Равномерное приближение непрерывных функций многих переменных тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Горбачев, Дмитрий Викторович

• Горбачев, Дмитрий Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Горбачев, Дмитрий Викторович

СОДЕРЖАНИЕ

Основные обозначения

Введение

Глава 1. Экстремальные значения функционалов на классах функций многих переменных

§1. Простейшая экстремальная задача на классе Н^ (Раь) •••

§2. Представление величины £{ф, Н^ (Раь)) в перестановках

§3. Экстремальные задачи на классах Липшица Н^\Раъ)

Глава 2. Равномерное приближение непрерывных периодических функций многих переменных

§1. Точная верхняя грань норм функций из класса

§2. Уклонение линейных угловых методов на классе (54

§3. Уклонение угловых методов Фавара на классе Нд^

Литература

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

N — множество натуральных чисел, Z — множество целых чисел, Ъч = {0,1,..., q — 1} (g 6 N), К — множество действительных чисел;

W ={v= (1/ь...,!/„) : Vi Е N}, Z n = {v= (z/b

a, b E Mn, Раъ = [ai, bi] x

C(Pab) — множество непрерывных действительных на Раь функций;

^¿(^г) — модули непрерывности;

Hin)(Pab) = {/ Е С(РаЪ) : \f(x)-f(y)\ < Е-=1^г(\хг-уг\), х,уе -Раб};

а < 7 < /3, V7[a, /3] — множество суммируемых на [а, (3] функций (p(t), удовлетворяющих условиям: (p{t) > 0 почти всюду на (а,7), ip(t) < 0 почти всюду на (7, /3), J(p(t) dt = 0;

С Е Pab, Vc{n\Paъ) = {ф(х) = П?=1 Ф^г) ■ Фг <= ^¿Л]};

ОД, Hin\pab)) = sup{| fPab Ф(х)/(х) dx\ : / Е #i,n)(Pa6}};

Ф% £ Qi{xi^i) — функции, определяемые на [a^Cj] по-

средством равенств: /аж.г g^ = dt{\

в{Ф) = teOb^i) : г = 1,.. - ,гг};

/(£, [а,/3]) = inf{u : mes{:r Е : \f(x)\ ^ и} ^ t] — невозра-

стающая перестановка |/| на [«,/3], mesA — мера множества А; f~l(t) — обратная функция к /; Цш{Раь) = minu;i{bi - а,-);

Л G Л- > 0, Я^п)(РаЬ) = {/ G С(Раь) : |/(я) - /Ы| < ~ хтУ G — класс Липшица;

Д G N, = М*) : (-1) V G V^a + ^к, а + ^(к + 1)],

fc = 0,1,..., .R — 1};

iV G N", vft\pab) = {ф(х) = Ylti Мъ) • ^ е Ъг}};

<р G ФИ - f^(u)du, Ф) = Е£"о [« +

+ + 1)]) — Е-перестановка Корнейчука |Ф| на [а,/3];

/ > 0, [0,1]п — n-мерный куб;

Я <»([0, Z]») = {/ G С([0, /]п) : \f(x) - f(y)I < E?=1 ki - Уг I, X, у G

[о,/]"};

Д G N, Л ^ 2, V^n)([0,/]n) = {ф{х) = пим^г) : Фг(хг) > 0 почти всюду на [0, /¿/R ф{(х{) dx{ = 1, ф{ G /]};

ТП = [—7Г, 7т)п — n-мерный тор;

С(Тп) — пространство непрерывных 27г-периодических по каждой переменной действительных на Тп функций f(x) с нормой \\f\\c = snp\f(x)lxeTn;

#in) = HLn)(Tn), tf^n) - Я ^(Т»), HW = H^{Tn); q G N, = £ Efeli cos(kt ~ ^f) — ЯДР° Бернулли;

гбГ,^ Тп, Вг(х) = П"=1 (/ * д)(х) = /Тп 1{х - у)д{у) с1у;

УГХНЫ = {9 е С(Т») : € Я<"\ ¡1к9{х)<Ьц = 0} =

Д. * Я<п) = {¿/(я) - (Вг * /)М : / 6 Я<п)};

= (-1)«Вв(*) при д = 25 и ьч(г) = (-1 увч(г + при д =

25+1;

М*) - ¡1жЬд(и) <1щ

? > 0, а 6 Д^ВД = ¿Е^ ¿"«аЦА* - ~ обобщенное ядро Бернулли;

