Рациональные приближения непрерывных функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, доктор физико-математических наук Буланов, Александр Павлович

  • Буланов, Александр Павлович
  • доктор физико-математических наукдоктор физико-математических наук
  • 1983, Обнинск
  • Специальность ВАК РФ01.01.01
  • Количество страниц 238
Буланов, Александр Павлович. Рациональные приближения непрерывных функций: дис. доктор физико-математических наук: 01.01.01 - Математический анализ. Обнинск. 1983. 238 с.

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Буланов, Александр Павлович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЗЩЕНИЯ И ПРИБЛИЖЕНИЕ ВЫПУКЛЫХ

ФУНКЦИЙ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ МОДУЛЕМ НЕПРЕРЫВНОСТИ.

§ I. Леммы.

§ 2. Оценка приближения произвольной непрерывной выпуклой функции сверху.

§ 3. О точности полученной оценки

ГЛАВА П. ПРИБЛИЖЕНИЕ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ С ЗАДАННЫМ МОДУЛЕМ

НЕПРЕРЫВНОСТИ.

§ I. Доказательство теоремы 3.

§ 2, Доказательство теорем 4 и 4а

ГЛАВА Ш РАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ С КОНЕЧНЫМ ПОЛНЫМ

ИЗМЕНЕНИЕМ.

§ I. Построение разложения единицы в сумму рациональных функций.

§ 2. Основная лемма.

§ 3. Оценка сверху для наилучшего приближения непрерывной функции с конечным изменением

§ 4. О точности оценки сверху для наилучшего приближения непрерывной функции с конечным измененим $ 5. Следствия. $ 6. Рациональные приближения кусочно выпуклых функций. $ 7. О разложении единицы в сумму рациональных функций многих переменных

Рекомендованный список диссертаций по специальности «Математический анализ», 01.01.01 шифр ВАК

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Рациональные приближения непрерывных функций»

Работа посвящена оценкам для наименьших равномерных заслонений выпуклых функций и функций с ограниченным изменение от рациональных функций.

Введем обозначения. Пусть j^(OC) - действительная непрерывная функция, заданная на отрезке А—[й,S] действительной оси, и R(x)~ рациональная функция от X , несократимая запись которой есть р p-t где CL^ и S^ - действительные числа; причем Ct^ и отличны от нуля. Число fi^TJTlCiW^pyty}называется степенью (порядком) рациональной функции R CZ) .

Через Z?^ Д] =ff] будем обозначать наименьшее уклонение непрерывной функции , DCS А , от рациональных функций степени не выше fl в чебышевской метрике С (А) :

R [fj^infifnax Ifcv-Rw)]}, где R пробегает все рациональные функции степени не выше fl . Беря здесь infimiiiV не по всем рациональным функциям R , а только по действительнозначным алгебраическим полиномам степени получим определение Еп Д] = Еп [f] - наименьшего уклонения функции на отрезке А от полиномов степени не выше fl . Очевидно всегда Rn [Еп [f] .

Задачи оравномерном приближении функции на отрезке посредством полиномов и рациональных функций были поставлены одновременно. Это было сделано Пафнутием Львовичем Чебышевым в мемуаре [I] , опубликованном в 1859 г. (см. [ij , стр. 152-236 , [2J , стр. 199-291). С тех пор равномерные приближения называют также че(-бышевскими приближениями. Одним из основных результатов, изложенных в этом мемуаре было доказательство теоремы о единственности рациональной функции наилучшего приближения. Отсюда, в частности, вытекает единственность полинома наилучшего приближения для рассматриваемой непрерывной функции.

В 1877 году Е.И.Золотарев в мемуаре [3] получил замечательные результаты, касающиеся рациональных приближений. В частности, им была поставлена и решена задача (см. [3],1У задача) , которая может быть сформулирована следующим образом: из всех несократимых дробей данной степени найти ту, которая наименее уклоняется от функции SlCjtl Ос- на множестве Д(<!) — =[-l,-d] U , где ^ - заданное число, , и найти величину этого уклонения. В частности, им было найдено точное выражение для Rn [$Ijn X J Л (6)] : г /(Ч)' > (D где ft РР h/21-i у/Л , /1-/1

Ж - полный эллиптический интеграл 1-го рода с модулем -Я , $П И - эллиптическая функция с модулем Л (см. [з] и [15] стр.

