Разработка спектральных методов анализа стохастических систем для задач оценки стоимости акций предприятий авиационно-промышленного комплекса тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Кожевников, Александр Сергеевич

• Кожевников, Александр Сергеевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Кожевников, Александр Сергеевич

СОДЕРЖАНИЕ

Сокращения

Введение

1. Математические модели динамики цены акции

1.1. Развитие моделей динамики цены акции и ее эмпирические свойства

1.2. Существующие модели динамики цены акции

1.2.1. Модель Мертона

1.2.2. Модель Бейтса

1.2.3. Модель Рамезани-Зенга

1.3. Новые модели динамики цены акции

1.3.1. Модели со скачками, описываемыми эрланговским распределением

1.3.2. Модель со скачками, описываемыми случайной смесью эрланговских распределений

1.3.3. Модель со скачками, характеризующимися чередованием эрланговских распределений

1.4. Постановка задачи анализа динамики цены акции

2. Методы анализа стохастических систем для задач анализа динамики цены акции

2.1. Спектральный метод анализа стохастических систем

2.1.1. Основные понятия и положения

2.1.2. Применение спектрального метода в приложении к моделям со скачками, описываемыми эрланговским распределением

2.1.3. Применение спектрального метода в приложении к моделям со скачками, описываемыми случайной смесью эрланговских распределений

2.1.4. Применение спектрального метода в приложении к моделям со скачками, характеризующимися чередованием эрланговских распределений

2.1.5. Дальнейшее применение спектрального метода в приложении к моделям в условиях эрланговского и гиперэрланговского потоков появления скачков

2.2. Применение метода Монте-Карло

2.2.1. Алгоритмы моделирования эрланговского и гиперэрланговского потоков событий

2.2.2. Алгоритмы моделирования траектории цены акции и ее логарифма в условиях эрланговского и гиперэрланговского потоков появления скачков

3. Программное обеспечение

3.1. Программное обеспечение спектрального метода

3.2. Программное обеспечение метода Монте-Карло

4. Примеры

4.1. Пример анализа динамики цены акции корпорации «Иркут»

4.1.1 Постановка задачи

4.1.2. Модель со скачками, описываемыми эрланговским распределением

4.1.3. Модель со скачками, описываемыми случайной смесью эрланговских распределений

4.1.4. Модель со скачками, характеризующимися чередованием эрланговских распределений

4.1.5. Выводы

4.2. Пример анализа динамики цены акции «Объединенной авиастроительной корпорации»

4.2.1 Постановка задачи

4.2.2. Модель со скачками, описываемыми эрланговским распределением

4.2.3. Модель со скачками, описываемыми случайной смесью эрланговских распределений

4.2.4. Модель со скачками, характеризующимися чередованием эрланговских распределений

4.2.5. Выводы

Заключение

Список литературы

117

СОКРАЩЕНИЯ

метод МК - метод Монте-Карло

ПВ - плотность вероятности

СВ - случайная величина

СМ - спектральный метод

СП - случайный процесс

СХ - спектральная характеристика

уравнение ФПК - уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка спектральных методов анализа стохастических систем для задач оценки стоимости акций предприятий авиационно-промышленного комплекса»

ВВЕДЕНИЕ

Изменение цен акций на рынке ценных бумаг носит случайный характер. Этому способствует огромное количество случайных факторов, таких как поток экономических новостей и слухов, ожидания участников рынка, государственная политика, цены на нефть, публикации статистики предприятий и другие. Поэтому для описания математических моделей динамики цен акций используют стохастические системы [6,68,70]. Динамика цен акций может рассматриваться в различных масштабах времени (например, в масштабах дня, месяца или года), вследствие чего изменения цен акций можно разделить на диффузионные (малые случайные изменения) и скачкообразные (изменения, связанные с разрывом траектории процесса). В связи с этим в настоящее время при описании изменения цен акций на рынке ценных бумаг набирают популярность модели, описываемые системами с переключениями (Артемьев В.М., Бухалев В.А., Казаков И.Е., Борисов A.B.) [9,16,64] и стохастическими системами с разрывами траекторий (Пугачев B.C. и Синицын И.Н., Тихонов В.И. и Миронов М.А., Конт Р. и Танков П., Хансон Ф.Б., Оксендаль Б. и Сулем А.) [40,63,92,107,131], приводящими к тому, что в случайные моменты времени вектор состояния системы получает случайные приращения. В данной диссертационной работе рассматриваются стохастические системы со скачками, решение которых можно представить на основе процессов Леви с ненулевой гауссовской компонентой и компонентой, являющейся обобщенным пуассо-новским процессом и описывающей разрывы (скачки) в траекториях цен акций, интервалы между которыми имеют экспоненциальное распределение [10,13,36,92]. Такие модели в финансовой математике принято называть диффузионно-скачкообразными моделями [68,70,92,107,131].

Начиная с оригинальной работы Мертона Р. [127] и до настоящего времени, в научном сообществе были изучены различные аспекты моделей, использующих диффузионно-скачкобразные процессы для описания динамики цены акции (по данному вопросу в монографии Конта Р. и Танкова П. [92] содержится более 400 ссылок). О преимуществах использования таких моделей говорят ис-

следования, проведенные Фамой Е.Ф. [99,100], Френчем K.P. и Роллом Р. [102], Манделбротом Б.Б. [122,123], Ричардсоном М. и Смитом Т.А. [137], Милгро-мом П.Р. [130]. Возрастающий интерес к таким моделям в финансах в основном вызван следующими причинами:

- модели допускают возможность появления больших случайных изменений, таких как резкие падения или подъемы значения цены акции [92,127,130];

- в моделях учитывается островершинное и асимметричное распределение цены акции (обычно хвосты распределения цен акций «толще», чем у нормального распределения) [99,100,122, 130,137];

- наличие скачкообразной компоненты в модели позволяет уменьшить различия между моделью и реальностью.

Недавние исследования [80,93,110,116,131,135] подчеркнули важность развития диффузионно-скачкобразных моделей, обеспечивающих более близкие к наблюдаемым данным результаты. В существующей литературе предложено много изменений, связанных с уточнением спецификации скачкообразной компоненты. В основном все изменения основываются на использовании различных распределений для описания величин скачков. В работах Авериной Т.А., Артемьева В.М. и Ивановского A.B., Горицкого Ю.А. и Казакова В.А., Иванке-вича Р. [2,4,14,112,113] рассматриваются стохастические системы, в которых предполагается, что последовательность моментов появления скачков в траектории состояния системы представляет поток событий, отличающийся от пуас-соновского. Использование моделей динамики цены акции, в основе которых лежат такие стохастические системы, позволит приблизиться к более точному описанию динамики цен акций и оценке производных финансовых инструментов, зависящих от них.

