Разработка и применение методов многопараметрической идентификации для нелинейных моделей биофизических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 03.00.02, кандидат физико-математических наук Карнаухова, Елена Викторовна

• Карнаухова, Елена Викторовна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Карнаухова, Елена Викторовна

Введение.

Глава 1. Краткий обзор современных методов идентификации систем.

1.1. Типы моделей.

1.2. Математические модели: определение функциональной зависимости и параметризация.

1.3. Приближение функций.

1.4. Определение вида эмпирической формулы.

1.5. Определение параметров эмпирической формулы.

1.6. Подход к идентификации, основанный на ошибке предсказания.

1.7. Численные методы оценивания параметров и «укороченные» методы идентификации динамических систем.

1.8. Модели нейронных сетей.

1.81.Классификация нейронных сетей и основные задачи, решаемые в рамках теории нейронных сетей.

1.82. Модели нейронных ансамблей.„

1.8.3.Модели ассоциативной памяти и распознавания образов (сети Хопфилда).

1.8.4.Модель адаптивного порогового элемента.

1.8.5.Нейронные сети в системах управления и идентификации динамических объектов.

Глава 2. Использование линейных и нелинейных регрессионных моделей для задач биофизики и геобиофизики.

2.1. Определение биологического возраста человека на основе параметров ритмической активности сердца.

2.1.1. Параметры ритмической активности сердца как биологические маркеры старения.

2.1.2. Линейная регрессионная модель для определения биологического возраста.

2.1.3. Определение констант линейной модели биологического возраста и отбор значимых параметров.

2.1.4. Квадратичная модель биологического возраста.

2.2. Анализ палеоклиматических данных.

2.2.1. Использование ценных палеоклиматических данных антарктической станции «Восток» для прогнозирования климата Земли.

2.2.2. Зависимость климатической чувствительности Земли от концентрации С02.

Глава 3. Новый метод идентификации систем на основе критерия минимальной квадратичной невязки.

3.1. Формулировка метода идентификации.

3.2. Тестовые задачи идентификации для нелинейной динамической модели с предельными циклами.

3.3. Возможность применения метода идентификации на основе минимальной квадратичной невязки для задач биохимии.

3.4. Учет характера экспериментальной погрешности.

3.5. Сравнительный анализ дифференциальных и интегральных методов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка и применение методов многопараметрической идентификации для нелинейных моделей биофизических систем»

В настоящей работе рассматриваются различные методы идентификации и их применение для описания поведения динамических систем. Предмет теории идентификации составляет решение задачи построения математических моделей динамических систем по данным наблюдений. Идентификация системы включает ряд основных этапов: выбор математической модели на основе информации о поведении системы; получение данных наблюдений, исходя из особенностей модели; определение идентифицируемых констант модели. Теория идентификации систем является элементом общей научной методологии, что определяет актуальность данного направления исследований.

Актуальность темы. При изучении сложных нелинейных систем, таких как живой организм или отдельная клетка, практически невозможно разбить систему на простые подсистемы без потери точности ее описания. Поэтому крайне актуальной является задача разработки универсальных методов идентификации (изучения) нелинейных систем с большим числом идентифицируемых параметров.

Несмотря на широкий спектр методов описания динамических систем, существует проблема описания именно нелинейных динамических систем. Например, проведение качественных исследований систем дифференциальных уравнений позволяет определить поведение системы вблизи особой точки (положения равновесия), но не дает возможности определить параметры модели по данным наблюдений. С помощью асимптотических методов можно решать задачу идентификации лишь в линейном приближении, что часто ведет к потере точности, а в некоторых случаях, например для систем с квазистохастическими свойствами, подобная линеаризация не может быть применена в принципе без искажения основных свойств системы. Эмпирический подход применяется в тех ситуациях, когда невозможно понять и изучить внутренние взаимосвязи системы и поэтому он не отражает суш наблюдаемых явлений. Отметим, что существует достаточно много численных методов решения задачи идентификации нелинейных динамических систем, но их применение в сильной степени ограничено количеством идентифицируемых параметров в соответствии с вычислительными мощностями современных компьютеров.

В связи с этим перспективным представляется разработка методов идентификации нелинейных систем с большим числом параметров (порядка 10 и выше), основанных на аналитическом решении задачи идентификации. Такие методы идентификации помогут выявить устойчивые связи и закономерности, которые и будут достаточно точно описывать законы природы.

При этом не умаляется значение относительно простых линейных моделей, которые в первом приближении могут оказаться полезными при изучении основных закономерностей, выявлении отклонений от линейных законов. Это дает возможность сделать второй шаг в изучении системы: выбрать модель из класса нелинейных моделей и определить ее параметры на основе экспериментальных данных с помощью современных методов идентификации.

Цель работы. Целью настоящей работы являлось исследование методов идентификации сложных систем на основе критерия наименьших квадратов, критерия минимальной квадратичной невязки и статистического подхода, а также их практическое применение для задач биофизики, биохимии и геобиофизики. В соответствии с целью работы были поставлены следующие задачи:

- построение модели биологического возраста на основе критерия наименьших квадратов, устойчивой к изменению популяционной выборки;

- оценка величины климатической чувствительности Земли для различных концентраций углекислого газа в атмосфере на основе аппроксимации данных наблюдений полиномами 2-й и 3-й степеней.

- разработка метода идентификации для широкого класса нелинейных динамических систем, позволяющего решить задачу идентификации в аналитическом виде для моделей с большим числом параметров;

- разработка нового статистического подхода к описанию нелинейных динамических систем, таких как нейронные сети.

