Разработка математического и программного обеспечения подсистемы представления пространственных данных в геоинформационных системах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.11, кандидат технических наук Комарчук, Сергей Анатольевич

• Комарчук, Сергей Анатольевич
• кандидат технических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат технических наук Комарчук, Сергей Анатольевич

Введение.

1 Системный анализ способов представления пространственных данных в геоинформационных системах.!.

1.1 Понятие о геоинформационных системах, области их применения и решаемые ими задачи.

1.2 Организация представления пространственных данных в геоинформационных системах.

1.3 Цель и задачи исследования.

2 Разработка критерия скорости сходимости системы многочленов, представляющих криволинейные объекты геоинформационных систем.

2.1 Исследование метода приближенного вычисления интегралов при помощи квадратурных формул.

2.2 Представление энтропии конечных схем интегралами от рациональных функций.

Выводы второй главы.

3 Разработка алгоритма разложения функций из пространства L.2(R) по базисным функциям всплесковых систем.

3.1 Анализ способов построения всплесковых рядов.

3.2 Система Хаара как всплесковый базис для разложения функций из пространства/^^.

3.3 Применение кратномасштабного анализа в L2(R) для разработки алгоритма разложения и восстановления функций.

Выводы третьей главы.

4 Разработка подсистемы представления пространственных данных в геоинформационных системах.

4.1 Место и роль подсистемы представления пространственных данных в общей структуре геоинформационной системы.

4.2 Описание архитектуры программного комплекса.

4.3 Примеры расчетов коэффициентов разложения.

4.3.1 Расчет коэффициентов разложения для функции

4.3.2 Расчет коэффициентов разложения составной функции.

Выводы четвертой главы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка математического и программного обеспечения подсистемы представления пространственных данных в геоинформационных системах»

Актуальность темы. В настоящее время отчетливо видна тенденция увеличения роли информационных технологий в различных областях. Расширение сферы применения ЭВМ, рост числа пользователей повлекли за собой неизбежный рост объема обрабатываемой информации. Актуальным становится вопрос о способах и средствах хранения постоянно увеличивающегося объема данных.

Экстенсивный путь решения данной проблемы заключается в увеличении количества средств хранения информации или в увеличении емкости каждого такого средства. Современные технологии пока вполне удовлетворяют этим запросам, однако определенный предел в данном пути все же существует. Работа с большими объемами данных предъявляет повышенные требования и к вычислительной подсистеме компьютера.

Другой путь решения поставленной проблемы концептуализируется не на средствах хранения информации, а на способе ее представления в памяти ЭВМ. Следуя этому пути, мы сможем сэкономить физическую память, машинное время и, как следствие, получить экономический эффект.

Одной из множества областей информационных технологий, имеющих дело с большими объемами информации, являются геоинформационные системы. Из требований, предъявляемых к современным геоинформационным системам, следует выделить необходимость ввода, обработки, хранения и анализа больших объемов пространственных данных. Чем подробнее мы хотим представить некоторую местность, тем большее количество информации нам необходимо сохранить.

По способу представления пространственных данных в машинной памяти различают растровые и векторные геоинформационные системы. Анализ существующих в настоящее время геоинформационных систем показал, что большинство из них используют растровую модель данных. Ее главным достоинством является простота. По сравнению с ней более сложная векторная модель требует меньшего объема машинной памяти, увеличивает скорость работы, а также обеспечивает большую точность представления пространственных данных. Таким образом, ее использование является более перспективным.

Большое значение в векторных геоинформационных системах имеет подсистема представления пространственных объектов. Естественным способом является рассмотрение таких объектов в виде функций из некоторого класса. Тогда задача представления пространственных объектов в векторных геоинформационных системах сводится к задаче сохранения в памяти ЭВМ функций определенного класса. Ее решение можно осуществить путем разложения заданной функции по некоторому базису и сохранения коэффициентов разложения в машинной памяти. Здесь очень важно выбрать нужный базис функций и определить алгоритм разложения и восстановления функций, обеспечивающий необходимую точность и скорость.

Таким образом, актуальность темы диссертационной работы определяется необходимостью создания такой новой технологии для разработки подсистемы представления пространственных данных в геоинформационных системах, чтобы обеспечивалась высокая скорость работы подсистемы.