Рассмотрим существующие методы решения задач анализа стохастических систем с разрывами траекторий (скачками). Для решения задачи оценки цены акции можно использовать следующие подходы.

Одним из подходов является использование метода МК (работы Авериной Т.А., Артемьева С.С., Якунина М.А., Кузнецова Д.Ф., Клодена П.Е. и Пла-

тена Е., Конта Р. и Танкова П., Корна Р., Корна Е. и Кроисандта Г.) [1,3,5,6,33,37,40,85-87,92,95,118,119]. Он сводится к многократному непосредственному моделированию реализаций СП и в обработке полученных реализаций (осуществляется с помощью методов математической статистики). К недостаткам метода МК можно отнести необходимость моделирования большого количества реализаций для получения приемлемой точности. Также получение достоверных и точных оценок моментов высшего порядка, определение ПВ и увеличение размерности вектора состояния требуют еще большего числа экспериментов, каждый из которых может занять достаточно продолжительный период времени. Широчайшее использование метода МК обусловлено его универсальностью и простотой в программной реализации. Его применение в приложении к диффузионно-скачкообразным моделям динамики цены акций со скачками, описываемыми обобщенным пуассоновским процессом, приведено в работах [3,5,6,92,95,119]. Описание применения метода МК к стохастическим системам со скачками в условиях «непуассоновского» потока событий приведено в работе Авериной Т.А. [2].

В ряде случаев анализ стохастической системы сводится к нахождению ПВ вектора состояния или характеристической функции, которые служат достаточно полными характеристиками СП. При определенных условиях ПВ цены акции, заданной диффузионно-скачкообразными моделями, будет удовлетворять уравнениям Колмогорова-Феллера [1,4,63], а в случае моделей со скачками, моменты появления которых образуют «непуассоновский» поток событий, -ПВ цены акции будет удовлетворять системе обобщенных уравнений ФПК [4]. Поэтому другой подход состоит в непосредственном составлении и решении уравнений ФПК1, уравнений Колмогорова-Феллера, а также обобщенных уравнений Пугачева для характеристических функций [33,37,40], которые могут быть получены с помощью преобразования Фурье. Наиболее простым приближенным методом является метод гауссовской аппроксимации (Артемьев В.М., Ивановский A.B.) [4]. Также могут использоваться методы квазимоментов (Пу-

1 В работах [12,32,63,101,153,155] подробно рассмотрены методы решения классических уравнений ФПК.

гачев B.C., Синицын И.Н.; Федосов Е.А., Инсаров В.В., Селивохин О.С.) [40,64], ортогонального разложения (Пугачев B.C., Синицын И.Н., Синицин В.И.) [37,40,67], метод Галеркина (Конт Р., Грайбел М. и Халмэн А., Томе В., Ху JI.) [91,105,151,157]. Эти методы позволяют перейти от уравнения Колмого-рова-Феллера и обобщенных уравнений ФПК к системе обыкновенных дифференциальных уравнений большой размерности, численное интегрирование которых может занять достаточно значительный промежуток времени. Сокращение числа дифференциальных уравнений для параметров распределений возможно только путем введения дополнительных ограничений на структуру распределения. Также для решения уравнения Колмогорова-Феллера и обобщенных уравнений ФПК используются различные сеточные методы (Конт Р., Танков П. и Волчкова Е.) [18,67,80,92,94,154]. Однако применимость и этих методов ограничена сравнительно небольшой размерностью вектора состояния. В работах Артемьева В.М. и Ивановского A.B., Иванкевича Р. [4,112,113] приближенное решение стохастических систем со скачками, моменты появления которых образуют «непуассоновский» поток событий, находится с помощью метода гауссовской аппроксимации и метода моментов.

Таким образом, модификация стохастических моделей со скачками, использующихся для описания динамики цены финансовых инструментов, и разработка приближенных методов анализа является актуальной задачей.

В представленной диссертационной работе предлагаются новые стохастические модели динамики цен акции с разрывами траекторий (скачками), моменты появления которых образуют эрланговский или гиперэрланговский потоки событий вместо пуассоновского потока [8,11,14,31]. Использование эрлангов-ского и гиперэрланговского законов распределения (смеси эрланговских законов) для описания интервалов между моментами появления разрывов позволяет расширить диффузионно-скачкообразные модели, включить экспоненциальный закон распределения как частный случай, учесть различную степень последействия (от полного отсутствия до жесткой функциональной связи между моментами появления скачков). При этом их использование практически не усложнит

задачу идентификации параметров моделей динамики цены акции, т.к. при ее решении нужно дополнительно учесть порядок эрланговских распределений. ПВ цены акции будет удовлетворять системе обобщенных уравнений ФПК. Переход от рассмотрения цены акции к рассмотрению ее логарифма в новых моделях упрощает стохастическое дифференциальное уравнение и обобщенные уравнения ФПК и делает процесс решения задачи оценки стоимости акции с помощью приближенных методов более устойчивым.

Для решения задачи анализа динамики цены акции, а именно для анализа стохастических систем в условиях эрланговского и гиперэрланговского потоков появления скачков, предлагается метод, основанный на спектральной форме математического описания [35,39,54-62,144]. Он был разработан в конце 60-х годов Семеновым В.В. для анализа и синтеза линейных детерминированных и стохастических систем управления [57], а затем обобщен на случай нелинейных систем [39,44]. Значительный вклад в развитие теории СМ внесли Дмитриев А.Н., Егупов Н.Д., Лапин C.B., Пантелеев A.B., Рыбаков К.А., Рыбин В.В., Семенов В.В., Солодовников В.В., Сотскова И.Л. В работах Рыбакова К.А. [1,46] СМ применялся для анализа стохастических систем с разрывами траекторий в условиях пуассоновского потока событий. В настоящей диссертационной работе рассматривается более сложная задача, в которой предполагается использовать эрланговский и гиперэрланговский потоки событий для описания моментов появления скачков в траекториях цены акции. Для решения этой задачи используются результаты работ Рыбакова К.А., Сотсковой И.Л. [1,38,39,45]. В работах [38,39,45] рассмотрено применение СМ анализа систем со случайной структурой, а также представлены алгоритмы расчета СХ операторов дифференцирования, интегрирования и умножения в базисах обобщенных полиномов и функций Лагерра, полиномов и функций Эрмита [41,43].

