Расчет оптимальных режимов для некоторых нелинейных процессов в гидродинамике и микроэлектронике тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Романенков, Александр Михайлович

• Романенков, Александр Михайлович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Романенков, Александр Михайлович

Введение

Глава 1. Оптимальное управление движением жидкости со свободной поверхностью.

1.1. Постановка задачи

1.2. Аналитическое решение и расчеты

1.3. Задача оптимального управления

1.4. Численный эксперимент, результаты и расчеты

Глава 2. Моделирование и оптимизация технологического процесса ионно-лучевого травления.

2.1. Физическая постановка задачи

2.2. Математическая модель задачи

2.3. Принцип максимума Л. С. Понтрягина

2.4. Численный метод. Устойчивость разностной схемы

2.5. Результаты расчетов

Заключение

Приложение.

1. Утилита «Фурьер»

2. Программный комплекс «Гашение»

3. Программный комплекс для моделирования

и оптимизации процесса ионно-лучевого травления

Библиография

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Расчет оптимальных режимов для некоторых нелинейных процессов в гидродинамике и микроэлектронике»

Введение.

Диссертационная работа посвящена разработке численных методов оптимального управления в задачах, связанных с гашением колебаний жидкости со свободной поверхностью, а также минимизации ухода геометрических размеров вытравливаемых элементов в технологическом процессе ионно-лучевого травления

В работе рассматриваются две нелинейные задачи оптимального управления. Первая задача посвящена гашению колебаний слабо возмущённой свободной поверхности идеальной несжимаемой жидкости. Необходимость гашения колебаний жидкости возникает во многих задачах, связанных с движением космических аппаратов, перевозками жидкого топлива и др.

В этой задаче, рассматривается объемное безвихревое движение идеальной несжимаемой жидкости со свободной поверхностью в сосуде кубической формы. Так как течение жидкости безвихревое, то для определения поля скоростей возникает уравнение Лапласа [2, 17-21]. Область, в которой справедливо уравнение Лапласа является нестационарной: по бокам и снизу жидкость ограничена стенками сосуда, а сверху свободной поверхностью жидкости, которая меняет свою форму с течением времени. Таким образом, возникает задача с неизвестной границей и задача оптимального управления с фиксированным временем и терминальным функционалом.

Вторая задача посвящена построению оптимального управления процессом ионно-лучевого травления, который является одним из этапов изготовления интегральных схем субмикронных размеров. Рассматриваемый процесс описывается существенно нелинейным гиперболическим уравнением [35]. В этом процессе в силу нелинейной зависимости скорости травления от угла падения ионного луча возникает эффект вырождения защитной маски в клин с углом полу раствора, соответствующим

максимальной скорости распыления, что приводит к нежелательному уходу геометрических размеров вытравливаемых элементов. Одним из способов борьбы с этим эффектом является изменение угла падения ионного луча во времени. Стоит отметить, что данная задача рассматривалась в работах [49, 50]. Однако в этих работах не был определен оптимальный режим процесса, позволяющий получать формы стравливаемой поверхности, близкие к желаемым. Кроме того, вопросы, связанные с математическим моделированием и оптимизации рассматривались в работах [14, 16, 45, 46, 50,51,52].

На данный момент написано очень работ посвященных оптимальному управлению и они посвящены самым разным классам задач: динамике движения тела с полостью [8-11, 38-44]; управление процессами микроэлектроники [48-51], [67]; математическим основаниям оптимального управления [71 -74], [76-81 ], [82], [85], [90-93]

Актуальность работы. В диссертационной работе основное внимание сосредоточено на построении численных методов расчета оптимального уравнения, которые основаны на применении принципа максимума JI.C. Понтрягина [53]. Стоит отметить, что методы построения оптимальных режимов в значительной степени развиты для систем обыкновенных дифференциальных уравнений [25-28, 30, 63]. Для процессов, которые описываются уравнениями в частных производных, возникают значительные трудности при поиске оптимального управления. Только для некоторого класса задач можно установить принцип максимума. Основные результаты в теории оптимального управления принадлежат JI. С. Понтрягину, Н. Н. Моисееву, В. Г. Болтянскому, Р. В. Гамкрелидзе.

Цель работы. Цель диссертации - разработка численных методов расчета оптимального управления для некоторых нелинейных трехмерных уравнений в частных производных, которые представляют собой

математические модели процессов колебания жидкости со свободной поверхностью и ионно-лучевого травления.

Научная новизна. Развиты методы расчета оптимального управления, основанные на применении принципа максимума Л. С. Понтрягина. С этой целью установлен принцип максимума в форме Л. С. Понтрягина для обеих рассматриваемых в диссертационной работе задач.

Задача гашения колебаний жидкости со свободной поверхностью в трехмерном сосуде сведена к решению задачи Коши для системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, анализ которой позволяет установить ряд механических эффектов, связанных с эффективностью оптимального управления.

Математическая модель процесса ионно-лучевого представляет существенно нелинейное уравнение гиперболического типа. Управляющая функция, а именно, угол падения ионного луча, зависит от времени, и, таким образом, задача оптимального управления становится задачей с нефиксированным временем. При установлении принципа максимума вместо независимой переменной времени, рассматривается монотонная функция -глубина протравливаемого элемента, что позволило поставить задачу оптимального управления как задачу с фиксированным временем. На основе применения сингулярных вариаций было установлено, что нет необходимости решать возникающую систему сопряженных уравнений.

Методы исследования. В диссертационной работе применяются

следующие математические методы. В главе 1 для получения представления

решения эллиптического уравнения, используется метод Фурье [29, 32, 33].

Для получения бесконечной системы дифференциальных уравнений для

коэффициентов обобщенных рядов Фурье используется проекционный метод

[22, 23, 63]. Для численного решения системы используется метод Рунге-

Кутты 4-ого порядка [23]. В главе 2 для численного решения

гиперболического уравнения используется неявная схема «левый угол». Для

решения возникающего уравнения, которое определяет неизвестные

значения на следующем слое по времени, используется метод Ньютона [23]. В качестве метода оптимизации и в главе 1 и в главе 2 используется метод последовательных приближений, а критерий выбора оптимального управления основан на принципе максимума J1. С. Понтрягина [25, 63].

