Разработка метода расчета нелинейных мил второго порядка, обусловленных суммой и разностью частот, возникающих при качке судна на волнении тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.08.01, кандидат наук Киав Тхура

• Киав Тхура
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Киав Тхура

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ОБЗОР РАБОТ, ПОСВЯЩЕННЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЮ НЕЛИНЕЙНЫХ СИЛ, ОБУСЛОВЛЕННЫХ СУММОЙ И РАЗНОСТЬЮ ЧАСТОТ

ГЛАВА 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ СИЛ И МОМЕНТОВ ВТОРОГО ПОРЯДКА, ОБУСЛОВЛЕННЫХ СУММОЙ И РАЗНОСТЬЮ ЧАСТОТ

2.1 Постановка плоской гидродинамической задачи

2.2 Описание расчетного метода определения нелинейных сил

2.2.1 Решение задачи первого порядка

2.2.2 Решение задачи второго порядка

ГЛАВА 3. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ РАСЧЕТОВ НЕЛИНЕЙНЫХ СИЛ ВТОРОГО ПОРЯДКА, ОБУСЛОВЛЕННЫХ РАЗНОСТЬЮ И СУММОЙ ЧАСТОТ

3.1 Апробация результатов расчетов

3.2 Влияние отношения ^Ь на нелинейные силы, обусловленные разностью частот

3.3. Влияние коэффициента полноты на нелинейные силы, обусловленные разностью частот

3.4. Влияние отношения ^Ьш нелинейные силы, обусловленные суммой частот

3.5 Влияние коэффициента полноты на нелинейные силы, обусловленные суммой частот

3.6 Влияние нелинейных граничных условий и потенциала второго порядка в образовании нелинейных сил , обусловленных разностью и суммой частот

ГЛАВА 4. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ РАСЧЕТОВ НЕЛИНЕЙНЫХ СИЛ, ОБУСЛОВЛЕННЫХ СУММОЙ И РАЗНОСТЬЮ ЧАСТОТ, ДЕСТВУЮЩИХ НА СУДНО ПРИ КАЧКЕ НА БИХРОМАТИЧЕСКОМ ВОЛНЕНИИ

4.1 Анализ результатов расчетов нелинейных сил и амплитуд качки, обусловленных суммой частот

4.2 Анализ результатов расчетов нелинейных сил и амплитуд качки, обусловленных разностью частот

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Л И Т Е Р А Т У Р А

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка метода расчета нелинейных мил второго порядка, обусловленных суммой и разностью частот, возникающих при качке судна на волнении»

ВВЕДЕНИЕ

Уточнение структуры дифференциальных уравнений качки судна и повышение точности расчетов его кинематических характеристик возможно только при учете нелинейных гидродинамических сил высших порядков малости, значительное влияние которых доказано как опытом эксплуатации , так и многочисленными экспериментальными исследованиями.

В условиях реального волнения, носящего нерегулярный случайный характер , нелинейные силы второго порядка будут определяться не только как функции удвоенных значений частот, но и как функции суммы двух частот и их разности. Нелинейные силы, обусловленные разностью частот, несмотря на небольшую величину по сравнению с силами первого порядка, способны вызывать длиннопериодные колебания систем заякорения и других средств океанотехники вследствие малых значений коэффициентов демпфирования со стороны жидкости при низких частотах. Силы, определяемые суммой двух частот, влияют на возникновение высокочастотных колебаний и приводят к появлению усталостных напряжений плавающего объекта. Теоретически доказано, что возникновение данных нелинейных сил в условиях бихроматического волнения приводит к значительным амплитудам колебаний объекта.

Все выше изложенное свидетельствует о том, что разработка нового метода , позволяющего определять нелинейные силы второго порядка, обусловленные суммой и разностью частот при качке судна на бихроматическом волнении является актуальной проблемой, обладает научной новизной и практической ценностью, которая заключается в возможности расчета полной нелинейной силы при качке судна в условиях нерегулярного волнения.

В большинстве существующих зарубежных методик определение данных нелинейных сил проводится либо вовсе без учета потенциала второго порядка, либо с его приближенным учетом. Однако, успешное решение данной задачи сопровождается особыми вычислительными трудностями.

Данные трудности обусловлены необходимостью правильного и корректного учета нелинейного граничного условия на свободной поверхности , которое носит осциллирующий характер. До настоящего времени указанная проблема заставляет отказаться от трехмерных методов и решать данную задачу в двумерной постановке.

