Рассеяние вихрей в абелевой модели Хиггса тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, кандидат физико-математических наук Пальвелев, Роман Витальевич

• Пальвелев, Роман Витальевич
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Пальвелев, Роман Витальевич

Введение

Глава 1. Кинетическая метрика

1.1 Построение кинетической метрики.

1.2 Гладкая зависимость канонических вихревых решений от симметрических координат.

1.3 Построение функций Хц.

1.4 Линейная независимость

Глава 2. Обоснование адиабатического принципа

2.1 Вспомогательная система.

2.2 Фиксация калибровки кривой из статических решений

2.3 Локальная теорема существования.

2.4 Продолжение решения по времени.

2.5 Замечания о задаче Коши для вспомогательной и исходной систем

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Рассеяние вихрей в абелевой модели Хиггса»

Абелева (2+1)-мерная модель Хиггса возникает в теории сверхпроводимости. Она задается гиперболическим функционалом действия, определенным на парах (А, Ф), где а — электромагнитный калибровочный вектор-потенциал, а Ф — комплексное скалярное поле Хиггса на плоскости С. Функционал действия имеет стандартный вид интеграла по времени от разности кинетической энергии (зависящей от производных компонент А и Ф по времени) и потенциальной энергии (зависящей только от положения в конфигурационном, пространстве). Несмотря на то, что указанная модель изучается с 50-х годов XX века, когда она возникла при построении В.Л. Гинзбургом и Л.Д. Ландау феноменологической теории сверхпроводимости (предложенный ими лагранжиан в случае бесконечного заполняющего все пространство сверхпроводника сводится к лагранжиану указанной модели), многие важные задачи, возникающие в этой модели, до сих пор не решены.

Как известно, при температурах, близких к абсолютному нулю, некоторые металлы и сплавы начинают вести себя как сверхпроводники (см.[6]). Иначе говоря, электрический ток течет по ним без сопротивления. (Первым такое явление наблюдал Камерлиш>Оинес в 1911г.) В дальнейшем было обнаружено, что при возникновении сверхпроводимости внешнее магнитное поле «выталкивается» из сверхпроводника. Этот эффект, называемый эффектом Мейсснера-Оксенфельда в честь обнаруживших его в 1933г. физиков, — один из главных практических критериев сверхпроводимости.

Если увеличивать внешнее магнитное поле, то при некотором критическом значении произойдет «пробой» сверхпроводника и магнитное поле проникнет в его толщу. Этот процесс может происходить по двум различным сценариям, в соответствии с чем все сверхпроводники делятся на два разных класса. В сверхпроводниках I рода (к которым относятся в основном сверхпроводящие металлы) пробой происходит скачком и одновременно по всей толще сверхпроводника. В сверхпроводниках II рода (к которым относятся в основном сверхпроводящие сплавы) этот процесс происходит постепенно, небольшими дискретными скачками. Как только внешнее магнитное поле превысит первое критическое значение, внутри сверхпроводника появляются трубчатые зоны смешанной проводимости — трубки тока, направленные вдоль внешнего магнитного поля. В центре этих трубок вдоль так называемых абрикосовских струн (или абрикосовских нитей) имеется нормальная проводимость, внутри трубок она является смешанной, а вне их сохраняется сверхпроводимость. Абрикосовскис нити называют еще вихревыми, поскольку по поверхности трубок (вокруг их осей) текут незатухающие вихревые токи. С увеличением внешнего магнитного поля число трубок увеличивается и после второго критического значения сверхпроводник превращается в нормальный проводник.

На основе теории фазовых переходов Гинзбург и Ландау построили в 1950г. феноменологическую теорию сверхпроводимости [4]. Энергия бесконечного сверхпроводника, помещенного в магнитное поле, в этой теории равна а|Ф|2 + (0.1)

J I 87Г 4т

Здесь Ф — комплекснозначная функция (параметр порядка), А — электро—* магнитный вектор-потенциал, В = rot А — магнитная индукция, ей га — соответственно заряд и масса электрона, h — постоянная Планка, с — скорость света, о<0и6>0 — константы, характеризующие материал сверхпроводника.

