Разработка модели и исследование электростатической дрейфовой турбулентности в неоднородной высокотемпературной плазме тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.14, кандидат технических наук Ковалев, Андрей Валентинович

• Ковалев, Андрей Валентинович
• кандидат технических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат технических наук Ковалев, Андрей Валентинович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ВЫБОР МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ДЛЯ РАСЧЕТА

ДИСПЕРСИОННЫХ СООТНОШЕНИЙ

1.1. Турбулентность в нейтральной жидкости и в плазме

1.2. Экспериментальное наблюдение дрейфовых волн

1.3. Зависимость транспорта от параметров дрейфовых волн

1.3.1. Распределение полей в области волновой турбулентности

1.3.2. Влияние характеристик дрейфовых волн на транспорт

1.4. Методы получения дисперсионных соотношений

1.4.1. Гидродинамическое приближение. Качественный механизм развития дрейфовых волн

1.4.2. Кинетическое описание неустойчивостей

1.4.3. Гирокинетические модели

1.5. Выбор способа расчета

1.6. Результаты главы

ГЛАВА 2. ПОРЯДОК РАСЧЕТА ДИСПЕРСИОННЫХ СООТНОШЕНИЙ

2.1. Метод фазовых интегралов (ВКБ)

2.2. Применение формул связи для расчета собственных значений.

2.2.1. Локальность ВКБ-решений, линии Стокса и сопряженные линии Стокса

2.2.2. Ветвление функции ^Jq

2.2.3. Алгоритм построения линий Стокса и сопряженных линий

Стокса

2.2.4. Формулы связи

2.3. Две точки поворота

2.4. Алгоритм расчета

2.5. Тестовый расчет для квантового гармонического осциллятора.

Раздельный расчет точек поворота и собственного значения

2.6. Начальные приближения для решения итерационного уравнения

2.6.1. Приближенный гармонический осциллятор

2.6.2. Расчет собственных значений для двух точек поворота 94 2.7. Результаты главы

ГЛАВА 3. РАСЧЕТ НУЛЕЙ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ НА КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ

3.1. Базовый метод поиска нулей

3.2. Замечания о точности и сходимости метода

3.2. Поиск нескольких нулей

3.3. Модификация алгоритма: поиск полюсов

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка модели и исследование электростатической дрейфовой турбулентности в неоднородной высокотемпературной плазме»

Актуальность исследования, его практическая значимость

Идея создания и использования для нужд энергетики термоядерных установок [1] принадлежит отечественным ученым и относится к середине прошлого века. Однако её техническое воплощение оказалось исключительно сложной задачей, включающей множество разделов прикладной и фундаментальной науки, разработки качественно новой технической базы, задачей, требующей широкого международного сотрудничества, в котором важную роль играли советские, а теперь, играют российские ученые. К настоящему времени, после нескольких десятилетий исследований, разработан проект реактора ITER [2], предшественник проекта коммерческого реактора. Принято решение о его строительстве. Таким образом, в области ядерного синтеза происходит последовательное продвижение в сторону создания рабочего реактора, причем одним из важнейших направлений исследований является изучение феномена переноса энергии и вещества в плазме термоядерных установок. В простейшем виде требования к удержанию плазмы выражаются в форме критерия Лоусона, представляющего собой произведение концентрации плазмы на время её удержания. Для обеспечения самоподдерживающейся реакции дейтерия и трития нужно достигнуть значений пт>\02°м'усек при температурах порядка 108АГ. Потеря вещества приводит к падению концентрации, поэтому интенсивность переноса и связанное с ним время удержания служит одним из критериев качества работы установки и непосредственно влияет на экономические характеристики перспективного реактора. Поэтому в мире в настоящее время ведутся многочисленные интенсивные экспериментальные и теоретические работы по этой проблематике.

