Разработка методов трехуровневого математического моделирования эффективных термомеханических характеристик композиционных материалов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Сергеева Елена Сергеевна

• Сергеева Елена Сергеевна
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Сергеева Елена Сергеевна

Введение

Глава 1. Математические модели для определения эффективных термомеханических характеристик композиционных материалов

1.1. Аналитические методы определения эффективных термомеханических характеристик композиционных материалов

1.2. Численные и комбинированные методы решения задач термомеханики композитов

1.3. Результаты главы

Глава 2. Термомеханические характеристики компонентов на-

нокомпозита, состоящего из ОУНТ и модифицированной

матрицы

2.1. Упругие свойства ОУНТ

2.1.1. Основные соотношения и допущения

2.1.2.Математическая модель для установления зависимости упругих свойств ОУНТ от ее конфигурации и

упругих характеристик графена, взятого за ее основу 44 2.1.3. Оценка влияния длины ОУНТ на ее упругие свойства

2.1.4. Результаты расчетов упругих характеристик ОУНТ 52 2.2. Определение эквивалентных коэффициентов теплопроводности и температурного коэффициента линейного расширения ОУНТ

2.2.1. Температурный коэффициент линейного расширения ОУНТ

2.2.2. Математическая модель переноса тепловой энергии теплопроводностью в нанотрубке

2.2.3. Результаты расчетов тепловых характеристик ОУНТ

Стр.

2.3. Термомеханические характеристики матрицы, модифицированной нанокластерами из ОУНТ

2.3.1. Термомеханические характеристики нанокластеров

из ОУНТ

2.3.2. Аналитические модели для определения термомеханических характеристик модифицированной матрицы

2.3.3. Конечно-элементное моделирование термомеханического поведения модифицированной матрицы

2.3.4. Результаты расчетов термомеханических характеристик модифицированной матрицы

2.4. Результаты главы

Глава 3. Численный алгоритм, позволяющий установить связь

моделей на 3-м и 2-м уровнях трехуровневого моделирования термомеханических характеристик композиционных материалов

3.1. Исследование возможности применения различных математических моделей для определения термомеханических характеристик композитов

3.2. Конечно-элементная модель ячейки периодичности композита

3.3. Численный алгоритм, связывающий модели 2-го и 3-го уровней. Разработанный конечный элемент, соответствующий ячейке периодичности композита

3.4. Результаты главы

Глава 4. Программный комплекс «ThermoMech2D»

4.1. Структура программного комплекса «ТЬегшоМесЬ20»

4.1.1. Определение упругих свойств ОУНТ — первый уровень моделирования

4.1.2. Определение упругих свойств ячейки периодичности композита — второй уровень моделирования

Стр.

4.1.3. Составление конечного элемента, соответствующего ячейке периодичности композита. Упругий расчет тела из периодического композита — 3 уровень моделирования

4.2. Верификация программного комплекса «ТЬегшоМесЬ20»

4.3. Пример расчета

4.4. Результаты главы

Основные результаты, выводы и заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка методов трехуровневого математического моделирования эффективных термомеханических характеристик композиционных материалов»

Введение

Актуальность темы. В процессе проектирования элементов конструкции, эксплуатируемой при высокоинтенсивном одновременном воздействии полей различной природы, необходимо располагать комплексом термомеханических характеристик применяемых материалов. В этот комплекс помимо параметров, определяющих пределы прочности композитов, входят их термоупругие и теплофизические характеристики. К таким характеристикам, прежде всего, следует отнести зависящие от температуры и структуры материала модули упругости, температурные коэффициенты линейного расширения (ТКЛР) и коэффициенты теплопроводности, которые можно условно объединить общим термином «термомеханические свойства материала».

Широкое использование в качестве конструкционных и функциональных получили композиционные материалы (композиты), представляющие собой неоднородный материал, состоящий из связующего (матрицы) и комплекса армирующих включений. Подобные материалы относят к структурно-чувствительным, так как их характеристики в значительной степени определены внутренней структурой. Использование композитов в технике позволяет существенно снизить массу проектируемой конструкции при сохранении или даже улучшении ее эксплуатационных свойств, что особенно важно в аэрокосмической и энергетической отраслях.

В композиционных материалах матрица выполняет функцию соединителя армируюших элементов, так как она обеспечивает монолитность материала, фиксирует форму изделия и способствует совместной работе включений [1]. Тип матрицы определяет метод изготовления конструкции.

Материал матрицы должен удовлетворять определенному набору требований: эксплуатационных (жесткость, прочность, способность к об-

разованию монолитного материала, термостойкость, химическая устойчивость, электрические свойства, устойчивость к воздействию внешней среды) и технологических (хорошее смачивание армирующих элементов в процессе пропитки для жидких матриц; возможность изготовления полуфабрикатов (препрегов) с последующим изготовлением из них изделий; качественное соединение слоев композита в процессе формования; невысокие значения параметров окончательного формования (температуры, давления); высокая прочность сцепления матрицы с армирующими элементами).

Наиболее широко применяемыми типами матрицы являются металлическая и полимерная. В полимерных композиционных материалах в качестве материала матрицы используют полимеры различных типов [2]: термопласты (полиамиды, фторопласты и т.д.), реактопласты (эпоксидные, фенольные, полиэфирные смолы и т.д.) и эластомеры (различные каучуки). Типичными композитами с металлической матрицей являются материалы с матрицами из алюминия, титана, магния, меди и никеля [2].

По структуре армирования композиционные материалы можно разделить на основные классы [3]: волокнистые, слоистые, упрочненные частицами и дисперсноупрочненные.

В качестве упрочняющих элементов используют включения различной формы (частицы различной геометрии, волокна, нитевидные кристаллы, пленки, пластины, слоистые наполнители) и природы (металлические, жидкокристаллические, керамические, углеродные и др.).

Наиболее перспективными и наименеее изученными элементами для упрочнения материалов являются наноразмерные объекты, размер которых не превышает 100 нм [4], (фуллерены, пластинки графена, однослойные и многослойные нанотрубки) из углерода, нитрида бора, карбида кремния и др. Также в качестве армирующих включений рассматривают нанокластеры — конгломераты наноразмерных объектов, характерные размеры которых могут достигать нескольких сотен нанометров.

Материалы, армированные наноразмерными объектами, носят название нанокомпозитов. Из литературных источников известно, что даже при малых концентрациях наноразмерных армирующих включений, например, углеродных, значительно увеличиваются термомеханические свойства материала [5,6].

К настоящему времени основными методами получения объемных нанокомпозитов являются кристаллизация из аморфного состояния и порошковая металлургия. С применением этих подходов успешно получают нанокомпозиты с металлическими и полимерными матрицами [7,8].

Таким образом, нанокомпозиты представляют большой интерес в качестве конструкционных и функциональных материалов, благодаря их улучшенным механическим и тепловым свойствам, например, большие значения упругих модулей, высокая прочность и низкая теплопроводность. Уникальные характеристики таких материалов открывают возможности значительного улучшения существующих и разработки и создания принципиально новых конструкций и приборов, для которых использование традиционных материалов является невозможным.

На этапе проектирования элемента кострукции необходимо располагать достоверными оценками термомеханических характеристик выбранного материала. Экспериментальные методы исследования являются наиболее надежными, однако их использование сопряжено зачастую со значительными временными и финансовыми затратами.

Поэтому для прогнозирования свойств конструкционных материалов с наноструктурой актуальным является использование методов математического моделирования, а именно, методов механики сплошной среды [9], эффективность применения которых для подобных материалов была показана в литературных данных, например, в [10].