Методы исследования. Для изучения свойств математических моделей основным методом является вычислительный эксперимент. Все вычисления проводились нами с использованием встроенных функций системы MATLAB [165]. Так, для решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений применялся метод Рунге-Кутга (функция ODE45) с использованием формул 4-го и 5-го порядков и автоматическим выбором шага на неравномерной сетке. При численном интегрировании использовалась функция TRAPZ с применением метода трапеций. Для вычисления производных вместо функции DIFF использовалась модифицированная нами схема вычисления производных в узлах разбиения, что позволило повысить точность вычислений. При вычислении обратных матриц использовалась функция INV. Алгоритм реализации случайной шумовой компоненты основывался на использовании функции RANDN. Аппроксимация полиномами 2-й и 3-й степеней проводилась с использованием функции POLYFIT.

Наряду с численными методами исследования динамических систем использовались аналитические методы, среди которых методы идентификации систем на основе критерия наименьших квадратов, методы статистического анализа для исследования свойств нейронных сетей, в частности, Центральная предельная теорема.

Для получения параметров ритмической активности сердца использовался программно-аппаратный комплекс «Экспресс» (Центр НТТМ "Контракт") [168].

Научная новизна работы. Впервые построена линейная регрессионная модель для задачи определения биологического возраста человека, где в качестве биомаркеров старения были выбраны параметры ритмической активности сердца, которые в большой степени отражают состояние всего организма, поскольку ритмическая активность регулируется нервными и гуморальными факторами центральной нервной системы. На основе достаточно большой статистической выборки нами была получена база данных о связи параметров ритмической активности с календарным возрастом человека, что дало возможность построить модель, устойчивую к изменению популяционной выборки. Показан принципиально нелинейный характер процессов старения, что приводит к выводу о необходимости использования нелинейных моделей с учетом того факта, что старение является сложным многопараметрическим процессом. Построена нелинейная модель биологического возраста.

На основе анализа палеоклиматических данных, полученных при бурении ледникового щита в Антарктиде, произведена оценка значения климатической чувствительности Земли для различных концентраций углекислого газа в атмосфере. Отметим, что вопрос правильного применения методов идентификации при изучении такой сложной нелинейной динамической системы, каковой является климатическая система Земли, приобретает особую значимость в связи с наблюдаемыми в последние десятилетия изменениями климата, причиной которых является парниковый эффект.

Разработан новый метод идентификации для широкого класса нелинейных динамических систем. В основе метода лежит критерий минимальной квадратичной невязки. Решение задачи идентификации получено в аналитическом виде. Метод может быть применен для моделей с большим числом параметров, что особенно актуально для исследования каскадов сложных биохимических реакций. Показана возможность применения этого метода для конкретных нелинейных динамических систем: моделей с предельными циклами (осциллятор типа Ван дер Поля и брюсселятор), модели с квазистохастическим поведением (странный аттрактор Ресслера). Показана высокая устойчивость метода к шумовой компоненте динамических параметров.

Предложено использовать видоизмененный функционал минимальной квадратичной невязки с целью учета экспериментальной погрешности измерения динамических параметров для вышеупомянутого метода идентификации, что позволяет повысить точность вычисления констант динамической модели. Эффективность такого метода демонстрируется на примере задачи идентификации констант химической реакции для системы свертывания крови.

Предложено использовать новый статистический подход, основанный на Центральной предельной теореме, для описания нелинейных динамических систем, таких как нейронные ансамбли. Подход был применен для решения ряда конкретных задач: оценки информационной емкости нейронных сетей, оценки эффективности процесса обучения и подбора параметров обучения. Статистический подход оказался также полезным для определения степени активности связанных между собой двух популяций нейронов и предсказания поведения системы в последующий момент времени.

Практическое значение работы. Разработка общих методов идентификации для нелинейных динамических систем позволяет решать специальные задачи биофизики, биологии, медицины и т. д. Например, возможно применение предложенного нами метода идентификации на основе минимальной квадратичной невязки для изучения кинетики сложных реакций (феномена колебаний рецепторного связывания или кинетики реакций системы свертывания крови), для стохастических и автоколебательных систем (реакция Белоусова-Жаботинского). Метод может найти применение для исследования многопараметрических систем, например, в теоретической медицине для разработки количественных моделей таких сложных системных заболеваний как рак, атеросклероз, артериальная гипертензия, а также для создания теории старения как совокупности патологических процессов и системных заболеваний. Возможности применения данного метода на сегодняшний день обеспечивается широким внедрением новых компьютерных и технических разработок для получения экспериментальных данных (например, ЭПР- и ЯМР- спектроскопии), позволяющих получать большие массивы информации с достаточно высокой степенью подробности.

Для нейронносетевых моделей практическое значение состоит в возможности применения полученных результатов как для понимания работы мозга, так и для создания искусственных нейронных сетей — либо на основе искусственных нейронов (нейрочипов), либо на базе компьютерных программ-имитаторов. Отметим также, что модели нейронных сетей могут применяться для идентификации нелинейных динамических систем, путем их обучения в соответствии с набором входных и выходных сигналов.

Практическое значение разработанной нами модели биологического возраста состоит в возможности ее использования совместно с другими методами для массовых обследований населения, мониторинга окружающей среды, контроля действия лекарственных препаратов и пищевых добавок (БАДов).

Предложенный нами анализ палеоклиматических данных используется для тестирования климатических моделей. Отметим, что анализ палеоклиматических данных является практически единственным на данный момент методом проверки климатических моделей, поскольку экспериментальная проверка подобных моделей невозможна.

О содержании и структуре диссертации. В главе 1 излагаются основные методы идентификации систем. Дается анализ математических моделей, рассматривается вопрос выбора модели — определения функциональной зависимости и параметризации модели. Рассматриваются методы аппроксимации функций с использованием критерия наименьших квадратов. Обсуждается подход к идентификации, основанный на ошибке предсказания. Дается краткий анализ программных (нейронносетевых) моделей.

