Равномерные фреймы в конечномерных и бесконечномерных пространствах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Лихобабенко, Мария Александровна

• Лихобабенко, Мария Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Лихобабенко, Мария Александровна

Введение

1 Фреймы в конечномерных пространствах

1.1 Определения и основное свойство фреймов.

1.2 Критерий фреймовости самосопряженного оператора.

1.3 Оператор Грама.

1.4 Фреймы и операция свертки

2 Конструкция фреймов Парсеваля — Стеклова в конечномерных пространствах

2.1 Конструкция равномерных фреймов Парсеваля — Стеклова

2.2 Конструкция фреймов Парсеваля — Стеклова с заданными нормами

2.3 е-почти фреймы Парсеваля — Стеклова.

3 Фреймы Грассмана и фреймы Габора

3.1 Фреймы Грассмана.

3.2 Фреймы Габора.

4 Фреймы Парсеваля — Стеклова в ё

4.1 Связь между базисом Рисса и фреймом.

4.2 Блочные фреймы.

4.3 Нормы фреймов и е-почти фреймов Парсеваля — Стеклова

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Равномерные фреймы в конечномерных и бесконечномерных пространствах»

Актуальность работы. Впервые понятие фрейма было введено в работе R.J. Duffin и A.C. Schaeffer [52]. Бурное развитие теории фреймов началось в конце 80-х годов прошлого века в связи с возникновением и развитием теории вейвлетов.

Интерес к фреймам связан с тем, что в отличие от классического базиса в определении фрейма отсутствует требование линейной независимости, что позволяет строить фреймы сколь угодно большого объема. Тем не менее, оказалось верным то, что любой элемент гильбертова пространства можно разложить по фрейму, причем не единственным образом. Такие представления имеют определенную ценность для многих прикладных вопросов, так как свойство избыточности фрейма позволяет восстановить исходный сигнал, даже если при передаче по сети некоторые из его коэффициентов разложения по фрейму были потеряны. В монографии С. Малла [24] подробно описано применение фреймов для уменьшения шума при обработке сигнала, а также для анализа изображений. Кроме того, фреймы находят широкое применение в цифровой обработке сигналов, сжатии информации, удалении помех, сжатом зондировании, дискретизации непрерывного сигнала и др. В каждой из перечисленных областей уделяется особое внимание фреймам специального вида, в том числе и равномерным фреймам, т.е фреймам с одинаковыми нормами. Использование таких фреймов упрощает многие вычислительные процедуры.

В книгах О. Christensen [50], И. Добеши [4], К. Чуй [37], К. Блаттера [1] описана общая теория фреймов в конечномерных и бесконечномерных пространствах. В диссертации основное внимание уделяется равномерным фреймам и более общей задаче построения фреймов с заданными нормами.

Теория фреймов далека от завершения. Большие группы исследователей разных стран активно работают в этой области [38]-[51]. На сайте Исследовательского фрейм-центра (США, www.frc.org) постоянно обновляется список нерешенных проблем теории фреймов.

Цель работы. Исследовать устойчивость фреймов по отношению к действию операции свертки в конечномерных пространствах; построить равномерные фреймы Парсеваля — Стеклова в конечномерных пространствах над полем вещественных чисел; найти алгоритмы для конструкции фреймов Парсеваля — Стеклова с заданными нормами в конечномерных пространствах; доказать возможность построения и построить фреймы Парсеваля — Стеклова с одинаковыми нормами в бесконечномерных пространствах, отличных от ортонормированных базисов; описать наборы положительных чисел, которые являются нормами фреймов в бесконечномерных пространствах.

Методика исследований. Использовались методы теории функций и функционального анализа, теории матриц, абстрактной теории операторов, анализа Фурье и геометрии гильбертовых пространств.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. Среди них можно выделить следующие наиболее важные.

1. Доказана устойчивость фреймов по отношению к действию операции свертки в конечномерных пространствах.

2. Построены равномерные фреймы Парсеваля — Стеклова в конечномерных евклидовых пространствах.

3. Описан алгоритм построения фреймов Парсеваля — Стеклова с заданными нормами в конечномерных пространствах.

4. Введено понятие блочного фрейма и описано построние равномерных фреймов Парсеваля — Стеклова в бесконечномерных пространствах.

5. Найдены условия на наборы положительных чисел, которые являются нормами фреймов Парсеваля — Стеклова и е-почти фреймов Парсеваля — Стеклова в бесконечномерных пространствах.

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в диссертационной работе результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения теории фреймов в конечномерных и бесконечномерных пространствах, для построения фреймов с заданными свойствами. Возможны примененения в цифровой обработке сигналов.