К таким методам относятся различные подходы к осреднению характеристик композиционных материалов. Они могут быть разделены

на аналитические и численные, среди которых стоит отдельно выделить подходы, основанные на методе конечных элементов.

Аналитические методы осреднения основаны на элементах структурного анализа и предполагают выражение термомеханических характеристик армированной среды через термомеханические характеристики связующего и армирующего материалов, через коэффициенты армирования, размеры армирующих элементов и другие макроскопические параметры. Эти подходы позволяют предсказывать термомеханические свойства композитов по соответствующим свойствам их компонентов, решать вопросы оптимального проектирования армированных материалов и т. д.

Большой вклад в развитие аналитических методов исследования термомеханических свойств композитов внесли работы [11-32] таких ученых, как В. Фойгт, А. Рейсс, Р. Хилл, З. Хашин, Б.В. Розен, Дж. Эшелби, Т.Д. Шермергор, А.М. Скудра, Ф.Я. Булавс, А.К. Мал-мейтер, В.П. Тамуж, Г.А. Тетерс, Ю.М. Тарнопольский, Б.Е. Побед-ря, Р. Кристенсен, Л.П. Хорошун, Х. Карслоу, Д. Егер, В.В. Васильев, В.С. Зарубин, Г.Н. Кувыркин, Н.Н. Головин, Д.С. Лисовенко и др.

Достоинства аналитических методов заключаются том, что они подробно изучены, в простейших случаях позволяют сразу получить решение, у них малые требования к вычислительным мощностям, и они позволяют вывести общие зависимости, не прибегая к итерационным методам.

К недостаткам аналитических методов можно отнести громоздкий вид искомых соотношений и требование большого числа упрощений и допущений, в значительной степени произвольных, которые в большинстве реальных задач не могут быть использованы.

Также стоит отдельно упомянуть асимптотические методы, описанные в работах [22,33-36] И.М. Лифшица, Л.Н. Розенцвейга, Н.С. Ба-хвалова, Г.П. Панасенко, Б.Е. Победри, Ю.И. Димитриенко и его учеников и др. Основная суть таких методов заключается в поиске реше-

ния, представимого в виде рядов по степеням малого параметра (размер стороны периодически повторяющейся ячейки) с коэффициентами, зависящими и от макроскопических («медленных»), и микроскопических («быстрых») переменных.

Впервые схема вычисления эффективных характеристик неоднородных сред была предложена в работе [33] И.М. Лифшица и Л.Н. Розенцвейга.

Достоинства асимпотических методов заключаются в том, что они являются точными, подробно изучены и в простейших случаях позволяют сразу получить решение. Недостатками этих методов являются громоздкость вывода искомых соотношений и применимость только в случае принятия допущения о периодичности среды.

В наше время активное развитие и применение получили численные методы осреднения, среди которых стоит выделить методы, основанные на МКЭ, и многосеточные методы.

Методы осреднения с использованием МКЭ заключаются в тех или иных манипуляциях с матрицами жесткости и теплопроводности. Изучению термомеханических свойств композитов с использованием таких методов посвящено подавляющее большинство работ современных авторов. Например, А.С. Курбатов и А.Л. Медведский в своих работах [37, 38] используют МКЭ для исследования напряженно-деформированного состояния композитов с дефектами и определения упругих эффективных характеристик пространственно-армированных композиционных материалов.

Многосеточные методы разработаны и использованы для осреднения характеристик композитов в работах [39-41] В.В. Шайдурова, С.П. Копысова, Ю.А. Сагдеевой и др.

Большой вклад в численные методы, позволяющие реализовать методы осреднения, внесли работы [42-48] ученых А.Н. Тихонова, А.А. Самарского, В.Ф. Формалева, С.С. Кутателадзе, О.С. Зенкевича, А.И. Леон-

тьева и др.

Существует класс методов осреднения, заключающийся в «симбиозе» аналитических методов и численных. Эти методы применяют в задачах осреднения процессов в периодических средах и прогнозирования свойств композиционных материалов. Методы, включающие в себя совместное использование асимптотических методов осреднения и метод конечных элементов, активно используют для расчёта эффективных характеристик [49-51].

Таким образом, существует достаточно большое количество работ, посвященное разработке методов исследования термомеханических характеристик, применимых к композитам. Однако к настоящему времени нет формализованного подхода к построению трехуровневых математических моделей, под которыми понимают модели, связывающие термомеханические характеристики компонент композита (1-й уровень), материала в целом (2-й уровень) и объекта из этого материала (3-й уровень).

Следовательно, разработка методов трехуровневого моделирования термомеханических характеристик структурно-чувствительных материалов является актуальной задачей.

Объектом исследования являются нанокомпозиты, упрочненные включениями из графена.

Предметом исследования являются термомеханические характеристики нанокомпозитов, упрочненных включениями из графена.

Цель исследования. Целью данной работы является разработка методов построения трехуровневых математических моделей термоупругости и теплопроводности для композита, армированного наноструктур-ными элементами, связывающих напряженно-деформированные состояния на 1-м, 2-м и 3-м уровнях, на основе принципов механики сплошной среды, а также создание программного комплекса на их основе, позволяющего проводить термомеханические расчеты элементов конструкции.

Для достижения поставленной цели потребовалось решение сле-

дующих основных задач:

1. Сравнительный анализ существующих математических моделей термоупругости и теплопроводности для неоднородного твердого тела.

2. Разработка и построение математических моделей термоупругости и теплопроводности для армирующих включений на 1-м уровне.

3. Реализация и анализ применимости математических моделей термоупругости и теплопроводности нанокомпозита на 2-м уровне.

4. Построение численных алгоритмов, основанных на принципах многосеточных методов, обеспечивающих наиболее полную связь напряженно-деформированных состояний композита (2-й уровень) и объекта из него (3-й уровень) на примере задачи упругости.

5. Разработка и верификация программного комплекса для ЭВМ, предназначенного для моделирования термомеханических свойств элементов конструкции из нанокомпозита.

Методы исследования. При решении задач, возникших в ходе выполнения диссертационной работы, были использованы методы вариационного исчисления и тензорной алгебры, метод конечных элементов и многосеточные методы.

Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечена строгостью используемого математического аппарата механики сплошной среды и подтверждена сравнением результатов с известными литературными данными.

Научная новизна. В диссертационной работе разработан подход к построению трехуровневых математических моделей термоупругости и теплопроводности для твердого тела с наноструктурой, связывающих напряженно-деформированные состояния на первом, втором и третьем уровнях.

С использованием методов механики сплошной среды построена математическая модель, связывающая упругие характеристики однослойной углеродной нанотрубки (ОУНТ) с соответствующими свойствами графена, взятого за ее основу.

Разработан численный алгоритм, обеспечивающий связь напряженно-деформированных состояний моделей второго и третьего уровней.

Для композита с периодической структурой получены соотношения, описывающие конечный элемент, соответствующий ячейке периодичности такого материала.

Создан конечно-элементный программный комплекс «ТИегтоМесИ-2Э» с модульной структурой для трехуровневого моделирования термомеханических характеристик композитов.

Практическая и теоретическая значимость диссертационной работы связана с ее методологической и прикладной направленностью и состоит в том, что разработанные методы трехуровневого математического моделирования термомеханических характеристик структурно-чувствительных материалов являются основой при прогнозировании поведения новых перспективных конструкционных и функциональных материалов.

