Расширения метода флуктуирующего локального поля для описания коррелированных фермионов в режиме развитых флуктуаций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Ляхова Яна Сергеевна

• Ляхова Яна Сергеевна
• кандидат наук
• 2026

Оглавление диссертации кандидат наук Ляхова Яна Сергеевна

Введение

1. Эффекты и вычислительные методы физики квантовых коррелированных систем

1.1 Корреляционные эффекты

1.2 Модель Хаббарда

1.3 Краткий обзор широко используемых вычислительных методов многочастичной квантовой физики

1.3.1 Численно точные методы: точная диагонализация и квантовый метод Монте-Карло

1.3.2 Вариационный принцип: теория среднего поля и приближение Гутцвиллера

1.3.3 Теория функционала плотности

1.3.4 Приближение GW

1.3.5 Динамическая теория среднего поля и её кластерные обобщения

1.3.6 Диаграммные пост-ЭМРТ методы

1.3.7 Метод ренормализационной группы и его расширения

1.4 Выводы к Главе

2. Общее описание метода флуктуирующего локального поля

2.1 Базовое преобразование РЬР и общая структура вычислительной схемы

2.2 Пример построения метода РЬР на базе теории среднего поля

2.3 Эффективное взаимодействие в схеме РЬР

2.4 Сравнение с преобразованием Хаббарда-Стратоновича

2.5 Выводы к Главе

3. Пертурбативные схемы на базе метода ЕЬЕ

3.1 Термодинамическая теория возмущений: сильно коррелированный режим

3.1.1 Общая схема построения ряда термодинамической теории возмущений для фермионов в окрестности атомного предела

3.1.2 Построение ансамбля РЬР в окрестности атомного предела

3.1.3 Расчёт магнитной восприимчивости

3.2 Теория возмущений на базе РЬР: режим умеренных корреляций

3.2.1 Диаграммный ряд теории возмущений РЬР

3.2.2 Аналитическое построение ряда теории возмущений РЬР

3.2.3 Расчёт магнитной восприимчивости

3.3 Выводы к Главе

4. Многомодовые и многоканальные расширения метода ЕЬЕ

4.1 Многомодовый РЬР с классическим флуктуирующим полем

4.1.1 Общая схема классического многомодового метода РЬР. Вариационный подход

4.1.2 Определение свободного параметра преобразования РЬР

4.1.3 Расчёт свободной энергии одномерных хаббардовских цепочек

4.2 РЬР с квантовыми модами флуктуирующего поля

4.2.1 Построение общей схемы квантового многомодового

метода РЬР. Вывод выражения для статистической суммы

4.2.2 Расчёт восприимчивости в антиферромагнитном канале

4.2.3 Расчёт спектральной функции

4.3 Построение схемы РЬР с конкурирующими каналами флуктуаций

4.3.1 Построение общей схемы двухканального ансамбля РЬР

4.3.2 Расчёт восприимчивости в куперовском канале. Учёт наличия в гамильтониане аномальных членов

4.3.3 Расчёт спектральной функции

4.4 Выводы к Главе

Заключение

Список сокращений

Список публикаций автора по теме диссертации

Список литературы

Список рисунков

Список таблиц

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Расширения метода флуктуирующего локального поля для описания коррелированных фермионов в режиме развитых флуктуаций»

Введение

Поведение частиц на микроскопическом уровне может быть точно описано уравнением Шредингера с гамильтонианом, включающим кинетический вклад, влияние внешних полей, а так же взаимодействие между частицами. Это взаимодействие часто приводит к формированию сложной фазовой диаграммы квантовых многочастичных систем, но также становится основным источником вычислительной сложности при расчётах их свойств. При изучении даже модельных задач в этой области нередко оказывается, что точное их решение возможно только в ограниченных диапазонах параметров и/или в предельных случаях. Так, например, при изучении свойств прототипных задач с небольшим числом степеней свободы можно воспользоваться методом точной диагонализа-ции (Exact Diagonalization, ED). Метод ED позволяет получить полное описание квантовой системы путём точного нахождения собственных значений и состояний гамильтониана, но его вычислительная сложность экспоненциально растёт с увеличением числа степеней свободы. Хотя использование симметрий и современных вычислительных пакетов несколько расширяет границы применимости ED, он остаётся в основном инструментом для модельных задач и систем небольшого размера [1]. Когда же речь идёт об изучении свойств реальных материалов, точное аналитическое, а иногда и численное описание может оказаться вообще нереализуемым. Очевидно, что для эффективного решения подобных задач необходимо прибегать к приближённым методам, в основе которых будет лежать глубокое понимание «расстановки сил»: в каждом случае важно понимать, какие эффекты являются определяющими, а какими можно пренебречь и почему.

На сегодняшний день существует целый ряд групп вычислительных методов, которые позволяют описывать коррелированные квантовые системы. В качестве отправной точки для анализа коррелированных систем часто выступает приближение среднего поля. Данный подход основан на редукции исходной многочастичной задачи со взаимодействием к рассмотрению выделенного подпространства степеней свободы в эффективном окружении, создаваемом остальными частицами. Так, стационарная теория среднего поля сводит проблему к

одночастичной моде во внешнем поле, жертвуя при этом учётом корреляций. Такой подход, в силу его простоты, удобно использовать для первых оценок исследуемой системы и нередко позволяет получать хорошие качественные предсказания. Однако, этот метод может приводить к серьёзным ошибкам, если применяется для систем с сильным взаимодействием. Этого недостатка лишена динамическая теория среднего поля, тесно связанная с примесной моделью Андерсона. В ней точно учитывается локальная физика, что позволяет использовать этот подход при описании сильно взаимодействующих систем [2]. Нелокальные эффекты при этом могут быть учтены пертурбативно. Существует множество диаграммных расширений динамической теории среднего поля, основанных на разных предположениях о том, по какому принципу можно отбрасывать диаграммы и когда можно обрывать ряд теории возмущений. К таким методам, в частности относится ТШЬЕХ, основанный на самосогласованном приближении вершинной функции фермион-бозонного взаимодействия, и его расширение Э-ТШЬЕХ, в котором используются дуальные переменные [3]. Идея о сведении многочастичной задачи к эффективно одночастичной нашла своё мощное проявление в теории функционала плотности. Почти сразу с момента разработки этого метода он стал и остаётся одним из наиболее популярных подходов в квантовом материаловедении и квантовой химии. По своей постановке, теория функционала плотности является теоретически точной, хотя для практического применения требует использования приближений, например, приближения локальной плотности [4]. Отдельно отметим, что при расчётах свойств квантовых коррелированных систем хороших результатов удаётся добиться при использовании различных гибридных методов. Так, например, использование диаграммного метода GW, в котором в качестве малого параметра принимается экранированное кулоновское взаимодействие, позволяет повысить точность результатов расчётов в рамках теории функционала плотности. Совсем иной подход лежит в основе семейства методов ренормализационной группы. Здесь общая идея состоит в том, что, поскольку разные физические эффекты могут проявляться на разных энергетических и пространственных масштабах, то их можно учитывать пошаговым интегрированием соответствующих степеней свободы, снижая тем самым вычислительную сложность на каждом шаге. Здесь существует несколько методов, одни из наиболее успешных — это ренормали-

