Расчет аэродинамических характеристик решеток произвольных лопастей, колеблющихся в потоке идеальной несжимаемой жидкости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Толстуха, Александр Сергеевич

• Толстуха, Александр Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Толстуха, Александр Сергеевич

ВВЕДЕНИЕ

1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ НЕСТАЦИОНАРНОГО ОБТЕКАНИЯ РЕШЁТКИ ЛОПАСТЕЙ

1.1 Уравнения движения идеальной однородной несжимаемой жидкости во вращающейся системе координат.

1.2 Область и основные уравнения.

1.3 Условие на лопасти

1.4 Условие на периодических границах перед венцом.

1.5 Условие на пелене.

1.6 Нагрузка.

2 ЗАДАЧА СТАЦИОНАРНОГО ОБТЕКАНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ РЕШЁТКИ

2.1 Постановка для потенциала скоростей.

2.2 Метод решения.

2.3 Метод решения в ограниченной области.

2.4 Переход к следующему приближению.

2.5 Вычислительные аспекты задачи.

2.6 Результаты вычислительных экспериментов.

2.7 Сходимость конечно-элементных аппроксимаций для краевой задачи типа Неймана.

2.7.1 Аппроксимацция.

2.7.2 Сходимость.

3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ ТЕЧЕНИЯ

3.1 Постановка задачи для комплексной амплитудной функции

3.2 Метод решения.

3.3 Построение системы линейных алгебраических уравнений

3.4 Переход к следующему приближению.

3.5 Результаты вычислительных экспериментов.

3.6 Комплекс программ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Расчет аэродинамических характеристик решеток произвольных лопастей, колеблющихся в потоке идеальной несжимаемой жидкости»

Определение нестационарных аэродинамических характеристик (НАХ) решёток колеблющихся лопастей представляет собой актуальную задачу, решение которой необходимо для расчёта решёток турбомашин на флаттер, а также для расчёта уровня динамических напряжений в лопастях при их обтекании неравномерным потоком, который, в свою очередь, определяет ресурс и надёжность турбомашин.

Изучение аэроупругости турбомашин начались в 50-ых годах XX в. Результаты интенсивных исследований обобщены в монографиях [43], [9], [36], и обзорах [41], [10], [16], в которых имеется обширная библиография. Библиография за большой период опубликована также отдельной книгой [18].

В силу большой сложности соответствующих гидродинамических задач успех исследований аэроупругости лопаток турбомашин в значительной степени определялся развитием аэродинамики решёток в нестационарном потоке. В основу модели было положено предположение о бе-зотрывности обтекания и гипотеза цилиндрических сечений, согласно которой поверхности тока течения через кольцевую решётку являются цилиндрические поверхности, на каждой из которых течение рассматривается независимо. Использовалось предположение об установившемся характере колебаний лопастей по гармоническому закону. Амплитуда колебаний принималась малой, что дало возможность линеаризации и постановки задачи о нестационарных возмущениях поля скоростей.

Решётка профилей в потоке несжимаемой жидкости может быть изучена наиболее полно, так как позволяет использовать развитый аппарат решения краевых задач для аналитических функций. В частности, методы решения задач теории крыла [39] , [26] с успехом были применены к задаче обтекания решётки пластин, совершающих синхфазные колебания под малым углом атаки [67], [58], [65], [71], [66], [37].

В 1955 году выходит работа Систо [66], в которой впервые рассмотрены колебания решётки пластин со сдвигом фазы между колебаниями соседних профилей. Примеры расчётов указывали на большое влияние величины сдвига фазы на величину аэродинамического демпфирования колебаний профилей.

Эти работы, в основном, выполнены в рамках линейной теории малых возмущений равномерного потока.

Влияние стационарных параметров потока на нестационарные характеристики было обнаружено Мусатовым [25] при исследовании несинфазных колебаний решётки пластин под углом атаки. Дальнейшее развитие связано с учетом кривизны, телесности профилей, их колебаниям в неравномерном потоке, условиях аэродинамической нагруженности.