Среди процессов, определяющих перенос в высокотемпературной плазме, особо выделяется транспорт, инициируемый волновой турбулентностью. Причем многочисленные исследования показывают, что микронеустойчивости дрейфового типа [3] являются основным процессом, ответственным за развитие турбулентности в плазме. Уже длительное время идут интенсивные экспериментальные и теоретические исследования этого феномена. В результате последних разработаны математические модели, описывающие физические механизмы неустойчивостей, вызывающих турбулентность. Однако, как правило, сложность изучаемых процессов лишает специалистов возможности непосредственно анализировать результаты аналитических расчетов. Аналогично, экспериментальные данные требуют предварительного анализа и обработки, только затем они могут быть сверены с теоретическими результатами. Посредником, позволяющим довести до конкретных цифр теоретические разработки и оценить эксперимент, служит численный расчет, который в данном случае дает возможность получить частотный спектр турбулентности и зависимость инкремента нарастания неустойчивости различных параметров (температура ионов и электронов, их концентрация и градиент этих величин, магнитное поле, его кривизна и т.д.). Роль численного расчета определяет постоянную потребность в разработке компьютерных моделей.

Экспериментальные исследования переноса в высокотемпературной плазме, удерживаемой магнитным полем, ведутся в Институте ядерного синтеза РНЦ «Курчатовский Институт». Для их обеспечения, а также для теоретического анализа транспорта, связанного с волновой турбулентностью, требуется оценка свойств самой волновой турбулентности, в том числе, дисперсионного соотношения, пространственной локализации и др. Эта необходимость определяет актуальность данной работы и её практическую ценность. В соответствии с выше сказанным, объект исследования данной работы - высокотемпературная магнито-удерживаемая плазма. Предметом исследования являются характеристики плазменной турбулентности, вызываемой электростатическими неустойчивостями дрейфового типа. Методология исследования - теоретический анализ, построение модели и численный расчет в соответствии с ней.

Цель и задачи исследования

Таким образом, для настоящей диссертационной работы ставится следующая цель: основываясь на созданных гирокинетических теориях плазменной турбулентности, создать компьютерную модель, предназначенную для оценки дисперсионных соотношений, и демонстрация его пригодности для анализа зависимости характеристик исследуемой волновой турбулентности от параметров плазмы и удерживающего её магнитного поля, демонстрация его применимости для оценки экспериментальных работ и получения дисперсионных кривых в рамках теоретических разработок.

Для реализации поставленных задач требуется: проанализировать существующие теоретические модели плазменной турбулентности по их информативности, удобству численной реализации и требованиям к компьютерным ресурсам и выбрать наиболее подходящую; адаптировать выбранную модель для её численной реализации и разработать алгоритм, пригодный для расчета дисперсионных соотношений волн различного типа, распространяющихся в плазме, исходя из располагаемых компьютерных ресурсов; создать соответствующий компьютерный код; протестировать созданную программу; продемонстрировать возможность расчета дисперсионных соотношений на примере неустойчивости, возбуждаемой градиентом ионной температуры (ITG-мода); разработать процедуру оценки коэффициента диффузии, связанной с действием указанной неустойчивости; применить разработанный код для обработки экспериментальных данных, полученных на установке Т-10: оценить зависимость переноса, инициируемого ITG-модой, от плотности плазмы, соотношения электронной и ионной температур, оценить распределение ITG-неустойчивости по малому радиусу тора.

Содержание диссертации

Изложение работы разделено на следующие главы:

Заключение диссертации по теме «Теплофизика и теоретическая теплотехника», Ковалев, Андрей Валентинович

5.3. Выводы по главе 5

При помощи разработанного в главах 2-4 метода рассчитаны дисперсионные соотношения для 4 разрядов с различными плотностями плазмы. По результатам проведенных расчетов сделаны следующие заключения. Т

Увеличение разрыва между электронной и ионной температурами г = — при г>1) оказывает слабое стабилизирующее действие на неустойчивость, возбуждаемую градиентом ионной температуры.

ITG-неустойчивость плазмы Т-10 развивается наиболее интенсивно в районе середины малого радиуса.

Инкременты ITG-неустойчивости плазмы Т-10 существенно зависят от профиля плотности плазмы: как от градиента, так и от абсолютного значения концентрации.

Увеличение концентрации приводит к локализации неустойчивости около резонансной поверхности. Это может являться одной из причин улучшения удержания. Одновременно с увеличением плотности возрастает инкремент неустойчивости, так что изменение эквивалентного коэффициента диффузии определяется конкуренцией влияния инкремента и дисперсии профиля.

Коэффициент диффузии, рассчитанный на основе линейной теории, позволяет оценивать времена удержания установки Т-10 с удовлетворительной точностью: в худшем случае вычисленные и измеренные времена являются величинами одного порядка, в лучшем - ошибка составляет несколько десятков процентов.