Апробация работы. Основные результаты по теме диссертационного исследования докладывались на семинарах Самарского государственного университета; на Всероссийской молодежной школе-конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Лобачевские чтения" в г. Казань, 2006, 2009 гг.; на международной Казанской летней научной школе-конференции в г. Казань, 2009, 2011 гг.; на Саратовской зимней математической школе, посвященной 125-летию со дня рождения В.В. Голубева и 100-летию СГУ в г. Саратов, 2010 г.; на зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" в г. Воронеж, 2009, 2011 гг.; на международной научной студенческой конференции в г. Новосибирск, 2011 г.

Публикации. Основные результаты исследований опубликованы в работав автора [10]—[22]. Статьи [11], [13] и [22] опубликованы в изданиях, соот-ветсвующих списку ВАК РФ.

Структура и объем дисертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав и списка литературы. Объем диссертации 96 страниц. Библиографический список содержит 57 наименований.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Лихобабенко, Мария Александровна, 2011 год

1. Блаттер К. Вейвлет-анализ. Основы теории / К. Блаттер. — М. : Техносфера, 2004. - 280 с.

2. Глазман И.М. Конечномерный линейный анализ / И.М. Глазман, Ю.И. Любич. — М. : Наука, 1969.

3. Голубов Б.И. Об аппроксимации свертками и базисах из сдвигов функций / Б.И. Голубов // Analysis Mathematica. — 2008. — № 34. — С. 9-28.

4. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам / И. Добеши. — М.-Ижевск : РХД, 2004. 464 с.

5. Драбкова Е.С. Объем фрейма Парсеваля / Е.С. Драбкова, С.Я. Новиков // Вестник Самарского государственного университета. Сер. Естественнонаучная. — 2007. — № 9/1(59). — С. 91-107.

6. Като Т. Теория возмущений линейных операторов / Т. Като ; под ред. В.П. Степина. — М. : Мир, 1972. 740 с.

7. Кашин Б.С. Замечание об описании фреймов общего вида / Б.С. Кашин,' Т.Ю. Куликова // Матем. заметки. — 2002. — Т. 72, вып. 6. С. 941-945.

8. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. — М. : Наука, 1976. — 544 с.

9. Колмогоров А.Н. К обоснованию метода наименьших квадратов / А.Н. Колмогоров // Успехи математических наук. — 1946. — Т. 1, вып. 1. С. 57-70.

10. Лапшина (Лихобабенко) М.А. Равномерные фреймы в пространстве М^ / М.А. Лапшина (Лихобабенко) // Вестник Самарского государственного университета. Сер. Естественнонаучная. — 2008. — № 6(65). — С. 112-122.

11. Лапшина (Лихобабенко) М.А. Фреймы в конечномерном пространстве / М.А. Лапшина (Лихобабенко) // XXXVIII научная конференция студентов : тез. докл. — Самара: Изд-во Самарский ун-т. — 2007. — С. 25.

12. Лапшина (Лихобабенко) М.А. Выравнивание норм в строках ортогональной матрицы и равномерные фреймы / М.А. Лапшина (Лихобабенко) // Вестник Самарского государственного университета. Сер. Естественнонаучная. 2009. - № 2(68). - С. 51-59.

13. Лапшина (Лихобабенко) М.А. Фреймы Габора в С^ и их границы / М.А. Лапшина (Лихобабенко) // СамДиф-2009. Дифференциальныеуравнения и ее приложения : тез. докл. — Самара : Изд-во "Универс групп". — 2009. — С. 35-36.

14. Лихобабенко М.А. Фреймы Парсеваля — Стеклова в £%(Щ и их нормы / М.А. Лихобабенко // Современные методы теории функций и смежные проблемы : материалы Воронежской зимней математической школы. — Воронеж : Изд-во Воронеж, гос. ун-т. — 2011. — С. 198-199.

15. Лихобабенко М.А. Блочные фреймы в пространстве £2 / М.А. Лихобабенко // Вестник Самарского государственного университета. Сер. Естественнонаучная. — 2011. № 2(83). - С. 38-45.

16. Линник Ю.В. Метод наименьших квадратов / Ю.В. Линник. М. : Физ-матгиз, 1962. — С. 352.

17. Малла С. Вейвлеты в обработке сигналов / С. Малла. — М. : Мир, 2005. — 671 с.

18. Малоземов В.Н. Равноугольные жесткие фреймы / В.Н. Малозе-мов, A.B. Певный // Проблемы математического анализа. — 2009. — Вып. 39. С. 3-25.

19. Избранные главы дискретного гармонического анализа и геометрического моделирования / под. ред В.Н. Малоземова. — Санкт-Петербург, 2009. 584 с.

20. Наймарк М.А. Спектральные функции симметрического оператора / М.А. Наймарк // Изв. АН СССР. Сер. Математика. — 1940. — Т. 4, № 3. С. 277-318.

21. Новиков С.Я. Бесселевы последовательности как проекции ортогональных систем / С.Я. Новиков // Математические заметки. — 2007. — Т. 81, вып. 6. С. 893-903.

22. Прэтт У. Цифровая обработка изображений / У. Прэтт ; пер. с англ. Д.С. Лебедев. М. Мир, 1982.

