Прямой расчет турбулентного течения вязкой несжимаемой жидкости в трубе эллиптического сечения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Воронова, Татьяна Владимировна

• Воронова, Татьяна Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Воронова, Татьяна Владимировна

Введение

Структура диссертации и апробация результатов

1 Обзор известных исследований

1.1 Ламинарное установившееся движение вязкой несжимаемой жидкости в трубе эллиптического сечения

1.2 Линейная устойчивость течения Пуазейля в трубе эллиптического сечения.

1.3 Результаты расчетов турбулентных течений в областях различной формы.

1.4 Краткая сводка вычислительных подходов.

2 Вычислительный метод

2.1 Постановка задачи.

2.2 Пространственная дискретизация

2.3 Определение давления.

2.4 Схема интегрирования по времени.

3 Результаты расчета

3.1 Алгоритмические и геометрические параметры задачи

3.2 Характеристики течения в установившемся режиме.

3.3 Вторичные течения.

3.4 Баланс кинетической энергии пульсаций

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Прямой расчет турбулентного течения вязкой несжимаемой жидкости в трубе эллиптического сечения»

Прямой расчет, основанный на численном решении полных уравнений Навье-Стокса, превратился за последние годы в надежный метод исследования физики турбулентных течений. Многочисленные примеры свидетельствуют о хорошем согласии результатов прямых расчетов с экспериментом [1]. Данный метод не требует какой-либо априорной информации в виде эмпирических констант или подгоночных коэффициентов для расчета исследуемого течения. Такой подход зачастую является даже предпочтительным по сравнению с экспериментальными подходами, поскольку обеспечивает практически неограниченную по детальности информацию о структуре исследуемого течения.

Главная трудность на пути численного изучения турбулентности связана с величиной диапазона динамически значимых масштабов, свойственных турбулентным течениям, которые должны быть адекватно разрешены на дискретном уровне. Для расчета пристенных турбулентных течений при больших числах Рейнольдса объем вычислений пропорционален Re1'2. Последнее ограничивает численные исследования весьма невысокими числами Рейнольдса. Другое существенное ограничение связано со степенью сложности геометрии течений, доступных для прямого расчета.

В настоящее время довольно подробно изучены как численно, так и экспериментально одномерные в среднем течения. В классе пристенных течений большинство исследований проведено для плоского канала, асимптотического погранслоя над плоской пластиной, трубы круглого сечения [2]—[8].

Течения, средние характеристики которых зависят от двух координат, например, течения в некруглых трубах, интересны в прикладном и научном плане не только большей пространственной сложностью, но и наличием так называемых турбулентных вторичных течений, именуемых также вторичными течениями Прандтля 2-ого рода. Вторичные течения — это организованные движения жидкости в плоскости, перпендикулярной к направлению основного потока. В отличие от вторичных течений Прандтля 1-ого рода, возникающих в потоках вдоль вогнутой поверхности под действием центробежных сил как в турбулентных, так и в ламинарных потоках, вторичные течения Прандтля 2-ого рода — исключительно турбулентное явление, вызываемое анизотропией компонент тензора напряжений Рейнольдса. Интенсивность турбулентных вторичных течений невелика (как правило 1-3% от средней скорости потока), однако их вклад в процессы переноса импульса, массы, примеси в поперечной к направлению потока плоскости весьма значителен. Непосредственное измерение вторичных течений в экспериментальных условиях затруднительно, поскольку их величина сравнима с точностью измерений. Отсутствие достоверных экспериментальных данных задерживает разработку приближенных методов расчета таких течений [9]. В этих условиях прямой расчет оказывается практически единственным источником надежной информации о свойствах и структуре вторичных течений в некруглых трубах. До недавнего времени численное исследование турбулентных течений с неодномерными средними характеристиками ограничивалось трубами прямоугольного сечения [10]—[12].

Эллиптическая труба является незначительной модификацией классической трубы и простейшим типом трубы некруглого сечения. Несмотря на это для турбулентных течений вязкой несжимаемой жидкости в трубах эллиптического сечения в литературе до недавнего времени отсутствовали какие-либо данные об их свойствах и структуре. Для данного типа труб были лишь подробно описаны свойства ламинарного течения вязкой несжимаемой жидкости [13] и проведено исследование линейной устойчивости ламинарного течения [14]. Целью настоящей работы являлись прямой расчет и анализ турбулентных течений в трубах эллиптического сечения, описание интегральных и пульсационных характеристик, изучение структуры вторичных течений.