С ростом плотности плазмы Т-10 доля переноса, спровоцированного ITG-неустойчивостью, падает.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Впервые разработана модель дрейфовой электростатической турбулентности, в которой расчет спектров а>(к) и у{к) производится при помощи метода касательных в сочетании с методом фазовых интегралов, а также с применением разработанного автором метода поиска нулей и полюсов функций на комплексной плоскости при помощи логарифмического вычета. Созданы и протестированы компьютерные коды, реализующие указанные методы. Проанализированы источники погрешностей и способы их уменьшения при расчете спектров, предложены средства выбора начальных приближений и оценки точности расчета.

2. Показана непригодность дискретных отображений для моделирования движения частиц в полях дрейфовых электростатических волн и расчета связанного с этим движением коэффициента диффузии.

3. Разработанная модель использована для исследования характеристик турбулентности, возбуждаемой неустойчивостью плазмы в присутствии градиента ионной температуры, для плазмы, получаемой на установке Т-10. Рассчитанные дисперсионные кривые у(к) для указанной неустойчивости приводят к заключению о наличии наибольшего инкремента нарастания для длин волн порядка кр, = 1.

4. На основании расчетов ITG-неустойчивости для установки Т-10 выявлено существование области наиболее интенсивного нарастания дрейфовой турбулентности, которая находится у середины малого радиуса тора.

5. По результатам расчетов для установки Т-10 получено пороговое значение величины 77,, представляющей собой отношение градиента ионной температуры и градиента концентрации, при которой становится возможным развитие ITG-мод. Пороговое значение лежит в диапазоне от 1 до 1,25.

6. В рамках используемой модели неустойчивости выявлено слабое стабилизирующее действие увеличения соотношения электронной и ионной температур т (при г > 1) на ITG-моду.

7. На основе расчетов свойств дрейфовой турбулентности при помощи разработанной модели для нескольких разрядов установки Т-10 проанализирована зависимость времени удержания плазмы от её характерной плотности. Улучшение удержания с ростом плотности объяснено сужением области распространения турбулентных возмущений по объему плазмы.

8. Рассчитан коэффициент диффузии, связанной с ITG-неустойчивостью. На основе сравнения времён удержания, оценённых по коэффиценту диффузии, и времён, измеренных экспериментально, сделан вывод об их удовлетворительном совпадении.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Ковалев, Андрей Валентинович, 2006 год

1. Арцимович Л.А. Управляемые термоядерные реакции. М.: Физматгиз, 1961.-467 с.

2. Mukhovatov V. Overview of physics basis for ITER / V. Mukhovatov et al. // Plasma Phys. and Control. Fusion. 2003. - Vol. 45, № 12A. - P. A235-A252.

3. Horton W. Drift waves and transport / W. Horton // Review of Modern Physics.- 1999. Vol. 71, № 2. - P. 735-778.

4. Ландау Л.Д. Теоретическая физика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лившиц М.: Физматлит, 2001. Т.6: Гидродинамика. - 731 с.

5. Рабинович М.И. Стохастические автоколебания и турбулентность / М.И. Рабинович//Успехи физических наук. 1978.-Т.125. № 1.-С. 123-168.

6. Фрик П.Г. Турбулентность: модели и подходы / П.Г. Фрик М.: Институт компьютерных исследований, 2003. - 292с.

7. Turbulence theories and modeling of fluids and plasmas / Akira Yoshizawa, Sanae-I Itoh, Kimitaka Itoh, Nobumitsu Yokoi // Plasma Phys. and Control. Fusion. -2001. Vol. 43, № 3. - P. R1-R144.

8. Hendel H.W. Collisional drift waves—identification, stabilization, and enhanced plasma transport / H.W. Hendel, Т.К. Chuand, P.A. Politzer // Phys. Fluids.1968. Vol. 11, № 11. - P. 2426-2439.

9. Chen F.F. Resistive over-stabilities and anomalous diffusion / F.F. Chen // Phys.• N

10. Fluids. 1965. - Vol. 8, № 5. - P. 912-919.

11. Prager S.C. Dissipative trapped electron instability in cylindrical geometry / S.C. Prager, A.K. Sen, T.C. Marshall // Phys. Rev. Lett. 1974. - Vol. 33, № 12, -P. 692-695.