Диссертационная работа выполнена в соответствии с межвузовской комплексной научно-технической программой 12.11 "Перспективные информационные технологии в высшей школе" в рамках одного из основных направлений Воронежского государственного технического университета "Проблемно-ориентированные системы управления".

Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является разработка математического и программного обеспечения подсистемы представления пространственных данных в геоинформационных системах, обеспечивающего увеличение производительности подсистемы, а также позволяющего сократить объем используемой машинной памяти.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи: произвести системный анализ способов представления пространственных данных в геоинформационных системах; разработать критерий оценки скорости сходимости системы многочленов, представляющих криволинейные объекты геоинформационных систем; проанализировать возможные типы разложения функций заданного класса на основе теории информации и теории всплесков, скорость выполнения разложения, а также объем полученной в результате разложения информации; обосновать использование всплесковых базисов для разложения функций, представляющих криволинейные объекты геоинформационных систем; разработать алгоритм быстрого разложения функций заданного класса по всплесковым базисам; разработать подсистему представления пространственных данных в геоинформационных системах.

Методы исследования. При выполнении работы использовались методы системного анализа, элементы теории информации и теории множеств, методы теории всплесков, основные положения теории вероятности и функционального анализа.

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты, характеризующиеся научной новизной: алгоритм быстрого разложения функций из пространства L2(R) по всплесковым базисам, обеспечивающий более высокую, по сравнению с классическим разложением Фурье, скорость разложения, за счет того, что значительно упрощена процедура вычисления коэффициентов разложения на каждом шаге; способ определения количества операций, осуществляемых в ходе разложения функций из пространства L.2(R) по всплесковому базису, позволяющий до начала работы алгоритма оценить время, затрачиваемое на разложение, вне зависимости от используемого базиса; процедура вычисления коэффициентов разложения функций из пространства L,2(R) по всплесковому базису Хаара, обеспечивающая значительное сокращение общего числа операций за счет того, что на каждом шаге вычисляются только те числа, коэффициенты которых отличны от нуля; способ представления энтропии конечных схем, отличающийся алгебраическим представлением, интерпретирующим энтропию посредством взаимного расположения нулей и полюсов некоторой мероморфной функции специального вида.

Практическая значимость и результаты внедрения. На основании разработанного в диссертационной работе алгоритма создан программный комплекс, реализующий разложение функций из пространства L2(R) по всплесковому базису Хаара и наглядно демонстрирующий работу алгоритма, что позволяет применять программный комплекс в учебном процессе.

Основные теоретические и практические результаты работы в виде алгоритмов и процедур внедрены и используются в ОАО «ЦЧР Агропромпроект»; в виде программного комплекса внедрены в учебный процесс кафедры «Системы автоматизированного проектирования и информационные системы» Воронежского государственного технического университета для студентов специальности 071900 «Информационные системы».

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: Всероссийской конференции "Интеллектуальные информационные системы" (Воронеж, 2001), Всероссийской конференции "Интеллектуализация управления в социальных и экономических системах" (Воронеж, 2002), Всероссийской конференции "Интеллектуализация управления в социальных и экономических системах" (Воронеж, 2003).

Публикации. Основное содержание диссертационной работы изложено в 8 печатных работах. В работах, опубликованных в соавторстве и приведенных в конце автореферата, лично соискателю принадлежат: в [1] применение квадратурных формул в представлении энтропии конечных схем, в [2] анализ возможности решения полученной системы уравнений.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, изложенных на 147 страницах машинописного текста, списка литературы из 124 наименований, приложения, содержит 22 рисунка, 4 табли

Заключение диссертации по теме «Математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей», Комарчук, Сергей Анатольевич

ВЫВОДЫ ЧЕТВЕРТОЙ ГЛАВЫ

1. В качестве примера работы алгоритма разложения и восстановле1 ния функций из пространства L2(R) найдено разложение функции /(/) = и сложной составной функции /(/) = tz+1

--З)2, 0</<2 2

V/+14, 2 </ <3 по всплесковому базису

-+3,8, 3</<4 /

Хаара.

2. Разработана подсистема представления пространственных данных геоинформационных систем, реализующая разработанный в третьей главе алгоритм разложения и восстановления функций из пространства L2(R) по всплесковому базису Хаара.

3. Разработанная подсистема представления пространственных данных геоинформационных систем обеспечивает высокую скорость работы и позволяет абстрагироваться от способа получения функции, описывающей пространственный объект.