г е мп, г,- > о, е 2», * е тп, вгР(х) = П?=1 вг.ф{)\

= Вг(3 * ;

Л = (Л1,...,ЛП),Л,- = {А0^1 с К;

1 < ¿1 < •■• < гк < га, 1 < к < га, х е Тп, иА{1..л,к(х,д) = 1тк Ц/=1 . — •> • ■ • 1 til 1 • • ■ 1 ^гк 5 • • • 5 хп) • • • ;

иА(х,д) = Ек=1(-1)к~1Е1^1<...<^пиАч...А,к(х,д) — линейный угловой метод;

иА) = 8ир{||£ - иА(д)\\с : д е УУ;?!!^};

О 0,« е г, {,«(4) = 1-4«+' ЕГ=1(-1)°№"1Ч (яф+т+^^г)

при 0 < Ь ^ 1 и = О при 1 ^ £ < оо;

N е N. - {Л,«)}&!, Л,*) = Ы&);

= + — (д,а)-ядро Фавара

порядка — 1;

^л* — угловой метод Фавара;

= -Л,«)) ««(**-

= (-1)°+"при а = 2а и =

-1У+мВча(1 + 23?,при а = 2(7 + 1;

bqa{ti Z^qcJ) — f—к ^qoci^i ^qa ) d>T

p (+ h - v^-1 h (t \Eh iih±Hi\

Г[—К,7г] {L1 Vqay^qa )) — 2^k=-N V<la \L-> 'I- jV ' N U

qa[

Е-перестановка Корнейчука |bqa(t,Eqa^)\ на [—7г,7г];

R e N, FR(t) = Y,\k\<R 1д ct§ 17Гeikx - ЯДР° Фавара; ж, г/ G Мп, (ж, у) = Ж1У1 +----h

v G Zn, f{v) = JT„ dx — коэффициенты Фурье

функции /(ж);

Ы*, /) = тЛ^ ¡тп - У) /(У) ¿У =

(27Г)'-

п

2Я 2Д

= Е П^^^/Ме-

г/€2"П(-Д,Д)" г=1

— квадратная сумма Фавара порядка Д функции /(ж);

€(Н^\ФЯ) = 8ир{||/(®) - Фд(ж,/)||с : / € Ж»)};

Ы*) = i I? Ы") ¿Щ

О ^ Г1 < т2 < • • • < 7Г, 0 < Т1 < Т2 < • • ■ < Тд < 7Г, ТТе = ^

— нули функций .Рд, Рд;

= ЕьГх1 [^,^+1]) — Е-перестановка Кор-

нейчука |Рд| на ,7г];

signí = 1 при £ > О, signí = 0 при I = 0 и signí = — 1 при £ < 0.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Равномерное приближение непрерывных функций многих переменных»

ВВЕДЕНИЕ

В диссертации рассматриваются экстремальные задачи для непрерывных действительных функций многих переменных. Вычисляются точные верхние грани функционалов на n-мерных классах, определяемых выпуклыми модулями непрерывности и решаются некоторые экстремальные задачи для периодических функций многих переменных, связанные с нахождением уклонений линейных методов.

Вычисление верхних граней уклонений линейных методов на классах непрерывных периодических функций (классы ШгНш и др.) является важной экстремальной задачей теории приближений и ей посвящено очень много работ: А. Лебег [18], А.Н. Колмогоров [13], С.М. Никольский [20-23], Б. Надь [19], C.B. Стечкин [33-35], С.А. Теляковский [36, 37], A.B. Ефимов [9-11], Н.П. Корнейчук [14-17], В.К. Дзядык [8], А.И. Степанец [28-32], Л.В. Жижиашвили [12], В.Н. Темляков [39], С.А. Теляковский и В.Н. Темляков [38] и др.

С наибольшей полнотой исследован случай одной переменной. Доказательство большинства точных результатов опиралось на известную лемму Корнейчука-Стечкина [16]. Случай функций многих переменных менее изучен. Многомерный вариант леммы Корнейчука-Стечкина исследовался А.И. Степанцом [31]. В простейшей экстремальной задаче в двумерном случае им было получено полное решение, а для больших размерностей — оценка сверху и решение только в случае симметричных ядер.

Пусть п £ N; для а, Ъ G Мп

РаЪ = [а\М] X ... х [ап,Ьп]

— n-мерный прямоугольник; С(Раь) — множество непрерывных действительных на Раь функций;

H{j\Pab) = {/ G C(Pab) : \f(x)-f(y)\ < ¿Wiflsi-y,-1), x,y G Раъ\ ^ i=î )

где cji(xi), i — 1 ,...,n — одномерные модули непрерывности [31, с. 12-17].

