Прямые и обратные задачи при исследовании колебаний радиально-неоднородных цилиндрических областей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Мнухин Роман Михайлович

• Мнухин Роман Михайлович
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Мнухин Роман Михайлович

Оглавление

Стр.

Введение

Глава 1. Постановки задач для неоднородных цилиндрических

тел

1.1 Постановки прямых задач при анализе продольно-радиальных

колебаний неоднородного упругого цилиндра

1.2 Постановки обратных задач при анализе продольно-радиальных

колебаний неоднородного упругого цилиндра

1.3 Прямые и обратные задачи в условиях плоской деформации

1.3.1 Постановки задач о крутильных колебаниях

неоднородного упругого кольца

1.3.2 Постановки задач для радиально-неоднородного

пороупругого цилиндра

1.3.3 Постановки задач для пьезоэлектрического диска при

наличии предварительного состояния

1.3.4 Постановки задач для предварительно напряженной трубы

Глава 2. Исследование обратных задач для неоднородного

упругого цилиндра

2.1 Исследование прямой задачи о продольно-радиальных

колебаниях на основе метода пристрелки. Численные

результаты. Сравнение с МКЭ

2.2 Исследование прямой задачи о крутильных колебаниях кольца.

Численные результаты

3

Стр.

2.3 Исследование прямой задачи о продольно-радиальных

колебаниях, возбуждаемых действием касательной нагрузки.

Численные результаты

2.4 Обратная задача в первой постановке. Вычислительные

эксперименты

2.5 Обратная задача во второй постановке

2.6 Обратная задача по нахождению модулей Ламе

2.7 Обратная задача по нахождению модулей Ламе и плотности

Глава 3. Исследование обратной задачи для неоднородного

пороупругого цилиндра в условиях плоской

деформации

3.1 Исследование прямой задачи. Численные результаты

3.2 Формулировка итерационного процесса

3.3 Вычислительные эксперименты

Глава 4. Некоторые задачи об оценке уровня предварительных

напряжений

4.1 Исследование прямой задачи для пьезодиска

4.2 Исследование прямой задачи для предварительно напряженной

трубы

4.3 Исследование обратной задачи для пьезодиска. Оценка уровня

предварительного состояния по изменению резонансных частот

4.4 Исследование обратной задачи для предварительно

напряженной трубы

Заключение

Список литературы

4

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Прямые и обратные задачи при исследовании колебаний радиально-неоднородных цилиндрических областей»

Введение

Базовые соотношения и законы современной классической механики были

заложены к концу XIX века многими известными учеными, что способствова­

ло окончательному формированию ее фундаментальных основ. Исследованием

обратных задач (ОЗ) занимался ряд исследователей даже в давние времена.

Ярким примером работ в этой области является вопрос о форме Земли, возни­

кавший еще во времена Аристотеля в IV веке до нашей эры. Теории строились

либо на том, что удавалось зрительно наблюдать, либо на некоторых предполо­

жениях, которые сейчас называют дополнительной информацией. Оба подхода

позволяли решать сформулированную «обратную задачу» с разной степенью

точности. Аналогичный пример представлен в книге [1], когда ежесекундно

необходимо решить задачу о реконструкции картины, возникающей перед гла­

зами человека. В данной ситуации, в качестве априорной информации мозг

человека использует уже известные ранее и запечатленные в памяти фрагмен­

ты, по которым и удается восстановить общую искомую картину. Однако, не

для всех задач этой дополнительной информации бывает достаточно. В таких

ситуациях возникает вероятность появления ошибок реконструкции, и, тем са­

мым, формируется новое понятие — «некорректная задача».

Прежде чем ввести определения обратной и некорректной задач, необ­

ходимо сформулировать понятие «прямой задачи» (ПЗ). ПЗ состоит в том,

чтобы определить следствия (компоненты физических полей) при заданных

причинах. Чаще всего к «причинам» относятся свойства материала объекта

исследования (модуль Юнга, коэффициент Пуассона, плотность или парамет­

ры Ламе), характерные параметры трещин в дефектоскопии, коэффициенты

дифференциальных операторов, граничные условия и другие. В ОЗ ситуация

противоположная — по известным следствиям требуется определить причи­

ны, причем зачастую это приводит к необходимости построения операторной

связи между следствиями и причинами. На практике именно перемещения,

5

напряжения, электрический потенциал и другие механические характеристи­

ки (следствия) внутри всего тела являются неизвестными, что приводит к

необходимости решать соответствующие ОЗ об идентификации различных одно­

родных или неоднородных характеристик. Одним из первых примеров ОЗ было

исследование Гаусса и Лежандра в 19 веке, состоящее в том, чтобы определить

траекторию планеты по данным астрономических наблюдений. Уже тогда было

очевидно, что решение этой задачи представляет трудность, поскольку наблю­

дения изначально имеют некоторую погрешность измерения. По этой причине

Гаусс и Лежандр изменили исходную постановку и пришли к задаче минимиза­

ции функционала невязки, что позволило сформулировать метод наименьших

квадратов в его современном представлении [2].

К основным типам ОЗ относятся: граничные, ретроспективные, коэффи­

циентные (КОЗ) и геометрические. Граничные и ретроспективные ОЗ приводят

к исследованию линейных задач. В свою очередь, постановки, к которым

приводит исследование коэффициентных и геометрических задач, являются

нелинейными. КОЗ подразделяются на два основных вида — КОЗ, в ко­

торых неизвестной является функция одной или нескольких переменных,

и конечномерные КОЗ. Одним из примеров конечномерных КОЗ являются

задачи идентификации постоянных коэффициентов дифференциальных опера­

торов при заданной дополнительной информации. Этот класс задач является

одним из важнейших в силу вариативности его использования в задачах

математического моделирования (идентификация постоянных коэффициентов

дифференциальных операторов, описывающих деформирование стержней или

малые колебания систем материальных точек), а также возможности примене­

ния не только к КОЗ, но и к другим ОЗ (задачи идентификации сферических

полостей, дефектов в балках и параметров из граничных условий).

Стоит отметить, что в ОЗ известными считаются компоненты физиче­

ских полей только на части поверхности тела и играют роль дополнительной

информации, используемой при решении задачи. На сегодняшний день рассмат­

риваются два способа задания дополнительной информации: в случае первой

6

постановки решение может быть задано внутри рассматриваемого объекта; во

второй постановке решение считается известным только на границе тела. С

практической точки зрения использование второй постановки является более

оправданным в силу активного развития различных датчиков, позволяющих

измерять механические поля на поверхности объекта исследования. В случае

использования некоторой дополнительной информации о решении постановка

задачи сводится к необходимости исследования конечномерных КОЗ. Когда

сформулированная система является линейной, решение ОЗ идентификации

ее параметров может быть получено одним из двух способов. Первый подход

приводит к исследованию СЛАУ. Сложность здесь состоит в необходимости

использования производных от известных решений (неустойчивые системы),

что решается применением сплайнов. Второй способ основан на использовании

экспоненциальных представлений с комплексными показателями при решении

дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Для нахож­

дения показателей и коэффициентов можно воспользоваться методом Прони

(Гаспар Риш) [3], предложенным в далеком 1795 году при исследовании раз­

личных законов расширения газов, или методом минимизации функционала

невязки. В общем случае неоднородности, когда в КОЗ искомые параметры яв­

ляются функциями одной или нескольких координат, операторные соотношения

не могут быть представлены в явном виде. Соответственно, такие КОЗ явля­

ются одними из наиболее трудных. При исследовании новых задач механики

деформируемого твердого тела (механика композитов и функционально-гради­

ентных материалов (ФГМ), геофизика, биомеханика) оказалось недостаточно

моделей, опирающихся на гипотезы изотропии и однородности. Это привело

к необходимости развития теории упругости неоднородного тела. К основным

сложностям такого класса задач относятся: решение линейных дифференци­

альных уравнений высоких порядков при произвольных законах изменения

коэффициентов и исследование сложных нелинейных (и почти всегда некор­

ректных) ОЗ, получаемых при формулировке постановки задачи. Основные

методы и постановки задач теории упругости неоднородного тела изложены

7

в монографии В.А. Ломакина [4], которая была переиздана в 2014 году. Книга

содержит плоские и пространственные статические задачи для упругих тел с

механическими свойствами, являющимися функциями одной или нескольких

координат. Рассмотрен ряд классических задач о кручении и изгибе брусьев,

обладающих неоднородными свойствами.

Характерными особенностями некорректных ОЗ является их нелиней­

ность, неединственность решения и неустойчивость по отношению к малым

возмущениям входной информации. Три условия корректности ОЗ были сфор­

мулированы французским ученым Жаком Адамаром в 1932 году [5]. На

сегодняшний день существует несколько способов построения приближенно­

го решения и преодоления некорректности, одним из которых является метод

регуляризации А.Н. Тихонова [6; 7]. Данный метод опирается на построение

стабилизирующего функционала, зависящего от параметра регуляризации, ко­

торый, в свою очередь, связан с погрешностью входных данных. К особенностям

метода регуляризации Тихонова стоит отнести способ поиска параметра регуля­

ризации, начального приближения для формирования итерационного процесса,

и критерий его останова. Поиск начального приближения можно осуществлять

путем минимизации функционала невязки на некотором компактном множе­

стве, которое может быть построено по априорной информации из ОЗ. Такой

подход приводит к определенным вычислительным затратам. Критерием оста­

нова итерационного процесса может служить наперед заданное количество

итераций или достижение малости правой части системы.

На сегодняшний день опубликовано множество работ, посвященных ис­

следованию различных типов ОЗ. Одной из первых работ по данной тематике

является труд немецкого ученого Германа Вейля [8], который занимался

реконструкцией формы барабана по изменению его резонансных частот. Ис­

следованию класса КОЗ об идентификации одного или нескольких модулей

материала дала толчок работа Густава Герглотца о шаре [9]. В 1929 году со­

ветский ученый Виктор Амбарцумян опубликовал работу [10], посвященную

8

исследованию ОЗ Штурма-Лиувилля для задачи о колебаниях струны. Спустя

22 года советские ученые Израиль Гельфанд и Борис Левитан разработали ана­

литический метод для получения решения ОЗ рассеяния с помощью уравнения

Гельфанда-Левитана-Марченко [11]. В дальнейшем исследование задач иденти­

фикации параметров дифференциальных операторов и задач рассеяния было с

успехом поддержано Новосибирской школой механики в 60-80-х годах [1;12–14].

Применение моделей пороупругости, термоупругости и электроупругости

для неоднородных тел привлекает все большее внимание исследователей в по­

следнее время [15–20]. В работе французского ученого Э. Санчес-Паленсии [21],

которая была переведена на русский язык, отдельное внимание уделено по­

строению усредненных моделей для композитов и неоднородных сред с целью

упрощения численных расчетов получаемых дифференциальных уравнений.

Представлены постановки конкретных статических задач в рамках моделей

теории упругости, вязкоупругости, электромагнитоупругости и пороупругости.