4. На основе подсистемы представления пространственных данных разработан программный комплекс, реализующий определенные функции и пользовательский интерфейс, что позволяет использовать его в учебном процессе для понимания способов представления информации в ЭВМ.

5. С помощью разработанного программного комплекса вычислены вспомогательные коэффициенты /;*и в диапазоне к от -8 до 8.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате проведенной работы по разработке математического и программного обеспечения подсистемы представления пространственных данных в ГИС были получены следующие результаты.

1. На основе системного анализа современных способов представления пространственной информации в геоинформационных системах выявлена необходимость разработки новых технологий проектирования подсистемы представления пространственных данных.

2. Показана возможность представления криволинейных объектов векторных геоинформационных систем в виде функций определенного класса.

3. Разработан алгоритм быстрого разложения функций из пространства L2(R) по всплесковым базисам, позволяющий использовать любой всплеско-вый базис для решения задачи представления криволинейных объектов геоинформационных систем.

4. Разработан способ определения количества операций, осуществляемых в ходе разложения по всплесковому базису, позволяющий оценить скорость разложения.

5. Разработана процедура вычисления коэффициентов разложения функций из пространства L2(R) по всплесковому базису Хаара, обеспечивающая значительное сокращение общего числа операций за счет того, что на каждом шаге вычисляются только те числа, коэффициенты которых отличны от нуля.

6. Предложен способ представления энтропии конечных схем, интерпретирующий энтропию посредством взаимного расположения нулей и полюсов некоторой мероморфной функции специального вида.

7. Предложен критерий для оценки скорости сходимости рядов по системе многочленов с вещественными корнями к некоторой функции, представляющей криволинейный объект геоинформационных систем.

8. Основные теоретические и практические результаты работы в виде алгоритмов и процедур внедрены и используются в ОАО «ЦЧР Агропром-проект»; в виде программного комплекса внедрены в учебный процесс кафедры «Системы автоматизированного проектирования и информационные системы» Воронежского государственного технического университета для студентов специальности 071900 «Информационные системы».

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Комарчук, Сергей Анатольевич, 2003 год

1. Арутюнян Ф. Г. О рядах по системе Хаара // Докл. АН Арм. ССР. 1966, т. 42, №3, с. 134—140.

2. Агранович Ю.Я. Представление энтропии конечных схем интегралами рациональных функций // Высокие технологии в технике, медицине и образовании: Межвузовский сборник научных трудов. Воронеж: ВГТУ, 2000.-с.122-118.

3. Агранович Ю.Я., Комарчук С.А. Использование квадратурных формул для вычисления энтропии конечных схем // Тез. докл. Всероссийской конференции "Интеллектуализация управления в социальных и экономических системах". Воронеж: ВГТУ, 2002. 15с.

4. Агранович Ю.Я., Комарчук С.А. К использованию рациональных функций для вычисления энтропии конечных схем // Тез. докл. Всероссийской конференции "Интеллектуальные информационные системы". Воронеж: ВГТУ, 2001. ч.1.-с. 56-58.

5. Алексия Г. Проблемы сходимости ортогональных рядов. М.: ИЛ,1963.

6. Арутюнян Ф. Г. Представление измеримых функций почти всюду сходящимися рядами // Мат. соарн. 1973, т. 90, № 3, с. 483-520.

7. Арутюнян Ф.Г. О базисах пространств L1 (О, 1) и С (0, 1) II Мат. заметки. 1972, т. 11, № 3, с. 241—249.

8. Арутюнян Ф.Г. Представление функций кратными рядами // Докл. АН Арм. ССР. 1977, т. 64, № 2, с. 72—76.

9. Астафьева Н. М. Вейвлет-преобразования. Основные свойства и примеры применения. М.: ИКИ РАН. 1994. № 1891. 56с.

10. Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения // Успехи физических наук. 1998. т. 166, № 11. с.1145-1170.

11. Барии Н. К. Тригонометрические ряды. — М.: Физматгиз, 1961.

12. Бердышев В. И., Петрак JI. В. Аппроксимация функций. Сжатие численной информации. Приложения. Екатеринбург, 1999.

13. Берколайко М. 3., Новиков И. Я. Базисы всплесков в пространствах дифференцируемых функций анизотропной гладкости // Докл. РАН. 1992. Т. 323. №4. С. 615-618.