Структура диссертации и апробация результатов

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Воронова, Татьяна Владимировна

Заключение

Проведены прямые расчеты турбулентного течения вязкой несжимаемой жидкости в трубе эллиптического сечения с соотношением полуосей Ь/а — 0.5 при Re = 4000 и Re = 6000 (число Рейнольдса Re вычисляется через среднюю скорость и гидравлический диаметр). Использован метод решения уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкости в криволинейных ортогональных координатах, основанный на центрально-разностной дискретизации по пространству и полунеявном методе Рунге-Кутты 3-его порядка точности для интегрирования по времени. Для решения уравнения Пуассона при определении давления используется алгоритм Быстрого Преобразования Фурье. Результаты работы хорошо согласуются с результатами, полученными ранее методом виртуальных границ [52].

Рассчитанные течения в турбулентном режиме характеризуются существенным повышением коэффициента сопротивления по сравнению с ламинарным режимом течения. Относительная разница с коэффициентом сопротивления, полученным из закона Блазиуса для некруговых труб, для обоих чисел Рейнольдса не превышает 3%.

Показано, что максимальная средняя продольная скорость течения в трубе в турбулентном режиме меньше, чем в ламинарном режиме, и профили скорости становятся более наполненными в радиальном направлении. При Re = 6000 для профиля средней продольной скорости вдоль меньшей полуоси эллипса четко выделен логарифмический участок. Известно, что при невысоких числах Рейнольдса профили скорости отклоняются в верхнюю сторону от линии, соответствующей универсальному логарифмическому закону стенки, что и наблюдается при Re = 4000.

Наибольший уровень пульсаций скорости наблюдается в пристенной области. Максимальное значение интенсивности достигается на меньшей полуоси эллипса. Азимутальная зависимость четко выражена для интенсивности поперечных пульсаций. Показано, что вблизи стенки турбулентные пульсации существенно анизотропны. Кроме того, вблизи стенки показатель степени неизотропности турбулентных пульсаций практически не зависит от угла.

В пристенной области 0 < d+ < 30 в распределении продольной скорости наблюдаются вытянутые вдоль потока полосы ускоренного и замедленного движения, почти периодически чередующиеся в боковом направлении. Считается, что с образованием и разрушением данных структур связана наибольшая часть производства напряжений Рейнольдса и кинетической энергии турбулентности. Применение критерия, связывающего значения показателя степени неизотропности турбулентных пульсаций с наличием полос на определенном расстоянии от стенки, показывает, что полосы выражены при d+ < 30 — 35. Это согласуется с описанным видом распределений продольной скорости.

Описано поведение всех членов уравнения баланса кинетической энергии пульсаций, характеризующих производство, диссипацию и перераспределение энергии по сечению трубы. Диффузия кинетической энергии за счет пульсаций давления так же как и конвективный перенос энергии вторичным течением во всей области течения малы по сравнению с другими членами уравнения энергии. Качественно процессы производства, диссипации и диффузии кинетической энергии происходят одинаково вдоль всего периметра сечения трубы и качественно совпадают с распределением соответствующих характеристик в плоском канале. Вместе с тем, имеется заметное количественное отличие. В отдалении от стенки в узкой части трубы наблюдается повышенное положительное значение турбулентной диффузии. При пониженном уровне пульсаций в этой части трубы такое аномальное поведение может объясняться переносом энергии в тангенсальном направлении из области более интенсивных колебаний. Также необходимо отметить следующую особенность распределения производства энергии. Внутри координатных четвертей максимум производства энергии по радиальному направлению при нормировке на местные вязкие масштабы ведет себя не монотонно вдоль периметра трубы. Наибольшие значения наблюдаются в промежуточной области. Это связано с наличием углового градиента средней скорости и неоднородностью распределения энергии пульсаций по сечению трубы.

Локальное трение в турбулентном режиме более равномерно распределено по границе по сравнению с ламинарным режимом. При обоих числах Рейнольдса описано поведение турбулентного касательного напряжения, вязкого трения и их суммы: общего касательного напряжения вдоль меньшей полуоси эллипса. Турбулентное трение достигает наибольшего значения вблизи стенки, на стенке и в центре трубы оно нулевое. Показано, что в отдалении от стенки полное касательное напряжение определяется в основном турбулентным трением.

