Разработка и исследование методов разномасштабного моделирования геопотенциала тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 25.00.32, кандидат наук Сугаипова, Лейла Супьяновна

• Сугаипова, Лейла Супьяновна
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Сугаипова, Лейла Супьяновна

Оглавление

Введение

Глава 1. Теоретические основы разномасштабного анализа и синтеза сигнала

1.1. Комбинированное использование шаровых функций и вейвлетов

1.2. Современные требования к моделированию ГПЗ

1.3. О локализации в пространстве и в частотной области

1.4. Масштабирующие функции

1.5. Основная схема в терминах фильтрации

1.6. Разномасштабный вейвлет-анализ и синтез на сфере

1.7. Некоторые масштабирующие функции и вейвлеты

1.7.1. Вейвлеты Шеннона-Котельникова

1.7.2. Вейвлеты Пуассона

1.7.3. Вейвлеты Стокса

1.7.4. Ковариационные вейвлеты

1.8. Вейвлеты и сферические радиальные базисные функции

1.9. Регулярная сетка полюсов СРБФ на сфере

1.10. Глобальное моделирование ГПЗ средствами СРБФ

1.11. Интерполяция в евклидовом пространстве средствами РБФ

1.12. О рекуррентном суммировании (по Кленшоу) и вычислении свёрток

1.13. Отсечение слабых сигналов (подавление шума)

1.14. Основные результаты и выводы первой главы

Глава 2. Моделирование низкочастотной и среднечастотной частей геопотенциала

2.1. Определение гравитационного поля Земли кинематическими методами

2.1.1. Определение геопотенциала из уравнения баланса энергии системы Земля - спутник

2.1.2. Определение возмущающей силы притяжения Земли

2.2. Общие сведения о градиентометрии на примере GOCE

2.3. Модель цветного шума градиентометра

2.4. Системы координат спутниковой градиентометрии

2.4.1. Ориентация системы координат в терминах кватернионов

2.4.2. Вторые производные геопотенциала в локальной системе координат

2.4.3. Преобразование матрицы Гессе потенциала из локальной системы координат в инструментальную систему координат градиентометра

2.5. Схема алгоритма обработки результатов спутниковой градиентометрии

2.6. Создание регулярной сетки методом коллокации

2.6.1. Аналитическое выражение ковариации между средним значением функции и ее точечными значениями

2.6.2. Случай задания исходных измерений на регулярной сетке

2.6.3. Степенные дисперсии и степенные ковариации для вторых производных возмущающего потенциала

2.6.4. Ковариация между точечными значениями функций

2.7. Создание сетки с помощью аналитического продолжения

2.7.1. Аналитическое продолжение орбитальных измерений на среднеорбитальную сферу

2.7.2. Преобразование хаотично расположенных результатов аналитического продолжения на регулярную сетку среднеор-битальной сферы

2.8. Гармонический анализ ГПЗ по результатам спутниковой гради-ентометрии методами численного интегрирования

2.8.1. Краткие сведения об интегрировании по сфере с наивысшей алгебраической точностью и о теоремах о выборке

2.8.2. Решение методами Гаусса-Лежандра (СЬ) и Дрисколла-Хили (ЭИ)

2.8.3. Решение на основе теоремы Макюэна - Вью (М"" о выборке на сфере

2.8.4. Решение на основе оптимальной выборки (ОБ) на сфере

2.9. Восстановление гармонических коэффициентов геопотенциала по гармоническим коэффициентам второй производной

2.10. Гармонический анализ ГПЗ по результатам спутниковой гради-ентометрии методом наименьших квадратов

2.10.1. Уравнения связи

2.10.2. Метод сопряжённых градиентов

2.10.3. Циркулянты и дискретное преобразование Фурье

2.10.4. Использование АРСС-фильтра

2.11. Модель геопотенциала по результатам спутниковой градиенто-метрии

2.11.1. Преобразование исходных измерений в геоцентрическую прямоугольную систему координат, связанную с Землёй (ЕСЕР)

2.11.2. Аналитическое продолжение орбитальных измерений на среднеорбитальную сферу

2.11.3. Преобразование хаотично расположенных результатов аналитического продолжения на регулярную сетку среднеор-битальной сферы

2.11.4. Гармонический анализ на среднеорбитальной сфере и продолжение к Земле

2.11.5. Сопоставление полученных результатов с известными европейскими моделями

2.12. Основные результаты и выводы второй главы

Глава 3. Моделирование тонкой структуры геопотенциала

3.1. Функционалы на возмущающем потенциале и уравнения связи в терминах СРБФ

3.1.1. Сила тяжести возмущающая и аномальная

3.1.2. Возмущение и аномалия силы тяжести для масштабирующих функций и вейвлетов Абеля-Пуассона

3.1.3. Уравнения связи спутниковой градиентометрии

3.2. Краевая задача физической геодезии

3.2.1. Решение в локальной области

3.2.2. От интегрирования к аппроксимации сферическими радиальными базисными функциями (СРБФ)

3.2.3. Уточнение нормального поля

3.3. Методы оценивания СРБФ-коэффициентов

3.3.1. Совместное уравнивание нескольких групп разнородных данных

3.3.2. Рекуррентный метод наименьших квадратов

3.3.3. Регуляризация возможной неустойчивости по Тихонову

3.3.4. Сингулярное разложение матрицы и его свойства

3.3.5. Регуляризация с помощью сингулярного разложения

3.3.6. Численные модификации

3.4. РБФ-аппроксимация и нейронная сеть

3.5. Отбор оптимального подмножества полюсов СРБФ

3.6. Разбиение на блоки (сегментация поля)

3.6.1. Сегментация поля на основе вейвлет-анализа

3.6.2. Ковариационный анализ однородного поля внутри блоков

3.6.3. Структура ковариационной функции неоднородного поля

3.6.4. СРБФ с метрикой Махаланобиса

3.7. Алгоритм регионального моделирования ГПЗ

3.8. Численные эксперименты

3.8.1. Последовательная аппроксимация региональной аномалии силы тяжести

3.8.2. Локальное моделирование аномалий высоты

3.8.3. Разномасштабный анализ аномалий силы тяжести

3.8.4. Об использовании физической корреляции для интерполяции

3.9. Основные результаты и выводы третьей главы

Заключение

Список литературы

Приложение А Программное обеспечение

Приложение Б Документы о внедрении

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка и исследование методов разномасштабного моделирования геопотенциала»

Введение

Это может показаться парадоксальным, но вся наука подчинена аппроксимации.

Иммануил Кант

Актуальность темы исследования

Как известно, одной из основных задач физической геодезии является моделирование внешнего гравитационного поля Земли (ГПЗ). Основополагающие концепции этой и других задач физической геодезии разработаны нашими выдающимися соотечественниками Молоденским М.С., Броваром В.В., Пеллиненом Л.П. и другими. При этом основным математическим аппаратом решения этой проблемы являются ряды по ортогональной системе сферических и шаровых функций. На данный момент получено большое количество моделей ГПЗ в виде ряда по шаровым функциям (см., например, [131]). По-видимому, предполагается, что увеличивая максимальную степень разложения N ряда, можно описать потенциал, каким бы сложным он ни был. Однако, такое предположение противоречит известному свойству рядов Фурье о равномерном рапределении локальных черт поля по всей планете. Поэтому реальная разрешающая способность определяется теми регионами Земли, в которых данные или вовсе отсутствуют или обладают низкой точностью. И единственный параметр, с помощью которого можно регулировать разрешающую способность модели, - наивысшая степень разложения N - не в состоянии сбалансировать неизбежные различия в исходных данных. В работе [26] рассмотрен способ детализации глобальных моделей геопотенциала на основе информации о рельефе земной поверхности высокого разрешения. Но и такой подход имеет ограниченные возможности повышения разрешающей способности модели.

Для отображения локальных особенностей поля предлагается привлечь новые базисные функции, отличающиеся от шаровых функций наличием пространственной локализации. При этом не предполагается полный отказ от ша-

ровых функций, которые хорошо проявили себя при описании низко- и сред-нечастотной частей гравитационного поля Земли. Но для моделирования высокочастотного диапозона волн необходимо заменить базисные функции на пространственно локализованные, которые в общем случае далее будут называться - вслед за геостатистикой - сферическими радиальными базисными функциями (СРБФ). Улучшение ситуации возможно только на основе разномасштабных методов моделирования, предполагающих разумное сочетание шаровых функций и СРБФ.

Таким образом, актуальность проделанных исследований определяется тем фактом, что представление потенциала в виде ряда по шаровым функциям достигло предела своих возможностей и не в состоянии удовлетворять растущие потребности в увеличении разрешающей способности и точности модели. Необходима новая технология моделирования ГПЗ, позволяющая теоретически неограниченно увеличивать разрешающую способность и точность модели по мере накопления данных и повышения их точности, что и разрабатывается в диссертации.

При моделировании среднечастотного диапозона поля на сегодняшний день наиболее подходящей информацией служит спутниковая градиентометрия. В связи с этим, необходимо отдельно отметить актуальность освоения зарубежного опыта обработки результатов спутниковой градиентометрии и необходимость собственных разработок в этой области, поскольку в отечественной литературе подобные работы не выполнялись, а среднечастотную часть отечественных моделей уточнять необходимо.