12. Chen J. Experimental study of a mixed slab and toroidal ion-temperature-gradient instability / J. Cnen, A.K. Sen // Phys. Plasmas 1995. - Vol. 2, № 8. -P. 3063-3070.

13. Ohkawa T. Experimental observation and theoretical interpretation of low-frequency interchange instability in 'average minimum-B' configurations / T. Ohkawa, M. Yoshikawa // Phys. Rev. Lett. 1967. - Vol. 19, № 24 . -P. 13741376.

14. Rafiq T. Drift waves in helically symmetric stellarators / T. Rafiq, С. C. Hegna // Университет штата Висконсин. Мэдисон, Висконсин, США электронный ресурс. 2005 Режим доступа: http://homepages.cae.wisc.edu/~kjwegner/UW-CPTC05-5.pdf, свободный.

15. Burrell К.Н. Effects of ЕхВ velocity shear and magnetic shear on turbulence and transport in magnetic confinement devices / K.H. Burrell // Phys. Plasmas.1997. Vol. 4, № 5 . - P. 1499-1518.

16. Hahm T.S. Physics behind transport barrier theory and simulations / T.S. Hahm // Plasma Phys. Control. Fusion. 2002. - Vol. 44, № 5 A. - P. A87-A101.

17. Synakowski E.J. Local transport barrier formation and relaxation in reverse-shear plasmas on the tokamak fusion test reactor / E.I. Synakowski et al. // Phys. Plasmas. 1997. - Vol. 4, № 5 . - P. 1736-1744.

18. Koide Y. Internal transport barrier on q =3 surface and poloidal plasma spin up in JT-60U high- Pp discharges / Y. Koide et al. // Phys. Rev. Lett. 1994.

19. Vol. 72, №23.-P. 3662-3665.

20. Horton W. Transport barrier dynamics / W. Horton, P. Zhu // Режим доступа: www.ph.utexas.edu/dept/research/horton/Transp-Barrier.pdfl.pdf.

21. Zhu P. Predictive modelling and simulations of internal transport barriers in tokamaks / P. Zhu. Austin : The university of Texas at Austin, 2001. - 229 p.

22. Redi M.H. Stability of Microturbulent Drift Modes during Internal Transport Barrier Formation in the Alcator C-Mod Radio Frequency Heated H-mode / M.H. Redi et al., 2003 Принстон. - 42c. / Препринт Принстонской лаборатории по физике плазмы, PPPL-3903.

23. Horton W. Anomalous ion thermal transport from toroidal ion temperature gradient mode / W. Horton, J.-Y. Kim, B. Coppi //. Режим доступа: http://w3fusion.ph.utexas.edu/ifs/ifsreports/Anomalous736.pdf.

24. Dong J.Q. Structure of Parallel-Velocity-Shear driven mode in toroidal plasmas J.Q. Dong et al. // Режим доступа: [http://www.osti.gov/ bridge/servlets/purl/674809-yke80o/webviewable/674809.pdf].

25. Dong J.Q. Studies of impurity mode and ITG mode in toroidal plasmas / J.Q. Dong, W. Horton // Режим доступа: http://www.osti.gov/bridge/ servlets/purl/68998-xwl0qZ/webviewable/68998.pdf.

26. Dong J.Q. Coupling of r\, and trapped electron modes on plasmas with negative magnetic shear / J.Q. Dong, S.M. Mahajan, W. Horton // Phys. Plasmas. 1997. -Vol. 4, №3.-P. 755-761.

27. Erba M. Predictive tests of ITG-based models of tokamak heat transport on ITER-database discharges / M. Erba, W. Horton, M. Ottaviani // Nucl. Fusion. -1999. Vol. 39, № 4. - P. 495-507.

28. Крауфорд Ф.С. Беркпевский курс физики / Ф.С. Крауфорд. М.: Наука -Т.З: Волны.- 1976.-537 с.

29. Hasegawa A. Stationary spectrum of strong turbulence in magnetised nonuniform plasma / A. Hasegawa, K. Mima // Phys. Rev. Lett. 1977. - Vol. 39, № l.-P. 205-208.

