Разностные методы решения краевых задач для некоторых классов нелокальных диффузионно-волновых уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Хибиев Асланбек Хизирович

• Хибиев Асланбек Хизирович
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Хибиев Асланбек Хизирович

Введение

Глава 1. Разностные схемы для уравнений дробного порядка с обобщенными

функциями памяти

1.1 Первая краевая задача для уравнения диффузии дробного порядка с обобщенной функцией памяти

1.1.1 Постановка задачи

1.1.2 Формула численного дифференцирования второго порядка для обобщенной дробной производной Капуто

1.1.3 Разностная схема

1.1.4 Разностная схема повышенного порядка

1.1.5 Разностная схема на неравномерной сетке

1.2 Первая краевая задача для уравнения Аллера дробного порядка с обобщенными функциями памяти

1.2.1 Постановка задачи

1.2.2 Устойчивость и сходимость разностных схем второго

порядка аппроксимации

1.2.3 Разностная схема повышенного порядка

1.3 Первая краевая задача для уравнения диффузии дискретно-распределенного порядка с обобщенными функциями памяти

1.3.1 Постановка задачи

1.3.2 Априорная оценка для дифференциальной задачи

1.3.3 Разностный аналог производной Капуто дискретно-распределенного порядка с обобщенными функциями памяти

1.3.4 Разностная схема

1.3.5 Разностная схема повышенного порядка

Глава 2. Численное исследование задач для диффузионно-волнового уравнения

дробного порядка по времени с обобщенными функциями памяти

2.1 Задача Коши для интегро-дифференциального уравнения с обобщенной

функцией памяти

2.1.1 Постановка задачи

2.1.2 Априорная оценка для решения дифференциальной задачи

2.1.3 Разностный аналог второго порядка аппроксимации

2.1.4 Разностная схема

2.2 Первая краевая задача для обобщенного диффузионно-волнового уравнения

2.2.1 Постановка задачи

2.2.2 Априорная оценка

2.2.3 Разностная схема

Стр.

2.2.4 Устойчивость и сходимость разностной схемы

2.2.5 Разностная схема для обобщенного нелинейного диффузионно-волнового уравнения с запаздыванием

Глава 3. Локально-одномерные разностные схемы для начально-краевых задач для параболических уравнений с интегральным источником по

дополнительному параметру в многомерной области

3.1 Локально-одномерная разностная схема для параболического уравнения с интегральным источником по дополнительному параметру и краевыми условиями первого рода

3.1.1 Постановка задачи

3.1.2 Локально-одномерная схема

3.1.3 Погрешность аппроксимации ЛОС

3.1.4 Устойчивость ЛОС

3.1.5 Сходимость локально-одномерной схемы

3.2 Локально-одномерная разностная схема для системы параболических уравнений с нелинейными интегральными источниками по дополнительному параметру

и краевыми условиями первого рода

3.2.1 Постановка задачи

3.2.2 Локально-одномерная схема

3.2.3 Погрешность аппроксимации ЛОС

3.2.4 Устойчивость ЛОС

3.2.5 Сходимость локально-одномерной схемы

3.3 Краевая задача с условиями третьего рода

3.3.1 Постановка задачи

3.3.2 Локально-одномерная схема

3.3.3 Погрешность аппроксимации ЛОС

3.3.4 Устойчивость ЛОС

3.3.5 Сходимость локально-одномерной схемы

Заключение

Список литературы

Приложение А. Численные результаты для Главы

Приложение Б. Численные результаты для Главы

Приложение В. Численные результаты для Главы

Приложение Г. Свидетельства о регистрации программ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разностные методы решения краевых задач для некоторых классов нелокальных диффузионно-волновых уравнений»

Введение

Большинство физических процессов описываются с помощью дифференциальных уравнений, содержащих производные невысоких порядков по времени. Эволюционные уравнения первого порядка описывают такие системы, эволюция которых / (¿) полностью определяется их динамическим состоянием в начальный момент ¿0 и не зависит от предыстории / (¿'), ¿' < ¿. Такие системы называются системами без памяти. В противном случае, если будущее системы зависит от ее предыстории / (¿'), ¿' < ¿0, находящейся в фиксированном состоянии / (¿0) в момент времени ¿0, тогда принято называть это системой с памятью (свойство эредитарности) [135]. В физическом аспекте термин эредитарность эквивалентен понятиям память, последействие, запаздывание, наследственность. Здесь речь идет о причинно-следственной связи между двумя процессами: процессом-причиной / (¿) и процессом-следствием $(£). Во многих случаях допустимо считать, что временная связь между этими процессами мгновенна и состояние д(Ь) определяется состоянием / (¿) в тот же момент времени

д(1) = ^ (/(1),1). (1)

В действительности же такое мгновенное (не запаздывающее, не эредитарное) влияние одного процесса на другой является лишь приближенной моделью. Фактически, любое осуществление такого влияния требует определенного времени, и дело лишь в том, стоит ли в рамках решаемой задачи учитывать это запаздывание или нет.

Ключевую роль в эредитарной теории играет функция влияния (функция памяти). Определенно, экспонента является самой популярной функцией в теоретической физике, с ее помощью описываются многочисленные неравновесные процессы. Однако, существуют процессы, которые происходят не по экспоненциальному, а по степенному закону ¿-т , где у ~ 1 [44]. Много примеров появления степенных законов в других сферах человеческой деятельности приведено в книге [49].

Теория дробного исчисления признана важным инструментом для описания явлений, для которых классическое исчисление целых порядков не применимо. Она имеет дело с исследованием и применением производных и интегралов произвольного (вещественного или комплексного) порядка и за последние десятилетия все больший интерес привлекли ее приложения. Список исследователей и сама теория представлены во многих монографиях [26; 35; 36; 42; 44; 78; 84; 93; 109; 117; 122; 135] и статьях [56; 73; 102; 110; 125; 140; 147].

Математический аппарат дробного исчисления находит своё применение при описании многих процессов: в диффузионных процессах в различных средах [23; 28; 29; 105], теплопроводности, динамике турбулентной среды [27], нелинейной биологии [34] и акустике [22; 126; 141], оптической обработке информации [57], общей химии, обработке изображений, гидродинамике, астрофизике, геологии [46], фрактальной космографии [113], физиологии [142] и биомеханике [80].

Для более точного описания физических и химических процессов, для которых необходимо учитывать предысторию процесса, используют дифференциальные уравнения с производны-

ми дробного порядка [88; 93; 117; 122]. Характеристиками, учитывающими память в таких уравнениях, являются функции памяти, которые представляют собой ядра интегралов, определяющих операторы дробного интегро-дифференцирования. Для операторов дробного интегро-дифференцирования таковой является степенная функция. Показатель степенной функции памяти определяет порядок производной и связан с фрактальной размерностью среды, в которой протекает исследуемый процесс.

Моделирование диффузии в пористой среде (во фрактальных средах) определенного типа является одним из наиболее важных применений производных дробного порядка. Пористыми являются многие природные тела: грунты, горные породы, древесина, кожа, кость, мягкие ткани животных, а также искусственные материалы: строительные (бетон, кирпич), пищевые (хлеб), искусственная кожа, керамика, металлические детали, полученные методом порошковой металлургии, и т.д. Из этого перечисления очевидно, что в жизни людей пористые среды играют огромную роль [25].

Примером уравнения дробной диффузии является следующее выражение [112]:

^ р (*)=10-' ^

г^в—1 дг V дг

где и зависят от фрактальной размерности среды. Другим примером является уравнение диффузии дробного порядка в виде, выведенном Р. Р. Нигматуллиным [114; 115]. В простейшем случае уравнение одномерной пространственной диффузии принимает вид

д0>(х,;) = д2|М. (2)

Так как порядок а производной по времени может быть произвольным вещественным числом, включая а =1 и а = 2, то его называют диффузионно-волновым уравнением дробного порядка [103; 106]. При а =1 последнее уравнение является классическим уравнением диффузии, а для а =2 оно становится классическим волновым уравнением. При 0 < а < 1 имеем так называемую ультрамедленную диффузию, а значения 1 < а < 2 соответствуют «промежуточным» процессам [85]. Диффузионно-волновое уравнение (2) было активно исследовано в работах [30; 103; 104; 106—108; 129].

В работах [130], [116], был предложен подход к обобщению классических диффузионных и волновых уравнений, которые приводят к интегро-дифференциальным уравнениям в частных производных, содержащих дробные интегралы по времени. Простейшей формой такого уравнения является

и(х,Ь) = и(х,0) + Л2 Б-. (3)

Существует множество определений дробных производных и интегралов. Дробная производная Римана-Лиувилля является наиболее широко известным определением. Популярностью также пользуется дробная производная Капуто. Эти определения различаются тем, как они описывают поведение функции. В производной Капуто дробная производная определяется путем учета дифференцирования дробного порядка функции при сохранении начальных условий. Это делает ее особенно подходящей для моделирования реальных процессов, где начальные условия имеют решающее значение для определения поведения системы [64; 65].

Уравнение (3) позволяет использовать классические начальные условия с точки зрения производных целочисленного порядка. Этого нельзя сделать в случае уравнения (2) с дробной производной Римана-Лиувилля, несмотря на то, что оно эквивалентно интегро-дифференциальному уравнению (3), в котором дробная производная интерпретируется в смысле Капуто.

Вопросы моделирования фильтрации и течения жидкости в трещиновато-пористых средах [12; 50], двухфазного течения в пористых средах с динамическим капиллярным давлением [72], переноса влаги [47], движения подземных вод со свободной поверхностью в многослойных средах [24; 70], теплопроводности в двухтемпературных системах [69] и течения некоторых неньютоновских жидкостей [134] связаны с необходимостью исследования краевых задач для дифференциального уравнения в частных производных третьего порядка псевдопараболического типа (уравнение Аллера). В работе [13] предложены и исследованы математические модели водного режима в почвогрунтах с фрактальной структурой. В основе этих моделей лежат дифференциальные уравнения Аллера с дробной по времени производной. Для задачи Коши выписывается единственное представление решения. Уравнение Аллера имеет вид:

дШ д

дЬ дх

дШ д2Ш

) дШ + а

(4)

дх дЬдх

Серия работ [14—17] посвящена разностным методам решения нелокальных краевых задач для обобщенных уравнений Аллера.

