Разработка алгоритмов идентификации состояний электроэнергетических систем на базе методов цифровой обработки сигналов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.09.05, доктор наук Грицутенко Станислав Семенович

• Грицутенко Станислав Семенович
• доктор наук
• 2021

Оглавление диссертации доктор наук Грицутенко Станислав Семенович

Введение

Глава 1. Анализ состояния вопроса

1.1. Проблемы, возникающие при использовании классического математического аппарата, при работе с электротехническим

сигналом

1.2. Введение понятия низкоэнтропийного сигнала

1.3. Проблемы использования алгоритма быстрого преобразования Фурье при анализе электротехнических сигналов в задачах идентификации

1.4. Анализ представления ошибок квантования белым шумом с равномерным распределением амплитуды при дискретизации тока и напряжения в электроэнергетических системах

1.5. Выводы

Глава 2. Развитие математического аппарата обработки квазипериодических

сигналов, характерных для задач электротехники

2.1. Теорема о восстановлении дискретизированного сигнала

2.2. Введение понятия дельта-вектор и использование его в задачах идентификации

2.3. Эффекты округления в рекуррентных вычислениях при

анализе электротехнических систем

2.4. Оптимальная интерполяция электротехнического сигнала по критерию минимума среднеквадратичной ошибки

2.5. Выводы

Глава 3. Аналого-цифровое преобразование и представление данных в

ЭВМ, адаптированные к квазипериодическим сигналам,

используемым в электротехнических системах

3.1. Аналого-цифровое преобразование, позволяющее увеличить динамический диапазон измерителя за счет использования свойств электротехнических сигналов

3.2. Случайная дискретизация, как метод позволяющий снизить производительность вычислителя в случае обработки

электротехнических сигналов

3.3. Метод повышения точности измерения электротехнических сигналов за счет использования 2-х АЦП

3.4. Представление электротехнического сигнала для обработки в

ЭВМ в виде ряда Тейлора

3.5. Оптимальное квантование электротехнического сигнала в

смысле сохранения максимального количества информации

3.6. Выводы

Глава 4. Быстрые алгоритмы обработки электротехнических сигналов

4.1. Введение в теорию быстрых алгоритмов

4.2. Основные понятия и определения

4.3. Колмогоровские алгоритмы

4.4. Измерение гармоник электротехнического сигнала в реальном времени с использованием быстрого алгоритма

4.5. Выводы

Глава 5. Практическое использование результатов диссертационного

исследования

5.1. Эффективный алгоритм измерения параметров длинных линий

5.2. О корректности некоторых положений ГОСТ 30804.4.7 —2013

5.3. Совершенствование методики определения места разрыва

линии электропередач

5.4. Измерение нелинейности вольтамперной характеристики электротехнического устройства без гистерезиса

5.5. Измерение гистерезиса вольтамперной характеристики

5.6. Методика измерения сверхнизкочастотных сигналов

5.7. Многофункциональный измеритель показателей качества электрической энергии МИК-1

5.8. Бортовой счетчик электрической энергии для

электроподвижного состава

5.9. Выводы

Заключение

Список сокращений и условных обозначений

Список литературы

Приложение А

Приложение Б

Приложение В

Приложение Г

Приложение Д

Приложение Е

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка алгоритмов идентификации состояний электроэнергетических систем на базе методов цифровой обработки сигналов»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность исследования. Цифровизация экономики базируется на «Стратегии развития информационного общества в Российской Федерации на 2017 - 2030 годы». Эта стратегия предполагает, что «создание российских информационных и коммуникационных технологий осуществляется в целях получения государством и гражданами новых технологических преимуществ, использования и обработки информации, доступа к ней, получения знаний, формирования новых рынков и обеспечения лидерства на них». Следовательно, внедрение методов цифровой обработки сигналов в решение задач теоретической электротехники является важным и актуальным.

«Теоретические и экспериментальные исследования по анализу и математической интерпретации электромагнитных явлений и процессов в электротехнических, электроэнергетических и электрофизических устройствах и системах» (Формула специальности 05.09.05 «Теоретическая электротехника»), а также решение задач «диагностики и идентификации электрических цепей и электродинамических систем» (там же), требуют разработки специального математического аппарата. Эти исследования также соответствуют п.3 Области исследований «Формулы специальности 05.09.05» «Разработка методов анализа, синтеза, оптимизации и диагностики электромагнитных полей и электрических цепей».

В настоящее время «методы расчета электромагнитных полей, моделирования электромагнитных процессов, методы анализа, синтеза, диагностики и идентификации электрических цепей и электродинамических систем» (Формула специальности) реализуются на базе микропроцессорной техники, которая работает с последовательностями. Изучение методов преобразования экспериментальных зависимостей (тока, напряжения и т.д.) в форму удобную для обработки компьютером, в том числе исследование способов аналого-цифрового преобразования, учитывающих особенности электротехнических сигналов, в частности их низкую вариабельность, является актуальной научной задачей и соответствует п. 5 Области исследований «Разработка основ теории и методов исследования электродинами-

ческих систем, интегрирующих объекты информационной и электротехнической природы». Средства вычислительной техники обладают конечными точностью и скоростью вычислений. Повышение точности и эффективности обработки данных так же является важной научной задачей и соответствуют п. 2 Области исследований «Экспериментальные и расчетные исследования электрических, электронных и магнитных цепей».

Большое число сигналов, рассматриваемых в электротехнике (функциональных зависимостей тока и напряжения от времени), близко к периодическим. Их изменение может быть с высокой достоверностью предсказано на значительных, в сравнении с периодом, интервалах времени. Это позволяет рассматривать эти сигналы в данной работе, как близкие к детерминированным. Благодаря этому факту они образуют обособленную группу временных зависимостей, которая существенно отличается по своим свойствам от прочих сигналов, имеющих случайную природу и рассматриваемых, например, в радиотехнике, а также классической теории обработки сигналов.

Выделение электротехнических сигналов из широкого множества радиотехнических сигналов в отдельную группу, приводит к важным научным и техническим последствиям. Близость сигнала к детерминированному означает, что такой сигнал переносит малое количество информации по сравнению со случайным, радиотехническим сигналом. Если в радиотехнике сигналы создаются для переноса максимального количество информации и, следовательно, обладают высокой вариабельностью, то для электротехнического сигнала наоборот желательна максимальная детерминированность и, следовательно, его вариабельность мала. Таким образом, с одной стороны, мы пытаемся получить об электротехническом сигнале как можно больше информации (увеличивая точность измерения и количество измеряемых параметров) и, с другой стороны, стремимся максимально стабилизировать параметры этого сигнала, сводя количество переносимой им информации к минимуму. Исследования информационных свойств электрического сигнала, использование его уникально низкой вариабельности, имеет важное значение для создания новых алгоритмов обработки токов и напряжений в электроэнерге-

тических системах (ЭЭС). Эти исследования соответствует п. 5 Области исследований «Разработка основ теории и методов исследования электродинамических систем, интегрирующих объекты информационной и электротехнической природы».

Отмеченное выше противоречие приводит к тому, что стандартные алгоритмы, хорошо показывающие себя при обработки радиотехнического сигнала, могут быть неэффективны (давать низкую точность измерений, быть излишне громоздкими) в отношении электротехнических сигналов. Поэтому научный интерес представляет поиск новых алгоритмов обработки, учитывающих указанные особенности токов и напряжений в ЭЭС, что соответствует п. 3 и п. 5 Области исследований «Разработка методов анализа, синтеза, оптимизации и диагностики электромагнитных полей и электрических цепей» и «Разработка основ теории и методов исследования электродинамических систем, интегрирующих объекты информационной и электротехнической природы».

