Разработка метода решения задач распространения и взаимодействия акустических волн в средах с изменяющейся скоростью звука тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.06, кандидат физико-математических наук Пашков, Геннадий Геннадьевич

• Пашков, Геннадий Геннадьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Пашков, Геннадий Геннадьевич

1. МЕТОД РЕШЕНИЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ В 10 СРЕДЕ С ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ СКОРОСТЬЮ ЗВУКА

1.1 ПОЛЕ СКОРОСТИ ЗВУКА В ОКЕАНЕ И ПАРАМЕТРЫ, 10 ВЛИЯЮЩИЕ НА ИЗМЕНЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА. КРАТКИЙ ОБЗОР.

1.2 ОБ ОДНОМ РЕШЕНИИ НЕОДНОРОДНОГО 19 ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ.

1.3 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ КОМПЛЕКСНОЙ ФАЗЫ 26 МЕТОДОМ 1 ГЛАВЫ

1.4 АНАЛИЗ ИЗМЕНЕНИЯ ФАЗЫ АКУСТИЧЕСКОЙ 32 ВОЛНЫ В СРЕДЕ С ИЗМЯНЯЮЩЕЙСЯ ПО ТРАССЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ СОРОСТЬЮ ЗВУКА

1.5 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ АМПЛИТУДЫ 35 АКУСТИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ В СРЕДЕ С ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ СКОРОСТЬЮ ЗВУКА

1.6 АНАЛИЗ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ АМПЛИТУДЫ 40 АКУСТИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ С ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ ПО ТРАССЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ СКОРОСТЬЮ ЗВУКА

2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О РАСПРОСТРАНЕНИИ 44 АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН В НЕЛИНЕЙНОЙ СРЕДЕ.

2.1 РЕШЕНИЕ НЕОДНОРОДНОГО ВОЛНОВОГО 44 УРАВНЕНИЯ С НЕЛИНЕЙНО МЕНЯЮЩЕЙСЯ СКОРОСТЬЮ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЗВУКА.

2.2 РЕШЕНИЕ НЕОДНОРОДНОГО ВОЛНОВОГО 47 УРАВНЕНИЯ ДЛЯ РАСЧЕТА ФАЗЫ СИГНАЛА МЕТОДОМ 1 ГЛАВЫ.

2.3 АНАЛИЗ ПОВЕДЕНИЯ ФАЗЫ АКУСТИЧЕСКОЙ 52 ВОЛНЫ, РАСПРОСТРАНЯЮЩЕЙСЯ В НЕЛИНЕЙНОЙ СРЕДЕ

2.4 АНАЛИЗ ХАРАКТЕРА РАСПРОСТРАНЕНИЯ ДВУХ 63 МОНОХРОМАТИЧЕСКИХ ВОЛН В СРЕДЕ С ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ СКОРОСТЬЮ ЗВУКА

2.5 АНАЛИЗ ПОВЕДЕНИЯ АМПЛИТУДЫ ВОЛНЫ 70 ДАВЛЕНИЯ ВРЧ ВСРЕДЕ С ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ СКОРОСТЬЮ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЗВУКА ВДОЛЬ ОСИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ СИГНАЛА

2.6 АНАЛИЗ ПОВЕДЕНИЯ АМПЛИТУДЫ ВОЛНЫ 78 ДАВЛЕНИЯ ВРЧ В СРЕДЕ С ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ СКОРОСТЬЮ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЗВУКА ВДОЛЬ ОСИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ СИГНАЛА И В ПРИСУТСТВИИ ПОТОКА ЖИДКОСТИ

2.7 АНАЛИЗ ПОВЕДЕНИЯ АМПЛИТУДЫ ВОЛНЫ 86 ДАВЛЕНИЯ ВРЧ В СРЕДЕ С ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ СКОРОСТЬЮ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЗВУКА ВДОЛЬ ОСИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ СИГНАЛА С УЧЕТОМ ВЛИЯНИЯ ВТОРИЧНЫХ ИСТОЧНИКОВ

3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О РАСПРОСТРАНЕНИИ 91 СФОКУСИРОВАННЫХ И ДЕФОКУСИРОВАННЫХ ВОЛНОВЫХ ПУЧКОВ В СРЕДАХ С НЕОДНОРОДНОСТЯМИ И НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ.

3.1 РЕШЕНИЕ ОДНОРОДНОГО ВОЛНОВОГО 91 УРАВНЕНИЯ ДЛЯ СФОКУСИРОВАНННЫХ ВОЛНОВЫХ ПУЧКОВ.