Первая глава посвящена решению экстремальной задачи о нахождении точных верхних граней функционалов

с JL-

/ ${x)f{x)dx, ф(х) = Цфг{х^ (0.1)

JPab i = 1

на классах Н^ (Раь) •

В §1 рассматривается простейшая экстремальная задача на классе Н^\Раъ).

Для а < j < (3 обозначим через V^[a,f3] множество действительных суммируемых на [а, (3] функций (p(t), удовлетворяющих условиям: Lp(t) > 0 почти всюду на (а, 7), <p(t) < 0 почти всюду на (7,/3), f^(p(t)dt = 0 (см. [31, с. 17-18]). Такие функции называются одномерными простейшими ядрами. Для с,х£ Раъ функции вида

п

Ф{х) = П^М' Фг €Vci[ai,bi\, г = 1,..., п,

i=1

называются многомерными простейшими ядрами. Множество многомерных простейших ядер ф обозначим через Vc{n\Pab). Отметим, что ф(х) > 0 почти всюду на n-мерном прямоугольнике Рас = [abci] х ... х [ап,сп].

Для многомерного простейшего ядра ф Е УсП\Раь) рассмотрим экстремальную задачу о точной верхней грани функционала (0.1) на классе Н^{Раъ)^ которую также назовем простейшей. Положим

8(ф,и) = Е{ф,Н^\Ра ь))= sup

feHin)(Pab)

/ ф(x)f(yx) dx

'РаЪ

(0.2)

А.И. Степанец [31, с. 71] получил оценку сверху

£(ф, со) ^ 2п~1 / ф(х) min tüi(gi(xi) — Xi) dx. (0.3)

'Рас

1 ¿¿<71

где Qi(xi) = Qi(xi^i), i = 1,..., n — функции, которые определяются на [аг-,сг] посредством равенств

pXi PSi(xi)

/ фг^{) dti = / lf>i(ti)dti, di ^ Xi ^ Ci ^ Qi(xi) < bi. (0.4)

J cii J ai

Множество всех функций Qi(xi,ipi) обозначим через д(ф):

д(ф) = {Qi(Xi, ф{) : i = 1,..., п].

Основным результатом §1 является построение экстремальной функции, доказывающей точность оценки (0.3) для произвольного ядра ф и произвольных выпуклых (вверх) модулей непрерывности при всех п > 3.

Теорема 1.1 [4]. Если п ^ 3, Ш{(х{), г = 1,.. .,п — выпуклые модули непрерывности, ф = ф\ ■ ... ■ фп Е УсП\Раь) — многомерное простейшее ядро, то

£(ф,и) = 2П~1 / ф(х) min Ui(gi(xi) — Х{) dx =

JPac

= / ф{х)$*{х)йх,

JPab

где Qi(xi) определяются (0.4) и f*(x) = f*{x,uj, д(ф)) Е H^l)(Pab).

При n = 1 теорема получена Н.П. Корнейчуком и, независимо, С.Б. Стечкиным (лемма Корнейчука-Стечкина [16, с. 190-191]), а при п = 2 — А.И. Степанцом [28].

Для выпуклых модулей непрерывности uji(xi) величина £(ф,ш) допускает представление свободное от функций Qi(xi), которое дается в §2 через перестановки.

Пусть

Фг(жг-) = / ф{{и) dti, Xi Е [аг-, bi], г = 1,...,

n

a,i

и для t ^ 0

= [а;Л']) = inf{u : mes{х{ E [а,-Д-] : |Фг(^)| > u} < £}

(0.5)

— невозрастающие перестановки функций |Фг-(жг-)| = на [аг-, 6г],

г = 1,..., п,

/¿w = Vu{Pab) = min Uiipi - di). (0.6)

1 <г<п

Теорема 1.2 [5]. В предположениях теоремы 1.1 для величины £(ф,ш) справедливо равенство

i= 1

где i = 1,..., n — функции (0.5) и определяется (0.6).

При n = 1 теорема получена Н.П. Корнейчуком [16, с. 190-191], а при п = 2 — А.И. Степанцом [30].

