Разработка математических методов и алгоритмов решения динамической задачи производственного планирования методом жордановых исключений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Соловьев, Александр Витальевич

• Соловьев, Александр Витальевич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Соловьев, Александр Витальевич

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. МОДЕЛИ ЗАДАЧ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

1.1. Состояние исследований в области математического моделирования задач

параметрического программирования

1.2. Описание метода модифицированных жордановых исключений

1.3. Алгоритм решения задачи линейного программирования методом жордановых исключений (Штифеля)

1.4. Алгоритм решения задачи дробно-линейного программирования

1.5. Выводы

Глава 2. МОДЕЛИ ЗАДАЧ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА ЖОРДАНОВЫХ ИСКЛЮЧЕНИЙ

2.1. Три модели задач параметрического программирования и их экономический смысл

2.2. Модель задачи линейного программирования со ступенчатой целевой функцией

2.3. Алгоритм решения задачи линейного программирования со ступенчатой целевой функцией

2.4. Сравнение алгоритма решения многоэкстремальной задачи с другими алгоритмами

2.5. Модель задачи линейного программирования с двумя параметрами

2.6. Алгоритм решения задачи линейного программирования с двумя параметрами

2.7. Модель и алгоритм решения задачи дробно-линейного программирования с параметром в целевой функции

2.8. Проверка эффективности алгоритм решения задачи дробно-линейного программирования с параметром в целевой функции методом жордановых исключений

2.9. Выводы

Глава 3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И ПРОГРАММНЫЕ КОМПЛЕКСЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ

3.1. Алгоритм и численный метод решения задачи линейного программирования со

ступенчатой целевой функцией

3.2. Алгоритм и численный метод решения задачи линейного программирования с двумя параметрами

3.3. Алгоритм и численный метод решения задачи дробно-линейного программирования с параметрами в целевой функции

3.4. Структура программного комплекса решения задач математического программирования с параметрами

3.5. Программная реализация численных методов

3.6. Эффективность численных методов, основанных на методе жордановых исключений.

3.7. Выводы

Глава 4. РЕШЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ПРОИЗВОДСТВЕННОГО ПЛАНИРОВАНИЯ МЕТОДОМ ЖОРДАНОВЫХ ИСКЛЮЧЕНИЙ

4.1. Решение задачи оптимального планирования производства в условиях поэтапной

реализации готовой продукции методом жордановых исключений

4.2. Решение динамической задачи управления производством с двумя параметрами методом жордановых исключений

4.3. Решение задачи нахождения рентабельности производственных затрат методом жордановых исключений

4.4. Выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

ПРИЛОЖЕНИЕ А. справка о внедрении результатов диссертации Соловьева Александра

Витальевича в ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет»

ПРИЛОЖЕНИЕ Б. справка о внедрении результатов диссертации Соловьева Александра Витальевича в ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный архитектурно-строительный

университет»

ПРИЛОЖЕНИЕ В. акт об использовании результатов диссертации Соловьева Александра

Витальевича в «Научно-проектном центре»

ПРИЛОЖЕНИЕ Г. акт об использовании результатов диссертации Соловьева Александра Витальевича в ЗАО «Орбита»

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка математических методов и алгоритмов решения динамической задачи производственного планирования методом жордановых исключений»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы.

В настоящее время благодаря работам Полунина И.Ф., Баркалова С.А. и Ук-сусова С.Н. хорошо известна модель задачи линейного программирования с одним параметром. Однако такой модели недостаточно для решения многих практических задач, которые, как правило, содержат более одного параметра и при этом их решение не всегда зависит от параметров линейно. Кроме построения различных моделей задач линейного программирования с параметрами актуальным является так же создание моделей задач дробно-линейного программирования, содержащих параметры и нахождение методов их решения. Данные модели находят свои приложения при решении задач динамического управления производством и многих других задач.

Для решения задач параметрического программирования необходимо создание программного комплекса, основанного на использовании метода жордано-вых исключений с динамическим подключением параметров. Особенностью метода жордановых исключений является то, что он позволяет на обычных персональных компьютерах решать задачи математического программирования больших размерностей (до нескольких тысяч ограничений и переменных).

Таким образом, актуальность темы диссертационной работы определяется необходимостью создания новых моделей задач параметрического программирования и математических методов их решения.

Тематика диссертационной работы соответствует одному из научных направлений ФБГОУ ВПО «Воронежский государственный архитектурно-строительный университет» - «Системы управления сложными организационно-техническими объектами».

Цель работы.

Целью диссертации является создание новых математических моделей задач линейного и дробно-линейного программирования с параметрами и разработка численных методов, алгоритмов и комплексов программ для их реализации.

Задачи исследования.

Достижение цели работы потребовало решения следующих основных задач:

1. Создание модели задачи параметрического программирования со ступенчатой целевой функцией, сводящейся к многоэкстремальной задаче линейного программирования и метода ее исследования, основанного на методе решения задач линейного программирования с несколькими целевыми функциями.

2. Разработка модели задачи дробно-линейного программирования с параметром и разработка метода ее исследования, основанного на методе жордановых исключений с учетом изменения параметра в пределах заданного интервала.

3. Создание математической модели задачи параметрического программирования с несколькими различными параметрами и метода ее исследования, основанного на разбиении области изменения параметров на подобласти, с анализом поведения решения на границах областей.

4. Разработка численных методов и алгоритмов решения задач линейного и дробно-линейного программирования с параметрами, основанные на последовательном использовании метода жордановых исключений и методов анализа параметров.

5. Построение структуры комплекса программ, позволяющей решать задачи линейного и дробно-линейного программирования с параметрами, основанной на динамическом подключении параметрических модулей.

Методы исследования.

В работы использованы методы математического моделирования, методы оптимизации, методы математического программирования, вероятностные, статистические методы и численные методы.

Тематика работы соответствует следующим пунктам паспорта специальности 05.13.18:

2. Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей.

3. Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий.

4. Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента.

Научная новизна.