Методы, применяемые для измерения и анализа электротехнических сигналов, требуют большого количества вычислений для получения результата с заданной точностью. Контрольно-измерительное оборудование, используемое в этих целях, предназначено для работы в режиме реального времени. Оно весьма критично к скорости выполнения измерительного алгоритма. Следовательно, задача разработки быстрых алгоритмов, адаптированных к свойствам тока и напряжения в электротехнических системах, имеет важное научное значение, что соответствует п.3 Области исследований «Разработка методов анализа, синтеза, оптимизации и диагностики электромагнитных полей и электрических цепей».

Значительный вклад в создание и развитие математического аппарата электротехники внесли такие ученые, как Л. В. Алексейчик, М. Е. Алпатов, А. Н. Бе-лянин, А. С. Бочев, П. А. Бутырин, Ю. А. Бычков, П. А. Галайдин, Г. Г. Гусев, К. С. Демирчян, В. Н. Зажирко, В. М. Золотницкий, К. К. Ким, Н. В. Коровкин, Б. И. Косарев, А. А. Кузнецов, В. С. Кулебакин, В. С. Лукша, А. Н. Макеев, Л. Р. Нейман, А. П. Попов, Е. Б. Соловьева, А. А. Усольцев, В. Т. Черемисин,

Э. П. Чернышев, В. Л. Чечурин, Ф. Н. Шакирзянов, М. А. Шакиров, К. И. Шен-фер, В. В. Шулейкин, М. В. Шулейкин.

Цель работы и задачи исследования - создание, исследование и применение к решению актуальных электротехнических задач новых высокоэффективных алгоритмов для обработки экспериментально получаемых данных о режимах работы электрических цепей и систем, и совершенствование математического аппарата цифровой обработки сигналов на основе использования свойств, присущих исключительно временным зависимостям токов и напряжений в электрических цепях переменного тока и ЭЭС.

Для достижения указанной цели необходимо решить следующие задачи:

1) обосновать необходимость введения и ввести понятие электротехнического сигнала на базе положений теории информации в отношении токов и напряжений в силовых сетях с целью выявить количественные отличия данного типа сигнала от сигналов, характерных для радиотехники;

2) исследовать особенности применения и дать обоснованную критическую оценку допущений существующего математического аппарата, используемого в настоящее время для работы, как с электротехническими, так и с радиотехническими сигналами, с целью выявить некорректности, оказывающие влияние на точность и скорость измерительных алгоритмов в отношении электротехнического сигнала, но не являются критическими в отношении сигнала радиотехнического;

3) предложить новую трактовку ряда теоретических положений существующего математического аппарата с целью устранения некорректностей, возникающих при работе с электротехническим сигналом;

4) предложить новые эффективные методы аналого-цифрового преобразования, адаптированные к свойствам тока и напряжения в ЭЭС, позволяющие повысить точность измерительных алгоритмов, включая методику увеличения динамического диапазона приборов учета электрической энергии;

5) разработать новые эффективные методы повышения скорости обработки электротехнических сигналов, использующие их уникальные свойства, включая

методику идентификации частотных зависимостей эквивалентных параметров длинных линий;

6) на основе свойства высокой детерминированности электротехнического сигнала разработать новые алгоритмы решения задач идентификации состояний ЭЭС, включая метод измерения нелинейной вольтамперной характеристики рези-стивного элемента и метод измерения кривой гистерезиса электротехнических материалов, использующих модифицированный математический аппарат, позволяющие значительно повысить точность и скорость идентификации;

7) применяя новые методы повышения скорости обработки и аналого-цифрового преобразования электротехнических сигналов к анализу процессов в ЭЭС, показать на примере разработанного автором контрольно-измерительного оборудования возможность улучшения технических характеристик устройств данного типа.

Предметом исследования являются новые алгоритмы для обработки экспериментально получаемых данных о режимах работы электрических цепей и систем, находящихся в квазистационарном состоянии, используемые в задачах анализа и идентификации состояний ЭЭС.

Методика исследования базируется на применении методов математического анализа, теории электрических цепей, теории информации, алгебры, цифровой обработки сигналов, моделирования на ЭВМ.

Научная новизна. В диссертационной работе решены теоретические и практические задачи по созданию, исследованию и применению новых высокоэффективных алгоритмов для обработки экспериментально получаемых данных о режимах работы ЭЭС, находящихся в квазистационарном состоянии и совершенствование математического аппарата цифровой обработки сигналов на основе использования уникальных свойств временных зависимостей электротехнических величин.

К наиболее значимым можно отнести следующие результаты:

1) введено понятие электротехнического сигнала, как сигнала с низкой вариабельностью, и обосновано его отличие от радиотехнического сигнала, который наоборот обладает высокой вариабельностью;

2) показано, что если считать электротехнический сигнал периодической функцией, то в отношении него нельзя применять теорему Котельникова;

3) показано, что применение модели ошибки квантования в виде аддитивного белого шума с равномерным распределением амплитуды, в случае именно электротехнического сигнала, приводит к значительным погрешностям измерений при использовании стандартных для радиотехнического сигнала алгоритмов обработки;

4) показано что, если считать электротехнический сигнал не периодическим, а конечным, но низковариабельным, то в отношении него возможно предложить математическое утверждение, позволяющее выполнять его дискретизацию с последующий интерполяцией, либо за меньшее число математических операций, либо с меньшей ошибкой, чем случае радиотехнического сигнала.

5) предложены новые методы обработки токов и напряжений в ЭЭС, позволяющие за счет использования свойства низкой вариабельности электротехнического сигнала повысить точность и скорость обработки;

6) предложена методика, позволяющая кратно сократить число арифметических операций при обработке сигнала по сравнению с классическим подходом, за счет использования уникального свойства низкой вариабельности тока и напряжения в ЭЭС;

7) предложен ряд новых эффективных алгоритмов для решения задач идентификации состояний ЭЭС, разработанных на базе модифицированного математического аппарата и позволяющих повысить точность и скорость идентификации;

8) при использовании новых способов аналого-цифрового преобразования и методов повышения скорости обработки электротехнических сигналов для анализа процессов в ЭЭС, показана возможность улучшения технических характери-

стик устройств данного типа на примере разработанного автором контрольно-измерительного оборудования.

На защиту выносятся следующие положения:

1) метод повышения точности измерения электротехнических сигналов, основанный на учете выявленных в работе свойств этих сигналов, реализованный с помощью двух аналого-цифровых преобразователей (АЦП);

2) быстрый алгоритм измерения гармоник тока и напряжения в реальном времени, требующий при реализации минимального количества операций «умножение» и «сложение»;

3) на основании учета свойства низкой вариабельности электротехнического сигнала, усовершенствована методика определения места разрыва линии электропередач, что позволило повысить точность локализации разрыва в два раза;

4) метод измерения нелинейной вольтамперной характеристики резистивно-го элемента и метод измерения кривой гистерезиса электротехнических материалов;

5) новая методика измерения сверхнизкочастотных сигналов, позволяющая различать электромагнитные воздействия на ЭЭС типа электромагнитной бури или северного сияния и тепловой шум измерительного устройства, за счет малых значений коэффициента вариабельности измеряемого процесса.

Достоверность научных положений и выводов Достоверность результатов научной работы подтверждена экспериментальными исследованиями, практической реализацией информационно-измерительных систем «Бортовой счетчик электрической энергии для электроподвижного состава» и «Многофункциональный измеритель показателей качества электрической энергии МИК-1», и основана на доказанных и корректно использованных методиках повышения точности и производительности измерительного электротехнического оборудования.

Адекватность результатов научной работы обусловлена соответствием фактически измеренных технических характеристик, разработанных реальных устройств, характеристикам, рассчитанным по предложенным методикам (расхождение составило менее 10%).