Только развивающимся задачам теории рассеяния и дифракции посвящена

вторая половина книги. Фундамент для дальнейшего развития задач для

неоднородных волноводов был заложен в монографии И.И. Воровича и В.А. Ба­

бешко [22]. В работе был рассмотрен ряд важных прикладных динамических

задач для слоистых сред с переменными свойствами. Исследованию колебаний

слоистых тел также посвящена книга [23]. В монографии [24] изложены ме­

тоды решения ОЗ для полуплоскости в нестационарной постановке в случае

анизотропного упругого тела. В работах [25; 26] проведен подробный анализ и

численное исследование ОЗ для моделей теории упругости.

Интенсивное развитие ОЗ идентификации неоднородного поля предва­

рительных напряжений (ПН) в упругом теле началось сравнительно недавно

[27; 28]. Первые исследования в этой области были проведены Э. Треффтцем

[29]. А развитие [30–35] теория неоднородных ПН получила только с усовершен­

ствованием компьютеров и математических пакетов компьютерной алгебры.

Также необходимо отметить ряд монографий по тематике ОЗ, содержащих об­

зор актуальных исследований в данной области [2; 36–44].

9

Основные типы ОЗ, возникающих в механике деформируемых твер­

дых тел, порождены необходимостью преодолеть недостаток информации о

свойствах системы (деформируемого твердого тела или конструкции) [26].

Математические и численные методы реконструкции природных объектов, на­

ходящихся на некотором удалении от границы, таких как трещины, полости или

включения, являются предметом многих исследований, например, [20; 45–59].

Упругие волны (ультразвуковые волны или волны Лэмба) также часто ис­

пользуются в неразрушающем контроле конструкций [60–64]. Идентификация

законов распределения [65–78] (например, модулей упругости, массовой плот­

ности, скорости волн) возникает в различных областях, например, в медицине

для визуализации тканей [79] или в сейсморазведке [44; 80–84]. Восстановление

ПН [30; 31; 85; 86] является смежной темой, важной с точки зрения практи­

ческого применения. Модели сложных инженерных сооружений часто имеют

локальные параметры, которые неизвестны с достаточной точностью, и по­

этому их необходимо корректировать по данным эксперимента об отклике

конструкции на силовые или температурные воздействия. Далее возникает необ­

ходимость обновления исходной математической модели, что также трактуется

как ОЗ [87–92], поскольку поправки параметров осуществляются в некото­

рой заранее неизвестной ограниченной области. Идентификация источников

или недоступных граничных условий (например, задачи Коши для оператора

теории упругости) описана в работах [93–98]. Наконец, методы решения ОЗ раз­

рабатываются для задач идентификации однородных распределений свойств на

конструкциях со сложным напряженно-деформированным состоянием [99–103].

По степени воздействия на объект исследования методы диагностики

ПН условно можно разделить на три класса: разрушающие, полуразруша­

ющие и неразрушающие [104; 105]. Выбор конкретного метода определяется

несколькими факторами (доступность объекта для исследования, тип матери­

ала, геометрия области и т.п.).

Основными разрушающими и полуразрушающими методами в конструк­

тивных элементах являются следующие подходы: секционирование (изготов­

10

ление срезов) и метод бурения скважин. К методам разрушающего контроля

обычно относят предпусковые или периодические гидравлические испытания

аппаратов, а также механические испытания образцов металла, вырезанных из

их элементов. Например, на заводах стройиндустрии производятся выборочные

испытания отдельных изделий из состава всей партии. Применение таких ме­

тодов обычно вызывает дополнительные материальные и трудовые затраты и,

кроме того, отсутствует полная уверенность в высоком качестве всей партии

изделий.

Наиболее востребованными являются неразрушающие методы: рентгенов­

ская и нейтронная дифракция, ультразвуковой метод, магнитный метод, метод

акустической эмиссии и метод фотоупругости. Они применяются при исследова­

нии объектов ответственного назначения (обшивки летательных, космических и

подводных аппаратов, оболочки реакторов и т.п.), режим эксплуатации которых

не допускает даже частичного разрушения [106–108]. Эти методы становятся

все более важны с точки зрения оценки повреждений, связанных с усталостью,

так как многие структурные компоненты — мосты, авиационные конструк­

ции или морские платформы, должны быть периодически обследованы с

целью предотвращения серьезных повреждений или даже отказа. Основными

достоинствами таких методов являются мобильность, экономичность, возмож­

ность применения к различным материалам и оперативность проведения всего

цикла исследования. Еще одним преимуществом является отсутствие необхо­

димости в подготовке образца перед испытанием [109]. Стоит отметить, что

неразрушающий контроль при проведении обследований может быть полно­

стью автоматизирован. Одним из примеров его применения является контроль

железнодорожного транспорта, осуществляемый с помощью дефектоскопов,

установленных на вагонах и тележках. Для получения наиболее полной инфор­

мации о состоянии конструкций и сооружений используют комплекс методов

различного класса, каждый из которых взаимодополняет друг друга.

11

Акустический метод является наиболее оптимальным с точки зрения воз­

можности его применения к широкому классу объектов различной формы и

структуры [28;110–112]. Этот подход основан на анализе акустических данных,

получаемых в ходе диагностики. Их применяют для обнаружения поверхност­

ных и внутренних дефектов (нарушений неоднородности структуры, дефектов

склейки, сварки и т.п.) в деталях и изделиях, изготовленных из различных

материалов. Следует отметить, что на сегодняшний день в рамках акустическо­

го метода много работ посвящено решению задачи реконструкции однородных

[104; 108; 112–115] и неоднородных ПН [116; 117]. Такие напряжения содержатся

в теле при отсутствии внешних наблюдаемых нагрузок и возникают на этапе

производства в ходе различных технологических операций (литья, прокатки,

крутки, формовки, сварки и т.п.) [34; 118]. При этом распределение ПН в теле

обычно является существенно неоднородным [33; 119–122]. Наибольшая кон­

центрация таких напряжений обычно наблюдается в окрестности различных

дефектов (полостей, трещин, включений), сварных швов, зон деструкций.

В настоящее время конструктивные элементы, выполненные из неод­

нородных материалов, широко применяются во многих областях, таких как

автомобилестроение, аэрокосмическая отрасль, строительство и медицина.

Создание материалов с переменными механическими свойствами является

сложным технологическим процессом, обычно состоящим из ряда этапов, та­

ких как спекание, плавление, послойное прессование, напыление и т.д. [123]

Влияние материалов на различные области жизнедеятельности человека всегда

было достаточно сильным. С давних пор люди научились изготавливать компо­

зитные материалы, которые обеспечивали простоту и удобство их применения.

Одним из ярких примеров такого композита является бронза — сплав олова и

меди. Этот материал был изобретен и часто использовался в эпоху бронзово­

го века [124], еще за 3700 лет до нашей эры. Спустя 2500 лет люди проявляли

интерес к железу. Композитные материалы привлекли людей своей легкостью,

прочностью и гибкостью. Они обеспечивают устойчивость к коррозии и износу.

Недостатком композиционных материалов является резкий градиент свойств на

12

стыке материалов, что зачастую приводит к отслоению. В 1984 году японские

исследователи в рамках работы над аэрокосмическим проектом разработали

новое поколение композитов, которые назвали ФГМ [125]. Новый вид матери­

ала должен был выдерживать температурный переход от внутренней части к

наружной, а также обеспечить преодоление недостатка композитов. За десять

лет до этого, Шен и Бевер [126] вели разработку композита с градиентными

свойствами, однако прекратили работу из-за сложностей с оборудованием для

его изготовления.

На сегодняшний день ФГМ являются одними из наиболее распространен­

ных материалов, а их свойства могут изменяться по нескольким пространствен­

ным координатам. Применение ФГМ при изготовлении различных изделий

становится все более распространенным. Объекты, изготовленные из таких ма­

териалов, имеют ряд преимуществ по сравнению с объектами, изготовленными

из однородных и кусочно-однородных материалов, в том числе существенное

снижение вероятности появления трещин и расслоений, более экономное рас­

ходование материала при создании конструкций с заданными прочностными

характеристиками. Процесс производства неоднородных материалов с необхо­

димыми переменными свойствами является достаточно сложным и требует

на последнем этапе осуществление строгой процедуры оценки качества изде­

лия. Знание законов изменения материальных свойств позволяет более точно

осуществлять комплексные расчеты на прочность, устойчивость и анализ соб­

ственных колебаний, которые обычно проводятся для объектов ответственного

назначения.

За последние два десятилетия количество научных публикаций в этой об­

ласти значительно возросло [127]. Обзор работ по ФГМ за период с 2000 по

2007 представлен в статье [128], содержащей 299 источников. В качестве од­

ного из выводов отмечается важность учета переменных свойств при сильном

градиенте их изменения.

Свойства ФГМ, в отличие от композитов, изменяются непрерывно, что

оказывает влияние на физические, химические и механические характеристики

13

материалов: модуль Юнга, коэффициент Пуассона, модуль сдвига, плотность и

коэффициент теплового расширения [129–132]. На сегодняшний день развитие

ФГМ связано с расширением методов их исследования, а также многочис­

ленными попытками ученых усовершенствовать их структуру и свойства.

Технологические аспекты создания ФГМ и история развития некоторых ма­

тематических моделей описаны в работах [123; 128; 133–137].

Элементы из ФГМ, имеющие цилиндрическую форму, являются составны­

ми частями многих конструкций (соединительные детали, подпорки, несущие

опоры, трубы, штоки, цистерны, магистральные трубопроводы, гидравлические

системы и т.д.). Эти части конструкций зачастую подвергаются вибрацион­

ным воздействиям в процессе эксплуатации. Учет функционально-градиентных

(ФГ) свойств позволяет правильно оценить влияние неоднородности материала

и более точно проводить анализ основных акустических характеристик объек­

та: резонансных частот, амплитуд смещений, полей напряжений и перемещений.

Ниже приведен краткий обзор работ, посвященных исследованию влияния ФГ

свойств цилиндров на их акустические характеристики.

В работе [138] проведены расчеты собственных частот осесимметричных

колебаний толстостенного полого 2-D функционально-градиентного цилиндра

на основе уравнений трехмерной теории упругости. Принято, что свойства мате­

риала изменяются по степенным законам и зависят от радиальной и продольной

координат. Решение задачи строится с помощью метода конечных элементов

(МКЭ). Исследовано влияние неоднородных свойств материала на значения

собственных частот. Для частного случая однородного цилиндра проведено

сравнение значений первых собственных частот с известными ранее резуль­

татами.

В работе [139] рассмотрены свободные колебания цилиндров, состоящих из

ортотропных тонких слоев. Компоненты вектора перемещения представляются

в виде произведения функции, зависящей от радиальной координаты, и триго­

нометрических функций, зависящих от окружной и продольной координаты.