Приложения, разработанные в данной работе, написаны на языке С# 3.0. Построение графиков осуществлялось с помощью элементов управления Windows Forms .net framework 4.0

Практическая значимость. В диссертационной работе разработан математический аппарат и комплекс расчётных программ, позволяющий рассчитывать оптимальные режимы соответствующих нелинейных процессов. Кроме того, получены результаты, которые дают возможность делать выводы о свойствах и возможностях оптимального управления. Так, например, симметричные колебания невозможно погасить, применяя лишь воздействия по осям х и у; управления в уравнения для определения коэффициентов потенциала поля скоростей входят линейно и другие утверждения, которые установлены в диссертации.

Полученные результаты расчётов в задаче моделирования процесса ионно-лучевого травления показывают высокую эффективность оптимального управления процессом. В связи с этим можно рекомендовать фирмам, производящим технологические установки, предусматривать возможность управления, способом, рассмотренным в диссертации.

В целом можно заключить, что разработанные в диссертации методы решения задач оптимального управления могут найти применение в разных областях техники, связанных с авиацией, космическими исследованиями, в микроэлектронике и других сферах деятельности человека. Результаты диссертации, посвященные установлению принципа максимума J1. С. Понтрягина, используются в учебном курсе «Дополнительные главы прикладной математики» в ФГБОУ ВПО «МАТИ - Российского государственного технологического университета имени К. Э.

Циолковского» при обучении магистров по направлению «Прикладная математика и информатика».

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на международных конференциях: Conference on Mathematics for Industry, San Francisco, USA, 2009; Международный авиационно-космический салон «МАКС-2009» «Современные наноматериалы и технологии их обработки», 2009; 1062nd AMS MEETING, Syracuse University, Syracuse, New York, 2010; III International conference on optimization methods and applications (OPTIMA-2012). Costa da Caparica, Portugal, 2012; International conference on optimization methods and applications (OPTIMA-2013), 2013.

На международных молодежных научных конференциях Гагаринские чтения №№ XXXIV, XXXV, XXXVI, XXXVII, XXXIX.

Публикации основных результатов. По теме диссертации опубликовано 10 работ ([4-6, 46-48, 67-70]), в том числе одна работа в изданиях, входящих в перечень ведущих журналов и изданий, рекомендованных ВАК для публикации основных результатов диссертаций на соискания ученой степени доктора и кандидата наук.

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, заключения, приложения и библиографии.

В главе 1 рассматривается задача гашения колебаний слабо возмущённой свободной поверхности идеальной несжимаемой жидкости. В 1.1 ставится задача моделирования движения жидкости со свободной поверхностью. В 1.2 получены представления формы свободной поверхности жидкости и потенциала скоростей в виде обобщенного ряда Фурье с неизвестными коэффициентами. В 1.3 поставлена задача оптимального управления и на основании принципа максимума JI. С. Понтрягина описан вид управляющей функции. В 1.4 представлены численные примеры,

иллюстрирующие установленные в параграфах 1.2-1.3 свойства колебаний свободной поверхности и управляющей функции. Представлены графики соответствующих функций.

В главе 2 рассматривается задача оптимального управления процессом ионно-лучевого травления (ИЛТ). В 2.1 вводится физическая постановка задачи. В 2.2 описывается математическая модель задачи: выводится уравнение ИЛТ, выводится формула для угла между нормалью к стравливаемой поверхности и потоком ионных лучей для плоского и трехмерного случая с вращением. Ставится задача оптимального управления и осуществляется переход от задачи с нефиксированным временем к задаче оптимального управления с фиксированным временем. В 2.3 установлен принцип максимума Л. С. Понтрягина для задачи ИЛТ. В 2.4 разбирается численное решение задачи оптимального управления процессом ИЛТ. Описывается разностная схема и ее устойчивость, описывается численный алгоритм построения оптимального управления. В 2.5 приведены результаты вычислений, представлены различные примеры.

Приложение содержит исходные коды трех программ и описание к

ним.

Библиографический список содержит 106 наименований.

Глава 1.

Оптимальное управление движением жидкости со свободной

поверхностью.

1. Постановка задачи.

В главе рассматривается движение идеальной несжимаемой жидкости со свободной поверхностью в ограниченной области в трехмерном пространстве. Целью исследования является моделирование формы свободной поверхности, определение потенциала поля скоростей и разработка метода позволяющего погасить возникающие колебания свободной поверхности. Задачи описания формы свободной поверхности при различных предположениях встречается в работах [1-3]. Результаты, касающиеся данной задачи, отражены в работах [4-6, 47]. Другие важные результаты можно найти в [7-11, 36-39, 41-43, 101-102].

Как известно, движение жидкости описывается следующими уравнениями:

с1р

+ р (Иу($) = 0 (1.1)

аг

дд Уд2 1

— + -— + го^х-д = Р + -сИу(Р) (1.2) ¿^ 2 р

где р - плотность жидкости, д — 3(Х), где X £ М3 —скорость жидкости, F —

массовая сила, численно равная ускорению свободного падения, Р =

Р(Х) —давление. Уравнение (1.1) отражает закон сохранения массы,

уравнение (1.2) это закон сохранения импульса, который в литературе

известен как уравнение Эйлера в форме Громека-Ламба. Исследуются

безвихревое движение идеальной несжимаемой жидкости, поэтому

уравнения (1.1) и (1.2) примут следующий вид

дд Ут92 1

(Цуд = 0 (1.1% —+ — = Т7 + -сНУР (1.2 0

ot I р

9

Жидкость находится в поле силы тяжести, движение жидкости баротропное и безвихревое, поэтому имеют место следующие факты:

3ер: д = \7ер; 3Ф: = -\7Ф; (Ну Р = -Ур. Несложно заметить, что Дер = 0 и

дер д2 _ + т + ф + р = т(0

(1.3)

Соотношение (1.3) известно, как уравнение Бернулли.

Теперь сформулируем задачу. Необходимо найти потенциал поля скоростей ер{х,у,г,Ь) идеальной несжимаемой жидкости, ограниченной сосудом кубической формы, удовлетворяющий уравнению Лапласа в области ею:{(х,у,г)-. О < х,у < 1,0 < z<f{x,y,t)}

с граничными условиями Неймана на границах области и двумя нелинейными условиями на свободной поверхности. Стоит отметить, что область, в которой справедливо уравнения Лапласа, не является стационарной, а в такой области решение не существует.

Предполагается, что свободная поверхность жидкости слабо возмущена. Это предположение позволяет перенести граничное условие со свободной поверхности на равновесную, то есть г: = 1.