В 1884 году П.Л.Чебышев опубликовал краткую заметку £4] , а в 1889 году подробную статью "О приближениях квадратного корня переменной через простые дроби" ( [5] ). Задача, рассматриваемая П.Л.Чебышевым в этой работе, может быть сведена к задаче о приближении Sfl^tlSt , Хе Д(Ю, решенную Е.И. Золотаревым в [3] (см. Гб] , стр. 410 ). Как указывает Н.И. Ахиезер [б] , результаты статей П.Л. Чебышева и Е.И.Золотарева получили применение в теории электрических фильтров в работах В.Кауэра ( [7] и [8] ).

Вообще же задача о приближении функции $jCjtl на А (§), как и задача о приближении функции 1%) на jr^jiJ является одной из узловых в теории рациональных приближений. В дальнейшем этими задачами и, в частности, уточнением неравенств для Rn [Sri^ft А(Д)] и Rn O^C'-MJJ занимались многие авторы (см. Ахиезер [9J-[12] , £13],стр. 73-76, 319-320 , [14Jстр. 158-159 , [15] ,Д.Ньюман fl6] , А.А.Гончар [17-20] , А.П.Буланов [75] , /138] , Н.С.Вячеславов [ИЗ- 115^и др.) Хотя, как уже отмечалось, Е.И.Золотаревым было получено точное выражение для /?п Л (£)] (см* (I))» пользоваться им при больших Ц было весьма затруднительно. Грубо приближенные, но зато очень простые и удобные для применений оценки этой величины получил Д.Ньюман в 1964 г. С помощью -этих оценок он получил неравенства j exp{'9ifn}< Rn [isel, КШ* Щ

2)

В 1967 году А.А.Гончар показал, что более точные оценки можно извлечь из упомянутого результата Е.И. Золотарева. Последние результаты здесь принадлежат А.А.Гончару (слабая эквивалентность для R^lSlCjfl^&CS)]) и Н.С.Вячеславову (слабые эквивалентности для наименьших функций вида в метриках Lf $ = ) .

После того, как Вейерштрасс ( [24J , Г 25 J ) в 1885 году доказал, что En[f]—*0 при 17—ъ**3 для произвольной непрерывной функции f(0£) , ХЕА » встал вопрос о связи между скоростью убывания величины Еп [f] и свойствами функции. Один из способов исследования этого вопроса содержится в доказательстве теоремы Вейеритрасса, предложенном Лебегом (см. [26] и [27 J; стр. 72 ). Любую непрерывную на отрезке [aj'j функцию f'(OC) Лебег сначала приближал Н -звенной кусочно-линейной функцией L^(ОС) (вписывая в кривую ij = fl -звенную ломанную с уравнением ^ — L^COC) ). Записывая, далее, L (.ОС) в виде 17

3) tr J К где (Z<C ^ <r flfg1" < ^ ), он сводил исходную задачу к задаче о приближении/на Д . Эта задача, в свою очередь, сводится к приближению /х/ на отрезке[-J/-1] . (О приближении на [-1,/J полиномами см. работы f28j-[33] ).

В начале 20-го века вопросам о приближении функций полиномами были посвящены многие работы Лебега, Валле-Пуссена, Д.Джексона и С.Н.Бернштейна ( [26] -[30J , [33] , [34] ). Из этих работ, в частности, выяснилось, что скорость убывания

Bn [fj Л ] при п —» -ч» существенно зависит от модуля непрерывности приближаемой функции -fCOC), ос <= Л , именно по теореме Джексона

4) где и (4,f)-iup [if (ОС) - f(p |, эс, у ей,} х-р ± J}

В дальнейшем теория приближений полиномами продолжала развиваться быстрее, чем теория приближения рациональными функциями. Однако, многие вопросы, решенные для полиномиальных приближений, ждали ответа и для приближений рациональными функциями.