Степень разработанности темы исследования

Использование СРБФ и вейвлетов для моделирования ГПЗ не является чем-то принципиально новым. Здесь достаточно вспомнить многолетние попытки геодезистов моделировать ГПЗ в локальных районах с помощью так называемых точечных масс, которые можно рассматривать как простейшие СРБФ. В нашей стране этой тематике были посвящены работы, прежде всего, Страхо-

ва В.Н. [68], Мещерякова Г.А.[37], Марченко А.Н.[35], а также Антонова В.А. [2], [36], Полещикова С.М.[64], Фомина В.Н. [84], Плешакова Д.И. [63] и др. В работах Марченко А.Н. ([32], [146] и др.) нашла развитие теория радиальных мультиполей, представляющих собой производные ядра точечной массы.

Проблемой моделирования потенциала точечными массами и связанными с этим задачами занимались также такие зарубежные учёные как Дж. Вейтман [182], Ф. Бартельмес [89], Дж. Бальмино [3], М. Вермеер [176]-[178], Дж.П. Рейли [160], С. Антунес, Р. Пейл [87] и другие.

За рубежом задача моделирования ГПЗ с помощью вейвлетов и СРБФ в настоящее время находится в стадии активной разработки. Этими вопросами занимаются целые университеты. Например, в Кайзерслаутернском университете (Германия) многие годы проводятся исследования, посвященные моделированию ГПЗ с учётом временных и региональных изменений на основе данных спутниковых проектов CHAMP и GRACE посредством СРБФ и вейвлетов [107],[108], [110]. Особенно много работ разномасштабному анализу геопотенциала посвящено В. Фриденом, занимающимся этой тематикой с начала 1980-х [113]-[121]. В Германском геодезическом исследовательском институте Технического университета Мюнхена (Германия) используют масштабирующие функции и вейвлеты для решения тех же задач. Помимо этого, проводятся исследования возможности комбинирования различных исходных данных (наземная, аэро- и морская гравиметрия, альтиметрия), обладающих различными разрешающими способностями [167], [91], [165], [166], [143] для моделирования поля с разными уровнями детальности. В Боннском университете (Германия) для локального уточнения глобальной модели ГПЗ, полученной на основе спутниковых данных, используются так называемые сферические сплайны [104]. Такой подход, по существу, совпадает со средне-квадратической коллокацией. В Дел-фтском университете (Нидерланды) введены в рассмотрение так называемые "вейвлеты" Пуассона, зависящие от двух параметров - степени m и глубины залегания полюса d. Они не являются вейвлетами в строгом смысле этого по-

нятия, но, как показано в работах [140], [183], а также здесь (раздел 3.8.1), с успехом могут применяться для локального моделирования поля. Также можно отметить работы [92], [95],[136] и др.

В нашей стране РБФ и вейвлеты активно используются для целей аппроксимации и моделирования нейронных сетей, экономических систем и др. Но, к сожалению, практически не разработанным остается это направление в приложении к геодезическим задачам. Одни из немногих работ выполнены в МГУ им. М.В. Ломоносова (Болотин Ю.В., Вязьмин В.С.) [8], [9], [12] и в МИИГА-иК(Мазурова Е.М., Лапшин А.Ю. и Нейман Ю.М., Сугаипова Л.С.) [30], [31], [28], [33], [48], [49], [76], [78]. Что касается систематического изложения подобных вопросов, то монография [53] является, по-видимому, единственной.

В последние десятилетия мощный толчок в развитии получили космические методы геодезии благодаря реализации спутниковых проектов, направленных на решение геодезических проблем. Краткую историю использования космических средств в геодезии и перспективы развития современных методов можно найти в работе [67]. Здесь же необходимо отметить, что благодаря успешной работе проекта GOCE (17 марта 2009 г. - 21 октября 2013 г.) имеется обширный архив данных спутниковой градиентометрии. Эта информация наилучшим образом подходит для определения (уточнения) средневолнового диа-позона спектра ГПЗ. Работы, посвященные различным аспектам обработки и использования градиентометрической информации для целей геодезии и смежных наук, за рубежом начались за много лет до запуска GOCE и всё ещё продолжаются. Но, к сожалению, в нашей стране очень мало внимания уделяется вопросам, связанным с обработкой измеренных вторых производных геопотенциала. Работы ведутся в Главной (Пулковской) астрономической обсерватории РАН [61], [62], [156]-[159], в ФГБУН «Институт астрономии РАН» [22] - [25] и в МИИГАиК [43], [27],[50],[51] и др. Также можно отметить учебное пособие [86], изданное в МИИГАиК. Систематическое изложение необходимого теоретического материала, результатов численных исследований и основанных на них

практических рекомендаций можно найти в монографии [53].

Цели и задачи диссертационной работы

Основной целью диссертации является разработка новой технологии моделирования геопотенциала, использующей для разных частей спектра базисные функции различной пространственной локализации и, вследствие этого, позволяющей теоретически неограниченно улучшать разрешающую способность и точность воспроизведения гравитационного поля Земли в соответствии с количественным и качественным ростом исходных данных. При этом предусмотрена сегментация поверхности Земли по признаку пространственной стационарности, что обеспечивает дополнительную эффективность моделирования тонкой структуры поля по наземной гравиметрической информации.

Задачами диссертационных исследований, направленных на достижение поставленной цели, являются следующие:

• Обосновать тот факт, что представление потенциала в виде ряда по шаровым функциям достигло предела своих возможностей и не в состоянии удовлетворять растущие потребности в увеличении разрешающей способности модели. Вследствие этого, для моделирования высокочастотной части необходимо использовать другие базисные функции, отличающиеся от сферических функций наличием определённой пространственной локализации. Предложить новую структуру модели ГПЗ, разумно сочетающую использование традиционных и новых базисных функций.

• Изложить теоретические основы разномасштабного анализа и синтеза сигнала на сфере.

• Разработать методику локального моделирования ГПЗ с помощью СРБФ, проверить её эффективность численно.

• Рассмотреть возможные варианты расположения полюсов СРБФ, разработать методику отбора оптимального их подмножества.

• Исследовать существующие СРБФ и разработать новые для целей моделирования ГПЗ. Разработать методику сегментации ГПЗ по принципу пространственной стационарности, предложить методы преодоления возникающей проблемы согласования различных локальных моделей на границах сегментов.

• Разработать методику моделирования среднечастотной части ГПЗ с помощью спутниковой градиентометрии. Исследовать различные варианты реализации этой методики. Составить пакет необходимых программ, реализующих вычисление гармонических коэффициентов до 250-й степени.

Научная новизна

Научная новизна проделанной работы состоит в следующем:

• Впервые разработана и практически реализована методика моделирования ГПЗ по результатам спутниковой градиентометрии, использующая гармонический анализ на основе новейших достижений математики в области выборок наивысшей алгебраической точности, что позволяет ограничиться регулярной сеткой с минимальным количеством узлов. Составлен пакет соответствующих программ, позволяющий получать модель сред-нечастотной части геопотенциала, превышающую по точности другие модели, не использующие градиентометрию.

• Впервые разработана и практически реализована методика регионального моделирования ГПЗ на части территории РФ с помощью пространственно локализованных базисных функций. Эта методика может быть использована для моделирования любых скалярных полей сложной структуры, заданных на поверхности Земли или сферы.

• Получены новые модификации известных в математике функций - ядра Абеля-Пуассона и ядра Стокса - позволяющие использовать их в качестве

масштабирующих функций и вейвлетов для локального анализа и синтеза геопотенциала и его трансформант.

• Введены новые пространственно локализованные базисные функции с метрикой Махаланобиса, позволяющие учитывать неоднородность моделируемого ГПЗ и решать проблему согласования региональных моделей на границах областей.

• Введено новое понятие - частотная характеристика оператора усечения ядра Стокса на внутреннюю и внешнюю зоны определённого радиуса - которое позволяет автоматически отсекать неявное влияние внешней зоны при локальном восстановлении квазигеоида по гравиметрической информации в ограниченной области.

• Теоретически обоснован и программно реализован эффективный метод подбора оптимальных полюсов СРБФ, который может быть использован и для решения широкого класса задач геодезии, связанных с оптимизацией различного рода сетей.

• Разработана итерационная методика уточнения нормального поля геопотенциала, позволяющая существенно снизить влияние линеаризации и сферической аппроксимации краевой задачи геодезии и, таким образом, повысить точность воспроизведения высокочастотной части поля.

Теоретическая и практическая значимость

Теоретическая значимость работы базируется на обосновании того, что моделирование ГПЗ рядами по шаровым функциям в настоящее время, по существу, исчерпало свои возможности. Поэтому важное значение имеет разработка и исследование разномасштабных методов моделирования, предполагающих использование других - пространственно локализованных - базисных функций при моделировании тонкой структуры гравитационного поля Земли. Разработанные в рамках диссертационного исследования модификации существующих

СРБФ и введённые в рассмотрение новые СРБФ, использующие метрику Маха-ланобиса, новое понятие "частотная характеристика оператора усечения ядра Стокса на внутреннюю и внешнюю зоны определённого радиуса"обогащают теорию пространственно локализованных функций и расширяют их практические возможности при моделировании ГПЗ.