Статическая двумерная модель Хиггса является редукцией модели, описываемой лагранжианом (0.1) в предположении, что величины А и Ф не зависят от одной из координат (например, от х3). Перемасштабируя координаты и величины Ф и А, можно избавиться от физических констант и свести выражение (0.1) к выписанному ниже функционалу энергии модели Хиггса (0.2). Входящий в него параметр Л4 при такой замене оказывается равным где х — параметр1 Гинзбурга-Ландау. Значения ж < ~= (или А < 1) отвел/2 1 чают сверхпроводникам первого рода, а >с > (или А > 1) — второго. у2

Как уже говорилось, во втором случае возникают трубки тока, открытые А.А.Абрикосовым в [1] (см. также [2]). Критический случай А = 1, изучаемый в диссертации, соответствует пограничному случаю между сверхпроводниками первого и второго рода.

Теория Гинзбурга-Ландау не объясняла физического смысла параметра порядка Ф. Это удалось сделать благодаря построению микроскопической теории сверхпроводимости в 1957г. Бардиным, Купером и Шриффером [10] и независимо в 1958г. Н.Н.Боголюбовым [3]. В этой теории феномен сверхпроводимости возникает благодаря образованию куперовских пар — квазичастиц, каждая из которых представляет собой связанное состояние двух электронов. Параметр порядка Ф интерпретируется при этом как нормированная конденсатная волновая функция куперовских пар. Л.П.Горьков в 1959г. показал (см. [5]), каким образом теория Гинзбурга-Ландау выводится из теории Бардина-Купера-Шриффера.

Кроме теории сверхпроводимости, абелева модель Хиггса возникает в некоторых моделях квантовой теории поля (см., например, [17]) и в космологических теориях (см., например, [12]). Из чисто математических приложений абелевой модели Хиггса можно упомянуть использование решений статической модели Таубсом (см. [27]) при доказательстве связи между инвариантами Громова и Зайберга-Виттена четырехмерных многообразий.

Двумерная статическая модель Хиггса

Двумерная абелева модель Хиггса задается следующим функционалом энергии:

У(А, Ф) = 11 + + ^(|Ф|2 - I)2) йхйу, (0.2) к2 где А = —гА\д,х — ъАъйу - калибровочный потенциал с гладкими веществен-нозначными коэффициентами А\, А2 на К2, Ф = Фх + гФг - поле Хиггса, задаваемое гладкой комплекснозначной функцией на плоскости В&2, Л > 0 -константа. Через := д\А<1 — <92Ах обозначается калибровочное поле, порождаемое потенциалом (Лх, Л2). Здесь и далее д\ := дх, <92 := ду.

Функционал энергии V инвариантен относительно калибровочных преобразований следующего вида:

А I—У А = А — %<1х , Ф 1—> Ф = е{хФ , где х — гладкая вещественнозначная функция на М2.

Интегрируя по частям, мы можем переписать функционал действия V в виде Богомольного:

У = \\+ Т (^2Ф2 - А2Фх))2+ к2 ((<92Фх + А2Ф2) ± (дгФ2 - ЛхФх))2 + ± ^(|Ф|2 - 1 ))2}сМ/±

Р12<Ь(1у + У (|Ф|2 - 1 )Чхйу. (0.3)

К2 К2

Далее мы рассматриваем лишь критический случай Л = 1 (см. [11]), наиболее интересный с математической точки зрения. В этом случае правая часть последнего равенства есть сумма неотрицательных слагаемых и 1 члена - ]' Р12с1х(1у. При некоторых дополнительных условиях па поведение ^ к2 компонент поля (А, Ф) в бесконечности можно показать, что последний член является топологическим инвариантом поля (А, Ф).