Личный вклад соискателя. Все основные научные результаты и выводы, изложенные в диссертации, получены автором самостоятельно.

Практическая значимость работы. На основании теоретических и экспериментальных исследований разработаны алгоритмы:

- аналого-цифрового преобразования токов и напряжений в ветвях и узлах

ЭЭС;

- измерения вольтамперной характеристики электротехнических устройств при отсутствии и наличии гистерезиса;

- эффективного измерения гармоник напряжений и токов в ветвях и узлах

ЭЭС.

Выявлены некорректности ряда положений ГОСТ 30804.4.7—2013 и предложена альтернативная методика измерения гармоник электротехнического сигнала;

Изготовлен и испытан анализатор качества электрической энергии, позволяющий измерять, в том числе, гармоники напряжения и тока в ЭЭС, опытные образцы которого внедрены на Западносибирской железной дороге.

Разработаны и внедрены на Западносибирской железной дороге несколько модификаций бортовой системы учета электрической энергии для локомотивов.

Методы и алгоритмы, разработанные в диссертации, имеют перспективу применения в различных областях научно-инженерных исследований ЭЭС. Результаты исследований будут полезны в учебном процессе для всех форм обучения.

Апробация работы. Основные положения работы докладывались и обсуждались на 18 международных (Международный научный семинар им. Ю.Н. Ру-денко 2017, Чолпон-Ата, Киргизия; ElConRus 2017, Saint-Petersburg, Russia, SPPRA'2013, Innsbruck, Austria - 2 доклада; IASTED SIP'2013, Banff, Canada; ICECECE, Zurich, Switzerland; DSPA 2009, Москва - 2 доклада; Wavelets and applications 2009, Санкт-Петербург; IEEE EWDTS'09, Москва - 2 доклада; DSPA 2010, Москва - 2 доклада; RLNC 2010, Воронеж; Международная алгебраическая конференция, посвященная 70-летию А. В. Яковлева, Санкт-Петербург 2010; Ал-

гебра, логика и приложения, Красноярск 2010; IEEE EWDTS'10, Санкт-Петербург; DSPA 2010, Москва; Мальцевские Чтения, Новосибирск 2008; Transportation as a Mean of Globalization, Czech Republic 2007) и 5 всероссийских научных конференций (Современные проблемы радиоэлектроники, Красноярск 2009; Современные проблемы радиоэлектроники, Красноярск 2010; Научная сессия РНТОРЭС им. А. С. Попова, посвященная Дню Радио, Москва 2010, Молодежь и современные информационные технологии, Томск 2010; МЭС-2010, Москва).

Публикации. По материалам диссертации опубликована монография, а также 77 печатных работ (в том числе 29 статей в изданиях из перечня, рекомендованного ВАК, 6 статей, входящие в индекс цитирования Scopus), получено 5 патентов на полезную модель и один патент на изобретение.

ГЛАВА 1. АНАЛИЗ СОСТОЯНИЯ ВОПРОСА

В главе рассматриваются некорректности классического математического аппарата цифровой обработки сигналов, которые проявляются при работе с токами и напряжениями в электроэнергетических системах. Вводится понятие электротехнического сигнала, как сигнала обладающего низкой энтропией, в отличие от радиотехнического сигнала, который обладает высокой энтропией. Показывается, что в случае электротехнического сигнала использование дискретного преобразования Фурье может привести к значительной ошибке при измерении гармоник. Показывается, что в случае электротехнического сигнала использование модели ошибки квантования, как аддитивного белого шума, некорректно.

1.1. Проблемы, возникающие при использовании классического математического аппарата, при работе с электротехническим сигналом

В разделе рассматривается современный математический аппарат цифровой обработки сигналов. Утверждается, что данный аппарат удобен при работе с радиотехническим сигналом, но имеет проблемы при работе с электротехническим сигналом. Приводятся примеры, показывающие неадекватность данного аппарата. В заключении делается вывод, о необходимости разработки специального математического аппарата для проектирования электротехнических систем, учитывающего свойства электротехнического сигнала. Результаты данного исследования опубликованы в [1, 2].

В данной диссертационной работе рассматриваются методы обработки электротехнического сигнала. Под электрическим сигналом, далее будут подразумеваться токи и напряжения в силовых цепях, которые в отличие от радиотехнических сигналов переносят не информацию, а энергию. Для разного рода операций с такими сигналами (измерения амплитуды, спектрального анализа и, в общем случае, решения задач идентификации) необходимо выполнять обработку в

соответствии с тем или иным алгоритмом. Если в прошлом веке такая обработка велась при помощи аналоговых приборов, то в настоящее время практически повсеместно используют методы цифровой обработки сигналов (ЦОС).

Математический аппарат цифровой обработки сигналов имеет очень давнюю историю. В основном, он строится на методах обсчета больших массивов информации при помощи только двух арифметических операций - сложения и умножения. Очевидно, что быстрое выполнение этих операций является залогом эффективности практически любого алгоритма ЦОС.

До середины прошлого века считалось, что самым быстрым алгоритмом выполнения умножения являются вычисления в столбик. Так полагал и величайший математик 20-го века А. Н. Колмогоров [3]. Он пытался доказать, что для перемножения двух «-разрядных чисел необходимо п2 одноразрядных операций. В качестве обоснования своей гипотезы, Колмогоров приводил такой довод. Человечество умножает в столбик уже 2000 лет, и так как за это время никто не изобрел алгоритма быстрее, то скорее всего его просто не существует. Однако, в 1960 А. А. Карацуба предложил метод, позволяющий умножать всего за п1,55 одноразрядных операций [4-6]. Из сказанного следует, если некоторый алгоритм используется достаточно долго, то это не является гарантией того, что не существует более эффективных методов решения данной задачи.

Текущий матаппарат ЦОС приобрёл современный вид примерно полвека назад. Он строится на достаточно противоречивых утверждениях и, очевидно, в ряде случаев может быть значительно усовершенствован. В качестве примера возьмём одно из основных понятий ЦОС - базу сигнала [7, 8], которую можно определить, как

В = ЛТ ■АР, (1.1)

где Л Г - длительность сигнала; Л^ - ширина спектра сигнала.

Однако хорошо известно, что у сигнала может быть либо конечная длительность, либо финитный спектр [7, 9, 10]. Ограничить оба параметра невозможно исходя из теоретических положений теории цепей. В случае электротехнического

сигнала, который интуитивно представляется в виде синусоиды, ситуация представляется еще более запутанной. Ширина спектра синусоиды с одной стороны стремиться к нулю, а ее длительность - к бесконечности. Таким образом, значение В становится неопределённым, а формула (1.1) требует уточнения.

Данное противоречие приводит к следующему парадоксу. Одна из известных формулировок теоремы Шеннона о пропускной способности канала имеет вид:

C = AF log

1 + P P

V 1 n у

(1.2)

где C - пропускная способность канала; AF - полоса пропускания в канале; P - мощность сигнала; Pn - мощность шума.

Если полоса сигнала ограничивается идеально прямоугольным фильтром, то

sin t .

такой фильтр имеет импульсную характеристику вида -. А так как эта функция не имеет начала, то данный фильтр имеет бесконечную задержку. Другими словами, если на вход измерительного канала, имеющего ограничивающий прямоугольный фильтр, подать сигнал, то на выходе этого канала отклика мы не получим никогда. Это означает, что через такой канал информации вообще не проходит. Приходим к противоречию с формулой (1.2).

В основе ЦОС лежит теорема Котельникова, которая позволяет преобразовать непрерывный во времени сигнал в последовательность. Полученную в результате такого преобразования последовательность обрабатывают при помощи сигнального процессора. Выясним, возможно ли применять данную теорему при обработке токов и напряжений в системах контроля и диагностики электрической энергии.