Несмотря на то, что набор методов идентификации систем очень широк: от простейших статистических и спектральных до методов идентификации многопараметрических нелинейных динамических систем, процедура идентификации системы является достаточно универсальной и, как правило, включает три этапа:

- выбор модели на основе предварительной информации о поведении системы;

- получение данных наблюдений, исходя из особенностей модели и экспериментальных возможностей;

- определение идентифицируемых констант модели и оценка степени соответствия данной модели наблюдаемым данным.

Для определения констант модели широко применяется подход минимизации функции ошибки предсказания [153], которая вычисляется в соответствии с используемым критерием и с учетом наблюдений. Подобные методы используют такие хорошо известные критерии оценки ошибки предсказания, как критерий наименьших квадратов, критерий максимального правдоподобия, критерий максимума апостериорной информации и другие.

В данной работе используется критерий наименьших квадратов для задачи определения биологического возраста и для задачи определения климатической чувствительности Земли (глава 2), а также предложенный нами критерий минимальной квадратичной невязки (глава 3).

Можно выделить в отдельную группу задачи исследования нелинейных динамических систем. В данной работе это системы, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ) в явной форме Коши с нелинейной правой частью (глава 3) и модели нейронных сетей, описываемые с помощью вероятностного подхода (глава 4). Асимптотические методы идентификации таких систем часто бывают неприемлемы, поскольку подобные приближения ведут к потере точности описания поведения системы. Поэтому для первой задачи (глава 3) нами предложен подход, с помощью которого константы модели находятся на уровне системы ОДУ, а для второй задачи (глава 4) предложен статистический подход на основе Центральной предельной теоремы, основным моментом которого является получение интеграла вероятностей для суммарного синаптического тока отдельного нейрона. Для таких динамических моделей путем варьирования параметров модели можно получить характерные фазовые портреты, дающие представление о поведении системы.

Отметим, что при планировании экспериментов ранее приходилось ограничиваться моделями с небольшим числом параметров. Дело в том, что среди специалистов в области идентификации систем широко распространено мнение, что «за исключением отдельных частных случаев, нелинейная задача предсказания (идентификации) не имеет конечномерных решений» [153, с. 124]. При этом имеется ввиду именно отсутствие аналитических решений. Использование же численных методов для нелинейной задачи ограничено техническими возможностями вычислительных машин.

Предложенный в работе метод идентификации на основе минимальной квадратичной невязки (глава 3) позволяет представить решение задачи идентификации широкого класса нелинейных систем в аналитическом виде. При этом задача сводится к решению системы линейных уравнений. Отметим, что для решения систем линейных уравнений существуют быстрые численные алгоритмы.

Заключение диссертации по теме «Биофизика», Карнаухова, Елена Викторовна

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Предложен метод идентификации для широкого класса нелинейных динамических систем на основе минимальной кваарашчнэй невязки. Далэнстрир^стся применение этого метода для задач идентификации нелинейных моделей с предельными циювми, а также для модели с квазисгахаслическим поведением. Показана высокая устойчивость метода к шумовой компоненте сигнала.

2 Предложена модификации функционала минимальной квадратичной невязки для учета зкеперименталыюй погрешности измерения динамических парамегроа Показана возможность учет априорной информации о структуре модели применительно к идентификации сложных каскадов химических реакций В результате сравнительного анализа интегральных и дифференциальных методов идентификации показано преимущество дифференциального метода при идентификации многопарвметрических нелинейных динамичеосих систем.

3. Впервые проведаю численное оценивание параметров линейной регрессии для задачи определения биолошческого восрэсга человека с использованием параметров ритмтрксгой акшвности сердца. На основе большой сшгасгачесиой выборки построена база данных зшх параметров для пациентов различных возрастов Большой объем базы данных (около 1000 обследованных) пошалил создать модель биологического возраста, устойчивую к изменению шпуляционной выборки. Показан нелинейный характер процессов старения.

4. Сформулирован новый статистический метод описания динамики нейронных ансамблей. На основе предложенного подхода решен ряд конкретных задач описания таких ансамблей: исследовано поведение системы, состоящей ш двух популяций нейронов в фазовом пространстве в зависимости от значения управляющих параметров; оценена информационная емкость нейронной сети Хопфицда; дат оценка эффекп-шносш процесса обучения в зависимости or параметров обучения.

5. Показано, что величина климатчесмэй чувствительности Земли не являегся постоянной, а изменяется в зависимости от концентрации углекислого газа в атмосфере. Полученные выражения дги кгтиматичесгаэй 'чувствительности могут бьтть использованы для тестирования климатических моделей

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Карнаухова, Елена Викторовна, 2005 год

1. Ainsworth, S. // J. Theor. Biol. -1977. -V. 68. -PP. 391-413.

2. Amari S. Natural Gradient Works Efficiently in Learning.// Neural Computation. — 1998 — V. 10.-PP. 251-276.

3. Anderson B.D.O., Moore J.B., Hawkes R.M. Optimal Filtering. — N.J.: Englewood Cliffs, 1979 -423 P.

4. Arbib M.A., Erdi P., Szentagothai J. Neural Organization. Structure, Function, and Dynamics. Cambridge, Mass.: MIT Press, 1998.

5. Ariens, E.J., Beld, A.J., Rodrogies de Mirande, J.F., Simonis, A.M. // In: The receptors: a comprehensive treatise, Plenum Pub. Corp., New York. -1979. -V. 1. PP. 33-91.