В связи с вышеизложенным, целью настоящей диссертационной работы является разработка методов и соответствующих программ расчета нелинейных сил второго порядка , обусловленных суммой и разностью частот возникающих при колебаниях судна на бихроматическом волнении и определение соответствующих амплитуд качки. Для достижения данной цели требуется решение следующих задач:

• Анализ существующих методов определения нелинейных сил второго порядка , обусловленных суммой и разностью частот и возникающих при качке судна;

• Постановка и решение нелинейной плоской задачи о поперечной качке контура на бихроматическом волнении в бесконечно глубокой жидкости с учетом нелинейных граничных условий на свободной поверхности жидкости и на контуре; разработка на основании метода малого параметра и модифицированного метода интегральных уравнений метода расчета нелинейных сил, обусловленных суммой и разностью частот;

• Проведение сравнительных и систематических расчетов нелинейных сил, действующих на различные контура; исследование влияния геометрических параметров контура и нелинейных граничных условий на данные силы ;

• Разработка методик расчета качки судна с учетом нелинейных сил, обусловленных суммой и разностью частот и оценка соответствующих амплитуд;

• Исследование влияния различных сочетаний частот бихроматического волнения, на амплитуды качки второго порядка для различных типов судов.

Методической и теоретической основой для исследования послужили методы гидродинамической теории нелинейной качки, методы вычислительной математики и прикладного программирования.

Научная новизна :

1. Разработан расчетный метод для определения нелинейных сил, обусловленных суммой и разностью частот и возникающих при качке шпангоутного контура на бихроматическом волнении с учетом нелинейных граничных условий на свободной поверхности жидкости и на контуре ;

2. Впервые проведено исследование влияние геометрических параметров шпангоутных контуров на различные категории нелинейных сил и моментов ;

3. Предложен алгоритм расчета качки судна на бихроматическом волнении с учетом нелинейных сил, обусловленных суммой и разностью частот.

4. Проведено систематическое исследование влияния нелинейных сил, обусловленных суммой и разностью на соответствующие амплитуды качки .

Достоверность выводов, полученных в настоящей работе, подтверждается обоснованностью допущений и математическими выкладками, результатами экспериментальных исследований и сравнением с результатами других авторов.

Практическая ценность настоящей диссертации заключается в следующем:

■ Разработка методов расчета и соответствующих программ для определения нелинейных периодических сил, обусловленных суммой и разностью частот, возникающих при колебаниях контура на бихроматическом волнении в жидкости бесконечной глубины;

■ Разработка методик и программ для расчета амплитуд поперечной качки судна с учетом нелинейных сил второго порядка, обусловленных суммой и разностью частот .

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав , заключения и списка литературы.

Во введении рассматриваются актуальность и новизна поставленной задачи.

В первой главе проводится обзор зарубежных и отечественных работ, посвященных методам вычисления нелинейных сил второго порядка, обусловленных суммой и разностью частот , воздействующих на плавающие объекты в условиях бихроматического волнения. Определяются цели настоящей работы.

Во второй главе формулируется и решается плоская нелинейная задача о колебаниях плоского шпангоутного контура на бихроматическом волнении в жидкости бесконечной глубины с учетом нелинейных граничных условий. Рассматривается описание численного метода решения.

В третьей главе проводится апробация результатов, полученных при использовании разработанного автором метода и соответствующей программы, а также систематическое исследование влияния геометрических параметров контуров и нелинейных граничных условий на различные категории нелинейных сил, обусловленных суммой и разностью частот.

В четвертой главе изложен анализ результатов расчетов качки судна на

бихроматическом волнении с учетом нелинейных сил второго порядка,

обусловленных суммой и разностью частот. Проводится оценка влияния

различных сочетаний частот волнения на суммарные нелинейные силы и на

7

амплитуды различных видовпоперечной качки на примере разных типов судов, исследование влияния потенциалов набегающего волнения второго порядка в образовании нелинейных сил.

В заключении приводятся основные результаты и выводы по всей работе.

Основные результаты, выносимые на защиту:

1. Метод расчета нелинейных сил, обусловленных суммой и разностью частот, действующих при колебаниях шпангоутного контура на бихроматическом волнении.

2. Результаты исследования влияния геометрических параметров контуров, граничных условий на нелинейные силы различных категорий.

3. Методики и анализ результатов расчетов качки судна на бихроматическом волнении с учетом нелинейных сил, обусловленных суммой и разностью частот.