Для более точного описания процессов в неоднородных пористых средах, используются дифференциальные уравнения с дробными производными распределенного порядка [90; 99]. Для описания более сложных процессов могут привлекаться функции памяти более сложной структуры, чем степенная функция. Уравнение диффузии и уравнение Фоккера-Планка-Смолуховского с обобщенной функцией памяти были изучены в [74]. В этой работе показано, что представление функции памяти в обобщенном уравнении диффузии имеет различные формы, которые могут описать широкий спектр экспериментальных явлений.

В ряде работ [2; 4; 58; 60; 61; 81], методом энергетических неравенств, были получены априорные оценки для решения первой и третьей краевых задач для уравнения диффузии дробного, переменного и распределенного порядков как для дифференциальных, так и для разностных задач. С помощью принципа максимума, в работе [43] получены априорные оценки для разностных задач аппроксимирующих уравнение диффузии дробного по времени порядка.

Для построения разностных схем с высоким порядком точности по времени, необходимо требовать наличия достаточно гладкого решения исходной задачи. Это приводит к значительному сужению класса входных данных задачи, для которой применим предложенный метод. Как известно [101; 127], в случае гладких входных данных для уравнения диффузии дробного порядка по времени, решения могут быть не гладкими в замкнутой области, так как производные функции и(х,Ь) по переменной Ь могут иметь особенность при Ь = 0. В этом случае, если это возможно, решение представляется в виде суммы двух функции: одна из которых известная, но не гладкая, а другая гладкая, но не известная, как это показано в работе [59].

Одним из наиболее распространенных методов численного решения уравнения дробного порядка является конечно-разностный метод. Дробную производную порядка меньше единицы зачастую аппроксимируют с помощью так называемой L1 формулы [67; 95; 97; 118; 133].

Эта формула, если функция дважды непрерывно дифференцируема, имеет порядок аппроксимации (2 — а), где а € (0,1) — порядок дробной производной. С целью улучшения точности аппроксимации для приближения дробной производной Капуто в работе [60] построен новый разностный аналог, названный L2-10• формулой. Доказана устойчивость и сходимость разностных схем, построенных на базе L2-1ff формулы, для уравнения диффузии дробного порядка с переменными коэффициентами. В статье [81] L2-10. формула была построена для дробной производной дискретно-распределенного порядка.

В работе [62] построен разностной аналог L1 формулы, используемой для построения разностной схемы для решения дифференциальных уравнений с обобщенными операторами дробного дифференцирования с произвольной функцией памяти. На базе этой формулы построены разностные схемы с порядком аппроксимации (2 — а), где а € (0,1), и доказаны их устойчивость и сходимость.

В статье [131] рассмотрена первая краевая задача для уравнения реакции-диффузии с производной Капуто порядка а € (0,1). Представлен новый анализ стандартного метода конечных разностей с учетом наличия слабой особенности. Анализ схемы Ь1 для уравнения субдиффузии с негладкими данными был рассмотрен в [91]. Оценка погрешности аппроксимации для уравнения диффузии распределенного порядка по времени с негладкими данными исследовалась в [77].

За последние несколько лет все большее внимание исследователей было направлено на разработку численных алгоритмов для решения волновых уравнений дробного порядка по времени. В работе [133] был разработан разностный аналог с порядком аппроксимации 3 — а для дробной производной порядка а, 1 < а < 2. В этой работе была предложена полностью дискретная разностная схема для решения диффузионно-волнового уравнения дробного порядка путем введения двух новых переменных, что позволило преобразовать исходное уравнение в систему уравнений более низкого порядка.

В исследовании, представленном в работе [71] для численного решения диффузионно-волнового уравнения дробного порядка вводится неявный разностный метод повышенного порядка аппроксимации, использующий формулу Грюнвальда-Летникова второго порядка. Предложенный в этой работе метод обладает условной устойчивостью и имеет второй порядок сходимости по времени. Применив дискретизацию дробной производной Капуто порядка а, где 1 < а < 2, на основе численной формулы L1, в работе [55] была представлена разностная схема для решения двухэтапной модели диффузионно-волнового уравнения дробного порядка, которая описывает процессы наноразмерной теплопроводности. В статье [76] рассмотрено дискретное обратное преобразование Лапласа для дробного уравнения распределенного порядка, где для дискретизации задачи в пространстве используется разрывный метод Галеркина. Новые результаты применены к волновым уравнениям дробного порядка по времени и диффузионно-волновым уравнениям распределенного порядка.

В работе [96] применены формулы аппроксимации L1 и Н2№ для разработки аналога дробной производной Капуто. Основываясь на этом разностном аналоге, построена быстрая схема Галеркина для численной аппроксимации уравнения диффузионно-волнового уравнения дробного порядка, а также представлен теоретический анализ метода в нормах Н1. В работе [53] был предложен метод пространственно-временной спектральной коллокации для численного решения

уравнения субдиффузии и диффузионно-волнового уравнения дробного порядка. Новый аналитический подход для исследования метода конечных разностей, основанного на схеме L1, для решения смешанного уравнения субдиффузии и диффузионно-волнового уравнения дробного порядка был представлен в работе [132]. Результаты расчетов, для представленного метода, имеют порядок точности меньше двух.

Численная схема второго порядка для решения многомерного диффузионно-волнового уравнения дискретно-распределенного порядка предложена в [75]. Метод использует формулу L2-1ff для решения рассматриваемой задачи. Устойчивость и сходимость схемы проанализированы с помощью метода энергетических неравенств. Скорость сходимости как по времени, так и по пространству равна двум. В исследовании [143] было рассмотрено двумерное диффузионно-волновое уравнение с производной по времени порядка а (1 < а < 2). В этой статье была построена разностная схема с порядком аппроксимации 0(т3-а + к4) и доказана ее устойчивость и сходимость.

Численное решение задач Коши для интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра были исследованы П. Н. Вабищевичем. В работе [136] рассмотрена задача Коши для интегро-дифференциального уравнения

г

¿и С

В~т + к(г — 8)Аи(8^8 + Си = р(г), г > 0, ¿г ] 0

с постоянными самосопряженными операторами А,В,С и ядром к (г — 8), аппроксимируемым суммой экспонент. Другой класс интегро-дифференциальных уравнений рассмотрен в [138], когда учитываются эффекты памяти производной решения по времени. В таком случае имеем

г

¿и Г ¿и

В— + к(г — 8)С —— (8)¿8 + Аи = ср(г), г > 0. ¿г ] ¿8

0

В работе [139] подобные эффекты памяти производной решения по времени описываются вторым слагаемым в левой части уравнения

г г

¿и ¿

~т + -т в (г — 8)и(8^8 + Аи + в(г — 8)Au(8)¿8 = f (г), г > 0. ¿г ¿г ] ]

00

Нелокальная задача по времени, сводящаяся к системе локальных эволюционных уравнений первого порядка при условии, что функции релаксации теплового потока и теплоемкости представлены в виде суммы экспонент, была рассмотрена в работе [137]. Получена оценка устойчивости решения задачи Коши для системы уравнений по начальным данным и правой части в соответствующих гильбертовых пространствах.

Задача Коши для интегро-дифференциального эволюционного уравнения Вольтерра первого порядка в вещественном конечномерном банаховом пространстве рассмотрена в работе [21]. Аппроксимация разностного ядра суммой экспоненциальных функций обеспечивает преобразование нелокального уравнения с памятью в локальную систему уравнений. В работе [139] построены безусловно устойчивые схемы первого и второго порядка точности на неоднородной

временной сетке для приближенного решения задачи Коши для эволюционного уравнения второго порядка. Использовано специальное преобразование исходного дифференциально-операторного уравнения второго порядка в систему уравнений первого порядка.

В различных явлениях реального мира, таких как экономика, системы автоматического управления с обратной связью, медицина и динамика численности населения обычно встречается запаздывание по времени [121]. Теория дифференциальных уравнений с запаздыванием находит свое применение в проблемах, связанных с подземной экологией [86], с течением жидкости в пористых материалах [79], с аномальным переносом в биологии [89], и способствует разработке математических моделей с практическими приложениями [52]. В работе [87] представлен теоретический анализ L2-1 а разностного метода для нелинейных уравнений диффузии дробного порядка по времени с множественным запаздыванием. Как аналитические, так и численные результаты демонстрируют более высокие показатели сходимости по сравнению с аналогичными методами, описанными в литературе. Численная схема для класса уравнений дробной диффузии с фиксированным запаздыванием по времени описывается в статье [120]. Исследование сосредоточено на единственности, сходимости и устойчивости полученного численного решения с помощью дискретного энергетического метода. Построена линеаризованная разностная схема с порядком сходимости 0(т2—а + Л4) в L2-норме.

В статье [145] была разработана конечно-разностная схема повышенного порядка аппроксимации по времени (3 — а для 1 < а < 2) для диффузионно-волнового уравнения дробного порядка с запаздыванием, а также исследована двумерная модель с помощью неявного метода переменного направления.

В работе [123] был предложен эффективный численный метод для решения нелинейного уравнения диффузии дробного порядка с запаздыванием. Этот метод сочетает линеаризованный метод Кранка-Николсон по времени и разностный аналог второго порядка аппроксимации дробной производной по пространственной переменной. Разностная схема повышенного порядка 3 — а для аппроксимации диффузионно-волнового уравнения дробного порядка с запаздыванием и с переменными коэффициентами, где 1 < а < 2, была рассмотрена в [144].

