Рассеяние звука телами сложной формы с полигональной поверхностью тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Лепетков Даниил Русланович

• Лепетков Даниил Русланович
• кандидат наук
• 2026

Оглавление диссертации кандидат наук Лепетков Даниил Русланович

Основные обозначения

Введение

1. Расчет рассеяния плоской звуковой волны жестким телом

на основе уравнения Бертона —Миллера

1.1. Предварительные сведения

1.2. Уравнения МГЭ и аналитическая модель

1.3. Вывод аналитического решения для шара из ГИУ Бертона -Миллера

1.4. Описание метода коллокаций для треугольного меша

1.5. Результаты

1.6. Финальные комментарии к главе

2. Моделирование рассеяния плоской гармонической звуковой волны на жидком теле

2.1. Предварительные сведения

2.2. Постановка проблемы

2.3. Метод конечных элементов для акустической задачи

2.4. Метод граничных элементов для акустической задачи

2.5. Примеры вычислений и сравнения методов

2.6. Финальные комментарии к главе

3. МГЭ-моделирование рассеяния плоской звуковой волны на упругих телах

3.1. Постановка задачи

3.2. Основные уравнения

3.3. Аналитическое решение для упругого шара

3.4. МГЭ-метод коллокаций для полигональных поверхностей

3.5. Примеры результатов расчетов

3.6. Финальные комментарии к главе

4. Оптимизация МГЭ для тел, заданных большими полигональными сетками

4.1. Предварительные сведения

4.2. Детали метода граничных элементов

4.3. Оптимизация метода граничных элементов

4.4. Примеры расчетов

4.5. Финальные комментарии к главе

Заключение

Список литературы

Приложение

Свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ

Основные обозначения

К3 — трехмерное евклидово пространство (3-)векторов х = (х\,х2,х3). ху = 3=1 хгуг — скалярное произведение векторов х,у £ К3. ху = хг у г по соглашению о суммировании по повторяющемуся индексу. \х\ = (хх)1/2 — длина вектора х, X = щ — нормированный вектор. §2 = {х £ К3: \х\ = 1} — единичная сфера.

В3 = {х £ К3: \х\ < 1} — единичный шар, Ва — шар радиуса а.

О С К3 — трехмерная замкнутая односвязная область (тело).

Б = дО — поверхность (граница) О или полигональная сетка (3Б-меш в случае полигональной границы.

п = п(х) — внешняя нормаль к поверхности тела в точке х £ Б.

хг (или х(г) — множество вершин V меша Б, пг — внешние нормали и — площади ячеек Вороного Бг в вершинах хг, % = 1,..., N = V \.

Н — средняя длина ребра меша (размер элемента).

С (х) для х £ Б — геометрический коэффициент скачка интеграла двойного слоя (равен 1/2 в точках гладкости).

р — плотность среды, с — скорость звука в среде.

Л и ¡1 — параметры Ламе упругого тела.

^ (х) = Аегкхй — потенциал плоской (гармонической) звуковой волны с комплексной амплитудой А.

d £ §2 — направление плоской волны.

к = — — волновое число.

с

и — круговая частота, временной множитель е ь опускается. Л = 2П — длина волны.

ка — волновой параметр, где а — радиус шара Ва с объемом тела.

Ф8 (x) — потенциал рассеянной волны.

Ф = Фх + Ф8 — полный акустический потенциал в среде.

e1 = (1, 0, 0), e2 = (0,1,0), e3 = (0, 0,1) — единичные орты.

t, b, n — тангента, бинормаль и нормаль (локальный базис) в точке x Е S (b = n х t).

(r cos 9,r cos ф sin 9,r sin ф sin 9) — сферические координаты вектора x, r = |x|, xei = r cos

dx = dx, dly = dx dy.

f ■ = д f f ■■ = д . f.

J 1Ъ Х i J ' J 1ij x i x j J

//

— производная для функций одной переменной.

V = (дЖ1 ,дХ2 ,дХз) — градиент.

А = V2 — оператор Лапласа.

дп = Vn — производная по нормали.

(x)n = x — (xn)n, Vs = (V)n — поверхностный градиент. Lф(x',x) = Ф^) + VSФ(x)(x/ — x)n — линейная часть функции Ф. Dc = R3 \ D — внешность D, D° = D \ S — внутренность D. 6(x) — дельта-функция Дирака.

Gk(x,x') = \k\x-xI — функция Грина (фундаментальное решение) для уравнения Гельмгольца в R3, которая удовлетворяет условию излучения Зоммерфельда, соответствующему уходящим волнам.

u — вектор смещений.

p — вектор напряжений на дифференциальном элементе с нормалью n.

е — тензор смещений.

а — тензор напряжений.

Uij — функция Грина для перемещений.

Pij — функция Грина для напряжений.

ji — сферическая функция Бесселя (первого рода).

Н — сферическая функция Ганкеля (первого рода). Р1 — многочлены Лежандра.

У¡т — сферические гармоники, такие что Ую = Р\.

— символ Кронекера (8^ = 0 для % = ] и 8ц = 1). а — параметр в уравнении Бертона-Миллера.

Тх (/) = / + адп / — оператор для уравнения Бертона-Миллера (берется по переменной х).

\\f =supxGS \f (ж)|.

\\f\\ _i\f\\ + iivz f\\ +sup sf(x)-Vsf(x')|

\\f \\l,ß _ \\f + \\V Sf + supx,x' es, x=x' lx-x' Iß •

C1,ß (S) — пространство Гёльдера непрерывно-дифференцируемых функций с нормой \\f \\i,ß •

I — тождественный оператор.

C, c — положительные константы.

An _ O(Bn) значит An < CBn, где константа C не зависит от n.

An х Bn равносильно C1 Bn < An < C2 Bn.

МГЭ (BEM) — метод граничных элементов.

МКЭ (FEM) — метод конечных элементов.

ГИУ — граничное интегральное уравнение.

СЛАУ — система линейных алгебраических уравнений.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Рассеяние звука телами сложной формы с полигональной поверхностью»

Введение

Актуальность темы. Задача рассеяния звука объектами сложной формы и неоднородного материала в жидкости актуальна как в теоретическом, так и в практическом плане. С теоретической точки зрения важно получать решения новых постановок и исследовать, в какой мере параметры среды и падающей волны, геометрия тела или препятствия, а также выбор методов и алгоритмов влияют на точность вычислений. С практической точки зрения требуется создать основу для разработки инженерных технологий, востребованных при обнаружении и идентификации объектов, проведении диагностики, дефектоскопии, а также при решении ряда иных прикладных задач.