Предложен численный метод расчета собственных частот колебаний, основан­

14

ный на методе Ритца. Оценка точности этого метода проведена для однородного

изотропного цилиндра путем сравнения с известными результатами [140]. По­

строены графики зависимости компонент вектора перемещений и напряжений

от радиальной координаты для различных слоистых цилиндров.

Авторы статьи [141] рассматривают одномерную задачу для толстостен­

ного ФГ цилиндра под действием внутреннего давления в рамках линейной

теории упругости. Принято, что материал является изотропным с постоянным

коэффициентом Пуассона, модуль упругости является переменным по радиаль­

ной координате и изменяется по экспоненциальному закону. Решение задачи

об определении радиальной компоненты поля перемещения ищется в виде сте­

пенных рядов согласно методу Фробениуса. Построены графики напряжений и

перемещений по толщине цилиндра для различных значений параметра неод­

нородности (показателя степенной функции модуля Юнга).

В статье [142] рассмотрена одномерная задача для ФГ толстостенного по­

лого цилиндра, находящегося под действием динамической нагрузки. Свойства

материала (модуль Юнга и плотность) изменяются по радиальной координате

согласно представленному степенному закону (на внутренней части цилиндра —

керамика, на внешней — металл). При этом считается, что цилиндр состоит из

множества тонких слоев, на каждом из которых свойства материала приняты

постоянными. Задача об определении функции смещения решается с помощью

МКЭ. Исследованы динамические характеристики ФГ толстостенного полого

цилиндра при различных значениях показателя степенной функции, описы­

вающей переменные свойства материала. Построены графики распределения

радиальных и окружных напряжений для больших значений времени. Проведе­

ны сравнения решений для частного случая изотропного толстостенного полого

цилиндра с постоянным внутренним давлением.

Авторы статьи [143] на основе трехмерной теории упругости изучили ко­

лебания сплошных изотропных ФГ круговых цилиндров. Свойства материала

(параметры Ламе и плотность) изменяются по радиальной координате соглас­

но степенному закону. Решение строится на основе разложений в ряд Фурье по

15

окружной координате и разложений в степенной ряд по радиальной координа­

те. Получены значения собственных частот, построены графики мод колебаний

(крутильные, осесимметричные, изгибные) и напряжений. Отмечено, что полу­

ченные результаты отличаются от известных ранее результатов для однородных

цилиндров.

В работе [144] проведен численный анализ напряженно-деформированно­

го состояния полых многослойных композитных и функционально-градиентных

цилиндров, находящихся под действием механических нагрузок. На основе

принципа Рейсснера получены сильные и слабые постановки для этой задачи

в рамках трехмерной теории упругости. Неизвестные функции (компоненты

вектора перемещения и напряжений) представляются в виде разложений в

тригонометрические ряды по продольной и окружной координате. В каче­

стве конкретного примера рассмотрен случай, когда нагрузка распределена

по синусоидальному закону на боковой поверхности. Представлены значения

компонент напряжений и перемещений в критических точках, рассчитанные с

помощью предлагаемого метода бессеточной коллокации и метода Галеркина

для различного числа узлов в слоистом композитном и одно- и многослойном

ФГ цилиндре. При моделировании переменных свойств (модуль Юнга) в ФГ

цилиндре использовался степенной закон с различными значениями показате­

ля степени.

Авторами статьи [145] на основе КЭ постановки проведен структурный

анализ ФГ полых цилиндров. В качестве закона изменения свойств цилиндра

по радиальной координате на основе правила смеси использована степенная

функция с различным показателем. Разработана КЭ постановка на основе

специально созданного цилиндрического элемента, допускающего изменение

свойств вдоль толщины, что приводит к значительному снижению числа требу­

емых элементов и избавляет от необходимости разбивать поперечное сечение.

В качестве примера рассмотрен цилиндр, внутренняя часть которого состоит

из меди, а внешняя часть — из вольфрама. На цилиндр действуют различные

статические нагрузки. Представлены результаты расчетов деформированного

16

состояния. В качестве второго примера рассматриваются оболочки. Осуществ­

лен модальный анализ при закреплении типа «защемление-свободный край».

Полученные результаты сравниваются с КЭ анализом в ANSYS и аналитиче­

ским решением, полученным на основе теории оболочек Кирхгоффа—Лява и

метода Рэлея—Ритца. В качестве третьего примера рассмотрен толстостенный

цилиндр. Также проведен модальный анализ при граничных условиях типа «за­

щемление-защемление» и «защемление-свободный край».

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Мнухин Роман Михайлович

Основные результаты работы заключаются в следующем.

1. Исследованы прямые задачи о продольно-радиальных колебаниях неод­

нородного упругого цилиндра и крутильных колебаниях неоднородного

кольца. Задачи сведены к каноническим системам дифференциальных

уравнений первого порядка. Численное решение получено на основе

метода пристрелки. Осуществлено сравнение полученных результатов

для задачи о продольно-радиальных колебаниях с МКЭ.

2. Построено решение обратной задачи об идентификации модулей Ламе

неоднородного цилиндра по дополнительной информации о поле пере­

мещений внутри цилиндра.

3. Проведено исследование КОЗ в случае продольно-радиальных колеба­

ний неоднородного цилиндра и крутильных колебаний неоднородного

кольца при наличии дополнительной информации о поле перемещений

на части границы. Построены соотношения, связывающие поправки к

модулям Ламе и плотности с информацией об АЧХ объекта.

4. Разработаны итерационно-регуляризационные методы решения соот­

ветствующих нелинейных КОЗ, описывающих установившиеся коле­

бания упругих неоднородных цилиндров. Построены итерационные

процессы, описаны возможные подходы к поиску начальных приближе­

ний, изучены свойства возникающих систем ИУФ 1-го рода с гладкими

ядрами, проведены вычислительные эксперименты по реконструкции

двух и трех законов изменения.

5. Исследованы прямая и обратная задачи в случае радиальных коле­

баний пороупругого цилиндра с переменным модулем Био в рамках

плоской деформации. Решение прямой задачи построено с помощью ме­

тода пристрелки. Решение КОЗ об идентификации переменного модуля

Био получено на основе итерационной процедуры с использованием

149

метода регуляризации А.Н. Тихонова. Осуществлена идентификация

различных законов изменения модуля Био.

6. Исследованы прямая и обратная задачи о радиальных колебаниях

пьезодиска при наличии поля предварительных напряжений и дефор­

маций в условиях плоской деформации. Реализована идентификация

уровня ПНДС по данным об измеренных собственных частотах ра­

диальных колебаний. Исследовано влияние зашумления на процедуру

реконструкции.

7. Изучены прямая и обратная задачи о радиальных колебаниях ПН

трубы в условиях плоской деформации. Осуществлена реконструкция

параметров ПН по данным об изменении двух первых собственных ча­

стот.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Мнухин Роман Михайлович, 2021 год

Список литературы

1. Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск: Сибир­

ское научное издательство, 2009. 457 с.

2. Ватульян А.О. Коэффициентные обратные задачи механики. М.: Физмат­

лит, 2019. 225 с.

3. Prony R. Essai éxperimental et analytique: sur les lois de la dilatabilité de

fluides élastique et sur celles de la force expansive de la vapeur de l’alkool, á

différentes températures // J. de l’École Polytechnique. 1795. Vol. 1, no. 22.

P. 24–76.

4. Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных тел. М.: Издательство

МГУ, 1976. 368 с.

5. Hadamard J. Lectures on Cauchy’s problem in linear partial differential equa­

tions. Oxford University: Yale University Press, 1932. 542 p.

6. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.:

Наука, 1974. 223 с.

7. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные ме­

тоды решения некорректных задач. М.: Наука, 1990. 232 с.

8. Weyl H. Über die asymptotische Verteilung der Eigenwerte // Nachrichten von

der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische

Klasse. 1911. Т. 1911. С. 110–117.

9. Herglotz G. Über die Elastizitaet der Erde bei Beruecksichtigung ihrer vari­

ablen Dichte // Zeitschr. für Math. Phys. 1905. Vol. 52. P. 275–299.

151

10. Ambartsumian V.A. On the Relationship between the Solution and the Re­

solvente of the Integral Equation of the Radiative Balance // Zeitschrift für

Physik. 1929. Vol. 52, no. 3–4. P. 263–267.

11. Гельфанд И.М., Левитан Б.М. Об определении дифференциального урав­

нения по его спектральной функции // Известия Российской академии

наук. Серия математическая. 1951. Т. 15, № 4. С. 309–360.

12. Лаврентьев М.М., Васильев В.Г., Романов В.Г. Многомерные обратные за­

дачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1969. 67 с.

13. Лаврентьев М.М., Резницкая К.Г., Яхно В.Г. Многомерные обратные за­

дачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1982. 88 с.

14. Алексеев А.С. Некорректные задачи математической физики и анализа.

Новосибирск: Наука, 1984. 260 с.

15. Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Электромагнитоупругость пьезоэлектриче­

ских и электропроводных тел. М.: Наука, 1988. 473 с.

16. Coussy O. Mechanics and Physics of Porous Solids. Wiley, 2010. 281 p.

17. Маслов Л.Б. Математическое моделирование колебаний пороупругих си­

стем: монография. Иваново: ИГЭУ, 2010. 264 с.

18. Kuang Z.B. Theory of Electroelasticity. Heidelberg; New York: Springer, 2014.

431 p.

19. Ватульян А.О., Нестеров С.А. Коэффициентные обратные задачи термо­

механики. Ростов-на-Дону-Таганрог: Издательство Южного федерального

университета, 2019. 146 с.

20. Colton D., Kress R. Inverse acoustic and electromagnetic scattering theory.

Springer Nature, 2019. Vol. 93. 538 p.

152

21. Sanchez-Palencia E. Lecture Notes in Physics. Non-Homogeneous Media and

Vibration Theory. Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verlag, 1980. 398 p.

22. Ворович И.И., Бабешко В.А., Пряхина О.Д. Динамика массивных тел и

резонансные явления в деформируемых средах. М.: Научный мир, 1999.

246 с.

23. Сеймов В.М., Трофимчук А.Н., Савицкий О.А. Колебания и волны в сло­

истых средах. Киев: Наукова думка, 1990. 222 с.

24. Яхно В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений упругости.

Новосибирск: Наука, 1990. 304 с.

25. Bui H.D. Inverse Problems in the Mechanic of Materials: An Introduction.

CRC Press, 1994. 224 p.

26. Bonnet M., Constantinescu A. Inverse problems in elasticity. IOP Publishing,

2005. 59 p.

27. Guz A.N. Three-dimensional theory of elastic stability under finite subcritical

deformations // Journal of Applied Mechanics. 1972. Vol. 8, no. 12. P. 25–44.

28. Гузь А.Н., Махорт Ф.Г., Гуща О.И. Введение в акустоупругость. Киев:

Наукова думка, 1977. 162 с.

29. Trefftz E. Zur theorie der stabilität des elastischen gleichgewichts // ZAMM –

Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 1933. Т. 12, № 2. С. 160–165.