Аср = 0

гдер

дх х-0

дер

ду у=0

дер

V дг

дер дх дер

ду

г=0

Х=1 у=1

= о

0 0

(1.4)

Условия (1.4) называются условиями непроницаемости и отражают тот факт, что жидкость не может «просочиться» сквозь стенки сосуда, которые ее ограничивают.

Положим в формуле (1.3) т (t) = 0 и р = О, а Ф = д(/ — 1) (где / = /(х, у, t) — форма свободной поверхности), тогда получим

+ у + = 0 (1.5)

или

)

Выведем кинематическое условие, отражающие тот факт, что частица жидкости, попав на свободную поверхность, навсегда останется на ней. Возьмем полную производную по времени от f(x, у, t):

df _df dfdx dfdy dt dt dx dt dy dt

и дх о d(p dy Q d<p

Но ведь — = vx = —, и — = = — тогда получим

df _df df d<p dfd<p dt dt dx dx dy dy

С другой стороны = (скорость по оси z)

df dfd(p dfd(p dcp

+ + (L6)

2. Аналитическое решение и расчеты.

Применим метод разделения переменных (метод Фурье). Положим (р = X(x)Y(y)Z(z), тогда Дср = X"YZ + XY"Z + XYZ" = 0. После несложного анализа имеем:

СО 00

(р{х, у, z,t) = ^ ^Г Рпк (t)ch (njn2 + k2z^j cos nnx cos nky

n—Ok=0

Функцию, выражающую форму свободной поверхности, тоже разложим в ряд Фурье по косинусам:

ОО 00

f(x, y,t) = l + 22 í?nk(0 cos nnx cos nky

n-Ok=O

Здесь Pnfc(t) и qnk(t) неизвестные функции времени, которые необходимо определить.

Для их определения воспользуемся условиями (1.5') и (1.6). Возьмем частные суммы ряда для (р и / и положим z — 1. Для начала, ограничимся длиной разложения max(n, к) <2.

f = 1 + q0i(.t) cosпу + q10(t) cosnx + qlt(t) cosnx cos ny +q02(0 cos 2ny + <72o(0 cos 27ГХ + q12(t) COS TCX cos 27ГУ + q2l(t) COS 27DC cos7ry + qi2 (t) cos 2nx cos 2ny (1-7)

(p = P01 (t) ch я cos ny + P10 (t) ch 7Г cos 7гл;

+ Pn(t) ch V27T cos тех cos тсу ~^~Pq2 (0 ch27TCOS27Ty + P20(t) ch 271 cos 2ях + P12(t) chV5 я cos7rx cos 2лу + P2i(t) ch л/Бтг cos 2тгх cos7ry + ^22(0 с\\2л/2л cos 2nx cos 27ry (1-8)

Теперь необходимо подставить (1.7)и (1.8)в (1. 5') и (1.6).

Для начала выпишем отдельные слагаемые:

а/

— = —nq10 sin 7DC — 7П7Ц sin 7ГХ COS 7Гу — 2я^20 sin 27ГХ

1/Л

— 271^21 sin 27ГЛ: COS Try — 7rq12 sin 7ГХ COS 27Гу

— 271^22 sin 27Г% COS 27Гу (1.9)

дер r-

— = -7гР10 ch п sin nx - пРг1 ch у2п sin тех cos тгу - 2nP20 ch 2тг sin 2пх

— 2пР21 ch VStt sin 2nx cos тгу — nP12 ch л/5тг sin nx eos 2ny

— 2nP22 ch 2л/2тг sin 2nx eos 2ny (1.10)

df

— = q'01(t) eos ny + qío(t) cosnx + ^(t) eos rae eos ny + q'02(t) eos 2ny

+ q'20(t) cos2nx + q[2(t) cosnx eos 2ny + q'21(t) cos2ra: cosny + q'21 (0 cos cos 2тгу (1.11)

дер

— = P¿i(t) cos тгу + P{0(t) cosnx

4- Píi(t) cosnx cosny + Р'02(Х) cos 2ny + P20(t) cos 2nx + P{2 (t) cos 7гх cos 2тгу + P21 (t) cos 2nx cos ny + P21(t) cos 2nx cos 2ny (1.12)

Аналогично можно выписать выражения для ^г- и При подстановке

ду ду dz

необходимо перемножать громоздкие выражения, уже при единичной длине привлеченного ряда количество слагаемых в получающихся соотношениях равно 15.

Пример 1. Привлечем члены ряда, удовлетворяющие следующему условию max(n, к) < 1

Тогда после подстановки в (1.6) получим:

q'01(t) cosny + q[0(t) cosnx + q'nit) cosnx cosny + n2q10P10 ch7rsin2 nx + Tr2q10P11 ch л/2тг sin2 nx cos ny + n2qxlP10 ch n sin2 nx cos ny + n^-q^P^ ch V2TT sin2 nx cos2 ny + n2q01P01 chn sin2 ny + n2q01Ptl ch л/2тг sin2 ny cos nx + n2q1±P01 chn sin2 ny cosnx + n^q^P^ ch7r sin2 ny cos2 nx = n sh TT (P10 cos ПХ + P01 cos ny) + 7tV2 sh yflnPn cos nx cos ny

Подобное соотношение можем получить после подстановки в (1.5'). Для получения выражений q'm^it) и P^fc(t) необходимо домножить полученные соотношения на cos mux cos ктсу и проинтегрировать от 0 до 1 по х и у. Получаем следующую систему дифференциальных уравнений:

( тс2 тс2

q'01 = тс sh тс Р01 - — q10P1± ch у[2тс - — qltP10 ch тс

2 2 ТС j- ТС

Яio = 7Г sh 7Г Р10 - у qoiPu ch л/2тг - — qltP01 ch тс

q'n = 7tV2 sh у[2тс Р1г

9 л2 1 (1.13)

Poi — ~ 10^11 Const!

СП ТС СП тс Z

9 тс1 \

СП ТС Ch7TZ

д тс2

Рц = —п=ГЯц- . rr PoiPio sh тс chV27r chV27r

Данная система состоит из нелинейных дифференциальных уравнений.

Замечание. Для качественного анализа можно перейти к модельной системе: то есть все коэффициенты положить равными 1. Те свойства, о которых пойдет речь далее, зависят только от структуры системы и не зависит от коэффициентов при неизвестных функциях.

Утверждение. Не существует такого набора чисел {а1,а2, G Е,

что масштабированием:

Я01 » агЧог.Чю » ^Яю'-.Яи » ЩЧи.Рц ^ сскРг1 можно было бы получить все коэффициенты равные 1 в системе (1.13).