Более подробно, допустим, что функция Ф не имеет нулей вне круга достаточно большого радиуса До. Тогда степень N отображения Ф/|Ф|: —> окружности 5д радиуса II > Щ не зависит от выбора Я и называется вихревым числом поля (А, Ф).

Предположим, что выполнены следующие условия:

1. е ь^ж2)-,

2. |Ф| -> 1 при г := у/х2 + у2 -»• сю:

3. |^ЛФ| ^ С/г1+7 для некоторого 7 > 0.

Тогда вихревое число N можно вычислить, пользуясь формулой (см. [11]) I = N. ж2

Очевидно, что оно инвариантно относительно калибровочных преобразований.

Фиксируем вихревое число n ^ 0. Тогда из формулы Богомольного следует, что У(А, Ф) ^ 7гЛГ и минимальное значение V (равное 7г ТУ) достигается на решениях системы уравнений

151Ф1 + А1Ф2 = д2Ф2 -А2Ф1, а2Ф1 + Л2Ф2 = -Э1Ф2 + А&Х, (0.4) называемых вихревыми. Эти уравнения инвариантны относительно калибровочных преобразований.

Введем на плоскости (ж, у) комплексную координату г = х + гу и обозначим, как обычно, д := дг := )-(дх - гд2) и д := дЕ := ^{дх + 1д2).

Полагая Л ~{А\ — ^2), можно записать первые два уравнения из системы л

0.4) в более компактном виде дФ = гЛФ . (0.5)

Для полноты заметим, что в случае N < 0 минимальное значение V, равное 7г|ЛГ|, достигается на решениях похожей системы уравнений, называемых антивихревъши. Замена Л{г) ~ —Л(—г), Ф(г) — Ф(—г) сопоставляет решению (Л, Ф) вихревых уравнений решение (А, Ф) антивихревых уравнений и обратно. Поэтому в дальнейшем мы ограничиваемся случаем N ^ 0.

В работе [11] доказана следующая теорема существования и единственности решений вихревых уравнений.

Теорема (Таубс). Пусть N ^ 0. Пусть • • •, ~ произвольные не обязательно различные) точки на комплексной плоскости. Тогда существует (гладкое) решение (^1,^2, Ф) вихревых уравнений такое, что нули Ф совпадают с точками ,., и ф(М) ~ - ^-Г' в окрестности каждой из точек Ху Здесь п^ — кратность в наборе ., Ядг}, с7- — ненулевая константа. Для этого решения |Ф| экспоненциально стремится к 1 при \г\ —> оо, а |(91 — гА^Ф) и 1(^2 — «А2)Ф| экспоненциально убывают. Более точно,

1аФ\ < С( 1 — |Ф|) для некоторого С > 0 и для любого 7 > 0 существует С (7) > 0 такое, что

1 - |ф| < с(7)<г(1-^2!.

Вихревое число этого решения равно N. Решение с указанными свойствами единственно с точностью до калибровочной эквивалентности. □

Решение, существование которого устанавливается этой теоремой, называется N-вихревым.

Пространство модулей Лг-вихрс.вых решений, обозначаемое через тИдг, по определению является множеством классов калибровочной эквивалентности ЛГ-вихревых решений. По теореме Таубса это пространство можно отождествить с ЛГ-й симметрической степенью б^С, т. е. с множеством неупорядоченных наборов из N комплексных чисел (совпадающих с нулями Ф). Множество ЭмС можно, в свою очередь, отождествить с пространством С^, сопоставляя каждому набору ., полином р(г) с нулями Zl,., и старшим коэффициентом 1: р{г) = гн) = + вгг"-1 + • • • 4- + Зм.

Числа ¿1,., могут служить координатами на пространстве модулей Л4N. Введем, кроме того, вещественные координаты д/1, /х = 1,2,., полагая д2-7-1 = Яе Sj и д2-7 — 1т Sj для у = 1,., А7".