Предложенная в работе методика уточнения нормального поля геопотенциала может оказаться полезной при решении задач, основанных на предположении о малости возмущающего потенциала, близости искусственно построенного теллуроида к реальной поверхности Земли и т.п.

Отдельное теоретическое значение имеет исследование возможности применения для целей гармонического анализа ГПЗ по результатам спутниковой градиентометрии новейших достижений математики в области выборок наивысшей алгебраической точности - теоремы Макюэна-Вью [147] и теоремы об оптимальной выборке на сфере [138].

Практическая значимость результатов диссертации заключается в том, что разработанный алгоритм гармонического анализа ГПЗ по результатам спутниковой градиентометрии и соответствующий пакет программ могут быть использованы для практического построения глобальной модели геопотенциала в виде ряда по шаровым функциям до 250-й степени и порядка. Программный пакет внедрён в АО «Научно-производственная корпорация «Системы прецизионного приборостроения» в ходе выполнения СЧ ОКР «Изготовление автоматизированного комплекса программ из состава АПК ГГСК первого этапа», что подтверждается актом о реализации (см. Приложение Б). Разработанные алгоритмы и программы разномасштабного анализа и синтеза сигналов могут быть использованы для высокоточного локального моделирования гравитационного поля Земли, рельефа и других скалярных полей сложной структуры, заданных на поверхности Земли (сферы). Указанные результаты внедрены в ИФЗ РАН при выполнении НИР «Рельеф СПП-С» по Государственному оборонному заказу по разработке аналитических моделей рельефа Земли с улучшенными

характеристиками, что подтверждается справкой о внедрении (см. Приложение Б). Разработан алгоритм и составлена соответствующая программа подбора оптимальных полюсов СРБФ. Этот алгоритм может быть использован и для решения широкого класса задач геодезии, связанных с оптимизацией различного рода сетей.

Методология и методы исследования

Для решения поставленных задач использованы: элементы теории Моло-денского и основные принципы физической геодезии и геостатистики, аппарат теории вейвлет-анализа и сферических радиальных базисных функций, методы численного интегрирования, линейной алгебры, теории случайных функций.

Положения, выносимые на защиту

На защиту выносятся следующие результаты:

• Методика моделирования ГПЗ по результатам спутниковой градиентомет-рии, опирающаяся на гармонический анализ на основе новейших достижений математики в области выборок наивысшей алгебраической точности, и пакет соответствующих программ.

• Обоснование нецелесообразности использования для моделирования ГПЗ длинных рядов Фурье по сферическим функциям. Методика регионального моделирования ГПЗ с помощью пространственно локализованных базисных функций, которая может быть использована и для моделирования любого другого скалярного поля сложной структуры на поверхности Земли (сферы), например, рельефа.

• Новые модификации ядра Абеля-Пуассона и ядра Стокса, расширяющие их геодезические приложения, а также новое понятие — частотная характеристика оператора усечения ядра Стокса на внутреннюю и внешнюю зоны определённого радиуса, позволяющая автоматически отсекать неявное влияние внешней зоны при локальном восстановлении квазигеоида по гравиметрической информации в ограниченной области.

• Новые пространственно локализованные базисные функции с метрикой Махаланобиса, позволяющие учитывать неоднородность моделируемого ГПЗ и решать проблему согласования региональных моделей на границах областей.

• Эффективный метод подбора оптимальных полюсов СРБФ, который может быть использован и для решения широкого класса задач геодезии, связанных с оптимизацией различного рода сетей.

• Итерационная методика уточнения нормального поля геопотенциала, позволяющая существенно снизить влияние линеаризации и сферической аппроксимации краевой задачи геодезии.

Степень достоверности и апробация результатов

Достоверность научных и практических результатов проведённых исследований подтверждается их теоретическим обоснованием и большим количеством численных экспериментов, включающих сравнение с измеренными значениями (при их наличии) либо со значениями, полученными с использованием лучших зарубежных аналогов.

Основные результаты диссертации доложены на следующих конференциях:

1. Международная научно-техническая конференция «Геодезия, картография и кадастр - XXI век», посвященная 230-летию МИИГАиК. Москва, 2009.

2. Научно-техническая конференция профессорско-преподавательского состава МИИГАиК, посвященная 50-летию полета в космос Гагарина Ю.А. Москва, 2011.

3. Научно-техническая конференция профессорско-преподавательского состава «МИИГАиК - 233». Москва, 2012.

4. Научно-техническая конференция «Отечественные разработки в области геодезии и картографии и их применение в хозяйственной и оборонной деятельности страны», посвященная дню работников геодезии и картографии. Москва, 2012.

5. Научно-техническая конференция профессорско-преподавательского состава «МИИГАиК - 234». Москва, 2013.

6. Научно-технический семинар «Современное состояние и перспективы космической гравиметрии и градиентометрии», ФГУП ВНИИФТРИ, Московская обл., р.п. Менделеево, 2014.

7. Международная научно-техническая конференция «Геодезия, картография, кадастр - современность и перспективы», посвященная 235-летию основания МИИГАиК. Москва, 2014.

8. Научно-техническая конференция «Геодезия, картография, кадастр -2015», посвященная 236-летию основания МИИГАиК. Москва, 2015.

9. Научно-практическая конференция «Применение геоинформационных систем военного назначения в Вооружённых Силах Российской Федерации. Проблемы и перспективы развития технологий создания, доведения средств топогеодезической информации», НИЦ ТГНО ФГБУ «27 Центральный научно-исследовательский институт» Министерства обороны Российской Федерации, Москва, 31 мая - 1 июня 2016 г.

10. Научно-техническая конференция «Навигация по гравитационному полю Земли и ее метрологическое обеспечение», ФГУП ВНИИФТРИ, Московская обл., р.п. Менделеево, 14 - 15 февраля 2017 г.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 26 печатных работах, из них 18 статей в журналах из списка ВАК, 1 статья в рецензируемых журна-

лах, 4 статьи в сборниках трудов конференций, 1 статья в научно-техническом сборнике, 1 тезис доклада, 1 монография.

Личный вклад автора. Положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. В публикациях, подготовленных совместно с соавторами, вклад диссертанта является определяющим.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения, библиографии и 2 приложений. Общий объем диссертации 325 страниц, включая 66 рисунков и 12 таблиц. Библиография включает 186 наименований на 18 страницах.

19

Глава 1

Теоретические основы разномасштабного анализа и синтеза сигнала

1.1. Комбинированное использование шаровых функций и вейвлетов

Для моделирования глобального гравитационного поля Земли (ГПЗ) в геодезии обычно используются ряды по шаровым функциям

V (г,в,Х) =

GM " (R\n+1 п

1 f R\ ''

д ХД7) cos тХ + Snm sinmX)Pnm(cos в). (1.1)

п=2 ^ ' т=0

Здесь г,в,\ - сферические координаты; G - гравитационная постоянная; М - масса Земли; R -отсчетный радиус (большая полуось эллипсоида или средний радиус Земли; иногда будет использоваться обозначение a); Pnm(cos 9) -полностью нормированные присоединенные функции Лежандра; Спт и Snm -гармонические коэффициенты потенциала.

При этом удобнее иметь дело с возмущающим потенциалом Т = V — U, то есть с результатом вычитания из реального потенциала V его референцного значения U:

GM N (R \n+1 п Т (r,9,X) = — cos mX + cnm sin m\)Pnm (cos 9) = (1.2)

n=2 ^ ' m=0

GM Д (R\n+1 n

1 f R\ ''

^ ^ Í j ^ ^ TnmYnm(в, X),

11—О * ' m — —11

R ^ \r

n=2 x

где cnm и snm - соответствующие гармонические коэффициенты возмущающего потенциала, подлежащие определению (уточнению);

спт cos тХ • Рпт (cos 9), т = 0,...,п;

sn\m\ sin \т\Х • Pn|m|(cos 9), т = —п,..., — 1;

Упт(9, А) - сферическая функция п-ой степени и т -го порядка.

В настоящее время построены сотни подобных рядов, различающихся точностью своих коэффициентов и длиной разложения, то есть наибольшей степенью N присутствующих коэффициентов. Поскольку N всегда конечно, то представление ГПЗ моделью (1.2) равносильно определённой низкочастотной фильтрации, а наибольшая степень N определяет пространственное разрешение на поверхности Земли (разрешающая способность модели). Наименьшая полуволна 'ф (как сферическое расстояние), которую можно выделить с помощью (Ж + 1)2 гармонических коэффициентов ряда (1.2), в простейшем случае определяется формулой, основанной на количестве нулей на экваторе:

№) = (1.4)

где Я - средний радиус Земли.

Несколько более адекватное представление о разрешающей способности даёт диаметр той части земной сферы 4пЯ2/(М + 1)2, которая приходится в среднем на один коэффициент ряда, то есть (как сферическое расстояние) [88]

ф(И) = 4- агсзт—-—. (1.5)

) ы + 1 V )

В таблице 1.1 указаны соотношения между наивысшей степенью разложения N, разрешающей способностью ф по версии (1.5) и соответствующие ошибки усечения £ ^, , аномалии высоты (, аномалии силы тяжести Ад, уклонений отвесной линии £,г] (вычислены по модели Чернинга-Раппа [172]). Видно, что скорость сходимости ряда медленная и достижение разрешающей способности в несколько километров требует таких высоких степеней разложения, которые в рамках теории сферических функций практически не достижимы по следующим причинам [53], [48].