Формирование математического аппарата для описания распространения звуковых волн началось с работ Л. Эйлера (1759), который вывел уравнения движения идеальной жидкости, положив начало гидродинамической теории звука. На их основе возникло волновое уравнение второго порядка, описывающее динамику давления и скорости звука в сжимаемой среде. В середине XIX века Г. Гельмгольц и Дж.У. Рэлей внесли существенный вклад в развитие теории стационарных колебаний, что привело к формулировке так называемого уравнения Гельмгольца — частотной формы волнового уравнения, лежащей в основе большинства задач стационарной акустики. Первые постановки задач акустического рассеяния восходят к работам Г. Кирхгофа (1882) и Л.В. Лоренца (1890). Аналитические решения задачи рассеяния плоской звуковой волны на сфере и цилиндре были получены в начале XX века с использованием сферических и цилиндрических гармоник. Эти модели стали основой для расчета эффективной отражающей способности объектов и построения эхосигнатур в ранней гидроакустике. В XX веке задачами акустического рассеяния активно занимались М. Лакс, П.М. Морс, Д. Колтон, В.А. Караташев и другие. Их работы заложили основы численных методов граничных и конечных элементов и способствовали развитию моделирования рассеяния для объектов произвольной формы.

В целом, задача рассеяния звука хорошо изучена в теоретической акустике (см., например, [2, 6, 35, 42, 46, 58, 70, 96, 114]). Тем не менее получить аналитическое решение в виде явных формул, например, в виде рядов по специальным функциям, удается лишь для тел простейшей (канонической) геометрии, в частности, для сферы или бесконечного цилиндра. Разные результаты в этом направлении как классические, так и относительно недавние см., например, в [12, 32, 36, 37, 45, 47, 52, 68, 89]. Однако для практических приложений интересно рассмотреть произвольные тела. Данному случаю также посвящено большое число работ, в частности, [1, 2, 6, 34, 35, 40, 41, 56, 101, 102, 106, 110]. В них предложены различные методы исследования рассеяния звука, включая как численно-аналитические подходы (например, для сфероидов), так и чисто численные методы.

Основным универсальным численным методом для решения разнообразных задач рассеяния является метод конечных элементов (МКЭ или FEM), который реализован в различном инженерном программном обеспечении (например, ANSYS [48], COMSOL [62], FIDESYS [55]) и изложению аспектов которого посвящено большое число работ (например, [78]). За счет гибкости он позволяет находить решения для тел произвольной формы и материалов. Однако определенным его недостатком является ресурсоем-кость — необходимость разбивать расчетную область на трехмерные конечные элементы, число которых для сложных тел может достигать многих миллионов. Несмотря на то, что система уравнений получается разреженная, нахождение решения может занимать длительное время. В противовес этому был разработан метод граничных элементов (МГЭ или BEM), который сводит объемные уравнения к граничным при помощи функции Грина. Данный метод развивался и продолжает совершенствоваться в различных работах (например, [6, 58]); существуют и программные реализации (например, в COMSOL, BEMPP [49]). МГЭ находит широкое применение при теоретическом анализе и в прикладных исследованиях задач волновой механики. В ряде публикаций этот подход используется для приближенного решения задач рассеяния (или дифракции) звуковых волн на телах неканонической формы. В качестве простейшего примера тела неканонической геометрии можно указать бесконечный цилиндр с произвольным сечением. Например, в работах [2, 72, 81] изучался случай, когда поверхность тела задается аналитически. В МГЭ требуется разбивать на конечные элементы

только поверхности тела. Данные элементы двумерны и их требуется на порядок меньше для решения задачи с той же точностью, что для МКЭ.

В некоторых работах, например, [2], граничное уравнение рассматривается в стандартной форме. Однако А.Дж. Бертон и Г.Ф. Миллер показали, что в этом случае решение может быть неединственным, что дает ложные решения на определенных частотах. Они предложили комбинированное граничное уравнения с параметром, решение которого единственно и совпадает с нужным. Теоретические и практические аспекты этого подхода исследовались, например, в работах [19, 54, 59, 85, 87, 92, 114]). Комбинированное уравнение Бертона - Миллера содержит как сингулярную, так и гиперсингулярную части, поэтому рассматривались разные методы регуляризации (см., например, [19, 59]).

На практике наибольшее распространение получили следующие способы задания поверхности тела сложной формы: граничное Бгер-представление и представление полигональной (например, треугольной/четырехугольной) сеткой (см. [50, 107]). Бгер-представление через поверхности в uv-координатах используется в CAD-системах и позволяет наиболее точно описать границу тела. Полигональное представление в виде меша применяется в SD-редакторах типа Blender, возникает при SD-реконструкции реального объекта и широко используется в интерактивной графике.

Бгер-представление удобно для реализации метода граничных элементов тем, что интегрирование можно выполнять с учетом аналитического задания поверхности (см., например, [114]). Однако, если переход от Бгер-представления к полигональному обычно не вызывает затруднений, то обратное преобразование существенно сложнее. В силу этого решение задач рассеяния следует уметь строить без промежуточного восстановления гладкой границы, работая непосредственно с полигональным описанием поверхности тела.

Для численной реализации МГЭ применяются методы коллокаций и Га-лёркина, сводящие задачу к решению системы линейных уравнений. Метод Галёркина порождает симметричную матрицу и более устойчив, однако затратнее в реализации и вычислениях, в частности, требует вычисления двойных интегралов (см., например, [58]). Метод коллокаций имеет преимущество в простоте реализации и скорости, так как в нем не требуется вычислять интегралы от функций Грина (которые могут иметь сложный

вид) с базисными функциями конечных элементов. Метод коллокаций также активно применяется в приложениях. Он получил развитие во второй половине XX века, особенно в работах К.Э. Аткинсона, В. Кресса, Л.В. Канторовича, Г.М. Вайникко. Одной из проблем метода коллокаций является тот факт, что матрица системы вычислительной модели получается плотной и знаконеопределенной. Поэтому для решения больших задач требуются те или иные методы сокращения размерности задачи как, например, в [83].

При разработке вычислительных моделей актуальной проблемой является обоснование метода, заключающееся в доказательстве сходимости сходимости численного решения к аналитическому. Для случая коллокаций необходимые теоретические сведения и практические примеры доказательства обоснованности методов решения интегральных уравнений математической физики можно найти, например, в работах [5, 11, 19, 43, 44, 108].