30. Церковников А.Ю. Устойчивость плазмы в сильном магнитном поле / А.Ю. Церковников // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1957. - Т. 38, № 1.-С. 67-74.

31. Рудаков Л.И. Колебания пространственно неоднородной плазмы в магнитном поле /Л.И. Рудаков, Р.З. Сагдеев // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1959. - Т. 40, №. 5. - С. 1337-1341.

32. Кадомцев Б.В. Дрейфовая неустойчивость неоднородной плазмы в магнитном поле / Б.В. Кадомцев, А.В. Тимофеев // Доклады Академии наук СССР.- 1962.-Т. 146, №3.-С. 581-584.

33. Галеев А.А. «Универсальная» неустойчивость неоднородной плазмы в магнитном поле / А.А. Галеев, В.Н. Ораевский, Р.З. Сагдеев // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1963. - Т. 44. № 3. - С. 903— 911.

34. Михайловский А.Б. К вопросу об устойчивости пространственно неоднородной плазмы в магнитном поле / А.Б. Михайловский, Л.И. Рудаков // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1963. -Т. 44, №3.-С. 912-918.

35. Эккер Г. Теория полностью ионизованной плазмы / Г. Эккер. М.: Мир,1974.-430 с.

36. Ландау Л.Д. Теоретическая физика: Учеб. пособие для вузов. В 10 тт. / Т. X. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский // Физическая кинетика. -М.: Физматлит, 2001. 536 с. - ISBN 5-9221-0125-02

37. Кролл Н., Основы физики плазмы /Н. Кролл, А. Трайвелпис. М.: Мир,1975.-525 с.

38. Клеммоу Ф. Электродинамика частиц и плазмы / Ф. Клеммоу, Дж. Доуэрти. М.: Мир, 1996. - 527 с.

39. Франк-Каменецкий, Д.А. Лекции по физике плазмы / Д.А. Франк-Каменецкий. М.:Атомиздат, 1968. - 286с.

40. Bobrova N.A. Force-free equilibria and reconnection of the magnetic field lines in collisionless plasma configurations / N.A. Bobrova et al. // Phys. Plasmas. -2001. Vol. 8, № 3. - P. 759-768.

41. Dong J.Q. Toroidal kinetic /7, -mode study in high-temperature plasmas / J.Q. Dong et al. //Phys. Fluids. 1992.- Vol. B4,№ 7.-P. 1867-1876.

42. Bernstein I.B. Exact Nonlinear Plasma Oscillations / I.B. Bernstein, J.M. Green, M.D. Kruskal // Phys. Rev. 1957. - Vol. 108, № 3 . - P. 546 - 550.

43. Rutherford P. H. Drift instabilities in general magnetic field configurations / P.H. Rutherford, E.A. Frieman // Phys. Fluids. 1968. - Vol. 11, № 3. - P. 569585.

44. Taylor J. B. Stability of general plasma equilibria I. Formal theory / J.B. Taylor, R.J. Hastie // Plasma Phys. 1968. - Vol. 10, № 5. - P. 479-494.

45. Catto J.P. Linearized gyro-kinetics / J.P. Catto // Plasma Phys. 1978. - Vol. 20, №7.-P. 719-722.

46. Catto P. J. Generalized gyrokinetics /P.J. Catto, W.M. Tang, D.E. Baldwin // Plasma Phys. and Controlled Fusion. 1981. - Vol. 23, № 7. - P. 639-650.

47. Frieman E. A. Nonlinear gyrokinetic equations for low-frequency electromagnetic waves in general plasma equilibria / E. A. Frieman, L. Chen // Phys. Fluids. Vol. 25, № 3. - P. 502-508.

48. Lee W. W. Gyrokinetic approach in particle simulation / W.W. Lee // Phys. Fluids. 1983. - Vol. 26, № 2. - P. 556-562.

49. Dubin D.H.E. Nonlinear gyrokinetic equations / D.H.E. Dubin et al. // Phys. fluids. 1983.-Vol. 26, № 12. -P. 3524-3535.

50. Hahm T.S. Nonlinear gyrokinetic equations for tokamak microturbulence / T.S. Hahm // Phys. Fluids. 1988. - Vol. 31, № 9 . - P. 2670-2673.