В §1 находится точная верхняя грань функционала (0.1), где каждое из одномерных ядер имеет в точности одну перемену знака на [a,i,bi\. В §3 вычисляется точная верхняя грань функционала (0.1) на классах Липшица в случае, когда одномерные ядра ф{ со специальными свойствами имеют несколько перемен знака на [щ,Ь{]. Пусть А = (Ai,..., An) G Ai > 0,

Н{А}(Раь) = \fe C(Pab) : | f(x) - f(y) | < Ai\xi - у{1 x,ye Pab\ ^ i= 1 '

— класс Липшица. Очевидно, что Н^(Раь) есть частный случай класса Н^\раь), определяемого линейными, а, значит, выпуклыми модулями непрерывности

uJi(xi) = AiXi, Xi G [о, bi - aj, i = 1,..., п.

Для R G N, a < (5 обозначим через множество функций

(одномерных ядер) (p(t)} удовлетворяющих условию:

(-1)'v е v^ltk,tk+1l k = о, i,...,R- l,

где tk — а + ^-jr'k и 7*. — некоторая точка из tk+i). Для N G Nn через Vjy ^ (Раъ) будем обозначать множество функций (многомерных ядер) ф(х) = ПГ=1 ^¿(ж,-), х еРаь, где ^ G Vhbi], i = 1,..., п.

На классе Н^ {Раь) рассмотрим экстремальную задачу нахождения величины

£А(ф) = 8{ф1Н^\РаЬ)) = sup

/ен^ЧРаъ) Jp-b

ф{x)f{x) dx

с многомерным ядром ф = ф\ • ... • фп £ Пусть для

г = 1,..., п, £ ^ О

% X i

Vi{xi)= i/>i{ti)dti, (0.7)

ai

невозрастающие перестановки функций |Фг-| на [а: /3], Ni-l

P[aM(t, »^^»¡(Mi'r'l), 4k)=°i + ~ik (0.8)

fc=0 г

Е-перестановки Корнейчука [16, гл. 6] функций |Ф;| на

/i = v{AN,Pab) = min Ai^-^. (0.9)

l^i^n iVj-

Теорема 1.3. Если n ^ 3, ф = фх ■ ... ■ фп £ V^\Pab), то

£л(ф)=2П~1 Г =

J° i= 1

= / ф(х)/* (x) dx,

¿РаЬ

где Р[а^.](£,Ф;), Фг-, г = 1,... ,п — функции (0.8), (0.7), ¡л определяли

А

ется (0.9) и /* £ Н^\Раъ) — экстремальная функция, обладающая

свойством:

/*(х1,...уак)...,хп) = (-1) кГ{х1 к = 1,...,п.

При п = 1 доказательство теоремы в более общей формулировке содержится в [31, с. 30-35]. При п = 2 теорема по сути доказана А.И. Степанцом в работе [29].

В §3 также рассматривается одна экстремальная задача на специальном классе Липшица.

Пусть [0, /]та — гг-мерный куб, / > 0;

гг

НЫ({0,/Г) = / £ С([0,/Г) : I/W-/WI < Е Х'У G М

i=1

— частный случаи класса Липшица Нд^ ([0,1]п), определяемого константами А{ = 1, г — 1,..., п. Обозначим

#<^([0,/]") = {/ £ #(п)([0,/]п) : ДО) = 0}.

Для Л 6 М, Д ) 2 введем класс /]п) многомерных ядер

Ф{х) = ПГ=1 Фг{хг)> х ё [0,/]П, УДОВЛеТВОрЯЮЩИХ УСЛОВИЯМ.- фг(Хг) > 0 почти всюду на [0, йх{ = 1,ф4 е Уд-^,/], г = 1

На классе Н^п\[0,1]п) рассмотрим экстремальную задачу нахождения величины

ф(х)/(х) ¿X

8(ф) = 8(ф,Н{0п)([0,1]п))= 8ир

/ея<п)([о,Г)

'[0,1]'

с ядром ф = фх • ... • ф еу£°([0,/]*). Пусть для г = 1,..., п, £ ^ 0

Щх{)= [ Фг{и)<1и, Фг-(^кД) (0.10)

Л XI

— невозрастающие перестановки функций |Фг[ на [а,(3],

Д-1

(*,«.•) = Е [я. ^тг1]). (°Л1)

к= 1

— Е-перестановки Корнейчука функций на

Теорема 1.4. Если п > 3, ф = фг ■ ... ■ фп £ ([0,1]п), то

Г1/К ( п 1 / п \\

= / ф(х)Г(х)йх, ¿[0 Ап

где Ф,-), Ф», г = 1,..., п — функции (0.11), (0.10) и экстре-

мальная функция /* £ Н^п\[0,1]п).