ГЛАВА 1. ОБЗОР РАБОТ, ПОСВЯЩЕННЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЮ НЕЛИНЕЙНЫХ СИЛ, ОБУСЛОВЛЕННЫХ СУММОЙ И РАЗНОСТЬЮ ЧАСТОТ.

Для определения поведения плавучего объекта в условиях нерегулярного волнения используется понятие амплитудной характеристики, которая характеризует динамические свойства системы . В анализе сил и перемещений второго порядка, волнение представляется совокупностью отдельных гармоник. Тогда возвышение волны определяется как [4]

N

= £C(1)cos(^ + 8t) (1.1)

i=1

В случае бихроматического волнения N=2 и определение полной нелинейной силы второго порядка производится согласно следующему выражению[5],[50]

F(2) (t) = С(1)2 FC2) К) + С2(1)2 FC2) (к2) + Re fc1)2 F(2) (К )e "2К +

2 Ч (1.2)

+ С2(1)2 F(2) (2к2)е"2К + 2^1(1)С21) F(2) К, к2 )e "Í(K + 2^%(1) F+(2) К , к2 )e "Í(K}

где f(c){ki) -силы волнового дрейфа, F(2)(2к ) -нелинейные силы второго

порядка, обусловленные удвоенным значением частоты регулярного волнения, F+(2)Kk2) -нелинейная сила, изменяющаяся с частотой, равной сумме wj+w2 и влияющая на возникновение высокочастотных колебаний объекта, F(2)Kk2) -нелинейная сила, изменяющаяся с частотой, равной разности частот w¡-w2 и вызывающая низкочастотные колебания объектов.

Определению сил волнового дрейфа и нелинейных сил F (2)(2к ) было

посвящено большое количество работ и к настоящему времени данная задача считается решенной . Методы расчета нелинейных сил , обусловленных удвоенным значением частоты и сил волнового дрейфа были изложены в работах Lee [35], Potash [47], Papanikolao [45],[43],[44], Kyozuka[30], [31],[32],[33], Семеновой В.Ю. [8],[9] для случая бесконечно-глубокой

жидкости и в работе Со Чжо Ту [11] для случая жидкости ограниченной

9

глубины. Для расчета нелинейных сил F (2)(2at) сформировалось два метода:

метод интегральных уравнений, использованный в работах Potash [47], Papanikolao [45],[43],[44] и др. и комбинированный метод, основанный на использовании конформных отображений плоских контуров и методе гидродинамических особенностей [35], [9].

Сложность определения нелинейных сил F(2)(a»1,®2) и F(2)(m1,m2) ,

обусловленных разностью и суммой частот связана в первую очередь с необходимостью учета нелинейных граничных условий на свободной поверхности жидкости и на смоченной поверхности объекта и определении потенциалов второго порядка малости при произвольном сочетании частот ©1 и ©2. Трудность учета нелинейного граничного условия на свободной поверхности жидкости обусловлена его осциллирующим характером на бесконечном удалении от объекта. Громоздкие расчетные схемы определения сил F(2)(^1,®2) и F<(2)(ml,m2) в конце 20 века заставляли искать пути их

упрощения.

В работе Faltinsen и Loken [21] решена задача по определению потенциала второго порядка для цилиндра, расположенного лагом к волне. Пренебрегая влиянием на этот потенциал перемещений второго порядка малости, авторы разработали расчетную схему, учитывающую влияние этого потенциала на составляющие квадратичной амплитудной характеристики (КАХ) низкочастотной силы F (22. Результаты их расчетов , приведенные в [19] позволили заключить , что в области частот, когда значения ш1 близки к значениям © , влияние потенциала второго порядка на КАХ несущественно . Однако при больших различиях между частотами, когда частота изменения нелинейных сил ш1-ш2 далека от достаточно низких собственных частот комплекса плавающий объект-система заякорения, добавка от потенциала второго порядка может иметь порядок самой квадратичной амплитудной характеристики.

Результаты расчетов КАХ нелинейных сил, обусловленных разностью и суммой частот при различных сочетаниях wi и wy представляют собой матрицы значений Ту. и Tij+, главные диагонали которых образованы значениями сил при равенстве частот wi и wy, т.е. силами волнового дрейфа для матрицы Ту. и силами F(2)(2сг) для матрицы Tij+.