Рассчитаны вторичные течения в плоскости поперечного сечения, свойственные турбулентным течениям в некруглых трубах. Линии тока вторичных течений представлены двумя парами вихрей. Жидкость растекается от центра трубы к стенке вдоль больших полуосей и возвращается обратно вдоль малых. Максимальная скорость вторичных течений составляет примерно 1% от средней скорости потока, однако, вторичные течения вносят определяющий вклад в формирование распределения средней продольной скорости.

Из уравнений Рейнольдса для поперечных компонент средней скорости получено уравнение для средней продольной завихренности в эллиптической системе координат. Один из источниковых членов уравнения отвечает генерации завихренности благодаря неоднородному вдоль стенки распределению разности нормальных поперечных напряжений Рейнольдса. (Отметим, что в трубе круглого сечения или в плоском канале анизотропия нормальных напряжений Рейнольдса не создает вторичного течения из-за однородности разности напряжений Рейнольдса вдоль стенки.) Другой источниковый член определяет вклад сдвигового напряжения Рейнольдса. Показано, что главным фактором, определяющим форму и интенсивность вторичного течения, является вклад первого источникового члена. Вклад второго члена является противоположным по знаку, однако не является определяющим.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Воронова, Татьяна Владимировна, 2007 год

1. Moin P., Mahesh К. Direct numerical simulation: a tool in turbulence research // Ann. Rev. of Fluid Mech. 1998. V. 30. P. 539-578.

2. Рождественский Б. JI., Симакин И.Н. Secondary flow in a plane channel: their relashionship and comparison with turbulent flows // J.Fluid.Mech. 1984. V. 147. P. 261-289.

3. Kim J., Moin P., Moser R. Turbulence statistics in fully developed channel flow at low Reynolds number //J. Fluid Mech. 1987. V. 177. P. 133-166.

4. Spalart P.R. Direct simulation of a turbulent boundary laer up to Ree = 1410 11 J. Fluid Mech. 1988. V. 187. P. 61-98.

5. Приймак В.Г. Результаты и возможности прямого численного моделирования турбулентных течений вязкой жидкости в круглой трубе // ДАН СССР. 1991. Т. 316. N.1 С. 71-76.

6. Eggels J.G.M., Unger F., Weiss M.H., Westerweel J., Adrian R.J., Friedrich R., Nieuwstadt F. T.M. Fully developed turbulent pipe flow: a comparison between direct numerical simulation and experiment //J. Fluid Mech. 1994. V. 268.1. P. 175-209.

7. Никитин H.B. Прямое численное моделирование трехмерных турбулентных течений в трубах кругового сечения // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 1994. № 6. С. 14-26.

8. Никитин Н.В. Статистические характеристики пристенной турбулентности // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 1996. № 3. С. 32—43.

9. Demuren А. О., Rodi W. Calculation of turbulence-driven secondary motion in non-circular ducts // J. Fluid Mech. 1984. V. 140. P. 189-222.

10. Gavrilakis S. Numerical simulation of low-Reynolds-number turbulent flow through a straight square duct //J. Fluid Mech. 1992. V. 244. P. 101-129.

11. Huser A., Biringen S. Direct numerical simulation of turbulent flow in a square duct //J. Fluid Mech. 1993. V. 257. P. 65-95.

12. Никитин H.B. Численное моделирование турбулентных течений в трубе квадратного сечения // Докл. РАН. 1997. Т. 353. № 3. С. 338-342.

13. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа // Учебник для вузов. — 7-е изд., испр. 2003. С. 389-392.

14. R.R. Kerswell, A. Davey On the linear instability of elliptic pipe flow // J. Fluid Mech. 1996. V. 316. P. 307-324.

15. Воронова Т.В., Никитин H.B. Прямой расчет турбулентных течений в трубе эллиптического сечения // ЖВМ и МФ. 2006. N 46(8). С. 1477 -1485.

16. Воронова Т.В., Никитин Н.В. Результаты прямого расчета турбулентного течения в трубе эллиптического сечения // Изв. РАН. МЖГ. 2007. N 2. С. 59 70.