Для этого необходимо ответить на вопрос, какова математическая модель того объекта, что мы собираемся обрабатывать. В зависимости от тех или иных ограничений, которые мы накладываем на электротехнический сигнал, выбирает-

ся тот или иной математический аппарат для его обработки. Если считать, что электротехнический сигнал u (t) представляет собой синусоиду или к ней стремиться, то приходим к выводу, что дискретизация электротехнического сигнала в соответствии с теоремой Котельникова невозможна, так как в своей работе [11] он прямо указывал на ограничения, которые предъявляются к сигналу. Это существование интеграла вида

го

J u (t) dt. (1.3)

—го

Но если считать, что u (t) = cos t, то для такого сигнала интеграл (1.3) не существует, ибо

го

J cos (t) dt = sin (го) — sin (—го) , (1.4)

—го

а значение sin (го) не определено.

Вообще, предположение от том, что ток и напряжение в сети должны в идеале стремиться к синусоиде соответствует предположению, что мы не можем использовать в отношении электротехнического сигнала математический аппарат пространства Гильберта [12-14]. Дело в том, что синусоида имеет бесконечную энергию, а вектора пространства Гильберта могут иметь только конечную энергию. Данный факт приводит к серьезным последствиям. Например, возникают проблемы при работе со спектром электротехнического сигнала, не соблюдается равенство Парсеваля [15, 16] и тому подобное.

Рассмотрим еще один пример, когда математический аппарат ЦОС ведет себя неадекватно. При измерении параметров тока и напряжения часто используют фильтры с конечной импульсной характеристикой (КИХ). Этот фильтр обладает важным свойством, которое отсутствует у стандартных LRC-фильтров. Если подать на него ограниченное во времени воздействие (например, импульс, который образуется от воздействия молнии на линию электропередач), то отклик на это воздействие будет так же ограничен во времени. На Рисунке 1.1 изображен подобный отклик на короткое воздействие, имевшее место в момент отсчета с но-

мером 0. Отклик состоит из 20 отсчетов. Остальные отсчеты считаем равными нулю.

Рисунок 1.1 - Отклик КИХ-фильтра на короткий импульс

Однако, такое количество отсчетов может оказаться недостаточным, для всестороннего анализа, поэтому возникает задача интерполяции, в результате которой количество отсчетов увеличится, например, в десять раз. Если произвести интерполяцию в соответствии с теоремой Котельникова [11, 17, 18].

X1

w

(i)=£ x(Tn)

sin (Qi - m) Qi - m

(1.5)

то получим неожиданный результат. Учитывая, что формула (1.5) представляет

^ ~ , , ~ sin Qi

собой сумму нефинитных функций вида ———, то результат интерполяции - тоже нефинитная функция, которая начинается в момент времени i = -w, и заканчивается в момент времени i = w. Эта ситуация отражена на Рисунке 1.2.

Другими словами, воздействие произошло в момент времени 0, а отклик на него обнаруживается ранее этого момента. Как и до интерполяции, в точках i =..., -2, -1 отклик все так же равен нулю, но в интерполированных точках он от нуля уже отличается. То есть отклик опережает воздействие, чего быть не может.

Данный парадокс объясняется следующим. Так как теорема Котельникова работает только с сигналами, у которых спектр финитен, то такие сигналы не могут быть конечными во временной области. Мы просто не можем подать на си-

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Грицутенко Станислав Семенович, 2021 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Грицутенко, С. С. Изоморфизм плотных и дискретных пространств Гильберта в цифровой обработке сигнала / С. С. Грицутенко // Омский научный вестник. - 2009. - №. 3 (83). - С. 19-22.

2. Грицутенко, С. С. Проблемы изоморфизма плотного и дискретного пространств Гильберта / С. С. Грицутенко. - М. : ФГБОУ "Учебно-методический центр по образованию на железнодорожном транспорте", 2012 .— 184 с.

3. Карацуба, А. А. Сложность вычислений / А. А. Карацуба // Труды Математического института имени В. А. Стеклова. - 1995. - Т. 211. - №. 0. - С. 186202.

4. Карацуба, А. А. Умножение многозначных чисел на автоматах / А. А. Ка-рацуба, Ю. П. Офман // Доклады Академии наук. - Российская академия наук, 1962. - Т. 145. - №. 2. - С. 293-294.

5. Гриценко, С. А. Научные достижения Анатолия Алексеевича Карацубы / С. А. Гриценко, Е. А. Карацуба, М. А. Королёв [и др.] // Современные проблемы математики. - 2012. - Вып. 16 - С. 7-30.

6. Кнут, Д. Искусство программирования для ЭВМ / Д. Кнут. - М. : Мир, 1977. -Т. 2. - 724 с.

7. Баскаков, С. И. Радиотехнические цепи и сигналы / С. И. Баскаков. - М. : «Высшая школа», 2005. - 462 с.

8. Финк, Л. М. Теория передачи дискретных сообщений / Л. М., Финк. - М. : «Советское радио», 1970 - 728 с.

9. Гоноровский, И. С. Радиотехнические цепи и сигналы / И. С. Гоноров-ский. - М. : «Советское радио», 1971. - 608 с.

10. Иванов, М. Т. Радиотехнические цепи и сигналы / М. Т. Иванов, А. Б. Сергиенко, В. Н. Ушаков. - СПб. : Издательский дом" Питер", 2014. - 336 с.

11. Котельников, В. А. О пропускной способности "эфира" и проволоки в электросвязи / В. А. Котельников // Успехи физических наук. - 2006. - Т. 176. -№. 7. - С. 762-770.

12. Шилов, Г. Е. Математический анализ: специальный курс / Г. Е. Шилов. -М. : Государственное издательство физико-математической литературы, 1961. -436 с.

13. Константинов, Р. В. Лекции по функциональному анализу / Р. В. Константинов. - Долгопрудный: МФТИ, 2009. — 374 с.

14. Рид, М. Методы современной математической физики. Том 1. Функциональный анализ / М. Рид, Б. Саймон - М.: Мир, 1977. - 82 с.

15. Богачев, В. И. Действительный и функциональный анализ / В. И. Бога-чев, О. Г. Смолянов. - Москва-Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, 2009. - 724 с.

16. Садовничий, В. А. Теория операторов / В. А. Садовничий. - М. : Дрофа, 2004. - 384 с.

17. Рабинер, Р. Теория и применение цифровой обработки сигналов / Р. Ра-бинер, Б. Гоулд. - М. : Мир, 1978. - 833 с.

18. Капеллини, В. Цифровые фильтры и их применение / В. Капеллини [и др.]. - М. : Энергоатомиздат, 1983. - 360 с.

19. Lorenz, Edward N. "Deterministic nonperiodic flow." Journal of the atmospheric sciences 20.2 (1963): 130-141.

20. Кроновер, P. M. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории / P. M. Кроновер. - М. : Постмаркет, 2000. - 352 с.

21. Неймарк, Ю. И. Стохастические и хаотические колебания / Ю. И. Ней-марк, П. С. Ланда - М. : ЛИБРОКОМ", 2009. - 424 с.

22. Вернер, М.Основы кодирования / М. Вернер. - М.: Техносфера, 2004. -

288 с.

23. Колмогоров, А. Н. Теория информации и теория алгоритмов / А. Н. Колмогоров, Ю. В. Прохоров. - М. : Наука, 1987. - 304 с.

24. Системный оператор Единой энергетической системы: Частота: [Электронный ресурс]. URL : http://so-ups.ru/?id=ees freq (Дата обращения: 16.04.2018)

25. ГОСТ 32145-2013 (ГОСТ Р 53333-2008). Электрическая энергия. Совместимость технических средств электромагнитная. Контроль качества электриче-

ской энергии в системах электроснабжения общего назначения. - Введ. 2014-0101. - М. : Стандартинформ, 2014. - 28 с.