В диссертации получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:

1. Модель задачи параметрического программирования, сводящаяся к многоэкстремальной задаче линейного программирования и метод ее исследования, основанный на новом методе решения задач линейного программирования с несколькими целевыми функциями, позволяющий решать задачи параметрического программирования с коэффициентами целевой функции, являющимися ступенчатыми функциями параметра

2. Модель задачи параметрического программирования с несколькими параметрами и метод ее исследования, основанный на разбиении области изменения параметров на подобласти, с анализом поведения решения на границах областей, позволяющий решать задачи параметрического программирования в том случае, когда коэффициенты целевой функции и системы ограничений задачи зависят от двух независимых параметров.

3. Модель задачи дробно-линейного программирования с параметром в целевой функции и метод ее исследования, основанный на методе жордановых исключений с учетом изменения параметра в пределах заданного интервала, позволяющий находить экстремум целевой функции задачи дробно-линейного программирования с переменным числителем без сведения ее к задаче линейного программирования.

4. Численные методы и алгоритмы решения задач линейного и дробно-линейного программирования с параметрами, основанные на последовательном

использовании метода жордановых исключений и методов анализа параметров, позволяющие находить решение задач параметрического программирования, а так же глобальный экстремум целевой функции.

5. Структура комплекса программ, отличающаяся гибкостью реализации алгоритма нахождения решения задачи, путем динамического подключения параметрических модулей, позволяющая решать задачи линейного и дробно-линейного программирования с параметрами.

Практическая значимость.

Предложенные в работе модели и численные методы решения динамических задач производственного планирования с помощью метода жордановых исключений реализованы в виде программного комплекса. В результате практической апробации программный комплекс продемонстрировал высокую точность и скорость решения задач больших размерностей, что позволяет его использовать в различных сферах научной и практической деятельности.

На основании представленных моделей разработаны оригинальные подходы при организации производственного планирования в изменяющихся внешних условиях.

Предложенные модели позволяют так же определять наиболее благоприятные условия для получения максимальной прибыли и наибольшей рентабельности производства. Данное обстоятельство позволяет наиболее эффективно планировать производство.

Реализация и внедрение результатов работы.

Основные алгоритмы и методы решения динамических задач производственного планирования, предложенные в диссертации реализованы в виде программ, написанных на языке ОЕЬРЬП 7. Данные программы позволяют решать задачи линейного, дробно-линейного и целочисленного программирования с параметрами больших (до нескольких тысяч уравнений и неизвестных) размерностей.

Представленные методы и их программная реализация включены в состав учебных курсов «Математическое программирование на основе жордановых исключений» и «Программная реализация метода Штифеля» в Воронежском госу-

дарственном университете, используются в куре «Математического программирования» на факультете менеджмента, маркетинга и информационных технологий Воронежского государственного архитектурно-строительного университета.

Апробация работы.

Основные результаты исследований и научных разработок докладывались и обсуждались на следующих конференциях: XII Всероссийское совещание по проблемам управления (ВСПУ XII), (Москва, 2014); II Международная научно-практическая конференция «Проблемы современных экономических, правовых и естественных наук в России» (Воронеж, 2014); VI Международная науч.-прак. конф. «Управление социально-экономическими системами: анализ современных тенденций и перспектив развития», (Харьков, 2014); 65-67 конференциях Воронежского ГАСУ «Инновации в сфере науки, образования и высоких технологий. Малое инновационное предпринимательство» (Воронеж 2013, 2014); XI международная конференция «сложные современные системы управления (Воронеж 2014); 25-я Крымская осенняя математическая школа-симпозиум КРОМШ-2014 (Судак 2014).

Публикации.

По результатам исследований опубликовано 9 научных работ, в том числе 3 - в изданиях, рекомендованных ВАК РФ. В работах, опубликованных в соавторстве и приведенных в конце автореферата, лично соискателю принадлежат: [74] -создание модели нахождения максимальной рентабельности производства при условии хранения готовой продукции, [78] - разработка модели задачи планирования производства с переменными ресурсами, [77] - разработка нового метода решения задач блочного программирования, [79] - применение метода жордано-вых исключений в теории игр.

Объем и структура работы.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 103 наименований и четырех приложений. Основная часть изложена на 135 страницах, содержит 44 таблицы и 16 рисунков.

Глава 1. МОДЕЛИ ЗАДАЧ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

В первой главе приведен обзор состояния научных исследований по тематике работы на текущий момент. Проанализированы основные работы по использованию метода жордановых исключений в линейном, дробно-линейном и параметрическом программировании. Сформулированы цель и задачи диссертационной работы.

1.1. Состояние исследований в области математического моделирования задач параметрического программирования

Математическое моделирование становится неотъемлемой частью современной науки, Многие компании используют моделирование в процессе принятия ключевых решений, составлении бизнес-планов, получая тем самым конкурентные преимущества в условиях свободной конкуренции. Поэтому задача создания новых и развития имеющихся математических моделей стоит остро. На данный момент существует большое число работ, посвященных вопросам классификации математических моделей [17, 41, 68, 70], и возможностям их применения в практической деятельности, так в [92] приводятся примеры моделей народонаселения, мобилизации, гонки вооружений и др. Наиболее наглядно представляется подобная классификация в графической форме 2-х мерного пространства, например в [45]. Многие авторы выделяют этапы математического моделирования, так в [68] выделены 3 этапа. Первый индуктивный, на котором определяются общие закономерности, второй дедуктивный, когда на основе данных первого этапа делаются определенные заключения, именно на этом этапе происходит формулирование математической записи модели, и третий этап - перенос математических результатов в реальную жизнь. Похожая классификация представлена и в [73]. Тем не менее, существует большое количество работ, в которых изложены методологии,

которые позволяют безотносительно к областям применения создавать математические модели исследуемых объектов или процессов [69].

Параметрическое моделирование позволяет выделить отдельный вид задач, решаемых в различных сферах общественной и производственной деятельности. Такие задачи, описанные в современной литературе [85], являются неотъемлемой частью процесса оптимизации, рассматривающего как одно, так и многокритериальные задачи. Большое количество примеров многокритериальных задач, представ ленных в виде блок-схем, приведено в [67].