17. Воронова Т.В. Прямой расчет турбулентного течения в трубе эллиптического сечения. // Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность: Матер, междун. конференции.—Моск. обл., 26 февраля 5 марта 2006г. - М., 2006. - С. 26.

18. Воронова Т.В., Никитин Н.В. Прямой расчет турбулентных течений вязкой несжимаемой жидкости в трубах эллиптического сечения. // Ломоносовские чтения: тез. докл. научной конференции. Секция механики; г. Москва, апрель 2006г. М., 2006. - С. 46.

19. Воронова Т.В. Результаты прямого расчета турбулентного течения в трубе эллиптического сечения при Re = 4000 и Re = 6000. // Ломоносовские чтения: тез. докл. научной конференции. Секция механики; г. Москва, апрель 2007г. М., 2007. - С. 131.

20. L.M. Hocking The stability of flow in an elliptic pipe with large aspect ratio // Q.J. Mech. Appl. Maths 1977. V. 30. P. 343-353.

21. M.C. Potter Stability of plane Couette-Poiseuille flow // J. Fluid Mech. 1966. V. 24. P. 609-619.

22. F.D. Hains Stability of plane Couette-Poiseuille flow // Phys. Fluids 1967. V. 10. P. 2079-2080.

23. W.C. Reynolds, M.C. Potter Finite-amplitude instability of parallel shear flow // J. Fluid Mech. 1967. V. 27. P. 465-492.

24. T. Tatsumi, T. Yoshimura Stability of laminar flow in a rectangular duct // J. Fluid Mech. 1990. V. 212. P. 437-449.

25. Deardorff J. W. A numerical study of three-dimensional turbulent channel flow at large Reynolds numbers 11 J.Fluid Mech. 1970. V. 41. P. 453-480.

26. Schumann U. Subgrid scale model for finite difference simulations of turbulent flows in plane channels and annuli // J.Сотр. Phys. 1975. V. 18. P. 376—404.

27. Moin P., Reynolds W. C., Ferziger Large eddy simulation of incompressible turbulent channel flow // Rep. TF-12. Dept Mech. Engng, Stanford Univ.

28. Moin P., Kim J. Numerical investigation of turbulent channel flow // J.Fluid.Mech. 1982. V. 118. P. 341-377.

29. Moser R.D., Moin P. Direct numerical simulation of curved turbulent channel flows j I NASA TM-85874.

30. Moin P., Kim J. The effects of curvature in wall-bounded turbulent flows 11 J.Fluid.Mech. 1987. V. 175. P. 479-510.

31. Рождественский Б. JI. О применимости разностных методов решения уравнений Навье—Стокса при больших числах рейнольдса // ДАН СССР. Т. 211. С. 308-311.

32. Рождественский Б.JI., Стойнов М.И. Алгоритмы интегрирования уравнений Навье—Стокса, имеющие законы сохранения массы, импульса и энергии: Предпринт N.119. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша. 28

33. Приймак В.Г. Семейство псевдоспектральных алгоритмов интегрирования уравнений Навье—Стокса в цилиндрической системе координат // ЖВМ и МФ 1992. Т. 32. N.8 С. 1291-1309.

34. Пономарев С.Г., Приймак В.Г., Рождественский B.JI. Статистически стационарные решения уравнений Навье—Стокса в кольцевом канале. Гидродинамические характеристики и пространственно-временная структура // ЖВМ и МФ 1988. Т. 28. N.9 С. 1354-1366.

35. Reynolds О. Experimental investigation of the circumstances wich determine whether the motion of water shall be direct or sinous and the law of resistance in parallel channels // Phil. Trans Roy. Soc. London. V. 174. P. 935-982.

36. Никурадзе И. Закономерности турбулентного движения жидкостей в гладких трубах. Проблемы турбулентности. М.—JL: ОНТИ НКТП СССР.

37. Laufer J. The structure of turbulence in fully developed pipe flow: NASA Rep 1174.

38. Salwen H., Grosch C.E. The stability of Poiseuille flow in a pipe circular cross-section 11 J.Fluid.Mech. 1972. V. 54. P. 93-112.

39. Вилъгелъми T.A., Голъдштик M.A., Сапоэюников В.А. Устойчивость течения в круглой трубе // Изв. АН СССР. МЖГ. N.1 С. 20-24.