зационная группа матрицы плотности и функциональная ренормализационная группа [5; 6]. Говоря о вычислительных схемах многочастичной квантовой физики, необходимо упомянуть также один из важнейших численно точных методов

— квантовый метод Монте-Карло и его различные вариации. Квантовый метод Монте-Карло ^МО) занимает особое место среди вычислительных методов благодаря использованию выборки по значимости, что позволяет существенно сократить размерность задачи путём усреднения по ограниченному числу сэмплов. Хотя метод демонстрирует высокую точность для бозонных систем, его применение к фермионам ограничено проблемой знака, вызванной переменностью знака волновой функции и ведущей к сильным флуктуациям. Решение этой проблемы остаётся актуальной задачей, и в некоторых случаях её удаётся обойти комбинацией QMC с другими методами, например, с ренормализацион-ной группой матрицы плотности.

Несмотря на обилие вычислительных методов квантовых коррелированных систем, все они имеют свои ограничения. Так, в диаграммных рядах не всегда удаётся чётко обосновать, почему отбрасывается конкретный тип диаграмм. Многие методы, например, метод ренормализационной группы, оказываются вычислительно довольно сложными. Метод точной диагонализации вовсе оказывается практически неприменим с ростом числа степеней свободы из-за экспоненциального роста вычислительных затрат. Квантовый метод Монте-Карло, как уже упоминалось, страдает от проблемы фермионного знака. Теория среднего поля может давать нефизичные предсказания, поскольку исключает из рассмотрения корреляции между частицами, в динамической своей версии

— нелокальные, в стационарной — любые. Отчасти эту проблему снимают кластерные расширения динамической теории среднего поля, однако это приводит к нарушению геометрии оригинальной задачи, что может сказываться на результатах вычислений. Таким образом, вопрос о создании новых подходов остаётся одним из наиболее актуальных в современной теоретической физике.

Как было сказано ранее, в основе каждого приближённого метода лежит предположение о том, какие физические механизмы являются определяющими для исследуемой системы. В 2018 году в работе [7] был предложен метод, получивший название метода флуктуирующего локального поля. В его основе лежит представление о существовании в многочастичной системе ведущего ка-

нала флуктуаций, определяемого некоторым коллективным параметром порядка. Например, при изучении систем со взаимодействием типа ис\с^сс можно говорить о формировании спинового, зарядового (плотностного) и аномального (куперовского) параметров порядка. Параметр порядка при этом может флуктуировать в окрестности некоторого фиксированного значения. Вводя вспомогательное классическое поле, сопряжённое с этим параметром порядка, и заставляя это поле определённым образом флуктуировать, можно воспроизвести флуктуации самого параметра порядка. В оригинальной работе было показано, что такой подход позволяет получать результаты хорошей точности для классических систем Изинга и Гейзенберга. Позднее в работе [8] была показана применимость метода флуктуирующего локального поля к описанию квантовых систем на примере модели Хаббарда. Точный в своей исходной формулировке и сравнительно экономный в отношении вычислительных ресурсов метод позволил с хорошей точностью описывать магнитные свойства полузаполненных хаббардовских кластеров в приближении одномодовых флуктуаций в единственном, антиферромагнитном, канале. Дальнейшее развитие метода флуктуирующего локального поля и увеличение его области применимости требовало создания и апробации его расширений, выходящих за пределы этих приближений.

Таким образом, Целью данной работы является разработка набора расширений метода флуктуирующего локального поля для систем коррелированных фермионов в режиме развитых флуктуаций, а также для случаев много-модовых и многоканальных флуктуаций коллективного параметра порядка в решёточных и непрерывных моделях.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

1. Разработать схему построения на базе метода флуктуирующего поля ряда термодинамической теории возмущений для описания коррелированных фермионных систем в сильно коррелированном режиме.

2. Разработать схему построения на базе метода флуктуирующего локального поля общего ряда теории возмущений для описания фермионных систем в режиме умеренных корреляций.

3. Разработать версию метода флуктуирующего локального поля для учёта многомодовых флуктуаций с использованием классического вспомогательного поля для систем коррелированных фермионов.

4. Разработать версию метода флуктуирующего локального поля для учёта многомодовых флуктуаций в выделенном канале с использованием квантового вспомогательного поля для систем коррелированных фер-мионов.

5. Разработать версию метода флуктуирующего локального поля для учёта нескольких каналов флуктуаций для систем коррелированных фер-мионов в непрерывном пространстве.

6. Провести апробацию разработанного пакета методов, оценить их работоспособность путём сравнения с результатами численно точных и других приближённых методов.

Научная новизна работы определяется тем, что в ней

1. впервые предложен способ описания фермионных систем в сильно коррелированном режиме на основе метода флуктуирующего поля, произведён расчёт зависимости калибровочного параметра преобразования метода флуктуирующего локального поля от обратной температуры на примере двумерной модели Хаббарда;

2. впервые предложена методика построения сходящегося ряда теории возмущений на базе метода флуктуирующего локального поля, основанной на эффективном малом параметре; работоспособность подхода доказана на примере двумерной модели Хаббарда в режиме умеренных корреляций;

3. впервые развита многомодовая версия метода флуктуирующего локального поля с классическим вспомогательным полем, а сам метод флуктуирующего локального поля впервые использован для расчёта свободной энергии системы коррелированных фермионов;

4. впервые показана возможность введения квантового вспомогательного поля для метода флуктуирующего локального поля; с использованием предложенного метода проведена качественная оценка вклада квантовых мод флуктуаций в поведение антиферромагнитном восприимчивости и спектральной функции решёточной модели Хаббарда;

5. впервые продемонстрирована возможность учёта двух каналов флуктуаций в непрерывной модели с помощью метода флуктуирующего локального поля.

Практическая значимость работы определяется тем, что развитие методов учёта квантовых флуктуаций высоко значимо для решения целого ряда актуальных прикладных вопросов квантового материаловедения. К ним, например, относится задача о взаимодействии спинового и зарядового каналов, существенная для описания высокотемпературных сверхпроводников на основе куп-ратов. Немало внимания уделяется сегодня изучению свойств скрученных би-слоёв графена и других геометрически нетривиальных моделей, а также квантовым спиновым жидкостям. Ярким примером значимости создания новых методов, сфокусированных на учёте коллективных флуктуаций, для развития технологий служит разработка новых видов моттовских транзисторов, контроль в которых осуществляется посредством управляемых зарядовых флуктуаций. Эффективные вычислительные методы значимы и для физической реализации квантовых вычислений.