30. Gao Z., Mura T. On the inversion of residual stresses from surface measure­

ments // Journal of Applied Mechanics. 1989. Vol. 56. P. 508–513.

31. Ballard P., Constantinescu A. On the inversion of subsurface residual stresses

from surface stress measurements // Journal of the Mechanics and Physics of

Solids. 1994. Vol. 42, no. 11. P. 1767–1787.

153

32. Totten G., Howes M., Inoue T. Handbook of Residual Stress and Deformation

of Steel. ASM International, 2002. 499 p.

33. Bektas N.B., Altan G., Ergun E., Demirdal G. Elastoplastic and residual stress

analysis of an aluminum disc under internal pressures // Journal of Engineering

Sciences. 2004. Vol. 10, no. 2. P. 201–206.

34. Schajer G.S. Practical residual stress measurement methods. Wiley, 2013.

328 p.

35. Ватульян А.О., Дударев В.В., Недин Р.Д. Предварительные напряжения:

моделирование и идентификация. Монография. Ростов-на-Дону-Таганрог:

Издательство Южного федерального университета, 2014. 206 с.

36. Bui H.D. Fracture Mechanics: Inverse Problems and Solutions (Solid Mechanics

and Its Applications). Springer, 2006. 375 p.

37. Isakov V. Inverse Problems for Partial Differential Equations. Third Edition.

Part of the Applied Mathematical Sciences book series. Cham: Springer, 2017.

406 p.

38. Ватульян А.О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого те­

ла. М.: Физматлит, 2007. 223 с.

39. Ватульян А.О., Беляк О.А., Сухов Д.Ю., Явруян О.В. Обратные и

некорректные задачи: учебник. Ростов-на-Дону-Таганрог: Издательство

Южного федерального университета, 2011. 232 с.

40. Aster R.C., Borchers B., Thurber C.H. Parameter Estimation and Inverse Prob­

lems. Elsevier, 2019. 392 p.

41. Денисов А.М. Введение в теорию обратных задач. М.: Издательство МГУ,

1994. 206 с.

42. Grediac M., Hild F., Pineau A. Full-Field Measurements and Identification in

Solid Mechanics. Great Britain: Wiley, 2013. 496 p.

154

43. Ida N., Meyendorf N. Handbook of Advanced Nondestructive Evaluation.

Switzerland: Springer Nature Switzerland AG, 2019. 1617 p.

44. Tarantola A. Inverse Problem Theory and Methods for Model Parameter Esti­

mation. Philadelphia: SIAM, 2005. 342 p.

45. Alves C.J.S., Ha-Duong T. Inverse scattering for elastic plane cracks // Inverse

Problems. 1999. Vol. 15, no. 1. P. 91–97.

46. Andrieux S., Abda A.B., Bui H.D. Sur l’identification de fissures planes via le

concept d’écart á la réciprocité en élasticité // Comptes Rendus de l’Académie

des Sciences-Series I-Mathematics. 1997. Т. 324, № 12. С. 1431–1438.

47. Andrieux S., Abda A.B., Bui H.D. Reciprocity principle and crack identifica­

tion // Inverse problems. 1999. Vol. 15, no. 1. P. 59–65.

48. Abda A.B., Ameur H.B., Jaoua M. Identification of 2D cracks by elastic bound­

ary measurements // Inverse Problems. 1999. Vol. 15, no. 1. P. 67–77.

49. Bonnet M., Guzina B.B. Sounding of finite solid bodies by way of topological

derivative // International Journal for numerical methods in engineering. 2004.

Vol. 61, no. 13. P. 2344–2373.

50. Bui H.D., Constantinescu A., Maigre H. Diffraction acoustique inverse de

fissure plane: solution explicite pour un solide borné // Comptes Rendus

de l’Académie des Sciences-Series IIB-Mechanics-Physics-Astronomy. 1999.

Т. 327, № 10. С. 971–976.

51. Bui H.D., Constantinescu A., Maigre H. Numerical identification of linear

cracks in 2D elastodynamics using the instantaneous reciprocity gap // Inverse

problems. 2004. Vol. 20, no. 4. P. 993–1001.

52. Colton D., Kirsch A. A simple method for solving inverse scattering problems

in the resonance region // Inverse problems. 1996. Vol. 12, no. 4. P. 383–393.

155

53. Colton D., Haddar H., Piana M. The linear sampling method in inverse elec­

tromagnetic scattering theory // Inverse problems. 2003. Vol. 19, no. 6.

P. S105–S137.

54. Feijóo G.R., Oberai A.A., Pinsky P.M. An application of shape optimization in

the solution of inverse acoustic scattering problems // Inverse problems. 2003.

Vol. 20, no. 1. P. 199–228.

55. Guzina B.B., Bonnet M. Topological derivative for the inverse scattering of

elastic waves // Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics.

2004. Vol. 57, no. 2. P. 161–179.

56. Kress R. Integral equation methods in inverse obstacle scattering // Engineer­

ing analysis with boundary elements. 1995. Vol. 15, no. 2. P. 171–179.

57. Kress R. Inverse elastic scattering from a crack // Inverse Problems. 1996.

Vol. 12, no. 5. P. 667–684.

58. Fata S.N., Guzina B.B. A linear sampling method for near-field inverse prob­

lems in elastodynamics // Inverse problems. 2004. Vol. 20, no. 3. P. 713–736.

59. Nishimura N., Kobayashi S. Determination of cracks having arbitrary shapes

with the boundary integral equation method // Engineering analysis with

boundary elements. 1995. Vol. 15, no. 2. P. 189–195.

60. Inverse Scattering with Acoustic, Electromagnetic, and Elastic Waves as

Applied in Nondesctructive Evaluation / K.J. Langenberg, M. Brandfaß,

R. Hannemann, T. Kaczorowski, J. Kostka, C. Hofmann, R. Marklein, K. May­

er et al. // Wavefield inversion. Springer-Verlag, 1999. P. 59–118.

61. Langenberg K.J., Marklein R. Transient elastic waves applied to nondestructive

testing of transversely isotropic lossless materials: a coordinate-free approach //

Wave Motion. 2005. Vol. 41, no. 3. P. 247–261.

156

62. Leonard K.R., Malyarenko E.V., Hinders M.K. Ultrasonic Lamb wave tomog­

raphy // Inverse problems. 2002. Vol. 18, no. 6. P. 1795–1808.

63. Marklein R., Mayer K., Hannemann R., Krylow T., Balasubramanian K.,

Langenberg K.J., Schmitz V. Linear and nonlinear inversion algorithms ap­

plied in nondestructive evaluation // Inverse problems. 2002. Vol. 18, no. 6.

P. 1733–1759.

64. Schmerr L.W., Song S.-J., Sedov A. Ultrasonic flaw sizing inverse problems //

Inverse Problems. 2002. Vol. 18, no. 6. P. 1775–1793.

65. Ammari H., Kang H., Nakamura G., Tanuma K. Complete asymptotic expan­

sions of solutions of the system of elastostatics in the presence of an inclusion

of small diameter and detection of an inclusion // Journal of elasticity and the

physical science of solids. 2002. Vol. 67, no. 2. P. 97–129.

66. Barcilon V. Inverse problem for a vibrating beam // Zeitschrift für angewandte

Mathematik und Physik ZAMP. 1976. Vol. 27, no. 3. P. 347–358.

67. Barcilon V. On the multiplicity of solutions of the inverse problem for a vi­

brating beam // SIAM Journal on Applied Mathematics. 1979. Vol. 37, no. 3.

P. 605–613.

68. Barcilon V. Inverse problem for the vibrating beam in the free-clamped config­

uration // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series

A, Mathematical and Physical Sciences. 1982. Vol. 304, no. 1483. P. 211–251.

69. Bui H.D. Sur quelques problémes inverses élastiques en mécanique de

l’endommagement // Deuxiéme Colloque National de Calcul des Structures.

Hermes Sciences Publications, 1995. С. 26–35.

70. Chavent G., Kunisch K., Roberts J.E. Primal-dual formulations for parame­

ter estimation problems // Computational and Applied Mathematics. 1999.

Vol. 18. P. 173–229.

157

71. Constantinescu A. On the identification of elastic moduli from displacemen­

t-force boundary measurements // Inverse Problems in Engineering. 1995.

Vol. 1. P. 293–313.

72. Constantinescu A. On the identification of elastic moduli in plates // Inverse

problems in engineering mechanics. Elsevier, 1998. P. 205–214.

73. Eskin G., Ralston J. On the inverse boundary value problem for linear isotropic

elasticity // Inverse Problems. 2002. Vol. 18, no. 3. P. 907–921.

74. Geymonat G., Pagano S. Identification of Mechanical Properties by Displace­

ment Field Measurement: A Variational Approach // Meccanica. 2003. Vol. 38.

P. 535–545.

75. Ikehata M. Inversion formulas for the linearized problem for an inverse

boundary value problem in elastic prospection // SIAM Journal on Applied

Mathematics. 1990. Vol. 50, no. 6. P. 1635–1644.

76. Ikehata M. An inverse problem for the plate in the Love–Kirchhoff theory //

SIAM Journal on Applied Mathematics. 1993. Vol. 53, no. 4. P. 942–970.

77. Ikehata M. The linearization of the Dirichlet to Neumann map in anisotropic

plate theory // Inverse Problems. 1995. Vol. 11, no. 1. P. 165–181.

78. Nakamura G., Uhlmann G. Global uniqueness for an inverse boundary prob­

lem arising in elasticity // Inventiones mathematicae. 1994. Vol. 118, no. 1.

P. 457–474.

79. Barbone E., Gokhale N.H. Elastic modulus imaging: on the uniqueness and

nonuniqueness of the elastography inverse problem in two dimensions // Inverse

Problems. 2004. Vol. 20, no. 1. P. 203–296.

80. Kurpinar E., Karchevsky A.L. Numerical solution of the inverse problem for the

elasticity system for horizontally stratified media // Inverse Problems. 2004.

Vol. 20, no. 3. P. 953–976.

158

81. Menke W. Geophysical data analysis: Discrete inverse theory. Amsterdam:

Academic press, 2018. 352 p.

82. Plessix R.-E., De Roeck Y.-H., Chavent G. Waveform inversion of reflection

seismic data for kinematic parameters by local optimization // SIAM Journal

on Scientific Computing. 1998. Vol. 20, no. 3. P. 1033–1052.

83. Santos J.E. On the solution of an inverse scattering problem in seismic

while-drilling technology // Computer methods in applied mechanics and en­

gineering. 2002. Vol. 191, no. 21-22. P. 2403–2425.

84. Inverse scattering series and seismic exploration / A.B. Weglein, F.V. Araújo,

P.M. Carvalho, R.H. Stolt, K.H. Matson, R.T. Coates, D. Corrigan, D.J. Foster

et al. // Inverse problems. 2003. Vol. 19, no. 6. P. R27–R83.

85. Lin C.-L., Wang J.-N. Uniqueness in inverse problems for an elasticity system

with residual stress by a single measurement // Inverse Problems. 2003. Vol. 19,

no. 4. P. 807–820.