В конце 50-х и начале 60-х годов теория рациональных приближений функций действительного переменного резко ускорило свое развитие благодаря результатам А.А.Гончара и Е.П.Должен-ко, устанавливающим связь между скоростью убывания/? [Аа]и свойствами функции что хотя никакая не обеспечивает каких-либо дифференциальных свойств функции j- в наперед заданной точке ОС в А , все же достаточно . высокая скорость этого убывания обеспечивает наличие у функции j- некоторых локальных гладкостных свойств почти в каждой точке ОС^Л ; при этом исключительное множество точек, вообще говоря, зависит от функции ^ . Например, им показано, что если Rn CfjA] не превосходит С-П 1 ^

- модуль непрерывности скорость убывания вообще говоря,

С/ = то f (ос)существует почти всюду на Д ( [35J, fa oi $

1955 г.); если же /?пй] < С tl " » к - целое неотрицательное, 0<Ы ±4 , то сужения функции на некоторые множества по мере сколь угодно близкие к ^ , имеют непрерывную Ь -ю производную, удовлетворяющую условию Липшица-Гёяьдера порядка("57^ 1959 г., доказательство см. в [58J ). В этих условиях нельзя взять никакое J4^/?

Позже Е.П.Долженко ( [59] , I960 г., доказательство см. в [36J ) обнаружил, что определенная скорость убывания Rn [fi д] обеспечивает наличие у функции ^ таких ее свойств в целом, как конечность полного изменения V(-f)» конечность ее ср - вариации, оо абсолютная непрерывность. Например, из условия ^ [^a J < 00

Р п-1 следует абсолютная непрерывность функции 4 , а значит и конечность ее полного изменения; условие это является неулучшаеыым.

За последние годы существенные результаты по теории рациональных приближений функций действительного переменного были получены А.А.Гончаром, Е.П.Долженко, П.Сюс и П.Тураном ,Г.Фройдом, И. Сабадошом, А.Абдугаппаровым, Е.А.Севастьяновым, В.А.Поповым, В.Н. Гусаком, К.Н.Дунгу 9 А.Хатамовым, Н.С.Вячеславовым, В.П.Данченко, П.П.Петрушевым, А.А.Пекарским, С.Ташевым, Е.А.Ровбой,А-Р.К.Рамаза-новым, А.К.Рамазановым, и др.

Что касается зависимости между En[f~}9 то история здесь такова.

После того, как были построены функции^* (А.А.Гончар [35] , 1955 г.), для которых ->• 0 сколь угодно медленно, а [jJj О сколь угодно быстро, возникла гипотеза о том, что и всегда, если не есть полином, то Rn [f] = с (Еп [f]) (п —s- ®<?) .С появлением неравенств Д.Ньюмана (2) вера в эту гипотезу укрепилась. Однако в 1967 г. было показано (Е.П.Долженко [37] ), что имеются непрерывные функции ^ , для которых gJf]~Egl.Wy0>

При этом функция j может иметь модуль непрерывности наперед заданного порядка 60(£) , т.е. и вообще иметь любую наперед заданную гладкость вплоть до аналитичности во всей плоскости 2 =

Таким образом, кроме тривиального соотношения /?л [f]6 [f'] и утверждения, что RQ [f] и Еп ff J—>0одновременно, других связей между ними нет,даже, если привлечь такую традиционную характеристику как модуль непрерывности. В связи с этим отпала необходимость искать оценку для Гулишь через модуль непрерывности функции , поскольку имеются неулучшаемые оценки для Е [f] типа неравенства Джексона (4). Этот результат показал также, что если мы хоуим для /^TfJ получить оценки по порядку лучше, чем оценки для Еп [f] , то нужно выделять классы функций ^ посредством каких-то функциональных свойств, не находивших применение в теории полиномиальных приближений.