Отметим, что данное диссертационное исследование представляет интерес и для фундаментальной науки, в том числе благодаря имеющимся сегодня экспериментальным возможностям. Отдельного упоминания здесь заслуживает активно развивающаяся экспериментальная методика, позволяющая моделировать решёточные модели с помощью холодных атомов в оптических решётках.

Методология и методы исследования. Работа во многом основана на использовании общих методов статистической физики, среди которых построение статистических ансамблей и понятие среднего по ансамблю. В тех случаях, когда было возможно произвести аналитические расчёты, они проводились по правилам вторичного квантования и с использованием функционального интегрирования. Благодаря появлению в методе флуктуирующего локального поля эффективного малого параметра стало возможным использование обычной и термодинамической теории возмущений, в том числе с применением диаграммной техники. В качестве основной модели для апробации предложенных вычислительных методов использовалась одномерная и двумерная модель Хаббар-да с полузаполнением. Это позволило провести сравнение результатов, полученных с помощью разработанных методов, с результатами квантового метода Монте-Карло. Также для получения референсных результатов использовались среднеполевое приближение и точная диагонализация. Все численные расчёты производились на языках программирования Python (пакеты NumPy и SciPy) и

С++. Численное интегрирование, необходимое для получения конечных результатов в методе флуктуирующего поля, производилось с помощью встроенных функций пакета 8е1РулП;е§га1е.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Разработана схема построения термодинамической теории возмущений на базе метода флуктуирующего поля для описания фермионных систем в сильно коррелированном режиме; показано, что использование предложенного метода позволяет уже в низших порядках теории возмущений устранить нефизичные артефакты родительского приближения динамической теории среднего поля в кривых температурной зависимости антиферромагнитной восприимчивости полузаполненных хаб-бардовских кластеров.

2. Показано, что в режиме умеренных корреляций эффективный малый параметр ансамбля метода флуктуирующего поля позволяет построить сходящийся ряд теории возмущений; результаты расчётов с использованием предложенного метода с хорошей точностью воспроизводят результаты расчётов квантового метода Монте-Карло для полузаполненных хаббардовских кластеров.

3. Разработана многомодовая версия метода флуктуирующего поля с классическим вспомогательным полем; на примере одномерной хаббар-довской цепочки показано, что учёт дополнительных мод в антиферромагнитном канале флуктуаций позволяет повысить точность результатов расчёта магнитных свойств этой системы, причём особенно выражен этот эффект для тех длин цепочек, для которых антиферромагнитный канал флуктуаций является лидирующим.

4. Разработана квантовая многомодовая версия метода флуктуирующего поля, позволяющая учитывать дополнительные квантовые моды флуктуаций коллективного параметра порядка фермионных систем; на примере одномерной хаббардовской цепочки показано, что использование квантовой многомодовой версии метода флуктуирующего локального поля позволяет расширить область применимости метода в сторону более низких температур.

5. Предложена схема построения двухканальной версии метода флуктуирующего поля; продемонстрирована работоспособность метода на примере зарядового и куперовского каналов в трёхмерном фермионном газе с притяжением.

Достоверность. Достоверность результатов, представленных в диссертации, подтверждается применением хорошо обоснованных теоретических подходов и подробными аналитическими выкладками. Результаты апробации предложенных в диссертации методов хорошо согласуются с результатами применения более сложных и ресурсозатратных методов, а также находятся в соответствии с известными результатами из литературы.

Апробация работы. Основные результаты работы представлялись на международных и российских научных конференциях в виде устных и постер-ных докладов:

— XI Международная конференция «Лазерные, плазменные исследования и технологии - ЛаПлаз-2025» (Москва, 2025)

— 67-я Всероссийская научная конференция МФТИ (Москва, 2025)

— International Summer Conference on Theoretical Physics (St. Petersburg, 2025)

— International Conference on Quantum Technologies (Moscow, 2025)

— XL Международная зимняя школа физиков-теоретиков «Коуровка» (Магнитогорск, 2024)

— International Conference on Quantum Technologies (Moscow, 2023)

— Autumn School on Correlated Electrons: Orbital Physics in Correlated Matter (Julich, 2023)

— Всероссийская конференция по компьютерному материаловедению (Сколково, 2023)

— XXXIX Международная зимняя школа физиков-теоретиков «Коуровка» (Екатеринбург, 2022)

— The online workshop «Two-particle correlation functions of many-electron systems» (Lund, 2022)

— International Conference on Quantum Technologies (Moscow, 2021)

— 64-я Всероссийская научная конференция МФТИ (Москва, 2021)

Личный вклад. В диссертации представлены результаты работ, проведенных автором лично, либо с его определяющим участием. В частности, автором самостоятельно разработана схема построения термодинамической теории возмущений на базе метода флуктуирующего локального поля для сильно коррелированного режима; получены аналитические выражения для членов ряда теории возмущений на базе метода флуктуирующего поля для режима умеренных корреляций; построена схема учёта многомодовых классических и квантовых флуктуаций на примере антиферромагнитного параметра порядка в хаббардовских цепочках; построена схема учёта двух каналов флуктуаций на примере зарядового и куперовского канала флуктуаций в трёхмерном ферми-онном газе с притяжением. Автор участвовал в разработке программного кода для вычисления членов ряда теории возмущений на базе метода флуктуирующего локального поля, а также самостоятельно производил необходимые численные расчёты для получения конечных значений антиферромагнитной восприимчивости. Автор непосредственно участвовал в подготовке публикаций по теме диссертации и самостоятельно представлял полученные результаты в рамках апробации диссертационной работы, либо активно участвовал в подготовке докладов соавторов на научных конференциях.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 13 печатных работах, среди них: 5 статей в изданиях, включённых в перечень ВАК РФ и/или индексируемых в базах данных Scopus и Web of Science, в том числе 2 — Q1, 1 — Q2, 1 — Q3, 1 — К1, 8 — в трудах международных и всероссийских конференций.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав и заключения. Полный объём диссертации составляет 130 страниц с 23 рисунками. Список литературы содержит 86 наименований.

1. Эффекты и вычислительные методы физики квантовых

коррелированных систем

Разговор о физике коррелированных квантовых систем начнём с определения того, что, собственно, является корреляционными эффектами. Как будет показано в этой главе, определение корреляций тесно связано с методами описания квантовых многочастичных систем. Мы также рассмотрим одну из важнейших модельных систем данной области — модель Хаббарда, и на её примере поговорим о наиболее часто используемых методах описания коррелированных квантовых систем. В фокусе внимания мы будем иметь фермионные системы.