86. Robertson R.L. Boundary identifiability of residual stress via the Dirichlet to

Neumann map // Inverse Problems. 1997. Vol. 13, no. 4. P. 1107–1119.

87. Bonnet M., Reynier M. On the estimation of the geometrical support of mod­

elling defects using the distributed error in constitutive equation // Inverse

Problems, Control and Shape Optimization, Carthage, Tunisia. 1998. P. 65–70.

88. Chouaki A., Ladevèze P., Proslier L. An updating of structural dynamic model

with damping // Inverse problems in engineering: theory and practice. 1996.

P. 335–342.

89. Deraemaeker A., Ladevèze P., Leconte Ph. Reduced bases for model updat­

ing in structural dynamics based on constitutive relation error // Computer

methods in applied mechanics and engineering. 2002. Vol. 191, no. 21–22.

P. 2427–2444.

159

90. Ladevèze P., Chouaki A. Application of a posteriori error estimation for struc­

tural model updating // Inverse problems. 1999. Vol. 15, no. 1. P. 49–58.

91. Link M. Requirements for the structure of analytical models used for parameter

identification // Inverse problems in engineering mechanics. Springer-Verlag,

1993. P. 133–146.

92. Zimmerman D.C., Kaouk M. Structural damage detection using a minimum

rank update theory // Journal of Vibration and Acoustics, Transactions of the

ASME. 1994. Vol. 116. P. 222–231.

93. Cimetiere A., Delvare F., Jaoua M., Pons F. Solution of the Cauchy problem

using iterated Tikhonov regularization // Inverse problems. 2001. Vol. 17,

no. 3. P. 553–570.

94. Delattre B., Ivaldi D., Stolz C. Application du contrôle optimal à l’identification

d’un chargement thermique // Revue Européenne des Eléments. 2002. Т. 11,

№ 2–4. С. 393–404.

95. Kozlov V.A., Maz’ya V.G., Fomin A.V. An iterative method for solving the

cauchy problem for elliptic equations // Computational Mathematics and

Mathematical Physics. 1991. Vol. 31, no. 1. P. 45–52.

96. Maniatty A.M., Zabaras N.J. Investigation of regularization parameters and

error estimating in inverse elasticity problems // International journal for nu­

merical methods in engineering. 1994. Vol. 37, no. 6. P. 1039–1052.

97. Marin L., Lesnic D. Boundary element solution for the Cauchy problem in

linear elasticity using singular value decomposition // Computer Methods in

Applied Mechanics and Engineering. 2002. Vol. 191, no. 29–30. P. 3257–3270.

98. Marin L., Lesnic D. BEM first-order regularisation method in linear elasticity

for boundary identification // Computer Methods in Applied Mechanics and

Engineering. 2003. Vol. 192, no. 16–18. P. 2059–2071.

160

99. Constantinescu A., Tardieu N. On the identification of elastoviscoplastic con­

stitutive laws from indentation tests // Inverse Problems in Engineering. 2001.

Vol. 9, no. 1. P. 19–44.

100. Forestier R., Chastel Y., Massoni E. 3D inverse analysis model using semi-ana­

lytical differentiation for mechanical parameter estimation // Inverse Problems

in Engineering. 2003. Vol. 11, no. 3. P. 255–271.

101. Gavrus A., Massoni E., Chenot J.L. An inverse analysis using a finite element

model for identification of rheological parameters // Journal of Materials Pro­

cessing Technology. 1996. Vol. 60, no. 1–4. P. 447–454.

102. Mahnken R., Stein E. Parameter identification for viscoplastic models based

on analytical derivatives of a least-squares functional and stability investiga­

tions // International Journal of Plasticity. 1996. Vol. 12, no. 4. P. 451–479.

103. Tardieu N., Constantinescu A. On the determination of elastic coefficients from

indentation experiments // Inverse Problems. 2000. Vol. 16, no. 3. P. 577–588.

104. Никитина Н.Е., Камышев А.В., Казачек С.В. Использование явления аку­

стоупругости при исследовании напряженного состояния технологических

трубопроводов // Дефектоскопия. 2009. № 12. С. 52–59.

105. Rossini N.S., Dassisti M., Benyounis K.Y., Olabi A.-G. Methods of measur­

ing residual stresses in components // Materials and Design. 2012. Vol. 35.

P. 572–588.

106. He S., Van Bael A., Li S., Van Houtte P., Mei F., Sarban A. Residual stress

determination in cold drawn steel wire by FEM simulation and X-ray diffrac­

tion // Materials Science and Engineering: A. 2003. Vol. 346, no. 1–2.

P. 101–107.

107. Kersemans M., De Baere I., Degrieck J., Van Den Abeele K., Pyl L., Zas­

tavnik F., Sol H., Van Paepegem W. Nondestructive damage assessment in

161

fiber reinforced composites with the pulsed ultrasonic polar scan // Polymer

Testing. 2014. Vol. 34. P. 85–96.

108. Karabutov A., Devichensky A., Ivochkin A., Lyamshev M., Pelivanov I., Ro­

hadgi U., Solomatin V., Subudhi M. Laser ultrasonic diagnostics of residual

stress // Ultrasonics. 2008. Vol. 48. P. 631–635.

109. Lachmann C., Nitschke-Pagel Th., Wohlfahrt H. Non-destructive characteriza­

tion of fatigue processes in cyclically loaded welded joints by the Barkhausen

noise method // Proceedings of the International Workshop on Structural

Health Monitoring, Stanford, CA. 1999. P. 327–336.

110. Vatulyan A.O., Yavruyan O.V., Bogachev I.V. Reconstruction of inhomoge­

neous properties of orthotropic viscoelastic layer // International Journal of

Solids and Structures. 2014. Vol. 51, no. 11–12. P. 2238–2243.

111. Углов А.Л., Ерофеев В.И., Смирнов А.Н. Акустический контроль обору­

дования при изготовлении и эксплуатации. М.: Наука, 2009. 279 с.

112. ГОСТ Р. 52731-2007. Контроль неразрушающий. Акустический метод

контроля механических напряжений. Общие требования // М.: Стандарт­

информ. 2007. 12 с.

113. Gachi S., Boubenider F., Belahcene F. Residual stress, microstructure and

microhardness measurements in AA7075-T6 FSW welded sheets // Nonde­

structive Testing and Evaluation. 2011. Vol. 26, no. 1. P. 1–11.

114. Никитина Н.Е. Акустоупругость: Опыт практического применения. Н.

Новгород: ТАЛАМ, 2005. 208 с.

115. Никитина Н.Е., Камышев А.В., Смирнов В.А., Борщевский А.В., Шары­

гин Ю.М. Определение осевых и окружных напряжений в стенке закрытой

трубы ультразвуковым методом на основе явления акустоупругости // Де­

фектоскопия. 2006. № 3. С. 49–54.

162

116. Dudarev V.V., Vatulyan A.O. On restoring of the prestressed state in elastic

bodies // ZAMM – Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 2011.

Vol. 91, no. 6. P. 485–492.

117. Nedin R., Vatulyan A. Inverse problem of non-homogeneous residual stress

identification in thin plates // International Journal of Solids and Structures.

2013. Vol. 50. P. 2107–2114.

118. Reichel T., Beissel J., Pavlyk V., Heigl G. Production of metallurgically cladded

tubes for high end applications in the oil and gas industry // Proceedings of

the 27th international conference on offshore mechanics and arctic engineering.

Vol. 5. 2008. P. 179–186.

119. Skouras A., Flewitt P.E.J., Peel M., Pavier M.J. Residual stress measurements

in a P92 steel-In625 superalloy metal weldment in the as-welded and after post

weld heat treated conditions // International Journal of Pressure Vessels and

Piping. 2014. Vol. 123–124. P. 10–18.

120. Vasilikis D., Karamanos S.A. Mechanical behavior and wrinkling of lined

tubes // International Journal of Solids and Structures. 2012. Vol. 49,

no. 23–24. P. 3432–3446.

121. Baldi A. Full field methods and residual stress analysis in orthotropic material.

II: Nonlinear approach // International Journal of Solids and Structures. 2007.

Vol. 44, no. 25–26. P. 8244–8258.

122. Kamara A.M., Davey K. A numerical and experimental investigation into resid­

ual stress in thermally sprayed coatings // International Journal of Solids and

Structures. 2007. Vol. 44, no. 25–26. P. 8532–8555.

123. Zhang N., Khan T., Guo H., Shi S., Zhong W., Zhang W. Functionally Graded

Materials: An Overview of Stability, Buckling, and Free Vibration Analysis //

Advances in Materials Science and Engineering. 2019. Vol. 2019.

163

124. The Bronze Age [Электронный ресурс]. 2018. (дата обращения: 01.02.2018).

URL: http://www.softschools.com/timelines/the_bronze_age_timeline/145/.

125. Niino M., Hirai T., Watanabe R. The functionally gradient materials // Journal

of the Japan Society for Composite Materials. 1987. Vol. 13, no. 1. P. 257.

126. Shen M., Bever M. Gradients in polymeric material // Journal of Materials

science. 1972. Vol. 7, no. 7. P. 741–746.

127. Naebe M., Shirvanimoghaddam K. Functionally graded materials: a review

of fabrication and properties // Applied Materials Today. 2016. Vol. 5.

P. 223–245.

128. Birman V., Byrd L.W. Modeling and Analysis of Functionally Graded Materi­

als and Structures // Applied Mechanics Reviews. 2007. Vol. 60. P. 195–216.

129. Fukui Y., Takashima K., Ponton C. Measurement of Young’s modulus and

internal friction of an in situ Al-Al3Ni functionally gradient material // Journal

of Materials Science. 1994. Vol. 29, no. 9. P. 2281–2288.

130. Abbas M.R., Uday M., Noor A.M., Ahmad N., Rajoo S. Microstructural

evaluation of a slurry based Ni/YSZ thermal barrier coating for automotive

turbocharger turbine application // Materials and Design. 2016. Vol. 109.

P. 47–56.

131. Dhineshkumar S., Duraiselvam M., Natarajan S., Panwar S.S., Jena T.,

Khan M.A. Enhancement of strain tolerance of functionally graded

LaTi2Al9O19 thermal barrier coating through ultra-short pulse based laser

texturing // Surface and Coatings Technology. 2016. Vol. 304. P. 263–271.

132. Naga S., Awaad M., El-Maghraby H.F., Hassan A.M., Elhoriny M., Killinger A.,

Gadow R. Effect of La2Zr2O7 coat on the hot corrosion of multi-layer thermal

barrier coating // Materials and Design. 2016. Vol. 102. P. 1–7.

164

133. Suresh S., Mortensen A. Fundamentals of Functionally Graded Materials. Lon­

don: Cambridge Publication, 1998. 165 p.

134. Birman V., Tyler K., Hosder S. Chapter 2. Functionally Graded Materials in

Engineering // Structural Interfaces and Attachments in Biology. Springer

Science & Business Media, 2013. P. 19–41.

