Разработка алгоритмов декомпозиции кватернионных матриц и их приложения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Чжан Дун

• Чжан Дун
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Чжан Дун

Содержание

Введение

1 Сингулярная декомпозиция кватернионных матриц и её приложения

1.1 Представления кватернионных матриц

1.2 Комплексный сохраняющий структуру алгоритм для SVD кватернионных матриц

1.3 Алгоритм вещественного представления для SVD кватернионных матриц

1.4 Схема распознавания цветных лиц на основе SVDQ

1.5 Схема диагностики неисправностей на основе SVDQ

1.6 Выводы

2 Декомпозиции коммутативных кватернионных матриц и их приложения

2.1 Представления коммутативных кватернионных матриц

2.2 ЦУ- и QR-декомпозиции коммутативных кватернионных матриц

2.3 SVD и GSVD коммутативных кватернионных матриц

2.4 Обобщенная обратная коммутативных кватернионных матриц

2.5 Численные эксперименты и приложения

2.6 Выводы

3 Задачи наименьших квадратов для коммутативных кватернионных матриц и их приложения

3.1 Задачи наименьших квадратов для коммутативных кватернионных матриц

3.2 Задачи CQLS и их алгоритмы

3.3 Задачи СрЬ8Е и их алгоритмы

3.4 Задачи СрТЬ8 и их алгоритмы

3.5 Восстановление цветных изображений на основе СрЬ8

3.6 Выводы

Заключение

Литература

Публикации автора

Приложение

Список символов

Обозначение Описание

Я Множество вещественных чисел

С Множество комплексных чисел

Н = Я ф Ш 0 Я] 0 Як Множество кватернионов

Нс = Я 0 Я1 0 Я] 0 Як Множество коммутативных кватернионов

ртхп Множество т х п матриц над Е

А = А1 + А21 + Аз] + А4к Матрицы А е Н, А е Нс

Ие(А) = А1 Вещественная часть матрицы А

1т(А) = А21 + Аз] + А4к Мнимая часть матрицы А

гапк(А) Ранг матрицы А

!'п п х п тождественная матрица

А = А1 - А21 - А3] - А4к Сопряжение матрицы А

АТ = АТ + АТ1 + АТ] + АТ к Транспонирование матрицы А

Ан = АТ - АТ 1 - АТ] - АТ к Сопряженное транспонирование матрицы А е Н

Ан = АТ - АТ 1 + АТ] - АТ к 1к-Сопряженное транспонирование матрицы А е Нс

А-1 Обратная матрица А

А+ Обобщенная обратная матрица А

N (д) Модуль элемента д

ИЬ Спектральная норма матрицы А

ЦАЦ* Норма Фробениуса матрицы А

Таблицы умножения для Н и Н(

Н 1 1 к Нс 1 1 к

1 1 1 к 1 1 1 к

1 1 -1 к Ч 1 1 -1 к Ч

-к -1 1 к

к к -1 -1 к к

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка алгоритмов декомпозиции кватернионных матриц и их приложения»

Введение

Кватернионы, являясь расширенной системой комплексных чисел, имеют важное теоретическое и прикладное значение в нескольких предметных областях. Кватернионы были введены Уильямом Роуэном Гамильтоном в 1843 году [1] в следующем виде:

х = х\ + х21 + + х4к, 1 = ] =к = —1,= —1| ,

где = —^ = к,]к = —к] = 1, к1 = — 1к = ],Х1 - вещественные числа. Кватернионы продемонстрировали уникальные преимущества в области моделирования многомерных данных, например, в квантовой физике [2-8], пространственном вращении [9-11], обработке цветных изображений [12-19], робототехнике [20-23] и аэрокосмической технике [24-28]. Особенно в контексте современных вычислительных технологий и обработки данных [29-38] кватернионы приобретают все большее значение при решении сложных пространственных задач и анализе высокоразмерных данных [39-44]. Однако некоммутативность между умножениями его элементов приводит к отказу от традиционных методов линейной алгебры и численного анализа [45-49], увеличивая теоретическую и вычислительную сложность.

В 1892 году Коррадо Сегре предложил коммутативный кватернион [50] в следующем виде:

{.О .0 О ..

х = Х1 + х21 + хз] + х4к, ] = 1,1 =к = —1,1]к = —1| ,

где ц = ^ = к, ]к = к] = 1, к1 = 1к = —], х^ - вещественные числа. В коммутативных кватернионах числа могут быть преобразованы друг в друга комбинацией двух комплексных чисел, известной как форма разложения, и эту систему чисел иногда называют редуцированной бикватернионной системой. Однако

коммутативная кватернионная алгебра содержит делители нуля, нильпотентные элементы и нетривиальные идемпотенты, что приводит к более сложной системе коммутативной кватернионной алгебры, чем кватернионная алгебра [51]. Основное отличие коммутативных кватернионов от кватернионов заключается в коммутативности умножения. Поэтому алгебраические операции с коммутативными кватернионами относительно просты, и использование соответствующих алгоритмов для решения практических задач приводит к более быстрой вычислительной эффективности [52]. Это уникальное преимущество коммутативных кватернионов по сравнению с кватернионами.

Квантовая механика, квантовая информатика и механика твёрдого деформируемого тела [53-57] - важные области, где необходимо изучать четырехмерную алгебру, и где кватернионы и коммутативные кватернионы демонстрируют большой потенциал [58-63]. Кватернионы обеспечивают естественный способ представления и работы с квантовыми состояниями, упрощают манипулирование квантовыми состояниями в высокоразмерных комплексных пространствах и дают уникальные преимущества при описании трехмерных вращений и преобразований, значительно повышая эффективность вычислений. Профессор С. Л. Адлер в своей монографии [64] перечислил алгебраические и аналитические методы в изучении кватернионной квантовой механики и квантовых теорий поля. Коммутативные кватернионы упрощают алгебраические операции благодаря их коммутативности, уменьшая вычислительную сложность, улучшая вычислительную устойчивость и высокую точность расчетов, а также способствуя развитию квантовой механики.

Применения кватернионов и коммутативных кватернионов в электромагнетизме универсальные, охватывают такие области, как представление вращения, преобразование электромагнитного поля, разложение и комбинирование полей, а также моделирование многотельных систем [65-71]. Эти математические инструменты предоставляют новые перспективы и методы для решения слож-

ных задач в электромагнетизме, способствуя развитию и применению теории электромагнетизма [72,73]. С продолжающимися расширениями приложений электромагнетизма исследования кватернионов и коммутативных кватернионов играют важную роль, предоставляя мощную поддержку для научных исследований и инженерных технологий в смежных областях.

Клиффордова алгебра является мощным инструментом в геометрии, физике и математике высоких измерений, используемым для описания и обработки вращений, отражений и других преобразований в многомерных пространствах. Она расширяет концепции линейной алгебры и теории групп, предоставляя исследователям мощный математический аппарат для решения сложных геометрических и физических задач [74-80].

Кватернионы, как частный случай или строительный блок клиффордовой алгебры, играют важную роль в математическом моделировании различных процессов. Они предоставляют конкретную, четырёхмерную числовую систему и, благодаря своим уникальным алгебраическим свойствам, упрощают вычисления вращений и преобразований в многомерных пространствах, способствуя пониманию и обработке более сложных геометрических и физических задач, что закладывает прочную основу для расширения и применения теории [81-85]. В отличие от традиционной клиффордовой алгебры, коммутативные кватернионы показали свои уникальные преимущества в обработке многомерных данных, что делает необходимым дальнейшее совершенствование их алгебраической теории и вычислительных алгоритмов численной реализации задач для кватернионов.

Кватернионы и коммутативные кватернионы задействованы во многих задачах обработки изображений, таких как обработка цветных изображений, вращение и преобразование изображений, фильтрация и улучшение изображений. Эти математические инструменты, упрощая вычислительные процессы, повышая эффективность обработки и улучшая численную устойчивость, оказывают

мощную поддержку развитию и практическому применению технологий обработки изображений [86-88].

Особенно в области обработки изображений и математического анализа существует острая необходимость в дальнейшем развитии использования вычислительных алгоритмов решения задач четырёхмерной алгебры.

С точки зрения областей приложений: изображения являются одним из важных носителей трехмерной информации, которые используются в различных областях, таких как медицинская визуализация, искусство и др. Б.Н. Чет-верушкин с учениками разработали вычислительные алгоритмы математического обеспечения для решения актуальных научно-технических задач на высокопроизводительных параллельных вычислительных системах. Им и его научной школой для оптимизации сложных систем и решений в области здравоохранения разработан метод обработки крупных факторных моделей на основе графовой конденсации и нейронных сетей [89]. Все более широкое использование цифровых изображений породило ряд задач, таких как аутентификация, хранение, распознавание, шумоподавление, восстановление, заполнение и безопасность передачи и т.д [90-92]. А.В. Пененко разработал эффективные численные методы решения прямых, обратных задач и задач усвоения данных для уравнений конвекции-диффузии-реакции с приложениями в моделировании природных процессов [93-95].