Для решения многомерных задач применяют схемы называемые экономичными. Основной идеей построения экономичных разностных схем является сведение многомерной задачи к цепочке одномерных задач. Одной из первых экономичных схем является построенная в 1955 году Писменом и Рэкфордом схема переменных направлений (продольно-поперечная схема). Схема Писмена-Рэкфорда осуществляет переход со слоя ^ на слой ^ + 1 в два шага, используя промежуточный (дробный) слой. Счет по схеме переменных направлений требует числа арифметических операций пропорционального числу узлов сетки и на каждый узел сетки приходится число операций, не зависящее от числа узлов. Так как можно доказать безусловную устойчивость схемы переменных направлений, то она является экономичной разностной схемой. Схему переменных направлений нельзя обобщить на трехмерный случай, поэтому используют метод суммарной аппроксимации (ЛОС - локально-одномерные схемы) для построения многомерных схем [119].

Метод суммарной аппроксимации является общим методом получения экономичных схем, пригодных для уравнений с переменными и даже разрывными коэффициентами, для квазилинейных нестационарных уравнений в случае произвольной области любого числа измерений. Отказ

от понятия аппроксимации и замена его более слабым условием суммарной аппроксимации расширяет класс задач и приводит к аддитивным схемам.

Основную роль при построении ЛОС играет возможность построения цепочки одномерных задач, то есть представления оператора С исходной задачи в виде суммы одномерных операторов: С = С' + С2 + ... + Ср. Аддитивные схемы имеют две основные черты: 1) переход от слоя Б на слой Б +1 осуществляется при помощи обычных (двухслойных, трехслойных и т.д.) схем; 2) погрешность аппроксимации аддитивной схемы определяется как сумма невязок для всех промежуточных схем (аддитивная схема обладает суммарной аппроксимацией). Каждая из промежуточных схем цепочки уравнений может не аппроксимировать исходную задачу, аппроксимация достигается за счет суммирования всех невязок [38].

Наиболее простой алгоритм решения уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами для параллелепипеда С = {0 < ха < /а, а = 1,2,...,р} и краевого условия первого рода был предложен Н. Н. Яненко [51]. В работе [37] А. А. Самарского был представлен экономичный разностный метод решения многомерного параболического уравнения в произвольной области. Сходимость локально одномерной схемы решения первой краевой задачи в произвольной области и второй и третьей краевых задач в ступенчатых областях для уравнения теплопроводности, не содержащего смешанных производных, на последовательности неравномерных сеток была исследована в работе [40]. В другой работе [41] построены, экономичные аддитивные векторные схемы для параболических уравнений с краевым условием третьего рода в произвольной области.

Локально-одномерные разностные схемы для многомерных квазилинейных гиперболических уравнений с неограниченной нелинейностью строятся и исследуются в [1]. В статье [66] описан вычислительный алгоритм, основанный на методе суммарной аппроксимации. Обсуждение сосредоточено на примере модельной задачи лазерного пробоя атомарного азота под высоким давлением вблизи металлической поверхности. В работе [48] строятся экономичные специальные разностные схемы, сходящиеся в равномерной сеточной метрике равномерно относительно параметра. При построении схем используется метод расщепления. Разностные аппроксимации уравнений строятся на достаточно простых кусочно-равномерных сетках, сгущающихся специальным образом в окрестности пограничного слоя. А в статье [31] изучаются некоторые модификации локально-одномерных схем решения смешанной и третьей краевых параболических задач в непрямоугольных областях.

Локально-одномерная разностная схема для уравнения диффузии дробного порядка была рассмотрена в публикациях [11; 32]. Исследование [33] посвящено построению локально-одномерной схемы повышенного порядка аппроксимации для многомерного уравнения диффузии дробного порядка, когда на границе области помещена сосредоточенная теплоёмкость некоторой величины. С помощью принципа максимума для ЛОС получены априорные оценки в равномерной метрике, выражающие устойчивость ЛОС по входным данным. Из априорной оценки для погрешности следует равномерная сходимость решения ЛОС на кубической сетке.

В работе [19] было исследовано параболическое уравнение с нелокальным интегральным источником. Разностные схемы для параболических уравнений в средах, обладающих памятью были представлены в статьях [7; 18]. Получены априорные оценки для решения уравнения пере-

носа примесей дробного порядка и для параболического уравнения с нелокальным источником по времени.

Целью данной работы является разработка эффективных методов численного решения начально-краевых задач для уравнений в частных производных с обобщенными операторами дробного интегро-дифференцирования, а также для параболических уравнений с нелокальными интегральными источниками по дополнительному параметру.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Построение и исследование разностных методов решения краевых задач для некоторых классов нелокальных диффузионно-волновых уравнений в частных производных с обобщенными операторами дробного интегро-дифференцирования, определяемыми произвольными функциями памяти.

2. Построение локально-одномерных разностных схем для решения многомерных задач для параболических уравнений с нелокальными интегральными источниками по дополнительному параметру.

3. Программная реализация предложенных разностных схем на ЭВМ.

Научная новизна:

1. Построены и исследованы разностные схемы повышенного порядка аппроксимации для решения первых краевых задач для уравнения диффузии, уравнения Аллера дробных порядков и разностные схемы для уравнения диффузии дискретно-распределенного порядка с переменными коэффициентами и произвольными функциями памяти.

2. Построены разностные схемы повышенного порядка аппроксимации для обобщенного линейного и нелинейного (в том числе с запаздыванием по времени) диффузионно-волнового уравнения дробного порядка с переменными коэффициентами и произвольной функцией памяти.

3. Построены локально-одномерные разностные схемы для уравнения параболического типа в р-мерном параллелепипеде с нелокальными интегральными источниками по дополнительному параметру и доказаны их устойчивость и сходимость.

Практическая значимость состоит в том, что результаты исследований позволят более эффективно (в смысле устойчивости, сходимости и экономичности) решать математические модели, определяемые с помощью обобщенных операторов дробного интегро-дифференцирования по данным измерений, и могут быть использованы для изучения микрофизических процессов в смешанных конвективных облаках, которые могут быть применены для исследования роли системных свойств облаков в формировании их микроструктурных характеристик и технологии управления процессами осадкообразования в конвективных облаках путем внесения частиц льдо-образующих реагентов.

Методология и методы исследования. Вычислительные алгоримы разработаны на основе классических методов. При решении поставленных задач использовались методы конечных разностей, энергетических неравенств и метод суммарной аппроксимации. Для проверки алгоритмов были посчитаны тестовые задачи. Алгоритмы реализованы на языке программирования Julia.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Предложены разностные схемы для уравнения диффузии и уравнения Аллера дробных порядков и уравнения диффузии дискретно-распределенного порядка с обобщенными функциями памяти. Доказана устойчивость и сходимость предложенных разностных схем. Возможности алгоритмов проиллюстрированы на решении тестовых задач;

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Хибиев Асланбек Хизирович, 2025 год

Список литературы

1. Абрашин, В. Н. Локально-одномерные разностные схемы для многомерных квазилинейных гиперболических уравнений [Текст] / В. Н. Абрашин, В. А. Асмолик// Дифференциальные уравнения. — 1982.— Т. 18, №7.— С. 1107—1117.

2. Алиханов, А. А. Априорные оценки решений краевых задач для уравнений дробного порядка [Текст] / А. А. Алиханов // Дифференциальные уравнения. — 2010. — Т. 46, № 5. — С. 658—664.

3. Алиханов, А. А. Об устойчивости и сходимости нелокальных разностных схем [Текст] / А. А. Алиханов // Дифференциальные уравнения. — 2010. — Т. 46, № 7. — С. 942—954.

4. Алиханов, А. А. Устойчивость и сходимость разностных схем для краевых задач уравнения диффузии дробного порядка [Текст] / А. А. Алиханов // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2016. — Т. 56, № 4. — С. 572—586.

5. Алиханов, А. А. Разностная схема повышенного порядка аппроксимации для обобщенного уравнения Аллера дробного порядка [Текст] / А. А. Алиханов, А. М. Апеков, А. Х. Хибиев // Владикавказский математический журнал. — 2021. — Т. 23, № 3. — С. 5—15.

6. Андреев, В. Б. О сходимости разностных схем, аппроксимирующих вторую и третью краевые задачи для эллиптических уравнений [Текст] / В. Б. Андреев // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1968. — Нояб. — Т. 8, № 6. — С. 1218—1231.

7. Ашабоков, Б. А. Локально-одномерная разностная схема для уравнения переноса примесей дробного порядка [Текст] / Б. А. Ашабоков, З. В. Бештокова, М. Х. Шхануков-Лафишев // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2017. — Т. 57, № 9. — С. 1517—1529.

8. Ашабоков, Б. А. Метод суммарной аппроксимации для уравнения, описывающего процессы дробления и замерзания капель в конвективных облаках [Текст] / Б. А. Ашабоков, А. Х. Хи-биев, М. Х. Шхануков-Лафишев // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2020. — Т. 60, № 9. — С. 1566—1575.

9. Ашабоков, Б. А. Локально-одномерная схема для уравнения функций распределения по массам ледяных частиц с учетом взаимодействия капель и кристаллов [Текст] / Б. А. Ашабоков, А. Х. Хибиев, М. Х. Шхануков-Лафишев // Владикавказский математический журнал. — 2023. — Т. 25, № 2. — С. 14—24.

10. Ашабоков, Б. А. Конвективнвые облака:численные модели и результаты моделировния в естественных условиях и при активном воздействии [Текст] / Б. А. Ашабоков, А. В. Шаповалов. — Нальчик : издательство КБНЦ РАН, 2008.

11. Баззаев, А. К. Локально-одномерная схема для уравнения диффузии дробного порядка с дробной производной в младших членах с граничными условиями первого рода [Текст] / А. К. Баззаев // Владикавказский математический журнал. — 2014. — Т. 16, № 2. — С. 3—13.

12. Баренблатт, Г. И. Движение жидкостей и газов в природных пластах [Текст] / Г. И. Барен-блатт, В. М. Ентов, В. М. Рыжик. —Москва : Недра, 1984. — 211 с.

