Разработка методов исследования разрешимости нелокальных задач для неклассических уравнений математической физики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Гилев Антон Владимирович

• Гилев Антон Владимирович
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Гилев Антон Владимирович

Введение

Глава 1 Задачи в характеристической области для уравнений

второго порядка

1.1 Нелокальный аналог задачи Гурса для уравнения второго порядка с интегральными условиями второго рода

1.1.1 Доказательство разрешимости задачи A

1.1.2 Вывод

1.2 Нелокальный аналог задачи Гурса для уравнения второго порядка с интегральными условиями первого рода

1.2.1 Доказательство разрешимости задачи B

1.2.2 Вывод

Глава 2 Задачи в характеристической области для уравнения

четвертого порядка

2.1 Задача Гурса с возмущенными краевыми условиями

2.1.1 Доказательство разрешимости задачи C

2.1.2 Вывод

2.2 Нелокальные задачи для уравнения четвертого порядка с интегральными условиями второго рода

2.2.1 Доказательство разрешимости задачи D

2.2.2 Вывод

2.4 Нелокальная задача для уравнения четвертого порядка с интегральным

условием на правой границе

2.3.1 Доказательство разрешимости задачи E

2.3.2 Вывод

2.4 Нелокальная задача для уравнения четвертого порядка с интегральным

условием первого рода

2.4.1 Доказательство разрешимости задачи Feq

2.4.2 Вывод

2.5 Задача с нелокальными условиями первого рода

2.5.1 Доказательство разрешимости задачи G

2.5.2 Вывод

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка методов исследования разрешимости нелокальных задач для неклассических уравнений математической физики»

Введение

Актуальность и степень разработанности темы исследования.

Развитие естествознания есть непрекращающийся процесс, который берет начало от человека и движим им в ходе всей истории человечества. Часть этого процесса заключается в изучении природы, которая неизбежно диктует требование об усовершенствовании существующих, а также изобретению новых подходов и инструментов для достижения желаемого результата. Следствием этого факта является возникновение новых задач в различных областях человеческого знания. Одним из ярких примеров таких задач в современной теории дифференциальных уравнений с частными производными являются нелокальные задачи, важный частный случай которых образуют задачи с нелокальными условиями.

В отличие от классических граничных, нелокальные условия определяются соотношениями, которые связывают значения отыскиваемого решения как во внутренних, так и в граничных точках исследуемой области. Такие соотношения естественным образом возникают при построении математических моделей в различных разделах естествознания, в том числе в физике, биологии, химии. Этот факт подчеркивает значимость нелокальных задач не только как объект, который представляет теоретический интерес сам по себе, но и с точки зрения практики [88]. Важность и многочисленность исследований в этой области подчеркивает и обилие накопленных к текущему моменту времени работ, как для обыкновенных дифференциальных уравнений, среди которых отметим статьи A. M. Krall [99], В. А. Ильина и Е. И. Моисеева [30], И. С. Ломова [45], А. В. Бицадзе и А. А. Самарского [5], В. А. Стеклова [79], А. Л. Скубачевского [76] и многих других, так и для уравнений в частных производных, о чем и пойдет речь далее.

Предположительно термин «нелокальный» берет свое начало из статьи А. А. Дезина [19], в которой автор применяет его по отношению к следующим

условиям

71 [и(51)] + 12[п(в2)],

где 71, 72 - линейные операторы, й1, з2 - различные точки границы. Отметим, что среди нелокальных условий выделяют условия, на которые впервые обратил внимание В. А. Стеклов в работе [79]. При изучении процесса охлаждения тел было обнаружено, что такая задача сводится к нахождению решения уравнения

и краевых условиях, которые в общем виде можно записать следующим образом

Задачи с условиями вида (0.1, 0.2) относят к так называемым задачам со смещением. Не останавливаясь подробно на этом виде условий, отметим лишь, что такая терминология берет свое начало из работ А. М. Нахушева [52, 53], где были приведены соответствующие определения, а также рассмотрены подобные задачи для гиперболического волнового уравнения, в том числе одного вырождающегося, а также для уравнений Лаврентьева-Бицадзе и Трикоми. Впоследствии А. М. Нахушевым были рассмотрены и другие задачи с подобными (0.1, 0.2) условиями, в том числе в более обобщенных постановках, о чем скажем чуть далее в контексте другого класса нелокальных задач.

Помимо краевых условий со смещением также выделяют еще один класс нелокальных задач, именуемый задачами с нелокальными интегральными условиями, которые возникают при построении математических моделей в случае, если могут быть получены дополнительные данные о моделируемом

при начальном условии

и(х, 0) = /(х)

(0.1)

(0.2)

процессе внутри области его исследования, при условии, что сама его граница для явных измерений недоступна. В таком случае, понимая под дополнительными данными интеграл, говорят о задачах с нелокальными интегральными условиями, которые в общем случае имеют вид [72]

ди [

аи(х,Ь) + в——+ X К(х,у,1)и(у,Ь)(1у = д(х,Ь), х Е дП,

п

где и(х,Ь) - искомое в области Ц = П х (0,Т) решение некоторого эволюционного уравнения, а, в действительные числа,

о п

ди

— = ^ ац(х,г)и%1 у3,

%3=1

а V(х) = (и\,... , ип) вектор внешней нормали к границе области П в текущей точке. Значительное внимание к задачам этого вида обусловлено их естественным возникновением во многих областях человеческого знания. Так, например, задачи с нелокальными интегральными условиями встречаются при описании динамики влагопереноса [8], процесса очистки кремниевых плат от примеси [48], решении обратных задач в теории ядерных реакторов и диффузии [67], а также в теории пластичности [88] и многих других.

Нестандартность постановок и обширная область приложений вызвали значительный интерес у исследователей. Более того, было установлено, например в работах Н. И. Ионкина [31] и В. А. Ильина [29], что хорошо известные, широко применяемые методы исследования разрешимости начально-краевых задач в отношении задач нелокальных могут не годиться в качестве основного аппарата исследования по причине несамосопряженности порождаемого задачей оператора. Этот тезис, вкупе с физическим смыслом, лишь подчеркивает актуальность более глубокого изучения нелокальных задач, разработки качественно новых методов доказательства их разрешимости, а также развития уже существующих подходов.