В последние десятилетия, из-за того, что методы обработки изображений в оттенках серого были относительно совершенными, а реальная жизнь диктует, чтобы сетевые технологии цветных изображений получить опережающее развитие. Поэтому ученые обратили усиленное внимание к проблемам обработки цветных изображений. Цветные изображения сочетают в себе красные, зеленые и синие изображения, которые значительно повышают требования к точности информации. Это также делает обработку цветных изображений более сложной, чем обработку изображений в оттенках серого. Последняя игнориру-

ет цветное изображение красного, зеленого и синего цветовых каналов между существованием сильной спектральной связи. Поэтому на основе четырехмерной алгебраической цветовой обработки изображений была создана модель, которая в настоящее время имеет широкий спектр приложений в области компьютерного зрения и обработки изображений [96-100].

В отличие от традиционной обработки ЯвБ-изображений, четырехмерная алгебраическая обработка изображений представляет пиксели в виде кватернионов или коммутативных кватернионов, что позволяет лучше передать пространственную и цветовую информацию изображения, а также обладает большей способностью выражать более богатые характеристики. Кроме того, модель обработки цветных изображений, основанная на четырехмерной алгебре, обеспечивает внутреннюю связь между цветовыми каналами и предоставляет новую схему обработки цветных изображений [101-103]. Для представления цветного изображения обычно используется чисто мнимый кватернион или чисто мнимые коммутативные кватернионные матрицы А. Каждая точка пикселя в цветном изображении представляется соответствующим чисто мнимым кватернионом или чисто мнимым коммутативным кватернионом [52,104]. Ква-тернионная или коммутативная кватернионная модель цветного изображения записывается в виде А = + С] + В к, А е нтхп или А е Нтхп, где Я, в, Б представляют собой красный, зеленый и синий цветовые каналы, соответственно. Поэтому модель цветного изображения более интуитивно понятна, как показано на рисунке ниже:

Рисунок 1: Четырехмерная алгебраическая модель цветного изображения.

В связи с этим, изучение и поиск новых схем решения задач обработки цветных изображений в рамках модели цветного изображения стало важной темой для ученых, занимающихся информационными и вычислительными технологиями. Перечислим некоторые из известных в настоящее время связанных задач:

(1) Диагностика и устранение неисправностей подшипников. Подшипники качения являются ключевыми компонентами вращающихся механизмов и широко используются в современной промышленности. Из-за жестких условий эксплуатации и неправильного использования подшипники постепенно изнашиваются и требуют своевременной замены. Несвоевременная их замена может привести к серьезным отказам, значительным экономическим затратам и потенциально катастрофическим авариям. Поэтому проведено множество исследований по раннему обнаружению и диагностике неисправностей подшипников качения для предотвращения аварий [105,106]. Некоторые известные методы на основе кватернионов включают диагностику неисправностей на основе сингулярного спектрального анализа [107-109], диагностику неисправностей на основе вращения кватернионов [110], диагностику неисправностей на основе симплекстической сингулярной модальной декомпозиции [111,112]. Однако насколько нам известно, еще не проводились исследования по применению модели кватернионов для цветных изображений в диагностике неисправностей подшипников, особенно в раннем обнаружении неисправностей, что является одной из задач данного исследования.

(2) Декомпозиция и аутентификация цветных изображений. Декомпозиция цветных изображений заключается в разделении сложной информации изображения на более простые компоненты для облегчения обработки, анализа и понимания. Это важно для таких задач, как сжатие изображений, их улучшение, восстановление и извлечение признаков [113,114]. Аутентификация изображений подтверждает их подлинность и целостность, предотвращая подделку

и изменения, что является ключевой технологией для обеспечения информационной безопасности и защиты авторских прав [115,116]. С распространением цифровых медиа и технологий обработки изображений вопросы эффективной и точной декомпозиции и аутентификации цветных изображений становятся актуальными как в академических, так и в промышленных кругах. В процессе декомпозиции и аутентификации изображений использование кватернионов может более эффективно выделять полезные компоненты изображения, подавляя влияние шума, что улучшает качество и результаты декомпозиции. А одной из основ схемы его обработки является 8УБ и ЬИ-декомпозиция [117-119].

(3) Цветные водяные знаки. С развитием интернета и цифровых медиа стало легче распространять изображения и видео, что также привело к проблемам защиты авторских прав и информационной безопасности. Технология цветных водяных знаков позволяет внедрять скрытую информацию в изображения для заявлений об авторских правах, проверки собственности, аутентификации контента и предотвращения подделки. Это играет ключевую роль в защите цифровых прав, предотвращении пиратства и незаконного копирования, а также обеспечении подлинности и целостности контента [120]. Использование кватернионов для обработки цветных водяных знаков имеет ряд преимуществ: естественное представление цветных изображений, повышение устойчивости и скрытности водяных знаков, улучшение эффективности обработки многоканальных данных, поддержка сложных преобразований и повышение устойчивости к шуму. Некоторые известные методы на основе кватернионов включают схемы цветного водяного знака на основе рЯ-декомпозиции [121-123] и 8УО [124-127]. Эти преимущества не только улучшают эффективность и надежность технологии водяных знаков, но и способствуют развитию технологий обработки цифровых изображений, предоставляя мощную поддержку для защиты цифровых прав и информационной безопасности.

(4) Восстановление цветных изображений. С развитием цифровой фотогра-

фии, систем видеонаблюдения и медицинской визуализации изображения могут подвергаться воздействию различных шумов, размытию и повреждениям при получении, передаче и хранении. Эти проблемы влияют на качество изображений, снижают их визуальные эффекты и точность анализа. Технология восстановления цветных изображений направлена на устранение шума, исправление размытия и восстановление поврежденных частей, что позволяет восстановить исходную четкость и детали изображения [128-131]. Это имеет важное значение для улучшения визуального качества изображений, повышения их читаемости, помощи в медицинской диагностике, повышения надежности систем видеонаблюдения и других областях анализа и обработки изображений. Для задач наименьших квадратов (Ь8), наименьших квадратов с ограничениями на равенства (Ь8Е) и задачи наименьших полных квадратов (ТЬ8), некоторые ученые проводили исследования по восстановлению изображений [132-135]. Задачи восстановления цветных изображений решаются с помощью метода наименьших квадратов кватернионов, который может естественным образом представлять цветные изображения, тем самым улучшая возможности извлечения признаков, высокую эффективность обработки многомерных сигналов, улучшенную помехоустойчивость и возможность многоканального слияния данных [136-139]. Эти преимущества не только улучшают результаты и эффективность восстановления изображений, но и способствуют развитию технологий обработки изображений, предоставляя мощную поддержку для анализа и обработки изображений в различных приложениях.

С точки зрения теорий и алгоритмов: (1) Декомпозиция матриц (Ш-декомпозиция, рЯ-декомпозиция, 8УБ, в8УБ и др.) имеют важное значение в математике [140-143], так как позволяет упростить сложные задачи работы с матрицами, повысить эффективность вычислений и выявить внутренние свойства матриц [144-147]. Эти техники упрощают решение систем линейных уравнений, вычисление обратных матриц и анализ данных, а также обеспечивают

основу для оптимизации теории и вычислительной устойчивости [148].

(2) Задача наименьших квадратов является одной из важнейших математических задач в области подгонки данных и оптимизации. Ее основная идея заключается в минимизации суммы квадратов ошибок между наблюдаемыми данными и прогнозируемыми моделью значениями для нахождения оптимальных параметров модели. Этот метод широко применяется в подгонке данных, статистическом анализе, инженерной оптимизации и других областях [149,150]. Он упрощает сложные задачи оптимизации, способствуя исследованиям в области матричных вычислений и численной стабильности [151,152]. Это делает задачу наименьших квадратов для четырехмерной алгебры одной из актуальных тем исследований в приложениях четырехмерной алгебры [153].

(3) В качестве основной задачи в теории оптимизации задачи Ь8Е сочетают в себе оптимизацию наименьших квадратов и равенства ограничений, что продвигает исследования применения метода множителей Лагранжа и условий ККТ [154,155]. Эта задача затрагивает задачи декомпозиции матриц и их обратных в линейной алгебре, способствуя развитию теории анализа матриц и численных вычислений. Исследования существования, единственности и стабильности решений обеспечивают теоретическую базу и способствуют появлению новых высокоэффективных алгоритмов.

(4) Задачи ТЬ8 важны в математике тем, что они расширяют традиционные методы наименьших квадратов для учета ошибок как независимых, так и зависимых переменных, обеспечивая более полное и точное соответствие модели за счет минимизации общих ошибок [156,157]. Метод ТЬ8 углубляет теорию оптимизации, включает минимизацию норм, улучшает моделирование ошибок данных и повышает точность и численную устойчивость моделей.