Еще до появления этой работы были получены первые оценки для приближения непрерывных функций, обладающих такими функс циональными свойствами как выпуклость j и конечность полного изменения j- . Относительно выпуклых функций класса Lip 1 это были результаты П.Сюс и П.Турана( [38j 1965 г.), относительно функций с конечным полным изменением - результаты Е.П. Долженко и А.А.Абдушппарова (доклад Е.П.Долженко на конгрессе математиков в Москве в 1966 году [49 ] ; результат был также доложен на семинаре по теории функций в МГУ в конце 1965 года) и Г.Фройда ( (1I8J , 1966 г.) Были также построены примеры, показывающие, что одна лишь конечность полного изменения непрерывной функции -j' не гарантирует какую-либо фиксированную скорость убывания /?л [f ] к нулю. Простой пример монотонной и абсолютно непрерывной функции ^ , для которой Rn Tf J стремятся к нулю произвольно медленно, построил Е.П.Долженко (см. об этом в работе А.А.Гончара [60] на стр. 335-336). Исходя из скорости роста функций в фиксированной внутренней точке отрезка, А.А.Гончар ( [17J и [60] ) построил непрерывную "шкалу препятствий", которая характеризует скорость рациональных приближений этих функций. В эту шкалу, в частности, вклады: вается оценка снизу для наилучших равномерных рациональных приближений таких канонических функций как, например,

О, ; или

В 1969 году автор fl35J обнаружил, что выпуклость непрерывной функции уже сама по себе, без каких-либо дополнительных условий на j- гарантирует определенную скорость убывания

Rn [f;A] к нулю. В последовавших за этим работах А.Абдугаппарова, А.Хатамова, В.А.Попова, П.П.Петрушева, А.А. Пекарского, А.П.Буланова и др. это направление исследований развивалось. В работах[I37J и f 142] автор показал, что знание модуля непрерывности выпуклой функции позволяет существенно улучшить оценку для J • 0™етим, что полученные

Р(0С) = И неравенства для Rn [f^A] существенно сильнее, чем неулучшаемое неравенство для Ev if)А] » полученное при тех же условиях на

Эта диссертация посвящена неравенствам для Rn [f^A] в случае выпуклых непрерывных функций J (гл. I и П) и в случае функций с конечным полным изменением (гл. Ш). Дальнейшая история вопроса излагается ниже параллельно с результатами диссертации.

Основное содержание работы сформулировано в шести теоремах. В первой главе доказывался теореиы I и 2 об оценках Д-Pffjcoo,-ветственно сверху и снизу в случае непрерывных выпуклых функций + без учета величин их модулей непрерывности СО (dt f). Отметим, что теоремы I и 2 приводились в кандидатской диссертации автора,защищенной в 1971 Г. Во второй главе доказываются теоремы 3 и 4 об оценках Rn [fj соответственно сверху и снизу, но уже в случае выпуклых функций с заданным модулем непрерывности. Эта глава является существенным развитием первой главы.

В главе Ш в основных теоремах 5 и 6 даются оценки Rn [f] также соответственно сверху и снизу для функций -f с ограниченным полным изменением и с заднным модулем непрерывности.

В теореме 7 дается оценка для Rn [f,A ] в случае "склеенных" в частности f кусочно-выпуклых функций -р ; теорема 7а является многомерным аналогом теоремы 7.

В каждой главе доказаны две теоремы, которые решают по существу один вопрос: каков показатель степени Л в оценке f где iWpTtrnum берется по всем функциям из рассматриваемого там класса.

Остановимся несколько подробнее на содержании каждой главы.

В § I гл. I доказывается ряд лемм и две вспомогательные теоремы (теорема А и теорема В), используемых на протяжении всей работы. Существенное внимание здесь уделено равномерному приближению функций bl J Л 'X на симметричной паре отрезков [-ij-dJiJ [($,{] ==&($) (см. теорему А). Отметим, что оценки, содержащиеся в некоторых леммах этого параграфа, можно было бы извлечь из упомянутых результатов Е.И.Золотарева [3J , однако конструкция Д.Ньюмана дает более простой путь для получения соответствующих неравенств. Основной результат этого параграфа теорема В, на которой основано доказательство теоремы б гл. Ш.

В 1964 году, используя представление Лебега (3) и неравенства Ньюмана (2), П.Сюс и П.Туран [38] показали, что если непрерывная функция j'(OC) выпукла на [-1,1] , то для ее приближения на любом отрезке [-i+£^ i~8j при любом положительном <? < i справедлива оценка я„Г(п?/Ю> (6) где не зависит от fl . Полиномы в этих условиях дают лишь

С другой стороны, Д.Ньюман привел пример выпуклой и удовлетворяющей условию Липшица Lip l на отрезке А функции ^ , для которой n 1 nfon этот результат приводится в [38] ).