Идея построения решения этой задачи заключается в применении конформного отображения основного периода колеблющейся решётки на внутренность круга предложена Г.Ю. Степановым [43]. Предпола-гаетя, что конформное отображение колеблющейся решётки на каноническую область можно считать совпадающим с отображением неподвижной решётки. Взаимное смещение рофилей в такой постановке учитывается. В работе Самойловича [35] в качестве канонической области использована внешность решётки кругов. В полной линеаризованной постановке, т.е. с учётом смещения профилей и наличия криволинейных вихревых следов за ними задача рассмотрена В.Э. Сареном [38].

Стремление построить эффективные алгоритмы расчёта привело к развитию численных методов решения задачи обтекания вибрирующих профилей. Метод интерференции предложен Д.Н. Гореловым для задачи обтекания слабо изогнутых профилей под малым углом атаки [7]. Важные для практики расчётные результаты и их анализ изложены в работе [8], в которой использован метод Хаскинда [55]. Для решётки профилей в сжимаемом потоке ряд результатов получен методом склеивания, развитым В.Б. Курзиным [15].

Широкое применение нашли методы, связанные с численным решением интегральных уравнений, эквивалентных соответствующей задаче обтекания. В случае решёток бесконечно тонких профилей успешно используется метод дискретных вихрей, развитый С.М. Белоцерковским [1]. Идея метода восходит к понятию о несущем вихре. Теоретические вопросы аппроксимации вихревого слоя системой дискретных вихрей рассматриваются, в частности, М.А. Лаврентьевым в [21].

Повторим, что в 50-60-х годах показано, что в результате интерференции нагрузки на колеблющиеся пластины в решётке отличаются от нагрузок на одиночный профиль.

Выявлено влияние нестационарного следа.

Доказана необходимость учёта скоростей стационарного течения.

Таким образом, на геометрически простых решётках были выявлены качественные механические закономерности, имеющие фундаментальный характер. Практические же потребности требуют рассмотрения решёток произвольных профилей, для получения точных числовых значений нестационарных аэродинамических характеристик (НАХ), что стало одним из направлений дальнейших исследований.

Развитие вычислительной техники и сеточных методов решения уравнений математической физики позволили задачу о колебаниях лопастей формулировать как краевую и решать численно в физической области течения.

Используются два подхода: Один связан с интегрированием полной системы уравнений Эйлера или Навье-Стокса. Он даёт возможность моделировать развитие процесса во времени в отсутствии предположения о малости амплитуды колебаний. При этом усложняется постановка граничных условий, затрудняется механическая интерпретация полученных результатов. Велики затраты. Часто каждый расчёт уникален. Тем не менее, побуждаемый запросами практики, данный подход интенсивно развивается [62], [75], [68].

Другой подход основан на модели течения идеальной жидкости или газа. Сохраняются предположения об установившемся характере нестационарного процесса и о малости амплитуд колебаний. В силу этого, условия на подвижном профиле "сносятся" на среднее положение. Постановка задачи для плоских решёток произвольных профилей специально обсуждается в работе Курзина [17].

Первые реализованные постановки с достаточно полным учётом граничных условий изложены в работах [72], [73], [74]. Реализован метод конечных разностей. Трудности: (1) в силу сложности области расчётная сетка теряет в некоторых местах области регулярность, (2) спектральные свойства разностного оператора могут не аппроксимировать спектральные свойства оператора исходной задачи [23], [3]. Этого недостатка лишен метод конечных элементов (МКЭ). Другие плюсы: (1) простота удовлетворения граничных условий (2) разбиение универсальное (3) разреженная структура матрицы системы. Этот подход последовательно реализован в работах [54], [28]. Результаты позволили создать программу инженерных расчётов НАХ - её описание имеется в [4].

Представляет интерес развитие метода на случай пространственного обтекания венца лопастей.