Из-за некоммутативной природы кватернионов прямое применение методов декомпозиции матриц из комплексной области к кватернионам невозможно. Разработка быстрых алгоритмов матричной декомпозиции кватернионов,

снижающих их вычислительную сложность, может продвинуть вперед область математического моделирования и инженерии, тем самым решая сложные пространственные задачи и обеспечивая более стабильные и эффективные методы их решения. Поэтому, несмотря на значительные трудности, исследование декомпозиции кватернионных матриц имеет значительную теоретическую и практическую ценность. Исследование коммутативных кватернионов также способствует расширению и углублению существующей математической теории. Введение коммутативных кватернионов позволяет исследовать новые математические структуры и свойства, сохраняя многие полезные характеристики кватернионов. Например, задачи декомпозиции матриц коммутативных кватернионов могут быть ближе к задачам декомпозиции матриц действительных и комплексных чисел, что позволяет распространять и применять некоторые классические алгебраические теории. Кроме того, исследование коммутативных кватернионов может предоставить новые методы и инструменты для обработки сигналов и подгонки данных. Задача наименьших квадратов является классической задачей в области подгонки данных и обработки сигналов, и сложность задачи наименьших квадратов для кватернионов ограничивает ее применение в этих областях. Введение коммутативных кватернионов позволяет упростить процесс решения задачи наименьших квадратов, повышая точность и эффективность подгонки данных и обработки сигналов. Это имеет важное значение для работы с высокоразмерными сложными данными, реализации точного моделирования и анализа.

Таким образом, диссертация посвящена разработке новых эффективных комплексных теорий и алгоритмов для построения матричной декомпозиции и задачи наименьших квадратов в четырёхмерной алгебре, а также их применению при обработке сигналов и цветных изображений.

Целью диссертационной работы является разработка эффективных алгоритмов для вычисления и анализа четырехмерных алгебраических матричных

задач, включая некоторые задачи декомпозиции матриц и задачи наименьших квадратов, возникающих в области обработки цветных изображений.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Разработать быстрые алгоритмы сингулярной декомпозиции кватернион-ных матриц, в том числе, комплексный сохраняющий структуру алгоритм и алгоритм быстрого вещественного представления.

2. Создать теории и алгоритмы для нескольких типов матричных декомпозиций коммутативных кватернионов и проанализировать их время работы и величину погрешности.

3. Разработать алгоритмы для нескольких типов задач наименьших квадратов для коммутативных кватернионных матриц и проанализировать их время работы и величину ошибки.

Основные положения, выносимые на защиту, соответствуют следующим пунктам паспорта научной специальности: 1.2.2. Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ:

1. Разработаны две новые быстрые алгоритмы вычисления сингулярной декомпозиции кватернионных матриц и новая схема диагностики неисправностей (п.2, п.8).

2. Созданы и обоснованы алгоритмы нескольких типов декомпозиции матриц и обобщенных обратных коммутативных кватернионных матриц (п.1, п.2).

3. На основе разработанных алгоритмов декомпозиции матриц созданы новые схемы решения практических прикладных задач таких, как аутентификация цветного изображения, декомпозиция цветного изображения, встраивание и извлечение цветных водяных знаков (п.8).

4. Разработаны алгоритмы решения нескольких типов задач методом наименьших квадратов для коммутативных кватернионов, а также предложена новая схема восстановления цветного изображения. (п.3, п.8).

Научная и практическая значимость заключается в разработке экономичных алгоритмов. Разработанные алгоритмы позволяют эффективно и быстро вычислять несколько типов декомпозиций матриц, в том числе: 8УБ кватер-нионных матриц, коммутативные кватернионные матрицы (ЬИ-декомпозиция, рЯ-декомпозиция, 8УБ и в8УО). Методом наименьших квадратов разработаны быстрые алгоритмы решения нескольких типов задач для коммутативных кватернионных матриц. С их помощью создано несколько новых схем обработки цветных изображений.

Практическая значимость заключается в численной реализации алгоритмов и новых схем обработки цветных изображений с использованием программного обеспечения МЛТЬЛБ, включая диагностику неисправностей подшипников, аутентификацию цветных изображений, декомпозицию цветных изображений, встраивание и извлечение цветных водяных знаков, а также восстановление цветных изображений. Предложенные алгоритмы эффективно решают задачи обработки цветных изображений, при этом получены лучшие численные результаты по сравнению с других авторов.

Научная новизна:

1. Для снижения вычислительной сложности алгоритма сингулярной декомпозиции кватернионных матриц разработаны два быстрых алгоритма, а также предложена новая схема диагностики неисправностей подшипников путем объединения кватернионной матричной модели цветных изображений.

2. Разработаны и обоснованы быстрые алгоритмы ЬИ-декомпозиции, рЯ-декомпозиции, 8УБ, в8УБ и обобщённых обратных коммутативных ква-

тернионных матриц. Приведены новые схемы решения задач обработки цветных изображений, в том числе: аутентификация цветных изображений, декомпозиция цветных изображений, встраивание и извлечение цветных водяных знаков.

3. Для задач восстановления цветных изображений разработаны и обоснованы быстрые алгоритмы решения задачи наименьших квадратов, задачи наименьших квадратов с ограничениями на равенство и задачи наименьших полных квадратов для коммутативных кватернионных матриц.

Достоверность. Результаты достигнуты благодаря использованию правильно построенных математических моделей, современных методов вычислительной математики, программной реализации предложенных алгоритмов и сравнению полученных результатов с результатами других авторов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации были представлены на следующих конференциях:

• 2021 Seminar on quaternion matrix theory and computations, Liaocheng, China, 27.11.2021 -29.11.2021;

• Евразийская конференция по прикладной математике, Академгородок, Новосибирск, Россия, 16.12.2021 -21.12.2021;

• V Всероссийская Научная конференция «Multiscale Methods and High-Performance Scientific Computing», Якутск, Россия, 05.09.2022 -07.09.2022;

• The 3rd international conference on quaternion matrix computation and applications, Jinan, China, 12.05.2023 - 14.05.2023;

• X международная конференция по математическому моделированию, посвященная 30-летию Академии наук Республики Саха (Якутия), Якутск, Россия, 16.07.2023 - 20.07.2023;

• Научная школа для молодых учёных «Numerical modeling of multiscale, multiphysics problems of permafrost development», Якутск, Россия, 21.07.2023-22.07.2023;

• The 4th international conference on quaternion matrix computation and applications, Jiangsu, China, 10.05.2024 - 13.05.2024;

• Международная конференция «Современные вычислительные технологии математического моделирования», Якутск, Россия, 04.06.2024 -09.06.2024

• Научная школа для молодых учёных «Численное моделирование многомасштабных, мультифизичных проблем освоения криолитозоны», Якутск, Россия, 04.06.2024-09.06.2024;

Публикации. По теме диссертации опубликовано 16 научных статей в международных научных изданиях ВАК РФ, Wеb оf Science и Scopus [A1-A16], получено свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ [A17].

Личный вклад. В работах, опубликованных в соавторстве, личный вклад диссертанта состоит в следующем: в работах [A1-A8] диссертантом разработаны и численно реализованы вычислительные алгоритмы, проведены расчеты и проведён анализ результатов вычислительного эксперимента; в работах [A9-A16] диссертант участвовал в разработке математических моделей и численной реализации. Подготовка к опубликованию полученных результатов проводилась совместно с соавторами.

Объем и структура диссертационной работы. Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Общий объём диссертационной работы составляет 172 страницы, содержит 38 иллюстраций, 6 таблиц. Список литературы содержит 207 наименования.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Научного Фон-

да (гранты N0.23-71-30013 и N0.23-41-00037), Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (N0. Б8Я0-2023-0025) и стипендии правительства КНР (N0.202108370086).

В первой главе мы рассматриваем высокую вычислительную сложность и ограничения современных алгоритмов 8УО для матриц кватернионов, которые затрудняют создание быстрых алгоритмов для практического применения. Мы обсудим два быстрых алгоритма решения задач 8УО матриц кватернионов. Сначала мы устанавливаем алгоритм Гивенса и алгоритм Хаусхолдера, используя комплексное представление кватернионов, и даем комплексный сохраняющий структуру алгоритм для решения 8УО матриц кватернионов. Затем мы конструктивно даем быстрый алгоритм решения 8УО матриц кватернионов с использованием вещественного представления кватернионов. Кроме того, быстрота и эффективность этих двух алгоритмов проиллюстрированы численными экспериментами по распознаванию лиц на основе 8УОр. При диагностике неисправностей подшипников кватернионная модель цветных изображений и 8УБр используются для создания новой схемы диагностики неисправностей подшипников.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Чжан Дун, 2024 год

Литература

1. Hamilton William Rowan. On a new species of imaginary quantities, connected with the theory of quaternions // Proceedings of the Royal Irish Academy (1836-1869). - 1840. - Т. 2. - С. 424-434.

2. Березин А.В., Курочкин Ю.А. и др. Кватернионы в релятивистской физике. — Наука и техника, 1989.