В 1974 г. Newman [41] было высказано предположение , что изменяющаяся с достаточно малой частотой ^ = Ц - су | нелинейная сила

должна определяться теми членами матрицы Ту., которые находятся на весьма близком расстоянии от ее главной диагонали. Причем в силу непрерывности квадратичной передаточной функции и ее производных от частот wi и Wy имеет место равенство :

Ту.= j (О)

Поэтому нелинейные силы F(2)(c,c2) , обусловленные разностью частот, могут быть заменены постоянными силами волнового дрейфа.

Применительно к условиям нерегулярного волнения, заданного суммой гармоник Newman выполнил сопоставление реализации точного выражения второго порядка с его аппроксимацией, когда в матрице КАХ была сделана замена (1.3). Позднее Faltinsenn Loren [19] на основе детальных расчетов всех составляющих нелинейных сил для четырех цилиндров, расположенных лагом к волнению, проверили правомерность гипотезы Newman. Близкое по задачам исследование выполнено Arai [3], который пренебрег учетом влияния потенциала второго порядка. Результаты всех трех работ позволили сделать важный в практическом отношении вывод о том, что с достаточной

для инженерных расчетов точностью величины Ту. могут быть заменены на

T

1И-.

Работа Pinkster [46] посвящена определению нелинейных сил F(2)(cx,c2) , действующих на трехмерные объекты. Для учета потенциала

второго порядка Pinkster использует допущение о том, что основной вклад в образование нелинейных сил, обусловленных разностью частот, вносит потенциал набегающего волнения второго порядка , который для случая жидкости ограниченной глубины и бихроматического волнения имеет следующий вид

* ~--±Ъ?<?а. & * sbfe - К*-..-,(1.4)

, где амплитудное значение A, определяется согласно работе [46].

В работе Pinkster используется аппроксимация нелинейного давления второго порядка, позволяющая определить его более простым способом [46]

, ^^ч .)¿Xii)] е.»)

Составляющие нелинейной силы F(2)(.,.2), обусловленные влиянием

отдельных видов качки, взаимодействием дифрагированного волнения и вынужденного от каждого вида качки, в работе Pinkster не учитываются. В работе приведены результаты расчетов квадратичной амплитудной характеристики продольной нелинейной силы , действующей на полупогружную установку в сравнении с экспериментальными данными. (пунктирная линия на рис.1.1) и с расчетами , выполненными без учета влияния потенциала Из результатов , представленных на рис.1.1 видно, что не учет потенциала второго порядка в области частот ю<0.8 приводит к значительному занижению значений нелинейной силы. В зоне ю>0.8 расчеты, выполненные без учета практически совпадают с расчетами,

учитывающими влияние данного потенциала. Между тем,

экспериментальные данные в области частот 0.75<ю< 1 значительно превышают результаты расчета и явно свидетельствуют о влиянии различных видов качки на значения нелинейных сил.

- COMPUTED (TOTAL) ---— FROM CBS (TOTAL) --COMPUTED WITHOUT ф IDt - GJ2 - O.I rad.secr1 J \

1 1 1 1 t s f i J /

]/ Д 11 I 1 r*

У\ ^ ч_____^ Л /

О.5 1 О

t Шз , 1

uj = -——----*— in rad.sec.-

Рис.1.1 Нелинейные продольные силы, обусловленные разностью частот, действующие на полупогружную установку.

Также Pinkster получены результаты расчетов нелинейных сил для кругового цилиндра, расположенного под свободной поверхностью лагом к набегающим волнам. Для данного объекта имеют место нулевые значения квадратичной передаточной функции на главной диагонали и ненулевые в не ее. Этот результат показывает, что в рамках принятого Newman подхода к вычислению нелинейных сил, обусловленных разностью частот, могут встречаться объекты , для которых отсутствие средних значений этих сил не означает отсутствия их периодических составляющих и для которых целесообразно знание всей матрицы значений Tj_.

В работе Kyozuka [34] решена задача определения нелинейных сил, обусловленных суммой и разностью частот и возникающих при дифракции бихроматического волнения от неподвижного круглого контура в условиях бесконечно глубокой жидкости. В целях упрощения решения граничной задачи, связанной с необходимостью расчета потенциала второго порядка, обусловленного влиянием нелинейного граничного условия на свободной поверхности жидкости , Kyozuka предлагается следующий подход, основанный на введении дополнительного потенциала фкк

rs

Fk) = -¡^^(F)nkds = -J j>(F) — ФКRds = J qj± (x^Rdx, (1.6)

д

где —фК = пк, q1± (х) -граничные условия на свободной поверхности.