3.2 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВОЛН В НЕЛИНЕЙНОЙ СРЕДЕ В 96 СФОКУСИРОВАННЫХ ВОЛНОВЫХ ПУЧКАХ

3.3 РЕШЕНИЕ НЕОДНОРОДНОГО ВОЛНОВОГО 102 УРАВНЕИЯ ДЛЯ СФОКУСИРОВАННОГО ВОЛНОВОГО ПУЧКА В ПРИСУТСТВИИ ПОТОКА ЖИДКОСТИ И НЕЛИНЕЙНО МЕНЯЮЩЕЙСЯ СКОРОСТИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЗВУКА В СРЕДЕ

3.4 АНАЛИЗ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

4. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ 108 ИССЛЕДОВАНИЙ И СРАВНЕНИЕ С ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМИ ДАННЫМИ.

4.1 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВОЛН В СРЕДЕ С ПОТОКОМ 108 ЖИДКОСТИ

4.2 АНАЛИЗ ШИРИНЫ ПУЧКА В СРЕДЕ С 117 ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ СКОРОСТЬЮ ЗВУКА И В ПРИСУТСТВИИ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ИЛИ ОРТОГОНАЛЬНОГО К ИСТОЧНИКУ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН ПОТОКУ жидкости

4.3 ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ИССЕЛЕДОВАНИЙ И ЕЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка метода решения задач распространения и взаимодействия акустических волн в средах с изменяющейся скоростью звука»

Распространение волн в нелинейной среде ведет к изменениям характеристик акустической волны. При взаимодействии волны с неоднородностями среды изменяются параметры взаимодействия, т.к. меняется скорость распространения волны, нелинейность и плотность среды. Решение задачи, описывающей распространение и взаимодействие волн в неоднородной среде, представляет собой достаточно сложный, затратный по времени и ресурсам, процесс и его упрощение приводит к существенному уменьшению затрат при проведении теоретических исследований указанной задачи.

Существующие методы решения подобных задач не всегда дают полную и исчерпывающую картину происходящего процесса. Поэтому появляется необходимость в разработке новых подходов к решению названной задачи, ведущий к упрощению анализа полученных решений и, как следствие, к сокращению вычислительных затрат. С другой стороны, при помощи такого подхода, мы могли бы рассмотреть волновые процессы в неоднородных средах с использованием имеющегося математического аппарата.

Объектом исследований данной работы рассмотрение математической модели взаимодействия акустических полей в виде неоднородных волновых уравнений в частных производных с нелинейными правыми частями, учитывающими неоднородности среды, обусловленные изменением, как параметров самой среды, например, изменением скорости распространения звука в среде. Так и наличием в рассматриваемом объеме среды потока, и что самое главное - более простого анализа полученных решений.

Поэтому, актуальность данной работы заключается в том, что разработан новый подход к оценке результатов решения неоднородных волнового уравнения. Разработка и применение нового метода для решения волнового уравнения, описывающего распространение акустических волн в средах с изменяющейся скоростью звука, с учетом нелинейностей среды и при наличии в среде потока жидкости.

Для решения поставленной задачи используются элементы теории дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами, элементы теории геометрической оптики, гидроакустики и нелинейной гидроакустики. Научная новизна.

1. Разработка новых методов решения неоднородных волновых уравнений.

2. Проведение теоретических исследований распространения и взаимодействия волн в неоднородной среде с изменяющейся скоростью звука на основе построенного метода.

3. Разработка и применение нового метода для решения волнового уравнения, описывающего распространение волн накачки в средах с изменяющейся скоростью звука, с учетом нелинейностей среды и при наличии в среде потока жидкости.

4. Проведение сравнительного анализа экспериментальных исследований с полученными теоретическими результатами.

Методы исследования. Для решения поставленной задачи используются элементы теории дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами, элементы теории геометрической оптики, гидроакустики и нелинейной гидроакустики, численные методы.

Внедрение результатов. Результаты работы внедрены в исследования, проводимые под эгидой РФФИ: г/б 96-02-16312.

Развитие математических методов, направленных на исследования распространения и взаимодействия волн в неоднородных средах.

