Разработка эффективных методов электростатики проводников и диэлектриков на плоскости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Шляхтич, Евгений Николаевич

• Шляхтич, Евгений Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка эффективных методов электростатики проводников и диэлектриков на плоскости»

В научной и учебной литературе под основной задачей электростатики понимают задачу отыскания напряженности электрического поля системы зарядов в присутствии проводников и диэлектриков [1], [2], [5],

31], [32], [33], [34], [36], [39], [40], [41], [42], [43], [62]. Решение этой задачи представляет значительные трудности даже для уединённых проводников и диэлектриков находящихся во внешних электрических полях. В реальных электрических системах бывает трудно промоделировать и измерить электрические поля, поэтому для расчета электромагнитных параметров требуется применение методов теоретической физики [31],

32], [33], [41], [62].

Расчёт электрических и магнитных полей различных систем элементами которых являются проводники и диэлектрики представляет практический интерес для различных областей науки: электрофизики, радиоэлектроники, радиофизики, электроники. Развитие этих областей науки предъявляет строгие требования к точности расчетных методов. Эти методы должны быть экономичны и доступны для широкого круга инженеров и других пользователей. Кроме того, не менее важна оценка точности полученных результатов, что иногда является более сложной задачей, чем получение самого результата.

Для электростатики на плоскости наиболее удобным математическим аппаратом служит комплексный анализ [8]. М.А. Лаврентьевым теория функций комплексного переменного рассматривалась неразрывно с физическими представлениями [30]. Развитие ТФКП на основании физических представлений позволяет создавать новые методы решения важнейших практических задач. Так методы ТФКП позволяют находить точные аналитические решения электростатических задач. Совместное применение к задачам электростатики вариационных методов и комплексного анализа позволяет разработать довольно эффективные методы решения этих задач. Разработке эффективных аналитических к методов расчёта электрических полей и численной реализация этих расчётов на конкретных примерах и посвящена данная работа.

На современном этапе развития науки становится всё более актуальным вопрос о том, как передавать такой громадный багаж знаний, накопленный веками, последующим поколениям. Всем ясно, что нужно передавать только общие концептуальные вещи, методики, потому что все частные случаи рассмотреть невозможно в принципе. Наиболее кумулятивным способом представления информации в частности в такой науке как физика является формула. Особенно большой интерес представляют формулы, отражающие наиболее общие закономерности и правила. Так классическая механика базируется на законах Ньютона, классическая электродинамика на уравнениях Максвелла и т.д. Но это примеры действительно самых общих постулатов, которых всё же не достаточно - немаловажную роль в образовании играют и более специфические, но довольно общие в своей области применимости формулы. К примерам таких формул можно отнести и некоторые формулы для решения электростатических задач на плоскости, представленные в данной работе. Важно, что на основе этих формул могут быть получены все частные решения этих задач. То есть знание теории функций комплексных переменных и умение производить элементарные алгебраические операции позволяет развернуть всё то, что содержится в этих формулах в сжатом виде - решить всевозможные конкретные задачи. Мы предлагаем внедрить их в процесс обучения студентов физических специальностей. Представляется, что методически верно знакомить студентов именно с такими довольно общими закономерностями, которые они могут развернуть для частных примеров, конкретных задач. Так для плоских электростатических задач удобно использовать комплексные переменные и соответственно представленные в данной работе формулы. Трудностей с применением, развертыванием таких формул у студентов физических специальностей возникать не должно, так как теории функций комплексных переменных на таких специальностях уделяется должное внимание.