1.1 Корреляционные эффекты

Вслед за [9] мы будем определять как «корреляционные» те эффекты, которые проявляются в экспериментах или точных решениях, но отсутствуют в приближении Хартри-Фока. Приближение Хартри-Фока представляет собой один из простейших методов описания взаимодействующих фермионов, который оперирует одноорбитальными волновыми функциями, выраженными через детерминант Слэттера. Энергия основного состояния при этом находится путём варьирования электронной орбитали таким образом, чтобы минимизировать среднее значение гамильтониана в этом состоянии. Разницу между точной энергией и энергией, найденной по схеме Хартри-Фока, принято называть корреляционной энергией. Стоит отметить, что поскольку хартри-фоковские волновые функции строятся с помощью определителя Слэттера, данный метод позволяет учесть корреляции, связанные с принципом Паули. Подчеркнём поэтому особо, что под понятие «корреляционные эффекты» подпадают не вообще все эффекты, связанные с корреляциями, но конкретно те, которые выходят за рамки приближения Хартри-Фока.

Корреляционные эффекты проявляют себя уже на уровне основного состояния системы, хотя в этом случае это проявление чаще количественное, нежели

качественное. Так, например, известно, что около 20% энергии связи в молекуле водорода относятся к корреляционной энергии [10]. К ярким качественным проявлениям корреляционных эффектов относятся магнитные явления. Простой мысленный эксперимент с кристаллической решёткой, в которой отсутствуют какие-либо корреляции между электронами, кроме запрета Паули, приводит к ложному выводу о существовании в основном состоянии зонной структуры с сильно делокализованными электронами. В реальности, однако, взаимодействие между электронами может приводить к установлению магнитной упорядоченности и формированию локального момента, как это происходит в переходных металлах Fe и Ni.

Гораздо более детально, нежели применительно к основному состоянию системы, удаётся рассмотреть корреляционные эффекты, говоря об одночастич-ных возбуждениях. На сегодняшний день хорошо развиты методы фотоэмиссионной спектроскопии [11], при которых из системы падающим фотоном вырывается электрон и измеряется его кинетическая энергия. Эта экспериментальная процедура позволяет получить прямой доступ к спектральным функциям рассматриваемых систем. Когда речь идёт о планарных системах, подобные экспериментальные результаты можно напрямую сравнивать с теоретическими расчётами. В предельном случае отсутствия взаимодействия между электронами график спектральной функции будет определяться только законами сохранения энергии и импульса и представлять собой череду дельта-пиков. Однако в действительности взаимодействие электронов между собой и с образовавшейся после возбуждения одного из электронов дыркой приводит к утолщению дельта-пиков, возникновению дополнительных пиков (satellites) и других сложных паттернов на графике спектральной функции.

Заслуживает отдельного обсуждения вопрос о влиянии размерности физической системы на степень проявления корреляционных эффектов. В системах с пониженной размерностью (и/или с малым координационным числом) экранировка кулоновского взаимодействия между электронами оказывается слабее и, как следствие, эффективное кулоновское взаимодействие становится сильнее, чем в трёхмерном случае (чем в случае с большим координационным числом). Это может приводить к большей выраженности корреляционных эффектов в

системах с пониженной размерностью. В отдельных случаях может даже наблюдаться эффект «антиэкранировки» [9].

1.2 Модель Хаббарда

Модель Хаббарда представляет собой, возможно, простейшую постановку задачи о коррелированных фермионах на решётке. Гамильтониан задачи Хаб-барда может быть записан в виде

Н = ^ 4Ца - ^ ^ + ) + и >

(и ),о- з з

(1.1)

где — — интеграл перескока фермиона между соседними узлами (гу), ^ — химический потенциал, п^ = — оператор числа частиц с проекцией спина а на 2 узле, а и характеризует взаимодействие двух фермионов на одном узле (см. также Рисунок 1.1 а). При и > 0 гамильтониан (1.1) описывает модель с отталкиванием между фермионами, при и < 0 — фермионы с притяжением и может использоваться для описания явлений сверхпроводимости. Случай и = 0 соответствует невзаимодействующему фермионному газу на решётке. Для анализа общих свойств модели Хаббарда достаточно считать, что величины Н, £, ¡л и и имеют одну размерность. Подробный комментарий, касающийся размерности используемых в диссертационном исследовании физических величин, приведён в начале Главы 2.

а)

б)

Рисунок 1.1 — а) Двумерная модель Хаббарда с параметрами и и (б) Двумерная квадратная решётка, состоящая из двух подрешёток А и В.

Т А

®

J Mi

T.N

U

2t

AF order

Рисунок 1.2 — Фазовая диаграмма двумерной решётки Хаббарда с

полузаполнением. Здесь 1 — некогерентные фермионы при высокой температуре; 2 — область кроссовера между некогерентным и металлическим

состояниями; 3 — металлическая фаза; 4 — на поверхности Ферми присутствуют области с открытой псевдощелью; 5 — открыта псевдощель по всей поверхности Ферми. Рисунок из работы [12].

Несмотря на свою внешнюю простоту, модель Хаббарда обладает богатой физикой, а её фазовая диаграмма включает множество различных состояний. В частности, изменение величины параметра и позволяет наблюдать моттовский переход — переход из состояния изолятора в металлическое состояние, обусловленный только межэлектронным взаимодействием. На Рисунке 1.2 представлен перечень возможных фазовых состояний двумерной решётки Хаббарда с полузаполнением.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ляхова Яна Сергеевна, 2026 год

Список литературы

1. Computational Many-Particle Physics / ed. by H. Fehske, R. Schneider, A. Weiße. — Berlin Heidelberg : Springer, 2008.

2. Dynamical mean-field theory of strongly correlated fermion systems and the limit of infinite dimensions / A. Georges, G. Kotliar, W. Krauth, [et al.] // Rev. Mod. Phys. — 1996. — Vol. 68, no. 1. — P. 13-125.

3. Plakida N. M. Spin fluctuations and high-temperature superconductivity in cuprates // Physica C: Superconductivity and its Applications. — 2016. — Vol. 531. — P. 39-59.

4. Pavarini E. The LDA+DMFT Approach // The LDA+DMFT approach to strongly correlated materials Modeling and Simulation. Vol. 1. — Julich : Forschungszentrum Jülich GmbH Institute for Advanced Simulation, 2011. — P. 6.1-6.38.

5. Metzner W. Functional Renormalization Group Approach to Interacting Fermi Systems: DMFT as a Booster Rocket // DMFT at 25: Infinite Dimensions Modeling and Simulation. Vol. 4. — Jülich : Forschungszentrum Jülich GmbH Institute for Advanced Simulation, 2014. — Chap. 11. P. 11.1-11.29.

6. Functional renormalization group approach to correlated fermion systems / W. Metzner, M. Salmhofer, C. Honerkamp, [et al.] // Rev. Mod. Phys. — 2012. — Vol. 84, no. 1. — P. 299-352.