• Для разложения в ряд по сферическим функциям до наивысшей степени N, строго говоря, надо решать систему (Ж + 1)2 уравнений с (Ж +1)2 неизвестными, матрица коэффициентов которой полностью заполнена и плохо

обусловлена. Например, для получения ряда до 2160-ой степени необходимо преодолеть вычислительные трудности для устойчивого оценивания около 4700000 коэффициентов.

• Гармонические коэффициенты не связаны с какой-либо индивидуальной пространственной локализацией. Каждый коэффициент отражает влияние всего ГПЗ, и наоборот - изменение даже одного коэффициента имеет глобальный эффект. При вычислении значения суммы полученного ряда в одной единственной точке необходимо всегда привлекать все многочисленные коэффициенты одновременно.

• Аппроксимация достигается осциллирующими гармониками за счёт сетчатого взаимопогашения, но получаемый спектральный состав не сочетается со сложностью или, наоборот, гладкостью отдельных участков. Ряды Фурье, каковыми и являются ряды по сферическим функциям, способны отражать разнородности локального поля лишь в среднем по планете, что приводит к излишнему сглаживанию модельных значений ГПЗ в горах и, наоборот, к неоправданно иррегулярным результатам в равнинных районах и на океанах.

• Тот факт, что исходные данные отдельных регионов точнее других, обычно компенсируется взвешенным уравниванием, результат которого приводит опять-таки к глобальному эффекту: разрешающая способность получается одинаковой для всей планеты. Имеется всего лишь один параметр, позволяющий изменять разрешающую способность, - наивысшая степень разложения N. Поэтому нет возможности извлечь выгоду из высокоточных данных отдельных регионов, и реальная разрешающая способность окончательной модели диктуется, по существу, регионами, в которых данные имеют низкую точность или вовсе отсутствуют. Сбалансировать неизбежные различия одним параметром N невозможно.

• Ряды по сферическим функциям хорошо приспособлены для моделирования стационарного (то есть достаточно однородного по пространству) поля, но очень медленно сходятся при попытках отражать детали поля нестационарного. Глобальный характер базиса в виде сферических функций и обусловленная этим медленная сходимость при моделировании нестационарного ГПЗ делает очень сомнительным достижение традиционными методами реально высокой разрешающей способности модели.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Сугаипова, Лейла Супьяновна, 2018 год

Список литературы

1. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов/Пер. с англ. под ред. Ю.К.Беляева. М.: Мир, 1976. 757 с.

2. Антонов В.А. Представление гравитационного поля планеты потенциалом системы точечных масс // Уч. зап. ЛГУ. 1978. Вып. 56 (397). С. 145-155.

3. Бальмино Дж. Представление потенциала Земли с помощью совокупности точечных масс, находящихся внутри Земли. В кн.: "Использование искусственных спутников для геодезии."М.: Мир, 1975. С.178-183.

4. Баранов В.Н., Бойко Е.Г., Краснорылов И.И. Космическая геодезия. М.: Недра, 1986. 408 с.

5. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Бином, 2004. 636 с.

6. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т. 1. М.: ГИФМЛ, 1962. 464 с.

7. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. Вып.1./Пер. с англ. под ред. В.Ф.Писаренко.М.:Мир, 1974. 408 с.

8. Болотин Ю.В., Вязьмин В.С. Сферический вейвлет-анализ аэрогравиметрических данных // Геофизические исследования. 2012. Т. 13. № 2. С.33-49.

9. Болотин Ю.В., Вязьмин В.С. Локальное многомасштабное оценивание аномалии силы тяжести по данным аэрогравиметрии // Геофизические исследования. 2014. Т. 15. № 3. С.38-49.

10. Боярский Э.А., Конешов В.Н., Курмаева А.Ш., Хачиян Т.П. Анализ морских гравиметрических съёмок с помощью двумерных кубических сплайнов // Гравиинерциальные приборы и измерения. М.: ИФЗ АН СССР, 1985. С.72-82.

11. Воеводин В.В., Тыртышников Е.Е. Вычислительные процессы с теплице-выми матрицами. М.: Наука, 1987. 320 с.

12. Вязьмин В.С. Локальное определение аномалии силы тяжести по данным

аэрогравиметрии с использованием сферического вейвлет-преобразования. Дисс. на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, М., 2014. 108 с.

13. Горбань А.Н. Обобщенная аппроксимационная теорема и вычислительные возможности нейронных сетей // Сибирский журнал вычислительной математики. 1998. Т. 1. № 1. С. 12—24.

14. Гордеев В.Н. Кватернионы и трёхмерная геометрия. Киев, 2012. 60 с.

15. Гофман-Велленгоф Б., Мориц Г. Физическая геодезия / Перевод с англ. под ред. Неймана Ю.М. М.: Изд-во МИИГАиК, 2007. 410 с.

16. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра / Пер. с англ. под ред. Х.Д.Икрамова. М.: Мир, 2001. 430 с.

17. Дженкинс Г., Ваттс Д. Спектральный анализ и его приложения. Вып.1 / Пер. с англ. под ред. Ю.К. Беляева. М.: Мир, 1971. 317 с.

18. Жидков Н.П. Линейные аппроксимации функционалов. М.: Изд.МГУ, 1977. 264 с.

19. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. 512 с.

20. Каллан Р. Основные концепции нейронных сетей / Пер. с англ. под ред. А.Г. Сивака. М.: Издат. дом "Вильяме 2001. 287 с.

21. Кендалл М. Дж., Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды / Пер. с англ. под ред. А.Н.Колмогорова и Ю.В.Прохорова. М.: Наука, 1976. 736 с.

22. Клюйков А.А. Технология определения параметров гравитационного поля Земли по градиентометрическим измерениям. 1. Данные проекта GOCE и стратегия их обработки // Геодезия и картография. 2014. №8. С. 6-12.

23. Клюйков А.А. Технология определения параметров гравитационного поля Земли по градиентометрическим измерениям. 2. Системы координат и времени в спутниковой градиентометрии // Геодезия и картография. 2015. №1. С. 4-11.

24. Клюйков А.А. Технология определения параметров гравитационного поля

Земли по градиентометрическим измерениям. 3. Уравнение поправок гради-ентометрических измерений // Геодезия и картография. 2015. №2. С. 7-11.

25. Клюйков А.А. Технология определения параметров гравитационного поля Земли по градиентометрическим измерениям. 4. Вычисление компонент тензора градиента геопотенциала // Геодезия и картография. 2016. №2. С. 17-20.

26. Конешов В.Н., Непоклонов В.Б., Половнев О.В. Об одном способе детализации глобальных моделей гравитационного поля Земли // Физика Земли. 2017. №1. С. 114-122.

27. Крылов В.И., Нейман Ю.М., Сугаипова Л.С., Яшкин С.Н. Уравнения связи спутниковой градиентометрии // Известия вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, 2006, №5, с. 61-77.

28. Лапшин А.Ю. Разработка и исследование методики вычисления гравиметрической высоты квазигеоида и составляющих уклонения отвеса на основе вейвлет-преобразования. Дисс. на соискание ученой степени кандидата технических наук. М. 2011. 122 с.

29. Линник Ю.В. Метод наименьших квадратов и основы теории обработки наблюдений. М.: ГИФМЛ, 1962. 336 с.

30. Мазурова Е.М., Багрова A.C. К вопросу вычисления аномалии высоты на основе вейвлет-преобразования и быстрого преобразования Фурье в плоской аппроксимации // Изв. Вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. 2008. №4. С. 6-9.

31. Мазурова Е.М., Лапшин А.Ю. Вычисление аномалии высоты с точностью первого приближения теории Молоденского в ближней зоне на основе вей-влет-преобразования // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъёмка. 2011. №6. С. 41-43.

32. Марченко А.Н. О вычислении моментов гравитационных мультиполей Земли // Геодезия, картография и аэрофотосъемка. 1977. Вып. 25. С. 35-41.

33. Меньшова Е.В., Лапшин А.Ю. Алгоритмы определения числа коэффициентов в одномерном вейвлет-преобразовании // Известия вузов. Геодезия и

аэрофотосъёмка. 2011. №1. С. 30-33.

34. Мещеряков Г.А., Марченко А.Н. Нахождение осей гравитационных мульти-полей // Геодезия, картография и аэрофотосъемка. 1977. Вып.25. С.42-47.

35. Марченко А.Н. Модель точечных масс глобального гравитационного поля Земли // Геодезия, картография и аэрофотосъемка. 1980. Вып. 32. С. 81-89.

36. Марченко А.Н. О некоторых теоретических аспектах представления геопотенциала потенциалом системы точечных масс // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. 1982. № 3. С. 51-57.

37. Мещеряков Г.А., Марченко А.Н. О новом подходе к представлению гравитационного потенциала планеты потенциалом системы точечных масс // Астрон. вестник. 1979. № 4. С. 193-201.