Цель работы. Построение аналитических и соответствующих вычислительных моделей для расчета акустического потенциала рассеянной волны для жестких, жидких и упругих тел произвольной формы, размещенных в идеальной жидкости, с поверхностью сложной формы, заданной полигональной сеткой.

Научная новизна. В рамках метода граничных элементов и с привлечением подхода Бертона - Миллера, используемого для устранения неединственности решения, разработаны новые аналитические модели расчета рассеянного поля, создаваемого падающей плоской звуковой волной при обтекании тел различного материала и формы в идеальной жидкости. Отличительной особенностью этих моделей является использование специальной регуляризации сингулярных интегралов. В результате, построены новые эффективные вычислительные модели для случая тел, поверхность которых задается полигональной сеткой. Разработанный метод применим для тел, для которых влияние переотражения несущественно, в частности для выпуклых тел. Волновой размер приблизительно равен значениям от единицы до десяти.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертационной работы вносят вклад в развитие теории рассеяния акустических волн на телах сложной формы. Полученные подходы и модели могут быть использованы, например, в гидроакустике для реализации методов звуковой

эхолокации; в дефектоскопии — для совершенствования технологий нераз-рушающего контроля; в медицинской диагностике — при разработке ультразвуковых методов визуализации; в архитектурной и промышленной акустике — при расчете акустических характеристик помещений и зданий; при проектировании материалов и изделий с заданными акустическими свойствами. Также результаты можно использовать для формирования датасета эхосигнатур объектов, заданных в виде полигональных сеток, и их дальнейшего применения в низкочастотных гидроакустических системах для обнаружения и классификации различных тел, находящихся в жидкой среде или на ее границе. Построенный датасет может быть использован для обучения и тестирования алгоритмов автоматического распознавания объектов.

Методы исследования. В работе применяются: гидроакустика идеальной сжимаемой жидкости; линейная теория упругости; решение уравнений в частных производных с использованием функции Грина; приведение задачи к интегральным уравнениям в рамках метода граничных элементов; регуляризация сингулярных интегралов; подход Бертона - Миллера для обеспечения единственности решения; метод коллокаций для построения вычислительной модели; масс-формула для численного интегрирования на трехмерных полигональных сетках (ЭБ-мешах); методы работы с полигональными сетками; разбиение меша на области Вороного; гармонический анализ на сфере; численное решение систем линейных алгебраических уравнений.

Достоверность полученных результатов. Обосновывается: корректной постановкой задач и использованием соответствующих их специфике аналитических и вычислительных методов; расчетами на ЭВМ с контролем численной точности; согласованностью найденных решений в частных случаях с эталонными результатами и с результатами инженерного программного обеспечения.

Положения, выносимые на защиту.

• Аналитическая и вычислительная модели для вычисления акустического потенциала рассеянной волны в случае абсолютно жесткого тела сложной формы, поверхность которого задана треугольной сеткой.

• Для жесткого и жидкого шара вывод аналитического решения задачи рассеяния из уравнения Бертона - Миллера и сферического разложения Джексона функции Грина.

• Аналитическая и вычислительная модели для расчета акустического потенциала рассеянной волны для случая жидкого тела.

• Аналитическая и вычислительная модели для расчета акустического потенциала рассеянной волны для случая однородного изотропного линейно-упругого тела.

• Оптимизация метода расчета потенциала рассеянной волны для случая больших сеток.

Соответствие паспорту специальности. Диссертационное исследование содержит элементы всех трех составляющих названия специальности:

• решены задачи математического моделирования рассеяния звука на телах сложной формы с использованием новых подходов к заданию поверхности тела и аналитических моделей, основанных на регуляризо-ванных граничных интегральных уравнений;

• для решения задач предложена модификация численных методов, обеспечивающая экономию вычислительных ресурсов при расчете волновых полей на основе предложенных вычислительных моделей;

• для проведения численных экспериментов разработан комплекс программ, часть из которых получила государственную регистрацию.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы представлены на следующих конференциях [14, 24-27, 30, 31] и научных семинарах:

1. Международная научная конференция «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики», Воронеж, Воронежский государственный университет, 04-06 декабря 2023 г.;

2. Международная Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крей-на, посвященная памяти В.П. Маслова, Воронеж, Воронежский государственный университет, 26-30 января 2024 г.;

3. Международная Воронежская весенняя математическая школа «Современные методы теории краевых задач. Понтрягинские чтения — XXXV», Воронеж, ВГУ, 26-30 апреля 2024 г.;

4. Акустика среды обитания, IX Всероссийская конференция молодых ученых и специалистов, Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана, 23-24 мая 2024 г.;

5. XXIII Международная конференция «Алгебра, теория чисел, дискретная геометрия и многомасштабное моделирование. Современные проблемы, приложения и проблемы истории», посвященная 80-летию профессора А.И. Галочкина и 75-летию профессора В.Г. Чирского, Тула, ТГПУ им. Л.Н. Толстого, 29-31 октября 2024 г.;

6. XXIV Международная конференция «Алгебра, теория чисел, дискретная геометрия и многомасштабное моделирование. Современные проблемы, приложения и проблемы истории», посвященная 110-летию со дня рождения академика Ю.В. Линника и 110-летию со дня рождения профессора А.Б. Шидловского и 80-летию со дня рождения профессора Г.И. Архипова, Тула, ТГПУ им. Л.Н. Толстого, 14-17 мая 2025 г.;

7. Акустика среды обитания, X Всероссийская конференция молодых ученых и специалистов, Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана, 29-30 мая 2025 г.

8. Семинар Центра прикладной математики ИМ СО РАН, г. Новосибирск, 26 ноября 2025 г., тема «Рассеяние звука телами сложной формы с полигональной поверхностью».

Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 работ: 2 статьи в журналах из списка ВАК, категории К1, К2 (по специальности 1.2.2, физ.-мат. науки) [21, 22]; 2 статьи в издании, индексируемом RSCI и Scopus [14, 23]; 7 публикаций в иных изданиях [14, 24-27, 30, 31]; получены 2 свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ [28, 29].

Часть результатов была получена в рамках гранта Министерства просвещения РФ (соглашение № 073-00033-24-01 от 09.02.2024, тема научного исследования «Теоретико-числовые методы в приближенном анализе и их приложения в механике и физике»).

Личный вклад. Результаты, представленные в главах 1, 3, 4, получены автором. Результаты главы 2 изложены на основе совместной работы с Д.В. Горбачевым и С.А. Скобельцыным, где вклад автора состоит в решении задачи методом граничных элементов (разд. 2.4 и соответствующие вычислительные результаты из разд. 2.5).