14. Берколайко М. 3., Новиков И. Я. Базисы всплесков и линейные операторы в анизотропных пространствах Лизоркина—Трибеля // Доклады РАН. 1995. Т. 340. № 5. С. 583-586.

15. Берколайко М. 3., Новиков И. Я. Базисы всплесков и линейные операторы в анизотропных пространствах Лизоркина—Трибеля // Труды МИ-РАН. 1995. Т. 210. С. 5-30.

16. Берколайко М. 3., Новиков И. Я. Безусловные базисы в пространствах функций анизотропной гладкости // Труды МИР АН. 1993. Т. 204. С. 3551.

17. Берколайко М. 3., Новиков И. Я. О бесконечно гладких почти-всплесках с компактным носителем // Доклады РАН. 1992. Т. 326. № 6. С.935-938.

18. Берколайко М. 3., Новиков И. Я. О бесконечно гладких почти-всплесках с компактным носителем // Матем.заметки. 1994. Т. 55. № 3. С. 312.

19. Берколайко М. 3., Новиков И. Я. Образы всплесков при действии операторов свертки // Матем.заметки. 1994. Т. 55. № 5. С. 13-24.

20. Берлянт A.M. Геоизображения и геоиконика. М.: Знание, 1990.

21. Берлянт A.M., Тикунов B.C. Геоинформационные системы. М.: Картгеоцентр-Геодезиздат, 1994.

22. Бочкарев С. В. Абсолютная сходимость рядов Фурье по полным ор-тонормированным системам // Успехи мат. наук. 1972, т. 27, № 2, с. 53—76.

23. Бочкарев С. В. Метод усреднений в теории ортогональный рядов и некоторые вопросы теории базисов//Труды МИАН. 1978, т. 146, с. 1—87.

24. Бочкарев С. В. О коэффициентах рядов Фурье по системе Хаара // Мат. сборн. 1969, т. 80, № 1, с. 97—116.

25. Вайдьянатхан П. П. Цифровые фильтры, блоки фильтров и полифазные цепи с многочастотной дискретизацией. Методический обзор // ТИИ-ЭР. 1990. №3. С. 77-120.

26. Вулих Б. 3. Введение в функциональный анализ. Физматгиз, 1958.

27. Галлагер Р. Теория информации и надежная связь. / Пер. с англ.; Под ред. Пинскера М.С. и Цыбакова Б.С. М.: Советское радио, 1974.

28. Геоинформационные системы с дистанционным потоком информации. Географическое управление народным хозяйством: Сб.ст. / МГУ им. М.В.Ломоносова. М.: Изд-во МГУ, 1990.

29. Головань С. В. О безусловной и абсолютной сходимости рядов по системам всплесков // Вестник МГУ. Сер. 1. Матем. Механ. 1996. № 2. С. 8992.

30. Голубов Б. И. Ряды Фурье по системе Хаара // Сб. «Итоги науки. Математический анализ. 1970».— М., 1971, с. 109—146.

31. Голубов Б.И. О рядах Фурье непрерывных функций по системе Хаара // Изв. АН СССР (сер. мат.). 1964, т. 28, № 6, с. 1271—1296.

32. Гюнтер Н.М. Основы математической физики. Ленинград: Центральная типография НАРКОМВОЕНМОРА, 1931. ч.2. - 176с.

33. Дай М. Нормированные линейные пространства. — М.: ИЛ, 1961.

34. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. — М.: Наука, 1977.

35. Желудев В. А. О вейвлетах на базе периодических сплайнов // Докл. РАН. 1994. № 1.С. 9-13.

36. Завадский В. Л. Нелинейная аппроксимация функций нескольких переменных с ограниченной смешанной производной посредством вейвле-тов. Препринт ИМ АНБ. Минск. 1997. № 15(538). С. 13.

37. Завадский В. Л., Блинова Е. И. Непараметрическое оценивание над 1Р эллипсоидами в 1г// Вести НАНБ. 1998. № 2.

38. Казарян К. С. О некоторых вопросах теории ортогональных рядов // Мат. сборн. 1982, т. 119, № 2, с. 278—294.

39. Качмаж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. — М.: Физ-матгиз, 1958.