СМ позволяет перейти от системы интегро-дифференциальных уравнений в частных производных [63,65] для ПВ к системе линейных неоднородных алгебраических уравнений. Согласно данному подходу функции представляются совокупностью коэффициентов разложения их в ряд Фурье [15] по полной орто-

нормированной системе базисных функций [39,44]. Его использование для задачи анализа стохастических систем с разрывами траекторий, характеризующимися эрланговскими и гиперэрланговскими распределениями, обуславливается рядом факторов:

- соотношения, полученные при его применении, инвариантны к выбору базисных систем и их свойствам [39,41,43,48];

- простота в программной реализации;

- универсальность метода по сравнению с другими методами, основанными на ортогональных разложениях [64,69].

На кафедре «Математическая кибернетика» Московского авиационного института разработаны следующие современные программные решения:

- расширения математических пакетов MathCAD, VisSim+MathCAD, Matlab, Maple и Mathematica для анализа линейных нестационарных непрерывных, дискретных и непрерывно-дискретных систем управления при детерминированных или случайных воздействиях в спектральной форме математического описания [47-51] (Рыбин В.В.);

- расчетная система Spectrum, ориентированная на решение задач анализа и синтеза многомерных нелинейных стохастических систем с фиксированной и случайной структурой [42,45] (Рыбаков К.А.).

Модифицированные модели и методы могут применяться не только в финансовой математике (описание динамики курсов акций, оценка стоимости опционов и других производных финансовых инструментов) [6,68,92], но и в других прикладных областях, например, при описании процессов в сложных технических системах (управление движущимися объектами, помехозащищенные радиолокационные системы, радиоизотопные измерительные системы, электрические цепи с импульсными источниками), в математической биологии и медицине (управление биомассой, действие лекарственных препаратов) и т.д. [1,4,12,16,64,107]. Их использование позволит расширить спектр решаемых прикладных задач.

Целью работы является разработка приближенных методов анализа стохастических систем, описывающих динамику цен акций, в условиях, когда интервалы между последовательными скачками в траекториях цен акций имеют эр-ланговское или гиперэрланговское (смесь эрланговских распределений) распределение, а именно развитие СМ анализа стохастических систем, а также разработка программного обеспечения на основе предложенных методов. Научная новизна работы заключается в следующих результатах:

- предложены модифицированные стохастические модели динамики цен акций, в которых используется эрланговский и гиперэрланговский потоки событий для описания моментов появления скачков;

- разработаны СМ анализа стохастических систем со скачками, характеризующимися эрланговским и гиперэрланговским распределениями, а именно получены спектральные аналоги обобщенных уравнений ФПК - уравнения обобщенных характеристических функций, приведен алгоритм их решения для модели со скачками, характеризующимися эрланговским распределением, для модели со скачками, описываемыми случайной смесью эрланговских распределений, и для модели со скачками, характеризующимися чередованием эрланговских распределений.

Результаты, полученные в диссертационной работе, вносят определенный вклад в развитие теории систем со скачками и развитие математического моделирования в финансовой математике.

Практическая значимость диссертационной работы состоит в следующем:

- получены новые алгоритмы анализа стохастических систем со скачками, характеризующимися эрланговским и гиперэрланговским распределениями, основанные на спектральной форме математического описания систем управления;

- разработано программное обеспечение в специализированной расчетной системе Spectrum (спектральный метод) и на С++ (метод Монте-Карло) для решения задач анализа динамики цены акции;

- проведен анализ динамики цены акций компании «Иркут» и «Объединенная авиастроительная корпорация» («ОАК») и сравнение результатов, полученных на основе предложенных и существующих моделей. Основные результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях: международной математической конференции «Боголю-бовские чтения Б1Р-2013 - Дифференциальные уравнения, теория функций и их применение», Севастополь, в 2013 году; 8, 10 и 11 международной конференции «Авиация и космонавтика», Москва, в 2009, 2011 и 2012 году; 48, 49 и 50 международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск, в 2010, 2011 и 2012 году; международной конференции «Моделирование, управление и устойчивость МС8-2012», Севастополь, в 2012 году; московской молодёжной научно-практической конференции «Инновации в авиации и космонавтике», Москва, в 2010, 2012 и 2013 году; ХЬУ1 Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии, Москва, в 2010 году; 2-ой Всероссийской конференции «Информационные технологии в авиационной и космической технике - 2009», Москва, в 2009 году; научных семинарах кафедры «Математическая кибернетика» Московского авиационного института.

По теме диссертации опубликовано 13 статей [19-30,121], из них 5 работ опубликованы в журналах, входящих в Перечень ВАК. Была произведена государственная регистрация программы для статистического моделирования и анализа СП со скачками, описывающими динамику цен акций предприятий авиационной отрасли (свидетельство № 2013614748). Исследования были поддержаны РФФИ (проект № 12-08-00892-а).

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

В первой главе рассмотрены'стохастические модели динамики цены акции в непрерывном времени. В разделе 1.1 представлен обзор наиболее известных свойств цен акций и направления развития моделей динамики цены, в разделе 1.2 рассмотрены существующие модели динамики цены акции. В разделе 1.3

приведены новые модели динамики цены со скачками, характеризующимися эрланговским распределением и гиперэрланговским распределением, которое описывается случайной смесыо эрланговских распределений или характеризуется чередованием эрланговских распределений. Осуществлен переход от рассмотрения цены акции к ее логарифму в новых моделях, упрощающий стохастическое дифференциальное уравнение и обобщенные уравнения ФПК. Для новых моделей выписаны соотношения, представляющие собой обобщенные уравнения ФПК для ПВ логарифма цены акции. Постановка задачи нахождения ПВ логарифма цены акции приведена в разделе 1.4.

Во второй главе рассмотрены приближенные методы анализа стохастических систем с разрывами траекторий, характеризующимися эрланговским и гиперэрланговским распределениями. В разделе 2.1 рассмотрен СМ анализа стохастических систем. Приведены основные определения и понятия СМ, доказаны теоремы о решении в спектральной форме математического описания задачи анализа стохастических систем в условиях эрланговского и гиперэрлангов-ского распределений интервалов между моментами появления скачков и утверждение, позволяющее упростить эти решения, рассмотрены частные случаи. В разделе 2.2 приведен модифицированный алгоритм численного моделирования траекторий цены акции и ее логарифма методом МК, необходимый для проверки численных результатов, полученных СМ.

В третьей главе кратко описано программное обеспечение СМ анализа, сформированного в расчетной системе Spectrum, а также программное обеспечение, реализующее алгоритмы моделирования траекторий цены акции и ее логарифма для рассматриваемых математических моделей. Приведены их основные функции и возможности.

В четвертой главе даны примеры расчета ПВ логарифма цены акций компаний «Иркут» и «ОАК» СМ, приведены оценки вероятностных характеристик цены акции и ее логарифма. Проведено сравнение результатов расчета, полученных СМ и методом МК, и анализ результатов.