При п — 1 теорема в более общей формулировке доказывается также, как ив [31, с. 266]. При п = 2 теорема по сути доказана А.И. Степанцом в работе [29].

Знание величины (0.2) и экстремальной функции в (0.2) играет большую роль при нахождении точных верхних граней уклонений линейных методов на классах ]¥ГНШ непрерывных периодических функций многих переменных.

Пусть п € М, Тп — [—7г, тт)п — п-мерный тор, С(Тп) — пространство непрерывных 27г-периодических по каждой переменной действительных на Тп функций /(ж) с нормой ||/||с = эир \f(x)\, х Е Тп;

н^ = {/ е С(ТП): |/М - /(у)I < - угI), х,у е

где о;г-(жг), г = 1,...,п — одномерные модули непрерывности [31, с. 17].

Вторая глава посвящена точному решению некоторых экстремальных задач на классах функций из С(Тп) (классы Липшица Я^ и др.).

В §1 находится точная верхняя грань норм функций из класса

Пусть для произвольного г £ М"

{Я^Н-----

5 6 С(Тп) : дх? ^дх1„ 6 ЯН,

У д(ж) йх^ = 0, г = 1,..., п|-

— класс функций с г-й смешанной производной из Н^ и нулевым средним значением по каждой переменной. Если для произвольного

хетп

п

Вг{х) = ЦВг,{х^,

г-1

где

^ оо

Ви(Х{) = ~ «' = 1, . . . ,71

^ Аг< = 1

— одномерные ядра Бернулли [31, с. 211], то известно [39, с. 31], что

т^я^ - вг * н^ =

= = (Вг * /)(*) = I вг(х - *)/(*) Л : / €

(0.12)

На классе WqH^ рассмотрим экстремальную задачу нахожде-

ния величины

AfP<n> И = sup \\д\\с.

gew-Hin)

При п = 1 точное значение величины М^ {ио) для выпуклого модуля непрерывности ю нашел Н.П. Корнейчук [15]. В §1, используя теоремы 1.1 и 1.2, находится точное значение величины МгП\и) с выпуклыми модулями непрерывности для произвольного п ^ 2.

Положим

^ оо

Bq(t) = ~Y^k-qcos(kt - -тг<£<тг, q£ N

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Горбачев, Дмитрий Викторович, 1998 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. М.: Наука, 1965.

2. ГОРБАЧЕВ Д.В. Экстремальная функция для одного функционала на классе Н^ (Раь) // Известия ТулГУ. Сер. Математика. 1995. Т. 1. Вып. 1. С. 51-66.

3. Горбачев Д.В. Приближение многомерных классов сверток линейными методами // Известия ТулГУ. Сер. Математика. 1996. Т. 2. Вып. 1. С. 56-70.

4. Горбачев Д.В. Построение экстремальной функции для одного функционала на классе Н1п) // Матем. заметки. 1997. Т. 61. Вып. 4. С. 519-529.

5. Горбачев Д.В. Об одной экстремальной задаче на классе дифференцируемых функций многих переменных // Матем. заметки. 1997. Т. 62. Вып. 2. С. 192-205.

6. ГОРБАЧЕВ Д.В. Приближение функций многих переменных суммами Фавара // Известия ТулГУ. Сер. Математика. 1997. Т. 3. Вып. 1. С. 8-13.

7. Gordon W.J. Spline-blending surface interpolation trough curve networks // J. Math. Mech. 1969. V. 18. P. 931-951.

8. Дзядык В.К. О наилучшем приближении на классах периодических функций, определяемых ядрами, являющимися интегралами от абсолютно монотонных функций // Изв. АН СССР. Сер. Матем. 1959. Т. 23. №6. С. 933-950.

9. Ефимов А.В. Приближение непрерывных периодических функций суммами Фурье // Изв. АН СССР. Сер. Матем. 1960. Т. 24. №2. С. 243-296.

10. Ефимов А.В. О линейных методах суммирования рядов Фурье // Изв. АН СССР. Сер. Матем. 1960. Т. 24. №5. С. 743-756.

11. Ефимов A.B. Линейные методы приближения некоторых классов непрерывных периодических функций // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1961. Т. 62. С. 3-47.

12. жижиашвили Л.в. О некоторых вопросах из теории простых и кратных тригонометрических и ортогональных рядов // Успехи матем. наук. 1973. Т. 28. №2. С. 65-119.