13. Беданокова, С. Ю. Уравнение движения почвенной влаги и математическая модель влагосодержания почвенного слоя, основанная на уравнении Аллера [Текст] / С. Ю. Беданокова // Вестник Адыгейского государственного университета. Серия 4: Естественно-математические и технические науки. — 2007. — № 4. — С. 68—71.

14. Бештоков, М. Х. К краевым задачам для вырождающихся псевдопараболических уравнений с дробной производной Герасимова-Капуто [Текст] / М. Х. Бештоков // Изв. вузов. Матем. — 2018. — № 10. — С. 3—16.

15. Бештоков, М. Х. Краевые задачи для нагруженного модифицированного уравнения влаго-переноса дробного порядка с оператором Бесселя и разностные методы их решения [Текст] / М. Х. Бештоков // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки. — 2020. — Т. 30, №2. — С. 158—175.

16. Бештоков, М. Х. Численные методы решения нелокальных краевых задач для обобщенных нагруженных уравнений Аллера [Текст] / М. Х. Бештоков // Владикавказский математический журнал. — 2023. — Т. 25, № 3. — С. 15—35.

17. Бештоков, М. Х. Численные методы решения нелокальных краевых задач для обобщенных нагруженных уравнений Аллера [Текст] / М. Х. Бештоков // Владикавказский математический журнал. — 2023. — 25 сент. — Т. 25, № 3. — С. 15—35.

18. Бештокова, З. В. Локально-одномерная схема для параболического уравнения общего вида с нелокальным источником [Текст] / З. В. Бештокова // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. — 2017. — № 3. — С. 5—12.

19. Бештокова, З. В. Локально-одномерные разностные схемы для параболических уравнений в средах, обладающих "памятью" [Текст] / З. В. Бештокова, М. М. Лафишева, М. Х. Шхануков-Лафишев // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2018. — Т. 58, №9.— С. 1531—1542.

20. Вабищевич, П. Н. Численное решение задачи коши для интегро-дифференциального уравнения второго порядка [Текст] / П. Н. Вабищевич // Дифференциальные уравнения. — 2022. — Т. 58, № 7. — С. 912—920.

21. Вабищевич, П. Н. Об устойчивости приближенного решения задачи Коши для некоторых интегродифференциальных уравнений первого порядка [Текст] / П. Н. Вабищевич // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2023. — Т. 63, № 2. — С. 328--335.

22. Васильева, О. А. Релаксирующая среда с "линейно слабеющей памятью": эволюция интенсивных импульсов [Текст] / О. А. Васильева, О. В. Руденко // Акуст. ж. — 2019. — Т. 65, № 6. — С. 758—762.

23. Головизнин, В. М.Численные методы решения уравнения диффузии с дробной производной по времени в одномерном случае [Текст] / В. М. Головизнин, В. П. Киселев, И. А. Ко-роткин. — Москва : Ин-т проблем безопас. развития атом. энергетики, 2003. — 35 с. — (Препринт / Рос. акад. наук. Ин-т проблем безопас. развития атом. энергетики ; № ЮКАЕ-2003—12).

24. Дзекцер, Е. С. Уравнения движения подземных вод со свободной поверхностью в многослойных средах [Текст] / Е. С. Дзекцер. — 1975.

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

Ентов, В. М. Теория фильтрации [Текст] / В. М. Ентов // Соросовский образовательный журнал. — 1998. — № 2. — С. 121—128.

Журавков, М. А. О перспективах использования теории дробного исчисления в механике [Текст] / М. А. Журавков, Н. С. Романова. — изд-во БГУ, 2013. — 53 с. Колесниченко, А. В. Термодинамический вывод дробного уравнения Фоккера-Планка для фрактального турбулентного хаоса со степенной памятью [Текст] / А. В. Колесниченко. — Москва : ИПМ им. М. В. Келдыша РАН, 2014. — 32 с. — (Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша = Keldysh institute preprints / Ин-т прикладной математики им. М. В. Келдыша Российской акад. наук ; № 72 за 2014 г).

Корчагина, А. Н. Использование производных дробного порядка для решения задач механики сплошных сред [Текст] / А. Н. Корчагина // Известия Алтайского государственного университета. — 2014. — Т. 1, № 1. — С. 65—67.

Корчагина, А. Н. Численное моделирование диффузионных процессов в фрактальных средах [Текст] / А. Н. Корчагина, Л. А. Мержиевский // Ученые записки Забайкальского государственного университета. Серия: Физика, математика, техника, технология. —2013. — Т. 50, №3. —С. 53—59.

Кочубей, А. Н. Диффузия дробного порядка [Текст] / А. Н. Кочубей // Дифференциальные уравнения. — 1990. — Т. 26, № 4. — С. 660—670.

Лаевский, Ю. М.О локально-одномерных схемах решения третьей краевой параболической задачи в непрямоугольных областях [Текст] / Ю. М. Лаевский, О. В. Руденко // Сиб. журн. вычисл. матем. — 1998. — Т. 1, № 4. — С. 347—362.

Лафишева, М.М. Локально-одномерная разностная схема для уравнения диффузии дробного порядка [Текст] / М. М. Лафишева, М. Х. Шхануков-Лафишев // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2008. — Т. 48, № 10. — С. 1878—1887. Локально-одномерная разностная схема для уравнения диффузии дробного порядка с сосредоточенной теплоёмкостью [Текст] / Ф. М. Нахушева [и др.] // Современные проблемы науки и образования. — 2015. — № 2. — С. 763.

Нахушев, А. М.Уравнения математической биологии: Учеб. пособие для мат. и биол. спец. ун-тов [Текст] / А. М. Нахушев. — М : Высш. шк, 1995. — 301 с.

Нахушев, А. М. Дробное исчисление и его применение [Текст] / А. М. Нахушев. — Москва : Физматлит, 2003. — 271 с.

Псху, А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка: монография [Текст] / А. В. Псху. — М : Наука, 2005. — 199 с.

Самарский, А. А. Об одном экономичном разностном методе решения многомерного параболического уравнения в произвольной области [Текст] / А. А. Самарский // ЖВМ и МФ. — 1962. — Т. 2, № 5. — С. 787—811.

Самарский, А. А. Теория разностных схем [Текст] / А. А. Самарский. — Москва : Наука, 1977.— 656 с.

Самарский, А. А. Устойчивость разностных схем [Текст] / А. А. Самарский, А. В. Гулин. — Москва : Наука, 1973. — 416 с.

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

Самарский, А. А. О сходимости локально одномерной схемы решения многомерного уравнения теплопроводности на неравномерных сетках [Текст] / А. А. Самарский, И. В. Фрязинов // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1971. —Т. 11, №3. —С. 642—657.

Самарский, А. А. О разностных методах аппроксимации задач математической физики [Текст] / А. А. Самарский, И. В. Фрязинов // УМН. — 1976. — Т. 31, 6(192). — С. 167—197. Самко, С. Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения [Текст] / С. Г. Самко, А. А. Килбас, О. И. Маричев. — Минск : Наука и техника, 1987. — 687 с.

Таукенова, Ф. И. Разностные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений дробного порядка [Текст] / Ф. И. Таукенова, М. Х. Шхануков-Лафишев // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2006. — Т. 46, № 10. — С. 1871—1881.

Учайкин, В. В. Метод дробных производных [Текст] / В. В. Учайкин. — Ульяновск : Артишок, 2008. — 510 с.

Хибиев, А. Х. Устойчивость и сходимость разностных схем для уравнения диффузии дискретно-распределенного порядка с обобщенными функциями памяти [Текст] / А. Х. Хибиев // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия Физико-математические науки. — 2019. — Т. 23, № 3. — С. 582—597.

Черных, В. А. Математические концепции гидрогеомеханики: Mathematical conceptions of hydrogeomechanic [Текст] / В. А. Черных. —Москва : Изд-во Ун-та дружбы народов, 2013. — 447 с.

Чудновский, А. Ф. Теплофизика почв [Текст] / А. Ф. Чудновский. —Москва : Наука, 1976. — 352 с.

Шишкин, Г. И. Локально-одномерные разностные схемы для сингулярно возмущенных параболических уравнений [Текст] / Г. И. Шишкин // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1996. — Т. 36, № 2. — С. 42—61.

Шредер, МФракталы, хаос, степенные законы: миниатюры из бесконеч. рая [Текст] / М. Шредер. — Москва ; Ижевск : Регуляр. и хаотич. динамика (РХД), 2005. — 527 с. Шхануков, М. X. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах [Текст] / М. X. Шхануков // Дифференциальные уравнения. — 1982. — Т. 18, № 4. — С. 689—699. Яненко, Н. Н. Об экономичных неявных схемах (метод дробных шагов) [Текст] / Н. Н. Янен-ко // Докл. АН СССР. — 1960. — Т. 134, № 5. — С. 1034—1036.

A finite difference scheme for semilinear space-fractional diffusion equations with time delay [Text] / Z. Hao, K. Fan, W. Cao, Z.-z. Sun // Applied Mathematics and Computation. — 2016. — Vol. 275. - P. 238—254.

A numerical treatment of the two-dimensional multi-term time-fractional mixed sub-diffusion and diffusion-wave equation [Text] / S. S. Ezz-Eldien, E. H. Doha, Y. Wang, W. Cai // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. — 2020. — Vol. 91. — P. 105445.

54. A second-order difference scheme for the nonlinear time-fractional diffusion-wave equation with generalized memory kernel in the presence of time delay [Text] / A. A. Alikhanov, M. S. Asl, C. Huang, A. K. Khibiev // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 2024. — Vol. 438. -P. 115515.

55. Accurate numerical scheme for solving fractional diffusion-wave two-step model for nanoscale heat conduction [Text] / S. Shen, W. Dai, Q. Liu, P. Zhuang // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 2023. — Vol. 419. — P. 114721.

56. Algorithms for the fractional calculus: A selection of numerical methods [Text] / K. Diethelm, N. Ford, A. Freed, Y. Luchko // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. — 2005. — Feb. — Vol. 194, no. 6. — P. 743—773.