40. Кашин B.C. Общие ортонормированные системы и некоторые вопросы теории приближений // Мат. Заметки. 1979, т. 26, № 2, с. 299—315.

41. Кашин Б. С., Саакян А. А. Ортогональные ряды. М.: АФЦ, 1999.

42. Кирушев В. А. Быстрый алгоритм сжатия изображений // Вестник молодых ученых. Прикл. матем. и механика. 1997. № 1. С. 4-10.

43. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1972.

44. Комарчук С.А. Использование всплесков для решения задачи разложения и восстановления функций // Оптимизация и моделирование в автоматизированных системах: Межвузовский сборник научных трудов. Воронеж: ВГТУ, 2003. С.54 -58.

45. Комарчук С.А. К использованию рациональных функций для вычисления энтропии конечных схем // Оптимизация и моделирование в автоматизированных системах: Межвузовский сборник научных трудов. Воронеж: ВГТУ, 2002.-С. 165-174.

46. Комарчук С.А. Об общем методе решения интегральных уравнений // Тез. докл. Всероссийской конференции "Интеллектуализация управления в социальных и экономических системах". Воронеж: ВГТУ, 2003. с.37-39.

47. Комарчук С.А. Общий метод решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода // Оптимизация и моделирование в автоматизированных системах: Межвузовский сборник научных трудов. Воронеж: ВГТУ, 2003.-С. 70-78.

48. Комарчук С.А. Ортонормальные разложения сигналов и гауссов шум // Прикладные задачи моделирования и оптимизации: Межвузовский сборник научных трудов. Воронеж: ВГТУ, 2002. с. 201-208.

49. Комарчук С.А. Применение геоинформационных систем в современных областях науки и промышленности // Прикладные задачи моделирования и оптимизации: Межвузовский сборник научных трудов. Воронеж: ВГТУ, 2003.-С. 24-29.

50. Коновалова Н.В., Капралов Е.Г. Введение в ГИС. М.: Изд-во "Библион", 1997.

51. Кошкарев А.В., Тикунов B.C. Геоинформатика. М.: Картгеоцентр-Геодезиздат, 1993.

52. Кравченко В. Ф., Рвачев В. A. "Wavelet"-CHCTeMbi и их применение в обработке сигналов//Зарубежная радиоэлектроника. 1996. № 4. С. 3-20.

53. Кравченко В. Ф., Рвачев В. А., Пустовойт В. И. Ортонормирован-ные системы типа "wavelet" на основе атомарных функций // Докл. РАН. 1996. № 1.С. 16-18.

54. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. М.: Наука,1967.

55. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. М.: Наука, 1974.

56. Лузин Н.Н. Sur une propriete des fonctions a carre sommable // Bull. Calcutta Math. Soc. 1930. T. 20. C. 139-154.

57. Лукашенко Т. П. Всплески на топологических группах // ДАН. 1993.Т. 332. № 1.С. 15-17.

58. Лукашенко Т. П. Всплески на топологических группах // Докл. АН. 1993. Т. 332. №1. С. 15-17.

59. Лукашенко Т. П. Всплески на топологических группах // Известия РАН. Сер. матем. 1994. Т. 58. № 3. С. 88-102.

60. Малоземов В. Н., Машарский С. М. Обобщенные вейвлетные базисы, связанные с дискретным преобразованием Виленкина—Крестенсона // Алгебра и анализ. 2001. Т. 13. №. 1. С. 111-157.

61. Малоземов В. Н., Машарский С. М. Сравнительное изучение двух вейвлетных базисов // Проблемы передачи информации. 2000. Т. 36. Вып. 2. С. 27-37.

62. Малоземов В. Н., Машарский С. М. Хааровские спектры дискретных сверток // Ж. вычисл. мат. и матем. физ. 2000. Т. 40. № 6. С. 954-960.

63. Малоземов В. Н., Певный А. Б., Третьяков А. А. Быстрое вейвлет-ное преобразование дискретных периодических сигналов и изображений // Проблемы передачи инф. 1998. Т. 34. Вып. 2. С. 77-85.

64. Малоземов В. Н., Третьяков А. А. Алгоритм Кули—Тьюки и дискретное преобразование Хаара // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 1998. Вып. 3 (№ 15). С. 31-34.

65. Малоземов В. Н., Третьяков А. А. Новый подход к алгоритму Кули—Тьюки // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 1997. Вып. 3 (№ 15). С. 57-60.