Первый расчёт пространственных НАХ проведен Гореловым Д.Н. для решётки пластин, совершающих малые неравномерные по размаху колебания в однородном потоке газа [9]. Применялась техника разложения искомого решения в ряд по функциям Матье. Другой метод предложен Рябченко В.П. в работе [32]. Для пространственного осевого венца, лопасти которого представляют части винтовых поверхностей таких, что невозмущенное течение через венец является однородным, применён метод дискретных вихрей. Метод отличает способ удовлетворения условия непротекания на внешних и внутренних цилиндрических обводах: вихревая система на лопастях и вихревой пелене отражается относительно обводов. Развитие этого подхода изложено в [31]-[34].

Общий случай задачи о малых колебаниях лопастей характеризуется, во-первых, неоднородным распределением стационарных скоростей на поверхности лопасти. Во-вторых, трёхмерный характер течения проявляется в переменной по высоте лопасти амплитуде разрыва потенциала, что приводит к "двунаправленной" вихревой пелене. Можно даже считать, что имеется два семейства свободных вихрей, сходящих с задней кромки и двигающихся согласно полю стационарных скоростей. Оси вихрей первого семейства направлены (приближённо) перпендикулярно осевым обводам, - они отражают изменение циркуляции вокруг лопасти в процессе колебаний. Другое семейство возникает из-за перетекания жидкости вдоль размаха лопасти - оси вихрей располагаются в плоскости пелены перпендикулярно задней кромке.

Следующая особенность - замыкающее задачу условие Жуковского-Кутта на задних кромках лопастей венца. Им определяется амплитуда разрыва потенциала на кромках. В случае плоских решёток в силу линейности оператора задачи решение является суммой двух компонент: непрерывной бесциркуляционной и разрывной. Напрашивается подобный подход для пространственной задачи: (1) найти непрерывную составляющую с условием непротекания на лопасти. (2) найти составляющие с единичным разрывом на каждом уровне разбиения по высоте. (3) взять линейную комбинацию полученных решений с константами, такими, чтобы удовлетворить условие Жуковского-Кутта на всех уровнях. Расчёты показали, что такой подход не срабатывает, так как коэффициенты для комбинации решений нужно икать при помощи решения линейной си-темы, элементы которой есть функции с особенностью в окрестности задней кромки.

Как отмечалось, нестационарные характеристики зависят от основного стационарного потока: во-первых, распределение стационарных скоростей по лопасти входят в граничные условия, во-вторых, нестационарные вихри, сходящие с задних кромок переносятся стационарным течением. Поэтому его определение является частью задачи. Представляет она и самостоятельный интерес.

Работы по методам определения пространственного течения в тур-бомашинах принято вести от работы [70] - квазитрёхмерная технология, расчёты проводятся последовательно для течений в "тонких" слоях. Осе-симметричное в меридиональном слое, приближённо являющемся средней поверхностью тока. Затем в построенном по осесимметричному течению цилиндрическом "тонком" слое, расчёт в котором позволяет учесть форму профилей и, наконец, расчёт в поперечном каналу слое, позволяющий определить вторичные течения. Решение в каждом из трёх слоев уточняет решение в двух других. Применяется в самых различных вариантах и содержательных контекстах, например, [40] - для нескольких ступеней со стыковкой условий (склейкой) на границах ступеней; [14] - осесимметричный в меридиональной плоскости МКЭ; [13] - слой переменной толщины на осесимметрической поверхности. [60], [57] - трансзвуковое течение.

Много работ посвящено определению течения в поперечных каналу плоскостях - так называемые вторичные течения. Этому вопросу неизменно уделяется внимание в экспериментальных и теоретических исследованиях пространственной структуры потока, [6] - монография, [5] -расчёт в направляющем аппарате, [61] - эксперимент.