В таких задачах часто имеется ряд ограничений, вызванных различными факторами, такими как ограниченность ресурсов и производственных мощностей, или же наличием неопределенности и изменчивой ситуации, такие задачи также рассмотрены в работах И. Г. Черногруцкого [85], Н. В. Зубанова [32], В. С. Миха-левича [53,54], и О. И. Шомполовой [93]. Решение многокритериальных многопараметрических задач осложняется отсутствием математического аппарата, позволяющего работать с исходными данными больших размерностей, для решения таких задач приходится прибегать к упрощениям, например, вводя весовые коэффициенты [39] для оценки уровня значимости параметра. На данный момент большинство параметрических задач с системой ограничений представлено в виде задач линейного и дробно-линейного программирования. При этом рассматривались задача линейного программирования не только с обычными, но и с интервальными переменными, значения которых представляют собой интервалы определенной величины [65]. Каноническая задача линейного программирования сформулирована и приводится в большом числе источников [27, 30, 34, 35, 51,71, 72, 84, 95]. Но независимо от того, направлена ли эта модель на управление конфликтами и рисками [7] или рассматривает, например, процесс стимулирования в организационных структурах [24], как правило, задача линейного программирования является однопараметрической. А. П. Уздемир в своей работе [89] отмечает, что имеющиеся методы чаще носят эвристический характер. Точные методы имеют место только для простых задач, в более сложных случаях же мы имеем

место с элементами целочисленного линейного программирования, требующими использования пакета программ.

Классическое решение подобного рада задач подразумевает использование симплекс-метода, алгоритм которого также получил большое распространение [51,74].

Отдельный класс задач представляют собой задачи динамического параметрического программирования. Несмотря на то, что основной формой представления подобных задач является формульная запись математической модели [83], имеются и другие. Альтернативный метод описания алгоритмов динамической модели предложен в [40], здесь приводится пример работы с динамическими процессами в виде структурных схем, применяющимися в теории автоматического регулирования. Ещё одним наглядным методом представления динамической модели является графическое представление, используемое некоторыми авторами [64].

В [19] вводится понятие экономико-математической модели, рассматриваются модели на максимум дохода, минимум затрат. Такие модели находят широкий спектр применения, затрагивая как производственный процесс отдельного предприятия [91, 94], модели управления городским транспортом[16,24], так и вопросы управления эколого-экономическими системами [28, 87] и макроэкономическими процессами, например модель модернизации региональной экономической системы [43] и модель, учитывающая структурные изменения при реструктуризации экономики регионов [50]. Имеется ряд работ, посвященных вопросам параметрического регулирования национальной экономики в целом [48, 49, 61]. Подобный подход находит своё применение и в промышленной логистике [42, 46] и в системе налогообложения [52]. Часто такие модели представляются в виде дифференциальных зависимостей, как например модель использующаяся для целей анализа долгосрочных схем стимулирования природоохранной деятельности в [55]. В [21] описаны основные принципы и методы моделирования экономических систем, этапы, [9] содержит описание задач о диверсификации деятельности строительной организации, задача замены оборудования, задача комбинаторного программирования, нечеткого математического программирования, в том числе

при нескольких критериях, методы многокритериальной организации. Каждый метод четко алгоритмизирован. Примеры прикладных математических моделей некоторых экономических процессов приведены в [20, 23, 59]. Всё большую востребованность обретают модели, используемые для управления проектами [4, 5, 6, 8, 36, 47]. Наиболее часто встречаются задачи, направленные на получение предприятием в ходе реализации проекта наибольшей прибыли [3,10]. Встречаются и более узконаправленные изыскания, так в работе В. Н. Буркова [15] рассмотрены задачи выпуска продукции при заданном отношении, планирования выпуска новых приборов и назначения проектов, все задачи представлены моделями линейного программирования. В [2] рассматривается процесс компьютерного моделирования для получения кусочно-линейной модели экономического состояния с учетом влияния неучтенных факторов в трехмерном векторном пространстве, описанный в программе МАТЬАВ. В [57] приводятся особенности моделей активных систем, которые так же могут становиться частью более крупных моделей, например нейросетевых, позволяя, в том числе, прогнозировать динамику этих систем [11]. Наконец, можно говорить о наличии работ, посвященных моделированию общественного поведения, так в [62] представлена формальная модель коллективного поведения, охватывающая широкий класс задач из области управления, экономики, организации, биологии и техники, рассматриваются параметрические задачи с 1 параметром.

Классическая задача линейного параметрического программирования подразумевает выполнения условий, при которых целевая функция достигает максимума (минимума), аналогичное условие адекватно и для канонической задачи оптимального управления, описанной в [29, 56].

Динамические модели экономических процессов представляют особый интерес для изучения, так как позволяют оценивать производственную ситуацию в любой произвольный момент времени и сделать прогноз на будущие этапы. «Под динамической системой будем понимать объект или процесс, для которых однозначно определено понятие состояния как совокупности значений некоторых величин в заданный момент времени и задан оператор, определяющий эволюцию

начального состояния во времени.» [86]. Динамическая модель экономического процесса должна содержать описание начального состояния экономического объекта, технологические способы производства (с описанием набора ресурсов для получения определенного количества продуктов), критерии оптимальности [19]. На имеющийся момент динамическое программирование можно определить, как метод оптимизации, приспособленный к операциям, в которых процесс принятия решений может быть разбит на отдельные этапы [9]. В качестве примера однопа-раметрической динамической модели можно привести динамическую модель производства [26], модель технического перевооружения [58], в рамках которой ставится задача выбора инновационной политики, составление графика инвестиции в новые технологии, ряд примеров приведен в [13].

Следует также отметить ряд сложностей, вызванных реализацией теоретической математической модели и переходом к созданию универсального программного продукта. Некоторые из требований, предъявляемых в процессе перехода, например итерационный характер процедуры, удобство корректировки данных, отсутствие исключительных решений и др. приведены в [67]. Особенности алгоритмизации процессов динамического программирования, в свою очередь, отражены в [38].