дп 7

Для вычисления функций q]± (х) Kyozuka использует асимптотические

выражения, полученные с помощью функции Кочина [34]. В работе приведены результаты расчета нелинейных горизонтальных и вертикальных сил, действующих на круглый контур при К1Ь=1 и изменении К2Ь от 0 до 1. Также приведены картины распределения нелинейных сил, обусловленных суммой и разностью частот при изменении волновых чисел К1 и К2 от 0 до 1.6. Из результатов, приведенных на рис.1.2 видно, что значения как горизонтальных так и вертикальных нелинейных сил, полученных при произвольном сочетании частот и ю2 могут существенно отличаться от значений данных сил на главной диагонали.

к, к,

Рис.1.2 Распределения значений нелинейных горизонтальных сил, обусловленных разностью частот и нелинейных вертикальных сил, обусловленных суммой частот для круглого контура , полученные Куо2ика.

Приведенные распределения нелинейных сил, показывают что

F(2)(ю1,ю2) = F(2)(ю2,ю1) и F}2)(a1,a2) = F}2)(a2,a1) . Следовательно, при

выполнении расчетов на нерегулярном волнении нет необходимости рассчитывать всю матрицу сил. Достаточно определить ее верхнюю или нижнюю треугольную часть. Основной недостаток работы Kyozuka заключается в отсутствии учета влияния колебаний контура. Кроме этого, действие нелинейных сил рассмотрено только на круглый контур.

В работе Yoshida [54] рассмотрено определение нелинейных сил, обусловленных разностью частот, действующих на неподвижный объект произвольной формы на бихроматическом волнении в условиях жидкости ограниченной глубины. Решение дифракционной задачи второго порядка основано на использовании гибридного типа метода граничных интегральных уравнений. Основной заслугой применения данного метода является возможность использования аналитического выражения для потенциала второго порядка, полученного автором при расчете граничного условия на свободной поверхности жидкости. Расчеты нелинейных вертикальных и горизонтальных сил, действующих на круглый цилиндр выполнены с учетом потенциала второго порядка и без него. Показано значительное влияние данного потенциала на обе силы в зоне значений h/X< 0.25. Между тем, полученные зависимости значений нелинейных горизонтальных и вертикальных сил носят осциллирующий характер, не подтверждаемый экспериментальными результатами. Подобные результаты свидетельствуют о том, что учет нелинейного граничного условия на свободной поверхности жидкости выполнен авторами некорректно в части устранения его осцилляции на бесконечном удалении от контура.

В работе Herfjord и Nielsen [25] рассмотрен метод определения нелинейных сил, обусловленных суммой и разницей частот, действующих на вертикальный неподвижный круглый цилиндр . Нелинейные силы, действующие на вертикальный цилиндр представлены в виде суммы четырех составляющих : первая составляющая обусловлена изменением смоченной поверхности вблизи точки пересечения цилиндра и свободной поверхности, вторая - квадратичным членом интеграла Лагранжа-Коши, третья-потенциалом набегающего волнения второго порядка и четвертая-дифрагированным потенциалом второго порядка. Далее, на основе результатов, полученных Chakrabarti [15] делается вывод о возможности не учета третьей и четвертой составляющих нелинейных сил для удлиненных

цилиндров у которых h/a>5 . Таким образом, нелинейные силы могут быть определены исключительно на основании решения линейной потенциальной задачи. В работе приведены результаты расчетов нелинейных сил, обусловленных суммой и разностью частот, действующих на цилиндр при изменении безразмерных волновых чисел k1a и k2a от 0.5 до 5. Отдельно приведены результаты расчетов нелинейных сил, обусловленных влиянием изменения смоченной поверхности вблизи точки пересечения цилиндра и свободной поверхности жидкости и квадратичным членом. Сравнение полученных значений позволило Herfjord и Nielsen сделать следующие важные выводы [25]:

• Нелинейные силы, обусловленные суммой частот в 2.5-3 раза больше соответствующих нелинейных сил, обусловленных разностью.

• Полная нелинейная сила, обусловленная суммой частот может быть представлена как сумма нелинейных сил , обусловленных квадратичным членом и членом, связанным с изменением смоченной поверхности вблизи точки пересечения;

• Полная нелинейная сила , обусловленная разностью частот, наоборот, может быть представлена как разность между силой, обусловленной изменением смоченной поверхности и силой , обусловленной влиянием квадратичного члена;

• Наибольший вклад в образование нелинейных сил, обусловленных как суммой так и разностью частот вносит составляющая, обусловленная изменением смоченной поверхности вблизи точки пересечения со свободной.