51. Hahm T.S. Nonlinear gyrokinetic equations for turbulence in core transport barriers / T.S. Hahm // Phys. Plasmas. 1996. - Vol. 3, № 12 . - P. 4658-4664.

52. Dawson J.M. Particle simulation of plasmas / J.M. Dawson // Rev. Mod. Phys. -1983.-Vol. 55, № 2. P. 403-448.

53. Cohen B.I. The numerical tokamak project: simulation of turbulent transport / B.I. Cohen, D.C. Barnes, J.M. Dawson // Сотр. Phys. Communications. -1995.-Vol. 87,№1.-P. 1-15.

54. Idomura Y. Stability of ExB zonal flows in electron temperature gradient driven turbulence / Y. Idomura, S. Tokuda, M. Wakatani // Phys. plasmas. 2000. -Vol. 7,№9.-P. 3551-3566.

55. Idomura Y. Slablike ion temperature gradient driven mode in reversed shear tokamaks / Y. Idomura, S. Tokuda, H. Kishimoto // New journal of physics. -2002.-VoI.4.-P. 101.1-101.13.

56. Idomura Y. Global gyrokinetic simulation of ion temperature gradient driven turbulence in plasmas using a canonical Maxwellian distribution / Y. Idomura, S. Tokuda, H. Kishimoto // Nucl. Fusion. 2003. - Vol. 43, № 4 . - P. 234-243.

57. Denton R.E. 8f-Algorithm / R.E. Denton, M. Kotschenreuther // Journal of Computational Physics. 1995. - Vol. 119, № 2. - P. 283-294.

58. Lewandowski J.L.V. Improved conservation properties for particle-in-cell simulations with kinetic electrons / J.L.V. Lewandowski // Plasma Phys. Control. Fusion. 2003. - Vol. 45, № 1. - P. L39-L46.

59. Cheng C.Z. The integration of the Vlasov equation for a magnetized plasma / C.Z. Cheng // J. Comput. Phys. 1977. - Vol. 24, № 4 . - P. 348-360.

60. Artun M. Gyrokinetic analisys of ion temperature gradient modes in the presence of sheared flows / M. Artun, W.M. Tang // Phys. Fluids. 1992 - Vol. B4, № 5. -P. 1102-1114.

61. Idomura Y. Gyrokinetic theory of slab ion temperature gradient mode in negative shear tokamaks / Y. Idomura, S. Tokuda, M. Wakatani // Phys. plasmas. 1999. - Vol. 6, № 12 . -P. 4658-4671.

62. Idomura Y., Tokuda S., Wakatani M. Gyrokinetic theory of slab electron temperature gradient mode in negative shear tokamaks. Phys. plasmas. 2000. -Vol.7.-P.2456-2468.

63. Huba J.D. NRL Plasma formulary / J.D. Huba. Washington DC.: Naval Research Laboratory, 2004. - 70 p.

64. Fried B.F., Conte S. The plasma dispersion function / B.F. Fried, S. Conte. -New York.: Academic, 1961.- 419p.

65. Dong J. Q. Kinetic quasitoroidal ion temperature gradient instability in the presence of sheared flows / J.Q. Dong, Y.Z. Zang // Phys. Fluids. 1993. - Vol. B5, № 5 . - P. 1581-1592.

66. Dong J. Q. Momentum-energy transport from turbulence driven by parallel flow shear / J.Q. Dong, Y.Z. Zang // Phys. Fluids. 1994. - Vol. 1, № 10. - P. 3250 -3261.

67. Dong J. Q. Study of microinstabilities in toroidal plasmas with negative magnetic shear / J.Q. Dong et al. // Phys. Plasmas. 1996. - Vol. 3, № 8. - P. 3065-3072.

68. Tang W.M. Advances and Challenges in Computational Plasma Science / W.M. Tang, V.S. Chan. Принстон, 2005. - 64c. / Препринт Принстонской лаборатории физики плазмы, PPPL-4041.

69. Хединг Дж. Введение в метод фазовых интегралов / Дж. Хединг. М.: Мир, 1965.-236 с.76. де Брёйн Н.Г. Асимптотические методы в анализе / Н.Г. де Брёйн. М.: Издательство иностранной литературы, 1961. - 246с.

70. Belli Е.А. A Numerical Instability in an ADI Algorithm for Gyrokinetics / E.A. Belli, G.W. Hammett // Computer Physics Communications. 2004. - Vol. 172, № 2. - P. 119-132.