Возникновение вторичных течений принято рассматривать в первую очередь как результат вязкого взаимодействия жидкости или газа с твёрдыми поверхностями межлопаточного канала - поверхностями лопастей и цилиндрических обводов. Действительно, к примеру, задача о натекании пограничного слоя с внутреннего обвода на угол в месте сопряжения с поверхностью лопасти в окрестности задней кромки [11] может быть рассмотрена только в рамках модели вязкой среды. Но вклад поверхности лопастей в образование вторичных течений можно учесть в рамках модели идеальной жидкости или газа. Действительно, наблюдаемая картина обтекания лопастных систем со сходом потока с задних кромок, возможная лишь в силу вязких процессов на поверхности лопасти, - в отсутствии вязкости реализуется применением условия Жуковского-Кутта на задней кромке; при этом вокруг лопасти возникает в общем случае переменная по высоте лопасти циркуляция скорости, а с кромки сходят свободные вихри, образующие вихревую пелену. Возникающая картина течения включает и перетекание в поперечных потоку плоскостях.

Таким образом, без учёта влияния свободных вихрей и положения пелены, нельзя получить правильную картину пространственного обтекания. В предположении идеальности жидкости (газа) вихревая пелена стационарного течения есть поверхность контактного разрыва вектора скорости. Если предположить, что вне поверхности пелены вихри отсутствуют и энтропия постоянна, то есть течение потенциально, тогда в силу ненулевой циркуляции скорости вокруг лопасти потенциал терпит разрыв на пелене. Рассмотрим, какие подходы предлагались для учёта течения за решёткой лопастей. Самое раннее - [69] уже упомянутый выше способ: линейная комбинация решений с единичным разрывом потенциала скоростей на уровнях дискретизации по высоте. Имеются попытки применения этого подхода: [56], [64]. Очевидно, что применение его возможно для области с предписанным положением пелены, или же требуется итерационная процедура уточнения, на каждом шаге которого требуется решить I +1 задачу (I - число уровней дискретизации по высоте), что нерационально. Дело осложняется тем, что вихревая пелена неустойчива [2].

Сформулируем цель диссертационной работы: Построить эффективный алгоритм численного решения задачи определения НАХ пространственной вращающейся решётки лопастей произвольной формы, совершающих малые по амплитуде колебания по заданной форме и с заданной частотой, со сдвигом фазы между соседними лопастями, в условиях безотрывного обтекания потоком идеальной жидкости.

На путях достижения цели требуется решить следующиие задачи:

1. Осуществить постановку краевых задач определения основного течения и возмущённого нестационарного течения в первом (линейном) приближении.

2. Построить алгоритм численного решения вспомогательной задачи нахождения параметров стационарного обтекания, скорости которого входят в граничные условия для нестационарной составляющей течения.

3. Построить алгоритм численного решения задачи определения потенциала скоростей возмущённого колебаниями лопастей течения.

В соответствии с целью и задачами диссертации, работа состоит из введения, трёх глав и заключения.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Толстуха, Александр Сергеевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотрена задача расчёта аэродинамических характеристик решётки произвольных лопастей, колеблющихся в потоке идеальной жидкости.

Осуществлена постановка краевых задач определения основного течения и возмущённого нестационарного течения линеаризацией на стационарном течении в предположении малости амплитуды колебаний лопастей по гармоническому закону. Выведены граничные условия краевых задач условия на поверхностях лопастей, на пелене, на задней кромке.

Так как в постановке граничных условий нестационарной задачи участвуют скорости стационарного течения, рассмотрена задача пространственного обтекания решётки стационарным потоком с учётом влияния вихревой пелены. Течение предполагалось потенциальным. Предложена постановка задачи, в которой вихревая пелена трактуется как поверхность контактного разрыва поля скоростей и реализована итерационная процедура определения распределения разрыва потенциала на задней кромке и положения вихревой пелены. Расчёты подтвердили, что распределение скоростей на поверхности лопастей и их аэродинамические характеристики в первую очередь определяется распределением циркуляции вдоль размаха лопасти, углом выхода потока - во вторую, и в меньшей степени дальнейшей эволюцией пелены.