Как известно, всякая непрерывная и выпуклая на отрезке функция j(0C) является абсолютно непрерывной на Л , удовлетворяет условию Липшица г pi на любом отрезке

0*1?* j * шеет почти всюду вторую производную и является "плохой" разве лишь на концах отрезка А . Эти свойства и приведенный только что результат могли указывать на возможную справедливость неравенств типа

Rnlf,A]4CriArc .с другой стороны, А.А.Гончар построил (см. [17 J , неравенство (24)) такие кусочно-выпуклые непрерывные функции f , для которых R [ f ] стремятся к нулю сколь угодно медленно. Это говорило в пользу возможного существования непрерывных выпуклых функций ^ , которые приближаются рациональными функциями сколь угодно медленно. На самом деле имеет место компромиссная ситуация:

Теорема I. Для любой выпуклой непрерывной функции fOC)t

ЭсеД ,

-п П J лп

V|J -ft 7 ' ' ' (7) где С - абсолютная постояннаяМ(f) = fr?QOC{lfOC)$Се .

Следует обратить внимание на то, что в оценке (7) ни прямо, ни косвенно не участвует модуль непрерывности СО (fyf) Теоремы такого типа в теории приближений ранее не встречались; для полиномиальных приближений такие теоремы вообще невозможны, что следует из неравенства Стечкина (см. [39 J , неравенство (2.5) на стр. 613 , и в работе С.Б.Стечкина [40] теорему 8).

После опубликования этого результата в U35J он уточнялся (П.П.Петрушев [47] , А.Хатамов [41] ).

Недавно В.А.Попов и П.П.Петрушев [42] показали, что в условиях теоремы I ^ —Oft—• чт0 дальнейшее уточнении невозможно, вытекает из следующей теоремы:

Теорема2. Для любой положительной последовательности у

0 существует выпуклая непрерывная функция j (ОС) , Хе[В,{] » Для которой

WJ> \ к * для некоторой последовательности f2- J***0 Р35] . А

Во второй главе приводятся оценки наименьших уклонений для выпуклых функций с учетом величины их модуля непрерывности СО . Упомянутый выше результат П.Сюс. и П.Турана (6) можно сформулировать еще так: если функция^ выпукла и удовлетворяет условию Липшица на отрезке Л , то

Rn[fhC(f)

Znn

6)

А.А.Абдугаппаров [43 ] показал, что если выпуклая функция fetipot , Q<ol±i , то впп мы -^ 3 у * t i • И

В работе ff37j было получено неравенство

RjfhC^znf {аы+м&ьфп-ед., (8> где С - абсолютная постоянная, выпуклая функция ^ имеет модуль непрерывности СО ($, f) £ СО (S)} М = НПО ОС | ^(ОС) I • В частности, если » Q^-ol^i , то

-гл., (9) а если Co(fij-f')^ (^jr) » т0 из ^ следует, что

10)

Неравенство (8) дало для выпуклой feLipot , , окончательный показатель степени у 11- двойку. Если модуль непрерывности"очень плох", то, как следует из теоремы 2, нельзя надеяться на то,что rjfl=iP(i/nM), хотя бы при каком -нибудь £,70 , так что для таких функций [f J имеет, грубо говоря, порядок i/Tl и не лучше. Для "плохих" же модулей непрерывности оценка (8) не является окончательной в смысле величины показателя степени hi . В частности, не является окончательным показатель степени 3/2 в оценке (10).