1 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДИНАМИКИ ЦЕНЫ АКЦИИ

1.1 Развитие моделей динамики цены акции и ее эмпирические свойства

Одной из важных задач финансовой математики является задача оценки будущей цены акции [138]. Для решения этой задачи необходимо построить адекватную математическую модель, описывающую динамику цены финансового инструмента и удовлетворяющую определенным критериям [6]. Во-первых, модель должна быть простой, т.к. попытка учесть максимальное количество факторов сделает её громоздкой и затруднительной для анализа. Во-вторых, модель должна учитывать известные эмпирические свойства цен акций и специальные свойства рынков основных и производных ценных бумаг. В-третьих, должен существовать алгоритм оценки параметров модели. При выборе спецификации модели необходимо, чтобы её параметры имели ясный экономический смысл (это позволит адекватно менять их значения для моделирования реальной ситуации на рынке). В-четвертых, модель должна быть конструктивной, т.е. должен существовать алгоритм решения задачи, в основе которой используется заданная модель. Эмпирические свойства цен акций являются основными факторами при рассмотрении и выборе спецификации модели для моделирования динамики цены акции или ее доходности.

В данной главе представлен обзор наиболее известных свойств цен акций и направлений развития моделей динамики цен финансовых инструментов, рассматриваются существующие модели динамики цены акции в непрерывном времени и предлагаются их обобщения. Отметим, что большинство подходов для расчета стоимости производных ценных бумаг используют ниже представленные свойства и модели динамики цены базового актива.

Первое математическое описание модели в виде диффузионного процесса, порожденного броуновским движением, дано в докладе Башелье в 1900 году. Линейная модель Башелье [75] была создана для описания движения цен акций и других финансовых индексов на парижском рынке ценных бумаг. С самого

начала было ясно, что данная модель имела множество недостатков (например, в ней предполагалось, что цена акции описывается нормальным распределением, вследствие чего она могла принимать отрицательные значения), однако использование броуновского движения в модели показало, что броуновское движение обладает богатой структурой и позволяет использовать его для построения разных классов СП (в том числе и для построения более сложных моделей движения цен) [70].

В работе [140] было предложено описывать динамику цены акции геометрическим броуновским движением: Самуэльсон предложил считать, что не стоимости, а логарифмы этих стоимостей подчиняются линейной модели.

При переходе от логарифма цены непосредственно к рассмотрению цены получается диффузионная модель динамики цены акции, которая была в 1973 году рассмотрена при расчетах стоимостей опционов Блэком, Шоулзом и Мер-тоном [82,129]. В литературе существует большое количество эмпирических доказательств, свидетельствующих о том, что классическая модель Блэка-Шоулза [81], в которой цена акции описывается непрерывным диффузионным процессом с постоянной процентной ставкой и волатильностыо, несовместима со статистическими свойствами динамики цен акций.

По причине существующих недостатков модели Блэка-Шоулза предлагались обобщающие ее модели. Важным критерием выбора модели для описания истинного поведения цены актива для исследователей стала способность модели воспроизводить определенные эмпирические свойства. В работах Фамы Е.Ф., Манделброта Б.Б., Ричардсона М. и Смита Т. [99,100,122,137] было отмечено, что доходности акций имеют островершинное и асимметричное распределение2 (с тяжелыми хвостами), а волатильность меняется во времени [102] и характеризуется периодами с высокими и низкими значениями. В соответствии с этими свойствами обобщение модели Блэка-Шоулза проводилось в основном по двум направлениям.

2 Такие наблюдаемые свойства безусловной плотности привели к моделированию доходностей активов как независимых и одинаково распределенных величин, имеющих такие распределения с тяжелыми хвостами, как I-распределение Стыодента, Парето и Леви распределения (например, работа [83]).

Одним из направлений является введение нестационарной условной вола-тильности (гетероскедастичности) в основной процесс изменения цены акции, например, это непрерывные модели стохастической волатильности [7678,89,108,111,114,126,141-143,147,156], дискретные модели стохастической волатильности [72,74,117,148,149] и модели авторегрессионной условной гетероскедастичности (ARCI-I) [98], обобщенные ARCH (GARCH) модели [84,148]. Использование этих моделей также связано с эмпирическими свойствами. Известно, что доходности (которые определяются приращениями логарифмов цен акции [92]) не являются независимыми, нелинейное преобразование цены акции приводит к положительной автокорреляции, которая означает, что, например, большие значения квадратов доходностей сохраняются от периода к периоду. Таким образом, цены имеют тенденцию к созданию «режимов» (или периодов) с высокой и низкой изменчивостью. Это явление называется кластеризацией волатильности. Отметим, что кластеризация волатильности, меняющаяся во времени, и распределение доходности акции с тяжелыми хвостами в стационарном состоянии тесно связаны между собой.

Другим известным эмпирическим свойством цены акции является «эффект рычага» (или «левередж» эффект), который заключается в том, что отрицательная доходность часто сопровождается более высокой волатильностыо (и наоборот). Это явление можно описать с помощью корреляции между ценой акции и ее вариацией (например, [108]). Отрицательная корреляция подтверждает противоположные изменения цены и волатильности. Представленные выше эмпирические свойства естественным образом приводят к использованию ARCH / GARCH моделей и моделей стохастической волатильности3.

Другим направлением, впервые предложенным Мертоном в работе [127] при выводе более общей формулы для расчета цены опциона, является моделирование траекторий доходностей актива в виде смеси непрерывного диффузионного и разрывного скачкообразного процессов (изменение цены акции разде-

3 В работах [104,145] указаны статистические свойства моделей стохастической волатильности.

ляется на «нормальное» и «ненормальное»).4 Использование диффузионного процесса со скачками для моделирования цены акций вызвано тем, что если цена финансового инструмента рассматривается в масштабах дня или месяца, то она более вероятно имеет разрывное (скачкообразное) поведение, и только на более длительных временных промежутках при их крупном разбиении движение цены будет напоминать броуновское движение [92]. Динамика цены акции в таких моделях определяется диффузионным процессом, который время от времени испытывает скачки в рассматриваемые промежутки времени. Такое развитие может быть представлено на основе моделирования цены как процесса Леви с ненулевой гауссовской компонентой и компонентой, которая является сложным пуассоновским процессом с конечным числом скачков на ограниченном интервале времени.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Кожевников, Александр Сергеевич, 2013 год

Литература

1. Аверина Т.А., Рыбаков К.А. Два метода анализа стохастических систем с пуассоновской составляющей // Дифференциальные уравнения и процессы управления. -2013, №3.-С. 85-116.