Впервые задачи линейного программирования рассматривались в 1930-х годах советским математиком Л.В. Канторовичем (1912-1986). Эти задачи имели своей целью организацию производственных процессов. Позднее подобные задачи решались в США. В 1975 г. Т. Купманс (1910-1985, родился в Нидерландах, работал в основном в США) и академик АН СССР Л.В. Канторович были награждены Нобелевскими премиями по экономике [63].

Как уже было упомянуто выше, решение линейных и дробно-линейных параметрических задач на сегодняшний день является довольно непростой задачей, решаемой, как правило, с использованием симплекс-метода и его различных модификаций [12,17, 37, 60]. Так в [1] общая запись задачи представлена в виде:

w

n

zt=Y*cÀt),xJ^extr> 0)

j=1

A{t)-X<b{t) (2)

x, >0,y = 1,2,...,и

где X = (x{,..., xn) - и-мерный вектор неизвестных переменных, который удовлетворяет ограничениям (2), образующих множество допустимых решений задачи; b(t) = (bx(t),...,bn(t)) и c(t) = (cj(/),...,cn(i)) параметрические векторы свободных членов ограничений и коэффициентов целевой функции соответственно; A(i) = {atJ (f)), г-1,...,п, j=\,...,m - п x m -размерная матрица параметрических коэффициентов ограничений. Здесь решение задачи математического программирования с параметрическими коэффициентами ограничений происходит с помощью симплекс метода, дополненного использованием дифференциальных преобразований.

Классический симплекс метод подразумевает матричную форму записи, в [22] рассмотрены основные положения итерационных методов решения систем линейных уравнений, описываются особенности работы в билинейном матричном пространстве. Тем не менее, существуют и альтернативные методы решения подобных линейных задач [44], самым простым из которых являются метод перебора, приближенные графические методы.

Отличительной особенностью диссертационной работы является применение симплекс-метода основанного на методе жордановых исключений. Данный метод был разработан Швейцарским математиком Э. Штифелем (Stifel Eduard) в 1948 году. Применение данного метода в линейной алгебре и математическом программировании было неоднократно описано в литературе [33, 66, 88, 90,79-81], В данной работе он впервые применяется для решения многопараметрических задач линейного программирования, задач дробно-линейного программирования и задач, содержащих разрывные функции параметра t.

В работе [66] метод жордановых исключений применяется для решения задач линейного параметрического программирования с одним параметром. Однако

предлагаемый Полуниным И.Ф. алгоритм является достаточно громоздким и может быть существенно упрощен. Данное обстоятельство позволяет создать наиболее простые программные комплексы для решения задач (1) - (2).

Отметим основные недостатки существовавшей до настоящего времени модели задачи параметрического программирования (1)-(2):

данная модель не является достаточно общей и поэтому может не в полной мере соответствовать реальным прикладным задачам,

в существующей модели используется только один параметр, в то время как необходимо использовать несколько параметров,

существующий алгоритм решения задачи параметрического программирования является слишком громоздким,

все коэффициенты задачи (1)-(2) являются линейными функциями, что не всегда соответствует реальной ситуации,

не разрабатывалась модель задачи дробно-линейного программирования с параметрами,

не был создан программный комплекс, позволяющий решать задачи параметрического программирования с динамическим подключением параметров.

На устранение этих недостатков и направлено диссертационное исследование.

1.2. Описание метода модифицированных жордановых исключений

Пусть дана система линейных форм (уравнений):

а, + аих2 + • ■ • + + • • • + аих, + • • ■ + аХпхп + ух = О,

ад + а,2х2<*тхп+У, = °>

....................................................................................................................................................................................(3)

ад +••• + «,,+ ■•• + <*„*,+ +3>Г = 0,

а

т\

хх++ • • ■+ад + • • ■+ад + • • •+ят„х„ + ^ = о,

где постоянные коэффициенты (/' = 1, 2,..., т; у = 1, 2,..., и).

Перенесем все слагаемые, содержащие переменные ху в правую часть равенств. Получим систему:

У\ = «и (-^х) + (-х2) + - - ■ + «7 ) + ••• + « 5 + + (~л:„)

У г = а,\ (-*.) + а,2 + • ■■ ■ + % (-*,) + "• + (-*,) + - + (-*„)>

................................................................................................................... (4)

Уг=<>Л-ъ) + *Л-Хг) + "- + ап(-х>) + ''' + аЛ-х*) + '-- + аЛ-хп)>

Уп, =атх(-хх) + ат2(-х2) + --- + ат^-х;) + --- + аш(-х!) + --- + атп(-хп),

Выразим из произвольного (г-го) равенства произвольную переменную (л:5) и подставим ее во все остальные равенства системы (4). Такое преобразование называемое в дальнейшем «одним шагом модифицированных жордановых исключений» возможно только в том случае, когда агз Ф 0. Коэффициент агз называется разрешающим (иногда направляющим или ведущим) элементом. После преобразования мы приходим к следующей системе:

У1=Ь11(-х1) + Ь12(-х2) + --. + Ь1^-х^ + - + Ь1,(-уг) + - + Ь1п(~хя),

х5=Ьг1(-х,) + Ьг2(-х2) + --- + Ьг; К

Ут = К1 ) + Кг2 (~*2 ) + ''' + К ("*7 ) + ''' + К* {~Уг ) + "' ' + Кп (-*„)>

Коэффициенты полученной системы (5) в соответствие с [66, 88] вычисляются через коэффициенты исходной системы (4) по формулам:

<з

К = V

а..

(6)

а

а

Ьи=аи--= ~--

а

а.

, / Ф Г, У* 5.

Переход от системы (4) к системе (5) называется одним шагом метода модифицированных жордановых исключений. В дальнейшем метод модифицированных исключений мы буде называть просто методом жордановых исключений или методом Штифеля. Метод обыкновенных жордановых исключений, описанный в [33, 66, 88] в данной работе не используется. Преобразование систем линейных уравнений методом модифицированных жордановых исключений оформляется в виде таблиц. Эти таблицы получили название жордановых таблиц. Так, системе (4) ставится в соответствие следующая жорданова таблица:

Таблица 1.