В теореме 3 гл. П неравенство (8) уточняется следующим образом[1421 :

R пах [соЮвгЩуП-ьз,., {П) а в теореме 4 показывается, что неравенство (II) нельзя далее уточнять, если пренебречь множителями порядка вп?Т1 , где постоянная. Из теоремы 3 в частности следует, что неравенство вида RnlfUC(f)^ » справедливое по (6) для выпуклых функций feLipl , распространяется не только на выпуклые функции из Гельдеровских классов Л^ЦрЫ , о/УО но и на выпуклые функции с довольно "плохими" модулями непрерывности - такими, как OO(Sjf)* Именно, если j- выпукла и принадлежит классу

2пЧг Па

LipсК при некотором ol~70 , то Rn[f]-C(f) с другой стороны, как еще в 1964 году показал Д.Ньюман (этот результат в работе [38] ), существуют выпуклые функции класса 1

Lip Lip Ы (0<оМ £) , для которых Rn Ц]>—— Если же | выпукла и Со jj* , то

7~Z~ ; с другой стороны, из теоремы 4 следует существование при каждом положительном rf-l такой выпуклой функции у , что СО (Jj-f) не превосходит (^fi —^ ^ , a R [f]>n'~rm °4<l , и а Г/-1.

RJf]>-zpr (12) при 4 для некоторой последовательности fl*=*fl Sr <?© . 0 к

Оценка (9) уточнялась за счет понижения степени логарифмического множителя (А.Абдугаппаров [44] , В.А.Попов [45] , А.Хатамов [41] , [46] ) и в настоящее время показано, что в ней ftvfl можно опустить (Р.П.Петрушев [47] ).

Автор и А.Хатамов [ 76J заменили в оценке (II) множитель IfL^fl множителем in :

R max (6-а)<г"±е<ё-а L в

Отсюда получаем для -Р из класса выпуклых функций с модулями i. V ^ п Q непрерывности О) (6; (£п jr) неравенство /?я [f] 6 C(f)f2

11 в 2,3.,,. ) точное в смысле порядка по fl (см. неравенство (12)).

А.А.Гончар в 1974 году установил, что для аналитической на (о, а функции f(г)= (ln± )-*t,0. справедливы неравенства

1Гшуй7\ 4 Rn Wп Тс) 9 « -— ; г(Щ)+г п п П где £ - любое

В теореме 4а доказывается неравенство а

В случае эта оценка без доказательства приводится в работе А.А.Пекарского [117J .

Функция ^ , 0 , имеет модуль непрерывности и выпукла кверху на . Несмотря на то, что эта функция еще и аналитична на (Q,i] > приближается она рациональными функциями почти с той же скоростью, что и любая выпуклая на [0,1] функция с модулем непрерывности СО-j-') < (fift^) ^

О Г для которой теорема 3 дает оценку /? [jl ] £ С ^ см. также неравенство (Па)). ^

В главе Ш изучаются рациональные приближения непрерывных функций с конечным полным изменением. Этому вопросу посвящены тео ремы 5 и б и следствия из них.

Пусть непрерывная функция -f(.0C) , Х£ А » имеет конечное полное изменение Y(f) и модуль непрерывности СО f) . А.А.Абдугаппаров и Е.П.Долженко (доклад Е.П.Долженко на Международном конгрессе математиков в Москве в 1966 году) получили оценку для Rn [f J через и V(-f) , а также через CJCtfjf) и ф- вариациюl^CfJ функции j (определение Ф - вариации см. в работе [д!] ). Из их результатов следует, что если feLipo/ • olyQ , V(f) < ^ » то

13) а если f имеет модуль j j1 е непрерывности СО f) - ~ J рО и V(f)<*° , то r [jhccfH ** п = • см)

Оценки (13) и (14) независимо и в том же 1966году получил Г.Фройд [118] .

Заметим, что при получении этих результатов названные здесь авторы существенно использовали представление Лебега (I) и результат Д.Ньюмана (3),

Следующая теорема содержит эти результаты (в классе функций с конечным полным изменением), и в случае"не слишком хороших" модулей непрерывности, например таких, как со (6) - 4) ^iJyQ существенно усиливает оценку упомянутых авторов. Ниже со*и,) = inf(<f:b><:j9f)>si}.

Теорема 5. Пусть , хе Л » имеет модуль непрерывности 60 (S) f) и конечное полное изменение. Тогда а, (15) И

IkRJf] i lk^/?n[f])l где С не зависит от fi .