2. Аверина Т.А. Модифицированный алгоритм статистического моделирования систем со случайным периодом квантования // Вестник СГТУ. - 2011. -№ 4 (62). - Вып. 4. - С. 212-218.

3. Аверина Т.А., Якунин М.А. Оценки параметров модели ценового ряда в виде решения линейного СДУ с пуассоновской составляющей // Сиб. журн. вычисл. математики. - 2009. Т. 12. № 2. - С. 121-129.

4. Артемьев В.М., Ивановский A.B. Дискретные системы управления со случайным периодом квантования. -М.: Энергоатомиздат, 1986.

5. Артемьев С.С., Михайличенко И.Г., Синицын И.Н. Статистическое моделирование срочных финансовых операций. - Новосибирск: Изд. ВЦ СО РАН, 1996.

6. Артемьев С.С., Якунин М.А. Математическое и статистическое моделирование в финансах. - Новосибирск: Изд. ИВМиМГ СО РАН, 2008.

7. Архангельский А.Я. С++ Builder 6. Справочное пособие. - М.: Бином-Пресс, 2002.

8. Большаков И.А., Ракошиц B.C. Прикладная теория случайных потоков. -М.: Советское радио, 1978.

9. Борисов A.B. Методы анализа и оценивания в скрытых марковских системах при обработке разнородной информации. - Диссертация ... доктора физико-математических наук. - М.: 2008.

10. Булинский A.B., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. - М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2005.

11. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. -М.: Наука, 1988.

12. Гардинер K.B. Стохастические методы в естественных науках. - М.: Мир, 1986.

13. Гихман И.И., Скороход A.B. Введение в теорию случайных процессов. -М.: Наука, 1965.

14. Горицкий Ю.А., Казаков В.А. Дискретизация случайных процессов с конечным множеством состояний и эрланговским временем пребывания // Известия РАН. Теория и системы управления. - 2011. №6. - с. 14-27.

15. Джексон Д. Ряды Фурье и ортогональные полиномы. - Ижевск: РХД, 2002.

16. Казаков И.Е., Артемьев В.М., Бухалев В.А. Анализ систем случайной структуры. -М.: Физматлит, 1993.

17. Кибзун А.И., Горяинова Е.Р., Наумов A.B., Сиротин А.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. Базовый курс с примерами и задачами. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.

18. Киреев В.И., Пантелеев A.B. Численные методы в примерах и задачах. -М.: Высшая школа, 2008.

19. Кожевников A.C., Рыбаков К.А. Спектральный метод анализа стохастических систем с разрывами траекторий, описываемыми случайной смесью эрланговских распределений // Управление большими системами. Вып. 45. - М.: ИПУ РАН, 2013.- С.47-71.

20. Кожевников A.C., Рыбаков К.А. Спектральный метод анализа стохастических систем с разрывами траекторий, характеризуемыми чередованием эрланговских распределений // Наука и образование: научное издание МГТУ им. Н.Э. Баумана. -2013. -№ 4. -http://technomag.edu.ru.

21. Кожевников A.C. Программное обеспечение для статистического моделирования и анализа случайных процессов со скачками, описывающих динамику цен акций предприятий авиационной отрасли // Электронный журнал «Труды МАИ». - 2012. - № 59. - http://www.mai.ru.

22. Кожевников A.C., Рыбаков К.А. Анализ нелинейных стохастических систем управления с импульсными воздействиями, образующими эрлангов-

ские потоки событий // Научный Вестник МГТУ ГА. - 2012. - № 184 (10). -С. 37-45.

23. Кожевников A.C., Рыбаков К.А. Спектральный метод анализа стохастических систем в приложении к задачам финансовой математики на примере модели Блэка-Шоулза // Вестник Московского авиационного института. -2009, т. 16, №4.-С. 113-125.

24. Кожевников A.C. Математические модели динамики цены акций с гиперэ-рланговскими скачками // Научный альманах. Вып. 17: Материалы IX научно-практической конференции молодых ученых и студентов «Инновационный менеджмент в аэрокосмической промышленности». - М.: Изд-во «Доброе слово», 2013. - С. 180-186.

25. Кожевников A.C., Рыбаков К.А. Математические модели динамики цены акций с эрланговскими скачками // Научный альманах. Вып. 16: Материалы VIII научно-практической конференции молодых ученых и студентов «Инновационный менеджмент в аэрокосмической промышленности». - М.: Изд-во «Доброе слово», 2012. - С. 156-161.

26. Кожевников A.C., Рыбаков К.А. Об оценке стоимости финансовых инструментов в модели Бейтса // Проблемы авиастроения, космонавтики и ракетостроения: Сб. науч. тр. - М.: Изд-во Ваш полиграфический партнер, 2012.-С. 353-361.

27. Кожевников A.C. Анализ неоклассической модели экономического роста с учетом случайных факторов // Научный альманах. Вып. 15: Материалы VII научно-практической конференции молодых ученых и студентов «Инновационный менеджмент в аэрокосмической промышленности». - М.: Доброе слово, 2011.-С. 77-86.

28. Кожевников A.C., Рыбаков К.А. О применении спектрального метода анализа систем со случайным периодом квантования в модели Мертона // Модернизация и инновации в авиации и космонавтике: Сб. науч. тр. - М.: Изд-во МАИ-ПРИНТ, 2011. - С. 299-305.

29. Кожевников A.C., Рыбаков К.А. Расчет будущей цены актива в модели Блэка-Шоулза с помощью спектрального метода анализа стохастических систем // Теоретические вопросы вычислительной техники и программного обеспечения: Межвуз. сб. науч. тр. - М.: МИРЭА, 2010. - С. 120-126.

30. Кожевников A.C., Рыбаков К.А. Анализ динамики цены актива на примере модели Хестона с помощью спектрального метода // Информатика, социология, экономика, менеджмент: Межвуз. сб. науч. тр. - М.: АМИ, 2010, вып. 7, ч. 2.-С. 13-19.

31. Костылев В.И. О композиции гамма-статистик // Вестник Воронежского государственного университета. Серия «Физика. Математика». - 2000. -№ 1.

32. Красовский A.A. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем. - М.: Наука, 1974.

33. Кузнецов Д.Ф. Численное моделирование стохастических дифференциальных уравнений и стохастических интегралов. - СПб.: Наука, 1999.

34. Кук Р. Бесконечные матрицы и пространства последовательностей. - М.: Физматгиз, 1960.

35. Лапин C.B., Егупов Н.Д. Теория матричных операторов и ее приложение к задачам автоматического управления. - М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1997.