40. Salwen Н., Cotton P., Grosch C.E. Linear stability of Poiseuille flow in a circular pipe // J.Fluid.Mech. 1980. V. 98. P. 273-284.

41. Никитин H.B. О жестком возбуждении автоколебаний в течении Гагена— Пуазейля // Изв. АН СССР. МЖГ. 1984. N.5. С. 181-183.

42. Приймак В.Г., Рождественский Б.Л. Вторичные течения вязкой несжи-• маемой жидкости в круглой трубе и их статистические свойства // ДАН

43. СССР. 1987. Т. 297. N.6 С. 1326-1330.

44. Никитин Н.В. Возможности и результаты прямого численного моделирования турбулентности в трубах кругового сечения: // Отчет N.4334. М.: Ин-т механики МГУ. 1993.

45. Fasel Н., Rist U., Konzelmann U. Numerical investigation of the three-dimensional development in boundary-layer transition // AIAA J. 1990. V. 28. P. 29-37.

46. Fasel H., Konzelmann U. Non-parallel stability of a flat-plate boundary layer using the complete Navier—Stokes equations I j J.Fluid.Mech. 1990. V. 221. P. 311-347.

47. Никитин Н.В. Временной и пространственный подходы к численному моделированию турбулентности: // Отчет N.4387. М.: НИИ Мех. МГУ. 1994.

48. Никитин Н.В. Пространственный подход к численному моделированию турбулентности в трубах // Докл. РАН. 1995. Т. 343. № 6. С. 767-770.

49. Kleiser L., Zang Т. Numerical simulation of transition in wall-bounded shear flows // Ann. Rev. Fluid Mech 1991. V. 23.

50. Никитин Н.В. Прямое численное моделирование турбулентных течений в трубах // Автореферат докторской диссертации. Москва, 1996.

51. Никитин Н.В. Прямой расчет турбулентных течений в эксцентрических трубах // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2006. Т. 46(3). С. 509-525.

52. Nikitin N. Finite-difference method for incompressible Navier—Stokes equations in arbitrary orthogonal curvilinear coordinates // J. Comput. Phys. 2006. V. 217(2). P. 759-781.

53. Nikitin N., Yakhot A. Direct numerical simulation of turbulent flow in elliptical ducts // J. Fluid Mech. 2005. V. 532. P. 141-164.

54. Harlow F.H., Welch J.E. Numerical calculation of time-depent viscousincompressible flow of fluid with free surface // Phys. Fluids 1965. V. 8. N.12 P. 2182-2189.

55. Williams G.P. Numerical integration of the three-dimensional Navier— Stokes equations for incompressible flow // J.Fluid.Mech. 1969. V. 37. P. 727— 750.

56. Петров Г.И. Применение метода Галеркина к задаче об устойчивости течения вязкой жидкости // ПММ. Т. 4 N.3 С. 3—12.

57. Cooley J.W., Тикеу J.W. An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series // Math. Сотр. 1965. V. 16. P. 297-301.

58. Orszag S.A. Numerical simulation of incompressible flows within simple boundaries. 1. Galerkin (spectral) represantations // Stud. Appl .Math. 1971. V. 50. P. 293-327.

59. Orszag S.A., Kells L.S. Transition to turbulence in plane Poiseuille flow and in planCouette flow // J.Fluid.Mech. 1980. V. 96. P. 159-205.

60. Рождественский Б.JI., Симакин И.Н. Моделирование турбулентных течений в плоском канале // ЖВМ и МФ 1985. Т. 25. N.1 С. 96-121.

61. Никитин Н.В. Неустойчивость вязких течений в каналах: // Отчет N.2750. М.: Ин-т механики МГУ. 1982.

62. Никитин Н.В. Нелинейное развитие возмущений в плоском течении Пу-азейля // Вестн. Моск. ун-та. Мат-ка, мех-ка. 1984. N.6. С. 62—65.

63. Никитин Н.В. Переходные процессы при течении вязкой несжимаемой жидкости в трубе круглового сечения: // Отчет N.2866. М.: Ин-т механики МГУ. 1983.

64. Никитин Н.В. Неустойчивость течений в осесимметричных каналах: // Отчет N.3044. М.: Ин-т механики МГУ. 1984.

65. Герценштейн С.Я., Никитин Н.В. Автоколебания конечной амплитуды во вращательном течении Гагена—Пуазейля // Изв. АН СССР. МЖГ. 1985. N.4 С. 22-28.