В данной работе реализованы подходы к построению аналитической электростатики, связанные с рассмотрением в неразрывном единстве электрического поля и его источников - электрических зарядов - на всей комплексной плоскости, а не в отдельных областях её, как это часто делают в математической физике. Конкретные электростатические задачи формулируются как задачи о минимуме энергетических функционалов, поэтому возникает необходимость разработки методов выбора пробных функций с учётом характерных особенностей задач. Предлагаются соответствующие методы для задач электростатики проводников и диэлектриков. Их суть заключается в построении на поверхности проводника базисной системы распределений зарядов, электрические поля которых ортогональны в энергетической мере. Такие распределения зарядов, упорядоченные по отличным от нуля круговым мультипольным моментам минимального порядка названы характеристическими мультиполями. Нахождение характеристических мультиполей эквивалентно построению ортогонального базиса в функциональном пространстве электрических потенциалов, источниками которых служат поверхностные заряды проводника (диэлектрика). Следует отметить, что аппарат характеристических мультиполей позволяет решить задачи для различных геометрических форм проводников и диэлектриков (круг, эллипс и т. д), находящихся во всевозможных внешних электрических полях, будь то поле точечного заряда, поле диполя, поле квадруполя, поля мультиполя, и т.п. Введение новых для теории поля понятий характеристических мультиполей и высших поляризуемостей для проводников и диэлектриков, позволяет построить конструктивные решения всевозможных задач о проводниках и диэлектриках, находящихся во внешних электрических полях.

Наиболее перспективными, на наш взгляд, приближенными методами расчета электростатических соотношений являются вариационные методы, основанные на вариационных принципах электростатики. Вариационные принципы Дирихле и Томсона являются дуальными принципами электростатики и позволяют получать оценки сверху и снизу, например, для матрицы емкостных коэффициентов. Причем для таких оценок, как правило, не требуется громоздких вычислений, получаемые зависимости имеют аналитическую форму, весьма удобную для практического использования. При разработке вариационных схем на плоскости удобно использовать комплексную форму представления электростатических соотношений [8].

Главной проблемой реализации вариационных принципов является построение пробных (аппроксимирующих) полей. Их выбор имеет свои особенности для каждого типа задач. В данной работе пробные поля выбираются в виде потенциалов, создаваемых суперпозицией точечных мультиполей или суперпозицией экранированных точечных мультиполей. Следует также отметить, что при использовании вариационных методов мы можем оценивать точность полученных результатов, которая зависит от выбора вида потенциалов аппроксимирующих полей.

Так аппроксимация электрических полей на плоскости полями экранированных точечных зарядов и экранированных точечных мультиполей позволяет вычислить емкостные и потенциальные коэффициенты различных систем проводников. Например, оценить ёмкость системы проводящий эллипс и лежащий вне области эллипса проводящий круг.

Также весьма любопытным результатом является то, что использование вариационного подхода совместно с комплексным анализом даёт возможность представить математическую задачу о нахождении корней многочленов как обратную задачу электростатики, сводящуюся к задаче об абсолютном минимуме энергетического функционала [18]. Вариационная схема расчёта корней многочлена основана на аппроксимации электрического поля зарядов некого проводника полями точечных мультиполей. Простейшими примерами являются: аппроксимация поля зарядов проводящей прямой полями точечных диполей (или точечных зарядов), либо аппроксимация поля зарядов проводящего круга полями точечных диполей (или точечных зарядов).

Цель работы:

Разработка эффективных методов расчета электрических полей в электростатике проводников и диэлектриков на плоскости.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

- на конкретных примерах показать эффективность совместного применения вариационных принципов и теории функций комплексных переменных в решениях электростатических задач на плоскости;

- рассмотреть задачи о проводниках и диэлектриках во всевозможных внешних электрических полях;

- развить необходимую систему понятий;

- разработать вариационные схемы вычисления емкостных и потенциальных коэффициентов систем проводников, основанные на аппроксимации полей индуцированных зарядов полями точечных источников.

Научная новизна работы заключается в том, что в ней:

1. Показана эффективность совместного использования вариационных методов и методов теории функций комплексных переменных для решения электростатических задач на плоскости на конкретных примерах: проводящий круг, проводящая прямая, проводящий эллипс, однородный диэлектрический круг, однородный диэлектрический эллипс, анизотропный диэлектрический круг во всевозможных внешних электрических полях.

2. Впервые построены комплексные функции Грина внешней и внутренней областей эллипса.

3. Введены новые понятия: эллипс сходимости, мнимый точечный заряд, характеристические мультиполи.