36. Миллер Б.М., Панков А.Р. Теория случайных процессов. - М.: Физматлит, 2002.

37. Пантелеев A.B., Руденко Е.А., Бортаковский A.C. Нелинейные системы управления: описание, анализ и синтез. М.: Вузовская книга, 2008.

38. Пантелеев A.B., Рыбаков К.А. Анализ нелинейных стохастических систем управления в классе обобщенных характеристических функций // Автоматика и телемеханика. - 2011. - № 2. - С. 183-194.

39. Пантелеев A.B., Рыбаков К.А., Сотскова И.Л. Спектральный метод анализа нелинейных стохастических систем управления. - М.: Вузовская книга, 2006.

40. Пугачев B.C., Синицын И.Н. Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация. -М.: Наука, 1990.

41. Романов В.А., Рыбаков К.А. Спектральные характеристики операторов умножения, дифференцирования и интегрирования в базисе обобщенных функций Эрмита // Труды МАИ. - 2010. - № 39. - http://www.mai.ru.

42. Рыбаков К.А. Программное обеспечение спектральных преобразований Spectrum // Электронный журнал «Труды МАИ». - 2003. № 14. -http://www.mai.ru.

43. Рыбаков К.А. Спектральные характеристики операторов умножения, дифференцирования и интегрирования в базисе обобщенных функций Лагерра // Дифференциальные уравнения и процессы управления. - 2012. - № 1. -С. 114-141. - http://www.math.spbu.ru/difQournal.

44. Рыбаков К.А., Сотскова И.Л. Алгоритмическое обеспечение спектрального метода анализа систем управления в неограниченных областях изменения времени и фазовых координат // Электронный журнал «Труды МАИ». -2004. № 16. -http://www.mai.ru.

45. Рыбаков К.А., Сотскова И.Л. Анализ систем с переменной структурой в классе обобщенных характеристических функций // Электронный журнал «Труды МАИ». - 2003, № 11. - http://www.mai.ru.

46. Рыбаков К.А., Хакимов З.Р. Анализ систем управления со случайным периодом квантования в классе обобщенных характеристических функций // Тез. докл. 8-й Межд. конф. «Авиация и космонавтика - 2009». - М.: МАИ-ПРИНТ, 2009.-С. 72.

47. Рыбин В.В. Моделирование нестационарных непрерывно-дискретных систем управления спектральным методом в системах компьютерной математики. - М.: Изд-во МАИ, 2011.

48. Рыбин В.В. Описание сигналов и линейных нестационарных систем управления в базисах вейвлетов и их анализ в вычислительных средах. - М.: Изд-во МАИ, 2003.

49. Рыбин В.В. Разработка и применение пакета расширения Spektr_SM пакета Simulink СКМ Matlab // Электронный журнал «Труды МАИ». - 2003, № 13. - http://www.mai.ru.

50. Рыбин В.В. Разработка и применение пакета расширения Spektr_SM системы VisSim+Mathcad // Электронный журнал «Труды МАИ». - 2004, № 17. -http://www.mai.ru.

51. Рыбин В.В. Разработка и применение пакетов расширения MLSY_SM СКМ Mathcad, Maple, Mathematica, Matlab // Электронный журнал «Труды МАИ». - 2003, № 13. - http://www.mai.ru.

52. Сайт корпорации «Иркут» [Электронный ресурс]. - http://www.irkut.com.

53. Сайт компании РБК [Электронный ресурс]. - http://quote.rbc.ru.

54. Семенов В.В. Уравнение обобщенной характеристической функции вектора состояния систем автоматического управления // Аналитические методы синтеза регуляторов. Вып. 2: Межвуз. науч. сб. - Саратов: СПИ, 1977. - С. 3-36.

55. Соколов Н.П. Введение в теорию многомерных матриц. - Киев: Наукова думка, 1972.

56. Солодовников В.В., Дмитриев А.Н., Егупов Н.Д. Спектральные методы расчета и проектирования систем управления. - М.: Машиностроение, 1986.

57. Солодовников В.В., Семенов В.В. Спектральная теория нестационарных систем управления. - М.: Наука, 1974.

58. Солодовников В.В., Семенов В.В. Спектральный метод расчета нестационарных систем управления летательными аппаратами. - М.: Машиностроение, 1975.

59. Солодовников В.В., Семенов В.В., Пешель М., Недо Д. Расчет систем управления на ЦВМ: спектральный и интерполяционный методы. - М.: Машиностроение, 1979.

60. Сотскова И.Л. Исследование корректности краевых задач для уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова в классе обобщенных характеристических

функций // Новые задачи оптимизации авиационных систем: Тем. сб. науч. тр. - М.: МАИ, 1989. - С. 26-33.

61. Сотскова И.Л. Применение аппарата обобщенной характеристической функции к анализу стохастических систем управления ЛА // Задачи стохастического управления: Тем. сб. науч. тр. -М.: МАИ, 1986. - С. 71-78.

62. Сотскова И.Л. Семантическая модель анализа стохастических систем управления ЛА // Семантическое программирование в автоматизированном проектировании систем управления летательными аппаратами: Тем. сб. науч. тр. - М.: МАИ, 1985. - С. 59-68.

63. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. - М.: Советское радио, 1977.

64. Федосов Е.А., Инсаров В.В., Селивохин О.С. Системы управления конечным положением в условиях противодействия среды. - М.: Наука, 1989.

65. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. - М.: Мир, 1964.

66. Финам [Электронный ресурс]. - http://www.finam.ru.

67. Формалев В.Ф., Ревизников Д.Л. Численные методы. - М.: Физматлит, 2004.

68. Халл Дж.К. Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты. -М.: Вильяме, 2007.

69. Шайкин М.Е. Бескоординатный подход к методу моментов в теории многомерных стохастических систем // Автоматика и телемеханика. - 2002, №5.-С. 81-91.

70. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. - М.: ФАЗИС, 1998.

71. Ait-Sahalia Y. Telling from Discrete Data Whether the Underlying Continuous-Time Model Is a Diffusion // Journal of Finance. V 17. №5. - 2002.

72. Amin K., Ng V. Option valuation with systemaic stochastic volatility // Journal of Finance. - 1993. V. 48. - P. 881-910.

73. Anatolyev St., Tsyplakov A. Where to find data on the Web? // Quantile. - 2009. №.6.-P. 59-71.

74. Andersen T.G. Stochastic autoregressive volatility; a framework for volatility modeling // Mathematical Finance. - 1994. V. 4. - P. 75-102.

75. Bachelier L. Theorie de la speculation // Annales de l'Ecole Normale Superieure. 1900. V. 17. P. 21-86.

76. Bailey W., Stulz E. The pricing of stock index options in a general equilibrium model // Journal of Financial and Quantitative Analysis. - 1989. V. 24. - P. 112.