26. Финк, Л. М. Сигналы, помехи, ошибки / Л. М. Финк. - М.: Радио и связь, 1984. - 256 с.

27. Коровкин, Н. В. О применимости быстрого преобразования Фурье для гармонического анализа несинусоидальных токов и напряжений / Н. В. Коровкин, С. С. Грицутенко // Известия Российской академии наук. Энергетика. - 2017. - №. 2. - С. 73-86.

28. Коровкин, Н. В. Эффективный алгоритм измерения параметров длинных линий для реализации на сигнальном процессоре / Н. В. Коровкин, С. С. Грицутенко // Известия РАН Энергетика РАН. - 2017. - № 2. - С. 87-100.

29. Adalev A.S., Hayakawa M., Korovkin N.V., Identification of electric circuits described by ill-conditioned mathematical models, IEEE Trans-actions on Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applica-tions. 2006. Т. 53. № 1. С. 78-91.

30. Демирчян, К. С. Проблемы численного моделирования процессов в электрических цепях / К. С. Демирчян, Ю. В. Ракитский, П. А. Бутырин [и др.] // Известия РАН Энергетика. - 1982. - № 2. - С. 94-114.

31. Боронин, В. Н. Математическое моделирование заземляющих устройств при действии импульсных токов / В. Н. Боронин, Н. В. Коровкин, С. И. Кривоше-ев [и др.] // Известия РАН Энергетика. - 2013. - № 6. - С. 80-89.

32. Adalev A.S., Hayakawa M., Korovkin N.V., Using linear relations be-tween experimental characteristics in stiff identification problems of linear circuit theory. IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications. 2008. Т. 55. № 5. С. 1237-1247.

33. Черемисин, В. Т. Неэквивалентность спектральных оценок континуального и дискретного сигналов / В. Т. Черемисин, С. С. Грицутенко // Вестник ИжГТУ им. МТ Калашникова. - 2010. - №. 3. - С. 156-163.

34. Грицутенко, С. С. Асимметрия дискретного преобразования Фурье / С. С. Грицутенко // Вопросы радиоэлектроники. - 2010. - Т. 1. - №. 3. - С. 71-87.

35. Грицутенко, С. С. Повышение достоверности измерения показателей качества электрической энергии в системе тягового электроснабжения : дисс. ... канд. техн. наук : 05.22.07/ Грицутенко Станислав Семенович. - Омск, 2007. - 154 с.

36. Cooley J.W. and Tukey J.W. An algorithm for the machine calculation of the complex Fourier series. Mathematics Computation, 19:297-301, 1965.

37. G. Goertzel. An Algorithm for the Evaluation of Finite Trigonometric Series // American Mathematical Monthly, Vol. 65, Jan. 1958, pp. 34-35.

38. Грицутенко, С. С. К вопросу о моделировании гармоник низкоэнтропийных сигналов / С. С. Грицутенко, Н. В. Коровкин // Методические вопросы исследования надежности больших систем энергетики. Материалы Международного научного семинара им. Ю.Н. Руденко. - Чолпон-Ата., 2017. - С. 586-595.

39. Грицутенко, С. С. Квантование синусоидальных сигналов / С. С. Грицутенко // Вестник ИжГТУ им. МТ Калашникова. - 2010. - № 4(48). С. 173-176.

40. Скляр, Б. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение / Б. Скляр. - М.: Издательский дом «Вильямс», 2003. - 1104 с.

41. Березин, И. С. Методы вычислений, Т.1 / И. С. Березин, Н. П. Жидков. -М. : ГИФМЛ, 1962. - 464 с.

42. ГОСТ 30804.4.7-2013. Совместимость технических средств электромагнитная. Общее руководство по средствам измерений и измерениям гармоник и интергармоник для систем электроснабжения и подключаемых к ним технических средств. - Введ. 2014-01-01. - М. : Стандартинформ, 2013. - 34 с.

43. Шувалов, В. П. Передача дискретных сообщений. Учебник для вузов / В. П. Шувалов, Н. В. Захарченко, В. О. Шварцман [и др.]. - М.: Радио и связь. -1990. - 464 с.

44. Котельников, В. А. О пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи / В. А. Котельников // Материалы к I Всесоюзному съезду по вопросам технической реконструкции дела связи и развития слаботочной промышленности. По радиосекции. - Москва, 1933. - С. 1-19.

45. On the sampling theorem in Hilbert spaces, Gritsutenko, S., Biberdorf, E., Di-nis, R, Proceedings of the IASTED International Conference on Signal Processing, Pattern Recognition and Applications, SPPRA 2013.

46. Оппенгейм, А. Цифровая обработка сигналов / А. Оппенгейм, Р. Шафер.

- М. : Техносфера, 2006. - 856 с.

47. Романюк, Ю. А. Основы цифровой обработки сигналов. В 3-х ч., Ч. 1 / Ю. А. Романюк. - М.: МФТИ, 2007. - 332 с.

48. Владимиров, В. С. Уравнения математической физики / В. С. Владимиров. - М. : Наука, 1971 - 512 с.

49. Гельфанд, И. М. Обобщенные функции и действия над ними. Том I. Серия: Обобщенные функции / И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов. - М. : Добросвет, 2000.

- 412 с.

50. Широков, Ю. М. Алгебра одномерных обобщенных функций / Ю. М. Широков // Теоретическая и математическая физика. — 1979. — том 39. — № 3.

- стр. 291—301.

51. Толоконников, Г. К. Ассоциативная алгебра обобщенных функций, замкнутая относительно дифференцирования и взятия первообразной / Г. К. Толо-конников, Ю. М. Широков // Теоретическая и математическая физика. — 1981. — том 46. — № 3. — стр. 305—309.

52. Корн, Г. А. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. А. Корн, Т. М. Корн. - СПб. : Лань, 2003. - 832 с.

53. Грицутенко, С. С. Векторы с фильтрующим свойством в сверточных алгебрах / С. С. Грицутенко // Вестник ИжГТУ. - 2010. - №. 2. - С. 146-149.

54. Краснопевцев, Е. А. Математические методы физики. Избранные вопросы / Е. А. Краснопевцев. - Новосибирск : НГТУ, 2003. - 243 с.

55. Хермандер, Л. Анализ линейных дифференциальных уравнений. Том 1 / Л. Хермандер. - М. : Мир, 1986. - 464 с.

56. Хермандер, Л. Линейные дифференциальные операторы в частных производных / Л. Хермандер. - М.: Мир, 1965. - 379 с.

57. Кудрявцев, Л. Д. Краткий курс математического анализа. Т. 2. Дифференциальное и интегральное исчисления функций многих переменных. Гармонический анализ / Л. Д. Кудрявцев. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 424 с.

58. Дирак, П. А. Принципы квантовой механики / П. А. Дирак. - М. : Наука, 1979. - 408 с.

59. Грицутенко, С. С. К вопросу о разрядности аккумулятора в цифровых сигнальных процессорах / С. С. Грицутенко // Вопросы радиоэлектроники. - 2008.

- Т. 4. - №. 3. - С. 127-136.

60. Каток, А. Б. Введение в современную теорию динамических систем с обзором последних достижений / А. Б. Каток, Б. Хасселблат. - М. : МЦНМО, 2005. - 464 с.

61. Yu. Ilyashenko, Centennial history of Hilbert 16th problem, Bull. Amer. Math. Soc. 39 (2002), 301-354

62. Ляпунов, А. М. Собрание сочинений, т. 1 / А. М. Ляпунов. - М. : Наука, 1954. - 448 с.