13. Колмогоров А.Н. Zur Grössenordnung des Restgliedes Fourier-schen Reihen differenzierbaren Functionen // Ann. Math. 1935. V. 36. R 521-526.

14. Корнейчук Н.П. Об оценке приближений класса На тригонометрическими полиномами // Исследование по современным проблемам конструктивной теории функций. М.: Физматгиз. 1961. С. 148-154.

15. Корнейчук Н.П. Об экстремальных свойствах периодических функций // Докл. АН УССР. 1962. №8. С. 993-998.

16. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближений. М.: Наука, 1976.

17. корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближения. М.: Наука, 1984.

18. lebesgue H. Sur les intégrales singulières // Ann. de Toulouse. 1909. V. 1. P. 25-117.

19. Nagy B. Sur une classe generale de procèdes de sommation pour les Series de Fourier // Hung. Acta. Math. 1948. V. 1. №3. P. 14-62.

20. никольский С.M. Приближение периодических функций тригонометрическими многочленами //Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1945. Т. 15. С. 1-76.

21. никольский С.М. Ряд Фурье функций с данным модулем непрерывности // Докл. АН СССР. 1946. Т. 52. №3. С. 191-193.

22. никольский С.М. О линейных методах суммирования рядов Фурье // Изв. ан СССР. Сер. Матем. 1948. т. 12. №3. С. 259-278.

23. никольский с.м. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977.

24. Пак И.Н. О суммах тригонометрических рядов // Успехи матем. наук. 1980. Т. 35. Вып. 2. С. 91-144.

25. пичугов С. А. О приближении периодических функций многих переменных в Ь2 // Исследования по современным проблемам суммирования и приближения функций и их приложениям. Днепропетровск: Изд-во ДГУ. 1976. С. 49-50.

26. Потапов М.К. О приближении «углом» // Proceedings of Conference on Constructive Theory of Function. Budapest. 1969.

27. Потапов М.К. Изучение некоторых классов функций при помощи приближения «углом» // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1972. Т. 117. С. 256-291.

28. Степанец А.И. Об одной экстремальной задаче в пространстве непрерывных функций двух переменных // Вопросы теории приближения функций и ее приложений. Киев: Изд-во Ин-т матем. АН УССР. 1976. С. 160-178.

29. Степанец А.И. Точная оценка отклонений сумм Фавара на классах Н1,1 // Исследования по теории приближения функций и их применения. Киев. 1978. С. 174-181.

30. Степанец А.И. Решение одной экстремальной задачи для классов непрерывных функций двух переменных в перестановках // Укр. мат. журн. 1979. Т. 31. №1. С. 95-101.

31. Степанец А.И. Равномерные приближения тригонометрическими полиномами. Киев: Наукова Думка, 1981.

32. Степанец А.И. Классификация и приближение периодических функций. Киев: Наукова Думка, 1987.

33. СтЕЧКИН С.Б. Несколько замечаний о тригонометрических полиномах //Успехи матем. наук. 1956. Т. 10. Вып. 1. С. 159-166.

34. СТЕЧКИН С.Б. О наилучшем приближении некоторых классов периодических функций тригонометрическими полиномами // Изв. АН СССР. Сер. Матем. 1956. Т. 20. №6. С. 643-648.

35. СТЕЧКИН С.Б. О приближении непрерывных периодических функций суммами Фавара // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1971. Т. 109. С. 26-39.

36. теляковский С.А. О нормах тригонометрических полиномов и приближении дифференцируемых функций линейными средними их рядов Фурье. I // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1961. Т. 62. С. 61-97.

37. теляковский С.А. О нормах тригонометрических полиномов и приближении дифференцируемых функций линейными средними их рядов Фурье. II // Изв. АН СССР. Сер. Матем. 1963. Т. 27. №2. С. 253-272.

38. Теляковский С.А., Темляков В.Н. О сходимости рядов Фурье функций многих переменных ограниченной вариации // Матем. заметки. 1997. Т. 61. Вып. 4. С. 583-595.

39. Темляков В.Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1986. Т. 178.

40. Тим ан А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М.: Физматгиз, 1960.

41. favard J. On best methods of approximation of certain classes of functions by trigonometric polynomials // Bull. Sei. Math. 1937. V. 61. №2. P. 209-224, 243-256.

42. Шабозов M. Оценки приближения дифференцируемых периодических функций двух переменных интерполяционными смешанными сплайнами // Вопросы теории аппроксимации функций. Киев. 1980. С. 166-172.