38. Молоденский М.С, Еремеев В.Ф., Юркина М.И. Методы изучения внешнего гравитационного поля Земли и фигуры Земли. Тр. ЦНИИГАиК. Вып.131. М.: Геодезиздат, 1960. 253 с.

39. Мориц Г. Современная физическая геодезия / Перевод с англ. под ред. Ю.М.Неймана. М.: Недра, 1983. 392 с.

40. Нейман Ю.М. Вариационный метод физической геодезии. М.: Недра, 1979. 200 с.

41. Нейман Ю.М.К вопросу о математической обработке разнородных измерений // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. 2008. №2. С.7-21.

42. Нейман Ю. М, Бывшев В. А. Вариационный метод физической геодезии и коллокация. В кн.: Гравиметрия и геодезия / Под ред. Б.В.Бровара. М.: Научный мир, 2010. 572 с.

43. Нейман Ю.М., Сугаипова Л.С. Модель цветного шума градиентометра миссии СОСЕ // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. 2005. №2. С. 31-42.

44. Нейман Ю.М., Сугаипова Л.С. Сферические функции и их применение в геодезии. Учебное пособие. М.: Изд-во МИИГАиК, 2005. 87 с.

45. Нейман Ю.М., Сугаипова Л.С. Замечания об определении гравитационного поля Земли кинематическими методами // Изв. вузов. Геодезия и аэрофо-

тосъемка. 2011. №4. C. 27-30.

46. Нейман Ю.М., Сугаипова Л.С. О ковариационном анализе неоднородного гравитационного поля Земли // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. 2013. № 5. С. 15-22.

47. Нейман Ю.М., Сугаипова Л.С. Структура ковариационной функции нестационарного гравитационного поля Земли // Приложение к журналу Известия вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. Сборник статей по итогам научно-технической конференции. 2013. Вып. 6. С. 20-27.

48. Нейман Ю.М., Сугаипова Л.С. Об адаптации глобальной модели геопотенциала к региональным особенностям (часть 1)// Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. № 3. 2014. C. 3-12.

49. Нейман Ю.М., Сугаипова Л.С. Об адаптации глобальной модели геопотенциала к региональным особенностям (часть 2)// Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. № 4. 2014. C. 3-7.

50. Нейман Ю.М., Сугаипова Л.С. О гармоническом анализе геопотенциала по результатам проекта GOCE // Альманах современной метрологии. 2015. №3. C. 126-131.

51. Нейман Ю.М., Сугаипова Л.С. Классические теоремы о выборке и гармонический анализ на сфере // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. 2015. №5. C. 3-9.

52. Нейман Ю.М., Сугаипова Л.С. Численные эксперименты с гармоническим анализом и синтезом гравитационного поля Земли на основе оптимальной выборки // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. 2016. №1. C.3-9.

53. Нейман Ю.М., Сугаипова Л.С. Основы разномасштабной аппроксимации геопотенциала. Монография. М.: Изд-во МИИГАиК, 2016. 218 с.

54. Нейман Ю.М., Сугаипова Л.С. О создании регулярной сетки по результатам спутниковой градиентометрии // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. 2017. №2. C.8-13.

55. Нейман Ю.М., Сугаипова Л.С., Попадьев В.В. Эксперименты со спутнико-

вой градиентометрией // «Геодезия и картография». Специальный выпуск, посвященный конференции «Отечественные разработки в области геодезии и картографии и их применение в хозяйственной и оборонной деятельности страны». 2012. С. 3-7.

56. Нейман Ю.М, Сугаипова Л.С, Тупицын И.Н. Модель геопотенциала по результатам спутниковой градиентометрии // Навигация по гравитационному полю Земли и её метрологическое обеспечение. Доклады научно-технической конференции, Менделеево-2017. С. 214-226.

57. Непоклонов В.Б. Об использовании новых моделей гравитационного поля Земли в автоматизированных технологиях изысканий и проектирования (часть 1)// Автоматизированные технологии изысканий и проектирования. № 2(33). 2009 г. Электронный ресурс http://www.credo-dialogue.com/journal.aspx.

58. Непоклонов В.Б. Об использовании новых моделей гравитационного поля Земли в автоматизированных технологиях изысканий и проектирования (часть 2)// Автоматизированные технологии изысканий и проектирования. № 3(34). 2009 г. Электронный ресурс http://www.credo-dialogue.com/journal.aspx.

59. Непоклонов В.Б., Зуева А.Н., Плешаков Д.И.Вопросы разработки и применения систем компьютерного моделирования для глобальных исследований гравитационного поля Земли // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. 2007. № 2. С.79-97.

60. Пеллинен Л.П. Методика разложения гравитационного потенциала Земли по сферическим функциям. Труды ЦНИИГАиК. М.: Недра. 1966. Вып.171. С.36 - 62.

61. Петровская М.С, Вершков А.Н. Новый метод моделирования гравитационного потенциала Земли по данным спутниковой градиентометрии // Астрономические исследования в Пулкове сегодня/ Ред. А.В.Степанов. 2009. С. 347-361.

62. Петровская М.С., Вершков А.Н. Построение моделей гравитационного поля на основе спутниковых измерений производных от потенциала // Космические исследования. 2014. Т. 52. №2. С. 176-184.

63. Плешаков Д.И. Принципы создания локальных моделей аномального гравитационного поля Земли // Двойные технологии. 2010. №2. С. 53-57.

64. Полещиков С.М. О построении вещественной системы точечных масс, представляющих гравитационное поле планеты // Вестник Ленингр.ун-та. 1984. № 1. С. 95-90.

65. Попадьев В.В. Совершенствование коллокационных методов решения задач физической геодезии. Дисс. на соискание ученой степени кандидата технических наук, М.: МИИГАиК, 2012. 145 с.

66. Рао С.Р. Линейные статистические методы и их применение / Пер. с англ. под ред. Ю.В.Линника. М.:Наука, 1968. 548 с.

67. Рыхлова Л.В., Шустов Б.М. Космическая геодезия и космическая геодинамика: 60 лет развития // История науки и техники. 2016. №12. С. 32-47.

68. Страхов В.Н. Избранные труды: Общие проблемы геологии, литологии и геохимии. М.: Наука, 1983. 640 с.

72. Сугаипова Л.С. Первичная обработка данных спутниковой градиентомет-рии // Тезисы докладов международной научной - технической конференции «Геодезия, картография и кадастр - XXI век». Москва. МИИГАиК. 2009. С. 40.

73. Сугаипова Л.С. Основные задачи первичной обработки результатов спутниковой градиентометрии. Сборник статей по итогам международной научно-технической конференции, посвященной 230-летию основания МИИГАиК. М.:МИИГАиК. Вып. 2. Ч. 2. 2009. С.71-75.

69. Сугаипова Л.С. О ковариации между точечными и усредненными значениями вторых производных геопотенциала // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. 2010. №5. С. 36-44.

75. Сугаипова Л.С. Сравнение современных моделей глобального гравитацион-

ного поля Земли// Известия вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. 2011. №6. С. 14-20.

70. Сугаипова Л.С. Создание регулярной сетки усредненных значений вторых производных геопотенциала по результатам проекта GOCE // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. 2012. №5. С. 5-9.

71. Сугаипова Л.С. О гармоническом анализе по результатам спутниковой градиентометрии // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. 2014. №2. С. 19-24.

74. Сугаипова Л.С. О планируемых проектах спутниковой гравиметрии // Известия вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. 2015. №6. С. 3-8.

76. Сугаипова Л.С. О применении вейвлетов Абеля-Пуассона для анализа силы тяжести в локальном районе// Известия вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. 2017. № 5. С. 3-13.

77. Сугаипова Л.С. Несколько замечаний относительно коэффициентов Моло-денского при вычислении аномалии высот // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. 2017. №6. C. 17-24.

78. Сугаипова Л.С. От интеграла Стокса к аппроксимации с помощью СРБФ // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. 2018. Т. 62. №1. С.15 - 22.

79. Сугаипова Л.С. Об уточнении нормального поля // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. 2018. Т.62. №2. С.127-131.

80. Сугаипова Л.С., Тупицын И.Н. Исследование возможности применения пространственного подхода для построения модели гравитационного поля Земли с использованием градиентометрической измерительной информации КА // Научно-технический сборник 29 НИИ Министерства обороны Российской Федерации. 2017. №29. C. 21-26.

81. Тихонов А.Н., Большаков В.Д., Нейман Ю.М. Некорректные задачи геодезии // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. 1980. №1. С.54-63.

82. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986. 287 с.

83. Треногин В.А. Основы функционального анализа. М.:Наука, 1980. 496 с.

84. Фомин B.H. O представлении гравитационного поля простейших тел притяжением точечных масс. В сб.: Астрономия и геодезия, Томск: изд-во ТГУ. 1980. Вып. 8. С. 2-10.

85. Р. В. Хемминг Численные методы для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1972. 400 с.

86. Яшкин С.Н. Спутниковая градиентометрия И системы «спутник-спутник». М:. Изд-во МИИГАиК, 2009. 113 с.

87. Antunes C, Rail P., Catalao J. Point mass method applied to the regional gravimetric determination of the geoid // Studia Geophysica et Geodaetica. 2003. № 47. P. 495-509.