63. Бернштейн, С. Н. Теория вероятностей / С. Н. Бернштейн. - М.-Л. : Гостехтеориздат, 1946. - 556 с.

64. Остапенко, А. Г. Рекурсивные фильтры на микропроцессорах / А. Г. Остапенко, А. Б. Сушков, В. В. Бутенко [и др.]. - М : Радио и связь, 1988. - 128 с.

65. Цифровые фильтры в электросвязи и радиотехнике / Под ред. Л. М. Гольденберга. - М. : Радио и связь, 1982. - 224 с.

66. Хемминг, Р. В. Цифровые фильтры / Р. В. Хемминг. - М.: Недра, 1987.

- 221 с.

67. Антонью, А. Цифровые фильтры: анализ и проектирование / А. Анто-нью. - М.: Радио и связь, 1983.-320 с.

68. Королёва, К. А. Оптимальная интерполяция узкополосного сигнала в смысле минимума среднеквадратичной ошибки / К. А. Королёва, С. С. Грицутен-ко // Омский научный вестник. - 2016. - №. 4 (148). - С. 157-160.

69. Elina A. Biberdorf, Stanislav S. Gritsutenko, Konstantin A. Firsanov. A new principle of dynamic range expansion by analog-to-digital converting Proceedings of

IEEE East-West Design & Test Sym-posium (EWDTS'09) / Kharkov National University of Radioelectron-ics / Moscow. Russia. September 18-21, 2009, pp. 193-195.

70. Бибердорф, Э. А. Метод расширения динамического диапазона при аналого-цифровом преобразовании / Э. А. Бибердорф, С. С. Грицутенко, К. А. Фирсанов / Омский научный вестник. Серия «Приборы, машины и технологии» -2010. - №2(90). - 200-202.

71. Уилкинсон, Дж. Х. Алгебраическая проблема собственных значений / Дж. Х. Уилкинсон. - М. : Наука, 1970. - 564 с.

72. Givens W. Numerical Computation of the Characteristic Value of a Real Symmetric Matrix / W. Givens. - Oak Ridge National Labora-tory. Report ORNL No 1574. - 1954. - 107 p.

73. Годунов, С. К. Гарантированная точность решения систем линейных уравнений в евклидовых пространствах / С. К. Годунов [и др.]. - Новосибирск : Наука : Сиб. отд-ние. - 1988. - 456 с.

74. Бибердорф, Э. А. Гарантированная точность современных алгоритмов линейной алгебры / Э. А. Бибердорф, Н. И. Попова. - Новосибирск : СО РАН. - 2006. - 319 с.

75. Тынкевич, М. А. Интерполяционный многочлен Лагранжа / М. А. Тын-кевич // Численные методы анализа. - 2002. - №. 5-89070. - С. 042.

76. Бахвалов, Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. - М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. - 636 с.

77. Вержбицкий, В. М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения): Учеб. пособие для вузов. Т. 1 / В. М. Вержбицкий. - М. : Высшая школа. - 2000 с.

78. Воробьева, Г. Н. Практикум по вычислительной математике / Г. Н. Воробьева, А. Н. Данилова. - М.: Высшая школа, 1990. - 208 с.

79. Грицутенко С. С. К вопросу об измерении параметров дискретизирован-ного сигнала / С. С. Грицутенко // Вопросы радиоэлектроники. Серия общетехническая (ОТ). - 2010. - Вып. 3. - С. 103-107.

80. 1986ВЕ92У - характеристики, документация - 1986BE9x (ядро ARM Cortex-M3) / «Миланд», Зеленоград : [Электронный ресурс]. URL : https://ic.milandr.ru/products/mikrokontrollery_i_protsessory/32_razryadnye_mikrokon trollery/1986ve9kh_yadro_arm_cortex_m3/1986ve92u/ (Дата обращения: 21.05.2018).

81. Микросхема 32-разрядного однокристального микро-ЭВМ с памятью Flash-типа 1986ВЕ9ху, К1986ВЕ9ху, К1986ВЕ9хуК, K1986BE92QI, K1986BE92QC, 1986ВЕ91Н4, К1986ВЕ91Н4, 1986ВЕ94Н4, К1986ВЕ94Н4. Спецификация : [Электронный ресурс]. URL : https://ic.milandr.ru/upload/iblock/05d/05d4e955d0298b1b650904cb1b4fef6a.pdf (Дата обращения: 21.05.2018).

82. Смирнов, В. И. Курс высшей математики, Т.3. Ч.2 / В. И. Смирнов. - М.: Наука, 1974. - 672 с.

83. Суетин, П. К. Классические ортогональные многочлены / П. К. Суетин. -М. : Наука, 1979. - 415 с.

84. Сильвестр, П. Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков / П. Сильвестр, Р. Феррари. - М. : Мир, 1986. - 229 с.

85. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс / Д. Т. Письменный. - М. : Айрис-пресс, 2006. - 608 с.

86. Лукас, В. А. Теория автоматического управления / В. А. Лукас. - М. : Недра, 1990. - 416 с.

87. Виленкин, Н. Я. Ряды / Н. Я. Виленкин, В. В. Цукерман, М. А. Доброхотова, А. Н. Сафонов. - М. : Просвещение, 1982. - 160 с.

88. Беклемишев, Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: Учеб. для вузов / Д. В. Беклемишев. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2006. — 312 с.

89. Боревич, З. И. Определители и матрицы [Текст] : учеб. посо-бие / З. И. Боревич . - СПб. : Лань, 2004. - 192 с.

90. Бугров, Я. С. Сборник задач по высшей математике / Я. С. Бугров, С. М. Никольский. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2001. — 304 с.

91. Бутузов, В. Ф. Линейная алгебра в вопросах и задачах / В. Ф. Бутузов, Н. Ч. Крутицкая, А. А. Шишкин. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 248 с.

92. Bracewell, R. N. (1986), The Fourier Transform and Its Applica-tions (revised ed.), McGraw-Hill; 1st ed. 1965, 2nd ed. 1978.

93. Quantization for Maximal Preservation of Information. S. Gritsutenko, K. Firsanov, R. Dinis. IASTED SPPRA'2013, Innsbruck, Austria, Feb. 2013.

94. Грицутенко, С. С. Теорема об оптимальном квантовании / С. С. Гри-цутенко // Труды Российского научно-технического общества радиотехники, электроники и связи имени А.С. Попова. Серия: Цифровая обработка сигналов и ее применение. -2011. - Вып. XIII-1. - С. 22-24.

95. Бибердорф, Э. А. Оценка разрядности ЦАП для OFDMA-модуляции // Э. А. Бибердорф, С. С. Грицутенко // Сборник трудов - М.:ИППМ РАН. - М., 2010. -C. 472-477.

96. Верещагин, Н. К. Начала теории множеств. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Ч. 1. / Н. К. Верещагин, А. Шень. - М. : МЦМНО, 2002. - 128 с.

97. Кострикин, А. И. Введение в алгебру. В 3 частях / А. И. Кострикин. -М.: МЦН-МО, 2009. - 368 с.

98. Биркгоф, Г. Современная прикладная алгебра / Г. Биркгоф, Т. Барти. -М. : Мир, 1976. - 400 с.

99. Валуце, И. И. Отображения. Алгебраические аспекты теории / И. И. Ва-луце. - Кишинев : Штиинца, 1976. - 140 с.

100. Мальцев, А. И. Алгебраические системы / А. И. Мальцев. - М.: Наука, 1970. - 392 с.

101. Шилов, Г. Е. Математический анализ. Конечномерные линейные пространства / Г. Е. Шилов - М.:Наука, 1969. - 429 с.

102. Гольденберг, Л. М. Цифровая обработка сигналов. Справочник / Л. М. Гольденберг [и др.] - М.: «Радио и связь», 1985. - 312 с.