Разработан и зарегистрирован программный комплекс «ТИегто-МесЬ2Э—численный расчет эффективных термомеханических характеристик структурно-чувствительных композиционных материалов» (свидетельство о государственной регистрации в Реестре программ для ЭВМ № 2019614994 от 16.04.2019 г.).

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Подход к построению трехуровневых математических моделей термоупругости и теплопроводности для твердого тела с наноструктурой, связывающих напряженно-деформированные состояния на 1-м, 2-м и 3-м уровнях.

2. Математическая модель для расчета упругих характеристик

ОУНТ на основании данных об упругих свойствах графена и конфигурации нанотрубки, построенная с использованием методов механики сплошной среды.

3. Численный алгоритм, обеспечивающий взаимосвязь напряженно-деформированных состояний композита и объекта из него.

4. Конечно-элементный программный комплекс «ThermoMech2D» с модульной структурой для трехуровневого моделирования термомеханических характеристик композитов.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы апробированы на XXI Школе-семинаре молодых ученых и специалистов под руководством академика РАН А.И. Леонтьева «Проблемы газодинамики и тепломассообмена в энергетических установках» (г. Санкт-Петербург, 2017), Международной конференции «Современные проблемы математического моделирования, обработки изображений и параллельных вычислений» (СПММОИиПВ-2017) (пос. Дивноморское, 2017), Международной конференции V International Conference of Topical Poblems of Continuum Mechanics (г. Цахкадзор, Республика Армения, 2017), Международной конференции «Fundamental and applied problems of mechanics FAPM-2017» (г. Москва, 2017), Международной конференции «Современные проблемы теплофизики и энергетики» (г. Москва,

2017), Седьмой Российской Национальной конференции по теплообмену РНКРТ-7 (г. Москва, 2018), Международной конференции «Advance in composite science and technologies» (г. Москва, 2018), 16 International Conference Of Numerical Analysis And Applied Mathematics (о. Родос,

2018), Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики» (г. Воронеж, 2018), Международной научно-технической конференции «Пром-Инжиниринг» (г. Москва, 2018), Международной инновационной конференции молодых учёных и студентов по современным проблемам маши-

новедения «МИКМУС-2018» (г. Москва, 2018), 17 International Conference Of Numerical Analysis And Applied Mathematics (о. Родос, 2019).

Диссертация является составной частью фундаментальных исследований, проводимых в рамках гранта РФФИ 18-38-20108 мол_а_вед «Разработка математических моделей функционирования структурно-чувствительных материалов на основе численных решений и асимптотических представлений определяющих уравнений», гранта РФФИ 1838-00618 мол_а «Разработка математических моделей и численных методов исследования термомеханических процессов в структурно-чувствительных материалах», гранта Президента Российской Федерации по государственной поддержке молодых ученых-кандидатов наук, проект МК-6573.2015.8 «Разработка математических моделей и численных методов исследования термомеханических процессов в элементах конструкций из структурно-чувствительных материалов», гранта Президента Российской Федерации по государственной поддержке молодых ученых-кандидатов наук, проект МК-1069.2018.8 «Разработка математических моделей новых структурно-чувствительных материалов с учетом их производства», государственного задания Минобрнауки РФ, проект 9.7784.2017/БЧ «Разработка методов оценки термомеханических и электрофизических характеристик структурно-чувствительных материалов».

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 23 научных работах [52-74], в том числе в 7 статьях [57,59,60,64-66,72] в научных журналах и изданиях, которые включены в Перечень российских рецензируемых научных журналов и изданий для опубликования основных научных результатов диссертаций и 6 тезисах и докладах международных и всероссийских конференций [75-80].

Основной вклад соискателя. Все исследования, изложенные в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной

деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю, заимствованный материал обозначен в работе ссылками.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, результатов, и списка литературы. Работа изложена на 129 страницах, содержит 45 иллюстраций и 6 таблиц. Список литературы включает 191 наименование.

1. Математические модели для определения эффективных термомеханических характеристик композиционных материалов

В настоящее время существует большое разнообразие композитов, однако развитие технологий требует создания новых материалов с улучшенными характеристиками. В течение XX-го века были разработаны различные методы определения эффективных термомеханических свойств композитов, их компонетов и конструкций из таких материалов.

Наименее изученным вопросом в области моделирования термомеханических характеристик композиционного материала является взаимосвязь свойств его компонентов, композита в целом и объекта из него. Для построения трехуровневых моделей, описывающих термомеханические свойства композита, рассмотрим существующие методы моделирования механики сплошной среды и проведем анализ их применимости к случаю нанокомпозита.

1.1. Аналитические методы определения эффективных термомеханических характеристик композиционных материалов

В области определения термомеханических характеристик композитов существует множество методов, поэтому для структурирования изложения материала сначала будет рассмотрен самый большой их класс — аналитические методы.

Среди списка работ, посвященных аналитическим методам, необходимо выделить труды В. Фойгта [11] и А. Рейсса [12], так как именно в них сформулированы основные принципы механики композиционных материалов. В работах этих ученых определение характеристик неоднородных сред проведено путем осреднения по объему свойств их компонент, для которого использованы взаимнообратные тензоры коэффици-

ентов упругости и податливости соответственно.

В 1910 г. В. Фойгт выдвинул гипотезу об однородности деформированного состояния в микроскопически неоднородной линейно упругой макроскопически изотропной среде. На основе введенного предположения осреднение напряжений в такой среде приводит к осреднению тензора коэффициентов упругости.

Согласно гипотезе, выдвинутой в 1929 г. А. Рейссом, однородным в микроскопически неоднородной линейно упругой макроскопически изотропной среде принято напряженное состояние. Это приводит к осреднению тензора коэффициентов податливости.

Описанные способы определения характеристик композита путем осреднения тензоров коэффициентов упругости и податливости в современной литературе носят названия метода Фойгта и метода Рейсса соответственно.

Р. Хилл в работе [13] показал, что для определения эффективных упругих характеристик макроскопически изотропного композита использование метода Фойгта позволяет получить верхнюю границу возможных значений искомых свойств, а применение метода Рейсса — нижнюю. В современной литературе совместное использование метода Фойгта и метода Рейсса называют методом Фойгта-Рейсса.

Описанный метод позволяет получить зависимости нижней и верхней границ возможных значений модуля упругости, модуля сдвига, объемного модуля упругости и коэффициента Пуассона композита от упругих свойств и объемных концентраций его компонентов.

Достоинствами этого метода являются:

• его хорошая изученность;

• простота разрешающих соотношений;

• возможность получения гарантированных оценок искомых упругих

характеристик.

К недостаткам следует отнести:

• большое количество введенных допущений и упрощений, не всегда имеющих место в реальном материале;

• отсутствие учета геометрии армирующих включений и их взаимного расположения;

• слишком широкий диапазон возможных значений упругих характеристик материала, так как различие в значениях верхних и нижних оценок может достигать нескольких порядков;

• отсутствие возможности моделировать упругое поведение пористого тела, так как при наличии пор нижние оценки становятся некорректными.

Стоит отметить, что приведенные достоинства и недостатки метода Фойгта-Рейсса в той или иной степени можно распространить на подавляющее большинство аналитических методов оценки термомеханических свойств неоднородных материалов.

Метод, позволяющий определить границы возможных значений эффективных модулей упругости материала, известен как вариационный, предложен в 1962 г. З. Хашином и С. Штрикманом [81]. Целью этого метода является сужение «вилки» Фойгта-Рейсса. Основными идеями метода Хашина-Штрикмана являются введение в рассмотрение тензора упругой поляризации через представление об однородном изотропном теле сравнения и предположение неоднородности полей напряжений и деформаций. Оценки, полученные этим методом, являются неулучшае-мыми оценками, которые можно получить без учета геометрии частиц компонент композита, однако для многих композиционных материалов и «вилка» Хашина-Штрикмана оказывается достаточно широкой.