77. Bakshi G., Cao C., Chen Z. Empirical performance of alternative option pricing models // Forthcoming Journal of Finance. - 1997.

78. Bates D.S. Jump and Stochastic Volatility: Exchange Rate Processes Implicit in Deutsche Mark Options // Review of Financial Studies. - 1996. V. 9. - P. 69107.

79. Bates D.S. Testing option pricing models // Statistical Methods in Finance, ed. by G.S. Maddala and C. R. Rao. - 1996. V. 14. - P. 567-611.

80. Bayraktar E., Xing H. Pricing American options for jump diffusions by iterating optimal stopping problems for diffusions // Journal of Mathematical Methods of Operations Research. - 2009. V. 70. - P. 505-525.

81. Black F. How to Use the Holes in Black-Scholes // Journal of Applied Corporate Finance. 1989. V. 1. № 4. - P. 67-73.

82. Black F., Scholes M. The Pricing of Options and Corporate Liabilities // The Journal of Political Economy. 1973. V.81. № 3. - P. 637-654.

83. Blattberg R.C., Conedes N.J. A comprasion of stable and student distributions as statistical models for stock prices // Journal of Business. 1974. Y.47. № 2. - P. 244-280.

84. Bollerslev T.R.Y. Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity // Journal of Econometrics. - 1986. V 51. - P. 307-327.

85. Buckwar E., Riedler M G. Runge-Kutta methods for jump-diffusion differential equations // Journal of Computational and Applied Mathematics. - 2011. V. 236. №6.-P. 1155-1182.

86. Burrage K., Burrage P., Mitsui T. Numerical solutions of stochastic differential equations - implementation and stability issues // Journal of computational and applied mathematics. 2000. V. 125. P. 171 - 182.

87. Burrage K., Tian T. Stiffly accurate Runge-Kutta methods for stiff stochastic differential equations // Computer Physics Communications. 2001. V. 142. P. 186 — 190.

88. Carr P., Geman H., Madan D., Yor M. The Fine Structure of Asset Returns: An Empirical Investigation // Journal of Business. - 2002. V. 75.

89. Chesney M., Scott L.O. Pricing european currency options: A comparison of the modified Black-Scholes model and a random variance model // Journal of Financial Quantitative. Analysis. - 1989. V. 24. - P. 267-284.

90. Clark P.K. A subordinated stochastic process model with finite variance for speculative prices //Econometrica, 41, 135-55. - 1973.

91. Cont R., Lantos N., Pironneau O. A reduced basis for option pricing // SIAM Journal on Financial Mathematics. - 2011, V. 2. № 1. - P. 287-316.

92. Cont R., Tankov P. Financial Modelling with Jump Processes. - Chapman and Hall, 2004.

93. Detlefsen K. Equity Derivatives Markets // Dissertation. - 2007. Berlin.

94. Di Paola M., Sofi A. Approximate solution of the Fokker-Planck-Kolmogorov equation // Prob. Engng. Mech. - 2002, V. 17. №4. - P. 369-384.

95. Dubacova J., Hurt J., Stepan J. Stochastic Modeling in Economics and Finance. -Kluwer Academic Publishers, 2003.

96. Dupire B. Pricing with a smile // RISK-magazin. 1994. V. 7. № 1. - P. 18-20.

97. Ederington L.H., Lee J.H. How markets process information: News releases and volatility // Journal of Finance. - 1993. V. 48. - P. 1161-1192.

98. Engle R.F. Autoregressive conditional heteroskedasticity with estimates of the variance of U.K. inflation //Econometrica. - 1982. V. 50. P. 987-1008.

99. Fama E.F. The behavior of stock market prices // Journal of Business. 1965. V. 34. P. 420-429.

100. Fama E.F. The stable Paretian distribution // Journal of Business. 1963. V. 36. P. 420-429.

101. Fok J., Guo B., Tang T. Combined Hermite spectral-finite difference method for the Fokker-Planck equation // Mathematics of computation. - 2001, V. 71, №240.-P. 1497-1528.

102. French K.R., Roll R. Srock returns variances // Journal of Financial Economics. 1986. V. 17. P. 5-26.

103.Geman H. Pure Jump Levy Processes for Asset Price Modeling // Journal of Banking and Finance. - 2002. V. 26. - P. 1297-1316.

104. Ghysels E., Harvey A., Renault E. Stochastic volatility // Statistical Methods in Finance, ed. by G.S. Maddala and C. R. Rao. - 1996. V. 14. - P. 119-191.

105.Griebel M., Hullmann A. An Efficient Sparse Grid Galerkin Approach for the Numerical Valuation of Basket Options Under Kou's Jump-Diffusion Model // Sparse Grids and Applications.-2013, V. 88.-P. 121-150.

106.Grubbs F. Procedures for Detecting Outlying Observations in Samples // Tech-nometrics. - 1969. V. 11.-P. 1-21.

107. Hanson F.B. Applied Stochastic Processes and Control for Jump-Diffusions. -SIAM, 2007.

108.Heston S.L. A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options // Review of Financial Studies. -1993. V. 6.-P. 327-343.

109. Ho M., Perraudin W., Sorensen B. A continuous-time arbitrage-pricing model with stochastic volatility and jumps // Journal of Business & Economic Statistics. V. 14. №1. P. 31-43. - 1996.

110. Huang J., Wu L. Specification analysis of option pricing models based on time-changed Levy processes // Journal of Finance. - 2004. V. 59. №3. - P. 1405— 1439.

111. Hull J., White A. The pricing of options on assets with stochastic volatilities // Journal of Finance. - 1987. V. 42. - P. 281-300.

112. Iwankiewicz R., Nielsen S.R.K. Advanced methods in stochastic dynamics of non-linear systems. - Aalborg University Press, 1999.

113. Iwankiewicz R. Moment equations for non-linear dynamic systems under non-Poisson impulses: approach based on backward integro-differential Chapman-Kolmogorov equation // Booklet of abstracts «7th European Nonlinear Oscillations Conferences 2011». — 2011.

114. Johnson H., Shanno D. Option pricing when the variance is changing // Journal of Financial and Quantitative Analysis. - 1987. V. 22. -P 143-152.

115. Jorion P. On jump processes in the foreign exchange and stock markets // Review of Financial Studies. - 1988.V. 1. - P. 427-445.

lló.Keppo J., Meng X., Shive S., Sullivan M. Modelling and hedging options under stochastic pricing parameters // Working Paper, Industrial and Operations Engineering. -2003.