135. Knoppers G.E., Gunnink J.W., Van Den Hout J., Van Vliet W. The reality of

functionally graded material products // Intelligent Production Machines and

Systems-First I PROMS Virtual Conference: Proceedings and CD-ROM set,

Elsevier. 2005. P. 38–43.

136. Miyamoto Y., Kaysser W.A., Rabin B.H., Kawasaki A., Ford R.G. Functionally

Graded Materials: Design, Processing and Applications. Springer Science &

Business Media, 1999. Vol. 5. 330 p.

137. Mahamood R.M., Akinlabi E.T., Shukla M., Pityana S. Functionally graded

material: an overview // Proceedings of the World Congress on Engineering

(WCE 2012). Vol III. International Association of Engineers (IAENG), 2012.

138. Asgari M., Akhlaghi M. Natural frequency analysis of 2D-FGM thick hollow

cylinder based on three-dimensional elasticity equations // European Journal

of Mechanics – A/Solids. 2011. Vol. 30. P. 72–81.

139. Nelson R.B., Dong S.B., Kalra R.D. Vibrations and waves in laminated or­

thotropic circular cylinders // Journal of Sound and Vibration. 1971. Vol. 18,

no. 3. P. 429–444.

140. Armenakas A.E., Gazis D.C., Herrmann G. Free Vibrations of Circular Cylin­

drical Shells. Oxford: Pergamon Press, 1969. 224 p.

141. Tutuncu N. Stresses in thick-walled FGM cylinders with exponentially-varying

properties // Engineering Structures. 2007. Vol. 29. P. 2032–2035.

165

142. Shakeri M., Akhlaghi M., Hoseini S.M. Vibration and radial wave propagation

velocity in functionally graded thick hollow cylinder // Composite Structures.

2006. Vol. 76. P. 174–181.

143. Abadikhah H., Folkow P.D. Dynamic equations for solid isotropic radially func­

tionally graded circular cylinders // Composite Structures. 2018. Vol. 195.

P. 147–157.

144. Wu C.-P., Yang S.-W. RMVT-based meshless collocation and element-free

Galerkin methods for the approximate 3D analysis of multilayered compos­

ite and FGM circular hollow cylinders // Composites: Part B. 2011. Vol. 42.

P. 1683–1700.

145. Taghvaeipour A., Bonakdar M., Ahmadian M.T. Application of a new cylin­

drical element formulation in finite element structural analysis of FGM hollow

cylinders // Finite Elements in Analysis and Design. 2012. Vol. 50. P. 1–7.

146. Najibi A. Mechanical stress reduction in a pressurized 2D-FGM thick hollow

cylinder with finite length // International Journal of Pressure Vessels and

Piping. 2017. Vol. 153. P. 32–44.

147. Hongjun X., Zhifei S., Taotao Z. Elastic analyses of heterogeneous hollow cylin­

ders // Mechanics Research Communications. 2006. Vol. 33. P. 681–691.

148. Li H., Liu Y. Functionally graded hollow cylinders with arbitrary varying

material properties under nonaxisymmetric loads // Mechanics Research Com­

munications. 2014. Vol. 55. P. 1–9.

149. Dryden J., Jayaraman K. Effect of inhomogeneity on the stress in pipes //

Journal of Elasticity. 2006. Vol. 83. P. 179–189.

150. Khiem N.T., Huyen N.N. A method for crack identification in functionally

graded Timoshenko beam // Nondestructive Testing and Evaluation. 2017.

Vol. 32, no. 3. P. 319–341.

166

151. Ватульян А.О., Ляпин А.А. Об обратных коэффициентных задачах поро­

упругости // Изв. РАН. МТТ. 2013. № 2. С. 114–121.

152. Coussy O. Poromechanics. Wiley, 2003. 312 p.

153. Biot M.A. General Theory of Three Dimensional Consolidation // Journal of

Applied Physics. 1941. Vol. 12. P. 155–164.

154. Biot M.A. Theory of elasticity and consolidation for a porous anisotropic sol­

id // Journal of Applied Physics. 1955. Vol. 26. P. 182–185.

155. Biot M.A. Mechanics of deformation and acoustic propagation in porous me­

dia // Journal of Applied Physics. 1962. Vol. 33. P. 1482—-1498.

156. Freudenthal A.M., Geiringer H. The mathematical theories of the inelastic

continuum // Elasticity and Plasticity. Springer, 1958. P. 229–433.

157. Vabishchevich P.N., Vasilyeva M.V., Kolesov A.E. Splitting schemes for poroe­

lasticity and thermoelasticity problems // Computers & Mathematics with

Applications. 2014. Vol. 67, no. 12. P. 2185–2198.

158. Aizikovich S.M., Erofeev V.I., Leonteva A.V. Dispersive characteristics of flat

longitudinal elastic waves extending in porous liquid-saturated medium with

cavities // PNRPU Mechanics Bulletin. 2016. Vol. 4. P. 175–186.

159. Igumnov L.A., Litvinchuk S.Yu., Petrov A.N., Aizikovich S.M. Simulation of

a compressional slow wave in partially saturated poroelastic 1-D column //

Materials Physics and Mechanics. 2017. Vol. 31, no. 1–2. P. 9–11.

160. Ватульян А.О., Ляпин А.А. О вариационной постановке задач пороупру­

гости в случае установившихся колебаний // Известия высших учебных

заведений. Северо-кавказский регион. Серия: Естественные науки. 2011.

№ 4. С. 20–23.

167

161. Ватульян А.О., Ляпин А.А., Святко Ю.А. О колебаниях функцио­

нально–градиентной пороупругой колонны // Известия высших учебных

заведений. Северо-кавказский регион. Серия: Естественные науки. 2014.

№ 4. С. 12–17.

162. Ватульян А.О., Нестеров С.А. Об особенностях идентификации неоднород­

ных пороупругих характеристик полого цилиндра // Проблемы прочности

и пластичности. 2016. № 1. С. 22–29.

163. Gusakov D., Vatul’yan A. Dispersion properties of inhomogeneous poroelastic

layer // ZAMM – Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 2017.

Vol. 98, no. 4. P. 532–541.

164. Brown D.L., Vasilyeva M. A generalized multiscale finite element method for

poroelasticity problems II: Nonlinear coupling // Journal of Computational

and Applied Mathematics. 2016. Vol. 297. P. 132–146.

165. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Фоменко С.И. Влияние пористости на ха­

рактеристики волн рeлеевского типа в многослойном полупространстве //

Акустический журнал. 2011. № 2. С. 234–245.

166. Аменицкий А.В., Белов А.А., Игумнов Л.А., Карелин И.С. Граничные

интегральные уравнения для решения задач трехмерной теории пороупру­

гости // Проблемы прочности и пластичности. 2009. № 71. С. 164–171.

167. Игумнов Л.А., Карелин И.С. Решение трехмерных задач динамической

теории пороупругости методом граничных элементов с применением па­

раллельных вычислений // Вестник Нижегородского университета им.

Н.И. Лобачевского. 2011. № 3. С. 153–157.

168. Игумнов Л.А., Карелин И.С., Метрикин А.В., Петров А.Н., Банаев М.С.

Численное моделирование третьей волны в трехмерном пористоупругом

теле // Проблемы прочности и пластичности. 2012. № 74. С. 146–153.

168

169. Игумнов Л.А., Аменицкий А.В., Белов А.А., Литвинчук С.Ю., Петров А.Н.

Численно-аналитическое исследование динамики вязко и пористо-упругих

тел // Прикладная механика и техническая физика. 2014. № 1. С. 108–114.

170. Игумнов Л.А., Петров А.Н. Моделирование динамики частично насыщен­

ных пороупругих тел на основе метода гранично-временных элементов //

Вестник Пермского национального исследовательского политехнического

университета. Механика. 2016. № 3. С. 47–61.

171. Igumnov L.A., Litvinchuk S.Yu., Petrov A.N. A numerical study of wave propa­

gation on poroelastic half-space with cavities by use the Bem and Runge-Kutta

method // Materials Physics and Mechanics. 2016. Vol. 28, no. 1–2. P. 96–100.

172. Maslov L.B. Resonant properties of the intact tibia and that with external

fixative devices // Russian Journal of Biomechanics. 2003. Vol. 7, no. 2.

P. 20–34.

173. Маслов Л.Б. Пороупругие модели колебаний биологических тканей //

Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2011. № 4-2.

С. 499–501.

174. Maslov L.B. A parametric investigation of the harmonic vibrations of a poroe­

lastic rod // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 2011. Vol. 75,

no. 1. P. 41–48.

175. Маслов Л.Б. Математическая модель структурной перестройки костной

ткани // Российский журнал биомеханики. 2013. № 2. С. 39–63.

176. Маслов Л.Б. Математическое моделирование восстановления механиче­

ских свойств костной мозоли // Прикладная математика и механика. 2015.

№ 2. С. 286–306.

169

177. Наседкин А.В., Наседкина А.А., Ремизов В.В. Конечно-элементное модели­

рование пористых термоупругих композитов с учетом микроструктуры //

Вычислительная механика сплошных сред. 2014. № 1. С. 100–109.

178. Nasedkin A.V., Nasedkina A.A., Rybyanets A.N. Numerical analysis of effec­

tive properties of heterogeneously polarized porous piezoceramic materials with

local alloying pore surfaces // Materials physics and mechanics. 2018. no. 1.

P. 12–21.

179. Scalia A., Sumbatyan M.A. Contact problem for porous elastic half-plane //

Journal of elasticity. 2000. Vol. 60. P. 91–102.

180. Scalia A., Sumbatyan M.A. On the properties of integral equations arising in

contact problems for porous elastic strip // European Journal of Mechanics –

A/Solids. 2003. Vol. 22. P. 489–496.

181. Суворова Т.В., Беляк О.А., Усошин С.А. Волновое поле, генерируемое в

слоистом пористоупругом полупространстве движущейся осциллирующей

нагрузкой // Экологический вестник научных центров ЧЭС. 2008. № 1.

С. 53–61.

182. Суворова Т.В., Усошина Е.А. Колебания составного гетерогенного слоя //

Экологический вестник научных центров ЧЭС. 2010. № 2. С. 74–79.

183. Суворова Т.В., Беляк О.А., Усошина Е.А. Математическое моделирование

задачи о динамическом воздействии массивного объекта на неоднородное

гетерогенное основание // Экологический вестник научных центров ЧЭС.

2014. № 1. С. 93–99.

184. Усошина Е.А., Суворова Т.В., Соловьев А.Н. Математические модели ди­

намических систем, включающих слоистые обводненные пористоупругие

основания // Вестник Донского государственного технического универси­

тета. 2016. № 3. С. 10–16.

170

185. Трофимчук А.Н., Гомилко А.М., Савицкий О.А. Динамика пористоупру­

гих насыщенных жидкостью сред. Киев: Наукова думка, 2003. 232 с.