71. Калиткин H.H. Численные методы / H.H. Калиткин. М.: Наука, 1978. -508 с.

72. Бахвалов Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кабельков. М.: Наука, 1987. - 630 с.

73. Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции /Ф. Олвер М.: Наука, 1978. - 381 с.

74. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики / Н.Н. Моисеев-М.: Наука, 1981. -381 с.

75. Боголюбов Н.Н. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний / Н.Н. Боголюбов, Ю.А. Митропольский. 4-е изд., исп. и доп. - М.: Наука, 1974.-504 с.

76. Froman N. Physical problems solved by the phase-integral method / N. Froman, P.O. Froman. Cambridge : Cambridge University Press, 2002. - 228 p.

77. White R.B. An interactive code for solving differential equations using phase integral methods / R.B. White // Journal of computational physics. 1979. -Vol. 31, №3.-P. 409-424.

78. Корн Г. Справочник по математике / Г. Корн, Т. Корн. М.: Наука, 1978. -831 с.

79. Мэтьюз Дж. Математические методы физики / Дж. Мэтьюз, Р. Уокер. М.: Атомиздат, 1972. - 397 с.

80. Teukolsky S.A. Numerical recipes in С: the art of scientific computing / S.A. Teukolsky, W.T.Vetterling, B.P. Flannery . Cambridge: Cambridge University Press, 2002. - 1178 p.

81. Stoer J. Introduction to numerical analysis / J. Stoer, R. Bulirsch. New York : Springer-Verlag, 1993. - 672 p.

82. Турчак Л.И. Основы численных методов / Л.И. Турчак, П.В. Плотников. -М. :Физматлит, 2003. 300с.

83. Говорухин В. Компьютер в математическом исследовании / В. Говорухин, Б. Цибулин. СПб.: Питер, 2001. - 633 с.

84. Матросов А.В. Maple 6: решение задач высшей математики и механики / А.В. Матросов. СПб.: БХВ-Петербург, 2001. - 527 с.

85. Ландау Л.Д. Теоретическая физика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лившиц. М.: Физматлит. - Т.З: Квантовая механика: нерелятивистская теория. - 2001. -808 с.

86. Бронштейн И.Н. Справочник по математике / И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. М.: Наука, 1964. - 608 с.

87. Лаврентьев М.А. Методы фунций комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. М.: Наука, 1987. - 749с.

88. Meylan М. Н., Gross L. A parallel algorithm to find the zeros of a complex analytic function / M.H. Meylan, L.A. Gross // ANZIAM J. 2003. - Vol. 44(E). P. E236-E254.

89. Herlocker J. An automatic and guaranteed determination of the number of roots of an analytic function interior to a simple closed curve in the complex plane / J. Herlocker, J. Ely // Reliable Computing. 1995. - Vol. 1, № 3. - P. 239-250.

90. Davis B. Locating the zeros of an analytic function / B. Davis // Journal of Computational Physics. 1986. - Vol. 66, № 1. - P. 36-49.

91. Иванов В.К. Линейный гармонический осциллятор / В.К. Иванов // Режим доступа: http://www.physics.spbstu.ru/studentu/lek/ivanov5/ atom3-6.pdf.

92. Rewoldt G. Microinstability properties of negative magnetic shear discharges in the Tokamak fusion test reactor and DIII-D / G. Rewoldt, L.L. Lao, W.M. Tang. Принстон, 1997. - 32c. / Препринт Принстонской лаборатории физики плазмы, PPPL-3243.

93. Кадомцев Б. Б. Турбулентные процессы в тороидальных системах / Б.Б. Кадомцев, О.П. Погуце // Вопросы теории плазмы. Выпуск 5. М., 1967. -С. 249-400.

94. Vershkov V.A. Summary of experimental core turbulence characteristics in ohmic and electron cyclotron resonance heated discharges in T-10 tokamak plasmas / V.A. Vershkov et al. // Nucl. Fusion. 2005. -Vol. 45, № 10. - P. S203-S226.

95. Rewoldt G. Drift Mode Calculation For Large Helical Device / G. Rewoldt et al. // Phys. Plasmas. 2000. - Vol. 7, №12. - P. 4942^1947.