4. С помощью аппарата характеристических мультиполей впервые решена задача об анизотропном диэлектрическом круге в различных внешних электрических полях.

5. Впервые математическая задача о нахождении корней многочленов представлена как обратная задача электростатики, сводящаяся к задаче об абсолютном минимуме энергетического функционала.

6. На основе задачи аппроксимации полей индуцированных на проводниках зарядов полями точечных источников построены вариационные схемы расчёта корней многочленов и показана возможность практического применения такой физической интерпретации математической задачи для численных расчётов.

7. На примере проводящих эллипса и круга рассмотрена возможность вычисления емкостных и потенциальных коэффициентов такой системы с помощью аппроксимации электрических полей точечными экранированными мультиполями на основе вариационных принципов.

Научная и практическая ценность.

Предложен метод анализа электростатических полей, основанный на органичном объединении методов теории функций комплексных переменных и вариационных методов.

Развитые теоретические методы расчёта электрических полей различных систем проводников и диэлектриков на плоскости могут применяться в дальнейшем при практических расчётах в радиофизике и радиоэлектронике, некоторые результаты представленных научных исследований представляют интерес для курсов математической физики и электродинамики.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Наиболее эффективными методом решения электростатических задач на плоскости является объединение методов теории функций комплексных переменных и вариационных методов.

2. Эффективным методом реализации вариационных принципов электростатики является построение базисных распределений индуцированных зарядов - характеристических мультиполей; применение такого метода рассматривается на примере задач о проводящем эллипсе во всевозможных внешних электрических полях.

3. Применение аппарата характеристических мультиполей позволяет дать полное решение задач о диэлектрических телах во внешних электрических полях; рассмотрены задачи об однородном диэлектрическом круге, об однородный диэлектрическом эллипсе, а также об анизотропном диэлектрическом круге во всевозможных внешних электрических полях. .

4. Использование вариационного подхода совместно с комплексным анализом позволяет представить математическую задачу о нахождении корней многочленов, как обратную задачу электростатики, сводящуюся к задаче об абсолютном минимуме энергетического функционала.

5. На основе вариационных принципов удобно получать решения задач аппроксимации электрических полей точечными экранированными мультиполями, что позволяет вычислять емкостные и потенциальные коэффициенты различных систем проводников.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Шляхтич, Евгений Николаевич

Основные результаты диссертационной работы были опубликованы в 17 работах, из них 4 в изданиях по списку ВАК [ 17], [ 18], [ 19], [20].

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю В.П. Казанцеву за активную помощь и поддержку при выполнении данной работы.

Оглавление

Введение 1

1 Проводящий круг и проводящая прямая в задачах электростатики на плоскости 7

1.1 Проводящий круг во внешнем электрическом поле. 7

1.1.1 Общие соотношения . 7

1.1.2 Проводящий круг в мультипольном электрическом поле т-го порядка . 9

1.1.3 Задача о проводящем круге в электрическом поле нескольких точечных зарядов . 9

1.1.4 Задача о проводящем круге в электрическом поле нескольких точечных диполей. 11

1.1.5 Задача о проводящем круге в электрическом поле нескольких точечных зарядов, комплексный потенциал которых выражен через многочлен с неизвестными корнями, лежащими вне круга . 12

1.1.6 Задача о проводящем круге в электрическом поле нескольких точечных диполей, комплексный потенциал которых выражен через многочлен с неизвестными корнями, лежащими вне круга . 13

1.2 Проводящая прямая во внешнем электрическом поле . 14

1.2.1 Общие соотношения . 14

1.2.2 Проводящая прямая в поле с комплексным потенциалом Ах11 . 15

1.2.3 Проводящая прямая в поле с комплексным потенциалом А ехр(аг). 16

1.2.4 Проводящая прямая в поле точечного заряда . . 16

1.2.5 Проводящая прямая в поле точечного мультиполя . 16

1.2.6 Проводящая прямая в поле нескольких точечных диполей. 17

1.2.7 Проводящая прямая в поле с комплексным потенциалом, который выражается через многочлен P(z) . 17