Затронем историческую часть изучаемого вопроса. Интересующие нас задачи с интегральными нелокальными условиями стали появляться уже в

конце второй трети двадцатого века. Так, одной из первых вышедших работ следует отметить статью J. R. Cannon [95]. Здесь автором исследуется процесс теплопередачи в тонком нагретом стержне, в связи с чем рассматривается уравнение теплопроводности с классическим начальным условием, а также нелокальным интегральным граничным условием вида

x(t)

E (t)=!

0

где E(t), x(t) Е C [0, ж) известные функции.

Идеи, предложенные в [95], вскоре были развиты в статье Л. И. Камынина [34], где для более общего случая уравнения теплопроводности ставится задача со следующим граничным условием

Xs(t)

J g(x,t)u(x,t)dx = E(t), (0.3)

Xi(t)

где g(x,t), E(t), Xj заданные функции. Л. И. Камынин отмечает, что условие (0.3) возникает при исследовании того же процесса, что и в работе J. R. Cannon, но в случае, если задано общее количество тепла части стержня, примыкающей к одному из его концов.

Несколько позже появляется уже отмеченная нами раннее работа Н. И. Ионкина [31], в которой для одной задачи теории теплопроводности вместо граничного условия выступает следующее нелокальное интегральное условие на искомое решение v(x,t):

1

!v(x,t)dx=^ (04)

0

Впоследствии, уже в статье А. А. Самарского [73], которая, как важно отметить, во многом задала дальнейший вектор развития теории дифференциальных уравнений, отмечается, что к задачам с условием (0.4) приводит, в том числе, моделирование процесса диффузии частиц в плазме.

Сам же автор отмечает такие условия «интересными» и «нестандартными». Уместно сказать, что в литературе условие (0.4) стали называть условием Самарского-Ионкина.

Исследования в области нелокальных задач начали активно проводиться во второй половине двадцатого века. Так, с момента выхода статей, положивших начало исследованиям, задачи с нелокальными интегральными условиями для параболических уравнений изучались З. А. Нахушевой [63], Н. И. Иванчовым [28], А. И. Прилепко и А. Б. Костиным [41], Н. И. Юрчуком [87], Л. А. Муравьем и А. В. Филиновским [48] и многими другими.

Для эллиптических уравнений активное исследование нелокальных интегральных задач началось с работы [5] А. В. Бицадзе и А. А. Самарского и продолжилось в статьях А. К. Гущина [18], А. К. Гущина и В. П. Михайлова [17], А. Л. Скубачевского [74, 75], Б. П. Панеяха [65].

Сравнительно позже начали появляться результаты для задач с нелокальными интегральными условиями и для гиперболических уравнений. Так в статье Л. С. Пулькиной [68] исследуется задача для вырождающегося гиперболического уравнения второго порядка с нелокальными интегральными условиями в качестве краевых, для доказательства разрешимости которой был использован метод вспомогательных задач, а в работе [69] при исследовании нелокальной задачи был применен метод компактности [43], при помощи которого установлены существование и единственность обобщенного решения. Позже, в [71], Л. С. Пулькиной была приведена классификация нелокальных интегральных условий по родам. В работе А. Вош1аш [94], при помощи полученных раннее в [93] априорных оценок, была исследована нелокальная задача для гиперболического уравнения второго порядка, а вместе с тем доказана корректность её обобщенного решения. В статье Д. Г. Гордезиани и Г. А. Авалишвили [13] построены решения для одномерных уравнений колебания среды при помощи метода потенциалов и отраженной

волны, в случае если в качестве граничных условий заданы условия, содержащие интеграл от неизвестной функции.

Нелокальные интегральные условия оказались существенно связаны с еще одним значимым объектом многочисленных исследований, а именно с нагруженными уравнениями. Исследованию задач для нагруженных дифференциальных уравнений посвящены многие работы А. М. Нахушева, в числе которых [55, 56, 57]. Нагруженные уравнения встречаются в различных разделах естествознаниях, например, в биологии - в эволюционных системах с памятью [59], в теории распространении волн в диспергирующих средах [7], в теории возмущений [20], а также многих других. К числу нагруженных уравнений можно отнести и интегральные уравнения с частными интегралами, исследуемыми в монографии А. С. Калитвина [33], одним из примеров которых служит интегральное уравнение Вольтерра второго рода

х у х

ф(х,у) - \ (И к{х,у,г,т)ф(г,г)(т - ц К1(х,у,г)ф(г,у)(И-

а

у

- V ! к2(х,у,т)ф(х,т)(т = /(х,у), (°.5) ь

где \, ц, V - непрерывные численные параметры, К(х,у,Ь,т),К\(х,у,1),К2(х,у,т) ядра, /(х,у) свободный член. Уравнения подобные (0.5) исследуются и в книге Г. Мюнтца [49]. Интегральные уравнения, в том числе и с частными интегралами, часто применяются при исследовании дифференциальных уравнений, как в частных производных, так и обыкновенных.

Следует отметить полезные свойства нагруженных уравнений. А. М. Нахушев, рассматривая в [54] задачу Дарбу для уравнения Лыкова-Бицадзе

иуу(х, у) - к(у)ихх(х, у) + а(х, у)их(х, у) + Ь(х, у)иу(х, у) +

+ с(х^ y)u(x, у) = /(х, у), (°.6)

делает вывод, что требования для корректности задачи, наложенные им на коэффициенты уравнения (0.6) являются существенными, а их нарушение приводит к некорректности задачи Дарбу. Позже, в уже упомянутой работе [55], А. М. Нахушев исследовал то же уравнение (0.6), с тем исключением, что оно содержит нагруженное слагаемое. Как оказалось, несмотря на невыполнение требований на коэффициенты, а именно нарушение условия Геллерстедта, задача Дарбу для нагруженного уравнения оказывается поставленной корректно. В связи с этим можно утверждать, что существует класс задач, которые несмотря на свою некорректность для ненагруженных уравнений, оказываются корректными для тех же уравнений, когда они содержат нагруженное слагаемое. Так, например, вопросом поиска корректных задач для одного нагруженного модельного уравнения занимался А. Х. Аттаев в [3].