В работе Herfjord и Nielsen также рассчитаны спектры нелинейных сил, обусловленных суммой и разностью частот. Данные спектры приведены в сравнении со спектром сил первого порядка и получены на основании использования спектра нерегулярного волнения Пирсона-Московитца. Сравнения спектров нелинейных сил,

обусловленных суммой частот и спектра сил первого порядка приведены для различных сочетаний высот волн и периодов. Во всех случаях в диапазоне частот ю> 1.5 спектр нелинейных сил становится соизмерим со спектром линейных сил [25].

В работе Faltinsen и Zhao [20] решена двумерная задача о длиннопериодных колебаниях заякоренного объекта на нерегулярном волнении. В работе предлагается метод расчета нелинейных сил, обусловленных разностью частот, основанный на использовании выражений Хаскинда, позволяющим избежать непосредственного вычисления потенциала второго порядка, обусловленного влиянием граничного условия на свободной поверхности . Аналогичный прием был использован в рассмотренной ранее работе Kyozuka. В работе приведены таблицы расчетов нелинейных сил F(2)(®1,®2), действующих на круглый ,

прямоугольный цилиндры и цилиндр формы Льюиса . Нелинейные силы рассчитывались с учетом и без учета потенциала второго порядка. Показано значительное влияние потенциала второго порядка, не учет которого приводит к значительным погрешностям. При ок Faltinsen и

Zhao получены ассимтотические формулы для действительной и мнимой части нелинейных сил :

FC jk__

s =рё

CO CO.

1 _ j k j

2 2 COj + COk Oj + Ok

cos(kj _ kk )b /2 " _ sin{k _ kk )b /2

(1.7)

Расчеты , выполненные авторами по предложенным асимптотическим формулам были сопоставлены с расчетами по разработанному методу и показали хорошее согласование результатов между собой. Расчеты нелинейных сил в рассматриваемой работе выполнялись для различных количеств расчетных точек контура. Показано, что точность вычисления нелинейных сил зависит прежде всего от точности расчета потенциала первого порядка и возрастает при увеличении количества расчетных точек.

В работе Lee[37] рассматривается метод расчета нелинейных сил, обусловленных суммой и разностью частот, основанный на использовании подхода, предложенного Molin [38] и позволяющего избежать решения граничной задачи для определения потенциала второго порядка . Силы второго порядка определяется в работе Lee следующим образом :

где ф]; потенциал набегающего волнения второго порядка, у-вспомогательный потенциал, qF - граничное условие на свободной поверхности.

Для расчета второго интеграла по свободной поверхности (1.8) в работе Lee предлагается разбить свободную поверхность на две зоны: внутреннюю, представляющую собой круг радиуса b вокруг объекта и внешнюю, расположенную за этим кругом. Для вычисления интеграла во внутренней зоне, свободная поверхность разбивается на множество прямоугольных панелей, что позволяет рассчитать интеграл с помощью квадратур. Во внешней зоне , вспомогательный потенциал и потенциалы первого порядка представляются в виде рядов Фурье . В результате данных

преобразований интеграл принимает вид jC¡ (k , r)Cm (k., r)Cn (k., r)rdr , где

функции Cl, Cm и Cn представляют собой функции Ганкеля первого и второго порядков и функцию Бесселя первого порядка. Подынтегральные функции представляют собой сильно осциллирующие функции. Поэтому вычисление интеграла во внешней зоне сопряжено со значительными трудностями и требует применения специальных методик. В этих целях в работе Lee используется метод квадратур Ромберга. На основании разработанного метода авторы провели расчеты нелинейных сил, обусловленных суммой частот, действующих на вертикальный цилиндр и платформу TLP. На рис.1.3 приведены результаты расчетов вертикальной силы и дифферентующего

(1.8)

момента [37]. Здесь же приведены расчеты составляющих силы и момента, обусловленных влиянием потенциала второго порядка и квадратичного члена Лагранжа-Коши. Полученные Lee результаты показывают что потенциалы второго порядка вносят основное влияние в образовании нелинейных сил и моментов, обусловленных суммой частот. Доля, приходящаяся на квадратичный член ничтожно мала.