Доказательство.

Допустим, что такой набор существует, и, что надлежащим образом определив можно достичь цели. Тогда рассмотрим

^и аМи>Рц ^ акРц

После подстановки в систему (1.29) имеем:

ai4ii = shyíln акРг1

D> - 9

акУ11 — ; f=~ai4n — ch V27T

Тогда должны одновременно быть выполнены соотношения:

a¡ = Ti-ПshV27Tак иак = --i-а^щ = -nVIshVar-^«,

chv27T chv27r

1 = —пл/2дй\у/2п

что, очевидно, невозможно. Полученное противоречие доказывает утверждение.

Перейдем к модельной системе:

гЯоi = Poi — ЯюРц ~ ЯцРц Я lo = Рю ~ Я01Р11 ~ Я11Р01 Я11 = Рц Poi = ~9Яо1 ~~ РюРц Рю ~ ~Яю ~~ PoiPn

V Рг1 = —<7ц — PoiPio

При получении подобных систем любого порядка возникают интегралы следующего вида:

i i

J J cos тих cos тпту cos /с7гх cos ртху dxdy = о 0

1 1

= J cos mux cos knx dx J cos nny cos pnydy =

(1.13')

2'm

-,m = к ип = p 4

l,n = p = m = к = О

к или п = р = 0 (или наоборот) О, иначе

(1.14)

i i

J J sin mnx cos nny sin Inx cos jny cos knx cos pny dxdy (1.15)

о 0

1 1

I f cos mnx cos nny cos Inx cos jny cos knx cos pny dxdy (1.16) 0 0

Интегралы (1.15) и (1.16) по теореме Фубини можно записать в виде повторных и тогда их вычисление можно свести к вычислению следующих интегралов:

i i cos mux cos Inx cos knx dx и j sin mnx sin Inx cos knx dx

о о

j.

I

Воспользуемся известными формулами

2cos x cos y = cos(x + y) + cos(x — у) 2 sin x sin у = cos(x — у) — cos(x + у)

J-/

cos mnx cos Inx cos knx dx =

i

1 f

= — I (cos(m + I) nx cos knx + cos(m — Í) nx cos knx)dx

= -1 (со5(т + I + к)лх + со5(т + I — к) лх + соб^гп — I + к) их + соб(т о

( Ск = \1 - т\

-1-к)лх)с1х = ]Ю'есЛИ I к = 1 + т (1.17)

О, иначе

1

БШ тлх БШ Ых СОБ клх с1х =

о

1

/5"

1

1 г

= - I (со5(т — I) лх соб клх — соб(т 4- /) лх соб клх)с1х = о

1

1 Г

= - I (соб(т — 0 7гх соб /с7гх — соб(т + /) 7гх соб клх)(Хх = о

1

1 г

- I (со5(т — I + к)лх + со5(т — I — к)лх — соз(т + I + /с) 7г% —

—соб (т + I — к)лх)с1х =

м (к = \1 — т\ 0, если 1 1 п . ^ к = I + т (1.1»)

О, иначе

Полученные соотношения легли в основу алгоритмической части двух утилит, которые описаны в приложении.

3. Задача оптимального управления.

Будем воздействовать на сосуд с колеблющейся жидкостью ограниченной переменной силой

ВД =

где их(1),иу(1),и2Ю — компоненты силы по соответствующим осям координат, причем

(t),Uy(t),Uz(t) < U

max-

Введенное воздействие приведет к изменению уравнения (1.5):

д(р д2 _+т+ф.+р = т(с),

где Ф' = Ф'(0 = (( 0,Q,g) + u(t),s(t)) — потенциальная энергия. Вектор s(t) = {x,y,f(x,y,t) — 1}; (у) —стандартное скалярное произведение в Ш3. Окончательно получим динамическое условие с учетом воздействия:

^ + + ux(t)x + uy(t)y + (g + uz(t))(f - 1) = 0 (1.5")

q2 ((д<Р\2 . (д(Р\2 (д(Р\2\ где для краткости положено v = М — J + J + J I.

Будем рассматривать задачу (1.4) — (1.6), где уравнение 1.5' заменено на 1.5". Очевидно, что изменяя ux(t),uy(t),uz(t), будем получать различные решения задачи. По теореме о непрерывной зависимости системы обыкновенных дифференциальных уравнений от начальных данных и правой части решение непрерывно зависит от u(t).

Теперь необходимо разработать метод, который гасит колебания свободной поверхности за период времени Т.

Рассмотрим функционал характеризующий интенсивность колебаний:

оо

;(u(t))= ]Г (Pn2k(t,u(t)) + ^(t,Tl(t))) (1.19)

п2+к2>1

Необходимо подобрать u(t) таким образом, чтобы функционал (1.19) был минимальным в момент времени Т, то есть

ЯП=ДВД)-> min

Силу, которой будем воздействовать на сосуд, назовем управлением.

Утверждение. Управления не входят в кинематическое условие (1.6) (оно остается неизменным). Управления в уравнения для определения коэффициентов потенциала поля скоростей входят линейно.

Доказательство. Первая часть утверждения очевидна. Докажем вторую часть утверждения.

В условии (1.5") необходимо подставить выражения для потенциала поля скоростей и формы свободной поверхности, после этого выполнить «стандартные» действия для получения уравнения для (t): помножить на cos ппх cos пку и проинтегрировать по квадрату [0,1] х [0,1].

Обозначим множество интегрирования как I2 = [0,1] х [0,1]. Вычислим интеграл, в который входит управление:

ux(t)x + uy(t)y + (д + wz(t))(/ — 1)) cos ппх cos пку dxdy i2

= I ux(t)x cos nnx cos nky dxdy

+ II uy(t)y cos nnx cos nky dxdy

+ I (g + uz(t))(f — 1) cos nnx cos nky dxdy i2

Найдем третий интеграл:

Jf(g + uz(0)(/ — 1) cos nnx cos nky dxdy

.....m—,—

/2 \7l' = 0 k' = o /

00 oo

+ Uz(t)) ^ ^ 4nk(t) J J cos nn'x cos nkr у cos nnx cos nky dxdy

ni=0 Ю-0

Согласно (1.14 — 1.17) значение интеграла равно некоторой константе С(п, к), которая зависит от п и к, то есть

fl{д + илт - 1) COS*™ cos nky dxdy = (a + uz(t)Kfc(t)C(n, *)

i2

Теперь вычислим первый интеграл

i i

JJ ux(t)x cos nnx cos nky dxdy = ux(t) J cos nky dy J x cos nnx dx

Очевидно, что

J cos nky dy = *

ix cos nnx dx = — f x d sin nnx = — ( x sin nnx n — f sin nnx dx nn J nn\ J

0 0 \ 0

0,n = 2k

— cosnnx\l =

cos nn — 1

f 2

■ ,n — 2k — 1

(nn)2' ,k EN

1

-,n = 0

(тгп)2 10 (тгп)