Приближённое решение задачи определения комплексной амплитудной функции ищется в ограниченной области, содержащей межлопаточный канал. Реализована итерационная процедура для установления распределения величины разрыва функции на задней кромке для выполнения условия Жуковского-Кутта. Использован метод конечных элементов, базисом которых являются кусочно-линейные функции, определённые на тетраэдрах разбиения расчётной области.

Корректность постановки и программной реализации подтверждена сравнением с результатами, полученными ранее другими авторами.

Работа апробирована на XI (Ужгород, 15-17 сентября 1987 г.) и XIII (Севастополь , 31 мая - 2 июня 1991 г.) [45] Всесоюзных конференциях по аэроупругости турбомашин, на седьмом 7th ISUAAAT (Fukuoka, Japan. September 25-29, 1994) и одиннадцатом ISUAAAT-2006 (Moscow, Russia. September 4-8, 2006) международных симпозиумах по нестационарной аэродинамике, аэроакустике и аэроупругости турбомашин; на юбилейной научно-технической конференции, посвященной 60-летию отделений аэродинамики летательных аппаратов и прочности авиационных конструкций - СибНИА, Новосибирск, 15-17 июня 2004 г. Апробации стационарной задачи в потенциальной постановке - на региональной научно-технической конференции "Моделирование и автоматизация проектирования сложных технических систем", Калуга, 23-24 октября 1990 г. [46], на Всесоюзной школе-семинаре по механике, Владивосток, 1991 г. [47]; задачи о переносе завихренности - на третьем сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (INPRIM-98), Новосибирск, 22-27 июня 1998 г. [48].

Постановка задачи и результаты обсуждалась на семинарах лаборатории аэроупругости Института гидродинамики им. М.А.Лаврентьева СО РАН, совместном семинаре лаборатории математического моделирования в механике омского филиала Института математики им. С.Л.Соболева СО РАН и кафедры математического моделирования ОмГУ им. Ф.М.Достоевского.

Результаты диссертационной работы опубликованы в статьях [12], [49], [59], [50], [51], [20], [63].

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Толстуха, Александр Сергеевич, 2006 год

1. Белоцерковсий С.М., Гиневский А,С,, Полонский Я.Е. Аэродинамические силы, действующие на решётку профилей при нестационарном обтекании // Промышленная аэродинамика. Вып. 20. М.: Обо-ронгиз. 1961. С. 6-36.

2. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973. -758 с.

3. Вазов В., Форсайт Д. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. М.: ИЛ, 1963. - 488 с.

4. Гидродинамика решёток в нестационарном потоке. Теоретическое исследование нестационарных гидродинамических сил, действующих на лопатки турбомашин в потоке газа // Отчет о НИР / Руководитель Курзин В.Б. №ГР 01860075782. Новосибирск, 1989. -166 с.

5. Гнесин В.И., Соколовский Г.А. Расчёт вторичных течений невязкого газа в пространственных решётках турбомашин // Проблемы машиностроения. Киев, 1983. №19. С. 91-95.

6. Гречаниченко Ю.В., Нестеренко В.А. Вторичные течения в решётках турбомашины. Харьков: Вища школа, 1983. - 119 с.

7. Горелов Д.Н. О расчёте аэродинамической интерференции системы тел в идеальной жидкости // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. 1964. №5. С. 56-68.

8. Горелов Д.Н., Доминас JI.B. Расчёт аэродинамических сил и моментов, действующих на решётку пластин, колеблющихся в плоском потоке несжимаемой жидкости // Изв.'АН СССР. Механика и машиностроение. 1965. №3. С. 67-76.

9. Горелов Д.Н., Курзин В.В., Сарен В.Э. Аэродинамика решёток в нестационарном потоке. Новосибирск: Наука, 1971. - 272 с.

10. Горелов Д.Н., Курзин В.В., Сарен В.Э. Современное состояние аэродинамики решёток в нестационарном потоке // Аэродинамика тур-бомашин. Сб. статей. Киев: Наукова думка, 1980. С. 36-46.