88. Barthelmes F. Definition of Functionals of the Geopotential and Their Calculation from Spherical Harmonic Models. Scientific Technical Report STR09/02. 2013. P. 36. Электронный ресурс: http://icgem.gfz-potsdam.de/str-0902-revised.pdf.

89. Barthelmes F. Untersuchungen zur Approximation des ausseren Gravitationsfeldes der Erde durch Punktmassen mit optimierten Positionen. PhD Thesis. Veroffentlichungen des Zentralinstituts fur Physik der Erde. Potsdam, 1986.

90. Barthelmes F. Low Pass Filtering of Gravity Field Models by Gently Cutting the Spherical Harmonic Coefficients of Higher Degrees. Электронный ресурс: ftp://ftp.gfz-potsdam.de/home/sf/bar/OldPublications/gentlecut_engl.pdf.

91. Bentel K., Schmidt M. Combining different types of gravity observations in regional gravity modeling in spherical radial basis functions. In: Sneeuw N., Novak P., Crespi M., Sanso F. (Eds.) VIII Hotine-Marussi Symposium on Mathematical Geodesy, IAG Symposia. 2016. V. 142. P. 115-120.

92. Blais J.A.R., Provins D.A. Spherical Harmonic Analysis and Synthesis for Global Multiresolution Applications //J Geodesy. 2002. V. 76. №1. P. 29-35.

93. Brockwell P.J., Davis R.A. Introduction to Time Series and Forecasting. Second Edition. Springer, 2002. 434 p.

94. Bruinsma, S. L., Forste, C, Abrikosov, O., Marty, J. C, Rio, M. H., Mulet, S., Bonvalot, S. The new ESA satellite-only gravity field model via the direct approach // Geophysical Research Letters. 2013. V. 40, № 14. P. 3607-3612.

95. Buhmann M.D. Radial Basis Functions: Theory and Implementation. Cambridge University Press, 2003. 259 p.

96. Cesare S. et al. From GOCE to the Next Generation Gravity Mission. 5th International GOCE User Workshop. November 2014, Paris, France.

97. Chen S., Cowan C.F.N., Grant P.M. Orthogonal least squares learning algorithm for radial basis function networks. IEEE Transactions Neural Networks. 1991. V. 2. P. 302-309.

98. Colombo O.L. Numerical methods for harmonic analysis on the sphere. Department of Geodetic Science and Surveying. The Ohio State University, Columbus, Ohio. 1981. Rep. №310.

99. Darbehesti N., Featherstone W.E.. Non-stationary covariance function modelling in 2D least-squares collocation //J Geodesy. 2009. V.83. P. 495-508.

100. D'Errico J. R. Understanding Gridfit. 2006. Электронный ресурс: https://marine.rutgers.edu/ nstrands/MATLAB/googleplot/general/grid_fun/private/gridfit.

101. Ditmar P., Klees R., Kostenko E. Fast and accurate computation of spherical harmonic coefficients from satellite gravity gradiometry data //J Geodesy. 2003. V.76. P. 690-705.

102. Ditmar P., Klees R., Liu X. Frequency-dependent data weighting in global gravity field modeling from satellite data contaminated by non-stationary noise //J Geodesy. 2007. V. 81. P. 81-96.

103. Driscoll J.R., Healy R.M. Computing Fourier transforms and convolutions on the 2-sphere // Adv. Appl. Math. 1994. V. 15. P. 202-250.

104. Eicker A. Gravity field refinement by radial basis functions from in-situ satellite data. PhD Thesis, Universitat Bonn, 2008.

105. ESA Gravity Field and Steady-State Ocean Circulation Mission, ESA

SP-1233(1). Report for mission selection of the four candidate earth explorer missions. ESA Publications Division, 1999.

106. Fasshauer G. Meshfree Approximation Methods with MATLAB. Interdisciplinary Mathematical Sciences. World Scientific Publishers, Singapore, 2007. 520 p.

107. Fengler M.J., Freeden W, Michel V. The Kaiserslautern multiscale geopotential model SWITCH-03 from orbit pertubations of the satellite CHAMP and its comparison to the models EGM96, UCPH2002_02_0.5, EIGEN-1s and EIGEN2 // Geophysical Journal International. 2003. V. 157. P. 499-514.

108. Fengler M.J, Freeden W., Gutting M, Multiscale Modelling from EIGEN-1s, EIGEN-2, EIGEN-GRACE01S, GGM01, UCPH2002-0.5, EGM96. Proc. Second International GOCE User Workshop "GOCE, The Geoid and Oceanography ESA-ESRIN, Frascati, Italy, 8-10 March 2004 (ESA SP-569, June 2004).

109. Fengler M.J., Freeden W, Gutting M. The spherical Bernstein wavelet // International Journal of Pure and Applied Mathematics. 2006. V. 31. № 2. P. 209-230.

110. Fengler M.J., Freeden W, Kohlhaas A., Michel V., Peters T. Wavelet modelling of regional and temporal variations of the Earth's gravitational potential observed by GRACE //J Geodesy. 2007. V. 81. P. 5-15.

111. Flury J. Short-wavelength Spectral Properties of the Gravity Field from a Range of Regional Data Sets //J Geodesy. 2006. V. 79. P. 624 - 640.

112. Forsberg R. Modelling of the fine-structure of the geoid: methods, data requirements and some results // Surv. Geophys. 1993. V. 14. P. 403 - 418.

113. Freeden W. On approximation by harmonic splines // Manuscr. Geodaet. 1981. V. 6. P. 193-244.

114. Freeden W. On spherical spline interpolation and approximation // Math. Methods Appl. Sci. 1981. V. 3. P. 551-575.

115. Freeden W, Gervens T, Schreiner M. Constructive approximation on the

sphere (with applications to geomathematics). Clarendon Press, Oxford, 1998. 427 p.

116. Freeden W. Multiscale modelling of spaceborne geodata. Teubner, Stuttgart. 1999. 351 p.

117. Freeden W, Michel V. Constructive approximation and numerical methods in geodetic research today—an attempt at a categorization based on an uncertainty principle //J Geodesy. 1999. V. 73. P. 452-465.

118. Freeden W. Wavelets by Use of Layer Potentials on Regular Surfaces and Their Applications to Boundary-value Problems. VI Hotine-Marussi Symposium on Theoretical and Computational Geodesy: Challenge and Role of Modern Geodesy. Wuhan, 29 May -02 June 2006.

119. Freeden W, Fehlinger T., Klug M, Mathar D., Wolf K. Classical globally reflected gravity field determination in modern locally oriented multiscale framework // J of Geodesy. 2009. V. 83. № 12. P. 1171-1191.

121. Freeden W, Schreiner M. Multiresolution Analysis by Spherical Up Functions. In Schriften Zur Functionanalysis und Geomathematik. Bericht 2. September 2003.

121. Freeden W, Schreiner M. Multiscale Potential Theory (With Applications to Geoscience). Birkhaüuser Verlag, Boston, 2004. 509 p.

122. Fuchs M.J., Bouman J. Rotation of GOCE gravity gradients to local frames // Geophys. J. Int. 2011. V. 187. P. 743-753.

123. Gorski K.M., Hivon E, Banday A.J., Wandelt B.D., Hansen F.K., Reinecke M., Bartelman M. Healpix - a framework for high resolution discretization, and fast analysis of data distributed on the sphere // The Astrophysical Journal. 2005. V. 622. P. 759-771.

124. GOCE Level 1B Products User Handbook. Doc. No.: GOCE-GSEG-E0PG-TN-06-0137, issue 2, Prepared by: The European GOCE Gravity SERCO/DATAMAT Consortium, 2008.

125. Gruber Th, Rummel R., Abrikosov O., van Hees R. GOCE Level 2 Product

Data Handbook. Issue 4, Revision 3, 2010.

126. Halton J. H. On the efficiency of certain quasi-random sequences of points in evaluating multi-dimensional integrals // Numer. Math. 1960. V. 2. P. 84-90.

127. Hansen P.C. Regularization Tools. A Matlab Package for Analysis and Solution of Discrete Ill-Posed Problems // Numer. Algo. 2007. V.46. P. 189-194.

128. Higdon D., Swall J., Kern J. Non-stationary spatial modeling. In J.M. Bernardo, J.O.Berger, A.P. Dawid, and A.F.M. Smith, editors, Bayesian Statistics 6. Oxford University Press. 1999. P. 761-768.

129. Holmes S.A., Featherstone W.E. A unified approach to the Clenshaw summation and the recursive computation of very high degree and order normalised associated Legendre functions //J Geodesy. 2002. V.76. № 5. P. 279-299.

130. Huang W, Khalid Z., Kennedy R.A. Efficient Computation of Spherical Harmonic Transform using Parallel Architecture of CUDA. Signal Processing and Communication Systems (ICSPCS). 5th International Conference, 12-14 Dec. 2011.

131. International Centre for Global Earth Models (ICGEM). Электронный ресурс: http://icgem.gfz-potsdam.de/ICGEM/.

132. Jamal. RegularizeData3D. 2014. Электронный ресурс: https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/46223-regularizedata3d.