Другим важным свойством нагруженных уравнений оказалась их связь с задачами со смещением [60], одним из обобщений которых являются нелокальные интегральные условия. В работе [58] А. М. Нахушева было установлено, что нагруженные уравнения выступают в качестве метода исследования нелокальных задач, в частности с их помощью оказывается возможным введение понятия обобщенного решения, а также, что немаловажно, возможен переход от нелокальной задачи к задаче с классическими условиями, но для нагруженного уравнения. Впоследствии эта идея нашла отражение в работах А. М. Нахушева [57], А. И. Кожанова [38, 40], А. И. Кожанова и Л. С. Пулькиной [39].

Исследования нелокальных задач позволили выделить несколько их классов. К одному из них относятся нелокальные аналоги смешанных задач, где нелокальное условие присутствует либо в начальных условиях, такие задачи еще называют нелокальными по времени, либо в граничных, в этом же случае говорят о пространственно-нелокальных задачах. Отметим некоторые работы, в которых изучались нелокальные по времени задачи: [14, 15, 35, 66],

также приведем некоторые статьи, посвященные пространственно нелокальным задачам: [44, 90, 70, 91, 40, 64]. Если же решение рассматриваемого уравнения ищется в характеристической области, а сами нелокальные условия заданы в качестве интегралов вдоль самих характеристик уравнения, то в этом случае говорят об интегральных аналогах задачи Гурса. Отметим некоторые работы, посвященные этому классу задач. В статье З. А. Нахушевой [62] найдено решение простейшего гиперболического уравнения

иХу (х,у) = 0, удовлетворяющее нелокальным условиям

а в

J и(х,у)(х = ф(у), 0 < у < Ь, ! и(х,у)(у = ф(х), 0 < х < а.

0 0

В работах Л. С. Пулькиной [68, 101] исследованы на разрешимость нелокальные задачи для гиперболического уравнения второго порядка, в том числе для вырождающегося, а в [69] при помощи предложенного метода найдены условия, гарантирующие существование и единственность обобщенного решения следующей задачи в области

Б = {(х,у) : 0 < х < а, 0 < у < Ь}:

П)ху + у^)^^ у))х + (в(х, y)w(x, у))у + С(х, y)w(x, у) = ^(х, y),

Ь а

/ и)(х,у)((у = ф(х), / и)(х,у)((х = ф(у).

00

Следует обратить внимание на статью А. М. Нахушева [56] и его монографии [59, с. 259], [61, с. 37]. Отметим также статьи [1, 2, 4, 12, 36].

Первая глава диссертационной работы посвящена поиску классических решений для интегральных аналогов задачи Гурса. Отметим, что исследований в области этого класса задач существует сравнительно меньше, нежели чем для нелокальных аналогов смешанных задач, в частности пространственно-нелокальных.

Идеи, изложенные в первой главе данной диссертационной работы, удалось распространить и на случай уравнений четвертого порядка, в частности для обобщения уравнения Буссинеска-Лява

р(х)ии(х,г) - (а(х,г)их(х,г))х - (Ъ(х,г)ихи(х,г))х+

+ Ъ1(х, Ь)щ + с(х, Ь)и(х, Ь) = /(х, Ь). (0.7)

Область приложения частных случаев уравнения (0.7) хорошо известна. Так к уравнениям подобным (0.7) приводят задачи теории распространения волн в диспергирующих средах [50, 61], а также теории колебаний при изучении колебаний стержня с учетом эффектов поперечной деформации [102].

Совершенно естественно предполагать, что коэффициент уравнения (0.7) Ъ(х,Ь) отличен от нуля, так как в противном случае (0.7) вырождается в уравнение второго порядка. Более того, если Ъ(х, Ь) = 0, то (0.7) можно отнести к специальному случаю уравнений следующего вида

^(и) = дхт1 дхтп + ^ аа(х) дхд! хха" = ^(х). (0.8)

1 ... П |а|<т-1 1 ... П

\аs\<ms,s=\,n

Уравнения вида (0.8) называют уравнениями со старшей или доминирующей производной [25]. Как отмечают сами авторы приведенной монографии, а именно В. И. Жегалов, А. Н. Миронов, Е. А. Уткина, такое название обусловлено наличием следующего слагаемого в левой части (0.8)

д ти(х)

дхт... дхтп'

(0.9)

так как все остальные слагаемые (0.8) получаются путем отбрасывания из (0.9) хотя бы одного дифференцирования по одной из независимых переменных. Помимо самостоятельного теоретического интереса, уравнения с доминирующей производной имеют и прикладную значимость. Так, помимо уже отмеченных выше примеров относительно частных случаев (0.7), уравнения вида (0.8) встречаются при исследовании движения влаги [85, 59],

где при определенных допущениях возникают задачи для уравнения Аллера

ut(x,t) = (aux + buxt(x, t))x.

Уравнения с доминирующей производной стали активно исследоваться в конце девятнадцатого века, начиная с работ L. Bianchi [92] и О. Niccoletti [100], а впоследствии, в том числе благодаря многочисленным приложениям, исследования получили продолжение в работах H. Bateman [89], И. Н. Векуа [6], М. К. Фаге [83], D. Colton [96] и многих других.

Для уравнений вида (0.8) естественно ставить задачи на характеристиках, что было проделано, например, в работах В. И. Жегалова совместно с В. А. Севастьяновым [21], Е. А. Уткиной [22], А. Н. Мироновым [23], а также в других работах указанных авторов. Нелокальные же задачи изучались в статьях М. Х. Шханукова [86], М. Х. Шханукова и А. П. Солдатова [78], Л. С. Пулькиной [69], Е. А. Уткиной [80], А. Т. Асановой [1], О. М. Кечиной [37]. Наибольшее количество исследованных нелокальных задач для уравнений вида (0.9) относятся к классу задач со смещением, в то время как задачи с интегральными условиями исследованы меньше.

В частности, для обобщений уравнения Буссинеска-Лява изучались характеристические [26], граничные [81], обратные [51], нелокальные [82] задачи, а также задача Коши [46] и сопряжения [27].