2

Второй интеграл вычисляется аналогично. Собирая все вместе, имеем:

J J (ux( t)x + Uy(t)y + (g + Uz(tj)(f - 1)) cos mix cos ттку dxdy i2

( 2 uJt) ,

+ 0 + "z(0)9ofcCt)c( 0, к),

n = О и к i 0 (mod 2)

2ux(t) , ч

(0 + Wz(t))<7no(t)C(n,0), (1.20)

niO (mod 2) и к = О + uz(t))qnk(t)C(n, /с), ^ (n/c 0) или (n = 0 и к = 0(mod 2)) или (/с = 0 и n = 0(mod 2))

Утверждение. Симметричные колебания невозможно погасить, применяя лишь воздействия по осям х и у.

Доказательство. Управления ux(t) и uy(t) входят лишь в уравнения для определения коэффициентов потенциала поля скоростей с нечетными индексами, а в уравнения с четными индексами входит лишь управление uz(t) (формула (1.20)). По формулам (1.11) и (1.12) нетрудно видеть, что коэффициенты с нечетными индексами суть амплитуды асимметричных возмущений свободной поверхности и потенциала скоростей. Далее утверждение очевидно.

Утверждение. Ассиметричные колебания можно погасить, используя все компоненты вектора управлений.

Пример 2. Получим систему дифференциальных уравнений, ограничившись лишь несколькими членами ряда: max(n, к) < 2. Учтем результат (1.36):

л2 п2

<?01 = лъ\\лР01-—ц10Р11сЪ\12л- — ц11Р10сЪл '

-п2Яо 1^02 сЬ 2л - л2ц02Р01 сЬ л

ц'10 = л бЬ л Р10 - л2ц10Р20 сЬ 2л - л2ц20Р1() сЬ л

2 2 л у- л

— Яо1Ри сЬ л/27г — — q11P01 сЬ л

ц'г1 = лу[2 бЬ у/2л Р1г — л2цг1Р2о сЬ27г — л2ц20Р1г сЬ л[2л —л2цг1Р02 сЬ 2л — л2ц02Рг1 сЬ л[2л

л2

Я02 = 2тг 5И 2л Р02 + — дохЛи сЬ л

(?20 = 27Г5Ь2ТГР20 + у£?10Р10сЬтг С1-21)

д + и2 л2 2

р01 = —ТГ—Чо! --Т— (РюРЦСопб^ +Р01Р02 сЬЗтг)

СП л СП л л

д + и2 л2 2

р10 = ~ ■ Яю -~Г- (¿10^20 сЬЗтГ + Ро!^!СОПБ^) ~

СП л СП7Г л

д + и2 л2

Кг = ——¿тЯи- . ^ (Р01Р10 7Г + 2 Р11Р20СОП5^) СПЛ/27Г СПЛ/27Г

% = - & ?о2 - -¡^ (рн зь2 тгТг - ро20

сЬ 2л 4сЬ 27Г

Система (1.21) является системой обыкновенных дифференциальных уравнений с квадратичной нелинейностью. Перейдем к модельной системе аналогичной (1.13'), то есть все коэффициенты перед функциями объявим равными 1. На примере данной системы сформулируем общие утверждения верные для систем, получающихся при привлечении большего числа членов ряда Фурье для функций ср и /.

Замечание. Считаем, что все коэффициенты равны 1 и важен лишь факт возникновения того или иного колебания и не важна его амплитуда.

Утверждение. Если изначально возбуждены ассиметричные колебания, то с течением времени будут возбуждены и симметричные. Более того, если в начальный момент времени возмущена любая ассиметричная

гармоника, то с течением времени будут возмущены другие ассиметричные, а также симметричные гармоники.

Если изначально возбуждены только симметричные гармоники, то ассиметричные возбуждены не будут. Если в начальный момент времени возбуждена любая симметричная гармоника, то с течением времени все остальные симметричные гармоники будут возбуждены, а ассиметричные гармоники возбуждены не будут.

Поставим задачу оптимального управления.

Пусть определен функционал

;(и(70) = Р012(Т,й{Т)) + Р102(Т,й(Т)) + Ри^тлт) + Ро22(Т,й(Т))

+ Р20\Т,и{Т)) + Чо12(Т,йт) + Яю2(Т,й(Т)) + Я112(Т,и(Т)) + <7о 22{ТЖТ)) + Ч202(Т,йт)

Необходимо найти вектор-функцию которая доставляет минимум

функционалу /(и(Г)):

/(йорсСО) = гат ](и(Т)), где и(Г) = {их(Т), иу (Т), щ(Т)}: их(г), иу(Ь), иг{1) £ I2([0; Т])

^тт — < ^тах

С системой дифференциальных уравнений (1.21) и начальными данными Коши:

(<7о1(0) 9ю(0) (0)

9о2(0)

Данная задача является задачей оптимального управления со свободным концом и фиксированным временем. Решение этой задачи будем искать, основываясь на принципе максимума Понтрягина, который сейчас докажем для данного класса задач.