Структура и объем работы. Диссертация содержит список основных обозначений, введение, четыре главы, заключение, список литературы и приложения. Она содержит 123 страниц, 27 рисунков и 3 таблицы. Список литературы состоит из 123 наименований.

1. Расчет рассеяния плоской звуковой волны жестким телом на основе уравнения Бертона — Миллера

В данной главе исследуется задача расчета рассеяния плоской звуковой волны на абсолютно (акустически) жестком теле в трехмерном пространстве. Предполагается, что поверхность тела задана неструктурированной полигональной сеткой (именно, треугольным 3Б-мешем). В качестве основного инструмента используется метод граничных элементов, основанный на регуляризованном интегральном уравнении Бертона -Миллера с параметром а. Указанный подход достаточно подробно изучен, имеются его программные реализации. Вместе с тем во многих работах рассмотрение ограничивалось относительно простыми геометриями (например, поверхностями, симметричными относительно координатных плоскостей) либо структурированными пи-поверхностями (что отвечает граничному Вгер-представлению). Результаты настоящей главы и работы в целом устраняют эти ограничения.

Кроме того, часто граничное интегральное уравнение рассматривалось в стандартной постановке, отвечающее а = 0. В этом случае ключевая трудность связана с тем, что для некоторых значений волнового числа к, соответствующих собственным значениям внутренней задачи Дирихле для тела, решение перестает быть единственным. Это, в свою очередь, приводит к численной неустойчивости и, как следствие, к ошибочным результатам. Далее обосновывается применение уравнения Бертона - Миллера для тел произвольной формы, позволяющего устранить указанную проблему.

Для абсолютно жесткого шара приведен новый вывод аналитического решения задачи рассеяния напрямую из уравнения Бертона - Миллера и сферического разложения Джексона функции Грина. Этот вывод использовался для аналитического обоснования оптимальности выбора параметра а = г/к и валидации разработанной численной реализации. Предложен вариант регуляризации, адаптированный для неструктурированных мешей.

Численная реализация основана на методе коллокаций и для нее доказана сходимость к аналитическому решению. Даны примеры расчета акустического потенциала рассеянной волны для сложных тел, задаваемых треугольными мешами.

Основные результаты главы опубликованы в [13].

1.1. Предварительные сведения

Используются следующие обозначения. Пусть О С К3 — трехмерное тело (замкнутая односвязная область), Б = дО — поверхность (граница) тела О, п = п(х) — внешняя нормаль в точке х £ Б, ^(х) = Авгкха — потенциал плоской звуковой волны в точке х £ К3, где к > 0 — волновое число, А — амплитуда, d £ §2 — направление волны, х4 = х1d1 + х2d2 + х3&3 — скалярное произведение (Э-)векторов х и d, §2 = {х £ К3: \х\ = 1} — единичная сфера, В3 = {х £ К3: \х\ < 1} — единичный шар, \х\ = л/хх — длина вектора х, х = х/\х\, е1 = (1, 0,0), е2 = (0,1, 0), е3 = (0,0,1) — единичные орты, для краткости дх = д/дх, дХу = дхду, дп = Уп, (х)п = х — (хп)п — проекция на касательную плоскость, У^ = (У)п — поверхностный градиент, Ос = К3 \ О — внешность тела О, = О \ Б — внутренность О, /' для функций обозначает обычную производную, — символ Кронекера. Также будем обозначать через I тождественный оператор, с > 0 — константы. Выражение А х В равносильно А/В = 0(1) и В/А = 0(1).

Основная проблема. Вычислить акустический потенциал рассеянной волны Ф8(х) в области х £ Ос, \х\ ^ ка, где ка — волновой размер, а — радиус шара с объемом тела О.

Предполагается, что тело О (абсолютно) жесткое. Удобно считать, что его геометрический центр расположен в центре координат. Рассматривается случай тел, для которых влияние переотражений несущественно, например, выпуклых тел или близких к ним. Поверхность Б считается гладкой (класса С2) или кусочно-гладкой [19, гл. 2]. Она аппроксимируется полигональной сеткой. Соответствующие пример ЭБ-сцен даны в разд. 1.5 (см. рис. 1.3, 1.9, 1.13).

Приложения акустической проблемы см., например, в [35].

Проблема рассеяния звука телами из разного материала хорошо изучена в рамках теоретической акустики. Ей посвящено большой число работ

(см., например, [2, 6, 35, 42, 46, 58, 70, 96, 114]). Вместе с тем ее аналитическое решение (например, в виде рядов по специальным функциям) известно, как правило, лишь для тел канонической формы. К таким поверхностям относятся, например, плоскость, сфера или сфероид, а также круговой либо эллиптический цилиндр. Классические и относительно недавние результаты в этом направлении см., например, в [12, 32, 36, 37, 45, 52, 68, 89]. Есть работы, в которых производится сравнение численных результатов с экспериментальными. Например, в [113] такое сравнение дано для случая металлического шара, который закопан в насыщенный водой песок.

Однако для практических приложений интересно рассмотреть произвольные тела. Данному случаю также посвящено большое число работ, в частности, [1, 2, 6, 35, 40, 41, 56, 101, 102, 106, 110]. В них предложены различные методы исследования рассеяния звука, включая как численно-аналитические подходы, так и чисто численные методы. Основными такими методами являются метод конечных элементов (МКЭ) и метод граничных элементов (МГЭ).

МКЭ является стандартным в инженерной практике, однако в нем элементы, на которые разбивается сцена (тело и часть окружающего пространства) трехмерные (см., например, [35]). В МГЭ элементы двумерные и расположены на поверхности S (см., например, [58]). Соответственно можно значительно сократить размер итоговой системы линейных уравнений для определения граничного потенциала при том же размере элементов. В этом случае вычисления на основе МГЭ эффективнее, чем на основе МКЭ. Поэтому МГЭ часто применяется при исследовании задач из волновой механики и других разделов физики. В ряде работ МГЭ применяется для приближенного решения задач рассеяния (дифракции) звуковых волн на телах неканонической формы. Например, в работах [2, 72, 81] изучался случай тел, поверхность которых задана аналитически.

В основе МГЭ лежит сведение уравнений в частных производных, описывающих модель задачи, к граничным интегральным уравнениям (ГИУ). Это делает при помощи функции Грина (фундаментального решения) и тождеств Грина.