Этот метод применим для классических ситуаций композитов, а именно, когда матрица является более мягкой, чем включения, и вы-

полнено условие (^ — Ю ^2 — G1) >0, где K и G — объемный модуль упругости и модуль сдвига соответственно, а нижними индексами 1 и 2 обозначены мягкий и жесткий компоненты.

Однако, возможен и иной случай (^ — — G1) <0. Этот слу-

чай соответствует тому, что компонент, имеющий большую жесткость относительно объемных деформаций, может иметь меньшую жесткость относительно сдвиговых деформаций. Подход, применимый в обоих случаях, был разработан Л. Волполом [82,83]. В нем были рассмотрены различные граничные условия, соответствующие первой и второй краевым задачам теории упругости.

Еще один метод, являющийся вариантом вариационного подхода, позволяющий получить эти границы возможных значений эффективных модулей упругости материала, носит название двойственной вариационной формы модели линейной упругости в неоднородном линейно упругом твердом теле [28]. Эта форма содержит два альтернативных функционала (минимизируемый и максимизируемый), которые на истинных распределениях перемещений и напряжений достигают равных по значению экстремумов. В настоящее время данный метод активно используют в своих работах и развивают В.С. Зарубин и Г.Н. Кувыркин [84,85].

В работах [33,86] И.М. Лифшиц и Л.Н. Розенцвейг для определения упругих эффективных характеристик впервые применили корреляционное приближение теории случайных функций. Также данный метод использован в работах А.Г. Фокина и Т.Д. Шермергора [87,88] и Е. Кре-нера [89]. Он заключается в представлении эффективных тензоров упругости и податливости в виде суммы среднего значения и корреляционных поправок, которые учитывают взаимодействия частиц неоднородностей. В данном методе учитывают только парные взаимодействия, что приводит к отбрасыванию корреляционных функций более высокого порядка, чем бинарные.

Недостатком корреляционного приближения является ограничен-

ная область его применения, а именно, для композитов, упругие модули компонент которых мало отличаются друг от друга, и армированных включениями со слабой анизотропией.

Метод, позволяющий учитывать все типы, а не только парные взаимодействия частиц неоднородности в работах [90-92] использовали А.Г. Фокин и Т.Д. Шермергор. Этот метод носит название сингулярного приближения теории случайных функций. Сингулярное приближение заключается в том, что в интегральных уравнениях равновесия, ядра которых предсталяют собой вторые производные тензора Грина для изотропной неограниченной среды, удерживают только сингулярные составляющие этих производных.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Сергеева Елена Сергеевна, 2020 год

Литература

1. Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1988. 272 с.

2. Справочник по композиционным материалам. В 2 кн. Кн. 1. / Под ред. Дж. Любина; пер. с англ. А.Б. Геллера и др.; под ред Б.Э. Геллера. М.: Машиностроение, 1988. 448 с.

3. Композиционные материалы: Справочник / В.В. Васильев,

B.Д. Протасов, В.В. Болотин и др.; под ред. В.В. Васильева, Ю.М. Тарнопольского. М.: Машиностроение, 1990. 512 с.

4. Palermo P. Structural ceramic nanocomposites: a review of properties and powders' synthesis methods // Nanomaterials. 2015. V. 5. № 2. P. 656-696.

5. Бочкарева Л.В., Саникович Д.М. Компьютерное моделирование свойств материалов, укрепленных углеродными нанотрубками // Доклады БГУИР. 2007. № 3. С. 68-73.

6. Тарасов В.А., Степанищев Н.А. Упрочнение полиэфирной матрицы углеродными нанотрубками // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана, Сер. Приборостроение. 2010. Спецвыпуск «Наноинженерия».

C. 53- 65.

7. Колодов В., Тринеева В., Васильченко Ю., Захаров А. Производство и использование металл-углеродных нанокомпозитов // Промышленные нанотехнологии. 2011. № 3. С. 24-26.

8. Матренин С.В., Овечкин Б.Б. Наноструктурные материалы в машиностроении. Томск: Изд-во Томского политехничекого университета, 2009. 186 с.

9. Онами М., Ивасимидзу С., Гэнка К. и др. Введение в микромеханику: пер. с япон. М.: Металлургия, 1987. 180 с.

10. Подрыга В.О., Поляков С.В. Многомасштабный трехуровневый подход к решению задач нанотехнологий. М.: Изд-во РАН, 2017. 20 с.

11. Voigt W. Lehrbuch der Kristallphysik. Berlin-Leipzig, Teubner-Verlag, 1910. 964 c.

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

Reuss A. Berechnung der Fließgrenze von Mischkristallen auf Grund der Plastizitatsbedingung vur Einkristall. // Zeitschrift fur angewandte mathematik und mechanik. 1929. Bd. 9. H. 1, P. 49-58.

Hill R. The elastic behaviour of a crystalline aggregate // Proceedings of the physical society, 1952. V. 65, N 389. P. 349-354. Хилл Р. Упругие свойства составных сред, некоторые теоретические принципы: пер. с англ.// Механика. 1964. В. 5. С. 127-143. Hashin Z. Theory of mechanical behaviour of heterogeneous media // Applied Mechanics Reviews. 1964. V. 17, № 1. P. 1-10. Хашин З., Розен Б.В. Упругие модули материалов, армированных волокнами: пер. с англ. // Прикладная механика. Сер. Е. 1964. № 2. C. 223-232.

Эшелби Дж. Континуальная теория дислокаций / пер. с англ. М.: ИЛ, 1963. 248 с.

Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. М.: Наука, 1977. 400 с.

Скудра А.М., Булавс Ф.Я. Прочность армированных пластиков. М.: Химия, 1982. 216 с.

Скудра А.М., Булавс Ф.Я. Структурная теория армированных пластиков. Рига: Зинатне. 1978. 102 с.

Малмейстер А.К., Тамуж В.П., Тетерс Г.А. Сопротивление полимерных и композитных материалов. Рига: Зинатне, 1980. 572 с. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов: М.: Изд-во. МГУ, 1984. 336 с.

Победря Б.Е., Якушев Р.С. О структурной механике резинокордных композитов // Математическое моделирование систем и процесов. 2004. № 12. С. 70-74.

Кристенсен Р. Введение в механику композитов: пер. с англ. М.: Мир, 1982. 336 с.

Хорошун Л.П. К теории изотропного деформирования упругих тел со случайными неоднородностями // Прикладная механика. 1967. Т. 3, № 9. С. 12-19.

26. Хорошун Л.П. О методе определения упругих модулей армированных тел // Механика полимеров. 1968. № 1. С. 78-87.

27. Карслоу Х.С., Егер Д.К. Теплопроводность, твердых тел: пер. с англ. М.: Наука, 1964. 488 с.

28. Зарубин B.C. Прикладные задачи термопрочности элементов конструкции. М.: Машиностроение, 1985. 296 с.

29. Зарубин В.С. Математическое моделирование в технике. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2016. 498 с.

30. Зарубин B.C. Кувыркин Г.Н. Математические модели механики и электродинамики сплошной среды. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. 512 с.

31. Головин Н.Н., Кувыркин Г.Н. Математические модели деформирования углерод-углеродных композитов // Известия РАН. Сер. «Механика твердого тела». 2016. № 5. С. 111-123.