57. Alieva, T. Fractional Transforms in Optical Information Processing [Text] / T. Alieva, M. J. Basti-aans, M. L. Calvo//EURASIP J. Adv. Signal Process. — 2005. — June 30. — Vol. 2005, no. 10. — P. 920687.

58. Alikhanov, A. A. Boundary value problems for the diffusion equation of the variable order in differential and difference settings [Text] / A. A. Alikhanov// Applied Mathematics and Computation. — 2012. — Dec. — Vol. 219, no. 8. — P. 3938—3946.

59. Alikhanov, A. A. A Difference Method for Solving the Steklov Nonlocal Boundary Value Problem of Second Kind for the Time-Fractional Diffusion Equation [Text] / A. A. Alikhanov // Comput. Methods Appl. Math. — 2014. — Apr. — Vol. 17, no. 1. — P. 1—16.

60. Alikhanov, A. A. A new difference scheme for the time fractional diffusion equation [Text] / A. A. Alikhanov // Comput. Methods Appl. Math. — 2015. — Jan. — Vol. 218. — P. 424—438.

61. Alikhanov, A. A. Numerical methods of solutions of boundary value problems for the multi-term variable-distributed order diffusion equation [Text] / A. A. Alikhanov // Appl. Math. Comput. — 2015. — Oct. — Vol. 268. — P. 12—22.

62. Alikhanov, A. A. A time-fractional diffusion equation with generalized memory kernel in differential and difference settings with smooth solutions [Text] / A. A. Alikhanov // Comput. Methods Appl. Math. — 2017. — Jan. — Vol. 17, no. 4. — P. 647—660.

63. Alikhanov, A. A. A high-order L2 type difference scheme for the time-fractional diffusion equation [Text] / A. A. Alikhanov, C. Huang // Applied Mathematics and Computation. — 2021. — Vol. 411. - P. 126545.

64. Asl, M. S. New predictor-corrector approach for nonlinear fractional differential equations: error analysis and stability [Text] / M. S. Asl, M. Javidi, B. Ahmad // J. Appl. Anal. Comput. — 2019. — Vol. 9, no. 4. — P. 1527—1557.

65. Asl, M. S. High order algorithms for numerical solution of fractional differential equations [Text] / M. S. Asl, M. Javidi, Y. Yan // Advances in Difference Equations. — 2021. — Vol. 2021, no. 1. — P. 1—23.

66. Bochkov, M. V. A numerical solution algorithm for the spatially inhomogeneous equations of kinetic breakdown [Text] / M. V. Bochkov, B. N. Chetverushkin // Journal of Engineering Physics. — 1988. — Oct. 1. — Vol. 55, no. 4. — P. 1154—1160.

67. Brunner, H. Numerical simulations of 2D fractional subdiffusion problems [Text] / H. Brunner, L. Ling, M. Yamamoto//J. Comput. Phys. —2007. — Sept. — Vol. 229, no. 18. —P. 6613—6622.

68. Cardona, M. The history of the stretched exponential function [Text] / M. Cardona, R. Chamberlin, W. Marx // Annalen der Physik. — 2007. — Vol. 519, no. 12. — P. 842—845.

69. Chen, P. J. On a theory of heat conduction involving two temperatures [Text] / P. J. Chen, M. E. Gurtin // Journal of Applied Mathematics and Physics. — 1968. — July 1. — Vol. 19, no. 4. — P. 614—627.

70. Colton, D. On the analytic theory of pseudoparabolic equations [Text] / D. Colton // The Quarterly Journal of Mathematics. — 1972. — June 1. — Vol. 23, no. 2. — P. 179—192.

71. Compact implicit difference approximation for time-fractional diffusion-wave equation [Text] / U. Ali, A. Iqbal, M. Sohail, F. A. Abdullah, Z. Khan // Alexandria Engineering Journal. — 2022. — Vol. 61, no. 5. — P. 4119—4126.

72. Cuesta, C. Infiltration in porous media with dynamic capillary pressure: travelling waves [Text] / C. Cuesta, C. J. Van Duijn, J. Hulshof// Eur. J. Appl. Math. — 2000. — Sept. — Vol. 11, no. 4. — P. 381—397.

73. Debnath, L. Recent applications of fractional calculus to science and engineering [Text] / L. Deb-nath // International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. — 2003. — Vol. 2003. — P. 1—30.

74. Diffusion and Fokker-Planck-Smoluchowski equations with generalized memory kernel [Text] / T. Sandev, A. Chechkin, H. Kantz, R. Metzler // Fractional Calculus and Applied Analysis. — 2015.—Aug.—Vol. 18, no. 4.—P. 1006—1038.

75. Du, R Temporal second-order difference methods for solving multi-term time fractional mixed diffusion and wave equations [Text] / R. Du, Z.-z. Sun // Numer Algor. — 2021. — Sept. 1. — Vol. 88, no. 1. — P. 191—226.

76. Engström, C. Numerical solution of distributed-order time-fractional diffusion-wave equations using Laplace transforms [Text] / C. Engström, S. Giani, L. Grubisic // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 2023. — Vol. 425. — P. 115035.

77. Error estimates for approximations of distributed order time fractional diffusion with nonsmooth data [Text] / B. Jin, R. Lazarov, D. Sheen, Z. Zhou // Fract. Calc. Appl. Anal. — 2015. — Apr. — Vol. 19, no. 1. — P. 69—93.

78. Fractional Calculus: Models And Numerical Methods [Text] / D. Baleanu, K. Diethelm, E. Scalas, J. J. Trujillo. - World Scientific, 2012. - 426 p.

79. Fractional Dispersion, Levy Motion, and the MADE Tracer Tests [Text] / D. A. Benson, R. Schumer, M. M. Meerschaert, S. W. Wheatcraft // Transport in Porous Media. — 2001. — Jan. 1. — Vol. 42, no. 1. — P. 211—240.

80. Fung, Y C. Biomechanics: Mechanical Properties of Living Tissues [Text] / Y. C. Fung // Journal of Biomechanical Engineering. — 1981. — Nov. 1. — Vol. 103, no. 4. — P. 231—298.

81. Gao, G. H. The temporal second order difference schemes based on the interpolation approximation for solving the time multi-term and distributed-order fractional sub-diffusion equations [Text] / G. H. Gao, A. A. Alikhanov, Z.-z. Sun // J. Sci. Comput. - 2017. — Oct. — Vol. 73, no. 1. —P. 93—121.

82. Gao, G. H. A compact difference scheme for the fractional subdiffusion equations [Text] /

G. H. Gao, Z.-z. Sun//J. Comput. Phys. —2011. — Vol. 230. — P. 586—595.

83. Gao, G. H. A new fractional numerical differentiation formula to approximate the Caputo fractional derivative and its applications [Text] / G. H. Gao, Z.-z. Sun, H. W. Zhang // J. Comput. Phys. — 2014. — Feb. — Vol. 259. — P. 33—50.

84. Gorenflo, R. Fractional calculus: integral and differential equations of fractional order, in: A. Carpinteri, F. Mainardi (Eds.), Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics [Text] / R. Gorenflo, F. Mainardi. — 1997.

85. Gorenflo, R. On ultraslow and intermediate processes, Transform Methods & Special Functions [Text] / R. Gorenflo, R. Rutman // Sofia'94, Proc. of Intern. Workshop. — 1994. — Jan. 1. — P. 61—81.

86. Hatano, Y Dispersive transport of ions in column experiments: An explanation of long-tailed profiles [Text] / Y. Hatano, N. Hatano // Water Resources Research. — 1998. — Vol. 34, no. 5. — P. 1027—1033.

87. Hendy, A. S. A novel discrete Gronwall inequality in the analysis of difference schemes for time-fractional multi-delayed diffusion equations [Text] / A. S. Hendy, J. E. Macias-Diaz // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. — 2019. — July 15. — Vol. 73. — P. 110—119.

88. Hilfer, R. Applications of fractional calculus in physics [Text] / R. Hilfer. — Singapore : World Scientific, 2000. — 472 p.

89. Höfling, F. Anomalous transport in the crowded world of biological cells [Text] / F. Höfling, T. Franosch // Rep. Prog. Phys. — 2013. — Mar. — Vol. 76, no. 4. — P. 046602.

90. Jiao, Z. Distributed-order dynamic systems: stability, simulation, applications and perspectives [Text] / Z. Jiao, Y. Chen, I. Podlubny. — Amsterdam : Springer Briefs in Electrical, Computer Engineering: Control, Automation, Robotics, 2012.

91. Jin, B. An analysis of the L1 scheme for the subdiffusion equation with nonsmooth data [Text] / B. Jin, R. Lazarov, Z. Zhou // IMA J. Numer. Anal. — 2015. — Jan. — Vol. 36, no. 1. — P. 197—221.

92. Khibiev, A. K. A second-order difference scheme for generalized time-fractional diffusion equation with smooth solutions [Text] / A. K. Khibiev, A. A. Alikhanov, C. Huang // Computational Methods in Applied Mathematics. — 2023.

93. Kilbas, A. A. Theory and applications of fractional differential equation [Text] / A. A. Kilbas,

H. M. Srivastava, J. J. Trujillo. — Amsterdam : Elsevier, 2006. — 540 p.

94

95

96

97

98

99

100

101

102

103

104

105

106

107

108

Kohlrausch, R. Theorie des elektrischen Rückstandes in der Leidener Flasche [Text] / R. Kohlrausch // Annalen der Physik. — 1854. — Vol. 167, no. 2. — P. 179—214.

Langlands, T. The accuracy and stability of an implicit solution method for the fractional diffusion equation [Text] / T. Langlands, B. Henry // Journal of Computational Physics. — 2005. — May 1. — Vol. 205. - P. 719—736.

Li, X. A fast element-free Galerkin method for the fractional diffusion-wave equation [Text] / X. Li, S. Li // Applied Mathematics Letters. — 2021. — Vol. 122. — P. 107529.

Lin, Y. Finite difference/spectral approximations for the time-fractional diffusion equation [Text] / Y. Lin, C. Xu // Journal of Computational Physics. — 2007. — Aug. 10. — Vol. 225. — P. 1533—1552.