186. Pride S.R., Berryman J.G. Connecting theory to experiment in poroelastici­

ty // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 1998. Vol. 46, no. 4.

P. 719–747.

187. Berryman J.G. Seismic waves in rocks with fluids and fractures // Geophysical

Journal International. 2007. Vol. 171. P. 954–974.

188. Berryman J.G. Mechanics of layered anisotropic poroelastic media with ap­

plications to effective stress for fluid permeability // International Journal of

Engineering Science. 2011. Vol. 49, no. 1. P. 122–139.

189. Biot M.A. Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous

solid. I. Low-frequency range // The Journal of the Acoustical Society of Amer­

ica. 1956. Vol. 28. P. 168–191.

190. Biot M.A. Theory of Deformation of a Porous Viscoelastic Anisotropic Solid //

Journal of Applied Physics. 1956. Vol. 27. P. 459.

191. Biot M.A., Willis D.G. The elastic coefficients of the theory of consolidation //

Journal of Applied Mechanics. 1957. Vol. 24. P. 594–601.

192. Biot M.A. Generalized theory of acoustic propagation in porous dissipative

media // The Journal of the Acoustical Society of America. 1962. Vol. 34.

P. 1254–1264.

193. Cowin S.C. Bone poroelasticity // Journal of Biomechanics. 1999. Vol. 32,

no. 3. P. 217–238.

194. Smit T.H., Huyghe J.M., Cowin S.C. Estimation of the poroelastic parameters

of cortical bone // Journal of Biomechanics. 2002. Vol. 35, no. 6. P. 829–835.

195. Cowin S.C. Anisotropic poroelasticity: fabric tensor formulation // Mechanics

of Materials. 2004. Vol. 36, no. 8. P. 665–677.

171

196. Gailani G.B., Cowin S.C. The unconfined compression of a poroelastic annular

cylindrical disk // International Mechanics of Materials. 2008. Vol. 40, no. 6.

P. 507–523.

197. Cowin S.C., Cardoso L. Role of structural anisotropy of biological tissues

in poroelastic wave propagation // Mechanics of Materials. 2012. Vol. 44.

P. 174–188.

198. Cardoso L., Fritton S.P., Gailani G., Benalla M., Cowin S.C. Advances in

assessment of bone porosity, permeability and interstitial fluid flow // Journal

of Biomechanics. 2013. Vol. 46, no. 2. P. 253–265.

199. Cowin S.C., Cardoso L. Blood and interstitial flow in the hierarchical pore

space architecture of bone tissue // Journal of Biomechanics. 2015. Vol. 48,

no. 5. P. 842–854.

200. de Boer R. Highlights in the historical development of the porous media theory:

toward a consistent macroscopic theory // Applied Mechanics Reviews. 1996.

Vol. 49. P. 201–262.

201. de Boer R. Theory of Porous Media – Past and Present // ZAMM – Journal

of Applied Mathematics and Mechanics. 1998. Vol. 78. P. 441–466.

202. Svanadze M., Scalia A. Mathematical problems in the coupled linear theory

of bone poroelasticity // Computers & Mathematics with Applications. 2013.

Vol. 66, no. 9. P. 1554–1566.

203. Schanz M., Pryl D. Dynamic fundamental solutions for compressible and in­

compressible modeled poroelastic continua // International Journal of Solids

and Structures. 2004. Vol. 41, no. 15. P. 4047–4073.

204. Schanz M., Antes H., Ruberg T. Convolution quadrature boundary element

method for quasi-static visco- and poroelastic continua // Computers & Struc­

tures. 2005. Vol. 83, no. 10–11. P. 673–684.

172

205. Zimmerman R.W. Coupling in poroelasticity and thermoelasticity // Interna­

tional Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences. 2000. Vol. 37, no. 1–2.

P. 79–87.

206. Grattoni C.A., Jing X.D., Zimmerman R.W. Wettability alteration by aging

of a gel placed within a porous medium // Journal of Petroleum Science and

Engineering. 2002. Vol. 33, no. 1–3. P. 135–145.

207. Curie J., Curie P. Développement par compression de l’électricité polaire dans

les cristaux hémièdres à faces inclinées // Bulletin de minéralogie. 1880. Vol. 3,

no. 4. P. 90–93.

208. Lippmann G. Principe de la conservation de l’électricité, ou second principe

de la théorie des phénomènes électriques // Journal de Physique Théorique et

Appliquée. 1881. Vol. 10, no. 1. P. 381–394.

209. Voigt W. Lehrbuch der kristallphysik (mit ausschluss der kristalloptik). BG

Teubner, 1910. Vol. 34. 999 p.

210. Maxwell J.C. A dynamical theory of the electromagnetic field // Philosophical

transactions of the Royal Society of London. 1865. no. 155. P. 459–512.

211. Pockels F. Ueber den Einfluss des elektrostatischen Feldes auf das optische Ver­

halten piëzoelektrischer Krystalle. Dieterichsche Verlags-Buchhandlung, 1894.

Vol. 39. 204 p.

212. Cady W.G. Demonstrations of Electrical Oscillations // Science. 1909. Vol. 30,

no. 780. P. 854–855.

213. Cady W.G. Piezoelectric Equations of State and Their Application to Thick­

ness-Vibration Transducers // The Journal of the Acoustical Society of

America. 1950. Vol. 22, no. 5. P. 579–583.

214. Mason W.P. Electromechanical transducers and wave filters. New York: Van

Nostrand, 1942. 333 p.

173

215. Mason W.P. Piezoelectric Crystals and their Applications to Ultrasonics. New

York: Van Nostrand, 1950. 508 p.

216. Fischer F.A. Fundamentals of electroacoustics. New York: Interscience Pub­

lishers, 1955. 186 p.

217. Tiersten H.F. Thickness vibrations of piezoelectric plates // The Journal of

the Acoustical Society of America. 1963. Vol. 35, no. 1. P. 53–58.

218. Tiersten H.F. Perturbation theory for linear electroelastic equations for small

fields superimposed on a bias // The Journal of the Acoustical Society of

America. 1978. Vol. 64, no. 4. P. 832–837.

219. Глозман И.А. Пьезокерамика. М.: Энергия, 1972. 288 с.

220. Улитко А.Ф. К теории колебаний пьезокерамических тел // Тепловые на­

пряжения в элементах конструкций. 1975. № 15. С. 90–99.

221. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф., Шульга Н.А. Механика связанных полей в

элементах конструкций. Т. 5. Электроупругость. Киев: Наукова думка,

1989. 279 с.

222. Adelman N.T., Stavsky Y. Vibrations of radially polarized composite piezoce­

ramic cylinders and disks // Journal of Sound and Vibration. 1975. Vol. 43,

no. 1. P. 37–44.

223. Adelman N.T., Stavsky Y. Flexural-extensional behavior of composite piezo­

electric circular plates // The Journal of the Acoustical Society of America.

1980. Vol. 67, no. 3. P. 819–822.

224. Мадорский В.В., Устинов Ю.А. Построение системы однородных решений

и анализ корней дисперсионного уравнения антисимметричных колебаний

пьезоэлектрической плиты // Прикладная механика и техническая физи­

ка. 1976. Т. 17, № 6. С. 138–145.

174

225. Matrosov A.A., Ustinov Yu.A. Homogeneous solutions of the problem of steady

vibrations of a piezoceramic cylinder // Journal of Applied Mathematics and

Mechanics. 1984. Vol. 48, no. 6. P. 770–773.

226. Партон В.З., Сеник Н.А. О применении методов символического интегри­

рования в теории пьезокерамических оболочек // Прикладная математика

и механика. 1983. Т. 47, № 2. С. 257–262.

227. Кудрявцев Б.А. Линейные уравнения состояния для электрически поляри­

зованной керамики // Докл. АН СССР. 1982. Т. 267, № 3. С. 610–614.

228. Белоконь А.В., Наседкин А.В. О некоторых свойствах собственных частот

электроупругих тел конечных размеров // Прикладная математика и ме­

ханика. 1996. Т. 60, № 1. С. 151–158.

229. Наседкин А.В. Моделирование пьезоэлектрических преобразователей в

ANSYS: учебное пособие. Ростов-на-Дону: Издательство Южного феде­

рального университета, 2015. 176 с.

230. Наседкин А.В., Наседкина А.А. Моделирование связанных задач: матема­

тические постановки и конечно-элементные технологии: учебное пособие.

Ростов-на-Дону-Таганрог: Издательство Южного федерального универси­

тета, 2019. 176 с.

231. Соловьев А.Ф. О влиянии размера электродированной области на соб­

ственные частоты пьезокерамических тел прямоугольного сечения //

Прикладная механика. 1984. Т. 20, № 9. С. 1235–1240.

232. Акопьян В.А., Соловьев А.Н., Шевцов С.Н. Методы и алгоритм

определения полного набора совместимых материальных констант пье­

зокерамических материалов. Ростов-на-Дону: Издательство Южного

федерального университета, 2008. 144 с.

175

233. Ватульян А.О., Соловьев А.Н. Прямые и обратные задачи для однородных

и неоднородных упругих и электроупругих тел. Ростов-на-Дону: Издатель­

ство Южного федерального университета, 2008. 175 с.

234. Shevtsov S.N., Soloviev A.N., Parinov I.A., Cherpakov A.V., Chebanenko V.A.

Piezoelectric Actuators and Generators for Energy Harvesting. Cham:

Springer, 2002. 182 p.

235. Kuang Z.B. Some variational principles in elastic dielectric and elastic magnetic

materials // European Journal of Mechanics – A/Solids. 2008. Vol. 27, no. 3.

P. 504–514.

236. Ватульян А.О., Дударев В.В., Мнухин Р.М. О влиянии остаточного упру­

гопластического состояния трубы на динамические характеристики //

Доклады РАН. 2015. Т. 463, № 6. С. 661–663.

237. Vatulyan A.O., Mnukhin R.M., Dudarev V.V. Vibration of a prestressed tube

in the presence of plastic zone // Journal of Sound and Vibration. 2016.

Vol. 275. P. 92–101.

238. Ватульян А.О., Дударев В.В., Мнухин Р.М. Определение уровня неод­

нородного предварительного напряжённо-деформированного состояния в

пьезоэлектрическом диске // Прикладная механика и техническая физи­

ка. 2018. Т. 59, № 3. С. 181–190.

239. Vatulyan A.O., Mnukhin R.M., Dudarev V.V., Nedin R.D., Gusakov D.V. On

the Determination of the Biot Modulus of Poroelastic Cylinder // ZAMM –

Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 2019. Vol. 99, no. 3. Article

number e201800137.

240. Vatulyan A.O., Mnukhin R.M., Dudarev V.V., Nedin R.D. Identification of the

Lamé parameters of an inhomogeneous pipe based on the displacement field

data // European Journal of Mechanics – A/Solids. 2020. Vol. 81. Article

number e103939.