6. Baesar E., Bullock Т.Н. Induced Rhythms in Brain. Boston: Birkhauser, 1992.

7. Bak K. // Acta Chem. Scand. 1963. - V. 17. - P. 985.

8. Bard Y. // SIAM J. Numer. Anal. 1970. - V. 7, N 1. - P. 157-186.

9. Booth V., Bose A. J. // Neurophysiol. 2001. - V. 85. - P. 2432.

10. Borisyuk G., Borisyuk R., Kazanovich Y.// in Emergent Neural Computational Architectures Based on Neuroscience (eds. S. Wermter, J. Austin, D. Willshaw) Berlin: Springer-Verlag. - 2001. - P. 237.

11. Borisyuk G.N. et al.// Bull. Math. Biol. 1995. - V. 57. - P. 809.

12. Borisyuk R., Hoppensteadt F.// Biol. Cybern. 1999. - V. 81. - P. 1999.

13. Borisyuk R.M., Kirillov A.B. // Biol. Cybern. 1992. - V. 66. - P. 319.

14. Brunei N.J. // Comput. Neurosci. 2000. - V. 8. - P. 183.

15. Crampin E.J., McSharry P.E., Schnell S. // Extracting Biochemical Reaction Kinetics from Time Series Data / M.Gh. Negoita (Eds.): KES 2004, LNAI3214. P. 329-336.

16. Crampin E.J., Schnell S., McSharry P.E. Mathematical and computational techniques to deduce complex biochemical reaction mechanisms // Progress in Biophysics and Molecular Biology. 2004. - V. 86. - P. 77-112.

17. Cymbalyuk G.S., Nikolaev E.V., Borisyuk R.M. // BioL Cybern. 1994. - V. 71. - P. 153.

18. Denham M.J., Borisyuk R.M.// Hippocampus. 2000. - V. 10. - P. 698.

19. Diederich S., Opper M. Learning of Correlated Patterns in Spin-Glass Networks by Lokal Learning Rules.// Phys. Rev. Letters. 1987 - V. 58. - P. 949-952.

20. Domany E., Meir R. Strong and Retrucving Information in a Layed Spin System.// Europhys. Lett. 1986 - V. 2. - PP. 175-185.

21. Draper N.R., Smith H. Applied Regression Analysis. — New York: Wiley, 1981.

22. Ermentrout G.B., KopellN.J.// Math. Biol. 1991. - V. 29. - P. 195.

23. Fay L., Balogh A. // Acta chim. Acad. Sci. Hung. 1968. - V. 57. - P. 391.

24. Fogel E., Huang Y.F. On the value of information in system identification- bounded noise case// Automatica 1982 - V. 18. - PP. 224-238.

25. Fonarev A., Kryzhanovsky B.V. et al.// Optical Memory and Neural Networks. — 2001. — V. 10.-P.31.

26. Frolov A.A., Husek D., Muraviev I.P. // Neural Networks. 1997. - V. 10. - P. 845.

27. Fujii H // Neural Networks. 1996. - V. 9. - P. 1303.

28. Garfinkel D., Rutledge J.D., Higgins J.J. // Comm. Assoc. Computing Machinery. — 1961. -V.4.-P. 559.

29. Gauss K.F. Theory of the Motion of the Heavenly Bodies. New York: Dover, 1963.

30. Gerstner W. et al.// Neural Comput. 1996. - V. 8. - P. 1653.

31. Golomb D., Hansel DM Neural Comput. 2000. - V. 12. - P. 1095.

32. Grossberg S. The Adaptive Brain.// Advances in psychology. — 1987 V. 1. - PP. 231236.

33. Grossberg S., Raizanda R.D. // Vision Res. 2000. - V. 40. - P. 1413.

34. Hannan E.J. Multiple Time Series. New York: Wiley, 1970.

35. Hannan E.J. Nonlinear time series regression.// J. Appl. Prob. 1971 - V. 8. - PP. 767780.

36. Hill, C.M., Waight, R., and Bardsley, W.G.// Mol. Cell. Biochemistry 1977. -V.15. - PP. 173-178.

37. Himmelblau D.M., Jones C.R., BischoffK. // Ind. Eng. Chem. Fund. 1967. - V. 6. - P. 539-543.

38. Hodjkin A.L., Huxley A.F. // J. Physiol. (London). 1952. - V. 117. - P. 500.

39. Hopfield J.J. Neural networks and physical systems with emergent collective abilities. // Proc. Natl. Acad. USA. 1982.-V.79.- PP.2554-2558.

40. Hopfield J.J. Neurons with graded response have collective computational properties like those of two-state neurons. //Proc. Natl. Acad. USA. 1982.-V.81.- PP.3088-3092.

41. Hosten L.H. // Сотр. Chem. Eng. 1979. - №3 - P. 117-126.

42. Houghton J.T., Ding Y., Griggs D.J., Noguer M., P.J. van der Linden and Xiaosu D. (Eds.) Climate Change 2001: The Scientific Basis. Cambridge University Press, UK.-2001 — P. 994.

43. Jazwinski A.H. Stochastic Processes and Filtering Theory.- New York: Academic Press, 1970-360 P.

44. Jennrich R.J. Asymptotic properties of nonlinear Least squares estimations // Ann. Math. Statis.- 1969 V. 40. - No 2.- PP. 633-643.

45. Jesty, J., Wun, Т. C. and Lorenz, A. // Biochemistry. -1994. -V. 33. -PP. 12686-12694.

46. Karnaukhov A., Karnaukhova E. Application of the new method of identification to nonlinear dynamical system with quasi-stochastic behavior // Abstracts of the 8-th Experimental Chaos Conference. Florence, Italy.- 2004.

47. Karnaukhov A.V., Karnaukhova E.V. The neural network as an object of dynamical description // In "Neuronal networks: Theory and Architecture". Manchester: Manchester Univ. Press. - 1990.- PP. 83-94.