Рис.1.3 Результаты расчетов вертикальной силы и дифферентующего момента, обусловленных суммой частот и действующих на платформу TLP, полученные Lee .

Похожая методика при определении интеграла по свободной поверхности применена в работе Kim[28] для определения нелинейных сил, обусловленных суммой частот. Однако, в отличие от предыдущей работы, Kim[29] для определения потенциалов второго порядка использует метод граничных интегральных уравнений. Таким образом, определение потенциалов происходит на основании решения следующей системы уравнений :

2ф (x) + \\ф++ (x')

,лдО + (x, x')

dn

ds = -

■ffдфф (X')G + (x, x ')ds + - ff Q+ (x ')G + (x, x')ds (1.9) S1 dn g {J J

Для расчета интеграла по свободной поверхности во внутренней зоне Kim предлагается специальная процедура, устраняющая сингулярность функции Грина и ее производных в точке пересечения смоченной поверхности тела со свободной поверхностью жидкости. Для вычисления интеграла во внешней зоне функция Грина и все потенциалы представляют в

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Киав Тхура, 2019 год

- Л°1 -

( дфф\) дф£) дфф\) дф

02Ш +

VV

2

+ -

.( 1 ) дф( 1 ) 2 1 ^Гз4

дщ дщ эд эд

+

+-

+■

Эф?1 ) дф(21) , дфз(11 ) дф(2

( )

дщ дщ эд эд

у

сощ

Я 2

дщ

_ дфз!) дфз(1) ^ 1

~ 1 + 0 щ

Я1

Эщ

2

°1 дя

дфф1 > А дф((21 ЛЛЛ

дд

■ + °2д,

2Я

эд

(уСУ + zdz)

+

ууу

+ ЛМ <32)

(2.107)

1

Ь

Ь

1

F(2) _ ne-j(®l+m2)t г

1 H 23+ = p J

-b

- j(ml + m2

(2)

W

+ — 2

l Г—V(l1) —v

(1) 32

, —vT —Ф3(2),

—л —л —С —С

+

—Ф« —Ф22) , —ф3(;) —ф2(() ï

+

—л —л —С —С

+

+

g2

—л

+ ВД

—V

(1) 32

—л

+

2

g2

—С

—С

dy + AFH

(2) H23+

ууу

1

M22+ =—pe

-j (ml+m2 )t

— j(ml +С2)Ф2(32+) +1

' —Ф2(!) —ф32-) , —Ф2(!) —ф™

vv

—л —л —С —С

+

+ ф Ф.+ dV3(l1) —V

(1) (1) 22

1

+ — 2

—л —л —С —С

(1)

+

—V! —V

cVg 2^^ +СЛ gl 3

(1) '32

—л

—л

1

+ — 2

—V

(1)

—С

■ + С2<С

—V

^ gl

—С

(ydy + zdz)

+

JJ

+ AM( 2)

-Т LJÍLVA 23+

(2.109)

где

AF(2) = —2R ;

A h 23 ^ 23 '

AF(2) = —2 R ;

A h 23+ ^ 23+ '

AM23_ = 2bR(3_ -dz I (b,o) AM 23+ = 2bR(3+ -dzi (b,o)

R23_ — pg 2 e

j С —)/

• J m Ф£ (b,o)+Cl Vl (b,0)m V2 (b,0)+

gg

v gl g

+m V31) (b,o)m V2 (b,o)-£ 2J m Vl (b,0)

g g g

. с,

R23+—pg ; e J (c;+m)t

-Сgl• J ^V! (b,o)-m-V2(!) (b,o)m^v41) (b,o)-

m

m

gg л

m

g

- m v; (b,o)mL V« (b,o) - Сg 2 j m V2(!) (b,o)

g g g j

(2.110)

F( 2 ) = ne

1 H 34 n

-J (»1 -»2)t

- J (Ю - Ю2)ф3(42))

+

1 f дФз(1 )

2

( ) 42

дфз1 ) Ф v _л _Л

, дФз( î ) дФ2 ,

,( 1 )

42

д; д;

+

дф™ дфз21) , дф4 î ) дфз

д л д л

f —(

- ю.в л

> 1 2

vv

+

д; д;

^ дф4

( )

g2

д;

+ »2;g

дф

( ) 42

2g

дфз( î ) ^ дФз( î ) Л

д;