Исходная таблица метода жордановых исключений

-Х\ -Х2 -Xj Xs Xn

71 «11 ап ау Cl\s ci\n

У' ап а а Oij йи Clin

Уг а, 1 (1,2 Clrj а« Grn

Уп ат\ а ml (hns dmn

После совершения одного шага модифицированных жордановых исключений, в результате которого независимая переменная х^ заменяется на переменную уг, мы приходим к следующей таблице:

Таблица 2.

Очередной шаг метода жордановых исключений

-X\ -X2 ... ~Xj ... -у г Xn

У\ bn Ь12 b\j Ьи b\n

yi bn bl2 bij Ь1Х bin

xs brl Kl brj brs brn

Уп Ьт 1 bml bmj bms Ь,пп

Таблица 2 соответствует системе 5.

Разрешающий элемент а« мы будем в дальнейшем выделять жирным шрифтом. Для осуществления одного шага модифицированных жордановых исключений соответствующий разрешающий элемент должен быть отличен от нуля.

Строку таблицы, содержащую разрешающий элемент, называют разрешающей строкой. Столбец, содержащий разрешающий элемент, называют разрешающим столбцом. Независимые (в дальнейшем - свободные) переменные х\, х2,..., хп, взятые со знаком «минус», записывают в верхней заглавной строке таблицы. Зависимые (в дальнейшем - базисные) переменные у\, Уг,---, Уп записывают в левом заглавном столбце. При переходе от исходной жордановой таблицы к следующей таблице одна переменная из верней заглавной строки таблицы перемещается в левый заглавный столбец и, наоборот, одна переменная из левого заглавного столбца таблицы перемещается в верхнюю заглавную строку. При этом переменные, рассоложенные в верхней заглавной строке, всегда берутся со знаком «минус», а переменные, расположенные в левом заглавном столбце - со знаком «плюс».

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Соловьев, Александр Витальевич, 2014 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Аветисян, А. Г. Метод решения задач параметрического линейного программирования, основанный на дифференциальных преобразованиях [Электронный ресурс]/ А.Г. Аветисян, Л. С. Гюльзадян// Известия ТПУ. - 2014. -№2. -Режим доступа: http://cyberleninka.ru/article/n/metod-resheniya-zadach-parametricheskogo-lineynogo-programmirovaniya-osnovannyy-na-differentsialnyh-preobrazovaniyah.html

2. Алиев, А. Г. Разработка программного обеспечения для компьютерного модулирования двухзвенной кусочно-линейной экономико-математической модели с учетом влияния факторов неопределенности в трехмерном векторном пространстве. / А. Г Алиев //Экономические науки. -2010. -№3(64).-С.249-255.

3. Алферов, В. И. Прикладные задачи управления строительными проектами / В. И. Алферов. - Воронеж: Центрально-Черноземное книжное издательство, 2008- 765 с.

4. Баранников, Н. И. Управление проектами: учебное пособие/ Н. И. Баранников, С. А. Баркалов, В. Л. Порядина, П. И. Семенов, Б. А. Шиянов. -Воронеж: Изд-во «Научная книга», 2011. -311с.

5. Баркалов, П.С. Задачи распределения ресурсов в управлении проектами/ П.С. Баркалов, В.Н. Бурков. -М.: ИПУ РАН, 2002. - 52 с.

6. Баркалов, С. А. Модели и методы распределения ресурсов в управлении проектами/ С. А. Баркалов, И. В. Буркова, В. Н. Колпачев, А. М. Потапенко. - М.: ИПУ РАН, 2004. - 85 с.

7. Баркалов, С. А. Модели управления конфликтами и рисками: монография / С. А. Баркалов, Д. А. Новиков, В. И. Новосельцев и др.; под ред. Д. А. Новикова. - Воронеж: Научная книга, 2008. - 495 с.

8. Баркалов, С. А Математические основы управления проектами/ С. А. Баркалов, В.И. Воропаев, Г.И. Секлетова. - М.: «Высшая школа» 2005. - 423 с.

9. Баркалов, С. А. Системный анализ и принятие решений/ С. А. Баркалов, П. Н. Курочка, И. С. Суровцев.- Воронеж: ИПЦ ВГУ , 2010. - 652с.

10. Бенников, А. И. Линейное программирование: учебное пособие. / А. И. Бенников. - Иркутск: Иркутский Университет, 2005. -147 с.

И. Блюмин, С. JL Выявление периодичностей в нейросетевом прогнозировании динамики активных систем / С. JI. Блюмин, П. В. Сараев//Теория активных систем / Труды международной научно - практической конференции (14-16 ноября 2011 г., Москва, Россия). - 2011.-1 т.- С. 15-18

12. Болдырев, В.И. Метод кусочно-линейной аппроксимации для решения задач оптимального управления. [Электронный ресурс] /В. И. Болдырев. // Дифференциальные уравнения и процессы управления.- 2004. -№1. - Режим доступа:

http://www.math.spbu.ru/diffjournal/pdf/boldirev.pdf

13. Бородина, Т. А. Математическое программирование: учеб. -метод, пособие для организации самостоятельной работы и методические рекомендации для подготовки к тестированию/ Т. А. Бородина.- Мн.:БГЭУ, 2011. - 78 с.

14. Буйная, Е. В. Симплексный метод решения оптимизационных задач: учеб. пособие/ Е. В. Буйная, М. А. Тынкевич. - Кемерово: КузГТУ, 1999.

15. Бурков, В. Н. Как управлять организациями/ В. Н. Бурков, Д. А. Новиков. -М.: Синтег, 2004. — 400 с.

16. Бурковский, В. JI. Комплексная имитационная модель маршрутной сети городского пассажирского транспорта/ Бурковский В.Л., Пашанцев С. М., Подвальный С. Л. // Теория активных систем / Труды международной научно - практической конференции в двух томах. (19-21 ноября 2001 г., Москва, Россия).-2001. -2 т.- С. 57-60

17. Васильев, Ф. П. Линейное программирование/ Ф. П. Васильев, А. Ю. Иваницкий. - М.: Факториал, 1998. - 176 с.