48. Kazanovich Y.B., Borisyuk R.M.// Biol. Cybern. 1994. - V. 71. - P. 177.

49. Kazanovich Y.B., Borisyuk R.M.// Neural Networks. 1999. - V. 12. - P. 441.

50. King J. Fuzzy logic provides new way to deal with uncertainty.// Electronics — 1985 — PP. 40-41.

51. Kittrel J.B., Mezaki R., Watson C.C. // Brit. Chem. Eng. 1966. - V. 11. - №1. - P. 1521.

52. KohonenT. Self- Organisation and Associative Memory. — Berlin: Springer, 1984 — 225 P.

53. Kosh C., Segev I. Methods in Neuronal Modeling: from Ions to Networks. — Cambridge, Mass.: MIT Press. 1998.

54. Kryukov V.I. in Neurocomputers and attantion. — V. 1. Neurobiology, Sinhronisation, and Chaos. Manchester: Manchester Univ. Press. - 1991. — P.319.

55. Kryzhanovsky B.V. et al.// Optical Memory and Neural Networks. 2000. — V. 9. — P. 267.

56. Kuramoto Y. // Chemical Oscillations, Waves and Turbulence. — Berlin: Springer-Verlag, 1984.

57. Kurganov, B.I. Allosteric Enyimes. Kinetic Behaviour 11 J. Wiley and Sons, Chichester. -1982. PP. 32-54.

58. Levenspiel O. Chemical Reaction Engineering. Wiley, New York, 1962.

59. Levine D.S., Brown V.T., Shirey V.T. Oscillations in Neural Systems. — Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates, Publ., 2000.

60. Liley D.T. //Network: Comput. Neural Syst. 1999. - V. 10. - P. 79.

61. Lindgren B.L. Statistical Theory. New York Macmillan, 1976 -230 P.

62. Lindsay K.L. // Ind. Eng. Chem. Fundamentals. 1962- V.l. - P. 241.

63. Ljung L. Analysis of recursive stochastic algorithms // IEEE Trans. Automatic Control. — 1977. -V. AC-22. -PP. 551-575.

64. Ljung L. Consistency of the last-squares identification method // IEEE Trans. Automatic Control. 1976. -V. AC-31. -PP. 779-781.

65. Ljung L. On the consistency of prediction error identification methods // In System Identification, Advances and Case Studies (R-K. Mehra and D.G. Lainoitis, eds.) — New York: Academic Press- 1976 PP. 121-164.

66. Ljung L. On the consistency of prediction error identification methods //Report 7405, Division of Automatic Control. Sweden: Lund, 1974 - PP.24-26.

67. Ljung L., Glover K. Frequency domain versus time domain methods in system identification.// Automatica. -1981. V. 17. -No 1. - PP. 71-86.

68. Marr D.A. A theory of cerebral neocortex. // Proc. Roy. Soc. London B. - 1970 - V. 176.-PP. 161-234.

69. Milanese M., Tempo R. Optimal algorithms theory for robust estimation and prediction. // IEEE Trans. Automatic Control. 1985. -V. AC-30. -PP. 730-738.

70. Miller R. Time and the brain. Amsterdam: Harwood Acad., 2000.

71. Neltner L. et ai.//Neural Coput. 2000. - V. 12. - P. 1607.

72. Noest A.J.// Europhys. Letters. -1988. V. 6. - P. 469.

73. Peterka V. Bayesian system identification// Automatica. 1981 -V. 17. - PP. 41-53.

74. Petit J.R. et all Л Nature. 1999. - V. 399. - P. 429-436.

75. Rao C.R. Linear Statistical Inference and Its Applications. New York: Wiley, 1973.

76. Riz R., Sejnowski T.J. // Curr. Opin. Neurobiol. 1997. - V. - 7. - P. 536.

77. Rosenblatt F. Principles of neurodynamics.- Washington: Spartan Books, 1962 342 P.

78. Rumelhart D.E., McClelland // ParallelDistributed Processing: Explorations in the Microstructure of Cgnition. V. 1,2. - 1986.

79. Singer W. // Neuron. 1999. - V. 24. - P. 49.

80. Singer W., in Large-Scale Neuronal Theories of the Brain (Eds. C. Koch, J.L. Davis) Cambridge: MIT Press, 1994. P. 201.

81. Steiner R., Schoenemann K. // Chem. Ing. Tech. 1965. - V. 37. - P. 101.

82. Sturm A.K., Konig P. // BioL Cybern. 2001. - V. 84. - P. 153.

83. Tononi G., Sporns O, Edelman G.M. // Cereb. Cortex. 1992. - V. 2. - P. 310.

84. Vinogradova O.S.// Prog. Neurobiol. 1995. - V. 45. - P. 523.

85. Wahlberg В., Ljung L. Design variables for basis distribution in transfer function estimation // IEEE Trans. Automatic Control. 1986. - V. AC-31.- PP. 134-144.

86. Walker A.M. On periodicity in series of related terms.// Proc. Roy Soc. — Ser. A. —1931. — V. 131. — PP.518-532.

87. Whittle P. Hypothesis Testing in Time Series Analyses. — New York: Hafner, 1951.- 465 P.

88. Widrow B. Generalization and information storage networks of Adeline neuron.// Wash: Spartan Books. -1962 PP.435-461.

89. Wilson H.R., Cowan G.D. Excitatory and inhibitory interactions in Localized populations of model neurons // Biophysical G. — 1972.- V. 12. — P. 1.

90. Yang H.H., Amari S. Complexity Issues in Gradient Descent Method for Training Multilayer Perceptrons.// Neural Computation. 1998 - V.10. - PP. 2137-2157.