32. Городцов В.А., Лисовенко Д.С., Устинов К.Б. Шарообразное включение в упругой матрице при наличии собственных деформаций с учетом влияния свойств поверхности раздела, рассматриваемой как предел слоя конечной толщины // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2019. № 3. С. 30-40.

33. Лифшиц И.М., Розенцвейг Л.Н. К теории упругих свойств поликристаллов // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1946. T. 16, № 11. С. 967-981.

34. Бахвалов Н. С., Панасенко Г. П. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984. 352 с.

35. Димитриенко Ю.И. Осреднение процессов в периодических средах с фазовыми превращениями. Вопросы механики сплошных сред: под ред. Е.И. Шемякина: Сб.- М.: Изд-во МГУ. 1993. С. 72-84.

36. Димитриенко Ю.И. Механика композиционных материалов при высоких температурах. М.: Машиностроение, 1999. 368 с.

37. Курбатов А.С., Медведский А.Л. Исследование напряженно-деформированного состояния конструкций из УУКМ с технологическими дефектами // Вестник Московского авиационного института. 2010. Т. 17, № 1. С. 136-139.

38. Курбатов А.С., Медведский А.Л. Численно-экспериментальное определение упругих эффективных характеристик пространственно-армированных композиционных материалов // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2011. Т. 5, № 4. С. 2346-2348.

39. Шайдуров В.В. Многосеточные методы конечных элементов. М.: Наука, Физматлит, 1989. 288 с.

40. Копысов С.П., Сагдеева Ю.А. Двумерное численное вейвлет-осреднение для получения эффективных характеристик композиционных материалов // Математическое моделирование. 2009. Т. 21, № 4. С. 65-78.

41. Сагдеева Ю.А. Метод численного определения осредненных характеристик композитов на основе вейвлет-преобразования и метода конечных элементов: дисс. ... канд. физ.-мат. наук. Казань. 2007. 124 с.

42. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. 735 с.

43. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М: Наука, 1989. 432 с.

44. Формалев В.Ф. Метод конечных элементов в задачах теплообмена: Учебное пособие. М.: Изд-во МАИ, 1991. 63 с.

45. Кутателадзе С.С. Основы теории теплообмена. М.: Атомиздат, 1979. 416 с.

46. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике: пер. с англ. М.: Мир, 1975. 543 с.

47. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация: пер. с англ. М.: Мир, 1986. 318 с.

48. Теория тепломассопереноса / Под ред. А.И. Леонтьева М.: Изд-во. МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1997. 496 с.

49. Димитриенко Ю.И., Соколов А.П. Автоматизация прогнозирования свойств композиционных материалов на основе метода асимптотического осреднения // Информационные технологии. 2008. № 8. С. 31-38.

50. Димитриенко Ю.И., Кашкаров А.И., Макашов А.А. Конечно-элементный расчет эффективных упругопластических характеристик композитов на основе метода асимптотического осреднения // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2007. № 1. С. 102-116.

51. Димитриенко Ю.И., Дубровина А.Ю., Соколов А.П. Конечно-элементное моделирование усталостных характеристик композиционных материалов на основе метода асимптотического осреднения и «химического» критерия длительной прочности // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2011. Специальный номер. С. 34-50.

52. Сергеева Е.С. Установление связи упругих характеристик однослойной углеродной нанотрубки и графена // Молодежный научно-технический вестник. Электрон. журн. 2015. № 10. URL: http://ainsnt.ru/doc/812186.html (Дата обращения: 27.08.2020).

53. Сергеева Е.С. Изучение взаимосвязи между упругими характеристиками однослойной углеродной нанотрубки и графена // Молодежный научно-технический вестник. Электрон. журн. 2015. № 10. URL: http://ainsnt.ru/doc/810929.html (Дата обращения: 27.08.2020).

54. Сергеева Е.С. Исследование упругих характеристик композитов, армированных наноразмерными включениями // Молодежный научно-технический вестник. Электрон. журн. 2016. № 9. С. 37.

55. Сергеева Е.С. Исследование упругих характеристик композита с эллипсоидальными включениями // Молодежный научно-технический вестник. Электрон. журн. 2016. № 5. URL: http://ainsnt.ru/doc/839933.html (Дата обращения: 27.08.2020).

56. Сергеева Е.С. Исследование упругих характеристик нанокомпози-тов // Молодежный научно-технический вестник. Электрон. журн. 2016. № 8. С. 8.

57. Магнитский И.В., Сергеева Е.С. Оценка влияния граничных условий на результаты осреднения упругих свойств однонаправленного

композита // Конструкции из композиционных материалов. 2016. № 2. С. 59-63.

58. Зарубин В.С., Сергеева Е.С., Шишкина С.И. Оценки упругих свойств матрицы композита, упрочненной углеродными нанотруб-ками // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2016. № 9. С. 155-170.

59. Зарубин В.С., Сергеева Е.С. Исследование связи упругих характеристик однослойной углеродной нанотрубки и графе-на // Вестник Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана. Серия: Естественные науки. 2016. № 1. С. 100-110.

60. Сергеева Е.С. Математическое моделирование упругих характеристик композита, армированного шаровыми включениями // Математика и математическое моделирование. 2017. № 1. С. 11-24.

61. Зарубин В.С., Савельева И.Ю., Сергеева Е.С. Двусторонние оценки модулей упругости пористого твердого тела // Инженерный журнал: наука и инновации. Электрон. журн. 2017. № 12. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/dvustoronnie-otsenki-moduley-uprugosti-poristogo-tverdogo-tela (Дата обращения: 27.08.2020).

62. Zarubin V.S., Sergeeva E.S. Porosity influence of power generating equipment structural materials on its thermoelastic characteristics and thermal conductivity // IOP Conf. Series: Journal of Physics: Conf. Series. 2017. V. 891. 012321.

63. Зарубин В.С., Зарубин С.В., Сергеева Е.С. Сравнительный анализ оценок коэффициента теплопроводности каркаса пористого твердого тела // Машиностроение и компьютерные технологии. 2017. № 7. С. 15-30.

64. Зарубин В.С., Сергеева Е.С. Применение математического моделирования для определения термоупругих характеристик композитов, армированных наноструктурными включениями // Математическое моделирование. 2017. Т. 29, № 10. C. 45-59. [Zarubin V.S. Sergeeva E.S. Application of Mathematical modeling to determine

the thermoelastic characteristics of nano-reinforced composites // Mathematical models and computer simulations. 2018. V. 10, No. 3. P. 288-298.]

65. Зарубин В.С., Новожилова О.В., Сергеева Е.С. Двусторонние оценки коэффициента теплопроводности каркаса пористого тела // Математика и математическое моделирование. 2018. № 3. С. 45-60.

66. Сергеева Е.С. Зависимость эквивалентных коэффициентов теплопроводности однослойной углеродной нанотрубки от ее хиральности // Вестник Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана. Серия: Естественные науки. 2018. № 2. С. 97-106.

67. Zarubin V.S., Sergeeva E.S. Dependence of equivalent thermal conductivity coefficients of single-wall carbon nanotubes on their chirality // IOP Conf. Series: Journal of Physics: Conf. Series. 2018. V. 991. 012080.

68. Zarubin V.S., Sergeeva E.S. Mathematical modeling of structural-sensitive nanocomposites deformation // Computational mathematics and information technologies. 2018. V. 2, No. 1. P. 17-24.