Существование и единственность (с точностью до калибровочной инвариантности) Л^-вихревых решений были доказаны Таубсом [26] в 1980г. В [11] доказано также, что все критические точки (А1,А2,Ф) функционала (0.2) при Л = 1, задаваемые гладкими функциями и такие, что У(Ах,А2, Ф) < оо, исчерпываются N-вихревыми и \Ы\-антивихревыми решениями. Таким образом, для Л = 1 все решения статической модели с конечной энергией описаны. В частности, не может существовать решения типа «вихрь-антивихрь», т.е. решения, которое в окрестности одного из своих нулей устроено как вихрь (Ф ~ С(2 — 2оУ), а в окрестности другого — как антивихрь

Следует отметить, что при Л ф 1 о решениях статической модели известно гораздо меньше. Предполагается, что статических решений типа И-вихрей с нулями в различных точках в этих случаях не существует, поскольку покоящиеся вихри притягиваются при Л < 1 и отталкиваются при Л > 1, однако последнее утверждение не получило пока строгого обоснования. Доказано (см. [18]), что при всех Л > 0 функционал V имеет критические точки, аналогичные Лг-вихревым решениям, все нули которых совпадают. Эти критические точки имеют вид

Динамическая задача. Адиабатический принцип

Динамическая (2-11)-мерная модель Хиггса задается функционалом действия

Здесь

1. Ф(£, х, у) - гладкая комплексиозпачная функция;

2. компоненты связности Ау(^,х,у) - гладкие вещественнозначные функции, з~ 0,1,2;

3. DjФ :— с^Ф — гА,Ф - ковариантная производная, у = 0,1,2;

4. Fjk := дjAk — дь- компоненты формы кривизны, = 0,1, 2, .у ф к, с д0 = ди д\ = дХ) д2 = ду

5. А > 0 — константа (параметр модели).

Функционал действия можно представить в стандартной форме —х2па(г)/г, А2 = х1па(г)/г, , Ф = е1пв-щггде г =

Ч К2

АФ|2 + р2Ф|2 + ^122 + - I)2) У^у. (0.6) где потенциальная энергия ^задается формулой (0.2), а кинетическая энергия Т равна

Г = ^ / (1^оФ|2 + ^о21 + Шу . к2

• Этот функционал инвариантен относительно динамических калибровочных преобразований вида + Ф = е1хФ, где х-, у) ~~ гладкая вещественнозначная функция.

Выбором калибровки можно добиться выполнения условия Ао = 0 (так называемая временная калибровка). В этом случае

Тем самым, функционал Т определяет метрику на пространстве ЛАы, которая называется кинетической. Дейтсвительно, пусть фо £ А^дт, а V — касательный вектор к М.м в точке (¿о. Рассмотрим произвольную гладкую кривую на М-х (т.е. : (—5,6) —> .Млг) с касательным вектором V при 1 = 0 (т.е. 0) = (5о, 0(0) = у)- Ей можно сопоставить гладкую кривую из представителей классов т.е. кривую из статических решений (А1 (£), Лг(^), Ф(£)), так, чтобы производные с^-Аь <Э*Ф в точке £ = 0 были квадратично интегрируемы. Тогда можно положить

1М12 = \ (РМЬ + РгА^Ь + ||^2|||а)и.

Остается проверить, что определенная таким образом метрика не зависит от выбора гладкой кривой <3(£).

Точному описанию кинетической метрики посвящена первая глава диссертации. Основной результат, который в ней доказывается — это следующая теорема.

Теорема 1. Построенная указанным образом кинетическая метрика корректно определена и является римановой метрикой на пространстве люду-лей Л4м- Эта метрика является гладкой в симметрических координатах ¿1,.

Уравнения Эйлера-Лагранжа для действия ¿>(Д Ф) имеют вид:

1ш(Ф Д)Ф), ЬпГФРхФ),

0.7)

1ш(ФР2Ф),

Они инвариантны относительно динамических калибровочных преобразований.

Задача состоит в том, чтобы описать пространство модулей решений приведенных уравнений, называемых для краткости динамическими. В случае вихревых решений, являющихся статическими решениями указанных уравнений, такое описание дается теоремой Таубса. Однако рассчитывать столь же явное описание пространства модулей в общем случае не приходится.