91. Yule G.U. On a method for investigating periodicities in disturbed series with spectral reference to Wolfer's sunspot numbers.// Philos. Trans. Roy. Soc. London. Ser. A.-1927. - V. 226. - PP. 267-298.

92. Абарбанель Г.Д. // УФН. 1996. - Т. 166. - С. 363.

93. Абраменков В.В. Метод Прони в задаче измерения координат источников излучения с близкими параметрами. // Радиотехника. — 2002. №3. -С. 37-41.

94. Абраменков В.В., Быстрое А.В., Савинов Ю.И. Использование метода наименьших квадратов в задаче цифрового спектрального анализа коротких последовательностей. // Радиотехника. 1999. - №2.

95. Айвазян С.А. Прикладная статистика: Исследование зависимостей. М: Финансы и статистика, 1985.-487 с.

96. Айзенберг Н.Н., Ивасьов Ю.Л. Многозначная пороговая логика. Киев, 1977 - 148 с.

97. Ахапкин Ю. К. Биотехника — новое направление компьютеризации. М.: Наука, 1990.

98. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. М: Гостехиздат, 1947.

99. Баевский P.M. Анализ вариабельности сердечного ритма в космической медицине // Физиология человека 2002. Т.28. №2. С.70.

100. Баевский P.M., Берсенева А.П. Оценка адаптационных возможностей организма и риск развития заболеваний. М.: Медицина, 1997. 236 с.

101. Бард Й. Нелинейное оценивание параметров. — М: Финансы и статистика, 1979. — 349 с.

102. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. — М: Физматгиз, 1959.

103. Бонгарт М.М. Проблемы узнавания. М.: Наука, 1967.

104. Борисюк Г.Н. и др.// Математическое моделирование. — 1992. — Т. 4. — С. 3.

105. Борисюк Г.Н., Борисюк P.M., Казанович Я.Б., Иваницкий Г.Р. Модели динамики нейронной активности при обработке информации мозгом — итоги "десятилетия" // УФН. 2002. - Т. 172.-С. 1191-1214.

106. Брин Э.Ф., Павлов Б.В. // Кинетика и катализ. 1975. - Т. 16. - С. 233-240.

107. Вайнцвег М.Н. Моделирование обучения и поведения. М.: Наука, 1975.

108. Варфоломеев С.Д., Гуревич К.Г. Биокинетика: Практический курс. М.: ФАИР-ПРЕСС, 1999.

109. Виноградов И.М. Математическая энциклопедия в 5-ти томах. — М: Советская энциклопедия, 1985.

110. Войтенко В.П., Токарь А.В., Полюхов А.М Методика определения биологического возраста человека // Геронтология и гериатрия. Ежегодник 1984. Биологический возраст, наследственность и старение/ Под ред. Чеботарева Д.Ф. — Киев.- 1984. -С.132.

111. Гаврилей Ю.К. и др.// Нейроинформатика — 2000, 2-я Всероссийская научно-техническая конференция. 2000. - С. 161.

112. Галушкин А.И. Нейрокомпьютеры и их применение М: ИПРЖР, 2000 —416 с.

113. Гальченко А.А., Дедус Ф.Ф. Идентификация экспоненциальных сигналов методом взвешенных моментов // Автометрия №4.-1983.

114. Гельфандт И.М., Розенфельд Б.И., Шифрин М.А. Очерки о совместной работе математиков и врачей. — М.: Наука, 1989.

115. Гончаров B.JI. Теория приближения и интерполирования функций. — М: ГТТИ, 1934.

116. Дедус Ф.Ф., Махортых С.А., Устинин М.Н., Дедус А.Ф. Обобщенный спектрально-аналитический метод обработки информационных массивов. Задачи анализа изображений и распознавания образов. М: Машиностроение, 1999. 357 с.

117. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М: Физматгиз, 1960. -664 С.

118. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. — М: Физматгиз, 1962. 368 С.

119. Дунин-Барковский B.JI. Нейронные схемы ассоциативной памяти. Моделирование возбудимых структур. Пущино, 1975 - С. 90-141.

120. Ермакова А. Новый комплекс численных методов идентификации и анализа кинетических моделей // Математическое моделирование каталитических реакторов: Сб. научн. тр. Новосибирск: Наука. Сиб. отд. - 1989. - 260 с.

121. Жаботинский А.М. Концентрационные волны. М: Наука, 1974.

122. Жданов А. А., Крыжановский М.В.// Нейроинформатика 2003, 5-я Всероссийская научно-техническая конференция. - 2003. — С. 163.

123. Жемайтите Д.И. Возможности клинического применения и автоматического анализа ритмограмм // Дисс. д-ра мед. наук. Каунас: Медицинский институт, 1972. -285 с.

124. Жемайтите Д.И., Каукенас Й., Кусас В. и др. Система автоматизированного анализа ритмограмм. И Анализ сердечного ритма.- Вильнюс. — 1982.- С. 5.

125. Иваницкий Г.Р. и др. // Биофизика. 1991. - Т. 36. - С. 358.

126. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. 3-е изд., ч.1, М: Наука, 1971.-304 с.

127. Карнаухов А.В. Роль биосферы в формировании климата Земли. Парниковая катастрофа // Биофизика. 2001. -Т. 46. -С. 1138-1149.

128. Карнаухов А.В., Карнаухова Е.В. Задача стандартизации методов оценки биологического возраста.// Труды международной научно-практической конференции «Измерительные информационные технологии и приборы в охране здоровья». -СПб.- Нестор.- 2003.- С. 46-47.