3. Микаэлян МА. Квантовая механика частицы со спиномна языке алгебры кватернионов // Инженерная физика. — 2013. — № 4. — С. 3-14.

4. Арнольд Владимир. Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов. — Litres, 2022.

5. Kwasniewski Andrzej Krzysztof. Glimpses of the octonions and quaternions history and today's applications in quantum physics // Advances in Applied Clifford Algebras. — 2012. — Т. 22. — С. 87-105.

6. Frenkel Igor, Libine Matvei. Quaternionic analysis, representation theory and physics // Advances in Mathematics. — 2008. — Т. 218, № 6. — С. 1806-1877.

7. Березин Александр Васильевич, Курочкин Юрий Андреевич и др. Кватернионы в релятивистской физике. — Наука и техника, 1989.

8. Zhang Dong, Jiang Tongsong и др. An algebraic algorithm for the diagonalization of a biquaternion matrix in the biquaternionic mechanics // Computational and Applied Mathematics. — 2024. — Т. 43, № 4. — С. 1-9.

9. Hart John C, Francis George K и др. Visualizing quaternion rotation // ACM Transactions on Graphics (TOG). — 1994. — Т. 13, № 3. — С. 256-276.

10. Hu Mingxu, Zhang Qi h gp. Unit quaternion description of spatial rotations in 3D electron cryo-microscopy // Journal of structural biology. — 2020. — T. 212, № 3. — C. 107601.

11. Arribas M, Elipe Antonio h gp. Quaternions and the rotation of a rigid body // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. — 2006. — T. 96. — C. 239251.

12. Sangwine Stephen John. Fourier transforms of colour images using quaternion or hypercomplex, numbers // Electronics letters.— 1996.— T. 32, № 21.— C. 1979-1980.

13. Xu Yi, Yu Licheng h gp. Vector sparse representation of color image using quaternion matrix analysis // IEEE Transactions on image processing. — 2015. — T. 24, № 4. — C. 1315-1329.

14. Subakan Ozlem N, Vemuri Baba C. A quaternion framework for color image smoothing and segmentation // International Journal of Computer Vision. — 2011. — T. 91, № 3. — C. 233-250.

15. Zhu Xuanyu, Xu Yi h gp. Quaternion convolutional neural networks // Proceedings of the European conference on computer vision (ECCV). — 2018. —C. 631-647.

16. Li Yue Nan. Quaternion polar harmonic transforms for color images // IEEE Signal Processing Letters. — 2013. — T. 20, № 8. — C. 803-806.

17. Zou Cuiming, Kou Kit Ian h gp. Quaternion collaborative and sparse representation with application to color face recognition // IEEE Transactions on image processing. — 2016. — T. 25, № 7. — C. 3287-3302.

18. Chang Ja-Han, Ding Jian-Jiun h gp. Quaternion matrix singular value decomposition and its applications for color image processing // Proceedings

2003 International Conference on Image Processing (Cat. No. 03CH37429) / IEEE. - T. 1. - 2003. - C. I-805.

19. Sangwine Stephen J, Le Bihan Nicolas. Quaternion singular value decomposition based on bidiagonalization to a real or complex matrix using quaternion Householder transformations // Applied mathematics and computation. - 2006. - T. 182, № 1. - C. 727-738.

20. Bayro-Corrochano Eduardo, Lechuga-Gutierrez Luis h gp. Geometric techniques for robotics and HMI: Interpolation and haptics in conformal geometric algebra and control using quaternion spike neural networks // Robotics and Autonomous Systems. - 2018. - T. 104. - C. 72-84.

21. Yun Xiaoping, Bachmann Eric R. Design, implementation, and experimental results of a quaternion-based Kalman filter for human body motion tracking // IEEE transactions on Robotics. - 2006. - T. 22, № 6. - C. 1216-1227.

22. Cakir Mustafa, Butun Erhan. An educational tool for 6-DOF industrial robots with quaternion algebra // Computer Applications in Engineering Education. -2007. - T. 15, № 2. - C. 143-154.

23. Wang Wei, Liu Fei h gp. Calibration method of robot base frame using unit quaternion form // Precision Engineering. - 2015. - T. 41. - C. 47-54.

24. Kuipers Jack B. Quaternions and rotation sequences: a primer with applications to orbits, aerospace, and virtual reality. - Princeton university press, 1999.

25. Yang Yaguang. Analytic LQR design for spacecraft control system based on quaternion model // Journal of aerospace engineering. - 2012. - T. 25, № 3. -C. 448-453.

26. Yang Yaguang. Spacecraft attitude determination and control: Quaternion based method // Annual Reviews in Control. - 2012. - T. 36, № 2. - C. 198-219.

27. Mazinan AH, Pasand M и др. Full quaternion based finite-time cascade attitude control approach via pulse modulation synthesis for a spacecraft // ISA transactions. - 2015. - Т. 58. - С. 567-585.

28. Левский МВ. Синтез оптимального управления терминальной ориентацией космиче-ского аппарата с использованием метода кватернионов // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. — 2009. — № 2. — С. 7-24.

29. Kazantsev Ivan G, Olsen Ulrik Lund и др. A spectral geometric model for Compton single scatter in PET based on the single scatter simulation approximation // Inverse Problems. — 2018. — Т. 34, № 2. — С. 024002.

30. Kazantsev Ivan G, Schmidt Soren, Poulsen Henning Friis. A discrete spherical x-ray transform of orientation distribution functions using bounding cubes // Inverse Problems. — 2009. — Т. 25, № 10. — С. 105009.

31. Kazantsev Ivan G, AK Tankibayeva и др. Correction of intensity inhomogeneity in magnetic resonance images using ramp filter // Siberian Electronic Mathematical Reports. — 2024. — Т. 21, № 11. — С. 307-314.

32. Bogatyrev AB. Projective view at optimization problem for multiband filter // Proceedings of the American Mathematical Society. — 2021. — Т. 149, № 7. — С. 3021-3035.

33. Bogatyrev AB, Grigor'ev OA. Conformal mapping of rectangular heptagons II // Computational Methods and Function Theory. — 2018. — Т. 18. — С. 221238.

34. Bogatyrev AB. Pictorial Representation for Antisymmetric Eigenfunctions of PS-3 Integral Equations // Mathematical Physics, Analysis and Geometry. — 2010. — Т. 13, № 2. — С. 105-143.

35. Четверушкин БН. Высокопроизводительные многопроцессорные вычислительные системы // Вестник Российской академии наук. — 2002. — Т. 72, № 9. — С. 786-794.

36. Четверушкин БН. Пределы детализации и формулировка моделей уравнений сплошных сред // Математическое моделирование. — 2012. — Т. 24, № 11. —С. 33-52.

37. Четверушкин БН, Дородницын ЛВ. Кинетически согласованные схемы в газовой динамике // Математическое моделирование.— 1999.— Т. 11, №5.—С. 84-100.

38. Chetverushkin Boris Nikolaevich, Saveliev Andrei V, Saveliev VI. Compact quasi-gasdynamic system for high-performance computations // Computational Mathematics and Mathematical Physics. — 2019. — Т. 59. — С. 493-500.

39. Митюшов ЕА, Мисюра НЕ и др. Моделирование кинематики и динамики шарнира неравных угловых скоростей // Computational Nanotechnology. — 2022. — Т. 9, № 4. — С. 48-54.

40. Mityushov EA, Misyura NE. A quaternionic description of kinematics and dynamics universal joint // Journal of Physics: Conference Series / IOP Publishing. — Т. 1901. — 2021. — С. 012121.

41. Mityushov EA, Misyura NE, Lamotkin AE. Quaternionic description of the Euler trajectories of a rigid body in various configuration spaces // Polynomial Computer Algebra. — 2021.

42. Mityushov EA, Misyura NE, Lamotkin AE. Designing a program trajectory of a smooth turn // AIP Conference Proceedings / AIP Publishing. — Т. 2340. — 2021.

43. Mityushov EA, Misyura NE, Berestova SA. Quaternion model of programmed control over motion of a Chaplygin ball // Vestn. Udmurtsk. Univ. Mat. Mekh. Komp. Nauki. — 2019. — Т. 29. — С. 408-421.

44. Мисюра НЕ, Митюшов ЕА. Кватернионные модели в кинематике и динамике твердого тела: учебное пособие. — Издательство Уральского университета, 2020.

45. Tyrtyshnikov EE, Zamarashkin NL. Spectra of multilevel Toeplitz matrices: advanced theory via simple matrix relationships // Linear algebra and its applications. — 1998. — Т. 270, № 1-3. — С. 15-27.

46. Tyrtyshnikov EE. A brief introduction to numerical analysis. — Springer Science & Business Media, 1997.

47. Tyrtyshnikov EE. Matrix analysis and linear algebra // Moscow: Fizmatlit. — 2007. — С. 480.

48. Тыртышников ЕЕ. Методы численного анализа. — Академия, 2007.