Апробация результатов работы. В работе /1/. автором диссертации выдвинута идея замены решения неоднородного волнового уравнения набором решений более простых неоднородных уравнений. Причем решения исходного уравнения и уравнения, полученного на основе указанного подхода, будут близки в силу критериев корректности для гиперболического уравнения. В работе /2/ приведено решение неоднородного волнового уравнения в случае присутствия в среде потока жидкости, неоднородность которого определяется изменением его профиля скорости. В работе /3/ приведено решение волновой задачи в предположении, что скорость распространения звука в среде не постоянна, а зависит от вертикальной координаты. В работе /4/ приведено решение неоднородной волновой задачи в предположении, что скорость распространения звука в среде есть функция от изменения температуры, которая в свою очередь зависит от ординаты. Кроме того, рассматривается случай присутствия в среде потока жидкости. В работе /5/ для исследования дальнего мониторинга водных сред, предложено решение, основанное на результатах работ /3, 4/. В 161 показано применение метода обоснованного в работе /5/ для решения задачи о взаимодействии пары монохроматических волн в среде с изменяющейся скоростью звука.

Все работы были представлены к рассмотрению на научных конференциях и журналах ТРТУ.

Основные положения, выносимые на защиту.

• Метод одного решения неоднородного волнового уравнения описывающего распространение акустических волн в среде с изменяющейся скоростью распространения звука. Решение неоднородного волнового уравнения, для фазы и амплитуды такой волны, указанным методом.

• Решение задачи о взаимодействии двух монохроматических волн (коллинеарных и неколлинеарных) в нелинейной среде с изменяющейся скоростью звука. Решение неоднородного волнового уравнения с нелинейной правой частью, в среде с потоком жидкости.

• Результаты исследований изменений фазы акустической волны с учетом изменения скорости звука по трассе распространения сигнала.

• Исследовано поведение коллинеарных и неколлинеарных волн накачки в среде с изменяющейся скоростью распространения звука в среде.

• Результаты исследований распространения акустических волн среде с изменяющейся скоростью распространения звука, для случая, сходящегося волнового фронта.

Публикации.

По результатам диссертационной работы опубликовано десять печатных работ, среди них четыре тезиса докладов и шесть статей.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, с выводами и заключениями. Основное содержание диссертации изложено на 145 страницах, содержит 55 рисунков. Список используемых источников содержит 67 наименований.

Заключение диссертации по теме «Акустика», Пашков, Геннадий Геннадьевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Предложен метод решения неоднородных волновых уравнений с переменными коэффициентами перед поперечным лапласианом, обусловленные нелинейным изменением скорости распространения звука в среде, с помощью замены решения исходного уравнения суммой решений уравнений из некоторого набора.

2. Проведены теоретические исследования для различных типов волновых уравнений, содержащих указанные особенности. Для фазы волны, для амплитуды и для амплитуды ВРЧ. Сделан вывод о возможности уточнения на основе предложенного метода полученных ранее результатов для указанных типов уравнений.

3. Проведен сравнительный анализ полученных теоретических исследований с имеющимися экспериментальными данными. Анализ показал, что графики решений, получаемых в случаи предлагаемого теоретического расчета схожи по своему виду с имеющимися экспериментальными результатами.

4. На основе проведенного анализа сделан вывод о возможности применения указанного метода для построения решения неоднородных волновых уравнения указанного типа.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Пашков, Геннадий Геннадьевич, 2002 год

1. Пашков Г.Г. Разработка новых методов дальнего мониторинга водных сред. Анализ полученных решений // Известия ТРТУ, 2000, с. 185-190.

2. В.А. Воронин, Е.В. Воронин, Г.Г. Пашков. Исследование взаимодействия акустических волн с полями не волновой природы. // Известия ТРТУ, 1998, №3, с. 103 106.

3. Пашков Г.Г., Воронин В.А. Распространение акустических волн в средах с изменяющейся скоростью звука// Известия ТРТУ, 1998, №4(10), с. 169-170.

4. Пашков Г.Г., Воронин В.А. Распространение акустических волн в средах с изменяющейся скоростью звука // Известия ТРТУ, 1999, №2, с. 136.

5. Пашков Г.Г., Воронин В.А. Метод решения задачи о взаимодействии волн в неоднородной среде с изменяющейся скоростью звука // Известия ТРТУ, 2000, №4, с. 159.

6. Пашков Г.Г., Воронин В.А. Решение задачи о взаимодействии пары монохроматических волн в среде с изменяющейся скоростью звука // Известия ТРТУ, 2001, с. 105.

7. Пашкова Г.Г. Метод одного решения неоднородной волновой задачи в среде с изменяющейся скоростью распространения звука // деп в ВИНИТИ. № 1713-в 2001.19.07.

8. Пашкова Г.Г. Разработка методов дальнего мониторинга водных сред. Анализ полученных результатов // деп в ВИНИТИ. № 1716 в 2001.19.07.

9. Пашкова Г.Г. Метод одного решения неоднородной волновой задачи для случая сходящихся волновых фронтов в среде с изменяющейся скоростью распространения звука // деп в ВИНИТИ. № 1714 в 2001.19.07.

10. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. Теоретическая физика.// М.Н.ГРФ-МЛ.1986.изд.З.Т.6.

11. Руденко О.В., Солуян С.И. Теоретические основы нелинейной акустики. // М.Н.ГРФ-МЛ.1975.С.9 16,19-21,42-44,46-50.

12. Кузнецов В.П. К теории нелинейных звуковых волн в случайно неоднородных средах. Прикл. Акуст., 1981, В 8, с.35.

13. Исаков М.А., Общая акустика.- М.: Наука, 1973.-496 с.

14. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М.: Наука, 1986.800 с.

15. Зарембо Л.К., Красильников В.А., Введение в нелинейную акустику. -М.: Наука, 1966.-519 с.

16. Новиков Б.К., Тимошенко В.И. Параметрические антенны в гидролокации. Л.: Судостроение, 1990, -256 с

17. Остороумов Г.А. Основы нелинейной акустики. Л.: ЛГУ, 1967.- 132 с.

18. Лепендин Л.Ф. Акустика.// М. ВШ.1978.С. 153 -161.

19. Бьорно JI. Подводная акустика и обработка сигналов. Пер. с англ. под ред. Ю.Ю. Житковского. М.: Мир, 1985.1038 с.

20. Бьорно JI. Неоднородности и нестабильность распространения звука под водой./ В кн. Подводная акустика и обработка сигналов. Пер. с англ. под ред. Ю.Ю. Житковского. М.: Мир, 1985. С. 32 42.

21. Бабий В.И. Мелкомасштабная структура поля скорости звука в океане.// JL: Гидрометеоиздат, 1983.

22. М.Б. Виноградова, О.В. Руденко, Сухоруков А.П. Теория волн. М., Наука, 1979.

23. Новиков Б.К., Руденко О.В., Тимошенко В.И. Нелинейная гидроакустика. Л.: Судостроение, 1981, -264 с

24. Н.С. Бахвалов, Я.М. Жилейкин, Е.А. Заболотская Нелинейная теория звуковых пучков-М.: Наука, 1982, с.53-74.

25. Рытов С.М. Введение в статистическую радиофизику. М.: Наука, 1966. - 404 с.

26. Наугольных К.А., Рыбак С.А., Скрыльников Ю.И. О нелинейном взаимодействии акустических волн в неоднородном потоке жидкости // Акуст. журн. 1987.Т.ЗЗ.Х» 2.С. 321 325.

27. Кузнецов В.П. Уравнения нелинейной акустики. Акуст.Ж., 1970, Т.16, В4, с.548-553.

28. Watson G.N. A treatise on the theory of Bessel function.- Cambridge: Cambridge Univ.Press.1958

29. Зарембо JI.K., Тимошенко В.И. Нелинейная акустика.// изд.МГУ, 1984. С. 16-18,41-46.

30. Клешев А.А., Клюкин И.И. Основы гидроакустики. // Л. Судостроение. 1987.С. 18 32.

31. Бейер Р. Нелинейная акустика. В кн. Физическая акустика / Под ред. Мезона У. - М.: Мир, 1969, Т2. с. 266 - 301 с.

32. Кузнецов В.Г1. О некоторых приложениях теории взаимодействия волн. //ДАН СССР. 1985.Т.284. №5.СЛ089 1092.

33. Тьотта Ж. Н. Класс точных решений уравнения Хохлова— Заболотской// А.Ж. Т39, № 5, с. 954.-956.

34. Лапидус Ю.Р., Руденко О.В. Об одном точном решении уравнения Хохлова-Заболотской — А.Ж. Т37 № 2, с.363-364.

35. Лямшев Л. М., Са-Той П. В. Нелинейное взаимодействие плоской и сферической волн— А.Ж. Т34, с. 485—490.

36. Касьянов Д. А., Шалашов Г. М. Исследование нелинейного распространения расходящейся цилиндрической волны с фокусировкой А.Ж. Т34 № 4, с. 651-656.

37. Девятерикова Е. А., Седов Л. В.- Некоторое особенности нелинейного взаимодействия импульсных акустических сигналов -А.Ж. Т39 , с. 524

38. Заболотская Е. А. Нелинейное распространение квазиплоских нормальных волн в слое — А.Ж. Т35. С. 834.

39. Одинцов С. Л. Уравнение нелинейной акустики в движущейся среде.// Ак. Ж., Т35 с. 377-379.

40. Лошкин А.А., Сагомонян Е.А., Нелинейное волновое уравнение, Москва, Вузовская книга, 1997, с. 51- 55.