18. Введение в математическое моделирование: Учеб.пособие/ В. Н. Аших-мин, М. Б. Гитман, И. Э. Келлер и др.; под. ред. П.В. Трусова. - М.:Логос, 2005. -440 с.

19. Виноградов, Г. В. Моделирование производственно- инвестиционной деятельности фирмы: Учеб. пособие для вузов/ Г. В. Виноградов, Т. С. Булышева, Е. Ю. Дорохина, К. А. Милорадов, М. А. Халиков. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. -319с.

20. Власов, В.П. Моделирование экономических процессов / М.П. Власов, П. Д. Шимко. - Ростов н/Д: Феникс, 2005. - 409 с.

21. Власов, М. П. Оптимальное управление экономическими системами: Учебное пособие / М. П. Власов, П.Д. Шимко. - М.: НИЦ ИНФРА-М, 2014. - 312 с.

22. Воеводин, В. В Матрицы и вычисления/ В. В. Воеводин, Ю. А. Кузнецов. - Наука, М., 1984, - 320 с.

23. Волгина, O.A. Математическое моделирование экономических процессов и систем: Учебное пособие / O.A. Волгина, Н.Ю. Голодная, H.H. Одияко. - М.: КноРус, 2012. - 200 с.

24. Воронин, А. А. Математические модели организаций: Учебное пособие/ A.A. Воронин, М. В. Губко, С. П. Мишин, Д. А. Новиков. - М.: ЛЕНАНД, 2008. -360 с.

25. Воронин, A.B. Задачи планирования и управления материальными потоками в многоуровневых территориально-распределительных транспортно-производственных системах [Электронный ресурс] // Вестник Северного (Арктического) федерального университета. Серия: Естественные науки. - 2005. -№1. -Режим доступа: http://cyberleninka.ru/article/n/zadachi-planirovaniya-i-upravleniya-materialnymi-potokami-v-mnogourovnevyh-territorialno-raspredelennyh-transportno.html

26. Гейл, Д. Теория линейных экономических моделей. / Д. Гейл. - М.: ИЛ, 1963.-418 с.

27. Глухов, В. В. Математические методы и модели для менеджмента/ В. В. Глухов, С.Б. Коробко, М. Д. Медников. - СПб.: Издательство "Лань", 2005. - 528 с.

28. Горстко, А.Б. Введение в моделирование эколого - экономических систем/ А. Б. Горстко, Г. А. Угольницкий. - Ростов н/Д, Изд-во ун-та, 1990. -111 с.

29. Дику cap, B.B. Качественные и численные методы в принципе максимума. / В. В. Дикусар, А. А. Милютин. — М.: Наука, 1989. -142 с.

30. Емельянов, В. Ю Теория принятия решений: базовые методы: учеб. пособие / В. Ю. Емельянов, В. К. Кругликов. - СПб., Балт. гос. техн. ун-т, 2006. -134 с.

31. Зубанов, Н. В. Математическая модель выбора оптимальной стратегии кредитования инвестиционных проектов в регионе /Н.В.Зубанов, С.В.Пестриков, В.М.Быков. //Наука. Бизнес. Образование 99: Ма-тер.Всерос.межвуз.науч.конф.,15-16 апр.1999 г. - Самар.гос.техн.ун-т.-Самара,1999. -С.30-31.

32. Зубанов, Н. В. Анализ устойчивости относительно поставленной цели как один из подходов к описанию функционирования организации в условиях неопределенности. Монография / Н.В. Зубанов. - Самара, 2001. -С.23.

33. Зуховицкий, С. И. Линейное и выпуклое программирование. / С. И. Зу-ховицкий, Л. И. Авдеева - М., 1967. - 460 с.

34. Интрилигатор, М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. / М. Интрилигатор. - М.: Изд. Айрис-Пресс, 2002. - 576с.

35. Карлин, С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. / С. Карлин. — М.: Мир, 1964. -834с.

36. Коновальчук, Е. В. Модели и методы оперативного управления проектами/ Е. В. Коновальчук, Д. А. Новиков. - Москва, ИПУ РАН 2004. -63с.

37. Корбут, A.A. Дискретное программирование / A.A. Корбут Ю.Ю., Фин-кельштейн - М.:Наука, 1969. -368 с.

38. Кормен, Т Алгоритмы. Построение и анализ / Т. Кормен, Р. Ривест - М.: Издательство: Вильяме, 2005. - 1293 с.

39. Кривоножко, В. Е. Анализ деятельности сложных социально-экономических систем/ В. Е. Кривоножко, А. В. Лычев. -М.: Издательский отдел факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова; Макс Пресс, 2010. - 208с.

40. Кугаенко, А.А. Методы динамического моделирования в управлении экономикой/ А. А. Кугаенко - М.: Университетская книга, 2005. - 456 с.

41. Кузин, J1. Т. Основы кибернетики: В 2-х томах / Л. Т. Кузин. - М.: Энергия, 1979-2 т.

42. Кузьмичева, Ю. В. Динамические модели управления ограниченными ресурсами в промышленной логистике/ Ю. В. Кузьмичева, А. В. Мищенко // Логистика и управление цепями поставок. -2009. -№5. -С. 59-78.

43. Куркин, Е. В. Моделирование модернизации региональной экономической системы/ Е. В. Куркин //Экономическое прогнозирование: модели и методы: материалы VIII международной научно-практической конференции, 12 мая 2012 г.-Воронеж: типография Воронежского ЦНТИ - -филиала ФГБУ «РАЭ» Минэнерго России, 2012.-С. 102.

44. Лапчик, М. П. Численные методы: учеб. пособие / М. П. Лапчик, М. И. Рагулина, Е. К. Хеннер. - М.: Academia, 2004. - 384 с.

45. Лотов, А. В. Введение в экономико - математическое моделирование. / А. В. Лотов - М.: Наука, 1984. -391с.

46. Лубенцова, В. С. Математические модели и методы в логистике: учеб. пособ. / B.C. Лубенцова; под редакцией В.П. Радченко. - Самара: гос. техн. ун-т, 2008.-157 с.