Тем не менее, в случае А = 1 можно попытаться получить приближенное описание динамических решений, следуя идее Мэнтона (см. [14]), высказанной им для сходной задачи о динамике магнитных монополей (возникающей в нсабелевой (З-К)-мсрной модели Хиггса с калибровочной группой 3112). Рубак ([19]) впервые применил эту идею для изучения динамических решений (2+1)-мерной абелевой модели Хиггса. Указанная идея, которую можно называть адиабатическим принципом, состоит в том, чтобы рассматривать геодезические на пространстве модулей статических решений Л^дг относительно кинетической метрики в качестве приближения к динамическим решениям уравнений (0.7), описывающим траектории системы из N медленно движущихся вихрей. Несмотря на то, что идея Мэнтона основана на эвристических соображениях, она вызвала к жизни целый ряд работ, посвященных додхАх + д0д2А2 - ААо = д20Ах - д\Ах + дхд2А2 - дхдоАо = д§А2 - д\А2 + д2д\А\ - д2д0А0 =

И2 - - £>|)Ф = описанию геодезических на пространствах статических решений. Вторая глава настоящей работы посвящена обоснованию адиабатического принципа.

Первая попытка обоснования адиабатического принципа была предпринята в статье [23] для близкой модели Хиггса с масштабным параметром А ф 1. Несмотря на то, что при внимательном чтении этой статьи в ней обнаружились некоторые пробелы, она оказалась для нас весьма полезной и в целом мы следуем предложенному в ней подходу. (Среди других работ, пося-щенных обоснованию адиабатического принципа, отметим статьи [24]) и [25], относящиеся к динамике магнитных моиополей и вихрей на сфере.)

Главное отличие обоснования, приведенного в диссертации, от обоснования, приведенного в [23], состоит в новом доказательстве центрального результата — теоремы о существовании решения на достаточно длинном промежутке времени.

Точный результат, доказанный во второй главе, coctopit в следующем.

Теорема 2. Пусть Q = Q(r) есть параметризация отрезка произвольной геодезической Q: [0;ть] —> A4n иа пространстве модулей .Мдг относительно кинетической метрики с выбранным на ней натуральным параметром т.

Тогда найдутся:

• полоо/сительные числа т\ ^ ть, £q, М;

• заданная па отрезке [0, то] гладкая кривая (a¿i(r), а2(т), ф(т)) в пространстве статических N-вихревых решений, калибровочный класс которой [ai(r), скгС7"), ф(т)] при каоюдом фиксированном т £ [0, ть] совпадает с классоль Q(t) £ Á4n¡ обладающие следующими свойствами.

Для любого £ £ (0; ео) существует решение (Aq(í), А\(i), A^it), Ф£(i)) уравнений Эйлера-Лагранэ/са (0.7); заданное на отрезке t £ [OjTi/e], отклопение которого от кривой (ск^ей), 0(е£)) имеет порядок е2. Более точно, указанное решение допускает представление

А\(&х,у) =011 (е^х,у) + £2а1(г,х,у),

0.8)

Х1 у) = я, у) + е Х1У)>

Ф£(£, ж, у) = ф(гР, х, у) + х, г/), в котором остаточные члены ад, а|. <£>е — равномерно ограничены по е, точнее, для всех £ € [0; тх/ег] выполняется оценка тах{|К(*)||3,|К«11з, ||а|й||3> ММИз, МООИз} < М, где || • ||з обозначает норму в пространстве

Соболева Я3(К2). Найденные решения обладают следующими свойствами:

• функции являются гладкими и ограниченными на множестве [0; п] х К2;

• функция а1 принадлежит классу ^([О; п/г], Я3(И£2)), а функции а|,а|, принадлео!сат классу

С([0; п/е], Я3(Е2)) ПС1 ([0; п/е], Я2(Е2)) ПС2([0; п/е], Я1 (К2)) • (0-9)