176

241. Vatulyan A.O., Mnukhin R.M., Dudarev V.V., Nedin R.D. Concerning an ap­

proach to identifying the Lamé parameters of an elastic functionally graded

cylinder // Mathematical Methods in the Applied Sciences. 2020. Vol. 43,

no. 11. P. 6861–6870.

242. Dudarev V.V., Mnukhin R.M., Nedin R.D., Vatulyan A.O. Effect of material

inhomogeneity on characteristics of a functionally graded hollow cylinder //

Applied Mathematics and Computation. 2020. Vol. 382. Article number

125333.

243. Ватульян А.О., Мнухин Р.М., Дударев В.В. О влиянии остаточных на­

пряжений на резонансные частоты гетерогенной трубы // Проблемы

динамики взаимодействия деформируемых сред. Труды VIII международ­

ной конференции, г. Горис, Армения. 2014. С. 113–117.

244. Дударев В.В., Мнухин Р.М., Богачев И.В. Об определении неоднородно­

го предварительного напряженного состояния в трубе при наличии зоны

деструкции // ХI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам

теоретической и прикладной механики: сборник докладов, г. Казань. 2015.

С. 1239–1241.

245. Дударев В.В., Мнухин Р.М. Об определении преднапряжений в трубах и

стержнях // Современные методы и проблемы теории операторов и гар­

монического анализа и их приложения: Материалы VI Международной

научной конференции, г. Ростов-на-Дону. 2016. С. 90–91.

246. Дударев В.В., Мнухин Р.М. К определению модуля Био пороупругого ци­

линдра // Математическое моделирование и биомеханика в современном

университете: Тезисы докладов XI всероссийской школы-семинара, с. Див­

номорское. 2016. С. 44.

247. Ватульян А.О., Мнухин Р.М., Дударев В.В. Об идентификации перемен­

ного модуля Био пороупругой трубы // Сборник трудов IX Всероссийской

177

конференции по механике деформируемого твердого тела, г. Воронеж.

2016. С. 78–80.

248. Дударев В.В., Мнухин Р.М. К определению преднапряжений в электро­

упругом цилиндре // XVIII международная конференция Современные

проблемы механики сплошной среды: Труды XVIII Международной науч­

ной конференции, Том 1, г. Ростов-на-Дону. 2016. С. 184–188.

249. Дударев В.В., Мнухин Р.М. Об обратной задаче определения уровня

плоского предварительного напряженного состояния в электроупругом

диске // XX Зимняя школа по механике сплошных сред: Тезисы докла­

дов XX международной конференции, г. Пермь. 2017. С. 115.

250. Дударев В.В., Мнухин Р.М. О колебаниях функционально-градиентных

пьезоэлектрических тел с предварительными напряжениями // Порядко­

вый анализ и смежные вопросы математического моделирования: Тезисы

докладов XIV Международной научной конференции, с. Цей. 2017. С. 148.

251. Dudarev V.V., Mnukhin R.M. On the Vibrations of Prestressed Electroelastic

Bodies // International Conference on Mathematical Modelling in Applied

Sciences, Saint Petersburg. 2017. P. 305–306.

252. Dudarev V.V., Mnukhin R.M. On vibrations of inhomogeneous pre-stressed

piezoelectric rod // 2017 International Conference on Physics and Mechanics

of New Materials and Their Applications, Jabalpur, India. 2017. P. 48–49.

253. Дударев В.В., Мнухин Р.М. Об определении уровня предварительных

напряжений в неоднородных электроупругих телах // Современные про­

блемы механики сплошной среды: тезисы докладов XIX Международной

конференции, г. Ростов-на-Дону. 2018. С. 45.

254. Дударев В.В., Мнухин Р.М. Идентификация упругих свойств неоднородно­

го цилиндра // ХII Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам

178

теоретической и прикладной механики: сборник трудов в 4 томах. Том 3,

г. Уфа. 2019. С. 153–155.

255. Дударев В.В., Мнухин Р.М. Об одной обратной задаче определения па­

раметров Ламе в упругом неоднородном цилиндре // Математическое

моделирование и биомеханика в современном университете. Тезисы докла­

дов XIV Всероссийской школы-семинара, с. Дивноморское. 2019. С. 51.

256. Калинчук В.В., Белянкова Т.И. Динамика поверхности неоднородных

сред. М.: Физматлит, 2009. 313 с.

257. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

258. Bogachev I.V., Nedin R.D., Vatulyan A.O., Yavruyan O.V. Identification of

inhomogeneous elastic properties of isotropic cylinder // ZAMM – Journal of

Applied Mathematics and Mechanics. 2017. Vol. 97, no. 3. P. 358–364.

259. Vatulyan A.O., Uglich P.S., Yavruyan O.V. Inverse coefficient problem of the

variable properties reconstruction for the viscoelastic cylindrical waveguide //

ZAMM – Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 2020. Vol. 100,

no. 3. e201900170.

260. Atalla N., Panneton R., Debergue P. A mixed displacement-pressure

formulation for poroelastic material // The Journal of the Acoustical Society

of America. 1998. Т. 104. С. 1444–1452.

261. Cheng A.H.-D., Badmus T., Beskos D.E. Integral equation for dynamic poroe­

lasticity in frequency domain with BEM solution // Journal of Engineering

Mechanics. 1991. Vol. 117, no. 5. P. 1136–1157.

262. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 940 p.

263. Huang Y.H., Ma C.C., Li Z.Z. Investigations on vibration characteristics of

two-layered piezoceramic disks // International Journal of Solids and Struc­

tures. 2014. Vol. 51. P. 227–251.

179

264. Wang H.M., Luo D.S. Exact analysis of radial vibration of functionally graded

piezoelectric ring transducers resting on elastic foundation // Applied Mathe­

matical Modeling. 2016. Vol. 40. P. 2549–2559.

265. Loza I.A. Free vibrations of piezoceramic hollow cylinders with radial polariza­

tion // Journal of Mathematical Sciences. 2011. Vol. 174, no. 3. P. 295–302.

266. Kharouf N., Heyliger P.R. Axisymmetric free vibrations of homogeneous and

laminated piezoelectric cylinders // Journal of Sound and Vibration. 1994.

Vol. 174, no. 4. P. 539–561.

267. Nedin R.D., Dudarev V.V., Vatulyan A.O. Vibrations of inhomogeneous

piezoelectric bodies in conditions of residual stress-strain state // Applied

Mathematical Modeling. 2018. Vol. 63. P. 219–242.

268. Bazant Z. A correlation study of formulations of incremental deformation and

stability of continuous bodies // Journal of Applied Mechanics. 1971. Vol. 38.

P. 919–928.

269. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого тела. М.: Наука, 1988. 267 с.

270. Ватульян А.О., Дударев В.В., Богачев И.В. Об определении предваритель­

ного напряженного состояния в трубе // Доклады РАН. 2014. Т. 456, № 3.

С. 299–301.

271. Stoer J., Bulirsch R. Introduction to Numerical Analysis. New York:

Springer-Verlag New York, 2002. 746 p.

272. Polyanin A.D., Zaitsev V.F. Handbook of Ordinary Differential Equations:

Exact Solutions, Methods, and Problems. New York: Chapman and Hall/CRC,

2017. 1487 p.

273. Модуль Юнга [Электронный ресурс]: Википедия. Свободная

энциклопедия. 2020. (дата обращения: 03.02.2021). URL:

https://ru.wikipedia.org/wiki/Модуль_Юнга.

180

274. Медь [Электронный ресурс]: Википедия. Свободная энциклопедия. 2020.

(дата обращения: 03.02.2021). URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Медь.

275. Карбид вольфрама [Электронный ресурс]: Википедия. Свобод­

ная энциклопедия. 2019. (дата обращения: 03.02.2021). URL:

https://ru.wikipedia.org/wiki/Карбид_вольфрама.

276. Nedin R.D., Vatulyan A.O., Dudarev V.V., Bogachev I.V. Detection of nonuni­

form residual strain in a pipe // International Journal of Solids and Structures.

2018. Vol. 139–140. P. 121–128.

277. Ватульян А.О. К теории обратных задач в линейной механике деформи­

руемого тела // Прикладная математика и механика. 2010. Т. 74, № 6.

С. 909–916.

278. Matveenko V.P., Shardakov I.N., Voronkov A.A., Kosheleva N.A.,

Lobanov D.S., Serovaev G.S., Spaskova E.M., Shipunov G.S. Measure­

ment of strains by optical fiber Bragg grating sensors embedded into polymer

composite material // Structural Control and Health Monitoring. 2017.

Vol. 25, no. 3.

279. Kress R., Zinn A. On the numerical solution of the three-dimensional inverse

obstacle scattering problem // Journal of Computational and Applied Mathe­

matics. 1992. Vol. 42, no. 1. P. 49–61.

280. Smith C.B., Hernandez E.M. Non-negative constrained inverse eigenvalue prob­

lems – Application to damage identification // Mechanical Systems and Signal

Processing. 2019. Vol. 129. P. 629–644.

281. Nedin R., Vatulyan A., Nesterov S. Some features of solving an inverse problem

on identification of material properties of functionally graded pyroelectrics //

International Journal of Heat and Mass Transfer. 2019. Vol. 128. P. 1157–1167.

181

282. Paige C.C., Saunders M.A. LSQR: An Algorithm for Sparse Linear Equations

and Sparse Least Squares // ACM Transactions on Mathematical Software.

1982. Vol. 8, no. 1. P. 43–71.

283. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, Том 2. М.: ГИФМЛ,

1959. 620 с.

284. Dai H.L., Rao Y.N., Dai T. A review of recent researches on FGM cylindri­

cal structures under coupled physical interactions, 2000–2015 // Composite

Structures. 2016. Vol. 152. P. 199–225.

285. Богачев И.В., Ватульян А.О., Явруян О.В. Идентификация свойств неод­

нородной электроупругой среды // Прикладная математика и механика.

2012. Т. 76, № 5. С. 860–866.

286. Дударев В.В., Ляпин А.А., Святко Ю.А. Реконструкция поля предвари­

тельных напряжений в неоднородной пороупругой среде // Экологический

вестник научных центров ЧЭС. 2015. № 3. С. 20–25.

287. Lubliner J. Plasticity Theory. University of California at Berkeley, 2006. 528 p.

288. Ватульян А.О., Дударев В.В. Об определении внутреннего давления в ци­

линдре по данным акустического зондирования // Дефектоскопия. 2014.

№ 10. С. 52–60.

289. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. М.: Маши­

ностроение, 1975. 117 с.

290. Kachanov L.M. Fundamentals of the Theory of Plasticity. Dover Publications,

2004. 512 p.

291. Ватсон Дж.Н. Теория бесселевых функций. М.: ИЛ, 1949. 799 с.

292. Коренев Б.Г. Введение в теорию бесселевых функций. М.: Наука, 1971.

288 с.

182

293. Ватульян А.О. О вариационной постановке обратных коэффициентных за­

дач для упругих тел // Доклады РАН. 2008. Т. 422, № 2. С. 182–184.