47. Мазур, И. И. Управление проектами/ И. И. Мазур, В. Д. Шапиро. - М.: 2010. - 960 с.

48. Макроэкономический анализ и параметрическое регулирование национальной экономики. / А. А. Ашимов, Ю. В. Боровский, Б. Т. Султанов и др. - М.: Издательство физико-математической литературы, 2011-324с.

49. Макроэкономический анализ и экономическая политика на базе параметрического регулирования: научная монография. / А. А. Ашимов, Б. Т. Султанов, Ж. М. Адилов и др- М.: Издательство физико-математической литературы, 2010.-284с.

50. Мараховский, А. С. Математический аппарат информационной системы прогнозирования последствий реструктуризации экономики региона / А. С. Ма-

раховский //Экономическое прогнозирование: модели и методы: материалы VIII международной научно-практической конференции, 12 мая 2012 г.- Воронеж: типография Воронежского ЦНТИ - -филиала ФГБУ «РАЭ» Минэнерго России, 2012. -С. 118

51. Машунин, Ю. К. Теория управления. Математический аппарат управления в экономике / Ю. К. Машунин. - Москва: Логос, 2013. - 447 с.

52. Медведев, А. В. Численный параметрический анализ модели эффективного экономического развития системы «производитель - налоговый центр» / А. В. Медведев, П. Н. Победаш // Известия ТПУ. -2010. - №5. - Режим доступа: http:// cyberleninka.ru/article/n/ chislennyy-parametricheskiy-analiz-modeli-effektivnogo-ekonomicheskogo-razvitiya-sistemy-proizvoditel-nalogovyy-tsentr.html

53. Михалевич, В. С. Вычислительные методы исследования и проектирования сложных систем / В. С. Михалевич, В. Л. Волкович -М.: Наука,1982. -286 с.

54. Михалевич, В. С. Методы последовательной оптимизации в дискретных ситевых задачах оптимального распределения ресурсов / В. С. Михалевич, А. И. Куска. - М.:Наука, 1983. -208с.

55. Моделирование и управление процессами регионального развития / А. В. Аргучинцева, В.К. Аргучинцев, В. А. Батурин и др. под ред. С.Н. Васильева. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. -432 с.

56. Моисеев, Н. Н. Элементы теории оптимальных систем / Н. Н. Моисеев. — М.: «Наука», 1975. — 526 с.

57. Новиков, Д. А. Курс теории активных систем/ Д. А. Новиков, С. Н. Петраков -М.: СИНТЕГ, 1999. - 108 с.

58. Новиков, Д. А. Модели и методы организационного управления инновационным управлением фирмы/ Д. А. Новиков, А. А. Иващенко. -М.: КомКнига, 2006. -332 с.

59. Новиков, Д. А. Теория управления организационными системами/ Д. А. Новиков. - М.: Физматлит. 2-е издание, 2007. - 584 с.

60. Новый подход к решению задач параметрического линейного программирования [Электронный ресурс]/ Е. А. Берзин, Д. В. Смирнов, В. П. Манеркин и др.// - Научно-исследовательский институт «Центрпрограммсистем». - 1997. -№2. - Режим доступа: http://www.swsys.ru/index.php?page=article&id=l03l.html

61.0 теории параметрического регулирования развития рыночной экономики. / А. А. Ашимов, К.А. Сагадиев, Ю. В. Боровский и др. // Управление большими системами. - М.: ИПУ РАН, 2007. - № 17. - С.5-28.

62. Опойцев, В. И. Равновесие и устойчивость, в моделях коллективного поведения/ В. И. Опойцев. -Москва Наука 2004г. -245 с.

63. Орлов, А. И. Теория принятия решений. / А. И. Орлов. - иМ.: Экзамен, 2006. - 576 с.

64. Подчукаев, В. А. Математическая модель динамического хаоса / В. А. Подчукаев //Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика, -2012. -№4. -12 т. - С. 27-31.

65. Поляков, В. В. Метод решения задачи линейного программирования с интервальными переменными / В. В Поляков // Вестник Северного (Арктического) федерального университета. Серия: Естественные науки. - 2005. -№2. - Режим доступа: http://cyberleninka.ru/article/n/metod-resheniya-zadachi-lineynogo-programmirovaniya-s-intervalnymi-peremennymi.html

66. Полунин, И. Ф. Курс математического программирования / И. Ф. Полунин. - М.: «Высшая школа» 2008. - 464 с.

67. Поспелов, Г. С. Процедуры и алгоритмы формирования комплексных программ / Г. С Поспелов, Е. А. Ириков, А. Е. Курилов — М.: Наука, 1985 . — 424 с

68. Роберте, Ф. С. Дискретные математические модели с приложениями к социальным, биологическим и экологическим задачам/ пер. с англ. А. М. Раппопорта, С. И. Травкина. Под ред. А. И. Теймана. -М.: Наука. Гл. ред. физ. -мат. лит., 1986. -496с.

69. Самарский А. А. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. / А. А. Самарский. - 2-е изд., испр. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 320с.

70. Седов, А. В. Моделирование объектов с дискретно-распределенными параметрами: декомпозиционный подход/А. В. Седов-Наука, 2010.-438 с.

71. Сигал, И. X. Введение в прикладное дискретное программирование. Учеб. пособие / И. X. Сигал,, А. П. Иванова.—М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 240 с.

72. Сигал, И. X. Введение в прикладное дискретное программирование: модели и вычислительные алгоритмы: 2-е изд., испр. и доп./ И. X. Сигал, А. П. Иванова - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. - 304 с.

73. Скопина, И. В. Моделирование эффективности социально-экономических систем / И. В. Скопина //Вятский государственный университет. -2010. -№4. - Режим доступа: http://www.uecs.ru/uecs-24-242010/item/242-2011-03-24-12-38-56.html

74. Соловьев, А. В. Задача определения рентабельности затрат на производство при условии хранения готовой продукции/ А. В. Соловьев, С. Н. Уксусов // Экономика и менеджмент систем управления, №1.3(11). - 2014. - С. 407-416.