66. Малоземов В. Н., Третьяков А. А. Секционирование, ортогональность и перестановки // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 1999. Вып. 1 (№ 1). С. 16-21.

67. Машарский С. М. Свертка и корреляция дискретных сигналов в базисах Хаара—Крестенсона // Вестник молодых ученых. Прикл. матем. и механика. 2000. №. 4. С. 31-40.

68. Меньшов Д.Е. Суммирование рядов по ортогональным функциям линейными методами // Изв. АН СССР (сер. матем.). 1937, с. 203—230.

69. Мушегян Г. М. О коэффициентах всюду сходящихся рядов по некоторым переставленным ортонормированным системам // Изв. АН СССР (сер. мат.). 1978, т. 42, с. 807—832.

70. Новиков И. Я. Онделетты И. Мейера — оптимальный базис в С(0,1) // Матем.заметки. 1992. Т. 52. № 5. С. 88-92.

71. Новиков И.Я., Стечкин С.Б. Основные конструкции всплесков // Фундаментальная и прикладная математика. 1997. т.З, № 4. с.999-1028.

72. Новиков И.Я., Стечкин С.Б. Основы теории всплесков // Успехи математических наук. 1998. т.53, вып.6. с.54-128.

73. Новиков JI. В. Адаптивный вейвлет-анализ сигналов // Научное приборостроение. 1999. Т. 9. № 2.

74. Новиков JI. В. Спектральный анализ сигналов в базисе вейвлетов // Научное приборостроение. 2000. Т. 10. № 3. С. 57-64.

75. Олевский А. М. Об одной ортонормальной системе // Мат. сборн.,1966. т. 71, №3, с. 297—336.

76. Олевский А. М. Ряды Фурье и функции Лебега // Усп. мат. наук,1967. т. 22, № 2, с. 237—239.

77. Олевский A.M. О продолжении последовательности функций до полной ортонормированной системы //Мат. заметки. 1969, т. 6, с. 737-747.

78. Петухов А. П. Кратномасштабный анализ и всплеск-разложения пространств периодических распределений // Доклады РАН. 1997. Т. 356. № 2. С.303-306.

79. Петухов А. П. Периодические всплески // Математический сборник. 1997. Т. 188. № 10. С. 69-94.

80. Петухов А. П. Периодические дискретные всплески // Алгебра и Анализ. 1996. Т. 8. № 3. С. 151-183.

81. Погосян Н.Б. Об одном свойстве полных ортонормированных систем // Мат. заметки. 1975, т. 17, № 5, с. 681— 690.

82. Погосян Н.Б. Представление измеримых функций базисами Lp (0, 1) (р>2) II Докл. АН АрмССР. 1976, т. 63, № 4, с. 205-209.

83. Погосян Н.Б. Представление измеримых функций ортогональными рядами // Мат. сборн. 1975, т. 98, №1, с. 102— 112.

84. Полна Г., Cere Г. Задачи и теоремы из анализа. Ч. 2. М.: Наука,1978.

85. Скопина М. А. О нормах полиномов по системам периодических всплесков в пространствах Lp // Матем. заметки. 1996. Т. 59. № 5. С. 780-783.

86. Смирнов В.И. Курс высшей математики. М.: Наука, 1974. т.4, ч.1.336с.

87. Смирнов Н. С., Введение в теорию нелинейных интегральных уравнений. ОНТИ, 1936.

88. Справочная математическая библиотека: Функциональный анализ./ Под ред. С.Г. Крейна. М.: Наука, 1964.

89. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир, 1973. 10. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 1,2. М.: Мир, 1965.

90. Стечкин С. Б. Об абсолютной сходимости рядов Фурье // Изв. АН СССР (сер. мат.). 1956, т. 20, с. 385—412.

91. Талалян А. А. О сходимости ортогональных рядов // Докл. АН СССР. 1956, т. 110, с. 515-516.

92. Талалян А. А. Представление измеримых функций рядами // Усп. мат. наук. 1960, т. 15, № 5, с. 77—141.

93. Тикунов С.В. Географические информационные системы: сущность, структура, перспективы // Итоги науки и техники, сер. Картография. -М.: ВИНИТИ, 1991.- с. 6-80.