66. Orszag S.A. Numerical simulation of incompressible flows within simple boundaries: accuracy // J.Fluid.Mech. 1971. V. 49. P. 75-112.

67. Rai M.M., Moin P. Direct simulations of turbulent flow using finite-difference schemes // J. Comput. Phys. 1991. V. 96. P. 15.

68. Никитин H.B. О характере вторичных течений во вращающейся трубе // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 1992. № 6. С. 29-35.

69. Peskin C.S. Flow patterns around heart valves: a numerical method //J. Сотр. Phys 1972. V. 10. P. 252-271.

70. Никитин H.B. Численное исследование ламинарно-турбулентного перехода в круглой трубе под действием периодических входных возмущений // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 2001. № 2. С. 42-55.

71. Jimenez J., Moin P. The minimal flow unit in near-wall turbulence // J. Fluid Mech. 1991. V. 225. P. 213.

72. Harlow F.H., Welsh J.E. Numerical calculation of time-dependent viscous incompressible flow with free surface // Phys. Fluids. 1965. V. 8. P. 2182— 2189.

73. Kim J., Moin P. Application of a fractional-step method to incompressible Navier-Stokes equations // J. Comput. Phys. 1985. V. 59. P. 308.

74. А.А. Самарский, А.В. Гулин Численные методы математической физики // М.:Научный мир. 2003. 316с.

75. Spalart P.R., Moser R.D., Rogers M. Spectral methods for the Navier-Stokes equations with one infinite and two periodic directions //J. Comput. Phys.1991. V. 96. P. 297.

76. Verzicco R., Orlandi P. A finite-difference scheme for the three-dimensional incompressible flows in cylindrical coordinates //J. Comput. Phys. 1996. V. 123. P. 402.

77. Nikitin N. Third-order-accurate semi-implicit Runge-Kutta scheme forincompressible Navier-Stokes equations // Int. J. Num. Meth. Fluids. 2006. V. 51(2). P. 221-233.

78. Brown D.L., Cortez R., Minion M.L. Accurate projection methods for the incompressible Navier-Stokes equations //J. Comput. Phys. 2001. V. 168. P. 464-499.

79. Dukowicz J.K., Dvinsky A.S. Approximate factorization as a high order splitting for the implicit incompressible flow equations // J. Comput. Phys.1992. V. 102. P. 336-347.

80. Perot J.B. An analysis of the fractional step method //J. Comput. Phys.1993. V. 108. P. 51-58.

81. Никитин H.B. Спектрально-конечно-разностный метод расчета турбулентных течений несжимаемой жидкости в трубах и каналах //Ж. вы-числ. матем. и матем. физ. 1994. Т. 34. № 6. С. 909-925.

82. Choi Н., Moin P. Effects of the computational time step on numerical solutions of turbulent flow //J. Comput. Phys. 1994. V. 113. P. 1-4.

83. Ham F.E., Lien F.S., Strong A.B. A fully conservative second-order finite difference scheme for incompressible flow on nonuniform grids // J. Comput. Phys. 2002. V. 177. P. 117-133.

84. Lee M., Kim JMoin P. Structure of turbulence at high shear rate // J. Fluid Mech. 1990. V. 190. P. 561-583.

85. Kline S.J., Reynolds W.C., Schraub F.A., Runstadler P.W. The structure of turbulent boundary layer // J. Fluid Mech. 1967. V. 30. P. 741-773.

86. Corino E.R., Brodkey R.S. A visual investigation of the wall region in turbulent flow // J. Fluid Mech. 1967. V. 37. P. 1-30.

87. Kim H.T., Kline S.J., Reynolds W.C. The production of turbulence near a smooth wall in turbulent boundary layer //J. Fluid Mech. 1971. V. 50. P. 133-160.

88. Голъштейн С. (ред.) Современное состояние гидроаэродинамики вязкой жидкости// 1948. г. 1-2. М.: ИЛ.

89. Монин А.С., Яглом A.M. Статистическая гидромеханика // 1965,1967. г. 1-2. М.: Наука.

90. Mansour N.N., Kim J., Moin P. Reynolds-stress and dissipation rate budgets in a turbulent channel flow //J. Fluid Mech. 1988. V. 194. P. 15-44.