49. Tyrtyshnikov EE. A well-posed setting of the problem of solving systems of linear algebraic equations // Matematicheskii Sbornik. — 2022.— Т. 213, № 10. —С. 130-138.

50. Segre C. The real representations of complex elements and extension to bicomplex systems // Math. Ann. — 1892. — Т. 40. — С. 413-467.

51. Catoni Francesco, Cannata Roberto и др. An introduction to commutative quaternions // Advances in Applied Clifford Algebras. — 2006. — Т. 16. — С. 128.

52. Pei Soo-Chang, Chang Ja-Han и др. Commutative reduced biquaternions and their Fourier transform for signal and image processing applications // IEEE Transactions on Signal Processing. — 2004. — Т. 52, № 7. — С. 2012-2031.

53. Петров Игорь Борисович. Применение сеточно-характеристического метода для численного решения динамических задач механики деформируемых твердых сред // Computational Mathematics and Information Technologies. — 2023. — Т. 1, № 1.

54. Petrov Igor Borisovich. Application of the grid-characteristic method for mathematical modeling in dynamical problems of deformable solid mechanics // Компьютерные исследования и моделирование.— 2019.— Т. 11, №6. —С. 1041-1048.

55. Petrov Igor B. Application of grid-characteristic method for numerical solution of deformable solid mechanics dynamical problems // Computational Mathematics and Information Technologies. — 2017. — Т. 1, № 1. — С. 1-20.

56. Петров Игорь Борисович, Холодов Александр Сергеевич. Численное исследование некоторых динамических задач механики деформируемого твёрдого тела сеточно-характеристическим методом // Журнал вычислительной математики и математической физики.— 1984.— Т. 24, № 5.— С. 722-739.

57. Петров Игорь Борисович, Тормасов Александр Геннадьевич, Холодов Александр Сергеевич. Об использовании гибридизированных сеточно-характеристических схем для численного решения трехмерных задач динамики деформируемого твердого тела // Журнал вычислительной математики и математической физики.— 1990.— Т. 30, № 8.— С. 12371244.

58. Adler Stephen L. Quaternionic quantum field theory // Niels Bohr: Physics and the World. — Routledge, 2014. — С. 213-229.

59. Jiang Tongsong, Chen Li. An algebraic method for Schrodinger equations

in quaternionic quantum mechanics // Computer Physics Communications. — 2008. — T. 178, № 11. — C. 795-799.

60. Horwitz Lawrence P, Biedenharn Lawrence C. Quaternion quantum mechanics: second quantization and gauge fields // Annals of Physics. — 1984.— T. 157, № 2. — C. 432-488.

61. Danielewski Marek, Sapa Lucjan. Foundations of the quaternion quantum mechanics // Entropy. — 2020. — T. 22, № 12. — C. 1424.

62. Boudet Roger. Quantum Mechanics in the Geometry of Space-Time. — Springer, 2011.

63. Catoni Francesco. Commutative (Segre's) quaternion fields and relation with Maxwell equations // Advances in Applied Clifford Algebras. — 2008. — T. 18. —C. 9-28.

64. Adler Stephen L. Quaternionic quantum mechanics and quantum fields. — Oxford University Press, USA, 1995. — T. 88.

65. Demir Siileyman, Taniçli Murat h gp. Hyperbolic quaternion formulation of electromagnetism // Advances in Applied Clifford Algebras. — 2010. — T. 20. — C. 547-563.

66. Hong In Ki, Kim Choong Sun. Quaternion electromagnetism and the relation with two-spinor formalism // Universe. — 2019. — T. 5, № 6. — C. 135.

67. Kansu Mustafa Emre, Taniçli Murat h gp. Quaternionic comparisons of electromagnetism using Lorentz transformations // The European Physical Journal Plus. — 2020. — T. 135, № 2. — C. 1-16.

68. Kansu Mustafa Emre. Quaternionic representation of electromagnetism for material media // International Journal of Geometric Methods in Modern Physics. — 2019. — T. 16, № 07. — C. 1950105.

69. Guo Zhenwei, Zhang Dong и др. Algebraic techniques for Maxwell's equations in commutative quaternionic electromagnetics // The European Physical Journal Plus. — 2022. — Т. 137, № 5. — С. 1-12.

70. Anastassiu Hristos T, Atlamazoglou Prodromos E и др. Application of bicomplex (quaternion) algebra to fundamental electromagnetics: a lower order alternative to the Helmholtz equation // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. — 2003. — Т. 51, № 8. — С. 2130-2136.

71. Zhang Dong, Jiang Tongsong и др. An efficient method for the total least squares problem in reduced biquaternionic electromagnetics // The European Physical Journal Plus. — 2023. — Т. 138, № 9. — С. 826.

72. Rawat Seema. Quaternion Klein-Gordon equation in the electromagnetic field // The European Physical Journal Plus. — 2022. — Т. 137, № 5. — С. 621.

73. Liu Guoqiang, Li Yuanyuan и др. Quaternion form of the electromagnetic reciprocity theorem // Physica Scripta. — 2024. — Т. 99, № 6. — С. 065204.

74. Garling David JH. Clifford algebras: an introduction. — Cambridge University Press, 2011. —Т. 78.

75. Марчук НГ. Уравнения теории поля и алгебры Клиффорда // Издательская группа URSS, Москва. — 2023.

76. Марчук НГ. Демонстрационное представление и тензорные произведения алгебр Клиффорда // Труды математического института имени ВА Стек-лова. — 2015. — Т. 290, № 0. — С. 154-165.

77. Марчук НГ, Широков ДС. Введение в теорию алгебр Клиффорда // М.: Фазис. — 2012.

78. Куракин Вячеслав Александрович, Ханукаев Юрий Исламович. Об описании физических полей методами алгебры Клиффорда и осцилляции метрики малых областей пространства // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки.— 2015.— Т. 25, № 1.— С. 36-50.

79. Marchuk NG, Shirokov DS. Unitary spaces on Clifford algebras // Advances in Applied Clifford Algebras. — 2008. — Т. 18. — С. 237-254.

80. Chisholm John Stephen Roy, Common Alan K. Clifford algebras and their applications in mathematical physics. — Springer Science & Business Media, 2012. —Т. 183.

81. Hitzer Eckhard, Sangwine Stephen J. Quaternion and Clifford Fourier transforms and wavelets. — Springer, 2013. — Т. 27.

82. Hitzer Eckhard. Quaternion and Clifford Fourier Transforms. — Chapman and Hall/CRC, 2021.

83. Voight John. Quaternion algebras. — Springer Nature, 2021.

84. Shirokov DS. Development of the method of quaternion typification of Clifford algebra elements // Advances in Applied Clifford Algebras. — 2012. — Т. 22. — С. 483-497.

85. Shirokov DS. Quaternion typification of Clifford algebra elements // Advances in Applied Clifford Algebras. — 2012. — Т. 22. — С. 243-256.

86. Huang Chaoyan, Li Juncheng и др. Review of quaternion-based color image processing methods // Mathematics. — 2023. — Т. 11, № 9. — С. 2056.

87. Miron Sebastian, Flamant Julien и др. Quaternions in Signal and Image Processing: A comprehensive and objective overview // IEEE Signal Processing Magazine. — 2023. — Т. 40, № 6. — С. 26-40.

88. Zhang Dong, Jiang Tongsong и др. On singular value decomposition and generalized inverse of a commutative quaternion matrix and applications // Applied Mathematics and Computation. — 2024. — Т. 460. — С. 128291.

89. Chetverushkin BN, Sudakov VA, Titov Yu P. Graph Condensation for Large Factor Models // Doklady Mathematics / Springer. — 2024. — С. 1-6.

90. Penenko Alexey, Emelyanov Mikhail и др. Hybrid Deep Learning and Sensitivity Operator-Based Algorithm for Identification of Localized Emission Sources // Mathematics. — 2023. — Т. 12, № 1. — С. 78.

91. Penenko Alexey, Gochakov Alexander. Parallel speedup analysis of an adjoint ensemble-based source identification algorithm // Journal of Physics: Conference Series / IOP Publishing. — Т. 1715. — 2021. — С. 012072.

92. Пененко АВ, Гочаков АВ. Анализ параллельного ускорения алгоритма идентификации источников на основе ансамблей решений сопряженных уравнений // Марчуковские научные чтения. — 2020. — № 2020. — С. 111111.

93. Penenko Alexey. Convergence analysis of the adjoint ensemble method in inverse source problems for advection-diffusion-reaction models with imagetype measurements // Inverse Probl. Imaging. — 2020. — Т. 14, № 5. — С. 757782.

94. Penenko AV, Mukatova ZS и др. Numerical solution of the inverse source problems for the advection-diffusion-reaction models with imagetype measurement data // AIP Conference Proceedings / AIP Publishing. — Т. 2027. —2018.