129. Карнаухов А.В., Карнаухова Е.В. Использование метода идентификации систем на основе критерия минимальной невязки при планировании биофизических экспериментов.// 3-йсъезд биофизиков России. Тезисы докл. Воронеж.- 2004.- Т.1-С. 343-344.

130. Карнаухов А.В., Карнаухова Е.В. Методы идентификации систем в биологии и медицине.// Школа-конференция «Горизонты физико-химической биологии». Материалы конф., Пущино.- 2000.

131. Карнаухов А.В., Карнаухова Е.В. Методы идентификации систем в физиологии и медицине.// Международная научно-практическая конференция «Измерительные информационные технологии и приборы в охране здоровья». Материалы конф., Санкт-Петербург.-1999.

132. Карнаухов А.В., Карнаухова Е.В. Новый метод идентификации систем на основе критерия минимальной квадратичной невязки для задач биофизики.// Биофизика. -2004.- Т. 49, вып. 1.- С. 88-97.

133. Карнаухов А.В., Карнаухова Е.В. Оценка биологического возраста на основе электрфизиологических данных.// Клиническая геронтология.- 2003.- Т.9.- С. 165.

134. Карнаухов А.В., Карнаухова Е.В. Применение нового метода идентификации нелинейных динамических систем для задач биохимии.// Биохимия.- 2003.- Т. 68, вып.З.- С.309-317.

135. Карнаухов А.В., Карнаухова Е.В. Экспертные системы на основе принципов функционирования нейронных сетей.// 2-й съезд биофизиков России. Тезисы докл., Москва.- 1999.

136. Карнаухов А.В., Карнаухова Е.В., Зарницына В.И. Учет априорной информации и характера экспериментальной погрешности при использовании метода идентификации на основе критерия минимальной квадратичной невязки // Биофизика.-2005.-Т. 50.-С. 32 9-ЪЪЦ.

137. Карнаухов А.В.// Биофизика. 1996. - Т. 41. - С. 523-526.

138. Карнаухова Е.В. Использует ли человеческий мозг четырехзначную логику для принятия решений? П Тезисы 12-й конференции молодых ученых ИМАШ РАН.-Москва.- 2000.

139. Карнаухова Е.В., Карнаухов А.В. Исследование возрастной динамики ритма сердца человека на основе анализа параметров ритмограмм.// Тезисы 13-й конференции молодых ученых ИМАШ РАН.- Москва.- 2001г.

140. Карнаухова Е.В., Карнаухов А.В. Определение биологического возраста человека на основе ритмической активности сердца.// Физиология человека. -2004.Т. 30, №4.- С. 81-90.

141. Кендалл М.Д., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. М: Наука, 1973. — 900 с.

142. Кирсанов Э.Ю. К вопросу о выборе структуры одного класса запоминающих устройств на пороговых элементах. // Электронное моделирование. — Киев, 1981 -№6-С. 88-89.

143. Котляков В.М. Гляциология Антарктиды. — М.: Наука, 2000 — 431 с.

144. Котляков В.М., Данилов А.И.// Земля и Вселенная. -1999. №4. - С.З.

145. Кругько В.Н., Смирнова Т.М., Донцов В.И., Борисов С.Е. Диагностика старения. Сообщение 1. Проблема надежности линейных регрессионных моделей биологического возраста // Физиология человека. -2001.- Т.27, №6. -С. 88.

146. Крыжановская М.П. Эмпирические формулы и основы номографии. — JI: ГТТИ, 1949.

147. Крыжановский Б.В., Литинский Л.Б.// Нейроинформатика 2003, 5-я Всероссийская научно-техническая конференция. - 2003. — С. 72.

148. Крыжановский Б.В., Микаэлян А.Л.// ДАН. 2002. - Т. 65. -С. 286.

149. Курганов Б.И. // Биохимия, 2000 Т. 65. - С. 1058-1071.

150. Льюнг Л. Идентификация систем. -М.: Наука, 1991. 432 С.

151. Магомедов Б.М., Жданов А.А.// Нейроинформатика 2003, 5-я Всероссийская научно-техническая конференция. - 2003. - С. 157.

152. Марпл С.Л. Цифровой и спектральный анализ и его приложения. М: Мир, 1990.

153. Милн В. Э. Численный анализ. М: ИЛ, 1951.

154. Минский М., Пайперт С. Персептроны.- М.: Мир, 1971 270 С.

155. Михайлов А.С. Физики задумываются над механизмом работы мозга. // Природа. 1987 - №3 — С. 15-26.

156. Натансон И.П. Конструктивная теория функций. М: Гостехиздат, 1949.

157. Павлов Б.В., Брин Э.Ф. // Хим. Физика. 1984. - Т. 3, № 3. С. 393-404.

158. Парин В.В., Баевский P.M. Введение в медицинскую кибернетику. М.: Медицина, 1966. С.220.

159. Парин В.В., Баевский P.M., Волков Ю.Н., Газенко О.Г. Космическая Кардиология. Л.: Медицина, 1967. С.206.

160. Петровский Б.В. Большая медицинская энциклопедия. — М: Советская энциклопедия. 1986.-Т.8.- С. 179.

161. Потемкин В.Г. Система MATLAB. М.: Диалог МИФИ, 1997.

162. Прохоров А.М. Физическая энциклопедия. М: Советская энциклопедия., 1988. — Т. 1. - С.625-628.

163. Ремез Е.Я. Общие вычислительные методы чебышевского приближения. АН УССР, 1957.

164. Рифтин А.Д. Распознавание функциональных состояний организма на основе математического анализа сердечного ритма // Автореф. дисс. к. б. н. Киев : Институт кибернетики им. В.М. Глушкова. 1987. — С. 16.

165. Родштат И.В., Чернавский Д.С., Карп В.П. Н Биомедицинская радиоэлектроника. 1999 - Т.27. - Вып. 2.