11. И. Гуревич Ю.Г., Шубин С.В.О взаимодействии пограничных слоёв в трёхмерных течениях // МЖГ. 1988. №3. С. 63-86.

12. Ершова JI.H. и др. К расчёту пространственного сжимаемого идеального газа в рабочих колёсах турбомашин // Гидродинамика больших скоростей: Труды 3 Всесоюзной школы-семинара. Красноярск, 1987. С. 92-95.

13. Заболотный Ф.Г. Расчёт установившегося осесимметричного вихревого течения несжимаемой невязкой жидкости в радиально-осевой турбомашине // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1979. №3. С. 147-155.

14. Курзин В.Б. Решение задачи о неустановимшемся обтекании решётки телесных профилей методом склеивания // Изв. АН СССР. МЖГ. 1967. №3, С. 64-76.

15. Курзин В.Б. Аэродинамика решёток в нестационарном потоке // Динамические задачи механики сплошных сред: Сб. статей. Новосибирск: ИГ СО АН СССР, 1978. С. 116-126.

16. Курзин В.Б. Постановка задачи о малых колебаниях решётки произвольных профилей в дозвуковом потоке газа // Тр. ЦИАМ. 1984. №1093. С. 49-50.

17. Курзин В.Б., Климина J1. А. Аэроупругость турбомашин: Библиографический указатель отечественной и иностранной литературы за 1968-1982 гг. Новосибирск, 1983. - 154 с.

18. Курзин В.В., Коробейников С.Н., Рябченко В.П., Ткачёва Л.А. Собственные колебания лопастей однородной решётки гидротурбин в жидкости // ПМТФ. 1997. Т. 38. №2. С. 80-90.

19. Курзин В.В., Толстуха А.С. К расчёту нестационарных аэродинамических характеристик вращающейся решётки колеблющихся лопастей в потоке несжимаемой жидкости // Изв. АН. МЖГ. 2005. №1. С. 40-52.

20. Лаврентьев М.А. О построении потока, обтекающего дугу заданной формы // Тр. ЦАГИ. 1932. Вып. 118, С. 68-96.

21. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980. - 534 с.

22. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981. - 416 с.

23. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983. - 424 с.

24. Мусатов В.В, К расчёту нестационарного обтеканя решёток профилей в несжимаемой жидкости // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. 1963. №3. С. 166-181.

25. Некрасов А.И. Теория крыла в нестационарном потоке. М.Ленинград: Изд. АН СССР, 1947. - 258 с.

26. Овсянников JI.В. Лекции по основам газовой динамики. М.: Наука, 1981.- 368 с.

27. Осипов А.А. Метод расчёта нестационарных аэродинамических нагрузок на решётке телесных профилей, колеблющихся в дозвуковом потоке газа // Аэроупругость лопаток машин: Сб. статей. Вып. 6. -Тр. ЦИАМ. 1991. №1293. С. 35-50.

28. Рябченко В.П. Расчёт пространственного обтекания лопаточного венца осевой турбомашины потенциальным потоком несжимаемой жидкости // ПМТФ. 1979. №2. С. 119-127.

29. Рябченко В.П. Аэродинамические силы, действующие на лопасти пространственной кольцевой решётки при нестационарном обтекании // ПМТФ. 1979. №4. С. 89-97.

30. Рябченко В.П. Расчёт квазистационарных аэродинамических характеристик кольцевой решётки в дозвуковом потоке // Тр. ЦИАМ. 1983. №1064. С. 26-38.

31. Рябченко В. П. Аэродинамические характеристики пространственной кольцевой решётки лопастей, колеблющихся со сдвигом фазы в дозвуковом потоке газа // Аэроупругость турбомашин: Сб. статей Новосибирск, 1984. С. 48-56.

32. Самойлович А.С. К расчёту нестационарного потока вокруг решётки произвольных профилей, вибрирующих с произвольным сдвигом фаз // ПМ. 1962. №1. С. 66-79.