Важно заметить, что на сегодняшний день эффективным методом поиска решений задач Гурса и Коши для уравнений с доминирующей производной является модификация метода Римана, предложенная авторами монографии [25], где функция Римана определена в качестве решения некоторого интегрального уравнения [49]. Такой метод подтвердил свою эффективность в работах [21, 24, 47], в том числе и для обобщений (0.7) в [81], однако существует ряд трудностей, как значительных, к числу которых отнесем тот факт, что функцию Римана удается построить не всегда, так и не

очень, например, громоздкость выкладок. Несмотря на то что в статьях В. И. Жегалова, А. Н. Миронова представлен ряд случаев, при которых построение функции Римана возможно, существует потребность в поисках альтернативных методов в дополнение к существующим на данный момент.

Одна из альтернатив предложена во второй главе данной диссертационной работы, в которой изучаются интегральные аналоги задачи Гурса для уравнений с доминирующей производной четвертого порядка, в частности для обобщения уравнения Буссинеска-Лява (0.7).

Цель настоящей работы состоит в разработке методов исследования задач с нелокальными интегральными условиями первого и второго рода, а также в применении этих методов для обоснования разрешимости интегральных аналогов задачи Гурса для дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка и уравнения с доминирующей производной четвертого порядка.

Для достижения поставленных целей автором диссертационной работы решаются следующие задачи:

1. Разработка метода исследования интегральных аналогов задачи Гурса для гиперболических уравнений второго порядка общего вида;

2. Разработка метода исследования интегральных аналогов задачи Гурса для гиперболического уравнения четвертого порядка, которое можно интерпретировать как обобщение уравнения Буссинеска-Лява;

3. Сравнительный анализ нелокальных интегральных задач в зависимости от вида интегральных условий с целью выбора наиболее эффективного метода исследования разрешимости;

4. Реализация разработанных методов для доказательства разрешимости поставленных интегральных аналогов задачи Гурса.

Научная новизна представленной диссертационной работы заключается в предложенных способах обоснования разрешимости интегральных аналогов задачи Гурса для гиперболических уравнений второго

и четвертого порядков.

Теоретическая значимость результатов работы заключена в новых предложенных методах исследования интегральных аналогов задачи Гурса для гиперболических уравнений второго и четвертого порядка.

Практическая значимость результатов, полученных в ходе выполнения диссертационной работы, нашла отражение в образовательном процессе в рамках

1. учебной дисциплины «Специальные разделы математической физики» для направления подготовки 01.04.03 Механика и математическое моделирование (уровень магистратуры),

2. учебной дисциплины «Нелокальные задачи для дифференциальных уравнений в частных производных» по научной специальности 1.1.2. Дифференциальные уравнения и математическая физика (уровень аспирантуры),

в частности, предложенные в работе методы разрешимости интегральных аналогов задачи Гурса для уравнений в частных производных второго и четвертого порядков позволяют отказаться от построения функции Римана.

Методология и методы исследования. В диссертационной работе при доказательстве теорем о разрешимости нелокальных задач используются методы теории дифференциальных уравнений, интегральных уравнений, функционального анализа. Техника доказательств в большей степени основана на априорных оценках решений, а также опирается на известные результаты о разрешимости уравнений с частными интегралами.

Для обоснования разрешимости возникших в ходе исследований задач были использованы различные методы, в числе которых метод последовательных приближений, метод сжимающих операторов.

Положения, выносимые на защиту. Объектом исследования в представленной работе являются нелокальные задачи для уравнений в

частных производных, в частности - интегральные аналоги задачи Гурса. Основные же результаты, полученные в ходе исследований, представлены далее:

1. Разработан метод обоснования разрешимости интегральных аналогов задачи Гурса для гиперболических уравнений второго порядка;

2. Разработан метод обоснования разрешимости нелокальных аналогов задачи Гурса для гиперболического уравнения четвертого порядка;

3. На основании разработанных методов найдены условия, требование которых гарантирует существование и единственность решения поставленных нелокальных задач для гиперболических уравнений второго и четвертого порядков.

Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность представленных в диссертационной работе результатов обусловлена корректностью доказательства полученных в ходе исследований лемм и теорем, а также согласованностью полученных положений с известной математической теорией в области изучения нелокальных задач, интегральных и операторных уравнений.

Полученные в ходе работы результаты были представлены на следующих международных математических конференциях:

1. XXVIII Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2021». Россия, Москва. 12-23 апреля 2021 г., тема доклада: «О разрешимости нелокальной задачи Гурса для уравнения с доминирующей смешанной производной»;

2. IX Международная научная конференция «Современные проблемы математики и физики». Россия, Стерлитамак, 12-15 сентября 2021 г., тема доклада: «О разрешимости одной нелокальной задачи для гиперболического уравнения в характеристической области»;

3. Международная молодёжная научная конференция «XVI Королевские чтения», посвященная 60-летию полета в космос Ю.А. Гагарина. Россия,

Самара, 5-7 октября 2021 г., тема доклада: «О разрешимости задачи Гурса для нагруженного уравнения с доминирующей смешанной производной»;

4. Всероссийская научная конференция (с международным участием) «Математика и математическое моделирование». Россия, Самара, 10-12 сентября 2021 г., тема доклада: «О разрешимости одной нелокальной задачи Гурса»;

5. VI Международная научная конференция «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики». Россия, Нальчик, 5-9 декабря 2021 г., тема доклада: «Задача Гурса для нагруженного уравнения»;

6. XXIX Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2022». Россия, Москва, 11-22 апреля 2022 г., тема доклада: «Краевая задача с нелокальным условием для уравнения четвертого порядка»;

7. Международная научно-практическая конференция «Современные проблемы математики и её приложений». Таджикистан, Душанбе, 3-4 июня 2022 г., тема доклада: «Об одной задаче для обобщенного уравнения Буссинеска-Лява»;

8. Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам 2022. Россия, Суздаль, 30 июня-5 июля 2022 г., тема доклада: «Об одной характеристической задаче с нелокальными условиями для уравнения четвертого порядка»;

9. Международная конференция Воронежская весенняя математическая школа, посвященная 115-летию со дня рождения академика Л.С. Понтрягина «Современные методы теории краевых задач. Понтрягинские чтения XXXIV». Россия, Воронеж, 3-5 мая 2023 г., тема доклада: «Об одной нелокальной задаче для уравнения четвертого порядка»;

10. XVI Международная Казанская школа-конференция «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы». Россия, Казань, 22-27 августа

2023 г., тема доклада: «О двух нелокальных задачах для уравнения Буссинеска-Лява»;

11. VII Международная научная конференция «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики». Россия, Нальчик, 4-8 декабря 2023 г., тема доклада: «О разрешимости двух нелокальных задач в характеристической области»;

12. Международная конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения». Россия, Казань, 6-7 июня 2024 г., тема доклада: «Об одной нелокальной задаче для уравнения Буссинеска-Лява».