Loreti, P. Viscoelastic aspects of glass relaxation models [Text] / P. Loreti, D. Sforza // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. — 2019. — July 15. — Vol. 526. — P. 120768.

Luchko, Y. Boundary value problems for the generalized time-fractional diffusion equation of distributed order [Text] / Y. Luchko // Fract. Calc. Appl. Anal. — 2009. — Jan. — Vol. 12, no. 4. — P. 409—422.

Luchko, Y. Initial-boundary-value problems for the generalized multi-term time-fractional diffusion equation [Text] / Y. Luchko // J. Math. Anal. Appl. — 2011. — Feb. — Vol. 374, no. 2. — P. 538—548.

Luchko, Y. Initial-boundary-value problems for the one-dimensional time-fractional diffusion equation [Text] / Y. Luchko // Fract. Calc. Appl. Anal. — 2012. — Nov. — Vol. 15, no. 1. — P. 141—160.

Machado, J. A. T. On development of fractional calculus during the last fifty years [Text] / J. A. T. Machado, A. M. S. F. Galhano, J. J. Trujillo // Scientometrics. — 2014. — Jan. 1. — Vol. 98, no. 1. — P. 577—582.

Mainardi, F. The time fractional diffusion-wave equation [Text] / F. Mainardi // Radiophys Quantum Electron. — 1995. — Jan. 1. — Vol. 38, no. 1. — P. 13—24.

Mainardi, F. The fundamental solutions for the fractional diffusion-wave equation [Text] / F. Mainardi // Applied Mathematics Letters. — 1996. — Nov. 1. — Vol. 9, no. 6. — P. 23—28.

Mainardi, F. Probability distributions generated by fractional diffusion equations [Text] / F. Mainardi, P. Paradisi, R. Gorenflo. — 1999.

Mainardi, F. On the initial value problem for the fractional diffusion-wave equation [Text] / F. Mainardi // Waves and Stability in Continuous Media. — 1994. — Jan. 1. — P. 246—251.

Mainardi, F. Fractional diffusive waves in viscoelastic solids [Text] / F. Mainardi // Nonlinear Waves in Solids. - 1995. - Jan. 1. - P. 93-97.

Mainardi, F. Fractional relaxation-oscillation and fractional diffusion-wave phenomena [Text] / F. Mainardi // Chaos, Solitons & Fractals. — 1996. — Sept. 1. — Vol. 7. — P. 1461—1477.

109

110

111

112

113

114

115

116

117

118

119

120

121

122

Mainardi, F. Fractional calculus and waves in linear viscoelasticity: an introduction to mathematical models [Text] / F. Mainardi. — Imperial College Press, 2010. — 368 p.

Mainardi, F An historical perspective on fractional calculus in linear viscoelasticity [Text] / F. Mainardi // Fractional Calculus & Applied Analysis. — 2012. — Dec. 1. — Vol. 15, no. 4. — P. 712—717.

McLean, W Numerical solution of an evolution equation with a positive-type memory term [Text] / W. McLean, V. Thomée//The ANZIAM Journal. — 1993. — July. — Vol. 35, no. 1. —P. 23—70.

Metzler, R. Fractional model equation for anomalous diffusion [Text] / R. Metzler, W. G. Glöckle, T. F. Nonnenmacher//Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. —1994. — Oct. 15. — Vol. 211, no. 1. — P. 13—24.

El-Nabulsi, R. Cosmology with a fractional action principle [Text] / R. El-Nabulsi // Rom. Rep. Phys. — 2007. — Jan. 1. — Vol. 59.

Nigmatullin, R. R To the Theoretical Explanation of the "Universal Response" [Text] / R. R. Nig-matullin // phys. stat. sol. (b). — 1984. — June 1. — Vol. 123, no. 2. — P. 739—745.

Nigmatullin, R R The realization of the generalized transfer equation in a medium with fractal geometry [Text] / R. R. Nigmatullin // phys. stat. sol. (b). — 1986. — Jan. 1. — Vol. 133, no. 1. — P. 425—430.

Nonnenmacher, T. F. Towards the formulation of a nonlinear fractional extended irreversible thermodynamics [Text] / T. F. Nonnenmacher, D. J. F. Nonnenmacher // Acta Physica Hungarica. — 1989. — Dec. — Vol. 66, no. 1. — P. 145—154.

Oldham, K. B. The fractional calculus [Text] / K. B. Oldham, J. Spanier. — New York : Academic Press, 1974. — 322 p.

Pang, H. Fourth order finite difference schemes for time-space fractional sub-diffusion equations [Text] / H. Pang, H. Sun // Comput. Math. Appl. — 2016. — Mar. — Vol. 71, no. 6. — P. 1287—1302.

Peaceman, D. W The numerical solution of parabolic and elliptic differential equations [Text] / D. W. Peaceman, H. H. Rachford Jr. // Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics. — 1955. — Mar. — Vol. 3, no. 1. — P. 28—41.

Pimenov, V. A numerical solution for a class of time fractional diffusion equations with delay [Text] / V. Pimenov, A. Hendy // International Journal of Applied Mathematics and Computer Science. —2017. — Sept. 1. — Vol. 27. — P. 477—488.

Pimenov, V. G. On a class of non-linear delay distributed order fractional diffusion equations [Text] / V. G. Pimenov, A. S. Hendy, R. H. De Staelen // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 2017. — Vol. 318. — P. 433—443.

Podlubny, I. Fractional differential equations [Text] /1. Podlubny. — San Diego : Academic Press, 1999. — 340 p.

123

124

125

126

127

128

129

130

131

132

133

134

135

136

Ran, M. Linearized Crank-Nicolson method for solving the nonlinear fractional diffusion equation with multi-delay [Text] / M. Ran, Y. He // International Journal of Computer Mathematics. — 2018. — Vol. 95, no. 12. — P. 2458—2470.

Renardy, M. Mathematical problems in viscoelasticity [Text] / M. Renardy, W. Hrusa, J. Nohel. — Harlow : Longman Scientific, Technical, 1987. — 273 p.

Rossikhin, Y A. Applications of fractional calculus to dynamic problems of linear and nonlinear hereditary mechanics of solids [Text] / Y. A. Rossikhin, M. V. Shitikova // Applied Mechanics Reviews. — 1997. — Jan. 1. — Vol. 50, no. 1. — P. 15—67.

Rudenko, O. V Nonlinear integro-differential models for intense waves in media like biological tissues and geostructures with complex internal relaxation-type dynamics [Text] / O. V. Rudenko // Acoust. Phys. — 2014. — July 1. — Vol. 60, no. 4. — P. 398—404.

Sakamoto, K. Initial value/boundary value problems for fractional diffusion-wave equations and applications to some inverse problems [Text] / K. Sakamoto, M. Yamamoto // J. Math. Anal. Appl. —2011. — Oct. — Vol. 382, no. 1. — P. 426—447.

Samarskii, A. A. The theory of difference schemes [Text] / A. A. Samarskii. —New York : Marcel Dekker Inc., 2001. — 762 p.

El-Sayed, A. M. A. Fractional-order diffusion-wave equation [Text] / A. M. A. El-Sayed // Int J Theor Phys. — 1996. — Feb. 1. — Vol. 35, no. 2. — P. 311—322.

Schneider, W. R. Fractional diffusion and wave equations [Text] / W. R. Schneider, W. Wyss // Journal of Mathematical Physics. — 1989. — Jan. 1. — Vol. 30, no. 1. — P. 134—144.

Stynes, M. Error analysis of a finite difference method on graded meshes for a time-fractional diffusion equation [Text] / M. Stynes, E. O'Riordan, J. L. Gracia // SIAM J. Numer. Anal. — 2016. — June. — Vol. 55, no. 2. — P. 1057—1079.

Sun, Z.-z. A new analytical technique of the L-type difference schemes for time fractional mixed sub-diffusion and diffusion-wave equations [Text] / Z.-z. Sun, C.-c. Ji, R. Du // Applied Mathematics Letters. — 2020. — Vol. 102. — P. 106115.

Sun, Z.-z. A fully discrete difference scheme for a diffusion-wave system [Text] / Z.-z. Sun, X. Wu // Appl. Numer. Math. — 2006. — Feb. — Vol. 56, no. 2. — P. 193—209.

Ting, T. W. Certain non-steady flows of second-order fluids [Text] / T. W. Ting // Arch. Rational Mech. Anal. — 1963. — Jan. 1. — Vol. 14, no. 1. — P. 1—26.

Uchaikin, V. V. Heredity and nonlocality [Text] / V. V. Uchaikin // Fractional derivatives for physicists and engineers: background and theory / ed. by V. V. Uchaikin. — Berlin, Heidelberg : Springer, 2013. — P. 3—58. — (Nonlinear Physical Science).

Vabishchevich, P. ^.Numerical solution of the Cauchy problem for Volterra integrodifferential equations with difference kernels [Text] / P. N. Vabishchevich // Applied Numerical Mathematics. —— 2022. — Apr. 1. — Vol. 174. — P. 177—190.

137. Vabishchevich, P. N.Numerical solution of the heat conduction problem with memory [Text] / P. N. Vabishchevich // Computers & Mathematics with Applications. — 2022. — July 15. — Vol. 118. - P. 230—236.

138. Vabishchevich, P N. Approximate solution of the Cauchy problem for a first-order integrodif-ferential equation with solution derivative memory [Text] / P. N. Vabishchevich // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 2023. — Apr. 1. — Vol. 422. — P. 114887.

139. Vabishchevich, P N.Operator-difference schemes on non-uniform grids for second-order evolutionary equations [Text] / P. N. Vabishchevich. — 2023.

140. Valerio, D. Some pioneers of the applications of fractional calculus [Text] / D. Valerio, J. T. Machado, V. Kiryakova // Fractional Calculus and Applied Analysis. — 2014. — Vol. 17, no. 2. — P. 552.