95. Penenko AV, Mukatova ZS. Inverse modeling of diffusion-reaction processes with image-type measurement data // 2018 11th International Multiconference

Bioinformatics of Genome Regulation and Structure\ Systems Biology (BGRS\SB) / IEEE. — 2018. — С. 39-43.

96. Koschan Andreas, Abidi Mongi. Digital color image processing. — John Wiley & Sons, 2008.

97. Lukac Rastislav, Plataniotis Konstantinos N. Color image processing: methods and applications. — CRC press, 2018.

98. Chetverushkin Boris Nikolaevich, Yakobovskiy Mikhail Vladimirovich. The prospects of development in Russia of high-performance computing and predictive modeling in modern technologies // Herald of the Russian Academy of Sciences. —2021. —Т. 91, № 6. — С. 661-666.

99. Четверушкин БН, Якобовский МВ. Вычислительные алгоритмы и архитектура систем высокой производительности // Препринты Института прикладной математики им. МВ Келдыша РАН. — 2018. — № 0. — С. 5212.

100. Chetverushkin Boris Nikolaevich, Shilnikov Evgenii Vladimirovich. Software package for 3D viscous gas flow simulation on multiprocessor computer systems // Computational Mathematics and Mathematical Physics. — 2008. — Т. 48. — С. 295-305.

101. Musheng Wei, Li Ying и др. Quaternion matrix computations. — Nova Science Publishers, 2018.

102. Chen Beijing, Shu Huazhong и др. Color image analysis by quaternion-type moments // Journal of mathematical imaging and vision. — 2015.— Т. 51.— С. 124-144.

103. Ell Todd A, Le Bihan Nicolas и др. Quaternion Fourier transforms for signal and image processing. — John Wiley & Sons, 2014.

104. Pei Soo-Chang, Cheng Ching-Min. A novel block truncation coding of color images using a quaternion-moment-preserving principle // IEEE Transactions on Communications. - 1997. - T. 45, № 5. - C. 583-595.

105. Randall Robert B, Antoni Jerome. Rolling element bearing diagnostics-A tutorial // Mechanical systems and signal processing. - 2011. - T. 25, № 2. -C. 485-520.

106. Lee Jay, Wu Fangji h gp. Prognostics and health management design for rotary machinery systems-Reviews, methodology and applications // Mechanical systems and signal processing. - 2014. - T. 42, № 1-2. - C. 314-334.

107. Lv Yong, He Bo h gp. A novel scheme on multi-channel mechanical fault signal diagnosis based on augmented quaternion singular spectrum analysis // Journal of Vibroengineering. - 2017. - T. 19, № 2. - C. 955-966.

108. Yi Cancan, Lv Yong h gp. Quaternion singular spectrum analysis using convex optimization and its application to fault diagnosis of rolling bearing // Measurement. - 2017. - T. 103. - C. 321-332.

109. Ma Yanli, Cheng Junsheng h gp. A novel Lanczos quaternion singular spectrum analysis method and its application to bevel gear fault diagnosis with multichannel signals // Mechanical Systems and Signal Processing. - 2022. - T. 168.-C. 108679.

110. Contreras-Hernandez Jose L, Almanza-Ojeda Dora Luz h gp. Quaternion signal analysis algorithm for induction motor fault detection // IEEE Transactions on Industrial Electronics. - 2019. - T. 66, № 11. - C. 8843-8850.

111. Ma Yanli, Cheng Junsheng h gp. Symplectic quaternion singular mode decomposition with application in gear fault diagnosis // Mechanism and Machine Theory. - 2021. - T. 160. - C. 104266.

112. Zhou Jie, Cheng Junsheng h gp. Adaptive quaternion multivariate local characteristic-scale decomposition and its application to gear fault diagnosis // Digital Signal Processing. — 2022. — T. 129. — C. 103655.

113. Hu Tianqing, Zhou Qinglei h gp. A color image decomposition model for image enhancement // Neurocomputing. — 2023. — T. 558. — C. 126772.

114. Duval Vincent, Aujol Jean-Francois h gp. Mathematical modeling of textures: Application to color image decomposition with a projected gradient algorithm // Journal of Mathematical Imaging and Vision. — 2010. — T. 37, № 3. — C. 232248.

115. Bartolini Franco, Tefas Anastasios h gp. Image authentication techniques for surveillance applications // Proceedings of the IEEE. — 2001. — T. 89, № 10. — C. 1403-1418.

116. Shaik Abdul Subhani, Karsh Ram Kumar h gp. A review of hashing based image authentication techniques // Multimedia Tools and Applications. — 2022. — C. 1-28.

117. Miao Jifei, Kou Kit Ian h gp. Quaternion higher-order singular value decomposition and its applications in color image processing // Information Fusion. — 2023. — T. 92. — C. 139-153.

118. Le Bihan Nicolas, Sangwine Stephen J. Color image decomposition using quaternion singular value decomposition // International Conference on Visual Information Engineering. — 2003. — C. 113-116.

119. Ding Wenxv, Li Ying h gp. Algebraic method for LU decomposition in commutative quaternion based on semi-tensor product of matrices and application to strict image authentication // Mathematical Methods in the Applied Sciences. — 2024. — T. 47, № 7. — C. 6036-6050.

120. Mahto Dhiran Kumar, Singh Amit Kumar. A survey of color image watermarking: State-of-the-art and research directions // Computers & Electrical Engineering. - 2021. - T. 93. - C. 107255.

121. A new structure-preserving quaternion QR decomposition method for color image blind watermarking / Yong Chen, Zhi-Gang Jia h gp. // Signal Processing.- 2021. - T. 185. - C. 108088.

122. Li Mianjie, Yuan Xiaochen h gp. Quaternion discrete fourier transform-based color image watermarking method using quaternion QR decomposition // IEEE Access. - 2020. - T. 8. - C. 72308-72315.

123. Prabha K, Vaishnavi MJ, Sam I Shatheesh. Quaternion Hadamard transform and QR decomposition based robust color image watermarking // 2019 3rd International Conference on Trends in Electronics and Informatics (ICOEI) / IEEE.-2019.-C. 101-106.

124. Chen Yong, Jia Zhigang h gp. Efficient robust watermarking based on structure-preserving quaternion singular value decomposition // IEEE Transactions on Image Processing. - 2023. - T. 32. - C. 3964-3979.

125. Liu Feng, Ma Long-Hua h gp. Optimal blind watermarking for color images based on the U matrix of quaternion singular value decomposition // Multimedia Tools and Applications. - 2018. - T. 77. - C. 23483-23500.

126. Zhang Mingcui, Ding Wenxv h gp. Color image watermarking based on a fast structure-preserving algorithm of quaternion singular value decomposition // Signal Processing. - 2023. - T. 208. - C. 108971.

127. Sun Yehan, Su Qingtang h gp. A blind dual color images watermarking based on quaternion singular value decomposition // Multimedia Tools and Applications. - 2022. - C. 1-23.

128. Mairal Julien, Elad Michael h gp. Sparse representation for color image restoration // IEEE Transactions on image processing. — 2007. — T. 17, № 1. — C. 53-69.

129. Gunturk Bahadir, Li Xin. Image restoration. — CRC Press, 2018.

130. Han Min, Lyu Zhiyu h gp. A review on intelligence dehazing and color restoration for underwater images // IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics: Systems. — 2018. — T. 50, № 5. — C. 1820-1832.

131. Wali Aamir, Naseer Asma h gp. Recent progress in digital image restoration techniques: a review // Digital Signal Processing. — 2023. — C. 104187.

132. Ng Michael K, Pan Jianyu. Weighted Toeplitz regularized least squares computation for image restoration // SIAM Journal on Scientific Computing. — 2014. — T. 36, № 1. — C. B94-B121.

133. Hazra Rajeeb. Constrained least-squares digital image restoration.— The College of William and Mary, 1995.

134. Ng Michael K, Weiss Pierre h gp. Solving constrained total-variation image restoration and reconstruction problems via alternating direction methods // SIAM journal on Scientific Computing. — 2010.— T. 32, № 5.— C. 27102736.

135. Fu Haoying, Ng Michael K h gp. Structured total least squares for color image restoration // SIAM Journal on Scientific Computing. — 2006. — T. 28, № 3. — C. 1100-1119.

136. Huang Chaoyan, Li Zhi h gp. Quaternion-based weighted nuclear norm minimization for color image restoration // Pattern Recognition. — 2022. — T. 128. —C. 108665.

137. Kosal Hidayet Hiida. Least-squares solutions of the reduced biquaternion matrix equation AX= B and their applications in colour image restoration // Journal of Modern Optics. - 2019. - T. 66, № 18. - C. 1802-1810.

138. Zhang Fengxia, Wei Musheng h gp. Special least squares solutions of the quaternion matrix equation AX= B with applications // Applied mathematics and computation. - 2015. - T. 270. - C. 425-433.

139. Zhang Dong. Two algebraic algorithms for the lu decomposition of commutative quaternion matrices and their applications // Eurasian Journal of Mathematical and Computer Applications. - 2023.- T. 11, № 4. - C. 130142.