33. Самойлович Г. С. Нестационарное обтекание и аэроупругие колебания решёток турбомашин. М.: Наука, 1969. - 444 с.

34. Саразетдинов Т.К. К обтеканию колеблющихся решёток // Тр. КАИ. 1958. Вып. 38. С. 66-70.

35. Сарен В.Э. Обтекание решётки тонких криволинейных профилей нестационарным потоком несжимаемой жидкости // Изв. АН СССР. МЖГ. 1966. М. С. 64-69.

36. Седое Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. -М.: Наука, 1980. 448 с.

37. Сироткин А.Я., Степанов Г.Ю. Установившееся осесимметричное вихревое течение невязкой жидкости в многоступенчатых турбома-шинах // Изв. АН СССР. МЖГ. 1981. №6. С. 13-15.

38. Систо Ф. Обзор исследований по механике жидкости, связанных с аэроупругостью в турбомашиах // Теоретические основы инженерных расчётов: серия Д. 1977. Т. 99. №1. С. 6-36.

39. Скороспелое В.А., Турук П.А. Сплайны в задачах проектирования и изготовления рабочих колёс гидротурбин // Вычислительные системы. Новосибирск, 1977. Вып. 2. С. 56-64.

40. Степанов Г.Ю. Гидродинамика решёток турбомашин. М.: Физ-матгиз, 1962. - 512 с.

41. Треногий В.А., Писаревский Б.М., Соболева Т. С. Задачи и упражнения по функциональному анализу. М.: Наука, 1984. - 256 с.

42. Толстуха А.С. Расчёт пространственного течения жидкости через решётку колеблющихся лопастей // Аэроупругость турбомашин: Тезисы докладов XIII Всесоюзной конференции. Тр. ЦИАМ. 1991. №1294. С. 7.

43. Толстуха А.С. Расчёт пространственного дозвукового течения газа через венец турбомашины для определения скоростей и углов выхода потока // Моделирование и автоматизация проектирования сложных технических систем: Тезисы докладов. Калуга, 1990. С. 126.

44. Толстуха А.С., Файзуллин Р.Т. Применение МКЭ для определения потенциального течения в венце турбомашины // Тезисы Всесоюзной школы-семинара. Владивосток, 1991. С. 16.

45. Толстуха А.С. Расчёт пространственных течений с распределённой завихренностью // Третий сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98): Тезисы докладов. Новосибирск: Изд-во Института математики СО РАН, 1998. Часть II. С. 126.

46. Толстуха А.С. Пространственное трансзвуковое течение в осевом венце турбомашины // Фундаментальная и прикладная математика: Сб. научных трудов. / Ред. А.К.1>ц. Омск: ОмГУ, 1994. С. 130-135.

47. Толстуха А.С. Перенос завихренности: вариационный подход // Математические структуры и моделирование. Омск: ОмГУ, 1998. Вып. 2. С. 116-123.

48. Толстуха А.С. Обтекание решёток произвольных лопастей идеальной несжимаемой жидкостью // Математические структуры и моделирование. Омск: ОмГУ, 2003. Вып. И. С. 67-87.

49. Тыркова Н.П., Холмянский И.А. Автоматическое разбиение некоторых трехмерных областей на конечные элементы // Проблемы прочности. 1982. №7. С. 60-61.

50. Фершинг Г. Основы аэроупругости. М.: Машиностроение, 1984. -599 с.

51. Файзуллин Р. Т. Расчёт методом конечных элементов нестационарных аэродинамических характеристик решёток в дозвуковом потокеидеального газа // Аэроупругость турбомашин: Сб. статей. Новосибирск, 1984. С. 57-65.

52. Хаскинд М.Д. Колебания решётки тонких профилей в несжимаемом потоке // ПММ. 1958. №2. С. 236-246.

53. Agrawal D.P., Yahya S.M., Asharya S. Analysis of flow in radial rotor of a cenrifugal turbomachinery using finite element method / hidro-turbo'89. 1989. P 85-95.