13. Международная конференция Воронежская весенняя математическая школа, посвященная 120-летию со дня рождения С.М. Никольского «Современные методы теории краевых задач. Понтрягинские чтения - XXXVI». Россия, Воронеж, 30 апреля - 4 мая 2025 г., тема доклада: «Об одной нелокальной задаче для уравнения второго порядка».

Проведенные исследования, а вместе с тем и полученные результаты, что представлены в диссертационной работе, опубликованы в 18 работах. Из них статьи [10, 11] - в научных изданиях, входящих в рекомендуемый перечень ВАК, где статья [10] по специальности 1.1.2. Дифференциальные уравнения и математическая физика, а также статьи [97, 98] - в журналах, индексируемых в базах данных Scopus и Web of Science. Из числа совместных работ, в состав диссертационного исследования вошли лишь те положения, что были получены непосредственно автором.

Личный вклад автора заключен в разработке методов исследования и их применении для обоснования разрешимости рассматриваемых в диссертационной работе задач. В результате использования предложенных методов, возникают новые задачи, в рамках которых автором также были найдены условия, гарантирующие существование и единственность их решения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Гилев Антон Владимирович, 2025 год

Список литературы

1. Асанова А.Т. Нелокальная задача с интегральными условиями для системы гиперболических уравнений в характеристическом прямоугольнике [Текст] / А.Т. Асанова // Изв. вузов. Матем. — 2017. — № 5. — C. 11-25.

2. Аттаев А.Х. Краевые задачи для нагруженного волнового уравнения [Текст] / А.Х. Аттаев // Вестник Караганд.ун-та. Серия Математика. — 2017. — Т. 86, № 2. — C. 8-13.

3. Аттаев А.Х. Об одной нелокальной краевой задаче для модельного нелокального уравнения гиперболического типа [Текст] / А.Х. Аттаев // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. — 2022. — Т. 40, № 3. — C. 7-15.

4. Бисчоков Р.М. Об одной внутреннекраевой задаче с нелокальным смещением для системы уравнений половозрастной структуры популяции [Текст] / Р.М. Бисчоков // Дифференц. уравнения. — 1994. — Т. 30, № 3. — C. 419-424.

5. Бицадзе А.В. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач [Текст] / А.В. Бицадзе, А.А. Самарский // Докл. АН СССР. — 1969. — Т. 195, № 4. — C. 739-740.

6. Векуа И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений [Текст] / И.Н. Векуа — М.; Л.: ОГИЗ, 1948. — 296 с.

7. Виноградова М.Б. Теория волн [Текст] / М.Б. Виноградова, О.В. Руденко, А.П. Сухоруков — М.: Наука, 1979. — 384 с.

8. Водахова В.А. Краевая задача с нелокальным условием А. М. Нахушева для одного псевдопараболического уравнения влагопереноса [Текст] / В.А. Водахова // Дифференц. уравнения. — 1982. — Т. 18, № 2. — C. 280-285.

9. Гилев А.В. Об одной нелокальной задаче для гиперболического уравнения с доминирующей смешанной производной [Текст] / А.В. Гилев // Вестн. СамУ. Естественнонаучн. сер. — 2020. — Т. 26, № 4. — C. 25-35.

10. Гилев А.В. Характеристическая задача для уравнения четвертого порядка с доминирующей производной [Текст] / А.В. Гилев, О.М. Кечина, Л.С. Пулькина // Вестн. СамУ. Естественнонаучн. сер. — 2021. — Т. 27, № 3. — С. 14-21.

11. Гилев А.В. Задача с нелокальным условием для уравнения четвертого порядка с кратными характеристиками [Текст] / А.В. Богав, А.В. Гилев, Л.С. Пулькина // Вестник российских университетов. Математика. — 2022. — Т. 27, № 139. — С. 214-230.

12. Пулькина Л.С. Об одной нелокальной задаче с интегральными условиями [Текст] / Л.С. Пулькина, Н.Д. Голубева // Матем. заметки. — 1996.

— Т. 59, № 3. — С. 456-458.

13. Гордезиани Д.Г. Решения нелокальных задач для одномерных колебаний среды [Текст] / Д.Г. Гордезиани, Г.А. Авалишвили // Матем. моделирование. — 2000. — Т. 12, № 1. — С. 94-103.

14. Гордезиани Д.Г. Нелокальные по времени задачи для уравнений типа Шрёдингера. I. Задачи в абстрактных пространствах [Текст] / Д.Г. Гордезиани, Г.А. Авалишвили // Дифференц. уравнения. — 2005. — Т. 41, № 5. — С. 670-677.

15. Гордезиани Д.Г. Нелокальные по времени задачи для уравнений типа Шрёдингера. II. Результаты для конкретных задач [Текст] / Д.Г. Гордезиани, Г.А. Авалишвили // Дифференц. уравнения. — 2005. — Т. 41, № 6. — С. 813-819.

16. Гординг Л.Б. Задача Коши для гиперболических уравнений [Текст] / Л.Б. Гординг; пер. с англ. — М.: Издательство иностранной литературы, 1961.

— 122 с.

17. Гущин А.К. О разрешимости нелокальных задач для эллиптического уравнения второго порядка [Текст] / А.К. Гущин, В.П. Михайлов // Матем. сб.

— 1994. — Т. 185, № 1. — С. 121-160.

18. Гущин А.К. Условие компактности одного класса операторов и его применение к исследованию разрешимости нелокальных задач для

эллиптических уравнений [Текст] / А.К. Гущин // Матем. сб. — 2002. — Т. 193, № 5. — C. 17-36.