140. Oseledets Ivan V. Tensor-train decomposition // SIAM Journal on Scientific Computing. - 2011. - Vol. 33, no. 5. - P. 2295-2317.

141. Oseledets Ivan V, Tyrtyshnikov Eugene E. TT-cross approximation for multidimensional arrays // Linear Algebra and its Applications. — 2010. — Vol. 432, no. 1. —P. 70-88.

142. Oseledets Ivan V, Tyrtyshnikov Eugene E. Breaking the curse of dimensionality, or how to use SVD in many dimensions // SIAM Journal on Scientific Computing. — 2009. — Vol. 31, no. 5. — P. 3744-3759.

143. Oseledets Ivan V. Approximation of 2d x 2d matrices using tensor decomposition // SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications. — 2010. — Vol. 31, no. 4. —P. 2130-2145.

144. Zhang Fuzhen. A matrix decomposition and its applications // Linear and Multilinear Algebra. - 2015. - T. 63, № 10. - C. 2033-2042.

145. Chugunov Vadim N, Ikramov Kh D. A complete solution of the permutability

problem for Toeplitz and Hankel matrices // Linear Algebra and its Applications. — 2015. — Т. 478. — С. 53-80.

146. Chugunov Vadim N, Ikramov Kh D. On a Particular Solution of the a-Commutation Problem () for Toeplitz and Hankel Matrice s // Computational Mathematics and Mathematical Physics. — 2023.— Т. 63, № 11.— С. 20382049.

147. Ikramov Kh D, Chugunov Vadim N. Inverse matrix eigenvalue problems // Journal of Mathematical Sciences. — 2000. — Т. 98, № 1. — С. 51-136.

148. Golub Gene H, Van Loan Charles F. Matrix computations. — JHU press, 2013.

о

149. Bjorck Ake. Numerical methods for least squares problems. — SIAM, 2024.

150. Hansen Per Christian, Pereyra Victor, Scherer Godela. Least squares data fitting with applications. — JHU Press, 2013.

151. Икрамов ХД, Чугунов ВН. О невырожденных решениях матричного уравнения XAX = AXA и централизаторе матрицы A // Вестник Московского университета. Серия 15. Вычислительная математика и кибернетика. — 2024. — № 2. — С. 25-30.

152. Ikramov Kh D, Chugunov Vadim N. Nonsingular Solutions of the Matrix Equation and the Centralizer of the Matrix // Moscow University Computational Mathematics and Cybernetics. — 2024. — Т. 48, № 2. — С. 98103.

153. Xiao Lin, Cao Penglin и др. Predefined-Time Noise Immunity ZNN Model for Dynamic Quaternion Least Squares Problem and Application to Synchronization of Hyperchaotic Systems // IEEE Transactions on Emerging Topics in Computational Intelligence. — 2024.

154. Arablouei Reza, Dogancay Kutluyil. Performance analysis of linear-equality-constrained least-squares estimation // IEEE Transactions on Signal Processing. - 2015. - T. 63, № 14. - C. 3762-3769.

155. Zhang Yanzhen, Li Ying h gp. An algorithm based on QSVD for the quaternion equality constrained least squares problem // Numerical Algorithms. - 2021. -T. 87.-C. 1563-1576.

156. Golub Gene H, Van Loan Charles F. An analysis of the total least squares problem // SIAM journal on numerical analysis.- 1980.- T. 17, № 6.-C. 883-893.

157. Markovsky Ivan, Van Huffel Sabine. Overview of total least-squares methods // Signal processing. - 2007. - T. 87, № 10. - C. 2283-2302.

158. Zhang Fuzhen. Quaternions and matrices of quaternions // Linear algebra and its applications. - 1997. - T. 251. - C. 21-57.

159. Sangwine SJ, Bihan NL. Quaternion toolbox for matlab // http://qtfm.sourceforge.net/. - 2013.

160. Jia Zhigang, Wei Musheng h gp. A new structure-preserving method for quaternion Hermitian eigenvalue problems // Journal of Computational and Applied Mathematics. - 2013. - T. 239. - C. 12-24.

161. Li Ying, Wei Musheng h gp. A fast structure-preserving method for computing the singular value decomposition of quaternion matrices // Applied Mathematics and Computation. - 2014. - T. 235. - C. 157-167.

162. Yang Jian, Zhang David h gp. Two-dimensional PCA: a new approach to appearance-based face representation and recognition // IEEE transactions on pattern analysis and machine intelligence. - 2004. - T. 26, № 1. - C. 131-137.

163. Jiang Tongsong. Algebraic methods for diagonalization of a quaternion matrix in quaternionic quantum theory // Journal of Mathematical Physics. - 2005. -T. 46, № 5.

164. Jia Zhi Gang, Ling Si Tao h gp. Color two-dimensional principal component analysis for face recognition based on quaternion model // Intelligent Computing Theories and Application: 13th International Conference, ICIC 2017, Liverpool, UK, August 7-10, 2017, Proceedings, Part I 13 / Springer. -2017.-C. 177-189.

165. Libor Spacek's Facial Images Databases // https://cmp.felk.cvut.cz/ spacelib/faces/.

166. FEI Face Database // https://fei.edu.br/ cet/facedatabase.html.

167. Yan Xingyou, Zhang Heng h gp. Degree of cyclic target protrusion defined on squared envelope spectrum for rotating machinery fault diagnosis // Measurement. - 2022. - T. 188. - C. 110634.

168. Zhao Ming, Jia Xiaodong. A novel strategy for signal denoising using reweighted SVD and its applications to weak fault feature enhancement of rotating machinery // Mechanical Systems and Signal Processing. - 2017.-T. 94. - C. 129-147.

169. Jia Zhigang, Ng Michael K h gp. Color image restoration by saturation-value total variation // SIAM Journal on Imaging Sciences. - 2019. - T. 12, № 2. -C. 972-1000.

170. Singh Chandan, Singh Jaspreet. Quaternion generalized Chebyshev-Fourier and pseudo-Jacobi-Fourier moments for color object recognition // Optics & Laser Technology. - 2018. - T. 106. - C. 234-250.

171. Yin-Jie Lei, Chen Cun-Jian h gp. Quaternion singular value decomposition approach to color image de-noising // 2008 IEEE International Joint Conference on Neural Networks (IEEE World Congress on Computational Intelligence) / IEEE. - 2008. - C. 131-136.

172. Gai Shan, Huang Xiang. Reduced biquaternion convolutional neural network for color image processing // IEEE Transactions on Circuits and Systems for Video Technology. - 2021. - T. 32, № 3. - C. 1061-1075.

173. Nie Bofan, Gai Shan h gp. Color Image Denoising Using Reduced Biquaternion U-Network // IEEE Signal Processing Letters. - 2024.

174. Pei Soo-Chang, Ding Jian-Jiun h gp. Eigenfunctions, eigenvalues, and fractionalization of the quaternion and biquaternion fourier transforms // 2010 18th European Signal Processing Conference / IEEE. - 2010. - C. 1874-1878.

175. Zhang Dong, Jiang Tongsong h gp. Two novel numerical methods for the diagonalisation of a reduced biquaternion matrix in the reduced biquaternionic algebra // Linear and Multilinear Algebra. - 2024. - T. 72, № 1. - C. 139-152.

176. El-Melegy Moumen T, Kamal Aliaa T. Color image processing using reduced biquaternions with application to face recognition in a PCA framework // Proceedings of the IEEE International Conference on Computer Vision Workshops. - 2017. - C. 3039-3046.

177. Kosal Hidayet Hiida, Tosun Murat. Commutative quaternion matrices // Advances in Applied Clifford Algebras. - 2014. - T. 24. - C. 769-779.

178. Kosal Hidayet Huda, Tosun Murat. Some equivalence relations and results over the commutative quaternions and their matrices // Analele §tiinjifice ale Universita|ii"Ovidius"Constan!;a. Seria Matematica. - 2017.- T. 25, № 3.-C. 125-142.

179. Grigoryan Artyom M, Agaian Sos S. Commutative quaternion algebra and DSP fundamental properties: Quaternion convolution and Fourier transform // Signal Processing. - 2022. - T. 196. - C. 108533.

180. Li Ying, Wei Musheng h gp. A new double color image watermarking algorithm based on the SVD and Arnold scrambling // Journal of Applied Mathematics. - 2016. - T. 2016.

181. Kosal Hidayet Huda, Tosun Murat. Universal similarity factorization equalities for commutative quaternions and their matrices // Linear and Multilinear Algebra. - 2019. - T. 67, № 5. - C. 926-938.

182. Li Ying, Wei Musheng h gp. A real structure-preserving method for the quaternion LU decomposition, revisited // Calcolo. - 2017. - T. 54. - C. 15531563.

183. Bunse Gerstner Angelika, Byers Ralph h gp. A quaternion QR algorithm // Numerische Mathematik. - 1989. - T. 55. - C. 83-95.