2 Проводящий эллипс в задачах электростатики на плоскости 19

2.1 Проводящий эллипс во внешних электрических полях . . . 19

2.1.1 Общие соотношения . 19

2.1.2 Эллипс в электрических полях с комплексными потенциалами —E*zn. 22

2.1.3 Эллипс в электрических полях с комплексными потенциалами —Е* cos jz. 24

2.1.4 Эллипс в электрических полях с комплексными потенциалами —Е* sin 72. 25

2.1.5 Эллипс в электрических полях с комплексными потенциалами —Е* ехр (72). 26

2.1.6 Эллипс в электрических полях с комплексными потенциалами —E*Jn(/yz). 26

2.1.7 Эллипс в электрическом поле точечного заряда, расположенного вне эллипса. 28

2.1.8 Эллипс в электрическом поле точечного диполя, расположенного вне эллипса. 36

2.1.9 Эллипс в электрическом поле точечного мультиполя, расположенного вне эллипса . 41

2.1.10 Эллипс в электрическом поле с комплексным потенциалом, представляемым внутри эллипса сходящимся степенным рядом. 45

2.1.11 Проводящий эллипс в электрическом поле системы точечных зарядов, расположенных вне эллипса. 47

2.1.12 Проводящий эллипс в электрическом поле системы точечных диполей, расположенных вне эллипса. 50

2.1.13 Аппроксимация поля зарядов расположенной вне эллипса окружности, экранированной проводящим эллипсом, полем системы точечных зарядов . 53

2.2 Проводящий эллипс в электрическом поле зарядов, расположенных внутри эллипса . 56

2.2.1 Общие соотношения . 56

2.2.2 Функция Грина внутренней области эллипса. Конформное отображение внутренней области эллипса на круг. 58

2.2.3 Точечный диполь, экранированный внутри эллипса 61

2.2.4 Точечный мультиполь, экранированный внутри эллипса. 64

2.2.5 Проводящий эллипс в электрическом поле системы точечных зарядов, расположенных внутри эллипса. 70

2.2.6 Проводящий эллипс в электрическом поле системы точечных диполей, расположенных внутри эллипса. 73

2.2.7 Аппроксимация поля зарядов расположенной внутри эллипса окружности, экранированной проводящим эллипсом, полем системы точечных зарядов. 76

3 Диэлектрические тела в задачах электростатики на плоскости 77

3.1 Однородные изотропные диэлектрические тела в плоских задачах электростатики. 77

3.1.1 Характеристические мультиполи однородных изотропных диэлектриков. 77

3.1.2 Вариационная формулировка задачи о характеристических мультиполях мультиполях однородного изотропного диэлектрического тела . . 78

3.1.3 Примеры использования аппарата характеристических мультиполей и высших поляризуемостей. 82

3.1.4 Постороение комплексных потенциалов характеристических мультиполей диэлектрических тел с помощью характеристических мультиполей их границы. 85

3.1.5 Примеры характеристических мультиполей однородных изотропных диэлектрических тел . 87

3.2 Однородный анизотропный диэлектрический круг. 90

3.2.1 Характеристические мультиполи однородного анизотропного диэлектрического круга. 90

3.2.2 Однородный анизотропный диэлектрический круг во внешних электрических полях. 97

3.2.3 Задача об однородном анизотропном диэлектрическом круге во внешнем электрическом поле, комплексный потенциал которого - многочлен 98

3.2.4 Задача об однородном анизотропном диэлектрическом круге во внешнем электрическом поле точечного заряда. 99

3.2.5 Задача об однородном анизотропном диэлектрическом круге во внешнем электрическом поле точечного мультиполя.101

Задача о корнях многочленов как обратная задача электростатики 104

4.1 Вариационный принцип Гаусса.104

4.2 Вариационная схема расчёта корней многочлена.105

4.2.1 Аппроксимация поля индуцированных зарядов круга полями точечных зарядов.105

4.2.2 Аппроксимация поля индуцированных зарядов круга полями точечных диполей.106

4.2.3 Решение задачи о корнях многочленов на основе принципа абсолютного минимума энергетического функционала.107