Предлагается версия МГЭ, в основе которой лежит ГИУ Бертона-Миллера с параметром а (см. [19, 54, 59, 85, 87, 92, 114]) и его регуляризации

на основе тождеств из [88] для статической функции Грина. Выбор уравнения Бертона - Миллера вместо стандартной постановки ГИУ (отвечающей параметру а = 0), связан с тем, что его решение является единственным при Im а = 0 [54]. Напротив, в стандартной постановке для волновых чисел k, совпадающих с собственными значениями внутренней задачи Дирихле, решение ГИУ оказывается неединственным [54]. В результате, имеем численную неустойчивость, что не позволяет получить правильное решение для таких k и близких к ним. Заметим, что задача оценки собственных значений тел произвольной формы сама по себе является трудной. Поэтому использование параметра а и его корректный выбор является важной задачей.

На практике входная поверхность S может задаваться (аппроксимироваться) различными способами, в том числе и аналитически, как было отмечено выше. Наиболее популярными являются принятое в CAD-системах задание при помощи Бгер-представления параметрическими uv-поверхностями (Б-сплайнов) или задание полигональной сеткой (SD-мешем) [50, 107] (см. рис. 1.1). В частности, в работе [114] рассмотрен случай T-сплайнов. В данной главе изучается случай неструктурированного треугольного меша [57, 58]. Данные поверхности часто встречаются на практике и могут быть получены в результате SD-сканирования объекта, триангуляцией CAD-модели, непосредственным моделированием, например, в Blender 3D. Основное практическое приложение результатов главы видится в использовании сканов реальных тел. Заметим, что в этом случае для соответствующих мешей характерно отсутствие острых углов, поэтому случай C2-поверхностей является основным.

г

v

Рис. 1.1. Пример «^-поверхности и ее триангуляции

Для численной реализации МГЭ применяются методы коллокаций и Галёркина [58], сводящие задачу к решению системы линейных уравнений. Был выбран метод коллокаций, преимуществом которого является тот факт, что не требуется нахождение базисных функций поверхности и интегралов от них с функцией Грина, которые непросто вычислить в случае произвольного меша. Однако заметим, что если такой базис есть, применение метода Галёркина становится обоснованным, так как он сводит задачу к решению системы линейных уравнений с разреженной положительно определенной матрицей, которая эффективно решается методом сопряженных градиентов. В отличие от этого, в методе коллокаций матрица получается заполненной с неясной знакоопределенностью. Поэтому для больших задач нужно применять те или иные методы сокращения размерности.

Важно обосновать численный метод. Примеры теоретического обоснования метода коллокаций для интегральных уравнений, заключающегося в доказательстве сходимости численного решения к аналитическому, см., например, в [5, 11, 43, 44, 108]. Заметим однако, что в этих работах не рассматривалось регуляризованное уравнение Бертона-Миллера. Поэтому кратко приведем обоснование метода коллокаций в этом случае.

Структура главы следующая. В разд. 1.2 сформулированы основные положения используемого МГЭ, приведено ГИУ в стандартной постановке и в постановке Бертона - Миллера, даны сведения о регуляризации сингулярных интегралов двойного слоя, дан краткий вывод ГИУ. В разд. 1.3 на основе ГИУ Бертона -Миллера, а также сферического разложения Джексона функции Грина найдено известное аналитическое решение для случая шара. Данное решение и способ его получения используется для валидации численной реализации МГЭ, описываемой в разд. 1.4. В разд. 1.5 приводятся результаты валидации и тестирования метода на мешах относительно небольшого размера. В конце даются комментарии, в том числе к программной реализации и масштабированию решения.

Укажем основные новые результаты для теории МГЭ. Во-первых, это аналитическая модель из предложения 1.1 и ее дискретная (вычислительная) версия 1.3. На основе этих предложений для полигональных сеток построен устойчивый численный метод, включающий применение дискретного градиента (1.37) (см. разд. 1.5). По сравнению с работами, где используются только стандартная версия ГИУ (см., например, [2]), метод корректно работает для произвольных волновых чисел к. Во-вторых, установлено предложение 1.2, которое использовалось для обоснования выбора а = г/к (см. замечание 1.4), а также валидации вычислительной модели. Наконец, в предложении 1.4) дано обоснование метода коллокаций (сходимость численного решения к аналитическому) для уравнения Бертона-Миллера с регуляризацией на основе поверхностного градиента.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Лепетков Даниил Русланович, 2026 год

Список литературы

1. Авдеев И.С. Применение метода граничных элементов в решении задач о рассеянии звука упругим некруговым цилиндром // Акуст. журн. 2010. Т. 56, вып. 4. С. 435-440.

2. Авдеев И.С. Рассеяние звука телами неканонической формы // Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. Тула, ТулГУ, 2011.

3. Алексеенко Н.В., Буров В.А., Румянцева О.Д. Решение трехмерной обратной задачи акустического рассеяния на основе алгоритма Новикова-Хенкина // Акуст. журн. 2005. Т. 51, № 4. С. 437-446.

4. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. М.: Высшая школа, 1994.

5. Бахшалыева М.Н., Халилов Э.Г. Обоснование метода коллокации для интегрального уравнения внешней краевой задачи Дирихле для уравнения Лапласа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2021. Т. 61, № 6. С. 936-950.

6. Бреббия К. Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов / Пер. с англ. М.: Мир, 1987.

7. Беклемишев Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры. М.: Наука, 1983.

8. Буров В.А., Попов А.Ю., Сергеев С.Н., Шуруп А.С. Акустическая томография океана при использовании нестандартного представления рефракционных неоднородностей // Акуст. журн. 2005. Т. 51, № 5. С. 602-613.

9. Буров В.А., Румянцева О.Д. Единственность и устойчивость решения обратной задачи акустического рассеяния // Акуст. журн. 2003. Т. 49, № 5. С. 590-603.

10. Буров В.А., Шмелев А.А. Численное и физическое моделирование процесса томографии на основе акустических нелинейных эффектов третьего порядка // Акуст. журн. 2009. Т. 55, № 4-5. С. 466-480.

11. Вайникко Г.М. Регулярная сходимость операторов и приближенное решение уравнений // Итоги науки и техн. Сер. Мат. анал. 1979. Т. 16. С. 5-53.

12. Векслер Н.Д., Корсунский В.М., Рыбак С.А. Рассеяние плоской наклонно падающей волны круговой цилиндрической оболочкой // Акуст. журн. 1990. Т. 36, вып. 1. С. 12-16.

13. Горбачев Д.В., Лепетков Д.Р., Скобельцын С.А. Рассеяние плоской звуковой волны жидким телом сложной формы // Чебышевский сб. 2025. Т. 26, № 1. С. 164-180.