103. Гольденберг, Л. М. Цифровая обработка сигналов. Учебное пособие для вузов / Л. М. Гольденберг [и др.]. - М.: «Радио и связь», 1990. - 256 с.

104. Глинченко, А. С. Цифровая обработка сигналов. В 2 ч. / А. С. Глинчен-ко. - Красноярск: Изд-во КГТУ, 2001. - 383 с.

105. Даджион, Д. Цифровая обработка многомерных сигналов / Д. Даджион, Р. Мерсеро. - М. : «Мир», 1988. - 488 с.

106. Макс, Ж. Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях / Ж. Макс - М.: «Мир», 1983. - 312 с.

107. Марпл-мл., С. Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения / С. Л. Марпл-мл. - М. : МИР, 1990. - 584 с.

108. Стеклов, В. А. Записки физико-математич. общества / В. А. Стеклов. -сер. 8, 1904 - Т. 15. - № 7. - С. 1-32.

109. Функциональный анализ / редактор С. Г. Крейн. - М. : Наука, 1972. -

544 с.

110. Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа. / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. -М. : Наука, 1976. - 544 с.

111. Канторович, Л. В. Функциональный анализ / Л. В. Канторович, Г. П. Акилов. - М.: Наука, 1984. — 752 с.

112. Люстерник, Л. А. Элементы функционального анализа / Л. А. Люстер-ник, В. И. Соболев. - М.: Наука, 1965. - 520 c.

113. Рудин, У. Функциональный анализ / У. Рудин. - М.: Мир, 1975. - 449 с.

114. ISO/IEC 14496-14:2018(en). Information technology - Coding of audiovisual objects - Part 14: MP4 file format

115. Стемпковский, А. Л. Модулярная логарифмика - новые возможности для проектирования модулярных вычислителей и преобразователей / А. Л. Стемпковский, В. М. Амербаев, А. И. Корнилов // Сборник трудов М.:ИППМ РАН. - М., 2010. - С.368-373.

116. Arnold M. G. Residue Logarithmic number System, Theory and Implementation // Computer Arithmetic, 27-29 June 2005. P 196-205.

117. Юбилейная Международная научно-техническая конференция «50 лет модулярной арифметике» : Сб. научных трудов. - М.: ОАО «Ангстрем», МИЭТ. -2006. - 775 с.

118. Грицутенко, С. С. Быстрые алгоритмы / С. С. Грицутенко // Вестник ИжГТУ им. МТ Калашникова. - 2010. - №. 4. - С. 169-172.

119. Грицутенко, С. С. Определение минимума количества операций для вычисления полинома при экстраполяции скорости и координат движущегося локомотива / С. С. Грицутенко // Известия Транссиба. - 2014. - №. 1 (17). - С. 67-71.

120. Грицутенко, С. С. Эффективный алгоритм расчета быстрого преобразования Фурье для процессора NVCom-01 / С. С. Грицутенко, А. С. Сидоренко // Омский научный вестник. - 2011. - №. 3 (103). - С. 258-261.

121. Колмогоров, А. Н. О понятии алгоритма / А. Н. Колмогоров // Успехи математических наук. - 1953. - Т.8. - вып.4. - С. 175-176.

122. Колмогоров, А. Н. К определению алгоритма / А. Н. Колмогоров, В. А. Успенский // Успехи математических наук. - 1958. - Т.13. - вып.4. - С.175-176.

123. Карацуба, Е. А. Быстрые алгоритмы и метод БВЕ / Е. А. Карацуба. -М. : Вильямс, 2008. - 341 с.

124. A.Schonhage, A.F.W.Grotefeld and E.Vetter, «Fast Algorithms — A Multitape Turing Machine Implementation», BI-Wiss.-Verl., Zu-rich, 1994, 300 pp.

125. Мухопад, Ю. Ф. Проектирование специализированных микропроцессорных вычислителей / Ю. Ф. Мухопад. - Новосибирск : Наука, Сиб. отд-ние, 1981. - 161 с.

126. Блейхут, Р. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов / Р. Блейхут. - М. : Мир, 1989. - 448 с.

127. Korovkin N. V., Gritsutenko S. S. A method for effective measurements of transmission lines frequency characteristics based on the use of a signal processor //Young Researchers in Electrical and Electronic Engineering (EIConRus), 2017 IEEE Conference of Russian. - IEEE, 2017. - С. 1545-1549.

128. Иванова, Е. А. Определение места повреждения в неоднородной линии электропередачи постоянного тока / Е. А. Иванова // Электрические станции. -2014. - №. 7. - С. 51-56.

129. ГОСТ 13109-97. Электрическая энергия. Совместимость технических средств электромагнитная. Нормы качества электрической энергии в системах электроснабжения общего назначения. - Введ. 1999-01-01. - М. : Стандартинформ, 2006. - 52 с.

130. Черемисин, В. Т. Особенности построения алгоритмов измерения показателей качества электроэнергии в тяговых сетях электрифицированных железных дорог / В. Т. Черемисин, С. С. Грицутенко // Транспорт Урала. - 2007. - № 2. - С. 2 - 5.

Таблица А.1 - Результаты моделирования

Номер гармоники

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

8,1 0.0001 0.0010 0.0013 0.0003 0.0008 0.0014 0.0024 0.0013 0.0028 0.0156

5к ,2 0.0001 0.0026 0.0036 0.0009 0.0044 0.0024 0.0097 0.0102 0.0032 0.0320

ит,к 1.0000 0.0066 0.0110 0.0195 0.0202 0.0069 0.0050 0.0050 0.0207 0.0195

Щп* 0.0000 0.0007 0.0005 0.0002 0.0009 0.0011 0.0025 0.0023 0.0005 0.0005

1П ,к ,1 0.4025 0.0031 0.0106 0.0253 0.0081 0.0019 0.0092 0.0194 0.0156 0.0061

Л/ ,, т,к ,1 0.0000 0.0008 0.0005 0.0001 0.0007 0.0015 0.0003 0.0002 0.0005 0.0005

/т,к ,2 0.3683 0.0032 0.0123 0.0173 0.0114 0.0054 0.0067 0.0052 0.0105 0.0059

Л/. „ т,к ,2 0.0000 0.0000 0.0003 0.0001 0.0003 0.0001 0.0009 0.0006 0.0005 0.0002

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

5Ъ ,1 0.0024 0.0061 0.0005 0.0055 0.0026 0.0030 0.0023 0.0011 0.0199 0.0026

5к ,2 0.0025 0.0326 0.0035 0.0102 0.0044 0.0030 0.0068 0.0021 0.0452 0.0037

ит,к 0.0121 0.0031 0.0241 0.0039 0.0188 0.0033 0.0045 0.0063 0.0073 0.0193

ли., т,к 0.0005 0.0017 0.0002 0.0008 0.0002 0.0017 0.0037 0.0003 0.0001 0.0006

1 т ,к ,1 0.0047 0.0016 0.0192 0.0022 0.0083 0.0014 0.0064 0.0046 0.0024 0.0100

Л/ ,, т,к ,1 0.0006 0.0000 0.0002 0.0035 0.0003 0.0056 0.0003 0.0001 0.0024 0.0005

/т,к ,2 0.0067 0.0022 0.0219 0.0021 0.0086 0.0041 0.0120 0.0114 0.0023 0.0113

Л/. „ т,к ,2 0.0002 0.0010 0.0001 0.0009 0.0004 0.0007 0.0003 0.0009 0.0033 0.0007