4.2.4 О порядке вычисления корней многочленов . 111

4.3 Вариационная схема расчёта корней многочлена.113

4.3.1 Аппроксимация электрического поля индуцированных на прямой внешним полем зарядов полями точечных зарядов.113

4.3.2 Аппроксимация электрического поля индуцированных на прямой внешним полем зарядов полями точечных диполей.117

4.3.3 Аппроксимация электрического поля индуцированных на прямой внешним полем зарядов полями точечных мультиполей.120

4.4 Примеры, демонстрирующие работоспособность предложенной вариационной схемы.121

Вариационные неравенства для емкостных коэффициентов 126

5.1 Емкостные коэффициенты эллипса и круга.126

5.1.1 Общая вариационная схема расчета емкостных коэффициентов эллипса и круга с использованием характеристических мультиполей.126

5.1.2 Оценки нулевого и первого порядков для матрицы емкостных коэффициентов эллипса и круга . 131

5.1.3 Оценка второго порядка для матрицы емкостных коэффициентов эллипса и круга.135

5.1.4 Приближение электрического поля проводящих эллипса и круга полями экранированных эллипсом точечных зарядов.139

5.1.5 Приближение электрического поля проводящих эллипса и круга полями экранированных точечных зарядов и мультиполей.146

Заключение 154

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шляхтич, Евгений Николаевич, 2012 год

1. Батыгин В. В. Сборник задач по электродинамике / В. В. Батыгин, И. Н.Топтыгин. - 3-е изд., испр. - М.: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2002. -640 с.

2. Батыгин В. В. Современная электродинамика. Ч. 1. Микроскопическая теория: учебн. пособие / В. В. Батыгин И.Н.Топтыгин. М. - Ижевск : Ин-т компьютер, исслед., 2002.- 736 с.

3. Градштейн И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. 5-е изд. - М. : Наука, 1971. - 1100 с.

4. Гринберг Г. А. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений / Г. А. Гринберг. М.; Л.: Изд-во Акад. наук СССР. - 1948. - 732 с.

5. Джексон Дж. Классическая электродинамика / Дж. Джексон ; пер. с англ. М.: Мир, 1965.- 702 с.

6. Зубарев А. Л. Вариационный принцип Швингера в квантовой механике / А. Л. Зубарев. М.: Энергоиздат. - 1981. - 140 с.: ил.

7. Иоссель Ю. Я- Расчёт электрической ёмкости / Ю. Я. Иоссель, Э. С. Качанов, М. Д. Струнский. 2-е изд., перераб. и доп. - Л. : Энергоиздат, Ленингр. отд-ние, 1981. - 288 с. : ил.

8. Казанцев В. П. Аналитическая электростатика на плоскости : монография / В. П. Казанцев; Федер. агентство по образованию, Сиб. федерал, ун-т. Красноярск : Изд-во Сиб. федер. ун-та. - 2008- 782 с. (Библиотека журнала СФУ).

9. Казанцев В. П. Аналитическая электростатика: учеб. пособие. 4.1. Вариационные принципы и простые примеры их использования / В.

10. П. Казанцев ; Краснояр. гос. ун-т. Красноярск : Краснояр. гос. унт. - 1990-95 е.: ил.

11. Казанцев В. П. Аналитическая электростатика: учеб. пособие. Ч. 2. / В. П. Казанцев; Краснояр. гос. ун-т. Красноярск : Краснояр. гос. ун-т, 1994. -115 с.

12. Казанцев В. П. Электростатика на плоскости. Нормировка потенциала. Емкости уединённого проводника и линии относительно точки. Конформные радиусы /В. П. Казанцев, О. А. Золотов, М.

13. B. Долгополова// Вестн. Краснояр. гос. ун-та. 2005. - № 1. - С. 32-38

14. Казанцев В. П. Аппроксимация электрических полей на плоскости полями экранированных точечных мультиполей/В. П. Казанцев, О. А. Золотов, М. В. Долгополова// Вестн. Краснояр. гос. ун-та. 2006. - № 7. - С. 14-23

15. Казанцев В. П. Экранированные точечные заряды и мультиполи/В. П. Казанцев, О. А. Золотов, М. В. Долгополова// Известия высших учебных заведений.-Сер. Физика.-2007.