14. Горбачев Д.В., Лепетков Д.Р. Приближенное решение методом коллокаций задачи рассеяния звуковой волны составным жидким телом произвольной формы // Алгебра, теория чисел, дискретная геометрия и многомасштабное моделирование: современные проблемы приложения и проблемы истории : Материалы XXIII Международной конференции, посвященной 80-летию профессора А.И. Галочкина и 75-летию профессора В.Г. Чирского, Тула, 29-31 октября 2024 года. Тула: ТГПУ им. Л.Н. Толстого, 2024. С. 221-224.

15. Добровольский Н.Н., Ларин Н.В., Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. О решениях обратных задач дифракции звуковых волн // Чебышевский сб. 2019. Т. 20, № 3. С. 220-245.

16. Иванов В.И., Скобельцын С.А. Моделирование решений задач акустики с использованием МКЭ // Известия ТулГУ. Естественные науки. 2008. Вып. 2. С.132-145.

17. Исакович М.А. Общая акустика. М.: Наука, 1973.

18. Клещев А.А., Колыхалин В.М., Попков С.В., Рытов Е.Ю. Рассеяние звука идеальными и упругими телами в форме эллиптического цилиндра // Труды СПбГМТУ. 2022. Т. 3, № 3. С. 104-120.

19. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.: Мир, 1987.

20. Крутицкий П.А., Резниченко И.О. Квадратурная формула для потенциала двойного слоя в случае уравнения Гельмгольца // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2022. Т. 62, № 3. С. 421-436.

21. Лепетков Д.Р. Расчет рассеяния плоской звуковой волны абсолютно жестким телом произвольной формы на основе граничного интегрального уравнения Бертона-Миллера // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2025. Т. 25, вып. 4. С. 534545.

22. Лепетков Д.Р. Задача рассеяния плоской звуковой волны упругими телами с полигональной поверхностью // Южно-сибирский научный вестник. 2025. № 4 (62). С. 124-129.

23. Лепетков Д.Р. Рассеяние плоской звуковой волны на изотропных телах с полигональной границей // Чебышевский сб. 2025. Т. 26, № 3. С. 358-373.

24. Лепетков Д.Р. Рассеяние плоской звуковой волны абсолютно жестким телом, задаваемым полигональной сеткой // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики : сборник трудов Международной научной конференции, Воронеж, 04-06 декабря 2023 года. Воронеж: ООО «Вэл-борн», Изд-во «Научно-исследовательские публикации», 2024. С. 1103-1107.

25. Лепетков Д.Р. О проблеме неединственности решения в методе граничных элементов для задачи о рассеянии плоской волны жестким телом // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна — 2024 : Материалы международной Воронежской зимней математической школы, посвященной памяти В.П. Маслова, Воронеж, 26-30 января 2024 года. Воронеж: Издательский дом ВГУ, 2024. С. 144-145.

26. Лепетков Д.Р. Применение ячеек Вороного в проблеме рассеяния звуковой волны жестким телом, заданным нерегулярной сеткой // Современные методы теории краевых задач. Понтрягинские чтения — XXXV : Материалы Международной Воронежской весенней математической школы, Воронеж, 26-30 апреля 2024 года. Воронеж: Издательский дом ВГУ, 2024. С. 220-222.

27. Лепетков Д.Р. Решение задачи рассеяния плоской звуковой волны абсолютно жестким телом сложной формы на основе регуляризованного уравнения Бер-тона-Миллера // Акустика среды обитания : Материалы IX Всероссийской конференции молодых ученых и специалистов, Москва, 23-24 мая 2024 года. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2024. С. 255-264.

28. Лепетков Д.Р. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2024664218 Российская Федерация. Расчет рассеяния плоской звуковой волны абсолютно жестким телом : № 2024662825 : заявл. 05.06.2024 : опубл. 18.06.2024.

29. Лепетков Д.Р. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2025660231 Российская Федерация. Программа для расчета рассеяния плоской звуковой волны жидким телом сложной формы : № 2025618962 : заявл. 11.04.2025 : опубл. 22.04.2025.

30. Лепетков Д.Р. Рассеяние звука на изотропных телах с полигональной границей методом граничных элементов // XXIV Международная конференция «Алгебра, теория чисел, дискретная геометрия и многомасштабное моделирование. Современные проблемы, приложения и проблемы истории», посвященная 110-летию со дня рождения академика Ю.В. Линника и 110-летию со дня рождения профессора А.Б. Шидловского и 80-летию со дня рождения профессора Г.И. Архипова, Тула, ТГПУ им. Л.Н. Толстого, 14-17 мая 2025 г.

31. Лепетков Д.Р. Решение проблемы рассеяния звуковой волны на жидких и изотропных телах с полигональной границей // Акустика среды обитания : Материалы X Всероссийской конференции молодых ученых и специалистов, Москва, 29-30 мая 2025 года. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2025. С. 267-273.

32. Лямшев Л.М. Рассеяние звука упругими цилиндрами // Акуст. журн. 1959. Т. 5, вып. 1. С. 58-63.

33. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975.

34. Рождественский К.Н., Толоконников Л.А. О рассеянии звуковых волн на упругом сфероиде // Акуст. журн. 1990. Т. 36, вып. 5. С. 927-930.

35. Скобельцын С.А. Некоторые обратные задачи дифракции звуковых волн на неоднородных анизотропных упругих телах // Дисс. ... докт. физ.-мат. наук. Тула, ТулГУ, 2020.

36. Толоконников Л.А. Рассеяние плоской звуковой волны шаром с неоднородным анизотропным покрытием в присутствии плоской поверхности // Чебышевский сб. 2021. Т. 22, № 5. С. 223-233.

37. Толоконников Л.А., Ларин Н.В. Рассеяние цилиндром с неоднородным покрытием звуковых волн, излучаемых линейным источником, в плоском волноводе // Матем. моделирование. 2021. Т. 33, № 8. С. 97-113.

38. Толоконников Л.А., Ефимов Д.Ю. Рассеяние плоской звуковой волны упругим цилиндром с неоднородным анизотропным покрытием в присутствии плоскости // Чебышевский сб. 2022. Т. 23, № 3. С. 207-223.

39. Тэтюхин М.Ю. Рассеяние плоской звуковой волны на протяженном жидком теле произвольной формы // Акуст. журн. 1987. Т. 33, № 2. С. 348-352.