19. Дезин А.А. Простейшие разрешимые расширения для ультрагиперболического и псевдопараболического операторов [Текст] /

A.А. Дезин // Докл. АН СССР. — 1963. — Т. 148, № 5. — C. 1013-1016.

20. Дженалиев М.Т. Нагруженные уравнения как возмущения дифференциальных уравнений [Текст] / М.Т. Дженалиев, М.И. Рамазанов — Алматы: Гылым, 2010. — 334 с.

21. Жегалов В.И. Задача Гурса в четырехмерном пространстве [Текст] /

B.И. Жегалов, В.А. Севастьянов // Дифференц. уравнения. — 1996. — Т. 32, № 10. — C. 1429-1430.

22. Жегалов В.И. Об одном псевдопараболическом уравнении третьего порядка [Текст] / В.И. Жегалов, Е.А. Уткина // Изв. вузов. Матем. — 1999. — № 10. — C. 73-76.

23. Жегалов В.И. Трехмерные характеристические задачи с нормальными производными в граничных условиях [Текст] / В.И. Жегалов, А.Н. Миронов // Дифференц. уравнения. — 2000. — Т. 36, № 6. — C. 833-836.

24. Жегалов В.И. Об одном уравнении в частных производных четвертого порядка с тремя независимыми переменными [Текст] / В.И. Жегалов, Е.А. Уткина // Дифференц. уравнения. — 2002. — Т. 38, № 1. — C. 93-97.

25. Жегалов В.И. Уравнения с доминирующей частной производной [Текст] / В.И. Жегалов, А.Н. Миронов, Е.А. Уткина — Казань: Изд-во Казан. ун-та, 2014. — 385 с.

26. Жегалов В.И. Об одной задаче для обобщенного уравнения Буссинеска-Лява [Текст] / В.И. Жегалов // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. — 2019. — Т. 23, № 4. — C. 771-776.

27. Замышляева А.А. Начально-конечная задача для неоднородного уравнения Буссинеска-Лява [Текст] / А.А. Замышляева // Вестн. ЮУрГУ. Сер.

Матем. моделирование и программирование. — 2011. — № 10. — C. 22-29.

28. Иванчов Н.И. Краевые задачи для параболического уравнения с интегральными условиями [Текст] / Н.И. Иванчов // Дифференц. уравнения. — 2004. — Т. 40, № 4. — C. 547-564.

29. Ильин В.А. О существовании приведенной системы собственных и присоединенных функций у несамосопряженного обыкновенного дифференциального оператора [Текст] / В.А. Ильин // Теория чисел, математический анализ и их приложения, Сборник статей. Посвящается академику Ивану Матвеевичу Виноградову к его восьмидесятипятилетию, Тр. МИАН СССР. — 1976. — Т. 142 — C. 148-155.

30. Ильин В.А. Нелокальная краевая задача первого рода для оператора Штурма-Лиувилля в дифференциальной и разностной трактовках [Текст] /

B.А. Ильин, Е.И. Моисеев // Дифференц. уравнения. — 1987. — Т. 23, № 7. —

C. 1198-1207.

31. Ионкин Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием [Текст] / Н.И. Ионкин // Дифференц. уравнения. — 1977. — Т. 13, № 2. — C. 294-304.

32. Калитвин А.С. Операторы с частными интегралами в пространстве непрерывных функций, I [Текст] / А.С. Калитвин, Е.В. Янкелевич // Вестник ЧелГУ. — 1994. — № 2. — C. 61-67.

33. Калитвин А.С. Линейные операторы с частными интегралами [Текст] / А.С. Калитвин — Воронеж: ЦЧКИ, 2000. — 252 с.

34. Камынин Л.И. Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими граничными условиями [Текст] / Л.И. Камынин // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1964. — Т. 4, № 4. — C. 1006-1024.

35. Керефов А.А. Нелокальные краевые задачи для параболических уравнений [Текст] / А.А. Керефов // Дифференц. уравнения. — 1979. — Т. 15, № 1. — C. 74-78.

36. Кечина О.М. Нелокальная задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения в характеристическом прямоугольнике [Текст] / Л.С. Пулькина, О.М. Кечина // Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер. — 2009.

— Т. 28, № 2. — С. 80-88.

37. Кечина О.М. О разрешимости нелокальной задачи для уравнения третьего порядка [Текст] / О.М. Кечина // Вестн. СамУ. Естественнонаучн. сер. — 2017. — № 1. — С. 15-20.

38. Кожанов А.И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи [Текст] / А.И. Кожанов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 2004. — Т. 44, № 4. — С. 694-716.

39. Кожанов А.И. О разрешимости краевых задач с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерных гиперболических уравнений [Текст] / А.И. Кожанов, Л.С. Пулькина // Дифференц. уравнения.

— 2006. — Т. 42, № 9. — С. 1166-1179.

40. Кожанов А.И. О разрешимости некоторых пространственно нелокальных краевых задач для линейных гиперболических уравнений второго порядка [Текст] / А.И. Кожанов // Матем. заметки. — 2011. — Т. 90, № 2. — С. 254-268.

41. Костин А.Б. О некоторых задачах восстановления граничного условия для параболического уравнения. I [Текст] / А.Б. Костин, А.И. Прилепко // Дифференц. уравнения. — 1996. — Т. 32, № 1. — С. 107-116.

42. Кошляков Н.С. Уравнения в частных производных математической физики [Текст] / Н.С. Кошляков, Э.Б. Глинер, М.М. Смирнов — М.: Высшая школа, 1970. — 713 с.

43. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики [Текст] / О.А. Ладыженская — М.: Наука, 1973. — 408 с.

44. Лажетич Н. О существовании классического решения смешанной задачи для одномерного гиперболического уравнения второго порядка [Текст]

/ Н. Лажетич // Дифференц. уравнения. — 1998. — Т. 34, № 5. — С. 682-694.

45. Ломов И.С. Спектральный метод Ильина установления свойств базисности и равномерной сходимости биортогональных разложений на конечном интервале [Текст] / И.С. Ломов // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. — 2019. — Т. 19, № 1. — С. 34-58.

46. Миронов А.Н. О методе Римана решения задачи Коши [Текст] / А.Н. Миронов // Изв. вузов. Матем. — 2005. — № 2. — С. 34-44.