94. Ульянов П.Л. О рядах по системе Хаара // Мат.сборн. 1964, т. 63, №3, с. 356—391.

95. Ульянов П.Л. О некоторых свойствах рядов по системе Хаара // Мат. заметки. 1967, т. 1,№ 1, с. 17—23.

96. Халилов 3. И. Основы функционального анализа. Баку, 1949.

97. Харатишвили Н. Н. Пирамидальное кодирование. М.: Мысль, 1997.160с.

98. Цветков В.Я. Геоинформационные системы и технологии. М.: Финансы и статистика, 1998. - 288с.

99. Шилов Г. Е. Введение в теорию линейных пространств. Физмат-гиз, 1956.

100. Battle G. A block spin construction of ondelettes, Part П: QFT connection // Commun. Math. Phys. 1988. V. 114. P. 93-102.

101. Boor C. de, DeVore R., Ron A. On the construction of multivariate (pre)wavelets // Constructive Approximation. 1993. V. 9. №2-3. P. 123-166.

102. Calderon A. P. Commutators of singular integral operators // Proc. Nat. Acad. Sci. USA.1965. V. 53. P. 1092-1099.

103. Calderon A. P. Intermediate spaces and interpolation, the complex method // Studia Math. 1964. V. 24. P. 113-190.

104. Chui O.K. An Introduction to Wavelets. New York: Academic Press,1992.

105. Coifman R.R., Weiss G. Extentions of Hardy spaces and their use in analysis // Bull. Amer, Math. Soc. 1977. V. 83. P. 569-645.

106. Daubechies I. Orthonormal basis of compactly supported wavelets // Commun. Pure Appl. Math. 1988. V. 46. P. 909-996.

107. Daubechies I. Ten lectures on wavelets // CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics. V. 61. Philadelphia: SIAM, 1992.

108. Fefferman C., Stein E.M. Hp spaces of several variables // Acta Math. 1972. V. 129. P. 137-193.

109. Gabor D. Theory of communication // J. Inst. Electr. Engrg. (London). 1946. V. 93. P. 429-457.

110. Grochenig K. Analyse multiechelle et bases d'ondelettes // C. R. Acad. Sci. Paris. Ser. I. 1987. V. 305, P. 13-17.

111. Grossman A., Morlet J. Decomposition of Hardy functions into square integrable wavelets of constant shape // SIAM J. Math. Anal. 1984. V. 15. P. 723736.

112. Haar A. Zur theorie der orthogonalen fiinctionensysteme // Math. Ann. 1910. V. 69. P. 331-371.

113. Haar A. Zur Theorie der orthogonalen Functionen-systeme // Math. Annalen. 1910, Bd. 69, S. 331—371.

114. John F., Nirenberg L. On functions of bounded mean oscillation // Comm. Pure Appl. Math. 1961, v. 14, p. 415—426.

115. Lemarie P.G. Ondelettes a localisation cxponentielle // J. Math. PuresAppl. 1988. V. 67. №3. P. 227-236.

116. Mallat S. Multiresolution approximation and wavelets // Trans. Amer. Math. Soc. 1989. V. 315. P. 69-88.

117. Meyer Y. Principe d'incertitude, bases hilbertiennes et algebres d'oper-ateurs // Semin. Bourbaki. 1985-86. №662.

118. Meyer Y. Ondelettes et operateurs. Paris: Hermann, 1990.

119. Mintzer F. Filters for distortion-free two-band multirate filter banks // IEEE Trans. Acoust. Speech Signal Process. 1985. V. 33. P. 626-630.

120. Schoenberg I. J. Contributions to the problem of approximation of equidistant data by analytic functions. Parts А, В // Quart. Appl. Math. 1946. V. 4. P. 45-99, 112-141.

121. Smith M.J.T., Barnwell T.P. Exact reconstruction techniques for tree-structured subband coders // IEEE Trans. Acoust. Speech Signal Process. 1986. V. 34. P. 434-441.

122. Stromberg J. O. A modified Franklin system and higher order spline systems on Rn as unconditional bases for Hardy spaces // Conf. in honor of A. Zyg-mund, Vol. II. Belmont, CA: Wadsworth, 1983. P. 475-493.

123. Vetterli M. Filter banks allowing perfect reconstruction // Signal Process. 1986. V. 10. P. 219-244.

124. Whittaker J.T. Interpolatory function theory. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1935.