Согласно принципу максимума Л. С. Понтрягина [25, 53, 63] составим функцию Гамильтона для нашей задачи:

+ (л бЬ л Р10 — л2д10Р20 сЬ 2л — л2д20Р10 сЬ л

+(тгл/2 бЬ л/2тг Рп - л2ц1гР20 27г - л2Я20Р11 сЬ л/2л - л2ц1гР02 сЬ 2л ~ п2ц02Рг1 сЬ л[2л)гр3 + ¡2л бИ 2л Р02 + у д01Р01 сЬ л^ ф4

л2

+ ( 2л зЬ_ 2л Р20 + у д10Р10 сИ тг^ ф5

( д + и2 л2 /1 \

+ Г сЪл Яо1-^{^Р1ОР11СОП5Ь1 + Р01Р02СЪЗЛ)

Щ л2 / 1 \

— Чю СЬ37Г+-Р01Р11СОП5^^

+

л

д + и

сЬ

( д + щ л2

+ \ сЬл/2тг 4,11 ~ сЬ/5тг ^01Р1° 71 + 2 РцРгоСот^) ] т/;8

+ (-Йг'~ ШШ ^^ пГг ~ 1 ^

+ С» 51,2 ~ ) (1'22)

где чрь = I — 1 ■■■ Ю—сопряженные функции. Для определения

оптимального управления необходимо решить сопряженную систему:

дН , дН

дРи]г дЧь],

Сопряженная система нашей задачи имеет следующий вид:

дН

1рг = - --= лгР02 сЬ 2л

л2 л2 д и

I I СП л

дН

\р2 = - -- = л Р20 сЬ 2л: \р2

дЧю

л2 7Г2 ^

+ -^-РцСЬ>/27Г^1 -— Р10 сЬ 7Г 1/^5 +———ф7 I I СП л

дН л2 сЪл + тг2 (Р20 + Р02)сЬ 2л: -ф2 +

СП 7ГЛ/2

дН , г- \ 9 + иг

Ф4 = - = л (Ро 1 сЬ тг + Рц сЬ л/2тг 03) + сЬ ^ ф9

дН , г- \ 9 + иг

= - = п (Р10 сЬ л ф2 + Рц сЬ л/2тг 0з) +

дН

ф'б = - ТБ- = -(тгзЬтг - л с[о2 сЬ тг)

оР01

2 2 7Г 7Г

+ у^и сЬтг г/;2 - у<?01 сЬтг \р4 л2 Л2 ( 1 \

дН

хр'7 = -—— = -(7Г5Ья-я2до2сЬ7т) 02

ЗР10

2 2 7Г 7Г

+ у^цсЬ7Г1/;1 -у9ю сЬтг^з сЬ37Г 7Г2 л2 / 1 \

?20 Л^7 - + ^ А 5Ь 77 - 2 ]

дН

^8 =

дР

11

Начальными данными для системы (1.23) является следующий вектор:

г-2я01(Х)

Т)

~2Яо2 (X)

-2Р10(Т) -2 РцСГ) -2 Р02(Т) 1-2 Р20(Г)

где ^(Г) —вектор из М10. Для того чтобы определить начальные данные для системы (1.23) необходимо решить систему (1.21).

Решение системы (1.37) находилось методом Рунге-Кутты 4-ого порядка. Назовем этот процесс прямым проходом. При этом необходимо хранить данные со всех слоев, так как на их основе будет строиться оптимальное управление. Для решения системы (1.23) также используется метод Рунге-Кутта, но при этом знак шага меняется на минус; назовем этот процесс обратным проходом. При обратном проходе необходимо выбирать новое управление. На каждой итерации управление следует выбирать так, чтобы функция Гамильтона была максимальной по управлению, то есть:

где И —слагаемые функции Гамильтона (1.22), которые не зависят от управлений.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Романенков, Александр Михайлович, 2013 год

Библиография.

1. В. М. Петров, Ф. J1. Черноусько. Об определении формы равновесия жидкости под действием сил тяжести и поверхностного натяжения. Изв. АН СССР, Механ. жидкости и газа, 1966, 5, с. 152-156.

2. В. М. Петров, Ф. JI. Черноусько. О движении жидкости в условиях близких к невесомости. Изв. АН СССР, Механика жидкости и газа, 1966, №4

3. В. М. Петров, Ф. JI. Черноусько. О равновесии жидкости, ограниченной гибкой пленкой. Изв. АН СССР, Механика твердого тела, 1971, №4

4. А. М. Романенков. Приближенный метод решения трехмерной задачи о движении идеальной несжимаемой жидкости со свободной поверхностью. XXXIV Гагаринские чтения, т. 5, с. 98. - М.: МАТИ, 2008

5. А. М. Романенков. Трехмерная задача оптимального управления движением жидкости со свободной поверхностью. Случай симметричных возмущений. XXXV Гагаринские чтения, т. 5. — М.: МАТИ, 2009

6. А. М. Романенков, JI. А. Муравей, В. М. Петров. Трехмерная задача оптимального управления движением жидкости со свободной поверхностью. Международный авиационно-космический салон «МАКС-2009» «Современные наноматериалы и технологии их обработки», с. 212. - Рыбинск: РГАТА, 2009

7. A.A. Гурченков, В.В. Корнеев, М. В. Носов. Динамика слабовозмущенного движения заполненного жидкостью гироскопа и задача управления - М.: Прикладная математика и механика, Т. 72. Вып. 6. 2008

8. A.A. Гурченков, В.В. Корнеев, М. В. Носов. Устойчивость и

управление движением волчка с жидкостью - М.: ВЦ РАН им. А.А. Дородницына

9. А.А. Гурченков, М. В. Носов. Устойчивость ротора с вязкой жидкостью.- М.: ВЦ РАН им. А.А. Дородницына

10. А.А. Гурченков, И.М. Иванов, Н.Е. Кулагин, М. В. Носов. Задача устойчивости и управления движением волчка с частичным заполнением жидкостью - М.: ВЦ РАН им. А.А. Дородницына

11. А.А. Гурченков, В.В. Корнеев, М. В. Носов. Управление движением волчка с жидким наполнением- М.: Динамика неоднородных систем. 10(2). 2006

12. V. A. Kondratiev, L. A. Muravey. Some problems in the qualitative theory of differential equations, Leading scientific schools in MATI, 147 p., MATI - 2001.

13. L. A. Muravey. The problem boundary control for elliptic equation. Vestnic MSU, sep. 15, Numerical mathematics and cybernetics, №3, pp. 7- 13, 1998.

14. L. A. Muravey, V. M. Petrov. Optimal control of technological process in microelectronics. Interprobor - 90, Moscow, 1990.