75. Соловьев, A.B. Задача планирования производства в условиях поэтапной реализации готовой продукции // Экономика и менеджмент систем управления, №1.4(11). - 2014. - С. 281-289.

76. Соловьев, А. В. Математические методы и модели задач управления производством/А. В. Соловьев, С. Н. Уксусов // Материалы 25-й Крымской математической школы-симпозиума КРОМШ-2014. - Судак, 2014. - С. 23

77. Соловьев, А. В. Математическая модель рентабельности затрат на производство продукции при условии её хранения / А. В. Соловьев, С. Н. Уксусов// Научный вестник Воронежского государственного архитектурно-строительного университета. Сер. Управление строительством. - Воронеж, 2014. - № 1(6). - С. 128-133.

78. Соловьев, А. В. Модель задачи параметрического программирования с двумя параметрами/ А. В. Соловьев // Системы управления и информационные технологии, №3,1 (57),-2014,-С,178-182.

79. Соловьев, А. В. Оптимизация грузопотоков по критерию времени доставки грузов/ А. В. Соловьев, П. П. Чураков // Научный вестник Воронежского

государственного архитектурно-строительного университета. Сер. Управление строительством. - Воронеж, 2013. - № 2(5). - С. 108-113.

80. Соловьев, А. В. Применение метода жордановых исключений в случае конфликтных ситуаций в строительстве/ А. В. Соловьев, С. Н. Уксусов // Научный вестник Воронежского государственного архитектурно-строительного университета. Сер. Управление строительством. - Воронеж, 2013. - № 2(5). - С. 89-94.

81. Соловьев, А. В. Решение задачи планирования отраслевого производства методом жордановых исключений/А. В. Соловьев Р. Д. Зильберов, С. Н. Уксусов // Научный вестник Воронежского государственного архитектурно-строительного университета. Сер. Управление строительством. - Воронеж, 2013. - № 2(5). - С. 86-89.

82. Соловьев, А. В. Решение задачи динамического управления производством методом жордановых исключений/ А. В. Соловьев, С. Н. Уксусов // Труды XI международной конференции «Сложные современные системы управления» -Воронеж, 2014. - С. 273-278.

83. Соловьев, В. И. Методы оптимальных решений: Учебное пособие./ В. И. Соловьев. - М.: Финансовый университет, 2012. -364 с.

84. Степин, А. Г. Учебно - методическое пособие по курсу «Оптимизационные методы в анализе регионов» / А.Г. Степин. - Казань: Казанский государственный университет,2010. - 20 с.

85. Черногруцкий, И. Г. Методы оптимизации в теории управления: Учебное пособие/ И. Г. Черногруцкий. - СПб.: Питер, 2004. -256 с.

86. Чуличков, А. И. Математические модели нелинейной динамики. 2-е изд., испр./А. И. Чуличков. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 296 с.

87. Угольницкий, Г. А. Математическая формализация методов иерархического управления эколого-экономическими системами / Г. А. Угольницкий, А.Б. Усов // Проблемы управления. - 2007. - №4. - С.64-69.

88. Уксусов, С.Н. Метод Штифеля и его применение в линейной алгебре и математическом программировании: Учебно-методическое пособие/ С. Н. Уксусов. - Воронеж: Изд-во ВГУ, 2003. - 71 с.

89. Уздемир, А. П. Динамические целочисленные задачи оптимизации в экономике/ А. П. Уздемир. - М.: Физматлит, 1995 - 269 с.

90. Швец, М. Н. Метод Штифеля в линейной алгебре: учеб. пособие / М. Н. Швец - Одесса: ОГУ, 1977. -69 с.

91. Шелобаев, С. И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе: Учеб. пособие для вузов/ С. И. Шелобаев— М.: Юнити-Дана, 2001. -367 с.

92. Шишкин, Е. В. Математические методы и модели в управлении: Учеб. пособие./ Е. В. Шишкин, А. Г. Чхаришвили - 3-е изд. - М.: Дело, 2004. -440 с.

93. Шомполова, О. И. Оптимальное управление линейными системами с нерегулярными смешанными ограничениями и определение геометрии оптимальной траектории: автореф. дис. на соиск. учен. степ. к. ф.-м. н.: 05.13.01 / Шомполова Ольга Игоревна. - Москва, 2012. -16 с.

94. Щепкин, А.В. Внутрифирменное управление (модели и методы) / А.В. Щепкин - М.: ИПУ РАН, 2001. - 80 с.

95. Юдин, Д. Б. Задачи и методы линейного программирования/ Д. Б. Юдин, Е. Г. Голыптейн. - М. Советское радио, 1961. - 492 с.

96. Charnes, A. Programming with linear fractional functional/ A. Charnes, W.W. Cooper//Naval Research Logistics Quarterly.-1962.-№9 (3-4) -P. 181-186.

97. Hanley, N. Game Theory and the Environment/ N. Hanley, H. Folmer -London: Edward Elgar Pub. - 1999. -P. 432

98. Hestenes, M. R. Methods of Conjugate Gradients for Solving Linear Systems/ M. R. Hestenes, E. Stiefel, // J. Res. Natl. Bur. -№49. -1952. -P. 409-436

99. Nelder, J. A. A Simplex Method for Function Minimization/ J. A. Nelder, R. Mead// The Computer Journal. -1965. - №4. - C.308-313.

100. Novikov, D.A. Management of active systems: stability or efficiency // Systems science. -2001. - № 26 (2). - P. 85 - 93.

101. The EM algorithm // The Elements of Statistical Learning. — New York: Springer, 2001. — P. 236-243.

102. Vassilyev, S.N. Ecologo-Economic Model and Solvability of Harmonization Problem // S.N. Vassilyev, V.A. Baturin, A.V. Lakeyev / Proceedings of IEEE International Conference on Systems. — Lille: Man and Cybernetics, 1993. - № 5. - P. 339-343.

103. Wolfe, P The Simplex Method for Quadratic Programming/ P. Wolfe// Econometrica. -1959. - №3. - C. 382-398.