40. Тэтюхин М.Ю. Дифракция на упругом вытянутом теле произвольной формы // Акуст. журн. 1989. Т. 35, № 2. С. 339-342.

41. Тэтюхин М.Ю., Федорюк М.В. Рассеяние плоской звуковой волны на протяженном теле произвольной формы // Акуст. журн. 1989. Т. 32, № 6. С. 811815.

42. Угодчиков А.Г., Хуторянский Н.М. Метод граничных элементов в механике деформируемого твердого тела. Казань: Изд-во Казанского университета. 1986.

43. Халилов Э.Г. Обоснование метода коллокации для интегрального уравнения смешанной краевой задачи для уравнения Гельмгольца // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2016. Т. 56, № 7. С. 1340-1348.

44. Халилов Э.Г. Обоснование метода коллокации для одного класса поверхностных интегральных уравнений // Матем. заметки. 2020. Т. 107, № 4. С. 604622.

45. Шендеров Е.Л. Прохождение звуковой волны через упругую цилиндрическую оболочку // Акуст. журн. 1963. Т. 9, вып. 2. С. 222-230.

46. Amini S. On the choice of the coupling parameter in boundary integral formulations of the exterior acoustic problem // Appl. Anal. 1990. V. 35. P. 75-92.

47. Anderson V.C. Sound scattering from a fluid sphere //J. Acoust. Soc. Am. 1950. V. 22, no. 4. P. 426-431.

48. https://www.ansys.com/

49. https://bempp.com/

50. Berg M., van Kreveld M., Overmars M., Schwarzkopf O. Computational Geometry: Algorithms and Applications. 3rd ed. Berlin: Springer, 2008.

51. Boag A., Leviatan Y., Boag A. Analysis of acoustic scattering from fluid bodies using a multipoint source model // IEEE Trans. Ultrason. Ferroelectr. Freq. Control. 1989. V. 36, no. 1. P. 119-128.

52. Borovikov V.A., Veksler N.D. Scattering of sound waves by smooth convex elastic cylindrical shells // Wave motion. 1985. V. 7. P. 143-152.

53. Bridson R. Fast Poisson disk sampling in arbitrary dimensions // SIGGRAPH sketches. 2007. V. 10, no. 1. P. 1.

54. Burton A.J., Miller G.F. The application of integral equation methods to the numerical solution of some exterior boundary-value problems // Proc. R. Soc. Lond. A. Math. Phys. Sci. 1971. V. 323, no. 1553. P. 201-210.

55. https://cae-fidesys.com/

56. Chandrasekhar B., Rao S.M. Acoustic scattering from rigid bodies of arbitrary shape-double layer formulation //J. Acoust. Soc. Am. 2004. V. 115, no. 5. P. 1926-1933.

57. Chandrasekhar B., Rao S.M. Acoustic scattering from complex shaped three dimensional structures // CMES: Computer Modeling in Engineering & Sciences. 2005. V. 8, no. 2. P. 105-118.

58. Chen G., Zhou J. Boundary element methods with applications to nonlinear problems / 2nd ed. Springer-Dordrecht, 2010.

59. Chen K., Cheng J., Harris P.J. A new study of the Burton and Miller method for the solution of a 3D Helmholtz problem // IMA J. Appl. Math. 2009. V. 74, no. 2. P. 163-177.

60. Chen L., Li X. A Burton-Miller boundary element-free method for Helmholtz problems // Appl. Math. Model. 2020. V. 83. P. 386-399.

61. Cruse T.A., Rizzo F.J. A direct formulation and numerical solution of the general transient elastodynamic problem. I // J. Math. Anal. Appl. 1968. V. 22, no. 1. P. 244-259.

62. https://www.comsol.ru/

63. Delsarte P., Goethals J.M., Seidel J.J. Spherical codes and designs // Geom. Dedicata. 1977. V. 6. P. 363-388.

64. Dineva P.S., Manolis G.D., Wuttke F. Fundamental solutions in 3D elastodynam-ics for the BEM: A review // Eng. Anal. Bound. Elem. 2019. V. 105. P. 47-69.

65. Domínguez J., Abascal R. On fundamental solutions for the boundary integral equations method in static and dynamic elasticity // Eng. Anal. 1984. V. 1, no. 3. P. 128-134.

66. Duck F.A., Baker A.C., Starritt H.C. (ed.) Ultrasound in medicine. Boca Raton: CRC Press, 2020.

67. Erwig M. The graph Voronoi diagram with applications // Networks. 2000. V. 36, no. 3. P. 156-163.

68. Faran J.J. Sound scattering by solid cylinders and spheres //J. Acoust. Soc. Am. 1951. V. 23, no. 4. P. 405-420.

69. Frisk G.V., DeSanto J.A. Scattering by spherically symmetric inhomogeneities // J. Acoust. Soc. Am. 1970. V. 47, no. 1B. P. 172-180.

70. Ganesh M., Graham I.G. A high-order algorithm for obstacle scattering in three dimensions // Journal of Computational Physics. 2004. V. 198, no. 1. P. 211-242.

71. Garland M., Heckbert P.S. Surface simplification using quadric error metrics // Proceedings of the 24th annual conference on Computer graphics and interactive techniques (SIGGRAPH '97). 1997. P. 209-216.

72. Gaunaurd G.C., Huang H. Acoustic scattering by a spherical body near a plane boundary // The Journal of the Acoustical Society of America. 1994. V. 96, no. 4. P. 2526-2536.

73. Gonzalez A. Measurement of areas on a sphere using Fibonacci and latitude-longitude lattices // Math. Geosci. 2010. V. 42. P. 49-64.

74. Goodman R.R., Stern R. Reflection and transmission of sound by elastic spherical shells // J. Acoust. Soc. Am. 1962. V. 34, no. 3. P. 338-344.

75. https://graphics.stanford.edu/data/3Dscanrep/

76. Hasheminejad S.M., Sanaei R. Ultrasonic scattering by a fluid cylinder of elliptic cross section, including viscous effects // IEEE Trans. Ultrason. Ferroelectr. Freq. Control. 2008. V. 55, no. 2. P. 391-404.

77. https://github.com/wjakob/instant-meshes

78. Ihlenburg F. Finite element analysis of acoustic scattering. New York: Springer, 2013.

79. Jackson J.D. Classical electrodynamics / 3rd ed. N.Y.: Wiley City, 1999.

80. Jacobson A. Algorithms and interfaces for real-time deformation of 2D and 3D shapes. Diss. ETH, 2013.

81. Kress R. On the numerical solution of a hypersingular integral equation in scattering theory //J. Comput. Appl. Math. 1995. V. 61, no. 3. P. 345-360.