47. Миронов А.Н. Применение метода Римана к факторизованному уравнению в п-мерном пространстве [Текст] / А.Н. Миронов // Изв. вузов. Матем. — 2012. — № 1. — С. 54-60.

48. Муравей Л.А. Об одной задаче с нелокальным граничным условием для параболического уравнения [Текст] / Л.А. Муравей, А.В. Филиновский // Матем. сб. — 1991. — Т. 182, № 10. — С. 1479-1512.

49. Мюнтц Г. Интегральные уравнения [Текст] / Г. Мюнтц — М.;Л.: Гос. техн.-теоретич. изд-во, 1934. — 330 с.

50. Накоряков В.Е. Волновая динамика газо- и парожидкостных сред [Текст] / В.Е. Накоряков, Б.Г. Покусаев, И.Р. Шрейбер — М.: Энергоатомиздат, 1990. — 246 с.

51. Намсараева Г.В. Линейные обратные задачи для некоторых аналогов уравнения Буссинеска [Текст] / Г.В. Намсараева // Математические заметки СВФУ. — 2014. — Т. 21, № 2. — С. 47-59.

52. Нахушев А.М. Новая краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения [Текст] / А.М. Нахушев // Докл. АН СССР. — 1969. — Т. 187, № 4. — С. 736-739.

53. Нахушев А.М. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа [Текст] / А.М. Нахушев // Дифференц. уравнения. — 1969. — Т. 5, № 1. — С. 44-59.

54. Нахушев А.М. О задаче Дарбу для гиперболических уравнений [Текст]

/ А.М. Нахушев // Докл. АН СССР. — 1970. — Т. 195, № 4. — C. 776-779.

55. Нахушев А.М. О задаче Дарбу для одного вырождающегося нагруженного интегро-дифференциального уравнения второго порядка [Текст] / А.М. Нахушев // Дифференц. уравнения. — 1976. — Т. 12, № 1. — C. 103-108.

56. Нахушев А.М. Нелокальная задача и задача Гурса для нагруженного уравнения гиперболического типа и их приложения к прогнозу почвенной влаги [Текст] / А.М. Нахушев // Докл. АН СССР. — 1978. — Т. 242, № 5. — C. 1008-1011.

57. Нахушев А.М. Об одном приближенном методе решения краевых задач для дифференциальных уравнений и его приложения к динамике почвенной влаги и грунтовых вод [Текст] / А.М. Нахушев // Дифференц. уравнения. — 1982. — Т. 18, № 1. — C. 72-81.

58. Нахушев А.М. О нелокальных краевых задачах со смещением и их связи с нагруженными уравнениями [Текст] / А.М. Нахушев // Дифференц. уравнения. — 1985. — Т. 21, № 1. — C. 92-101.

59. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии [Текст] / А.М. Нахушев — М.: Высшая школа, 1995. — 301 с.

60. Нахушев А.М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных [Текст] / А.М. Нахушев — М.: Наука, 2006. — 287 с.

61. Нахушев А.М. Нагруженные уравнения и их применение [Текст] / А.М. Нахушев — М.: Наука, 2012. — 232 с.

62. Нахушева З.А. Об одной нелокальной задаче для уравнений в частных производных [Текст] / З.А. Нахушева // Дифференц. уравнения. — 1986. — Т. 22, № 1. — C. 171-174.

63. Нахушева З.А. Первая и вторая краевые задачи в интегральной постановке для параболического уравнения второго порядка [Текст] / З.А. Нахушева // Дифференц. уравнения. — 1990. — Т. 26, № 11. — C. 1982-1992.

64. Нахушева З.А. Задача Самарского для уравнения фрактальной

диффузии [Текст] / З.А. Нахушева // Матем. заметки. — 2014. — Т. 95, № 6. — C. 878-883.

65. Панеях Б.П. О некоторых нелокальных краевых задачах для линейных дифференциальных операторов [Текст] / Б.П. Панеях // Матем. заметки. — 1984. — Т. 35, № 3. — C. 425-434.

66. Пинигина Н.Р. Нелокальные по времени краевые задачи для вырождающихся уравнений соболевского типа [Текст] / Н.Р. Пинигина // Вестн. НГУ. Сер. матем., мех., информ. — 2014. — Т. 14, № 2. — C. 49-62.

67. Прилепко А.И. Фредгольмовость обратной задачи об источнике для параболических систем [Текст] / А.И. Прилепко // Дифференц. уравнения. — 2003. — Т. 39, № 12. — C. 1693-1700.

68. Пулькина Л.С. Об одной неклассической задаче для вырождающегося гиперболического уравнения [Текст] / Л.С. Пулькина // Изв. вузов. Матем. — 1991. — № 11. — C. 48-51.

69. Пулькина Л.С. О разрешимости в L2 нелокальной задачи с интегральными условиями для гиперболического уравнения [Текст] / Л.С. Пулькина // Дифференц. уравнения. — 2000. — Т. 36, № 2. — C. 279-280.

70. Пулькина Л.С. Смешанная задача с интегральным условием для гиперболического уравнения [Текст] / Л.С. Пулькина // Матем. заметки. — 2003. — Т. 74, № 3. — C. 435-445.

71. Пулькина Л.С. Краевые задачи для гиперболического уравнения с нелокальными условиями I и II рода [Текст] / Л.С. Пулькина // Изв. вузов. Матем. — 2012. — № 4. — C. 74-83.

72. Пулькина Л.С. Задачи с неклассическими условиями для гиперболических уравнений [Текст] / Л.С. Пулькина — Самара: Издательство «Самарский Университет», 2012. — 194 с.

73. Самарский А.А. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений [Текст] / А.А. Самарский // Дифференц. уравнения. — 1980. — Т.

16, № 11. — С. 1925-1935.

74. Скубачевский А.Л. Неклассические краевые задачи. I [Текст] / А.Л. Скубачевский // СМФН. — 2007. — № 26. — С. 3-132.

75. Скубачевский А.Л. Неклассические краевые задачи. II [Текст] / А.Л. Скубачевский // СМФН. — 2009. — № 33. — С. 3-179.