133. Jekeli C. The determination of gravitational potential differences from satellite-to-satellite tracking // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. 1999. V.75. P. 85-101.

134. Kaula W.M. Theory of Satellite Geodesy. Blaisdell Publ. Comp., London, 1966. 160 p. Русский перевод: Каула У. Спутниковая геодезия. М.: Мир, 1970. 172 с.

135. Kearsley A. H. W. Non-stationary estimation in gravity prediction problems. Report 256. Department of Geodetic Science, The Ohio State University, Columbus, USA. 1977.

136. Keller W. Wavelets in geodesy and geodynamics. Walter de Gruyter, Berlin, New York, 2004. 289 p.

137. Khalid Z. Novel Spherical Harmonic Transform (NSHT). 2014. Электронный ресурс: http://www.zubairkhalid.org/nsht.htm.

138. Khalid Z., Kennedy R.A., McEwen J.D. An optimal-dimensionality sampling scheme on the sphere with fast spherical harmonic transforms // IEEE Transactions on Signal Processing. 2014. V. 62. № 17. P. 4597-4610.

139. Klees R., Ditmar P., Broersen P. How to handle colored observation noise in large least-squares problems //J Geodesy. 2003. V.76. № 11-12. P. 629-640.

140. Klees R., Tenzer R., Prutkin I., Wittwer T. A data-driven approach to local gravity field modelling using spherical radial basis functions // J Geodesy. 2008. V. 82. P. 457-471.

141. Kusche J., Klees R. Regularization of gravity field estimation from sattelite gravity gradients //J Geodesy. 2002. V. 76. P. 359-368.

142. Leistedt B., McEwen J. D., Vandergheynst P., Wiaux Y. S2LET: A code to perform fast wavelet analysis on the sphere // Astronomy and Astrophysics. 2013. V. 558. A128. 9 p. https://doi.org/10.1051/0004-6361/201220729.

143. Lieb V., Schmidt M., Dettmering D., Borger K. Combination of various observation techniques for regional modeling of the gravity field // Journal of Geophysical Research. 2016. V. 121. № 5. P. 3825-3845.

144. Lophaven S. N., Nielsen H. B., Sondergaard J. Aspects of the Matlab Toolbox DACE. Report IMM-REP-2002-13, Informatics and Mathematical Modelling, DTU. 2002. 44 p.

145. Mahalanobis P. C. «On the generalised distance in statistics» // Proceedings of the National Institute of Sciences of India. 1936. V. 2. № 1. P. 49-55.

146. Marchenko A.N. Parameterization of the Earth's Gravity Field: Point and Line Singularities. Lviv Astronomical and Geodetical Society. Lviv, Ukraine, 1998. 210 p.

147. McEwen J.D., Wiaux Y. A novel sampling theorem on the sphere. IEEE

Transactions on Signal Processing. 2011. V. 59. №12. P. 5876-5887.

148. McEwen J.D. Spin spherical harmonic transforms. 2014. Электронный ресурс: http://www.jasonmcewen.org/codes / ssht/.

149. Meissl P. A study of covariance functions related to the Earth's disturbing potential. Tech. Rep. № 151. 1971. Ohio State University, Department of Geodetic Science and Surveying, Columbus, Ohio.

150. Migliaccio F., Reguzzoni M, Sanso F. Space-wise approach to satellite gravity field determination in the presence of coloured noise //J Geodesy. 2004. V. 78. P. 304-313.

151. Michel V. Lectures on Constructive Approximation. Fourier, Spline, and Wavelet Methods on the Real Line, the Sphere, and the Ball. New York, Springer, 2013. 324 p.

152. Moritz H. Advanced least squares methods. Report 175. Department of Geodetic Science, The Ohio State University, Columbus, USA. 1972.

153. Murbock, M. et al. Next Generation Satellite Gravimetry Mission Study. 5th International GOCE User Workshop. November 2014, Paris, France.

154. Paciorek C. J. Nonstationary Gaussian Processes for Regression and Spatial Modelling. Carnegie Mellon University, Pittsburgh, Pennsylvania, USA. PhD Dissertation. 2003.

155. Paciorek C. J., Schervish M. J. Nonstationary Covariance Functions for Gaussian Process Regression, Department of Statistics. Carnegie Mellon University, Neural Information Processing Systems. 2003. Электронный ресурс: https://papers.nips.cc/paper/2350-nonstationary-covariance-functions-for-gaussian-p

156. Petrovskaya M.S. Optimal approach to the recovery of the Earth's gravitational field from satellite gradiometry // Art. Sat. 1996. V. 31. № 1. P. 1-23.

157. Petrovskaya M.S., Vershkov A.N. Potential coefficients recovery from the spectra of the full space-borne gravity gradient tensor. In: Sanso F. (ed.) V Hotine-Marussi symposium on mathematical geodesy. IAG Symposia. V. 127. Springer, Berlin Heidelberg New York. 2004. P. 234-241.

158. Petrovskaya M.S., Vershkov A.N. Construction of spherical harmonic series for the potential derivatives of arbitrary orders in the geocentric Earth-fixed reference frame //J Geodesy. 2010. V.84. № 3. P. 165-178.

159. Petrovskaya M.S., Vershkov A.N. Basic equations for constructing geopotential models from the first- and second-order gravitational gradients in the terrestrial reference frame, Journal of Geodesy. 2012. V. 86. №7. P. 521-530.

160. Reilly J.P., Herbrechtsmeier E.H. A systematic approach to modelling the geopotential with point mass anomalies // Journal of Geophysical Research. 1978. V. 83. P. 841-844.

161. Renter R. Uber Integralformeln der Einheitssphare und harmonische Splinefunktionen. 1982. Veroffentlichungen des Geodatischen Instituts, RWTH Aachen, 33.

162. Riley J.D.. Solving systems of linear equations with a positive definite, symmetric, but possibly ill-conditioned matrix. Mathematical Tables and Other Aids to Computation 9/51. 1955. P. 96-101.

163. Rnmmel R., Grnber Th. Product Acceptance Review (PAR)- Level 8 2, Product Report, Prepared by: The European GOCE Gravity Consortium, EGG-C. 2012.

164. Sanso F., Vennti G., Tscherning C. C. A theorem of insensitivity of the collocation solution to variations of the metric of the interpolation space. In Geodesy Beyond 2000. The Challenges of the First Decade. IAG Symposia Series, Springer, Berlin, Germany. 2000. V. 121. P.233-240.

165. Schmidt M., Fabert O., Shnm C.K. On the estimation of a multi-resolution representation of the gravity field based on spherical harmonics and wavelets // Journal of Geodynamics. 2005. V. 39. №5. P. 512-526.

166. Schmidt M., Han S.-C., Knsche J., Sanchez L., Shnm C.K. Regional high-resolution spatio-temporal gravity modeling from GRACE data using spherical wavelets // Geophysical Research Letters. 2006. V. 33. № 8. P. 1-4. doi:10.1029/2005GL025509.

167. Schmidt M., Fengler M., Mayer-Gnrr T., Eicker A., Knsche J., Sanchez L.,

Han S. Regional gravity field modelling in terms of spherical base functions // J Geodesy. 2007. V. 81. P. 17-38.

168. Seeber G. Satellite Geodesy. Walter de Gruyter, Berlin, New York, 2003. 612 p.

169. Sjoberg L.E. A recurrence relation for the function // Bulletin Geodesique. 1980. V. 54. P. 69-72,

170. Sneeuw N. Global spherical harmonic analysis by least-squares and numerical quadrature methods in historical perspective // Geophysical Journal International. 1994. V. 118. № 3. P. 707-716.

171. Tenzer R., Klees R. The choice of the spherical radial basis functions in local gravity field modelling // Studia Geophys Geod. 2008. V. 52. P. 287-304.

172. Tscherning C.C., Rapp R.H. Closed Covariance Expressions for Gravity Anomalies, Geoid Undulations, and Deflections of the Vertical Implied by Anomaly Degree-Variance Models. Department of Geodetic Science. The Ohio State University. Columbus, Ohio, USA. Rep. 208. 1974. 94 p.

173. Tscherning C., Poder K. Some Geodetic Applications of Clenshaw Summation. AKNO XL1 - Bolletino Di Geodesix e Scienze Affini. № 4. 1982. P. 348-375.

174. Tscherning C. C, Arabelos D., Strykowski G. The 1-cm geoid after GOCE. In: Sideris M.G. (eds) Gravity, Geoid and Geodynamics 2000. International Association of Geodesy Symposia. V. 123. Springer. 2001. P. 267-270.

175. Tukey J. W. Some further inputs. In Geostatistics, a Colloquium. Proceedings of a Colloquium on Geostatistics, Plenum Pub Corp, New York, USA. 1970. P. 163-174.

176. Vermeer M. Geoid studies on Finland and the Baltic. Finnish Geodetic Institute. Report 84:3. Helsinki, Finland, 1984. PhD thesis, University of Helsinki.

177. Vermeer M. FGI studies on satellite gravity gradiometry. 1. Experiments with a 5-degree buried masses grid representation. Finnish Geodetic Institute. Report 89:3. Helsinki, 1989. 26 p.