16. Казанцев В. П. Аппроксимация электрического поля проводников экранированными точечными зарядами и мультиполями /В. П. Казанцев, О. А. Золотов, М. В. Долгополова// Известия высших учебных заведений.-Сер. Физика.-2007.-№1. С. 35-41.

17. Казанцев В. П. Проводящий круг во внешнем электрическом поле / В. П. Казанцев, Е. Н. Шляхтич // Вестн. Краснояр. гос. ун-та. -2006. -№ 1.-С. 21-25.

18. Казанцев В. П. Задача о корнях многочленов как обратная задача электростатики / В. П. Казанцев, E.H. Шляхтич // Вестн. Краснояр. гос. ун-та. 2006. - № 9. - С. 16-20.

19. Казанцев В. П. Характеристические мультиполи эллипса и решение задачи о проводящем эллипсе во внешних электрических полях / В. П. Казанцев, Е. Н. Шляхтич // Журн. Сиб. федер. ун-та. 2009. - Т. 2, №4. -С. 410-425.

20. Казанцев В. П. Примеры решения задач о проводящем эллипсе во внешних электрических полях / В. П. Казанцев, Е. Н. Шляхтич // Журн. Сиб. федер. ун-та. Математика и физика. 2011. - Т. 4, № 1. -С. 85-101.

21. Казанцев В. П. Вариационные оценки в электростатике. Принцип Гаусса и метод эквивалентных зарядов / В. П. Казанцев, Е. А. Лысенко // Изв. вузов. Физика. 1995. - N 2. - С. 30 - 36.

22. Казанцев В. П. Вариационные принципы и высшие поляризуемости уединённых проводников в плоских задачах электростатики / В.П. Казанцев //Докл. Рос. акад. наук. 1998. - Т. 361, № 4. - С. 469473.

23. Казанцев В.П. Понятие о высших поляризуемостях уединенных проводников в плоских задачах электростатики / В.П. Казанцев. -Красноярск, 1996. Деп. в ВИНИТИ 2291 В96.

24. Казанцев В. П. Вариационные принципы, электрические характеристические мультиполи и высшие поляризуемости в теории поля / В. П. Казанцев // Теорет. и мат. физика. 1999. - Т. 119, №3. - С. 441 -454.

25. Казанцев В. П. Характеристические мультиполи и плоские задачи электростатики диэлектриков / В. П. Казанцев // Докл. Рос. акад. наук. 2003, Т. 388, № 4. - С. 456-461.

26. Казанцев В.П. Характеристические мультиполи и вариационные оценки ёмкости цилиндрических конденсаторов / В. П. Казанцев // Докл. Рос. акад. наук. 2000. - Т. 373, № 1. - С. 29-32.

27. Казанцев В.П. Характеристические мультиполи кривой относительно точки / В. П. Казанцев // Докл. Рос. акад. наук. 2001. - Т. 380, № 6. - С. 749 - 753.

28. Казанцев В. П. Пример, демонстрирующий возможности и особенности вариационного подхода к задачам электростатики / В.П. Казанцев // Успехи физ. наук. 2002. - Т. 172, № 3. - С. 357-362.

29. Казанцев В.П. Вариационные оценки в электростатике диэлектриков/В.П. Казанцев // Журнал Технической физики.-1983.-Т. 53, №3.-С.449-457.

30. Лаврентьев М. А. Методы теории функций комплексного переменного : учеб. пособие / М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. Изд. 3-е, испр. - М.: Наука, 1965. - 716 с.

31. Ландау Л . Д. Электродинамика сплошных сред / Л . Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. М.: Наука, 1982. - 622 с.

32. Ландау Л. Д. Теория поля / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. М. : Наука, 1988. - 512 с.

33. Ландкоф Н. С. Основы современной теории потенциала / Н. С. Ландкоф. М.: Наука, 1966. - 516 с.

34. Матвеев А.Н. Электричество и магнетизм / А. Н. Матвеев. М.: Высш. шк, 1983. - 415 с.

35. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике / С. Г. Михлин. Изд. 2-е, перераб. и доп.- М.: Наука,1970. -512 с. : ил.

36. Пановский В. Классическая электродинамика / В. Пановский, М. Филипс ; пер. с англ. М. : Физматгиз, 1963. - 432 с.

37. Полиа Г. Г. Изопериметрические неравенства в математической физике / Г. Полиа, Г. Сеге ; пер. с англ. М.: Физматгиз, 1962. - 336 с.

38. Прудников А. П. Интегралы и ряды. Специальные функции / А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев. М.: Наука, 1983. - 750 с.

39. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т. 3. Электричество / Д. В. Сивухин. М. : Наука, 1977. - 690 с.

40. Смайт В. Электростатика и электродинамика / В. Смайт ; пер. с амер. изд. М.: Изд-во иностр. лит. - 1954. - 432 с.: ил.

41. Тамм И. Е. Основы теории электричества : учеб. пособие / И. Е. Тамм. М. : Наука, 1989. - 504 с.: ил.

42. Терлецкий Я. П. Электродинамика : учеб. пособие / Я. П. Терлецкий, Ю. П. Рыбаков 2-е изд., перераб. - М.: Высш. шк., 1990. - 352 с.: ил.

43. Фейнман Р. Фейнмановские лекции по физике. Т.6. Электродинамика / Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. М.: Мир, 1966. - 344 с. : ил.

44. Шляхтич Е. Н. Основная задача электростатики для проводящего круга / Е. Н. Шляхтич // НКСФ XXXV (2006). Тезисы докладов научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых-физиков, Красноярск, 12-13 апреля 2006 г.- Красноярск, 2006. - С. 67.

45. Шляхтич Е. Н. Комплексный анализ и вариационные принципы в электростатике / Е. Н. Шляхтич // Физика в системе современного образования (ФССО-07) : материалы Девятой Междунар. конф., г. Санкт-Петербург, 4-8 июня 2007 г. Санкт-Петербург, 2007. - С. 170.

46. Шляхтич Е. Н. Характеристические мультиполи эллипса и решение задачи об электрическом поле зарядов, распределённых по эллипсу

47. Е. Н. Шляхтич // ВНКСФ-14. Четырнадцатая Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых : материалы конф., г. Уфа, 26 марта 3 апреля 2008 г. - Екатеринбург ; Уфа, 2008. -С. 71-72.

48. Шляхтич Е. Н. Характеристические мультиполи эллипса/ Е. Н. Шляхтич // НКСФ-2008. Тезисы докладов научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых-физиков, г. Красноярск, 11-12 апреля 2008 г. Красноярск, 2008. - С. 59.

49. Шляхтич Е. Н. Диэлектрический круг во внешнем электрическом поле/ Е. Н. Шляхтич // НКСФ-2009. Тезисы докладов научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых-физиков, г. Красноярск, 17-18 апреля 2009 г. Красноярск, 2009. - С. 120.

50. Raab, R. Е. Multipole Theory in Electromagnetism /R. E. Raab, О. L. De Lange//Oxford: Clarendon press.-2005.- 235 p.

51. Guggenheim, E. A. On magnetic and electrostatic energy./E. A. Guggenheim // Proceedings of the Royal Society London.-1936.-V. 155 P. 49-70.

52. Knight R. C. The potential of circular cylinder between the infinity planes/R. C. Knight// Proc. of London Math. Soc.-1935.V.39, ser.2. P. 272-281

53. Wangsness R. K- Electromagnetic fields/R. K. Wangsness //Wiley, New York.-1986.-354 p.

54. Weiglhofer W. S. On a medium constraint arising directly from Maxwell's equations./W. S. Weiglhofer //Journal of Physics A: Mathematical and General. -1994. V. 27.- P. 871-874.

55. Tsiboukis T.D. Estimation of electromagnetic field parameters by dual energy methods/ T.D. Tsiboukis//Archiv for Electrotechnick.-1985. V. 68. P. 183-189