184. Pei Soo Chang, Chang Ja Han h gp. Eigenvalues and singular value decompositions of reduced biquaternion matrices // IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Regular Papers. - 2008. - T. 55, № 9. - C. 26732685.

185. Jiang Tongsong, Wei Musheng. Equality constrained least squares problem over quaternion field // Applied mathematics letters. - 2003. - T. 16, № 6. -C. 883-888.

186. Li Ying, Wei Musheng h gp. Comparison of two SVD-based color image compression schemes // PloS one. - 2017. - T. 12, № 3. - C. e0172746.

187. Zhang Dong, Jiang Tongsong h gp. A complex structure-preserving algorithm

for computing the singular value decomposition of a quaternion matrix and its applications // Numerical Algorithms. - 2024. - T. 95, № 1. - C. 267-283.

188. Franzen R. Kodak lossless true color image suite // https://r0k.us/graphics/kodak/. - 1999.

189. Belferdi Wassila, Noui Lemnouar h gp. A Novel Cholesky Decomposition-based Scheme for Strict Image Authentication // 2nd international Conference on Pattern Analysis and Intelligent Systems. - 2016.

190. USC-SIPI Image Database // https://sipi.usc.edu/database/.

191. Wall Michael E, Rechtsteiner Andreas h gp. Singular value decomposition and principal component analysis // A practical approach to microarray data analysis. - Springer, 2003. - C. 91-109.

192. Prasantha HS, Shashidhara HL h gp. Image compression using SVD // International conference on computational intelligence and multimedia applications (ICCIMA 2007) / IEEE. - T. 3. - 2007. - C. 143-145.

193. Elad Michael, Aharon Michal. Image denoising via sparse and redundant representations over learned dictionaries // IEEE Transactions on Image processing. - 2006. - T. 15, № 12. - C. 3736-3745.

194. Singh Satish Kumar, Kumar Shishir. A framework to design novel SVD based color image compression // 2009 Third UKSim European Symposium on Computer Modeling and Simulation / IEEE. - 2009. - C. 235-240.

195. Wang Zhou, Bovik Alan C h gp. Image quality assessment: from error visibility to structural similarity // IEEE transactions on image processing. - 2004. -T. 13, №4.-C. 600-612.

196. Arnold Vladimir Igorevich, Avez Andre. Ergodic problems of classical mechanics. - 1968.

197. Bhatnagar Gaurav, Wu QM Jonathan h gp. A new robust adjustable logo watermarking scheme // computers & security. - 2012. - T. 31, № 1. - C. 4058.

198. Ding Wenxv, Li Ying h gp. Special least squares solutions of the reduced biquaternion matrix equation AX= B with applications // Computational and Applied Mathematics. - 2021. - T. 40, № 8. - C. 279.

199. Zhang Dong, Guo Zhenwei h gp. Algebraic techniques for least squares problems in commutative quaternionic theory // Mathematical Methods in the Applied Sciences. - 2020. - T. 43, № 6. - C. 3513-3523.

200. Jiang Tongsong, Zhang Zhaozhong h gp. A new algebraic technique for quaternion constrained least squares problems // Advances in Applied Clifford Algebras. - 2018. - T. 28. - C. 1-10.

201. Li Ying, Zhang Yanzhen h gp. Real structure-preserving algorithm for quaternion equality constrained least squares problem // Mathematical Methods in the Applied Sciences. - 2020. - T. 43, № 7. - C. 4558-4566.

202. Zhang Fengxia, Zhao Jianli. A real structure-preserving algorithm based on the quaternion QR decomposition for the quaternion equality constrained least squares problem // Numerical Algorithms. - 2022. - T. 91, № 4. - C. 18151827.

203. Wang Gang, Jiang Tongsong h gp. An efficient method for the split quaternion equality constrained least squares problem in split quaternionic mechanics // Computational and Applied Mathematics. - 2023. - T. 42, № 6. - C. 258.

204. Jiang Tongsong, Cheng Xuehan h gp. An algebraic technique for total least squares problem in quaternionic quantum theory // Applied Mathematics Letters. - 2016. - T. 52. - C. 58-63.

Wei Musheng, Li Ying и др. Generalized least squares problems: theory and computations. — Science Press, 2020.

206. Zhang Dong, Wang Gang h gp. Algebraic methods for equality constrained least squares problems in commutative quaternionic theory // Mathematical Methods in the Applied Sciences. - 2023. - T. 46, № 2. - C. 1699-1708.

207. Zhang Dong, Jiang Tongsong h gp. Real and complex solutions of the total least squares problem in commutative quaternionic theory // Computational and Applied Mathematics. - 2024. - T. 43, № 4. - C. 235.

Публикации автора

[A1] D. Zhang, T. Jiang, G. Wang, V.I. Vasil'ev On singular value decomposition and generalized inverse of a commutative quaternion matrix and applications // Applied Mathematics and Computation, 2024, 460: 128291. (Web of science Q1) [A2] D. Zhang, T. Jiang, Z. Guo, V.I. Vasil'ev An algebraic algorithm for the diagonalization of a biquaternion matrix in the biquaternionic mechanics // Computational and Applied Mathematics, 2024, 43(221): 1-9. (Web of science Q1) [A3] D. Zhang, T. Jiang, Z. Guo, V.I. Vasil'ev Real and complex solutions of the total least squares problem in commutative quaternionic theory // Computational and Applied Mathematics, 2024, 43(235): 1-14. (Web of science Q1) [A4] D. Zhang, T. Jiang, C. Jiang, G. Wang A complex structure-preserving algorithm for computing the singular value decomposition of a quaternion matrix and its applications // Numerical Algorithms, 2024, 95(1): 267-283. (Web of science Q2)

[A5] D. Zhang, T. Jiang, G. Wang, V. I. Vasil'ev An efficient method for the total least squares problem in reduced biquaternionic electromagnetics // The European Physical Journal Plus. 2023, 138(9): 826. (Web of science Q2) [A6] D. Zhang, G. Wang, V. I. Vasil'ev, T. Jiang Algebraic methods for equality constrained least squares problems in commutative quaternionic theory // Mathematical Methods in the Applied Science. 2023, 46(2):1699-1708. (Web of science Q1)

[A7] D. Zhang Two algebraic algorithms for the LU decomposition of commutative quaternion matrices and their applications // Eurasian Journal of Mathematical and Computer Applications, 2023, 11(4): 130-142.

[A8] D. Zhang, T. Jiang, G. Wang, V. I. Vasil'ev Two novel numerical methods for the diagonalisation of a reduced biquaternion matrix in the reduced biquaternionic algebra // Linear and Multilinear Algebra, 2022, 72(1): 139-152. (Web of science Q2)

[A9] T. Jiang, Z. Guo, D. Zhang, V. I. Vasil'ev A fast algorithm for the Schrodinger

equation in quaternionic quantum mechanics // Applied Mathematics Letters, 2024, 150: 108975. (Web of science Q1)

[A10] T. Jiang, G. Wang, Z. Guo, D. Zhang Algebraic algorithms for a class of Schrodinger equations insplit quaternionic mechanics // Mathematical Methods in the Applied Sciences, 2024, 47(7): 6205-6215. (Web of science Q1) [A11] T. Jiang, D. Zhang, Z. Guo, G. Wang, V.I. Vasil'ev Algebraic techniques for canonical forms and applications in split quaternionic mechanics // Journal of Mathematics, 2023, 2023: 4599585. (Web of science Q1)

[A12] G. Wang, T. Jiang, D. Zhang, V. I. Vasil'ev An efficient method for the split quaternion equality constrained least squares problem in split quaternionic mechanics // Computational and Applied Mathematics, 2023, 42(6): 1-13. (Web of science Q1) [A13] G. Wang, D. Zhang, V. I. Vasil'ev, T. Jiang A complex structure-preserving algorithm for the full rank decomposition of quaternion matrices and its applications // Numerical Algorithms, 2022, 91(4): 1461-1481. (Web of science Q2) [A14] Z. Guo, D. Zhang, V. I. Vasil'ev, T. Jiang Algebraic techniques for Maxwell's equations in commutative quaternionic electromagnetics // The European Physical Journal Plus, 2022, 137(5): 1-12. (Web of science Q2)

[A15] G. Wang, D. Zhang, Z. Guo, T. Jiang Cramer's rule over quaternions and split quaternions: A unified algebraic approach in quaternionic and split quaternionic mechanics // Journal of Algebra and Its Applications, 2021, 20(5): 2150080. (Scopus Q2)

[A16] G. Wang, T. Jiang, Z. Guo, D. Zhang A complex structure-preserving algorithm for split quaternion matrix LDU decomposition in split quaternion mechanics // Calcolo, 2021, 58(34): 1-15. (Web of science Q1) [A17] Чжан Д. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ «Вычислительная библиотека для создания надежных схем сжатия изображений». № 2024662542, опубл. 29.05.2024.

Приложение 1. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