69. Зарубин В.С., Савельева И.Ю., Сергеева Е.С. Оценки эквивалентных коэффициентов теплопроводности углеродных нанотрубок // Инженерно-физический журнал. 2018. Т. 91. № 5. С. 1342-1350. [Zarubin V.S., Savel'eva I. Yu., Sergeeva E.S. Estimates of equivalent heat conductivity coefficients of carbon nanotubes // Journal of engineering physics and thermophysics. 2018. V. 91, No. 5. P. 1274-1281.]

70. Sergeeva E.S. Dependence of the elastic properties of a single-walled carbon nanotube on its chirality // Solid state phenomena. 2018. V. 284. P. 20-24.

71. Zarubin V.S., Sergeeva E.S. Effects of porosity of a composite reinforced with nanostructured inclusions on its thermoelastic characteristics // Mechanics of solids. 2018. V. 53, № 6. P. 675-684.

72. Зарубин В.С., Сергеева Е.С. Трансверсально изотропный стержень, моделирующий упругие характерстики однослойной углеродной на-нотрубки // Математика и математическое моделирование. 2019. № 1. С. 15-26.

73. Zarubin V. S., Sergeeva E. S. Mathematical modeling of the structure-sensitive composite elastic properties // AIP conference proceedings. 2019. V. 2116, 380010.

74. Zarubin V.S., Savelyeva I.Yu., Sergeeva E.S. Estimates for the thermoelastic properties of a composite with ellipsoidal anisotropic inclusions // Mechanics of composite materials. 2019. V. 55, № 4. P. 513-524.

75. Зарубин В.С., Сергеева Е.С. Влияние пористости нанокомпозита на его теплопроводность и термоупругие характеристики // Проблемы газодинамики и тепломассообмена в энергетических установках: Труды XXI Школы-семинара молодых ученых и специалистов под рук. академика РАН А. И. Леонтьева. Санкт-Петербург. 2017. Т. 2. С. 187-188.

76. Zarubin V.S., Sergeeva E.S. Influence of single-walled carbon nanotubes chirality on its thermal conductivity coefficient // Актуальные проблемы механики сплошной среды: Материалы V международной конференции. Цахкадзор, 2017. C. 241-242.

77. Зарубин В.С., Сергеева Е.С. Конечно-элементное моделирование упругих характеристик композитов // Международная научная конференция Фундаментальные и прикладные задачи механики, посвященная 170-летию со дня рождения Н.Е. Жуковского: Тезисы докладов. Москва. 2017. С. 207-208.

78. Зарубин В.С., Сергеева Е.С. Математическое моделирование процессов деформации структурно-чувствительного нанокомпозита // Современнные проблемы математического моделирования обработки изображений и параллельных вычислений: Труды международной научной конференции. Дивноморское. 2017. Т. 2. С. 87-94.

79. Зарубин В.С., Сергеева Е.С. Влияние пористости конструкционных материалов энергетического оборудования на их термоупругие характеристики и теплопроводность // Современные проблемы теплофизики и энергетики: Материалы международной конференции. Москва. 2017. Т. 2. С. 332-333.

80. Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н., Сергеева Е.С. Влияние типоразмера армирующих включений на теплопроводность композита // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики: Сборник трудов международной научной конференции. Воронеж. 2018. С. 752-756.

81. Hashin Z., БМпкшап S. On some variational principles in anisotropic and nonhomogeneous elasticity // Journal of the mechanics and physics of solids. 1962. V. 10, No. 4, P. 335-342.

82. Walpole L.J. On bounds for the overall elastic moduli of inhomogeneous systems. I // Journal of the mechanics and physics of solids. 1966. V. 14, No. 1. P. 151 -162.

83. Walpole L.J.On bounds for the overall elastic moduli of inhomogeneous systems. II // Journal of the mechanics and physics of solids. 1966. V. 14, No. 5. P. 289-301.

84. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N., Savel'eva I.Yu. Estimates of the elastic characteristics of a composite with short anisotropic fibers // Mechanics of composite materials. 2017. V. 53, No. 4. P. 497-504.

85. Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н., Савельева И.Ю. Сравнительной анализ оценок модулей упругости композита. Анизотропные шаровые включения // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Серия «Машиностроение». 2014. № 6. С. 31-43.

86. Лифшиц И.М., Розенцвейг Л.Н., Поправка к статье «К теории упругих свойств поликристаллов» // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1951. Т. 21, № 10. С. 1184-1193.

87. Фокин А.Г., Шермергор Т.Д. Упругие модули текстурированных материалов // Инженерный журнал. Механика твердого тела. 1967. № 1. С. 129-134.

88. Фокин А.Г., Шермергор Т.Д. Корреляционные функции упругого поля многофазных поликристаллов // Прикладная математика и механика. 1974. T. 38. № 2. C. 359-363.

89. Kroner E. Elastic moduli of perfectly disordered composite materials // Journal of the mechanics and physics of solids. 1967. V. 15, No. 4. P. 319-329.

90. Фокин А.Г., Шермергор Т.Д. Вычисление эффективных упругих модулей композиционных материалов с учетом многочастичных взаимодействий // Прикладная механика и техническая физика.

1969. № 1. С. 51-57.

91. Фокин А.Г. Об использовании сингулярного приближения при решении задач статистической теории упругости // Прикладная механика и техническая физика. 1972. № 1. С. 98-102.

92. Фокин А.Г. Сингулярное приближение при расчете упругих свойств армированных систем // Механика полимеров. 1973. № 3. С. 502-506.

93. Кривоглаз М.А., Черевко А.С. Об упругих модулях твердой смеси // Физика металлов и металловедение. 1959. Т. 8. № 2. С. 161-165.

94. Ломакин В.А. Статистические задачи механики твёрдых деформируемых тел. М.: Наука, 1970. 139 c.

95. Beran M.J. Statistical continuum theories. Interscience, 1968. 424 p.

96. Russel W.B. On the effective moduli of composite materials effect of fiber length and geometry at dilute concentrations // Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Physik. 1973. V. 24. P. 581-600.

97. Eshelby J.D. The determination of the elastic field of an ellipsoidal inclusion and related problems // Proceedings of the royal society of London. Series A. Mathematical and physical sciences. 1957. V. 241, No. 1226. P. 376-396.

98. Цвелодуб И.Ю. Об обратном тензоре Эшелби // Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Сер. Механика предельного состояния. 2010. Т. 8, № 2. С. 530-535.

99. Цвелодуб И.Ю. О тензоре Эшелби // Прикладная математика и механика. 2010. Т. 74, № 2. С. 346-351.

100. Whitney J.M., Riley M.B. Elastic stress-strain properties of fiber reinforced composite materials // AIAA Journal. 1966. V. 4, No. 9. P. 1537-1542.

101. Kilchinsky A. On a Model for Determining the Thermoelastic Characteristics of Materials Reinforced by Fibers // Applied mechanics. 1965. V. 1, No. 12. P. 65-74.

102. Ван Фо Фы Г. А., Упругие постоянные и тепловое расширение некоторых тел с неоднородной регулярной структурой // Докл. АН СССР. 1966. Т. 166, № 4. С. 817-820.

103. Францевич И.Н., Карпинос Д.М. Композиционные материалы волокнистого строения. Киев: Наукова думка, 1970. 403 с.

104. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. М.-Л.: ОГИЗ Гостехиз-дат, 1947. 355 с.

105. Амбарцумян С.А . Теория анизотропных пластин. М: Наука, 1961. 266 с.

106. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек . М.: Наука, 1974. 488 с.

107. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. М.: Наука, 1978. 360 c.

108. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. М.: Машиностроение, 1980. 375 с.

109. Дудченко A.A., Лурье С.А., Образцов И.Ф. Анизотропные многослойные пластины и оболочки // Итоги науки и техники. Сер. Механика деформ. тв. тела. М. 1983. Т. 15. С. 3-68.

110. Алфутов Н.А., Зиновьев П.А., Попов Б.Г. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1984. 264 с.

111. Особенности постановки и решения задач оптимизации структуры и состава пространственно армированных углерод-углеродных и углекерамических композитных конструкций ракетной техники / А.А. Смердов [и др.] // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Серия

«Машиностроение». 2012. Спец. выпуск «Крупногабаритные трансформируемые космические конструкции и материалы для перспективных ракетно-космических систем». С. 137-147.

112. Сарбаев Б.С., Магнитский И.В. Способ расчета эффективных характеристик упругости композиционных материалов с пространственным армированием // Конструкции из композиционных материалов. 2014. № 2. С. 3-9.

113. Kaminski M., Schrefler B.A. Probabilistic effective characteristics of cables for superconducting coils // Computer methods in applied mechanics and engineering. 2000. V. 188 P. 1-16.

114. Бахвалов Н.С. Осредненные характеристики тел с периодической структурой // Докл. АН СССР. 1974. 218. № 5. C. 1046-1048.

115. Бахвалов Н.С. Осреднение дифференциальных уравнений с частными производными с быстроосциллирующими коэффициентами // Докл. АН СССР. 1975. 221. № 3. C. 516-519.

116. Бахвалов Н.С. Осреднение нелинейных уравнений с частными производными с быстроосциллирующими коэффициентами // Докл. АН СССР. 1975. 225. № 2. C. 249-252.

117. Георгиевский Д.В. Асимптотики решений трехмерных уравнений теории упругости для сжимаемых и несжимаемых тел // Изв. РАН. МТТ. 2011. № 1. С. 122-130.

118. Горынин Г.Л., Немировский Ю.В. Метод асимптотического расщепления пространственной теории слоистых пластин // Физическая мезомеханика. 2004. Спец. выпуск. С. 31-34.

119. Cherednichenko K. D., Smyshlyaev V. P. On full two-scale expansion of the solutions of nonlinear periodic rapidly oscillating problems and higher-order homogenised variational // Archive for Rational Mechanics and Analysis. 2004. V. 174. P. 385-442.

120. Kaminski M. Multiscale homogenization of n-component composites with semi-elliptical random interface defects // International journal of solids and structures. 2005. V. 42. P. 3571-3590.

121. Boutin C. Microstructural effects in elastic composites // International journal of solids and structures. 1996. V. 33. P. 1023-1051.

122. Maxwell J.C. A treatise on electricity and magnetizing. V. 1. Third Edition. Oxford at the clarendon press, 1892. 553 p.

123. Rayleigh R.S. On the influence of obstacles arranged in rectangular order upon the properties of a medium // The London, Edinburgh, and Dublin philosophical magazine and journal of science. 1892. V. 34. P. 481-502.

124. Чудновский А. Ф. Теплофизические характеристики дисперсных материалов. М.: Физматгиз, 1962. 456 с.

125. Wiener O.H. Die Theorie des mischkorpers fur das feld der stationaren stromung abhandlungen der mathematischen-physischen klasse der königlichen sachsischen gesellschaft der wissenschaften. 1912. V. 32. P. 507-604.

126. Hashin Z., Shtrikman S. On some variational principles in anisotropic and non-homogeneous elasticity // Journal of the mechanics and physics of solids. 1962. V. 10. P. 335-342.

127. Talbot D.R.S., Willis J.R. Bounds and self-consistent estimates for the overall properties of nonlinear composites // IMA Journal of applied mathematics. 1987. V. 39. P. 215-240.

128. Ribaud М. Conductibilite thermique des materiaux poreux et pulverulents etude theorique // Challur et industrie. 1937. V. 18. P. 36-43.

129. Russell H.W. Principles of heat flow in porous insulators // Journal of the American ceramic society. 1935. V. 18, No. 1. P. 1-5.

130. Beran M. J. Application of statistical theories to heterogeneous materials // Phyica status solidi A. 1971. V. 6. P. 365-384.

131. Beran M. J., McCoy J. J., Mean field variations in a statistical sample of heterogeneous linear elastic solids // International journal of solids and structures. 1970. V. 6. P. 1035-1054.

132. О вычислении эффективной теплопроводности текстурированных трибокомпозитов /И.В. Лавров [и др.] // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2017. № 2. С. 48-56.

133. Пугачев О.В., Хан З. Т. Моделирование теплопроводности композита с шаровыми включениями // Научный вестник МГТУ ГА. 2017. Т. 20. № 2. С. 83-93.

134. Пугачев О.В., Яцуненко К.Н. Исследование теплопроводности волокнистых композитов методом Монте-Карло // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2012. № 12. С. 226-239.

135. Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н., Савельева И.Ю. Оценки эффективной теплопроводности композита с анизотропными включениями ленточной формы // Композиты и наноструктуры. 2016. Т. 8. № 4. С. 236-250.

136. Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н., Савельева И.Ю. Сравнительный анализ оценок теплопроводности однонаправленного волокнистого композита // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Серия «Естественные науки». 2016. № 5. С. 67-83.

137. Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н., Савельева И.Ю. Оценка методом самосогласования эффективной теплопроводности трансверсально изотропного композита с изотропными эллипсоидальными включениями // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Серия «Естественные науки». 2015. № 3. С. 99-109.

138. Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н., Савельева И.Ю. Оценка методом самосогласования эффективной теплопроводности текстурированного композита с трансверсально изотропными эллипсоидальными включениями // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Серия «Естественные науки». 2015. № 4. С. 88-101.

139. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П., Эглит М.Э. Эффективные свойства конструкций и композитов с включениями в виде стен и стержней // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1996. Т. 36, № 12. С. 73-79.

140. Rosen B. W., Hashin Z., Effective thermal expansion coefficients and specific heats of composite matherials // International journal of engineering science. 1970. V. 8, No. 2. P. 157-173.

141. Левин В. М. О коэффициентах температурного расширения неоднородных материалов // Известия Академии Наук СССР, ММТ. 1967. № 1. С. 88-93.

142. Cribb J. L. Shrinkage and thermal expansion of a two-phase material // Nature. 1968. V. 220, No. 5167. P. 576-577.

143. Schapery R. A. Thermal expansion coefficients of composite materials based on energy principles // Journal of composite materials. 1968. V. 2, No. 3. P. 380-404.

144. Steel T. R. Determination of the constitutive coefficients for a mixture of two solids // International journal of solids and structures. 1968. V. 4, No. 12. P. 1149-1160.

145. Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н., Савельева И.Ю. Оценка температурного коэффициента линейного расширения композита с дисперсными анизотропными включениями методом самосогласования // Механика композитных материалов. 2016. Т. 52. № 2. С. 209-224.

146. Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н., Савельева И.Ю. Оценка методом самосогласования температурного коэффициента линейного расширения композита с дисперсными включениями // Машиностроение и компьютерные технологии. 2015. № 2. С. 197-215.

147. Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н., Пугачев О.В. Двусторонние оценки термоупругих характеристик композита с дисперсными включениями // Наука и образование: научное издание МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2015. № 9. С. 318-335.

148. Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н., Савельева И.Ю. Термоупругие характеристики композита с анизотропными пластинчатыми включениями // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2018. № 3. С. 59-69.