166. Рудаков Е.С. // Кинетика и катализ. 1960. - Т. 1. - С. 177.

167. Рудаков Е.С. // Кинетика и катализ. 1970. - Т. 11. - С. 228-236.

168. Самарин А.И.// Нейроинформатика 2001, 3-я Всероссийская научно-техническая конференция. — 2001. — С. 65.

169. Самуилов В.Д., Олескин А.В., Лагунова Е.М. // Биохимия. — 2000. — Т. 65, С. 1029-1046.

170. Семендяев К.А. Эмпирические формулы. М: 111 И, 1933.

171. Скарборо Дж. Численные методы математического анализа. — М.-Л: ГТТИ, 1934.

172. Солодкая (Карнаухова) Е.В. Имитационное моделирование самоорганизующихся систем в биологии // Дипломная работа, физический фак-т МГУ, 1988. — 62 с.

173. Стокер Дж. Нелинейные колебания в механических и электрических системах. -М.: Мир, 1953.

174. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. -М.: Наука, 1998.

175. Томпсон Дж.М.Т. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике. -М.: Мир, 1985.

176. Уорсинг А., Геффенер ДЖ. Методы обработки экспериментальных данных. — М: ИЛ, 1949.

177. Успенский А.К. Выбор вида и нахождение параметров эмпирической формулы. -М: Наука, 1960.

178. Ухтомский А.А. Избранные труды. Л.: Наука, 1978. С. 177.

179. Фролов А.А., Гусек Д., Муравьев И.П.// Нейроинформатика — 2003, 5-я Всероссийская научно-техническая конференция. 2003. - С. 28.

180. Фролов А.А., Муравьев И.П. Нейронные модели ассоциативной памяти. — М.: Наука, 1987-160 с.

181. Фролов А.А., Мушинский А.М., Цодыкс М.В. // Биофизика. — 2001. Т. 36. — С. 339.

182. Хакен Г. Принципы работы головного мозга: Синергетический подход к активности мозга, поведению и когнитивной деятельности. М: ПЕР СЭ, 2001 —351 с.

183. Хакен Г. Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах. -М.: Мир, 1985.

184. Цыпкин Я.З. Обобщенные линейные алгоритмы обучения и их применение. Распознавание образов. Адаптивные системы. М.: МИРЭА, 1981 С.204-213.

185. Шаров К.С. и др.// Нейроинформатика — 2003, 5-я Всероссийская научно-техническая конференция. 2003. - С. 151.

186. Шепелев И.Е.// Нейроинформатика — 2003, 5-я Всероссийская научно-техническая конференция. 2003. - С. 143.

187. Яковлев К.П. Математическая обработка результатов измерений. М: 111 И, 1933.

188. СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

189. Karnaukhov A.V., Karnaukhova E.V. The neural network as an object of dynamical description.// In "Neuronal networks: Theory and Architecture"/ Manchester Univ. Press. — Manchester.- 1990.- P. 83-94.

190. Карнаухов A.B., Карнаухова E.B. Экспертные системы на основе принципов функционирования нейронных сетей.// 2-й съезд биофизиков России. Тезисы докл., Москва.- 1999.

191. Карнаухов АВ., Карнаухова Е.В. Методы идентификации систем в физиологии и медицине.// Международная научно-практическая конференция «Измерительные информационные технологии и приборы в охране здоровья».Материалы конф., Санкт-Петербург.-1999.

192. Карнаухов АВ., Карнаухова Е.В. Методы идентификации систем в биологии и медицине.// Школа-конференция «Горизонты физико-химической биологии». Материалы конф., Пущино.- 2000.

193. Карнаухова Е.В. Использует ли человеческий мозг четырехзначную логику для принятия решений? // Тезисы 12-й конференции молодых ученых ИМАП1 РАН.- Москва.- 2000.

194. Карнаухова Е.В., Карнаухов А.В. Исследование возрастной динамики ритма сердца человека на основе анализа параметров ритмограмм.// Тезисы 13-й конференции молодых ученых ИМАШ РАН.- Москва,- 2001г.

195. Карнаухов А.В., Карнаухова Е.В. Применение нового метода идентификации нелинейных динамических систем для задач биохимии.// Биохимия.- 2003.- Т. 68, вып.З.- С.309-317.

196. Карнаухов А.В., Карнаухова Е.В. Оценка биологического возраста на основе электрфизиологических данных.// Клиническая геронтология,- 2003.- Т.9.- С. 165.

197. Карнаухов А.В., Карнаухова Е.В. Задача стандартизации методов оценки биологического возраста.// Труды международной научно-практической конференции «Измерительные информационные технологии и приборы в охране здоровья». -СПб.- Нестор.- 2003.- С. 46-47.

198. Карнаухов А.В., Карнаухова Е.В. Новый метод идентификации систем на основе критерия минимальной квадратичной невязки для задач биофизики.// Биофизика.- 2004.- Т. 49, вып. 1.- С. 88-97.

199. Карнаухова Е.В., Карнаухов А.В. Определение биологического возраста человека на основе ритмической активности сердца.// Физиология человека. — 2004.- Т. 30, №4.- С. 81-90.

200. Karnaukhov A., Karnaukhova Е. Application of the new method of identification to nonlinear dynamical system with quasi-stochastic behavior.// Abstracts of the 8th Experimental Chaos Conference. Florence, Italy.- 2004.

201. Карнаухов A.B., Карнаухова Е.В. Использование метода идентификации систем на основе критерия минимальной невязки при планировании биофизических экспериментов.// 3-йсъезд биофизиков России. Тезисы докл. -Воронеж.- 2004.- Т.1- С. 343-344.