2004. Vol. 40, № 2. P. 1-14.

125. Kang Q., Lichtner P.C., Zhang D. Lattice Boltzmann pore-scale model for multicomponent reactive transport in porous media. 2006. Vol. 111, № July 2005. P. 1-12.

126. Yang J., Crawshaw J., Boek E.S. Quantitative determination of molecular propagator distributions for solute transport in homogeneous and heterogeneous porous media using lattice Boltzmann simulations // Water

Resour. Res. 2013. Vol. 49, № 12. P. 8531-8538.

127. Yang J., Boek E.S. Pore Scale Simulation of Flow in Porous Media using the lattice-Boltzmann method // SPE Annual Technical Conference and Exhibition. 2011. P. 1-13.

128. Демьянов А.Ю., Динариев О.Ю., Евсеев Н.В. Основы метода функционала плотности в гидродинамике. Москва: Физматлит, 2009.

129. Demianov A., Dinariev O., Evseev N. Density Functional Modelling in Multiphase Compositional Hydrodynamics // Can. J. Chamical Eng. 2011. Vol. 89, № April. P. 206-226.

130. Dinariev O., Evseev N. Multiphase flow modeling with density functional method // Comput. Geosci. Computational Geosciences, 2015.

131. Демьянов А.Ю., Динариев О.Ю. Пименение метода функционала плотности для численного моделирования течений многокомпонентных многофазных смесей // Прикладная Механика и Техническая Физика. 2004. Vol. 45, № 5. P. 68-78.

132. Самарский А.А., Вабищевиц П.Н. Численные методы решения задач конвекции-диффузии. Москва: Едиториал УРСС, 2004. 248 p.

133. Maccormack R.W., Lomax H. Numerical solution of compressible viscous flows // Annu. Rev. Fluid Mech. 1979. Vol. 11, № 1. P. 289-316.

134. Maccormack R.W. A Numerical Method for Solvingthe Equations of CompressibleViscous Flow for Solving of Compressible Viscous // AIAA J. 1982. Vol. 20, № 9. P. 1275-1281.

135. Patankar S. V. Numerical heat transfer and fluid flow: Computational methods in mechanics and thermal science. CRC press, 1980.

136. Yee H.C. Upwind and symmetric shock- capturing schemes // NASA Ames Research Center Technical Memoranda. 1987. № 89464. 130 p.

137. Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию).

Москва: Наука, 1977. 440 С.

138. Валландер С.В. Лекции по гидроаэромеханике. Ленинград: Издательство Ленинградского университета, 1978. 296 С.

139. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1978. 486 С.

Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.