7. Rubtsov A. N. Fluctuating local field method probed for a description of small classical correlated lattices // Phys. Rev. E. — 2018. — Vol. 97, no. 5. — P. 052120.

8. Rubtsov A. N., Stepanov E. A., Lichtenstein A. I. Collective magnetic fluctuations in Hubbard plaquettes captured by fluctuating local field method // Phys. Rev. B. — 2020. — Vol. 102, no. 22. — P. 224423.

9. Martin R. M., Reining L., Ceperley D. Interacting electrons: theory and computational approaches. — New York : Cambridge University Press, 2016.

10. Martin R. M. Electronic Structure. Basic Theory and Practical Methods. — Cambridge : Cambridge University Press, 2020.

11. Angle-resolved photoemission spectroscopy / H. Zhang, T. Pincelli, C. Jozwiak, [et al.] // Nat. Rev. Methods Primers. — 2022. — Vol. 2: 54.

12. Tracking the Footprints of Spin Fluctuations: A MultiMethod, MultiMessen-ger Study of the Two-Dimensional Hubbard Model / T. Schäfer, N. Wentzell, F. Simkovic, [et al.] // Phys. Rev. X. — 2021. — Vol. 11, no. 1. — P. 011058.

13. Lieb E. H., Wu F. Y. Absence of Mott Transition in an Exact Solution of the Short-Range, One-Band Model in One Dimension // Phys. Rev. Lett. — 1968. — Vol. 20, no. 25. — P. 1445-1448.

14. Coll C. F. Excitation spectrum of the one-dimensional Hubbard model // Phys. Rev. B. — 1974. — Vol. 9, no. 5. — P. 2150-2158.

15. The One-Dimensional Hubbard Model / F. H. L. Essler, H. Frahm, F. Gohmann, [et al.]. — Cambridge : Cambridge University Press, 2005.

16. Lieb E. H. Two theorems on the Hubbard model // Phys. Rev. Lett. — 1989. — Vol. 62, no. 10. — P. 1201-1204.

17. Mermin N. D., Wagner H. Absence of Ferromagnetism or Antiferromag-netism in One- or Two-Dimensional Isotropic Heisenberg Models // Phys. Rev. Lett. — 1966. — Vol. 17, no. 22. — P. 1133-1136.

18. Koma T., Tasaki H. Decay of superconducting and magnetic correlations in one- and two-dimensional Hubbard models // Phys. Rev. Lett. — 1992. — Vol. 68, no. 21. — P. 3248-3251.

19. Schauerte T., Dongen P. G. J. van. Symmetry breaking in the Hubbard model at weak coupling // Phys. Rev. B. — 2002. — Vol. 65, no. 8. — P. 081105.

20. Weinberg P., Bukov M. QuSpin: a Python Package for Dynamics and Exact Diagonalisation of Quantum Many Body Systems part I: spin chains // SciPost Phys. — 2017. — Vol. 2, no. 1. — P. 003.

21. Weinberg P., Bukov M. QuSpin: a Python Package for Dynamics and Exact Diagonalisation of Quantum Many Body Systems. Part II: bosons, fermions and higher spins // SciPost Phys. — 2019. — Vol. 7, no. 2. — P. 20.

22. Liu X.-Y., Qi C. PairDiag: An exact diagonalization program for solving general pairing Hamiltonians // Computer Physics Communications. — 2021. — Vol. 259. — P. 107349.

23. EDIpack: A parallel exact diagonalization package for quantum impurity problems / A. Amaricci, L. Crippa, A. Scazzola, [et al.] // Computer Physics Communications. — 2022. — Vol. 273. — P. 108261.

24. Yoshimi K., Tsumuraya T., Misawa T. Ab initio derivation and exact diagonalization analysis of low-energy effective Hamiltonians for ß-X[Pd(dmit)2]2 // Phys. Rev. Research. — 2021. — Vol. 3, no. 4. — P. 043224.

25. Ochi M., Koshino M., Kuroki K. Possible correlated insulating states in magic-angle twisted bilayer graphene under strongly competing interactions // Phys. Rev. B. — 2018. — Vol. 98, no. 8. — P. 081102.

26. Ferromagnetism in Narrow Bands of Moire Superlattices / C. Repellin, Z. Dong, Y.-H. Zhang, [et al.] // Phys. Rev. Lett. — 2020. — Vol. 124, no. 18. — P. 187601.

27. Twisted bilayer graphene. VI. An exact diagonalization study at nonzero integer filling / F. Xie, A. Cowsik, Z.-D. Song, [et al.] // Phys. Rev. B. — 2021. — Vol. 103, no. 20. — P. 205416.

28. Potasz P., Xie M., MacDonald A. H. Exact Diagonalization for Magic-Angle Twisted Bilayer Graphene // Phys. Rev. Lett. — 2021. — Vol. 127, no. 14. — P. 147203.

29. Ceperley D., Chester G. V., Kalos M. H. Monte Carlo simulation of a many-fermion study // Phys. Rev. B. — 1977. — Vol. 16, no. 7. — P. 30813099.

30. Anderson J. B. A random walk simulation of the Scrodinger equation: H+ // J. Chem. Phys. — 1975. — Vol. 63. — P. 1499-1503.

31. Rubtsov A. N., Savkin V. V., Lichtenstein A. I. Continuous-time quantum Monte Carlo method for fermions // Phys. Rev. B. — 2005. — Vol. 72, no. 3. — P. 035122.

32. Sandvik A. W. Quantum Monte Carlo Simulations of Bosonic and Fermionic Impurities in a Two-Dimensional Hard-Core Boson System // Phys. Rev. Lett. — 2008. — Vol. 101, no. 12. — P. 120405.

33. Li Z.-X., Yao H. Sign-Problem-Free Fermionic Quantum Monte Carlo: Developments and Applications // Annual Review of Condensed Matter Physics. — 2019. — Vol. 10, no. 1. — P. 337-356.

34. Easing the Monte Carlo sign problem / D. Hangleiter, I. Roth, D. Nagaj, [et al.] // Science Advances. — 2020. — Vol. 6, no. 33. — eabb8341.

35. Unbiasing fermionic quantum Monte Carlo with a quantum computer / W. J. Huggins, B. A. O'Gorman, N. C. Rubin [h gp.] // Nature. — 2022. — T. 603. — C. 416—420.

36. Stripe order from the perspective of the Hubbard model / E. W. Huang, C. B. Mendl, H.-C. Jiang, [et al.] // npj Quant. Mater. — 2018. — Vol. 3, no. 22.

37. Feshbach modulation spectroscopy of the Fermi-Hubbard model / A. Dirks, K. Mikelsons, H. R. Krishnamurthy, [et al.] // Phys. Rev. A. — 2015. — Vol. 92, no. 5. — P. 053612.