54. Cedar R.D., Stow P. Quasi-3d addings to finite element method for calculations of the transonic flow in cascades of the turbomachine / Int. J. Nu-mer. Meth. in Fluids. 1985. Vol. 5. No. 2. P 101-114.

55. Chang C.C., Chu W.H. Aerodynamic interference of cascade blades in sinchronized oscillation / Journ. of Appl. Mech. 1955. No. 4. P 166-172.

56. R.T. Faizullin, A.S. Tolstukha Unsteady 2 and 3-dimensional Calculations in Cascades / Unsteady Aerodynamics and Aeroelasticity of Turbo-machines. Tokyo: Elsevier, 1995. P 39-53.

57. W.G. Habashi, G.G. Yongson A transonic quasi-3D analysis for gas turbine engines including split-flow capability for turbofans / Int.'J. Nu-mer. Meth. in Fluids. 1983. Vol. 3. No. 2. P 1-21.

58. T. Kawai, T. Adachi, K. Akashita Structure and Decay of Secondary Flow / Bull. JSME. 1985. Vol. 28. No. 242. P 1611-1634.

59. Коуа М., Kotake S. Numerical analysis of fully three-dimensional periodic flows through a turbine stage / Trans. ASME: J. Eng. Gas Turbine and Power. 1985. Vol. 107. No. 4. P 945-952.

60. V.B.Kurzin, A.S. Tolstukha Some Calculations of Unsteady Aerodynamic Characteristics of Cascades with Oscillating Blades / Turbomachines: Aeroelasticity, Aeroacoustics, and Unsteady Aerodynamics. Moscow: TORUS PRESS Ltd., 2006. P 115-127.

61. B. Maiti, V. Seshardi, R.C. Malhotra Analysis of flow through centrifugal pump impellers by finite element method / Applied Scientific Reserch. 1989. Vol. 46. P 105-126.

62. Nickel K. Ein Sonderfall des senkrechten Profilgitters bei beliebigen in-stationaren Bewegungen / Ing. Archiv. 1957. No. 2. P 134-139.

63. Sisto F. Unsteady aerodynamic reactions on airfoil in cascade / J AS. 1955. No. 5, P 266-251.

64. Songen H. Luftkrafte an einen schwingengen Schaufel kranzkleiner Teilung / ZAMP. 1953. Bd. 4. No. 4. P 66-77.

65. Unsteady Aerodynamics and Aeroelasticity of Turbomachines / Edited by Y. Tanida, M. Namba. Tokyo: Elsevier. 1995. 808 p.

66. Worster D.M. The calculation of fully three-dimensional flows in impellers using finite element method / Rep. from Dept. of Mech. Eng. at Heriot Watt Univ. U.K. 1973. 366 p.

67. Wo C.H. A general theory of three-dimensional flow in a subsonic and supersonic turbomachines of axial, radial and mixed flow types / Trans. ASME. 1952. No. 74. P 1363-1380.

68. Woods L.C. On unsteady flow through a cascade of aerofoils / Proc. of the Royal Soc. of London: Series A. 1955. Vol. 228. No. 1172. P 50-65.

69. Verdon J.M., Caspar J.R. Subsonic flow past an oscillating cascade with finite mean flow deflection / AIAA J. 1980. Vol. 18. No. 5. P 540-548.

70. Verdon J.M., Caspar J.R. Numerical treatment of unsteady subsonic flow past an oscillating cascade / AIAA J. 1981. Vol. 19. No. 12. P 1531-1539.

71. Verdon J.M., Caspar J.R. Development of linear unsteady aerodynamic analysis for finite-deflection subsonic cascades / AIAA J. 1982. Vol. 20. No. 9. P 1259-1267.

72. Zannetti L., Ayele Т. T. Time-dependent computation of the Euler equations for designing full 3D turbomachinery blade rows, including the case of transonic shock-free design / AIAA Pap. 1987. No. 7, P 1-7.