41. Абрамович М, Стиган И Справочник по специальным функциям // М.Н.ГИФ-МЛ., 1979

42. Бродский А.Д., Кан В.Л., Краткий справочник по математической обработке результатов измерений М.: Стандартгиз, 1960.220 с.

43. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, рядов и специальных функций. // М.Н. ГИФ-МЛ.1971

44. Красильников В.А., Крылов В.В. Введение в физическую акустику.-М.: Наука 1984.400 с.

45. Клешев А.А., Клюкин И.И. Основы гидроакустики. // JI. Судостроение. 1987.С. 18 32.

46. Локшин А.А., Сагомонян Е.А. Нелинейные волновые уравнения // М.: Вузовская книга, 1997, с. 51 55.

47. Миатаки С. Краевые задачи в полупространстве для уравнений второго порядка смешанного типа. // из кн. Диф. Ур. В частных производных, Новосибирск, Изд. «Наука», Сиб. Отд., 1986.

48. Горелик А.Г., Зверев В.А. К вопросу о взаимодействии звуковых волн. -Акуст.ж., 1955, Т.1, № 4, с. 339-342.,.

49. Воронин В.А., Максимов В.Н., Тимошенко В.И. и др. Исследование нелинейного параметрического приемника с фазовым детектированием, В кн.: Акустические методы исследования океана. Л., 1978, с.133-139.

50. Манаев О.И. T,S анализ вод Мирового океана. - Л.: Гидрометеоиздат, 1970, - 364 с.

51. Мусатов А. Г., Сапожников О. А. Фокусировка мощных акустических импульсов при различных углах раскрытия волнового фронта — А.Ж. Т39 № 2, с. 315—320.

52. Назаров В. Е. Комбинационное рассеяние звука на нелинейном слое жидкости —А.Ж. Т39 № 5, с. 888—895;

53. Физические величины: Справочник // А.П. Бабичев, Н.А. Бабушкина и др.; Под ред. И.С. Григорьева, Е.З. Мелихов.-М. :Энергоатомиздат, 1991.1232 с.

54. Б.К. Новиков, О.В. Руденко, С.И. Солуян Метод нелинейного уравнения пучков в задаче о направленном излучении низкочастотного ультразвука. П.А., 1976 В №3., с.20.

55. Nakagava Y. Ultrasonic nonlinear parameter CT by nonlinear interaction // Trans. IECE. E. 1988. V 69 P. 1215.

56. Westervelt P.J. Parametric Acoustic Array.// JASA., 1960,32, p. 934.

57. Del Grosso V.A. New equation for the speed of sound in natural waters ( with comparisons to the other equations): JASA, 1974, vol. 56, № 4, p. 1084-1091.

58. Sostman H.E. Temperature scale. Phys. Today, 1977, vol. 30, № 6, p. 12-13.

59. Mellen R.H., Siiling G.S. Sound propagalion through atmospheric turbulence: Multifractal phase phluctua-tions//J. Acoust. Soc. Amer. 1995. V. 97. P. 141-146.

60. Lovett J.R. Merged seawater sound speed equations to oceanograthy. -JASA, 1978, vol. 63, № 6, p. 1713 1718.

61. Рабинович С.Г. Погрешности измерений Л.: Энергия, 1978.272 с.

62. Воронин В.А., Кириченко И.А. Использование параметрического гидролокатора для экологических исследований донных осадков // Сб. тез. докл. МНТК " XX Гагаринские чтения". М. МГАТУ. 1994. С. 12-13.

63. Воронин В.А., Воронин Е.В., Кириченко И.А. Особенности применения параметрической антенны для экологических исследований водной среды // Сб.тез.докл. МНТК "XXI Гагаринские чтения", М., МГАТУ. 1995. С. 27.

64. Воронин В.А., Кириченко И.А. Параметрическая антенна для экологических исследований водной среды // Материалы Международной конференции "Фундаментальные и прикладные проблемы охраны окружающей среды". Тез. докладов. Т. 1. Томск, 1995. с. 27-28.

65. Воронин В. А., Кириченко И. А. Исследование параметрической антенны в стратифицированной среде с изменяющимся полем скорости звука // Известия ВУЗов, Элегромеханика. № 4.1995, с.31.

66. УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ

67. А, комплексные амплитуды высокочастотных волн

68. А — преобразованная по Фурье или Ханкелю функция А.

69. К.С. члены, комплексно сопряженные по отношению к выписанным выражениям

70. ХЗК уравнение Хохлова - Заболотской - Кузнецова ВРЧ - волна разностной частоты.