178. VermeerM. FGI studies on satellite gravity gradiometry. 2. Geopotential recovery at 0.5-degree resolution from global satellite gradiometry data sets. Finnish Geodetic Institute. Report 90:1. Helsinki, 1990. 26 p.

179. Visser P.N.A.M.. GPS-based precise orbit determination of the very low Earth orbiting gravity field mission GOCE // J Geodesy. 2000. V. 74. P. 590-602.

180. Visser P.N.A.M., Rnmmel R., Balmino G., Snnkel H., Johannessen J., Agnirre M., Woodworth P.L., Le Provost C., Tscherning C.C., Sabadini R. The gravity field mission GOCE: a revolution for the geosciences. LAG International Symposium on Gravity, Geoid and Geodynamics. 2000. Banff, July 31-Aug. 4. 2000; GGG2000 Technical Program and Abstracts. Banff.2000. 155.

181. P. N. A. M. Visser and N. Sneenw and C. Gerlach Energy integral method for gravity field determination from satellite orbit coordinates // J Geodesy. 2003. V.77. № 3. P. 207-216.

182. J.A. Weightman Gravity, geodesy and artifical satellites. A unified analytical approach. Proceedings Symposium on the use of artificial satellites for Geodesy, Athens. 1965.

183. Wittwer T. Regional gravity field modelling with radial basis functions. Publications on Geodesy 72, NCG Nederlandse Commissie voor Geodesie Netherlands Geodetic Commission. Delft, December 2009.

184. Wong T.-T., Lnk W.-S. and Heng P.-A. Sampling with Hammersley and Halton points //J. Graphics Tools 1997. V. 2. P. 9-24.

185. Xn P. L. Least squares collocation with incorrect prior information. Zeitschrift fiir Vermessungswesen. 1991. V. 116. №6. P. 266-273.

186. Yn Z.C. A universal formula of maximum likelihood estimation of variance-covariance components //J Geodesy. 1996. V. 70. № 4. P. 233-240.

319

Приложение А Программное обеспечение

1. Yu_RotateMatr.m

Программа преобразует измерения из ЬКОР в ЕСЕР (см. разделы 2.11.1, 2.4).

2. Observ_reduction.m

Программа аналитически продолжает измерения на среднеорбитальную сферу (см. разделы 2.11.2, 2.7.1).

3. RegularizeData3D.m [132]

Программа преобразует данные с хаотичной сетки на регулярную (см. разделы 2.11.3, 2.7.2).

4. GridfitMW900goce.m

Программа преобразует данные с хаотичной сетки на сетку, соответствующую теореме Макюэна-Вью при N = 900 (см. раздел 2.8.3). Использует программу RegularizeData3D.m.

5. Final_grid.m

Программа вычисляет модельные значения вторых производных в приполярных областях, где отсутствуют измерения, и и на нескольких параллелях дополнительно для того, чтобы обеспечить перекрытие с районом, где имеются измерения. Также программа объединяет полученный результат с редуцированными на среднеорбитальную сферу измерениями и усредняет значения на перекрывающихся параллелях (см. раздел 2.11.3).

6. ssht inverse.m

Производит гармонический анализ функции, заданной дискретно, на основе одной из теорем о выборке на сфере (см. раздел 2.8).

7. сотр1ех2геа1Соей'8.т (https://github.com/polarch/Spherical-Harmonic-Transforn

Преобразует гармонические коэффициенты из комплексной формы в действительную (см. раздел 2.8).

8. CSxx2CS.m, CSyy2CS.m, CSzz2CS.m

Преобразуют гармонические коэффициенты диагональных вторых производных потенциала в гамонические коэффициенты самого потенциала (см. раздел 2.9, (2.183) - (2.189)).

9. РППЬ.П

Вычисляет значения функций Лежандра в заданной точке для всех степеней и порядков вплоть до заданного значения N.

10. sph2xyz.m

Преобразует сферические координаты точки в декартовы прямоугольные.

11. CS2CSxx.m, CS2CSyy.m, CS2CSzz.m

Преобразует гармонические коэффициенты потенциала в гармонические коэффициенты диагональных вторых производных [159].

12. CS_inOneRow.m

Преобразует гармонические коэффициенты из действительной формы в комплексную (см. раздел 2.8).

13. Vxixj_ongrid_coef.m

Вычисляет значения диагональных вторых производных на регулярной сетке, соответствующей одной из теорем о выборке (см. раздел 2.8), по гармоническим коэффициентам соответствующих вторых производных ((2.190), (2.107) - (2.109)).

14. ssht_forward.m [148]

Вычисляет дискретные значения функции на сетке, соответствующей одной из теорем о выборке на сфере, по гармоническим коэффициентам этой функции.

15. ssht_sampling.m [148]

Вычисляет угловые координаты регулярной сетки, соответствующей одной из теорем о выборке на сфере, с учётом заданного N.

16. SyntezEGM.m

Вычисляет аномалии силы тяжести или аномалии высоты в точках с заданными геодезическими координатами по какой-нибудь модели ГПЗ.

17. AbPw_j.m

Вычисляет значения масштабирующей функции Абеля-Пуассона (1.8).

18. WavAbPw_j.m

Вычисляет значения вейвлетов Абеля-Пуассона (1.8).

19. anomAbPw_j.m

Вычисляет значения аномалии силы тяжести на масштабирующей функции Абеля-Пуассона (3.21).

20. anomWavAbPw_j.m

Вычисляет значения аномалии силы тяжести на вейвлетах Абеля-Пуассона (3.23).

21. DegVar.m

Вычисляет степенные дисперсии потенциала или его трансформант.

22. StLgCoef.m

Вычисляет значения коэффициентов Лежандра масштабирующей функции Стокса (3.83). Необходимые при этом степенные дисперсии вычисляются по правилу Каулы.

23. StLgCoefDegVar1.m

Вычисляет значения коэффициентов Лежандра масштабирующей функции Стокса (3.83). Необходимые при этом степенные дисперсии вычисляются по гармоническим коэффициентам модели.

24. PhiStokesC1_Nu.m

Вычисляет значения масштабирующей функции Стокса (3.83) по рекуррентным формулам Кленшоу (см. раздел 1.12).

25. FreqChar_v.m

Вычисляет частотную характеристику масштабирующей функции Стокса в двух вариантах: с использованием классических коэффициентов Моло-денского (3.58) и модифицированных по Остачу (3.72).

26. IntStFar_v.m

Вычисляет классические (3.58) и модифицированные по Остачу коэффициенты Молоденского (3.72).

27. Mode1_dgAnomSt.m

Моделирует локальное поле аномалий силы тяжести (см. раздел 3.8.1); в качестве СРБФ используются масштабирующие функции Пуассона (1.78).

28. ReuterGrid.m

Вычисляет угловые координаты узлов сетки Рейтера (см. раздел 1.9) на заданной глубине относительно сферы.

29. Mode1_dgByLSM.m

Отбирает оптимальные полюса СРБФ из узлов сетки Рейтера на основе алгоритма (см. раздел 3.5), определяет коэффициенты линейной комбинации СРБФ для моделирования поля аномалий силы тяжести и последующего моделирования аномалий высоты в локальном районе (см. раздел 3.8.2).

Приложение Б Документы о внедрении

"УТВЕРЖДАЮ" Генеральный директор АО «Научно-производственная корпорация

юрос троения»

Ю.А.РОЙ

АКТ

о реализации в АО «Научно-производственная корпорация «Системы прецизионного приборостроения» результатов диссертационных исследований Сугаиповой Лейлы Супьяновны

Комиссия в составу; Председателя Жуков Л,Н, .

членов комиссии Зотов С.М.

Тупицыы И.Н., Г'улидов Д. В.

составила настоящий акт в том, что в АО «Научно-производственная корпорация «Системы прецизионного приборостроения» в ходе выполнения плановых опытно-конструкторских работ и проектных разработок реализованы следующие результаты исследований соискателя Л, С. Сугаиповой, представленные в виде материалов в «Пояснительную записку эскизного проекта автоматизированного комплекса программ из состава опытного образца аппаратно-программного комплекса уточнения Государственной геоцентрической системы координат» (Шифр СЧ ОКР «ГГСК-точность-СПП»):

- Методы расчета параметров модели ГШ по градиентометрическим данным,

- Алгоритм и МаМаЬ-программа гармонического анализа ГПЗ по результатам спутниковой градиентометрии.

Указанные результаты исследований использованы при выполнении СЧ ОКР «Изготовление автоматизированного комплекса программ из состава АПК ГГСК первого этапа» (шифр СЧ ОКР «ГГСК-точность-СПП-ОО») при формировании глобальной модели геопотенциала в виде ряда по шаровым функциям до 250-ой степени с использованием градиентометрических данных.

Использование научных результатов соискателя Л. С- Сугаиповой позволило:

на основании современных теорем об оптимальных выборках, оптимизировать расположение узлов сетки с исходивши данными па сфере для построения глобальной модели геопотен циа л а по результатам спутниковой градиентометрии;

практически построить глобальную модель гео потенциала в виде ряда по шаровым функциям до 250-ой степени, обладающую точностными характеристиками на уровне наилучших зарубежных аналогов.

Председатель комиссии; Жуков А.Н Члены комиссии: Зотов С.М,

Тупицын И. ГулидовД]