J дФ321

+ Ю2в| лф

; дфз21

д; J

Yñ

dz

JJJ

P (ю1 _ю2>

+ — e 2

J (»l в2ФФî ) + »2в Фз2) )dy + AFt

( 2 ) ,

H 34 3

ъ

M 32 =-pe

-J (Ю-Ю2)'

- J (»î - »2 )^3(42) + 1

f дфф) дф42) , дф3 î) дф

2

( 1 ) ял( 1 )

+

_л _л д; д;

+

к( 1 ) ЯЛ( 1 Л

, дФ-41 ) дфз21 ) , дФ4î ) дфз2

_л _л д; д;

2

дф

( )

g2

д;

■+Ю2;

2g

дФиОл д;

coß2 V v

л дФз î ) ; дФз i

д; _л

f 1 ) ЯД( 1

+ юв

л дФз2)

д;

(zdz + ydy )+ ДМ32) ;

(2.112)

FHH23)4+ = pe- (Ю1+Юз > J - J (»1

-ъУ

+ »з )фз(з+ + 2

/дФз(1) дф4(з) , дФз(1) дФ4(1)

42

_л _Л д; д;

+

+

дФ4? дф32) ф \l(œc

2 1 ■

_л _Л д; д;

дФ(1) дФ(1) ^ дф41 + дф

g2 »2; gl

42

д;

д;

+

1

+ —

2

л

дф

(i)

V v

д;

'31 _; дф31

(1) Л

+ »2в1

л

дфз(2) _ ^ дФз(2)

д;

dz

JJJ

(2.113)

+ p e-J (®i+®2> 2

ъ

J (ûew?! + w2ex Ф32) +;

+

M34+ = -pe-J(i+»з > J f-J(»i +»2 Ы4'+-2 í Ф Ф+Ф Ф

J 2 _л _л д; д;

дфф

+

1

+ — 2

_л _Л д; д;

дф3! ^ дф3(

+

1

со1вз

V v

д;

2

V

+ »2eL

дФ4(11) ^ g 2^ + »2;g1

4(1) Л

42

л

д; "81 д; дФз(2) дФз(2)Л'Л

+

д;

(zdz + ydy )+ДМ 34+;

JJJ

(2.114)

где

AF(2) = -2R •

Д H34 34 5

\F(2) = -2R ;

Д H34+ ^ 34+ 5

ДМ34) = 2ЪRз4

ДМ 34+ = 2ЪRз4+

dy

dz ;

dy '

dz

ъ

1

ъ

R34 =pg~e

-J ( С. ®2 ) t

гв, • J m Ф2 (b,0)+ÇgJ m (b,0)+ClФз(1) (b,o)m(b,o) g g g g

+

m

vs»(b,o)mФз)(b,o)-гв2/ "Lф(1)(ь,0)-с j mФ4(1)(b,o)+Сglbв2 +с(be, g g g g

J

R34+ =pg1 e

-J (С+т^

2

- г в, • j m Фз(() (ь,0)-с*/' m V? (b,o)-mi Фза1 (b,o)m( Ф42 (b,o)-

g

g

m, g

g

-m Ф((1) (b,0)m( Фз(() (b,o)- bej m Фз(1) (b,o)-Сg 2jm Vl (b,o)+Сgîbв2 + Сg 2ьв, g g g g

л

(2.115)

F( 2 ) —-pe

V 24 — ^^

-j(ml-m2 )t

J(- J (m -т2)ф2(42_

+

l г—V2(;) —V42) , —v(;) —v

2

7(1)

+

—л —л —С —С

+

+

—V4(;) —v-) , —V4(;) —v

+

Г(1)>

22

—л —л —С —С у

А о j(l) яХ(1)Л

—V

g2

v

—л

■41 , —V42

41 ^^(Лgl —

—л

J

m в

а

л

v —С

—V2(;) С—У2(;)Л —л

+

(2.116)

+ m в

л я^о)

л

—Ф'

—С

-С

—Ф

(1) 22

— Л

dy

_p e~L (ml—m2)t

2

/(сДе™ + т2в;ф221) )dz + AFv

(2 ) ; V 24_

FV 24- — p

-L (m, +

'—фЦ —Ф4(2) , —Ф2(1) —Ф4(1)

1

J(- j (m, +m2 )V2(42+ + ( ф ф + V ф +

—л —л —С —С

+

—Ф4(1) дф22) , —Ф4(1) дФ22) л

+

+

i

+— 2

—л —л —С —С

J

m

Ля 2

—V

41

v

—л