15. L. A. Muravey. Optimization problems with free boundary. Third Congress of Industrial Mathematics, ICIAM - 95, Hamburg, 1995

16. L. A. Muravey, V. M. Petrov. Simulation and Optimization Problems of Some Technological Process in Microelectronics. SIAM Conference on Mathematics for Industry, San Francisco, USA, 2009

17. JI. Г. Лойцянский. Механика жидкости и газа. - М.: Дрофа, 2003

18. Рс. И. Нигматулин, А. А. Соловьев. Физическая гидромеханика. -М.: ГОЭТАР, 2005

19. Дж. Е. Марсден, А. Чорин. Математические основы механики жидкости. - М.-Ижевск: R&C Dynamics, 2004

20. Г. Ламб. Гидродинамика, т. 1,2.- М.-Ижевск: R&C Dynamics, 2003

21. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшец. Теоретическая физика т. VI. Гидродинамика. - М. : Физматлит, 2006

22. А. А. Самарский. Введение в численные методы. -СПб.: Лань, 2005

23. Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. Численные методы. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007

24. H. Н. Моисеев. Элементы теории оптимальных систем- М.: Издательство «Наука», 1975

25. Ф. П. Васильев. Численные методы решения экстремальных задач. - М.: Издательство «Наука», 1988

26. Э.М. Галеев, М. И. Зеликин, С. В. Конягин, Г. Г. Магарил-Ильяев, Н. П. Осмоловский, В. Ю. Протасов, В. М. Тихомиров, А. В. Фурсиков. Оптимальное управление. - М.: МЦНМО, 2008

27. А. А. Аграчев, Ю. Л. Сачков. Геометрическая теория управления. - М.: Физматлит, 2004

28. А. В. Фурсиков. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения. - Новосибирск: Научная книга, 1999

29. Л. К. Эванс. Уравнения с частными производными. -Новосибирск: Научная книга, 2003

30. М. В. Федорюк. Обыкновенные дифференциальные уравнения. M.:-URSS, 2008

31. В. А. Зорич. Математический анализ. - М.: МЦНМО. Ч. I-II, 2007

32. С. Г. Михлин. Курс математической физики. - СПб.: Лань, 2002

33.Ф. Дж. Трикоми. Лекции по уравнениям в частных производных. M.: - URSS, 2007

34.M. Б. Гущин, В. М. Петров, В. В. Покровский, Е. А. Сприжицкая. Оптимальное управление процессом ионно-лучевого травления. -Электронная промышленность, 1984, вып. 9 (137)

35. Б. JI. Рождественский, Н. Н. Яненко, Системы квазилинейных уравнений. М. : Наука. 1978.

36.Гурченков А. А. Динамика завихренной жидкости в полости вращающегося тела. Москва, Физматлит, 2012, с. 221

37.Крейн С. Г., Моисеев Н. Н., О колебаниях твердого тела, содержащего жидкость со свободной поверхностью. ПММ, 1957, т. 21, вып. 2, с 97-114.

38.Гурченков А. А., Есенков А. С., Цурков В. И. Управление движением ротора с полостью, содержащей идеальную жидкость. Изв. РАН ТСУ, 2006, №3, с. 82-89

39.Гурченков А. А., Есенков А. С., Цурков В. И. Управление движением ротора с полостью, содержащей вязкую жидкость. Автоматика и телемеханика. 2007, №2, с. 81-94.

40.Дьяченко В.П. О колебаниях гироскопа, частично заполненного жидкостью. ДАН УССР. Сер. А, 1971, № 10, с. 56-64.

41.Гурченков А. А., Носов М. В., Иванов И. М. Оптимальное управление движением волчка с жидким наполнением. Тез. докл. XVII Всероссийской конференции «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов и решение задач математической физики». Абрау-Дюрсо. 15-21 сентября 2008 г. Новосибирск, НИИ гидродинамики им. М.А. Лаврентьева, СО РАН, 2008, с. 143-144.

42.Гурченков А. А., Есенков А. С., Цурков В. И. Управление движением ротора с полостью, содержащей идеальную жидкость. Изв. РАН ТСУ, 2006, № 1, с. 135-142.

43.Гурченков А. А., Носов М. В., Цурков В. И. Управление вращающимися твердыми телами с жидкостью. Москва, Физматлит, 2011,202 с.

44.Gurchenkov A. A., Nosov М. V., Tsurkov V. I. Control of Fluid-Containing Rotating Rigid Bodies. CRC Press, 2013, 147 p.

97

45.L. A. Muravey V.M. Petrov. Coefficient Control for some nonlinear hyperbolic equation. 1062nd AMS MEETING, Syracuse University, Syracuse, New York, 2010.

46. L. A. Muravey V.M. Petrov, A.M. Romanenkov. Modeling and optimization of ion-beam etching process. Proceedings. Ill International conference on optimization methods and applications (OPTIMA-2012). Costa da Caparica, Portugal, September 2012. ISBN 978-5-91601-0510.

47. А. А. Гурченков, A. M. Романенков. Оптимальное управление движением жидкости со свободной поверхностью. Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, вып. 2

48.L. A. Muravey V.M. Petrov, A.M. Romanenkov. Modeling and optimization of ion-beam etching process II. Proceedings. International conference on optimization methods and applications (OPTIMA-2013). 2013.

49.R. W. Dutton, S. E. Hansen process modeling of integrated circuit device technology. Proceedings of the IEEE, vol. 69, N 10, pp 1305-1320, 2001

50.H. Ryssel, K. Habberg, K. Hoffmann, G. Prinke, R. Dumcke, A. Sachs simulation of doping processes. IEEE Trans on electron devices. Vol. ed 27, N. 8 pp. 1484-1492, 2000

51.M. Б. Гущин, P. Д. Иванов, E. С. Лабутин и др. Модель эволюции профиля фоторезестивной защитной маски в процессе ионно-лучевого травления. Электронная техник. Сер. 3. Микроэлектроника 1979, вып. 2, с. 90

52.Docommuh I. D., Gantagrel М., Moulin М. Evolution of well divined surface contour submitted to ion bombardment.-J. of Materials Sci. Left, 1981, №10, p.52. VLSI Technology, Edited by S. M. SZE, Mc Grav-Hill Book Company, 1983

53.J1.C. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. Математическая теория оптимальных процессов. М., Наука, 1969.

54.А.Я. Дубовицкий, A.A. Милютин. Задачи на экстремум при наличии ограничений. — Журнал вычислительной математики и мат. физики, 1965, Т. 5, № 3, с. 395^53.

55.А.Я. Дубовицкий, A.A. Милютин. Необходимые условия слабого экстремума в общей задаче оптимального управления. Москва, Наука (ИХФ АН СССР), 1971.

56.А.Я. Дубовицкий, A.A. Милютин. Теория принципа максимума. — В кн. "Методы теории экстремальных задач в экономике" (ред. B.JI. Левин), М., Наука, ЦЭМИ, 1981, с. 6-47.

57.A.A. Милютин. Общие схемы получения необходимых условий экстремума и задачи оптимального управления. — Успехи мат. наук, 1970. т. 25, вып.5, с. 110-116.