76. Скубачевский А.Л. Краевые задачи для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений и их приложения [Текст] / А.Л. Скубачевский // УМН. — 2016. — Т. 71, № 5. — С. 3-112.

77. Соболев С.Л. Уравнения математической физики [Текст] / С.Л. Соболев — М.: Наука, 1966. — 444 с.

78. Солдатов А.П. Краевые задачи с общим нелокальным условием А. А. Самарского для псевдопараболических уравнений высокого порядка [Текст] / А.П. Солдатов, М.Х. Шхануков // Докл. АН СССР. — 1987. — Т. 297, № 3. — С. 547-552.

79. Стеклов В.А. Задача об охлаждении неоднородного твердого стержня [Текст] / В.А. Стеклов // Сообщ. Харьков. матем. общ. Вторая сер. — 1897. — № 5. — С. 136-181.

80. Уткина Е.А. О задачах со смещениями в граничных условиях для двух уравнений с частными производными [Текст] / Е.А. Уткина // Учён. зап. Казан. гос. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. — 2006. — Т. 148, № 4. — С. 76-82.

81. Уткина Е.А. Задача Неймана для одного уравнения четвёртого порядка [Текст] / Е.А. Уткина // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. — 2009. — № 2. — С. 29-37.

82. Уткина Е.А. О единственности решения полуинтегральной задачи для одного уравнения четвертого порядка [Текст] / Е.А. Уткина // Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер. — 2010. — № 4. — С. 98-102.

83. Фаге М.К. Задача Коши для уравнения Бианки [Текст] / М.К. Фаге // Матем. сб. — 1958. — Т. 45, № 3. — С. 281-322.

84. Федотов И.А. Теория свободных и вынужденных колебаний твердого стержня, основанная на модели Рэлея [Текст] / И.А. Федотов, А.Д. Полянин, М.Ю. Шаталов // Доклады академии наук. — 2007. — Т. 417, № 1. — C. 1-7.

85. Чудновский А.Ф. Теплофизика почв [Текст] / А.Ф. Чудновский — М.: Наука, 1976. — 352 с.

86. Шхануков М.Х. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах [Текст] / М.Х. Шхануков // Дифференц. уравнения. — 1982. — Т. 18, № 4. — C. 689-699.

87. Юрчук Н.И. Смешанная задача с интегральным условием для некоторых параболических уравнений [Текст] / Н.И. Юрчук // Дифференц. уравнения. — 1986. — Т. 22, № 12. — C. 2117-2126.

88. Bazant Z.P. Nonlocal Integral Formulations of Plasticity and Damage: Survey of Progress [Текст] / Z.P. Bazant, M. Jirasek // Journal of Engineering Mechanics. — 2002. — Vol. 128, no. 11. — P. 1119-1149.

89. Bateman H. Logarithmic Solutions of Bianchi's Equation [Текст] / H. Bateman // Proceedings of the National Academy of Sciences. — 1933. — Vol. 19, no. 9. — P. 852-854.

90. Beilin S.A. Existense of solutions for one-dimensional wave equations with nonlocal conditions [Electronic Resource] / S.A. Beilin // Electronic Journal of Differential Equations. — 2001. — Vol. 2001, no. 76. — Mode of access: https://ejde.math.txstate.edu/Volumes/2001/76/beilin.pdf.

91. Beilin S.A. On a mixed nonlocal problem for a wave equation [Electronic Resource] / S.A. Beilin // Electronic Journal of Differential Equations. — 2006. — Vol. 2006, no. 103. — Mode of access: https://ejde.math.txstate.edu/Volumes/2006/103/beilin.pdf.

92. Bianchi L. Sulla estensione del metodo di Riemann alle equazioni lineari alle derivate parziali d'ordine superiore [Текст] / L. Bianchi // Accademia dei Lincei

Rendiconti Serie V Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. — 1895. — Vol. IV, no. 1. — P. 89-99.

93. Bouziani A. On the solvability of parabolic and hyperbolic problems with a boundary integral condition [Текст] / A. Bouziani // International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. — 2002. — Vol. 31, no. 4. — P. 201-213.

94. Bouziani A. A mixed problem with only integral boundary conditions for a hyperbolic equation [Текст] / A. Bouziani // International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. — 2004. — Vol. 2004, no. 24. — P. 1279-1291.

95. Cannon J.R. The solution of the heat equation subject to the specification of energy [Текст] / J.R. Cannon // Quarterly of Applied Mathematics. — 1963. — Vol. 21, no. 2. — P. 155-160.

96. Colton D. Pseudoparabolic equations in one space variable [Текст] / D. Colton // Journal of Differential Equations. — 1972. — Vol. 12, no. 3. — P. 559565.

97. Gilev A.V. Two problems for Fourth Order Equations with Nonlocal Conditions in Characteristic Domain [Текст] / A.V. Gilev, L.S. Pulkina // Journal of Mathematical Sciences. — 2023. — Vol. 270, no. 4. — P. 547-555.

98. Gilev A.V. On Certain Method for Studying the solvability of a Nonlocal Problem for the Bousinesq-Love Equation [Текст] / A.V. Gilev // Lobachevskii Journal of Mathematics. — 2024. — Vol. 45, no. 11. — P. 5497-5507.

99. Krall A.M. The development of general differential and general differential-boundary systems [Текст] / A.M. Krall // Rocky Mountain Journal of Mathematics. — 1975. — Vol. 5, no. 4. — P. 493-542.

100. Niccoletti O. Sulla estensione del metodo di Riemann alle equazioni lineari alle derivate parziali d'ordine superiore [Текст] / O. Niccoletti // Accademia dei Lincei Rendiconti Serie V Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. — 1895. — Vol. IV, no. 1. — P. 330-337.

101. Pulkina L.S. A non-local problem with integral conditions for hyperbolic

equations [Electronic Resource] / L.S. Pulkina // Electronic Journal of Differential Equations. — 1999. — Vol. 1999, no. 45. — Mode of access: https://ejde.math.txstate.edu/Volumes/1999/45/pulkina.pdf.

102. Rao S. Vibration of Continuous Systems [Текст] / S. Rao — USA, Hoboken: John Wiley & Sons, Inc., 2019. — 816 p.