Итак, геодезические кинетической метрики действительно приближенно описывают медленное движение вихрей. К сожалению, вычислить эту метрику в явном виде не удается даже в случае N = 2. Однако удается установить ряд ее свойств. Например, показано, что кинетическая метрика инвариантна относительно сдвигов плоскости, поворотов и комплексного сопряжения (это доказано в теореме 7 в главе 3). Более того, Сэмолс (см. [20]) показал, что имеется изометричное разложение

Мы = М°м х С, 14 где Л4°м — подмногообразие N-вихревых конфигураций с центром масс в ну^— ле, т.е. множество точек для которых £1 = 0. В этой же статье доказано что кинетическая метрика является кэлеровой. Авторы статьи [7] вычислил:иг кинетическую метрику в случае N = 2.

Довольно большое число работ посвящено изучению частных случаев ди;— намики.вихрей. Например, широко изучалась задача о взаимодействии двузх^ движущихся вихрей. В статьях [21], [15], [16], [22], [20] приводятся результать>ц численного моделирования динамики двух вихрей. В уже упоминавшихся ра.— ботах [7], [19], а также в статье [8] изучалась задача о лобовом столкновепиит I двух вихрей. При этом авторы первых двух из этих работ использовали геоде— зическое приближение, а авторы последней строили решения дипамическю<^ уравнений при всех значениях А > 0, пользуясь теоремой Коши-Ковалевской — В этих работах было показано, что после лобового столкновения траекториЕзг вихрей поворачиваются на угол 7г/2, т.е. происходит рассеяние вихрей подзе^ прямым углом. В [23] отмечается, что, используя адиабатический принцип этот результат можно вывести из свойства гладкости кинетической метрикгиг: в симметрических координатах.

В третьей главе диссертации рассмотрено обобщение этой задачи: иссле— дуется поведение системы N вихрей при симметричном лобовом столкио— вении, т.е. при одновременном столкновении под равными углами. (Точны^г формулировки приведены в начале главы 3.) При N = 2 получается случайг лобового столкновения двух вихрей.

Оказывается, при симметричном лобовом столкновении N вихрей они рассеиваются на угол 7г/]\Г. Случай рассеяния N вихрей при симметрично!^ столкновении был описан на «физическом» уровне строгости в статьях [13][ и [9]. (Следует заметить, что авторы последней из упомянутых работ, как: и авторы [8], строили решения динамических уравнений при всех значения:^ А > 0 с помощью теоремы Коши-Ковалевской.)

В диссертации этот результат получается на основе адиабатического принципа. С помощью свойств инвариантности метрики относительно сдвигов, поворотов и комплексного сопряжения доказывается основной результат о рассеянии вихрей: при симметричном лобовом столкновении N вихрей они рассеиваются на угол 7г/-/У\ Точная формулировка результата такова.

Теорема 3. На пространстве модулей Л4м с кинетической метрикой имеется геодезическая, которую моснсно параметризовать в симметрических координатах следу?ощим образом:

5х = • • • = = 0 , = , где А(5) — гладкая всщественнозначная убывающая функция, принимающая все значения от —оо до +оо, и А(0) — 0.

В разделе 3.1 объясняется, почему эта геодезическая описывает рассеяние на угол 7г/ЛГ.

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [28], [29], [30]. Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Армену Глебовичу Сергееву за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Пальвелев, Роман Витальевич, 2011 год

1. А.А.Абрикосов. 1Влияние размеров на критическое поле сверхпроводников второй группы, ДАН СССР 86 (1952), №3, с.489.

2. А.А. Абрикосов. О магнитных свойствах сверхпроводников второй группы, ЖЭТФ, 32 (1957), вып.6, сс.1442-1452.

3. Н.Н. Боголюбов. О новом методе в теории сверхпроводимости, ЖЭТФ 34 (1958), вып.1, сс.58-65.4| В.Л.Гинзбург, Л.Д.Ландау. К теории сверхпроводимости, ЖЭТФ 20 (1950), вып.12, сс.1064-1082.