141. Vasil'eva, O.A. Intense pulses in relaxing media with limited "memory time," power-law and non-analytic nonlinearities [Text] / O. A. Vasil'eva, E. A. Lapshin, O. V. Rudenko // Acoust. Phys. — 2019. — Jan. 1. — Vol. 65, no. 1. — P. 23—29.

142. West, B. Fractal physiology for physicists: Levy statistics [Text] / B. West, W. Deering // Physics Reports. — 1994.— Oct. 1. — Vol. 246. — P. 1—100.

143. Zhang, Y.-n. Compact alternating direction implicit scheme for the two-dimensional fractional diffusion-wave equation [Text] / Y.-n. Zhang, Z.-z. Sun, X. Zhao // SIAM J. Numer. Anal. — 2012.—Jan.— Vol. 50, no. 3.—P. 1535—1555.

144. Zhang, Q. Compact scheme for fractional diffusion-wave equation with spatial variable coefficient and delays [Text] / Q. Zhang, L. Liu, C. Zhang// Applicable Analysis. —2022. — Vol. 101, no. 6. — P. 1911—1932.

145. Zhang, Y. Numerical simulation for time-fractional diffusion-wave equations with time delay [Text] / Y. Zhang, Z. Wang // Journal of Applied Mathematics and Computing. — 2023. — Vol. 69, no. 1. —P. 137—157.

146. Zheng, Q. Variability in the relaxation behavior of glass: Impact of thermal history fluctuations and fragility [Text] / Q. Zheng, J. C. Mauro // The Journal of Chemical Physics. — 2017. — Feb. 21.— Vol. 146, no. 7. — P. 074504.

147. Zhuravkov, MReview of methods and approaches for mechanical problem solutions based on fractional calculus [Text] / M. Zhuravkov, N. Romanova // Mathematics and Mechanics of Solids. - 2014. - May 5. - Vol. 21.

Приложение А Численные результаты для Главы 1

Чтобы оценить работоспособность численного метода и получить представление о его сходимости, в этом разделе проводится набор численных экспериментов. Основная цель состоит в том, чтобы проанализировать численные погрешности путем сравнения точного решения с приближенным решением.

С помощью разностных схем (1.16)-(1.17), (1.29)—(1.30), (1.51)—(1.52), представлены, соответственно, численные расчеты для задач (1.1)—(1.2), (1.27)-(1.28), (1.38)-(1.39). Также, в случае неравномерной сетки, для уравнения диффузии дробного порядка с обобщенными функциями памяти (1.1)—(1.2) была применена разностная схема (1.25)-(1.26). Представлены расчеты и для разностных схем повышенного порядка аппроксимации. Обозначим погрешности

Eo = max ||ej||о, Ec = max ||ej||c(wh), (А.1)

o<km 11 о^км ( h)

и порядки сходимости CO0, COC соответственно, где || ■ ||0 —L2 норма, || ■ ||c(wh) — максимальная норма определяемая ||e||C(^h) = max le»|. Порядки сходимости по пространству и по времени вычисляются по формуле

CO = |i°gh1/h2 {¡ffei, по пространству,

i 10&Л/т2 , по времени.

Пример А.1. Рассмотрим тестовую задачу, когда функция

. . ./ 6 - (6 + 6bt + 3b2t2 + b3t3)e-w \ u(x,t) = sin(nx) i 1 +--------j (А.2)

является точным решением задачи (1.1)—(1.2) при A(t) = e-bt, b ^ 0 и коэффициентах k(x,t) = 2 — cos(xt), q(x,t) = 1 — sln(xt), T = 1.

Данные Таблицы А.1 показывают, что по мере увеличения числа шагов сетки по правилу h2 = т2, уменьшается максимальная погрешность, со скоростью O (т2 + h2) = 0(h2) равной порядку сходимости разностной схемы.

Из Таблицы А.2 следует, что при достаточно малом h = 1/2000, с возрастанием числа шагов по временной сетке, уменьшается погрешность, в соответствующих нормах со скоростью 0(т2).

Пример А.2. В случае, когда точное решение задачи (1.1)—(1.2) не известно будем использовать принцип двух сеток. Вычисляем погрешность по формуле e(1) = |y(M) — y(2M)|, где y(M), y(2M) — являются приближенными решениями для двух разных сеток с одинаковым параметром /. Весовая функция, коэффициенты и правая часть уравнения заданы следующим образом: A(t) = 1/(1 +12), q(x,t) = 1 — sin(xt), k(x,t) = 2 — cos(xt), u0(x) = sln(nx), T =1, f (x,t) = 0.

Таблица А.1 — Погрешность и порядок сходимости (СО) в сеточных нормах ¿2 и С при т = 3Л, для Примера А.1.

Ь а Н Ео СОо Ес СОс

1/10 4.853172е — 4 6.860735е— 4

1/20 1.195117е — 4 2.0218 1.689468е— 4 2.0218

1/40 2.966661е —5 2.0102 4.193765е— 5 2.0103

1/80 7.407823е —6 2.0017 1.047192е— 5 2.0017

1/160 1.853344е —6 1.9989 2.619972е — 6 1.9989

1/320 4.639354е —7 1.9981 6.558408е — 7 1.9981

1/640 1.161322е —7 1.9982 1.641709е — 7 1.9981

1/1280 2.904554е —8 1.9994 4.106038е — 8 1.9994

1/10 5.695428е —4 8.053893е — 4

1/20 1.281254е —4 2.1522 1.811924е — 4 2.1522

1/40 3.111526е —5 2.0419 4.387037е — 5 2.0462

1/80 7.832071е —6 1.9902 1.104282е — 5 1.9901

1/160 1.970207е —6 1.9910 2.777898е — 6 1.9910

1/320 4.952711е —7 1.9921 6.983096е — 7 1.9921

1/640 1.243664е —7 1.9936 1.753507е — 7 1.9936

1/1280 3.125438е —8 1.9925 4.406686е — 8 1.9925

1/10 5.590468е —4 7.905373е — 4

1/20 1.378485е —4 2.0199 1.949425е — 4 2.0198

1/40 3.418923е —5 2.0115 4.820603е — 5 2.0158

1/80 8.555678е —6 1.9986 1.206419е — 5 1.9985

1/160 2.140670е —6 1.9988 3.018517е — 6 1.9988

1/320 5.355715е —7 1.9989 7.551986е — 7 1.9989

1/640 1.340154е —7 1.9987 1.889726е — 7 1.9987

1/1280 3.349770е —8 2.0003 4.723392е — 8 2.0003

Результаты расчетов для равномерной сетки представлены в Таблице А.3. Из таблицы видно, что в случае негладкого решения, порядок сходимости на всей области и в конечной точке не достигает второго порядка. Неравномерная сетка с параметром I = 1/ а дает результат лучше чем равномерная, но все еще не достигает второго порядка сходимости (Таблица А.4). Неравномерная сетка с параметром I = 2/ а обеспечивает необходимый порядок сходимости. Расчеты, выполненные с помощью такого разбиения, приведены в Таблице А.5. Выражения Е®, СО^ означают погрешность и порядок сходимости для коэффициента сгущения I сетки.

Пример А.3. Рассмотрим другой пример. Весовая функция, коэффициенты и правая часть уравнения заданы следующим образом: Л(*) = 1/(1 + *2), = 1 — вт(ж*), = 2 — сов(ж*), ио(х) = 0, Т = 1, /(ж,*) = Г ■

Все вычисления, выполненные для коэффициентов разностного аналога дробной производной на неоднородной сетке, показали, что условия Теоремы 1 из [60] выполняются для функции

Таблица А.2 — Погрешность и порядок сходимости (СО) в сеточных нормах и С при к = 1 /2000 для Примера А.1.

ь (X т Ео СОо Ее СОс

1.0 0.1 1/10 9.999960е - 5 1.412912е -4

1/20 2.495408е -5 2.0026 3.525761е -5 2.0027

1/40 6.147966е -6 2.0211 8.686914е -6 2.0210

1/80 1.438581е -6 2.0955 2.033257е -6 2.0951

2.0 0.5 1/10 1.144134е -4 1.617383е -4

1/20 2.825404е -5 2.0177 3.994110е -5 2.0177

1/40 6.909733е -6 2.0318 9.768017е -6 2.0317

1/80 1.621574е -6 2.0912 2.292670е -6 2.0910

3.0 0.9 1/10 6.977406е -5 9.866179е -5

1/20 1.700981е -5 2.0363 2.405134е -5 2.0364

1/40 4.110301е -6 2.0491 5.812025е -6 2.0490

1/80 9.171973е 7 2.1639 1.297116е 6 2.1637

Таблица А.3 — Погрешность в норме С и погрешность в конечной точке при М1 = N1, М2 = N для Примера А.2. Коэффициент сгущения сетки I = 1.

ос М1 М2 Е (0 Ес СО« Е (0 ^(¿М )

0.3 40 80 8.426868е - 02 1.397138е - 04

80 160 7.032676е - 02 0.2609 6.697413е - 05 1.0608

160 320 5.672308е - 02 0.3101 3.285253е - 05 1.0276

320 640 4.395863е - 02 0.3678 1.631328е - 05 1.0100

0.6 40 80 2.853167е - 02 5.302343е - 05

80 160 6.906511е - 03 2.0465 2.690867е - 05 0.9786

160 320 3.998240е - 03 0.7886 1.392811е - 05 0.9501

320 640 5.797972е - 03 -0.5362 7.227759е - 06 0.9464

0.9 40 80 1.017812е - 03 6.785890е - 07

80 160 1.763201е - 03 -0.7927 1.034811е - 06 -0.6088

160 320 1.280496е - 03 0.4615 9.257742е - 07 0.1606

320 640 7.664000е 04 0.7405 5.811774е — 07 0.6717

Таблица А.4 — Погрешность в норме С и погрешность в конечной точке при М1 = N1, М2 = N для Примера А.2. Коэффициент сгущения сетки I = 1/а.