23. Садовничий В.А. Теория операторов : учеб. для вузов с углубленным изучением математики / В.А. Садовничий. — М : Дрофа, 2004. — 384 с.

24. Седлецкий A.M. Аппроксимация свертками и первообразными / A.M. Седлецкий // Математические заметки. — 2006. — Т. 79, вып. 5. — С. 756-766.

25. Смоленцев Н.К. Основы теории вейвлетов. Вейвлеты в MATLAB / Н.К. Смоленцев. М. : ДМК Пресс, 2005. - 304 с.

26. Терехин П.А. Системы представления и проекции базисов / П.А. Тере-хин // Математические заметки. — 2004. — Т. 75, вып. 6. — С. 944-947.

27. Терехин П.А. Проекционные характеристики бесселевых систем / П.А. Терехин // Изв. Сарат. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. — 2009. ~№- 9:1. — С. 44-51.

28. Фейзер М. Введение в вэйвлеты в свете линейной алгебры / М. Фейзер. — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. — 487 с.

29. Хорн Р. Матричный анализ / Р. Хорн, Ч. Джонсон. — М. : Мир, 1989. — С. 655.

30. Чуй К. Введение в вейвлеты / К. Чуй. — М. : Мир, 2001.

31. Excess of Parseval Frames / R. Balan et al.] // SPIE Wavelets Applications in Signal and Image Processing XI. — 2005. — Vol. 5914.

32. Benedetto J.J. Geometric properties of Grassmannian frames for M2 and M3 / J.J. Benedetto, J. Kolesar // EURASIP J. Applied Signal Processing 2006.

33. Benedetto J.J. Finite normalized tight frames / J.J. Benedetto, M.C. Fickus // Advances in Computational Mathematics, Frames. — 2003. — Vol. 18. P. 357-385.

34. Bodmann B.G. When are frames close to equal-norm Parseval frames? / B.G. Bodmann, P.G. Casazza // Wavelets XIII, Proceedings of the SPIE. — 2009. Vol. 7446.

35. Bodmann B.G. The road to equal-norm Parseval frames / B.G. Bodmann, P.G. Casazza // Journal of Functional Analysis. — 2010. — Vol. 258. — P. 397-420.

36. Casazza P.G. Frames with a given frame operator / P.G. Casazza, M. Leon. — www.math.missouri.edu/~pete/

37. Casazza P.G. The art of frame theory / P.G. Casazza // Taiwanese Journal on Mathematics. 2000. -Vol. 4, № 2. - P. 129-202.

38. Casazza P.G. Existence and construction of finite tight frames /P.G. Casazza, M. Leon // J. Concr. Appl. Math. 2006. - Vol. 4. - P. 277-289.

39. Casazza P.G. Classes of Finite Equal Norm Parseval Frames / P.G. Casazza, N. Leonhard // Contemp. Math. — 2008. — Vol. 451. — P. 11-31.

40. Casazza P.G. Custom Building Finite Frames / P.G. Casazza // Contemporary Math. — 2004. — Vol. 345. — P. 61-86.

41. Casazza P.G. The known equal norm Parseval frames as of 2005 / P.G. Casazza, N. Leonhard // Technical Report, University of Missouri. — 2005.

42. Constructing infinite tight frames / P.G. Casazza et al.]. — www.math.missouri.edu/~pete/

43. Christensen O. An Introduction to Frames and Riesz Bases /' O. Christensen. — Boston : Birkhäuser, 2002.

44. Designing structured tight frames via an alternating projection method / J.A. Tropp et al.] // IEEE transactions on information theory. — 2005. — Vol. 51, № 1. P. 188-209.

45. Duffin R.J. A class of nonharmonic Fourier serues / R.J. DufRn, A.C. Schaeffer // Trans. Amer. Math. Soc. 1952. - Vol. 72. - P. 341366.

46. Holmes R.B. Optimal frames for erasures / R.B. Holmes, V.l. Paulsen // Linear Algebra and its Applications. — 2004. — Vol. 377. — P. 31-51.

47. Kornelson K.A. Rank-one decomposition of operators and construction of frames. Wavelets, frames and operator theory / K.A. Kornelson, D.R. Larson // Contemp. Math., Amer. Math. Soc. — Providence, RI. — 2004. Vol. 345. - P. 203-214.

48. Kovacevic J. An Introduction to frames / J. Kovacevic, A. Chebira // Foundations and trends in signal processing. — 2008. — Vol. 2, № 1. — P. 1-94.

49. Lawrence J. Linear independence of Gabor systems in finite dimensional vector spaces / J. Lawrence, G. Pfander, D. Walnut //J. Four. Anal. Appl. — 2005. № 11. - P. 715-726.

50. Strohmer T. Grassmannian frames with applications to coding and communication / T. Strohmer, Jr. Heaep // Appl. Comput. Harmon. Anal. — 2003. № 14. - P. 257-275.