4. Л.П. Горьков. Микроскопический вывод уравнений Гинзбурга-Ландау в теории сверхпроводимости, ЖЭТФ 36 (1959), вып.6, сс.1918-1923.

5. Е.М.Лифшиц, Л.П.Питаевский. Статистическая физика, часть 2. М.: Наука, 1978.

6. K. Arthur, J. Burzlaff. Existence theorems for tt/n vortex scattering. Lett. Math. Phys. 36 (1996), №3, 311-318; hcp-th/9503010.

7. J.Bardeen, L.N.Cooper, and J.R.Schrieffer. Microscopic Theory of Superconductivity, Phys. Rev. 108 (1957), pp. 1175-1204.

8. A. Jaffe, C. Taubes. Vortices and Monopoles. Boston: Birkhauser, 1980.

9. T.W.B. Kibble. Topology of cosmic domains and strings, Journal of Physics A: Mathematical and General 9 (1976), №8. pp. 1387-1398.

10. R. MacKenzie. Remarks on gauge vortex scattering. Phys. Lett. B 352 (1995), 96-98; liep-th/9503044.

11. N. S. Manton. A remark on the scattering of BPS monopoles. Phys. Lett. B 110 (1982), 54-56.

12. K.J.M. Moriarty, E. Myers, and C. Rebbi. Dynamical interactions of cosmic strings and flux vortices, Phys. Lett. B 207 (1988), pp.411-418.

13. E. Myers, C. Rebbi, and R. Strilka. Study of the interaction and scattering of vortices in the Abelian Higgs (or Ginzburg-Landau) model, Phys. Rev. B 45 (1989), 1355-1364.

14. H. B. Nielsen and P. Olesen. Vortex-line models for dual strings, Nucl. Phys. B 61 (1973), pp. 45-61.

15. B.J. Plohr. The behavior at infinity of isotropic vortices and monopoles, Journal of Math. Phys. 22 (1981), pp. 2184-2190.

16. P. J. Ruback. Vortex string motion in the Abelian Higgs model. Nucl. Phys. B 296 (1988), 669-678.

17. T. M. Samols. Vortex scattering. Comm. Math. Phys. 145 (1992), 149179.

18. E.P.S.Shellard. Cosmic string interactions, Nucl. Phys. В 283 (1987), pp. 624-656.

19. E.P.S.Shellard, P.J.Ruback. Vortex Scattering in Two Dimensions, Phys. Lett. В 209, №2-3, pp.262-270.

20. D. Stuart. Dynamics of Abelian Higgs vortices in the near Bogomolny regime. Comm. Math. Phys. 159 (1994), 51-91.

21. D. Stuart. The Geodesic Approximation for the Yang-Mills-Higgs Equations, Comm. Math. Phys. 166 (1994) 149-190.

22. D.M.A. Stuart. Periodic solutions of the Abelian Higgs m,odel and rigid rotation of vortices, Geom. and Funct. Anal. 9 (1999), 568-595.

23. C.H. Taubes. Arbitrary N-vortex solutions to the first-order Ginzburg-Landau equations, Comm. Math. Phys 72 (1980), №.3, pp. 277-292.

24. C.H. Taubes. Gr=$> SW: From pseudo-holomorphic curves to SeibergWitten solutions, J. Diff. Geom. 51 (1999), pp. 203-334.

25. P.B. Пальвелев. Рассеяние вихрей в абелевой модели Хиггса, Теоретическая и математическая физика, 156 (2008), №1, сс.77-91.

26. R.V.Palvelev. Scattering of vortices in the Abelian Higgs model, Journal of Geometry and Symmetry in Physics, 10 (2007), pp. 7381.

27. P.B. Пальвелев. Обоснование адиабатического принципа в абелевой модели Хиггса, Труды Московского математического общества, 72 (2011), вып. 2, сс. 281-314.