Разложения простых неассоциативных алгебр и супералгебр тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Твалавадзе, Марина Вахтанговна

• Твалавадзе, Марина Вахтанговна
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Твалавадзе, Марина Вахтанговна

Введение

Настоящая работа посвящена изучению всех типов простых нетривиальных разложений в специальных йордановых алгебрах и супералгебрах над алгебраически замкнутым полем F, которое имеет произвольную характеристику отличную от двух, в случае йордановых алгебр, и нулевую характеристику, в случае йордановых супералгебр. Под термином простое (полупростое) разложение произвольной алгебры J мы подразумеваем представление J в виде суммы двух простых (полупростых) собственных подалгебр. Причем сумма в этом разложении не обязана быть прямой.ктура простых и полупростых разложений изучалась также и для других типов алгебр. Например, для конечномерных простых ассоциативных алгебр над произвольным алгебраически замкнутым полем Ю.А. Бахтурин и О. Кегель в статье [9] доказали невозможность разложения в сумму собственных простых подалгебр. В лиевском случае A.JI. Онищик в работе [3], используя топологические методы, классифицировал все возможные полупростые разложения полупростой комплексной или вещественной алгебры Ли.

В первой главе настоящей работы приводится необходимая классификация простых йордановых алгебр и йордановых супералгебр. Как известно, согласно теореме Зельманова [27], всего существует пять типов попарно неизоморфных простых специальных йордановых алгебр, обозначаемых следующим образом: B(f) = F + V — алгебра невырожденной билинейной формы /, dim V > 1; #(.Fn), п > 3, — алгебра симметрических матриц порядка щ H(R,n), п > 3 — алгебра, изоморфная полной матричной алгебре F^ относительно йорданова умножения; H(Qn)> п > 3, — алгебра симплектических матриц порядка 2п. Кроме того, существует одна 27-мерная исключительная простая йорданова алгебра называемая в некоторых источниках алгеброй Алберта.

Йордановы супералгебры впервые изучались Кацем [12] и Капланским [16, 17]. В [12] наравне с классификацией простых конечномерных супералгебр Ли, Кац классифицировал простые конечномерные йордановы супералгебры над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль, используя ТКК-конструкцию (Tits-Kantor-Koecher construction). В [23] Расином и Зельмановым эта классификация была расширена до случая простых конечномерных йордановых супералгебр с полупростой четной частью над полем характеристики р > 2.

Вторая

глава посвящена доказательству теоремы, описывающей все типы простых разложений в простой специальной конечномерной йордановой алгебре J. Этот результат был получен совместно с Т.В.Твалавадзе. Автору принадлежат доказательства общих фактов справедливых для йордановых алгебр типа Н{Т>п), где Т> — произвольная композиционная алгебра над алгебраически замкнутым полем характеристики отличной от двух и доказательство того, что йорданова алгебра типа H(Fn) не имеет разложений в сумму двух собственных простых подалгебр (см. параграфы 2.4 и 2.5). Остальные случаи, а именно, разложения алгебр типов Н(Ип) и H(Qn) доказаны в диссертации Т.В.Твалавадзе.

Для того, чтобы описать все возможные простые разложения алгебры B(f) — F ф У - невырожденной симметрической билинейной формы /, мы зафиксируем некоторый базис {ei,.,e„}, ортонормированный относительно формы /. Обозначим через J¡¡ = F ф где = span (ei,. ,e¿), fc = 2,., n — 1. Все эти подалгебры являются простыми, так как ограничение f\yk — невырожденное. Кроме того, J% С J3 С . С Jn-1, dimJi = fc + 1. Если В(/) = В + С, где В, С — простые йордаНовы подалгебры, dim В > dim С, то найдутся автоморфизмы (риф алгебры J7" такие, что В = <p(Jk)-> С = if)(Jp), к + р > п, в случае непрямой суммы, иб = ^(^-i), С = ift(F), в случае прямой суммы. Верно и обратное утверждение, а именно, указанные выше разложения существуют в алгебре

B(f).

Наконец, третья

глава посвящена разложениям специальных йордановых супералгебр в сумму простых собственных ^ нетривиальных (с ненулевой нечетной частью) подсупералгебр.

Шаг за шагом, мы переходим от супералгебр типов M„)ra(F), osp(n, m), -P(n), Q(n), J(V,/) к трехмерной супералгебре Капланского и четырехмерной однопараметрической супералгебре Dt. В отличие от йордановых алгебр, во всех типах, кроме M„)m(F) и J(F, /), простых разложений не существует. Во многих случаях, для доказательства, мы применяем наши результаты о классификации разложений простых йордановых алгебр к случаю супералгебр. Кроме того, конструкция универсальной ассоциативной обертывающей алгебры для йордановой супералгебры (см.[18]) помогает в некоторых случаях свести исходное разложение к разложению ассоциативной алгебры в сумму полупростых ассоциативных подалгебр. Такие разложения можно исследовать применяя результаты из [9].

Супералгебра типа МП)ГО(.Р), в случае четного га, допускает одно-единственное разложение, которое является разложением в сумму подсупералгебр А и В типов М„ и озр(п, у), соответственно. Для построения этого примера рассмотрим подсупералгебру А в виде: г А \ в где матрицы А и С порядков (п — 1) х п и га х п, соответственно, имеют два одинаковых последних столбца, В, И — произвольные матрицы порядков (гг — 1) хгаишхт. Вторую подсупералгебру В рассмотрим в каноническом виде: где I — тождественная матрица порядка т 2 ' где А — симметрическая матрица порядка п, В — симплектическая матрица порядка га, С — произвольная матрица порядка п х га,

Все разложения супералгебры 7(У,/) легко получаются из разложений четной части которая является йордановой алгеброй типа В(/).