38. Homogeneous Fermionic Hubbard Gases in a Flattop Optical Lattice / Y.-X. Wang, H.-J. Shao, Y.-S. Zhu, [et al.] // Phys. Rev. Lett. — 2025. — Vol. 134, no. 4. — P. 043403.

39. Observing ground-state properties of the Fermi-Hubbard model using a scalable algorithm on a quantum computer / S. Stanisic, J. L. Bosse, F. M. Gambetta, [et al.] // Nat. Commun. — 2022. — Vol. 13. — P. 5743.

40. Predescu C. Local variational principle // Phys. Rev. E. — 2002. — T. 66, № 6. — C. 066133.

41. Gutzwiller M. C. Effect of Correlation on the Ferromagnetism of Transition Metals // Phys. Rev. Lett. — 1963. — Vol. 10, no. 5. — P. 159-162.

42. Hybertsen M. S., Schlüter M., Christensen N. E. Calculation of Coulomb-interaction parameters for La2CuO4 using a constrained-density-functional approach // Phys. Rev. B. — 1989. — Vol. 39, no. 13. — P. 9028-9041.

43. McMahan A. K., Annett J. F., Martin R. M. Cuprate parameters from numerical Wannier functions // Phys. Rev. B. — 1990. — Vol. 42, no. 10. — P. 6268-6282.

44. Schilfgaarde M. van, Kotani T., Faleev S. Quasiparticle Self-Consistent GW Theory // Phys. Rev. Lett. — 2006. — Vol. 96, no. 22. — P. 226402.

45. Rubtsov A. N., Savkin V. V., Lichtenstein A. I. Continuous-time quantum Monte Carlo method for fermions // Phys. Rev. B. — 2005. — Vol. 72, no. 3. — P. 035122.

46. Werner P., Millis A. J. Hybridization expansion impurity solver: General formulation and application to Kondo lattice and two-orbital models // Phys. Rev. B. — 2006. — Vol. 74, no. 15. — P. 155107.

47. Continuous-time Monte Carlo methods for quantum impurity models / E. Gull, A. J. Millis, A. I. Lichtenstein, [et al.] // Rev. Mod. Phys. — 2011. — Vol. 83, no. 2. — P. 349-404.

48. A real-frequency solver for the Anderson impurity model based on bath optimization and cluster perturbation theory / M. Zingl, M. Nuss, D. Bauernfeind, [et al.] // Physica B: Condensed Matter. — 2018. — Vol. 536. — P. 254-258.

49. Quantitative comparison of Anderson impurity solvers applied to transport in quantum dots / B. M. de Souza Melo, L. G. G. V. D. da Silva, A. R. Rocha, [et al.]. — 2019.

50. Mott-Hubbard Metal-Insulator Transition in Paramagnetic V203: An LDA+DMFT (QMC) Study / K. Held, G. Keller, V. Eyert, [et al.] // Physical review letters. — 2001. — Vol. 86, no. 23. — P. 5345.

51. Zhang Y. Z, Imada M. Pseudogap and Mott transition studied by cellular dynamical mean-field theory // Phys. Rev. B. — 2007. — Vol. 76, no. 4. — P. 045108.

52. Kyung B, Tremblay A.-M. Mott transition, antiferromagnetism, and d-wave superconductivity in two-dimensional organic conductors // Physical review letters. — 2006. — Vol. 97, no. 4. — P. 046402.

53. Rubtsov A. N., Katsnelson M. I., Lichtenstein A. I. Dual fermion approach to nonlocal correlations in the Hubbard model // Phys. Rev. B. — 2008. — Vol. 77, no. 3. — P. 033101.

54. Pseudogaps in strongly correlated metals: A generalized dynamical mean-field theory approach / M. Sadovskii, I. Nekrasov, E. Kuchinskii, [et al.] // Physical Review B. — 2005. — Vol. 72, no. 15. — P. 155105.

55. Кучинский Э. З., Некрасов И. А., Садовский М. В. Обобщённая теория динамического среднего поля в физике сильнокоррелированных систем // Успехи физических наук. — 2012. — Т. 182, № 4. — С. 345—378.

56. Kitatani M, Tsuji N., Aoki H. FLEX+DMFT approach to the d-wave superconducting phase diagram of the two-dimensional Hubbard model // Physical Review B. — 2015. — Vol. 92, no. 8. — P. 085104.

57. Bickers N. E. Self-Consistent Many-Body Theory for Condensed Matter Systems // Theoretical Methods for Strongly Correlated Electrons / ed. by D. Senechal, A.-M. Tremblay, C. Bourbonnais. — New York : SpringerVerlag, 2004. — P. 237-296.

58. Solving the parquet equations for the Hubbard model beyond weak coupling / K.-M. Tam, H. Fotso, S.-X. Yang, [et al.] // Physical Review E. — 2013. — Vol. 87, no. 1. — P. 013311.

59. Efficient implementation of the parquet equations: Role of the reducible vertex function and its kernel approximation / G. Li, N. Wentzell, P. Pudleiner, [et al.] // Physical Review B. — 2016. — Vol. 93, no. 16. — P. 165103.

60. Wilson K. G. The renormalization group: Critical phenomena and the Kondo problem // Rev. Mod. Phys. — 1975. — Vol. 47, no. 4. — P. 773-840.

61. Bulla R., Costi T. A., Pruschke T. Numerical renormalization group method for quantum impurity systems // Rev. Mod. Phys. — 2008. — Vol. 80, no. 2. — P. 395-450.

62. White S. R. Density-matrix algorithms for quantum renormalization groups // Phys. Rev. B. — 1993. — Vol. 48, no. 14. — P. 10345-10356.

63. White S. R. Density matrix formulation for quantum renormalization groups // Phys. Rev. Lett. — 1992. — Vol. 69, no. 19. — P. 28632866.

64. Schollwock U. The density-matrix renormalization group in the age of matrix product states // Annals of Physics. — 2011. — Vol. 326, no. 1. — P. 96192. — January 2011 Special Issue.

65. Bollmark G., Laflorencie N., Kantian A. Dimensional crossover and phase transitions in coupled chains: Density matrix renormalization group results // Phys. Rev. B. — 2020. — Vol. 102, no. 19. — P. 195145.

66. Ground state phase diagram of the doped Hubbard model on the four-leg cylinder / Y.-F. Jiang, J. Zaanen, T. P. Devereaux, [et al.] // Phys. Rev. Research. — 2020. — Vol. 2, no. 3. — P. 033073.

67. Sugihara T. Density matrix renormalization group in a two-dimensional A04 Hamiltonian lattice model // Journal of High Energy Physics. — 2004. — Vol. 2004, no. 05. — P. 007-007.

68. Stoudenmire E, White S. R. Studying Two-Dimensional Systems with the Density Matrix Renormalization Group // Annual Review of Condensed Matter Physics. — 2012. — Vol. 3, no. 1. — P. 111-128.