Теорема 6. Для любой функции типа модуля непрерывности С0(д) и любой последовательности £пм Q существует функция с конечным полным изменением и модулем непрерывности 60 (S} -f) £ СО (d) такая, что enna'(l?n[f])\ П для некоторой последовательности номеров Ц ^fi^oo с = mui 7 0) [139].

В качестве следствий из этих теорем приведем оценки для Rn ff ] в двух конкретных случаях СО (-f).

Следствие I. Если fcoc) , xs№,i]y имеет конечное полное изменение и удовлетворяет условию Lip oL при некотором g^S то с с другой стороны, для любой последовательности 0 и любого положительного о/ < { существует функция f(X) (а <= [0, {] J) из класса Lip ol j имеющая конечное полное изменение, для которой о т х- ^^ для некоторой последовательности П — Ц,/100 . к

Следствие 2. Если j'(OC) , [й, {] > имеет конечное полное изменение и модуль непрерывности Од C^-f)^ (tyi — j , то ср. с (14)), с другой стороны, для любой последовательности 0 существует функция -f (OC) [Q,i] ) с конечным v j полным изменением и модулем непрерывности 60 -f ) ^ (Cfi — для которой

Rn[f*l>£nni+r <и» для некоторой последовательности fl — fl^ у7 00 .

Заметим, что недавно независимо П.П.Петрушев [50J и А.А Пекарский

51] уточнили неравенства (13) и (17), заменив в неравенстве (13) множитель l>tt~fl множителем flyi fl , а в неравенстве (17) множитель Eflfl единицей. Эти уточненные неравенства уже практически неулучшаемы, как это видно из (16) и (18).

Помимо основных теорем 5 и 6 в этой главе доказаны теоремы 7 и 7а о приближении "склеенных" функций (теорема 7а является многомерным аналогом теоремы 7). Доказательство их, как и основной теоремы 5 опирается на лемму 3.1. о разложении единицы в сумму рациональных функций. Приведем лишь следствия из этих теорем

Следствие из теоремы 7. Пусть (0С)} ОС G [fy $ кусочно выпуклая функция и пусть и(б,0< ct(enff, тогда К

Ш^в?)' f""in(PS)> (19) где С^ и Cg положительны и не зависят От ft .

Заметим, что оценка (19) являетсянеулучшаемой, если пренебречь логарифмическим множителем (СпИ)^ » так как для ^ , эт0 показывает неравенство А.А.Гончара (см. [18] )

Если же ^7% » то легко строится пример просто выпуклой и непрерывной на [О, I] функции j L ip 1 , приближение которой

Следствиеиз теоремы 7а. Пусть функция f Ос) от Jf переменных X = (Otj ? VCP 0,0 ^непрерывна на Jf- мерном многограннике Q^ и пусть 0N разбит на многогранники , U £ , на каждом из которых Объявляется линейной функцией. Тогда

Rnif,BN]<Cexp(-cW)) где С и С положительны и не зависят от Ш, .

В заключение отметим, что полученные в работе оценки сверху для наименьших рациональных уклонений функций из определенных классов (см. Теоремы 1,3 и 5) с точностью до логарифмических множителей являются неулучшаемыш(см. теоремы 2,4 и 6 соответственно).

Пользуясь случаем, хочу выразить здесь мою искреннюю благодарность Е.П.Долженко, оказавшему существенно®, влияние на мою работу. Хочу также искренне поблагодарить С.Б.Стечкина, неоднократные беседы с которым в лечение 1980-81 гг. способствовали улучшению этой рукописи, в частности, сокращению, доказательств теорем I и 3, по сравнению с опубликованными ранее.

Результаты, изложенные в этой диссертации, в большей или меньшей степени были использованы в работах других авторов [41] - [51] , Г77] - [П5] , [125] - [134] .

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [135- 144] и по мере их появления докладывались на семинарах по теории функций в МГУ, на международных конференциях по теории аппроксимаций в Калуге (1975г.), в Благоевграде (1977 г.) в Варне (1981г.), а также на всесоюзных школах по теории функций в Махачкале (1969г.), в Баку (1977г.) и в Саратове (1982 г.).

Похожие диссертационные работы по специальности «Математический анализ», 01.01.01 шифр ВАК

Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.