149. Попонин В.С. Разработка технологии высокоточных вычислений на базе спектрального метода конечных элементов: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Томск. 2007. 115 с.

150. Копысов С.П., Сагдеева Ю.А. Вычислительные особенности двумерного вейвлет-осреднения в задачах многомасштабного анализа

// Вычислительные методы и программирование. 2005. Т. 6, № 1. С. 1-8.

151. Димитриенко Ю.И., Губарева Е.А., Сборщиков С.В. Многомасштабное моделирование упругопластических композитов с учетом повреждаемости // Математическое моделирование и численные методы. 2016. № 10. С. 3-23.

152. Димитриенко Ю.И., Соколов А.П., Юрин Ю.В. Численное моделирование упругопластического деформирования пространственно-армированных композитов // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2012. Т.2. № 2. С. 40-54.

153. Трехуровневое проектирование пространственно-армированных композитных конструкций / Татарников О. В. // Все материалы. Энциклопедический справочник. 2012. № 7. С. 21-26.

154. Дворецкий А.Э. Математическое моделирование углеро-углеродных композиционных материалов при анализе напряженно-деформированного состояния конструкций: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Москва. 1991. 183 с.

155. Соколкин Ю.В., Ташкинов А.А. Механика деформирования и разрушения структурно неоднородных тел. М.: Наука, 1984. 115 с.

156. Вильдеман В.Э., Соколкин Ю.В., Ташкинов А.А. Механика неупругого деформирования и разрушения композиционных материалов. М.: Наука. Физматлит, 1997. 288 с.

157. Lu J.P. Elastic properties of carbon nanotubes and nanoropes // Physical review letters. 1997. V. 79. P. 1298-1300.

158. Bao W.X., Zhu C.C., Cui W.Z. Simulation of Young's modulus of single-walled carbon nanotubes by molecular dynamics // Physica B: condensed matter. 2004. V. 352. P. 156-163.

159. Young's modulus of single-walled nanotubes / A. Krishnan [и др.] // Physical review B. 1998. V. 58, No. 20. P. 14013-14019.

160. Elastic and Shear Moduli of Single-Walled Carbon Nanotube Ropes / J.P. Salvetat [и др.] // Physical review letters. 1999. V. 82, No. 5. P. 944-947.

161. Yakobson B.I., Brabec C.J., Bernholc J. Nanomechanics of carbon tubes: instabilities beyond linear response // Physical review letters. 1996. V. 76. P. 2511-2514.

162. Pantano A., Parks D.M., Boyce M.C. Mechanics of deformation of single- and multi-wall carbon nanotubes // Journal of the mechanics and physics of solids. 2004. V. 52. P. 789-821.

163. Electrical and thermal transport properties of magnetically aligned single wall carbon nanotube films / J. Hone [и др.] // Applyed physics letters. 2000. V. 77. P. 666-668.

164. Hone J., Whitney M., Zettl A. Thermal conductivity of single-walled carbon nanotubes // Synthetic metals. 1999. V. 103. P. 2498-2499.

165. Yu C., Shi L., Yao Z., Li D., Majumdar A. Thermal Conductance and Thermopower of an Individual Single-Wall Carbon Nanotube // ACS Pulications. 2005. V. 9. P. 1842-1846.

166. Berber S., Kwon Y. K., Thmanek D. Unusually High Thermal Conductivity of Carbon Nanotubes // Physical review letters. 2000. V. 84. P. 4613-4616.

167. Ахметханов Р.С. Механические свойства наноструктур и методы их оценки // Вестник научно-технического развития. 2014. № 5. С. 3-18.

168. Кувыркин Г.Н., Головин Н.Н. Математическое моделирование механических характеристик и взаимодействий углеродных нанотру-бок // Вестник Нижегородского университета им Н.И. Лобачевского. 2011. Т. 2, № 4. С. 478-480.

169. Елецкий А.В. Механические свойства углеродных наноструктур и материалов на их основе // Успехи физических наук. 2007. Т. 177, № 3. С. 233-274.

170. Стариков С.В. Механические свойства углеродных нанотрубок // Физико-химическая кинетика в газовой динамике. 2010. Т. 9. URL.http://chemphys.edu.ru/media/published/030.pdf (дата обращения 27.08.2020).

171. Multiscale modelling of nano-mechanics and micromechanics: an overview / Gnioniem N.M. [и др.] // Philosophical magazine. 2003. V. 83. Р. 3475-3528.

172. Гольдштейн Р.В., Ченцов А.В. Дискретно-континуальная модель нанотрубки // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2005. № 4. C. 57-74.

173. Елецкий А.В. Углеродные нанотрубки и их эмиссионные свойства // Успехи физических наук. 2002. Т. 172, № 9. С. 403-438.

174. Montazeri A., Sadeghi M., Naghdabadi R., Rafii-Tabar H. Computational modeling of the transverse-isotropic elastic properties of single-walled carbon nanotubes // Computational materials science. 2010. V. 49, No. 3. P. 544-551.

175. Kundalwal S. I., Choyal V. Transversely isotropic elastic properties of carbon nanotubes containing vacancy defects using MD // Acta mechanica. 2018. V. 229, No. 6. P. 2571-2584.

176. Физические величины. Справочник / Под ред. И.С. Григорьева, Е.З. Мейлихова. М.: Энергоатомиздат, 1991. 1232 с.

177. Новосёлов К.С. Графен: материалы Флатландии // Успехи физических наук. 2011. Т. 181. С. 1299-1311.

178. Демисов С.П. Теория упругости. М.: Высш. школа, 1979. 432 с.

179. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. 2 изд., испр. М.: Наука, 1988. 712 с.

180. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. 10 изд., перарб. и доп. Серия Механика в техническом университете. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. 592 с.

181. Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Математические модели механики сплошной среды. Серия Математическое моделирование в технике и в технологии. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. 512 с.

182. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. 4-е изд., перераб. М.: Физматлит, 1963. 1100 с.

183. Беринский И.Е, Кривцов А.М. Об использовании многочастичных межатомных потенциалов для расчёта упругих характеристик гра-фена и алмаза // Механика твердого тела. 2010. № 6. С. 60-85.

184. Jiang H., Liu B., Huang Y. Thermal expansion of single wall carbon nanotubes // ASME. 2004. V. 128. P. 265-270.

185. Thermal expansion of single-walled carbon nanotube SWCNT bundles: X-ray diffraction studies / Y. Maniwa [и др.] // Physical review B. 2001. V. 64. P. 241402-1-241402-3.

186. Singh B. P., Verma A. Thermal expansion in single-walled carbon nanotubes at different temperatures // International journal of nanoscience. 2008. V. 7, No. 6. P. 305-313.

187. Thermal Expansion of Single Wall Carbon Nanotubes / H. Jiang [и др.] // Journal of engineering materials and technology. 2004. V. 126. P. 265-270.

188. Ruoff R.S.,Lorents D.C. Mechanical and thermal properties of carbon nanotubes // Carbon. 1995. V. 33, No. 7. P. 925-930.

189. Графен: методы получения и теплофизические свойства / А.В. Елецкий [и др.] // Успехи физических наук. 2011. Т. 181, № 3. С. 233-268.

190. Kim H.J., Swan C.C. Voxel-based meshing and unit-cell analysis of textile composites // International journal for numerical methods in engineering. 2003. V. 56. P. 977-1006.

191. Koketsu K., Fujiwara H., Ikegami Y. Finite-element simulation of seismic ground motion with a voxel mesh // Pure and applied geophysics. 2004. V. 161. P. 2183-2198.