а М1 М2 Е(0 Ес СОС) Е (0 ЕС (¿м) СОС(4м)

0.3 40 80 9.742070е-03 7.021745е-06

80 160 6.665100е-03 0.5476 1.877887е-06 1.9027

160 320 3.879374е-03 0.7808 4.889255е-07 1.9414

320 640 2.091250е-03 0.8915 1.252259е-07 1.9651

0.6 40 80 8.648085е-03 6.009045е-06

80 160 5.918716е-03 0.5471 2.041568е-06 1.5575

160 320 3.395063е-03 0.8018 7.101048е-07 1.5236

320 640 1.810913е-03 0.9067 2.472764е-07 1.5219

0.9 40 80 1.918925е-03 7.291593е-07

80 160 1.558141е-03 0.3005 6.020617е-07 0.2763

160 320 9.023635е-04 0.7880 5.443792е-07 0.1453

320 640 4.832028е-04 0.9011 3.278676е-07 0.7315

Таблица А.5 — Погрешность в норме С и погрешность в конечной точке при М1 = М2 = N для Примера А.2. Коэффициент сгущения сетки I = 2/а.

а М1 М2 Ее СО? ЕС(4м) СОС(4м)

0.3 40 80 1.061291е-03 6.195759е-05

80 160 3.083603е-04 1.7831 1.630479е-05 1.9260

160 320 8.320009е-05 1.8900 4.183133е-06 1.9626

320 640 2.151851е-05 1.9510 1.059900е-06 1.9807

0.6 40 80 8.595615е-04 2.998157е-05

80 160 2.536662е-04 1.7607 7.730387е-06 1.9555

160 320 6.844273е-05 1.8900 1.976781е-06 1.9674

320 640 1.763563е-05 1.9564 5.022584е-07 1.9767

0.9 40 80 3.156807е-04 1.073872е-05

80 160 9.502358е-05 1.7321 2.758263е-06 1.9610

160 320 2.753698е-05 1.7869 7.023675е-07 1.9735

320 640 7.646074е-06 1.8486 1.781040е-07 1.9795

памяти вида Л(£) = 1/(1 + £2) или Л(£) = е-64, Ь = 1,2,3. Следовательно, все рассмотренные схемы безусловно устойчивы. Из Таблицы А.6 видно, что для рассмотренного примера при г = 0, неравномерная сетка с параметром I = 2/ сс является гораздо предпочтительной равномерной сетке при I = 1, потому что в этом случае первая производная от решения по времени имеет особенность при £ = 0. При г =1 первая производная от решения по времени является непрерывной, но вторая производная имеет особенность при £ = 0, так что порядок сходимости на неравномерной сетке все еще выше, чем порядок сходимости на равномерной сетке. Это особенно заметно при малых (порядок сходимости равен 1). При г = 2 и первая, и вторая производные от решения по времени являются непрерывными и, соответственно, решение задачи становится пригодным для применения равномерной сетки без потери порядка сходимости равного 2.

Пример А.4. Для той же функции (А.2) проведены расчеты для уравнения Аллера дробного порядка (1.27)—(1.28) с Л(£) = ц.(£) = е-64, Ь ^ 0 и коэффициентами к1(х) = к2(ж) = 2 - сов(ж), (ж) = 1 - 8т(я), д2(ж) = 0, Т = 1.

Результаты расчетов приведенные в Таблице А.7 показывают, что при уменьшении шагов сетки по правилу т = 3к, погрешность разностной схемы уменьшается пропорционально квадрату шага сетки по времени, и скорость сходимости, при таких к и т равна О (к2) = О(т2).

Результаты приведенные в Таблице А.8 показывают что, если взять достаточно малое к = 1/10000 и при этом уменьшать шаг сетки по времени, то погрешность будет уменьшатся со скоростью О(т2).

Таким образом, численные результаты полученные в таблицах А.7 и А.8 подтверждают второй порядок аппроксимации разностной схемы (1.29)-(1.30).

Пример А.5. Для задачи (1.38)-(1.39) при т =2, где а0 = 0.8, а1 = 0.5, а2 = 0.2,

Ло(£) = е-4, Л1(*) = -^-, Л2(£) 1

1+ V ^ 1 + £2'

с коэффициентами к(ж,£) = 2 - сов(ж£), д(ж,£) = 1 - вт(ж£), Т = 1 было подобрано точное ре-

шение:

и(ж,£) = 8т(пж) (1 + 2£2 + £3) .

Таблица А.9 показывает, что по мере увеличения числа шагов сетки по правилу к2 = т2-ао, уменьшается максимальная погрешность, со скоростью О(т2-ао + к2) = О(к2) равной порядку сходимости разностной схемы.

Из Таблицы А.10 следует, что при достаточно малом к = 1/10000, с возрастанием числа шагов по временной сетке, уменьшается погрешность в соответствующих нормах со скоростью О(т2-ао).

Пример А.6. В этом примере представлено численное исследование разностной схемы

(1.20)-(1.21). Рассмотрим следующую задачу:

2

ЗО^м = Ш)- д(1)п + /(ж,£), 0 < х < 1, 0 < £ ^ 1, (А.3) -ж2

м(0,£) = 0, м(1,£) = 0, 0 ^ £ ^ 1, м(ж,0) = 8т(пж), 0 ^ ж ^ 1, (А.4)

Таблица А.6 — Погрешность в норме С и погрешность в конечной точке на неравномерной сетке при М1 = N1, М2 = N2 для Примера А.3.

г а М1 М2 соС1) е(2/а) соС2/а)

0 0.3 40 80 9.142486е - 03 1.131592е - 04

80 160 7.537913е - 03 0.2784 3.121117е - 05 1.8582

160 320 5.972966е - 03 0.3357 7.993757е - 06 1.9651

320 640 4.509177е - 03 0.4056 2.009363е - 06 1.9921

0.6 40 80 3.443760е - 03 9.734134е - 05

80 160 1.965755е - 03 0.8089 2.635478е - 05 1.8850

160 320 1.212704е - 03 0.6969 6.621585е - 06 1.9928

320 640 1.077898е - 03 0.1700 1.662842е - 06 1.9935

0.9 40 80 1.787132е - 03 4.591788е - 05

80 160 9.603932е - 04 0.8959 1.297362е - 05 1.8235

160 320 5.163032е - 04 0.8954 3.566476е - 06 1.8630

320 640 2.771025е - 04 0.8978 9.506799е - 07 1.9075

1 0.3 40 80 1.889641е - 05 1.227017е - 04

80 160 8.690246е - 06 1.1206 3.272241е - 05 1.9068

160 320 4.068796е - 06 1.0948 8.437646е - 06 1.9554

320 640 1.879092е - 06 1.1146 2.141524е - 06 1.9782

0.6 40 80 4.084146е - 05 5.995925е - 05

80 160 1.120998е - 05 1.8653 1.521218е - 05 1.9788

160 320 2.608468е - 06 2.1035 3.829030е - 06 1.9902

320 640 6.564816е - 07 1.9904 9.603975е - 07 1.9953

0.9 40 80 2.212554е - 05 3.637181е - 05

80 160 5.439067е - 06 2.0243 9.112298е - 06 1.9969

160 320 1.358769е - 06 2.0011 2.280630е - 06 1.9984

320 640 3.410594е - 07 1.9942 5.704143е - 07 1.9994

2 0.3 40 80 2.238451е - 05 5.539981е - 04

80 160 5.605433е - 06 1.9976 1.498219е - 04 1.8866

160 320 1.401910е - 06 1.9994 3.887812е - 05 1.9462

320 640 3.505213е - 07 1.9998 9.895236е - 06 1.9742

0.6 40 80 3.382376е - 05 2.577362е - 04

80 160 8.458483е - 06 1.9996 6.565219е - 05 1.9730

160 320 2.114335е - 06 2.0002 1.655093е - 05 1.9879

320 640 5.284139е - 07 2.0005 4.152810е - 06 1.9948

0.9 40 80 4.089835е - 05 1.461430е - 04

80 160 1.022147е - 05 2.0004 3.662879е - 05 1.9963

160 320 2.554572е - 06 2.0004 9.163910е - 06 1.9989

320 640 6.383225е - 07 2.0007 2.290939е - 06 2.0000

Таблица А.7 — Норма погрешности и порядок сходимости в сеточной ¿2 норме и максимальная погрешность при т = 3к для Примера А.4.

Ь ос к Ео СОо Ее СОс

1.0 0.9 1/10 1.686758е -4 2.400286е - 4

1/20 3.879799е -5 2.1201 5.524562е - 5 2.1192

1/40 8.830971е -6 2.1353 1.258693е - 5 2.1339

1/80 1.991746е -6 2.1485 2.842093е - 6 2.1469

1/160 4.454965е -7 2.1605 6.365923е - 7 2.1585

1/320 9.724255е -8 2.1957 1.392294е - 7 2.1929

2.0 0.5 1/10 2.379210е -4 3.355047е - 4

1/20 6.388791е -5 1.8968 9.009528е - 5 1.8968

1/40 1.676101е -5 1.9304 2.363703е - 5 1.9304

1/80 4.334482е -6 1.9511 6.112896е - 6 1.9511

1/160 1.110008е -6 1.9652 1.565463е - 6 1.9652

1/320 2.824466е -7 1.9745 3.983459е - 7 1.9744

3.0 0.1 1/10 2.097866е -4 2.958210е - 4

1/20 5.621718е -5 1.8998 7.927590е - 5 1.8997

1/40 1.456899е -5 1.9481 2.054674е - 5 1.9479

1/80 3.731217е -6 1.9651 5.262258е - 6 1.9651

1/160 9.511609е -7 1.9718 1.341467е - 6 1.9718

1/320 2.419551е 7 1.9749 3.412420е - 7 1.9749

где Л(*) = е-м, Ь ^ 0, к(*) = 2 - бш (3*), д(*) = 1 - сое (2*),

/ (х,*) =

3-а

2*3-ае

б1П(пх),

Г(4 - а) _

с точным аналитическим решением и(х,*) = $(*) в1п(пж), где