69. Renormalization Group Flows into Phases with Broken Symmetry / M. Salmhofer, C. Honerkamp, W. Metzner, [et al.] // Progress of Theoretical Physics. — 2004. — Vol. 112, no. 6. — P. 943-970.

70. Schutz F., Bartosch L., Kopietz P. Collective fields in the functional renormalization group for fermions, Ward identities, and the exact solution of the Tomonaga-Luttinger model // Phys. Rev. B. — 2005. — Vol. 72, no. 3. — P. 035107.

71. Eberlein A., Metzner W. Parametrization of Nambu Vertex in a Singlet Superconductor // Progress of Theoretical Physics. — 2010. — Vol. 124, no. 3. — P. 471-491.

72. Functional renormalization group and variational Monte Carlo studies of the electronic instabilities in graphene near 4 doping / W.-S. Wang, Y.-Y. Xiang, Q.-H. Wang, [et al.] // Phys. Rev. B. — 2012. — Vol. 85, no. 3. — P. 035414.

73. Quantitative functional renormalization group description of the two-dimensional Hubbard model / C. Hille, F. B. Kugler, C. J. Eckhardt, [et al.] // Phys. Rev. Res. — 2020. — Vol. 2, no. 3. — P. 033372.

74. Electron pairing without superconductivity / G. Cheng, M. Tomczyk, S. Lu, [et al.] // Nature. — 2015. — Vol. 521, no. 7551. — P. 196-199.

75. Phonon-Mediated Long-Range Attractive Interaction in One-Dimensional Cuprates / Y. Wang, Z. Chen, T. Shi, [et al.] // Phys. Rev. Lett. — 2021. — Vol. 127, no. 19. — P. 197003.

76. Transport and excitations in a negative-U quantum dot at the LaAlO3/SrTiO3 interface / G. E. D. K. Prawiroatmodjo, M. Leijnse, F. Trier, [et al.] // Nature Communications. — 2017. — Vol. 8, no. 1. — P. 395.

77. Strand H. U. R. Valence-skipping and negative- U in the <i-band from repulsive local Coulomb interaction // Phys. Rev. B. — 2014. — Vol. 90, no. 15. — P. 155108.

78. Zhang S. Auxiliary-Field Quantum Monte Carlo for Correlated Electron Systems // Emergent Phenomena in Correlated Matter. Vol. 3. — Julich : Forschungszentrum Jülich GmbH Institute for Advanced Simulation, 2013. — P. 15.1-15.31.

79. Stepanov E. A., Harkov V., Lichtenstein A. I. Consistent partial bosoniza-tion of the extended Hubbard model // Phys. Rev. B. — 2019. — Vol. 100, no. 20. — P. 205115.

80. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика : Учеб. пособ. для вузов. V. Статистическая физика. Ч. I. — 5-е изд., стереот. — М. : ФИЗ-МАТЛИТ, 2002.

81. Feldman J., Knörrer H., Trubowitz E. Fermionic Functional Integrals and the Renormalization Group. Vol. 16. — Providence, R.I. : American Mathematical Society, 2002.

82. Coleman P. Introduction to many-body physics. — Cambridge : Cambridge University Press, 2015.

83. Interplay between density and superconducting quantum critical fluctuations / S. Caprara, N. Bergeal, J. Lesueur, [et al.] // Journal of Physics: Condensed Matter. — 2015. — Vol. 27, no. 42. — P. 425701.

84. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика : Учеб. пособ. для вузов. XI. Статистическая физика. Ч. II. — 3-е изд., стереот. — М. : ФИЗ-МАТЛИТ, 2004.

85. Littlewood P. Charge fluctuation mechanisms for high-temperature superconductivity // Physica B: Condensed Matter. — 1990. — Vol. 163, no. 1. — P. 299-305.

86. Bertel E., Menzel A. Fluctuating Charge Order: A Universal Phenomenon in Unconventional Superconductivity? // Symmetry. — 2016. — Vol. 8, 6: 45.

Список рисунков

1.1 а) Двумерная модель Хаббарда с параметрами и и £; (б) Двумерная квадратная решётка, состоящая из двух подрешёток

А и В................................... 16

1.2 Фазовая диаграмма двумерной решётки Хаббарда с полузаполнением. Здесь 1 — некогерентные фермионы при высокой температуре; 2 — область кроссовера между некогерентным и металлическим состояниями; 3 — металлическая фаза; 4 — на поверхности Ферми присутствуют области с открытой псевдощелью; 5 — открыта псевдощель по

всей поверхности Ферми. Рисунок из работы [12].......... 17

1.3 Поверхность Ферми для двумерной квадратной решётки Хаббарда си = 0, £ = 1: а) при различных значениях химического потенциала д, указанных на линиях; (б) при полузаполнении (д = 0), этот режим характеризуется полным нестингом относительно векторов (ж, ж) (изображены на

Рисунке) и (ж, — ж)........................... 22

1.4 График зависимости локального магнитного момента решётки Хаббарда от величины межэлектронного взаимодействия и в режиме полузаполнения д = 0 при различных значениях температуры Т.............................. 23

1.5 Иллюстрация к методу ЭМЕТ: решётка заменяется на одиночную примесь, погружённую в невзаимодействующее окружение, обмен фермионами с которым регулируется гибридизацией Д^............................ 31

2.1 Схема построения метода флуктуирующего локального поля. . . 42

2.2 Кривые зависимости намагниченности М одномерной полузаполненной цепочки Хаббарда от обратной температуры

3 = 1/Т в режиме и = £ = 1 для различных длин цепочки N. . . 44

2.3 Графики зависимости свободной энергии Ландау от поля v для одномерной цепочки Хаббарда длиной N = 4 с параметрами

U/t = 1. а) Свободная энергия Ландау в FLF приближении воспроизводит свободную энергию Ландау в приближении MF в точках экстремумов при разных значениях обратной температуры f3. б) Значение параметра А влияет на положение экстремумов свободной энергии Ландау в приближении FLF. Здесь 3 = 12............................... 48

2.4 Кривые температурной зависимости постоянной Кюри С(3) = х/@, где х - магнитная восприимчивость, для хаббардовского кластера размером 4 х 4 в режиме умеренных U = t = 2 (верхний график) и сильных U = t = 8 (нижний график) корреляций. Результаты расчётов, проведённых с помощью метода FLF, построенного на базе DMFT приближения, приведены в сравнении с результатами чистого DMFT и квантового метода Монте-Карло. Пунктирной линией отмечен переход Нееля, предсказываемый методом DMFT. Рисунок взят из работы [8]....................... 49