117. Kim S., Shephard N.G., Chib S. Stochastic volatility: optimal likelihood inference and comparison with ARCH models // Forthcoming Review of Economic Studies. - 1996.

118.Kloden P.E., Platen E. Numerical solution of Stochastic Differential Equations. - Springer, 1999.

119.Korn R., Korn E., Kroisandt G. Monte Carlo Methods and Models in Finance and Insurance References. - Chapman & Hall/CRC Financial Mathematics Series, 2010.

120.Kou S. A jump-diffusion model for option pricing // Management Science. -2002. V. 48-P. 1086-1101.

121.Kozhevnikov A.S., Rybakov K.A. Analysis of Nonlinear Stochastic Systems with Jumps Generated by Erlang Flow of Events // Open Journal of Applied Sciences.-V. 3. №1. - P. 1-7.

122. Mandelbrot B.B. The variation of certain speculative prices // Journal of Business. 1963.-P. 394-416.

123. Mandelbrot B.B., Taylor H. On the distribution of stock prices differences // Operation Research. - 1967. V. 15. -P 1057-1062.

124. Marsaglia G. Xorshift RNGs // Journal of Statistical Software. - 2003. V. 8. № 14.

125.Matsumoto M., Nishimura T. Mersenne Twister: A 623-dimensionally equidis-tributed uniform pseudorandom number generator // ACM Trans, on Modeling and Computer Simulation. - 1998. V. 8. № 1. - P. 3-30.

126.Melino A., Turnbull S.M. Pricing foreign currency options with stochastic volatility // Journal of Econometrics. - 1990. V. 45. - P 239-265.

127.Merton R.C. Option Pricing when Underlying Stock Returns are Discontinuous //Journal of Financial Economics. - 1976. V. 3. - P. 125-144.

128.Merton R.C. The impact on option pricing of specification error in the underlying stock price returns // Journal of Finance. - 1976. V. 3. P. 333-350.

129.Merton R.C. Theory of rational pricing // Bell Journal of Economics and Management Science. 1973. № 4. - P. 141-183.

130.Milgrom P.R. Good News and Bad News: Representation Theorems and Applications//The Bell Journal of Economics. - V. 12. №2.-P. 380-391.

131.0ksendal B., Sulem A. Applied Stochastic Control of Jump Diffusions. -Springer, 2009.

132. Press J. A compound events model for security prices // Journal of Business -1967. №40. P. 317-335.

133.Raggi D., Bordignon S. Volatility, Jumps, and Predictability of Returns: A Sequential // Analysis Econometric Reviews. - 2011. V.30. № 6. - P. 669-695.

134. Ramezani C., Zeng Y. Maximum likelihood estimation of asymmetric jumpdiffusion processes: Application to security prices // Working Paper, Department of Mathematics and Statistics, University of Missouri, Kansas City. - 1998.

135. Ramezani C., Zeng Y. An Empirical Assessment of the Double Exponential Jump-Diffusion Process // Working Paper, Department of Mathematics and Statistics, University of Missouri, Kansas City. - 2006.

136. Renault E. Econometric models of option pricing errors // Invited lecture presented at 7th WCES, Tokyo. - 1995.

137. Richardson M., Smith T. A test for multivariate normality in stock returns. -1992.

138.Rishel R. Whether to sell or hold a stock // Communication in information and system. 2006. V. 6. № 3. - P. 193-202.

139.Rybakov K.A., Sotskova I.L. Spectral Method for Analysis of Switching Diffusions // IEEE Transactions on Automatic Control. - 2007. - Vol. 52. - № 7. - P. 1320-1325.

140. Samuelson P.A. Proof that properly anticipated prices fluctuate randomly // Industrial Management Review. 1965. V. 6. - P. 41-49.

141. Scott L. Option pricing when the variance changes randomly: Theory, estimators, and applications // Journal of Financial and Quantitative Analysis. - 1987. V. 22.-P. 419-438.

142. Scott L. Pricing stock options in a jump-diffusion model with stochastic volatility and interest rates: Application of fourier inversion methods // Forthcoming Mathematical Finance. - 1997.

143. Scott L. Random variance option pricing // Advances in Futures & Options Research. - 1991. V. 5.-P. 113-135.

144. Semenov V.V., Sotskova I.L. The spectral method for solving Fokker-Planck-Kolmogorov equation for stochastic control system analysis // Proc. of 2nd IF AC symposium on stochastic control. Preprints, part 1. - 1986. - p. 131-136.

145. Shephard N.G. Statistical aspects of arch and stochastic volatility // Time Series Models. In econometrics, finance and other fields, Cox D.R., Hinkley D.V., Barndorff-Nielsen, O.E., eds., Chapman and Hall. - 1996.

146. Shizgal B.D. Spectral methods based on nonclassical basis functions: the advec-tion-diffusion equation // Computers & Fluids. - 2002. V. 31. - P. 825-843.

147. Stein E.M., Stein J. Stock price distributions with stochastic volatility: An analytic approach // Review of Financial Studies. - 1991. V 4. - P. 727-752.

148. Taylor S. J. Modelling Financial Time Series. - Wiley. - 1986.

149. Taylor S. J. Modelling stochastic volatility: a review and comparative study // Mathematical Finance. - 1994. V. 4. - P. 183-204.

150. Thomas D.B., Luk W., Leong P.H.W., Villasenor J.D. Gaussian Random Number Generators // ACM Computing Surveys. - 2007. V. 39. № 4. - P. 11:1— 11:38.

151.Thomee V. Galerkin finite element methods for parabolic problems. - Springer series in computational mathematics, 1997.

152.Tietjen G.L., Moore R.H. Some Grubbs-Type Statistics for the Detection of Several Outliers // Technometrics. - 1972. V. 14. №3. - P. 583-597.

153. Ulyanov S.V., Feng M., Ulyanov V.S., Yamafuji K., Fukuda T., Arai F. Stochastic analysis of time-variant nonlinear dynamic systems // Prob. Engng. Mech. -1998. V. 13. №3.-P. 183-226.

154. Voltchkova E. Integro-Differential Evolution Equations: Numerical Methods and Applications in Finance. - Ph.D thesis, Ecole Polytechnique, France, 2005.

155. Wei G.W. A unified approach for the solution of the Fokker-Planck equation // J. Phys. A: Math. Gen. - 2000. V. 33. - P. 4935-4953.

156. Wiggins J.B. Option values under stochastic volatility: theory and empirical estimates // Journal of Financial Economics. - 1987. V. 19. - P. 351-72.

157. Xu L. On Galerkin Approximations for the Zakai Equation with Diffusive and Point Process Observations // Dissertation. - 2010. Leipzig.