82. Kress R., Spassov W.T. On the condition number of boundary integral operators for the exterior Dirichlet problem for the Helmholtz equation // Numerische Mathematik. 1983. V. 42, no. 1. P. 77-95.

83. Kreuzer W., Pollack K., Brinkmann F., Majdak P. NumCalc: An open-source BEM code for solving acoustic scattering problems // Eng. Anal. Bound. Elem. 2024. V. 161. P. 157-178.

84. https://libigl.github.io/tutorial/

85. Langrenne C., Garcia A., Bonnet M. Solving the hypersingular boundary integral equation for the Burton and Miller formulation //J. Acoust. Soc. Am. 2015. V. 138, no. 5. P. 3332-3340.

86. Li P., Zhai J., Zhao Y. Stability for the acoustic inverse source problem in inho-mogeneous media // SIAM J. Appl. Math. 2020. V. 80, no. 6. P. 2547-2559.

87. Lin T.C. A proof for the Burton and Miller integral equation approach for the Helmholtz equation //J. Math. Anal. Appl. 1984. V. 103, no. 2. P. 565-574.

88. Liu Y.J., Rudolphi T.J. Some identities for fundamental-solutions and their applications to weakly-singular boundary element formulations // Eng. Anal. Bound. Elem. 1991. V. 8, no. 6. P. 301-311.

89. Lui W.K., Li K.M. The scattering of sound by a long cylinder above an impedance boundary //J. Acoust. Soc. Am. 2010. V. 127, no. 2. P. 664-674.

90. https://matplotlib.org/

91. https://www.meshlab.net/

92. Marburg S. The Burton and Miller method: Unlocking another mystery of its coupling parameter //J. Comput. Acoust. 2016. V. 24, no. 1. P. 1550016.

93. Martin P.A. Acoustic scattering by inhomogeneous obstacles // SIAM J. Appl. Math. 2003. V. 64, no. 1. P. 297-308.

94. Meyer M., Desbrun M., Schroder P., Barr A.H. Discrete differential-geometry operators for triangulated 2-manifolds // In: H.-C. Hege, K. Polthier (eds). Visualization and Mathematics III. Mathematics and Visualization. Springer-BerlinHeidelberg, 2003.

95. Meyer W.L., Bell W.A., Stallybrass M.P., Zinn B.T. Prediction of the sound field radiated from axisymmetric surfaces //J. Acoust. Soc. Am. 1979. V. 65. P. 631-638.

96. Mohsen A., Hesham M. An efficient method for solving the nonuniqueness problem in acoustic scattering // Commun. Numer. Methods Eng. 2006. V. 22, no. 11. P. 1067-1076.

97. https://networkx.org/

98. NIST Digital Library of Mathematical Functions. https://dlmf.nist.gov/, Release 1.1.11 of 2023-09-15. F.W.J. Olver et al., eds.

99. https://numba.pydata.org/

100. https://numpy.org/

101. Okumura T., Masuya T., Takao Y., Sawada K. Acoustic scattering by an arbitrarily shaped body: an application of the boundary-element method // ICES J. Mar. Sci. 2003. V. 60, no. 3. P. 563-570.

102. Peter M.A., Meylan M.H., Linton C.M. Water-wave scattering by a periodic array of arbitrary bodies //J. Fluid Mech. 2006. V. 548. P. 237-256.

103. Pressley A.N. Elementary differential geometry. London: Springer-Verlag, 2010.

104. https://pymeshlab.readthedocs.io/en/latest/

105. https://www.python.org/

106. Ramm A.G. Wave scattering by small bodies of arbitrary shapes. Springer US, 2005. P. 379-403.

107. Requicha A.G. Representations for rigid solids: Theory, methods, and systems // ACM Computing Surveys (CSUR). 1980. V. 12, no. 4. P. 437-464.

108. Ramm A.G. A collocation method for solving integral equations // Int. J. Computing Science and Mathematics. 2009. V. 2, no. 3. P. 222-228.

109. https://scipy.org/

110. Sharma D.L. Scattering of steady elastic waves by surfaces of arbitrary shape // Bull. Seismol. Soc. Am. 1967. V. 57, no. 4. P. 795-812.

111. Silbiger A. Scattering of sound by an elastic prolate spheroid //J. Acoust. Soc. Am. 1963. V. 35, no. 4. P. 564-570.

112. Silva Rego J.J., Power H., Wrobel L.C. A boundary element method for 3D time-harmonic elastodynamics — Numerical aspects // Transactions on Modelling and Simulation. V. 2. WIT Press, 1993. P. 423-439.

113. Simpson H.J., Houston B.H., Lin R. Laboratory measurements of sound scattering from a buried sphere above and below the critical angle (L) //J. Acoust. Soc. Am. 2003. V. 113, no. 1. P. 39-42.

114. Simpson R.N., Scott M.A., Taus M., Thomas D.C., Lian H. Acoustic isogeometric boundary element analysis // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 2014. V. 269. P. 265-290.

115. Skudrzyk E. The foundations of acoustics basic mathematics and basic acoustics. New York, Wien: Springer-Verlag, 1971.

116. Strang G. Linear algebra and its applications. 2nd Ed., Orlando, FL: Academic Press, Inc., 1980.

117. Ting T.C.T., Lee V.-G. The three-dimensional elastostatic Green's function for general anisotropic linear elastic solids // Q.J. Mech. Appl. Math. 1997. V. 50, no. 3. P. 407-426.

118. https://trimesh.org/

119. https://www-user.tu-chemnitz.de/^potts/workgroup/graef/quadrature/

120. Überall H., George J., Farhan A.R., Mezzorani G., Nagl A., Sage K.A., Murphy J.D. Dynamics of acoustic resonance scattering from spherical targets: Application to gas bubbles in fluids //J. Acoust. Soc. Am. 1979. V. 66. P. 1161-1172.

121. https://vedo.embl.es/

122. Wilton D.R., Rao S.M., Glisson A.W., Schaubert D.H., Al-Bundak O.M., Butler C.M. Potential integrals for uniform and linear source distnbutions on polygonal and polyhedral domains // IEEE Trans. Antennas Propagat. 1984. V. 32, no. 3. P. 276-281.

123. Yuksel C. Sample elimination for generating Poisson disk sample sets // Comput. Graph. Forum. 2015. V. 34. P. 25-32.

Приложение

Свидетельства о государственной регистрации программ

для ЭВМ