2.5 Результаты применения термодинамической теории возмущений 0 (толстые линии) и 2 (тонкие линии) порядков на базе метода FLF для описания двумерной решётки Изинга размером 4 х 4 во внешнем магнитном поле h = 0.03. а) Кривые зависимости свободной энергии Ландау F/T от величины флуктуирующего поля v при различных температурах. б) Кривые температурной зависимости намагниченности в различных приближениях. Для сравнения на графики вынесены результаты, полученные с помощью метода Монте-Карло (exact enumeration). Стрелкой отмечена температура фазового перехода в термодинамическом пределе. Рисунки из работы [7]..................... 52

3.1 Зависимость параметра Л (левая шкала, красная кривая) и зависимость отнормированной функции распределения метода РЬР от величины флуктуирующего поля V (правая шкала, синяя кривая) от величины флуктуирующего поля V. На внутреннем графике — поведение функции Л( ) в окрестности максимума функции распределения метода РЬР. Расчёты проведены для двумерного хаббардовского кластера размера

4 х 2 при и/г = 16 при обратной температуре 3 = 10........ 66

3.2 Зависимость постоянной Кюри С(3) = х3—1 от обратной температуры 3 для полузаполненного двумерного хаббардовского кластера размера 4 х 2 при и/Ь = 16 (а) и и/Ь = 32 (б) в слабом внешнем магнитном поле И = 0.001. Результаты расчётов, проведённых с помощью второго порядка обычной термодинамической теории возмущений (ТРТ) и в рамках схемы РЬР (РЬР ТРТ), сравниваются с точными (ЕЭ). Дополнительно на графике приведены результаты, полученные с помощью среднеполевого приближения (МР), а также пунктирной линией отмечена точка среднеполевого неелевского перехода................................. 69

3.3 Зависимость постоянной Кюри С(3) = х3—1 от обратной температуры 3 для полузаполненного двумерного хаббардовского кластера размера 4 х 4 при и/Ь = 16 (а) и и/Ь = 32 (б) в слабом внешнем магнитном поле И = 0.001. Представлены результаты расчётов, проведённых с помощью второго порядка обычной термодинамической теории возмущений (ТРТ) и в рамках схемы РЬР (РЬР ТРТ). Дополнительно на графике приведены результаты, полученные с помощью среднеполевого приближения (МР), а также пунктирной линией отмечена точка среднеполевого неелевского перехода................................. 70

3.4 Диаграммы поправок к свободной энергии системы без взаимодействия первого порядка. Жирные точки означают локальное взаимодействие и на узлах решётки, волнистые линии - эффективное нелокальное спин-спиновое РЬР взаимодействие. Цифрами пронумерованы вершины диаграмм. Серым выделены диаграммы, которые взаимно уничтожаются при Л = и/2..... 72

3.5 Диаграммы поправок к свободной энергии системы без взаимодействия второго порядка. Жирные точки означают локальное взаимодействие и на узлах решётки, волнистые линии - эффективное нелокальное спин-спиновое РЬР взаимодействие. Диаграммы сгруппированы по числу входящих в них волнистых линий: а) - присутствует только локальное взаимодействие, б) и в) - присутствует одна или две волнистые линии соответственно. Серым выделены диаграммы, которые взаимно уничтожаются при Л = и/2................. 74

3.6 Свободная энергия ) в п — 0,1, 2,3 порядках теории возмущений, развитой на базе метода РЬР, как функция от величины флуктуирующего поля V. Результаты получены для периодизованного хаббардовского двумерного кластера размера

6 х 6 с параметрами и/1 — 1 при обратной температуре 3 — 16. . 78

3.7 График зависимости постоянной Кюри С от обратной температуры ¡3. Приведены результаты, полученные в рамках различных порядков теории возмущений на базе метода РЬР, а также с помощью МР и QMC. Расчёты проводились для периодизованного хаббардовского кластера размера 6 х 6 с параметрами и/1 — 1.......................... 80

4.1 Удельная свободная энергия Р/Ы, полученная в рамках одномодовой и многомодовой схем РЬР. Для сравнения добавлены горизонтальные линии на уровне свободной энергии, полученной в среднеполевом приближении и методом точной диагонализации. Расчёты проводились для одномерной периодизованной цепочки Хаббарда из N — 8 узлов с параметрами и — Ь — 1 при обратной температуре [5 — 10..... 87

4.2 Удельная свободная энергия F/N как функция обратной температуры ß, рассчитанная в рамках одномодовой и многомодовой схем FLF. Для сравнения приведены результаты, полученные с помощью точной диагонализации и в среднеполевом приближении. Вертикальной линией отмечены точки перехода к антиферромагнитно упорядоченному состоянию, предсказываемые теорией среднего поля. Расчёты проводились для периодизованных одномерных цепочек Хаббарда длиной N = 8 (а), 10 (б) и 12 (в) узлов при параметрах U = t = 1.......................... 89

4.3 Зависимость постоянной Кюри С(ß) = xß-1 от обратной температуры ß для полузаполненной одномерной хаббардовской цепочки размера N = 4 (а) и N = 6 (б) узлов при U/ = 1. Результаты расчётов, проведённых в рамках схемы FLF только с классическим флуктуирующим полем FLFsm и с учётом малых ±1 мацубаровских мод FLF мм, сравниваются с точными ED. Дополнительно на графике приведены результаты, полученные с помощью среднеполевого приближения MF. Пунктирной линией отмечена точка среднеполевого неелевского перехода для N = 4. . 95

4.4 Спектральная функция Л(ш) полузаполненной одномерной хаббардовской цепочки размера N = 4 (а) и N = 6 (б) узлов при U/t = 1 и обратной температуре ß = 5. Результаты расчётов, проведённых в рамках схемы FLF только с классическим флуктуирующим полем FLFsm и с учётом малых ±1 мацубаровских мод FLF мм, сравниваются с точными ED. Дополнительно на графике приведены результаты, полученные с помощью среднеполевого приближения MF. ............ 99

4.5 Графики зависимости постоянной Кюри С(0) — х/3 в сверхпроводящем канале от обратной температуры ¡3, полученные с помощью одноканальной РЬРвс и двухканальной схемы ГЬГзс+Ск для величины взаимодействия и — 6 и средней плотности числа частиц п — 0.05 в объёме 20 х 20 х 20. Для сравнения приводятся результаты, полученные в среднеполевом приближении. Пунктирной линией отмечена среднеполевая критическая температура........................105

4.6 Графики спектральной функции Л(ш), полученные с помощью одноканальной РЬР^с и двухканальной схемы РЬР вс+сн для величины взаимодействия и — 6 и средней плотности числа частиц п — 0.05 в объёме 20 х 20 х 20 при значении обратной температуры ¡3 — 10. Для сравнения приводятся результаты, полученные в среднеполевом приближении..............108

Список таблиц

1 Таблица приближённых значений параметра Л, используемых для усреднения по ансамблю РЬР, при различных значениях обратной температуры 3. Расчёты проведены для двумерной решётки Хаббарда размера 4 х 2 в режимах и/ = 16 и и/г = 32. 67