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

5Ъ ,1 0.0018 0.0108 0.0096 0.0013 0.0174 0.0021 0.0010 0.0297 0.0052 0.0006

8к ,2 0.0034 0.0276 0.0232 0.0079 0.5110 0.0333 0.0004 0.0967 0.0121 0.0418

итЛ 0.0283 0.0033 0.0053 0.0067 0.0013 0.0075 0.0267 0.0012 0.0094 0.0119

лиы>к 0.0005 0.0075 0.0033 0.0013 0.0084 0.0019 0.0001 0.0195 0.0003 0.0012

. 1 т ,к ,1 . 0.0368 0.0015 0.0048 0.0023 0.0007 0.0086 0.0393 0.0005 0.0044 0.0081

Л/ ,, п, к,1 0.0000 0.0032 0.0011 0.0021 0.0107 0.0006 0.0001 0.0034 0.0013 0.0000

0.0292 0.0016 0.0016 0.0017 0.0006 0.0065 0.0506 0.0005 0.0053 0.0075

Л/ ,9 п , к,2 0.0002 0.0013 0.0019 0.0007 0.0072 0.0014 0.0002 0.0123 0.0021 0.0004

окончание Таблицы А.1

Номер гармоники

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

5ъ ,1 0.0002 0.0619 0.0035 0.0009 0.0004 0.0014 0.0022 0.0031 0.0898 0.0102

8к ,2 0.0004 0.4361 0.0069 0.0041 0.0030 0.0069 0.0108 0.0301 0.3915 0.0092

итЛ 0.0069 0.0035 0.0056 0.0144 0.0154 0.0057 0.0114 0.0069 0.0009 0.0071

0.0010 0.0024 0.0014 0.0011 0.0004 0.0013 0.0015 0.0014 0.0037 0.0009

1 т ,к ,1 0.0127 0.0016 0.0046 0.0083 0.0179 0.0032 0.0088 0.0039 0.0003 0.0028

А/ ,, I п,к ,1 0.0003 0.0035 0.0009 0.0004 0.0002 0.0001 0.0008 0.0017 0.0224 0.0017

1 п,к,2 0.0029 0.0016 0.0028 0.0082 0.0139 0.0050 0.0058 0.0036 0.0003 0.0024

А1гп,к,2 0.0010 0.0003 0.0005 0.0005 0.0003 0.0003 0.0004 0.0002 0.0258 0.0010

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

5ъ ,1 0.0014 0.0040 0.0032 0.0073 0.0002 0.0005 0.0021 0.0036 0.0009 0.0032

5к ,2 0.0017 0.0471 0.0037 0.0279 0.0004 0.0159 0.0290 0.0227 0.0007 0.0048

ит,к 0.0148 0.0145 0.0087 0.0108 0.0229 0.0088 0.0073 0.0110 0.0072 0.0042

Аи. к т,к 0.0001 0.0010 0.0002 0.0011 0.0001 0.0003 0.0008 0.0007 0.0004 0.0044

1 т ,к ,1 0.0226 0.0102 0.0056 0.0081 0.0145 0.0037 0.0039 0.0036 0.0133 0.0026

А/ ,, п,к,1 0.0001 0.0002 0.0008 0.0008 0.0001 0.0004 0.0003 0.0020 0.0002 0.0005

1 п,к,2 0.0124 0.0101 0.0072 0.0082 0.0343 0.0042 0.0032 0.0035 0.0110 0.0010

А1. „ т,к ,2 0.0002 0.0001 0.0006 0.0001 0.0002 0.0011 0.0015 0.0000 0.0001 0.0053

Описание таблицы:

г - время измерения (московское);

/ - частота в ЕЭС России.

Таблица Б.1 - Частота в ЕЭС России 16.04.2018

г / г / г / г / г /

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

00:00 50.00 05:00 50.00 10:00 50.00 15:00 49.99 20:00 50.02

01:00 50.01 06:00 50.02 11:00 50.00 16:00 49.99 21:00 50.03

02:00 50.00 07:00 50.01 12:00 50.02 17:00 50.01 22:00 50.01

03:00 49.99 08:00 50.02 13:00 49.97 18:00 50.01 23:00 49.97

04:00 50.01 09:00 50.01 14:00 50.01 19:00 49.99 00:00 49.98

ПРИЛОЖЕНИЕ В

Листинг программы в среде моделирования Matlab

clear all N=2400; NP = 10; s = 1 - 0.0003; RR = 1000000; mm = 0; zz = 0; gg = 0;

t = 2*pi*(0:N-1 )/N*NP* s; for g =1:RR x = zeros(1,N); ph(1:50) = rand(1,50)*2*pi; for n = 1:50

x = x + cos(t*n + ph(n) ); end

y = abs(fft(x))/N*2; for n = 1:50 if y(n*NP+1) < 0.95

mm = 1; end end

if mm == 1 zz = zz+1; mm = 0; end end

zz/RR* 100 % процент измерений

% количество анализируемых точек % количество анализируемых периодов % рассинхронизация % количество опытов

Описание таблицы: к - номер гармоники; р - фаза гармоники; А - амплитуда гармоники.

Таблица Г.1 - Моделирование гармоник со случайной фазой

к Р А к Р А

1 2 3 4 5 6

1 3.4441 0.08 26 3.3732 3.18

2 6.2449 0.11 27 3.2496 2.02

3 4.3207 0.08 28 3.3811 1.33

4 3.5774 0.14 29 4.0504 0.97

5 0.3772 0.24 30 2.8247 0.19

6 6.1047 0.06 31 5.2297 2.78

7 5.1943 0.36 32 5.0229 0.90

8 1.4004 0.34 33 5.5985 0.93

9 5.8861 0.39 34 2.5424 4.18

10 1.5978 0.48 35 3.7848 2.17

11 2.1984 0.23 36 2.8581 2.23

12 1.6397 0.53 37 3.9875 0.86

13 5.7789 0.54 38 2.7659 2.03

14 0.5949 0.75 39 3.2108 0.27

15 4.7733 0.61 40 2.2721 0.81

16 1.8578 0.13 41 3.4562 1.06

17 5.2130 0.50 42 4.5015 0.35

18 2.4189 0.56 43 0.3730 8.09

19 5.5470 0.64 44 0.5299 6.05

20 4.3566 1.03 45 0.4561 4.73

21 2.4686 1.07 46 0.4401 3.24

22 4.2340 1.20 47 1.7804 1.90

23 5.8201 0.11 48 5.4201 4.80

24 3.4143 1.61 49 0.6061 4.09

25 0.5895 0.21 50 0.3253 1.75

/(ю) = -С2Ь2Яе[2(ю)]ю4 - 2С2ЬЯ 1т[2(ю)]ю3 + С2Я2Яе[2(ю) 2СЬЯю2 + 2СЬЯе[2(ю)]ю2 + 2СЯ 1т[2(ю) ]ю + Я - Яе[2(ю)]

ю

/ (ю) = -С2 Ь 1т [ 2 (ю)] ю4 + 2С2 ЬЯ Яе [ 2 (ю)] ю3 + С2 Я21т [ 2 (ю) ] ю СЬ2ю3 + 2СЬ 1т[2(ю)]ю2 + СЯ2ю- 2СЯЯе[2(ю)]ю + Ью- 1т[2(ю)

юь - 2С2ЬЯ21т

1[ 2 (ю)"

ю4 - СЬ4ю5

/ (ю) = -С2 Ь41т [ 2 (ю) С2Я41т[2(ю)]ю2 + 2СЬ31т[2(ю)]ю4 - 2СЬ2ЯV + 2СЬ2ЯЯе[2(ю) 2СЬЯ21т[2(ю)] ю2 - СЯ4ю + 2СЯ3 Яе[2 (ю)

3

ю +

Ь21т

[ 2 (ю)]

ю

.2 , т г>2

ю + Ь3ю3 -

ю + ЬЯ ю - 2 ЬЯ Яе

2 (ю)]ю + Я21т [ 2 (ю)

2