5 8. A.A. Милютин. Принцип максимума в регулярной задаче оптимального управления. — В кн. "Необходимое условие в оптимальном управлении", М., Наука, 1990.

59. Сухарев А.Г., Тимохов A.B., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. - М.: Наука, 1986.

60.Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969. - 408 с.

61.Ф. П. Васильев. Методы оптимизации. -М.: МЦНМО Ч. I-II, 2011

62. С. Н. Авакумов, Ю. Н. Киселев, М. В. Орлов. Методы решения задач оптимального управления на основе принципа максимума Понтрягина // Труды МИР АН. - 1995. - Т. 211. с. 3-31

63.В. М. Алексеев, В. М. Тихомиров, С. В. Фомин. Оптимальное управление. - М.: Физматлит, 2009

64.А. В. Арутюнов. К теории принципа максимума в задачах оптимального управления с фазовыми ограничениями // ДАН СССР.- 1989.-Т. 304, №1. С. 11-14

99

65. А. П. Афанасьев, В. В. Дикусар, А. А., Милютин, С. А. Чуканов. Необходимое условие в оптимальном управлении. -М.: Наука, 1990

66. JI. Т. Ащепков. Оптимальное управление линейными системами. -Иркутск: Изд-во ИГУ, 1982

67.А. М. Романенков. Математическое моделирование и оптимизация геттерирования кремневых пластин. XXXVII Гагаринские чтения, т. 5, - М.: МАТИ, 2011

68. А. М. Романенков. Метод сингулярных вариаций для доказательства принципа максимума в нелинейных гиперболических задачах. XXXIX: Гагаринские чтения, т. 5, - М.: МАТИ, 2013

69.А. М. Романенков. Задача оптимального управления совместного термического и диффузионного технологического процесса производства интегральных микросхем. XXXV Гагаринские чтения, т. 5.-М.: МАТИ, 2009

70. А. М. Романенков. Моделирование и оптимизация процесса ионно-лучевого травления. XXXVI Гагаринские чтения, т. 5, - М.: МАТИ, 2010

71. Р. Беллман. Процессы регулирования с адаптацией. -М.: Наука, 1964

72. В. И. Благо датских. Линейная теория оптимального управления. -М.: Изд-тво МГУ, 1978

73.Б. М. Будак, Ф. П. Васильев. Некоторые вычислительные аспекты задач оптимального управления. -М.: Изд-во МГУ, 1975

74. Дж. Варга. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. -М.: Наука, 1977

75.0. В. Васильев. Лекции по методам оптимизации. - Иркутск: Изд-во Иркутского ун-та, 1994

76. Р. Ф. Габасов, Ф. М, Кириллова. Особые оптимальные управления. -М.: Наука, 1973

77.Р. Ф. Габасов, Ф. М. Кириллова. Принцип максимума в теории оптимального управления. -Минск: Наука и техника, 1974

78.И. В. Гирсанов. Лекции по математической теории экстремальных задач. -М.: Изд-во МГУ, 1970

79.В. И. Гурман. Принцип расширения в задачах управления. -М.: Физматлит, 1997

80.В. В. Дикусар, А. А. Милютин. Качественные и численные методы в принципе максимума. -М.: Наука, 1989

81.A. В. Дмитрук. Принцип максимума для обще задачи оптимального управления с фазовыми и регулярными смешанными ограничениями. // Сб. «Оптимальность управляемых динамических систем», вып. 14. -М.: ВНИИСИ, 1990. - с. 26-42

82.Ю. Г. Евтушенко. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. -М.: Наука, 1982

83. В. И. Елкин. Редукция нелинейных управляемых систем: дифференциально-геометрический подход. -М.: Физматлит, 1997

84. М. И. Зеликин. Оптимальное управление и вариационное исчисление. -М.: Изд-во МГУ, 1985

85.М. И. Зеликин, В. Ф. Борисов. Режимы учащающихся переключений в задачах оптимального управления // Труды МИР АН. - 1991ю - Т. 197.-с. 85-167

86.В. И. Зубов. Лекции по теории управления. -М.: Наука, 1975

87.А. П. Иванов, Н. Е. Кирикин. Сопряженные задачи теории управления. -Л: Изд-во ЛГУ, 1988

88.А. Д. Иоффе, В. М. Тихомиров. Теория экстремальных задач. -М.: Наука, 1974

89. Н. Е. Кирин. Методы последовательных оценок в задачах оптимизации управляемых систем. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1975

90. Ю. Н. Киселев. Линейная теория быстродействия с возмущеняими. -М.: Изд-во МГУ, 1986

91.Ю. Н. Киселев. Оптимальное управление. -М.: Изд-во МГУ, 1988

92.П. С. Краснощекое, А. А. Петров. Принципы построения моделей. -М.: Фазис, ВЦ РАН, 2000

93.А. Б. Куржанский, Ю. С. Осипов. К задачам об управлении с ограниченными фазовыми координатами. /'/ Прикладная матем. и механика. - 1968 .- Т. 32, вып. 2- с. 194-202

94.Н. Н. Моисеев, Ю .П. Иванилов, Е. М. Столярова. Методы оптимизации. -М.: Наука, 1978

95.М. С. Никольский. Об одной минимаксной задаче управления. // Труды МИАН СССР. - 1988. т. 185. - с. 187-192

96.Э. Полак. Численные методы оптимизации. Единый подход. -М.: Мир, 1974

97.В. А. Срочко. Вычислительные методы оптимального управления. -Иркутск: Изд-во Иркутского ун-та, 1982

98.В. А. Срочко. Итерационные методы решения задач оптимального управления. -М.: Физматлит, 2000

99. А. М. Тер-Крикоров. Оптимальное управление и математическая экономика. -М.: Наука, 1977

100. В. В. Федоров. Численные методы максимина. -М.: Наука, 1979

101. Ф. JI. Черноусько, Н. В. Баничук. Вариационные задачи механики и управления. -М.: Наука, 1973

102. Ф. JI. Черноусько, JT. Д. Акуленко, Б. Н. Соколов. Управление колебаниями. -М.: Наука, 1980

103. А. И. Егоров. Основы теории управления. -М.: Физматлит, 2004

104. Избранные труды JI. С. Понтрягина. -М.: МАКС Пресс, 2004

105. А. А. Милютин Принцип максимума в общей задаче оптимального управления. -М.: Физматлит, 2001

106. Ф. J1. Черноусько. Оценивание фазового состояния динамических систем. -М.: Наука, 1988