Разреженные измерительные сигналы, методы их мультиплексирования и алгоритмы оценки канала в многоантенных системах связи тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Дорохин Семен Владимирович

• Дорохин Семен Владимирович
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Дорохин Семен Владимирович

Введение

Глава 1. Обзор методов оценки канала

1.1 Измерительные сигналы в стандарте 50 \"Н

1.1.1 Гребёнчатое расположение измерительных сигналов

1.1.2 Мультиплексирование с помощью циклического сдвига измерительного сигнала

1.2 Новые подходы к оценке канала

Глава 2. Методы дискретизации ортонормированной системы

2.1 Гармонические равноугольные жёсткие фреймы и близкие к

ним конструкции

2.1.1 Разностные и почти разностные множества

2.1.2 Поиск решения с помощью дискретной оптимизации

2.1.3 Построение гармонических фреймов с помощью полиномов

2.2 Поиск набора гармонических жёстких фреймов

2.2.1 Решения на базе разностных множеств

2.2.2 Решения с помощью дискретной оптимизации

2.2.3 Предлагаемое решение на базе перестановочных полиномов

2.3 Выбор строк матрицы с ортонормированными столбцами

2.3.1 Известные оценки

2.3.2 Алгоритмы адаптивного выбора строк

2.3.3 Связь с гармоническими фреймами для столбцов с разреженным представлением

Глава 3. Малопараметрические модели и оценка канала

3.1 Алгоритмы сжатых измерений

3.1.1 Одномерная жадная аппроксимация

3.1.2 Использование общего носителя для одновременной аппроксимации

3.1.3 Восполнение тензора как одномерная аппроксимация

3.1.4 Предлагаемые многомерные маски измерений на основе перестановочных полиномов

3.2 Тензорные разложения и операции

3.3 Алгоритмы восполнения тензоров

3.4 Восполнение при случайной маске

3.5 Восполнение по перекрёстным слоям

3.5.1 Кросс-тензорная аппроксимация

3.5.2 Восполнение канонического тензора

3.6 Предлагаемое обобщение восполнения по перекрёстным слоям

для модели Таккера и модели Тензорный Поезд

3.6.1 Формулы восполнения

3.6.2 Влияние количества слоёв на точность восполнения

3.6.3 Влияние расположения слоёв на точность восполнения

Глава 4. Математическая модель MIMO OFDM канала.

Результаты численных экспериментов

4.1 Стохастическая модель канала с учётом геометрии

4.1.1 Модель канала 3GPP

4.1.2 Оценка погрешности моделирования

4.2 Сравнение эффективности представления канала тензорными моделями

4.3 Выбор рангов при восполнении

4.3.1 Выбор рангов при итеративном восполнении по

случайной маске

4.3.2 Выбор рангов при восполнении по перекрёстным слоям

4.4 Практическая реализация измерений по перекрёстным слоям и

её влияние на точность восполнения

4.5 Сравнение спектральной эффективности

Заключение

Список сокращений и условных обозначений

Словарь терминов

Список литературы

Список рисунков

Список таблиц

Приложение А. Свойства сумм Гаусса

Приложение Б. Верхняя оценка скалярного произведения

столбцов фрейма на базе перестановочных полиномов

Приложение В. Нижняя оценка скалярного произведения

столбцов фрейма на базе перестановочных полиномов

Приложение Г. Акт об использовании в учебном процессе

Приложение Д. Акт о практическом использовании

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разреженные измерительные сигналы, методы их мультиплексирования и алгоритмы оценки канала в многоантенных системах связи»

Введение

В современном мире растёт количество практических приложений, требующих повышенной пропускной способности и сверхнизкой задержки в канале связи. К таким приложениям можно отнести системы виртуальной реальности, высоконагруженные стриминговые системы для мобильных пользователей и т.д. Несмотря на то, что системы мобильной связи пятого поколения практически вошли в нашу жизнь, их возможностей оказывается недостаточно для работы в упомянутых выше приложениях.

По этой причине активно идёт подготовка к стандартизации мобильных сетей шестого поколения. Наиболее вероятным вектором развития этих сетей является переход к работе в частотном диапазоне 7 — 24 ГГц. Увеличение частоты несущей означает уменьшение длины волны, что позволит использовать большее количество антенных элементов, сохраняя при этом тот же форм-фактор устройств, что и при использовании диапазона ниже 5 ГГц. Ожидается, что в мобильных сетях шестого поколения будут использовать до 1024 антенных элементов та базовой станции и до 32 элементов на мобильных устройствах.

Переход в новый частотный диапазон также позволит задействовать больше частотных ресурсов, которые на текущий момент практически не

400

общий частотный диапазон, занимаемый операторами мобильной связи,

1

за счёт увеличения числа поднесугцих.

Таким образом, тенденция развития систем мобильной связи состоит в увеличении всех размерностей тензора MIMO OFDM канала. Существующие методы оценки канала потребуют настолько большого количества частотно-временных ресурсов, что во многих сценариях с учётом существующей кадровой структуры либо выйдут за рамки интервала когерентности канала, либо существенно снизят число поддерживаемых пользовательских устройств. Одной из ключевых для развития мобильных сетей задач является разработка новых методов оценки канала, позволяющих снизить долю требуемых частотно-временных ресурсов с незначительными потерями в точности.

Среди направлений исследований, нацеленных на снижение частотно-временных ресурсов при оценке канала, выделяется применение тензорных методов обработки и использование псевдослучайного расположения измерительных сигналов совместно с алгоритмами сжатых измерений (англ. Compressed Sensing). Существующие работы с применением тензорных методов обладают рядом существенных недостатков, среди которых:

— Использование упрощённых моделей канала для разработки алгоритмов без надлежащей проверки устойчивости полученных методов к отклонениям тензора от предполагаемой модели.

— Рассмотрение процесса передачи измерительных сигналов и процесса оценки канала или его физических параметров в рамках единой задачи. Такой подход накладывает существенные ограничения на расположение и форму измерительных сигналов, что приводит к недопустимо высокой длительности оценки.

— Игнорирование вопроса обратной совместимости с устройствами мобильных сетей пятого поколения.

Для работ, посвящённых псевдослучайному расположению сигналов, характерны следующие недостатки:

— Применение методов дискретной оптимизации, что делает необходимым хранение на стороне передатчика и приёмника предвычисленных таблиц большого размера.

— Доступность аналитических решений для очень ограниченного набора параметров (например, количества поднесугцих и пилотов).

— Рассмотрение вопроса расположения измерительных сигналов вне контекста тензорной обработки.

Исследование, проведённое в диссертации, направлено на устранение этих недостатков.

Целью данной работы является снижение доли частотно-временных ресурсов, необходимых для оценки канала в OFDM-MIMO системах пятого и шестого поколений, без потери точности за счёт использования тензорных методов обработки сигнала, методов сжатых измерений и нерегулярного расположения измерительных сигналов с учётом особенностей алгоритмов.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Разработать способ мультиплексирования измерительных сигналов, позволяющий контролировать количество общих поднесущих между сигналами нескольких антенн передатчика.

2. Определить правила на коэффициенты перестановочного полинома, гарантирующие задаваемому им псевдослучайному сигналу близкие к оптимальным с точки зрения взаимной неортогональности свойства.

3. Разработать метод расположения многомерных псевдослучайных измерительных сигналов, позволяющий аналитически определять требуемое для реализации число символов и количество поднесущих, общих для пилотов различных антенн передатчика.

4. Исследовать методы преодоления ограничений теоремы Котельникова с помощью тензорной обработки сигналов.

5. Сравнить эффективность представления OFDM MIMO канала в формате канонического тензора, формате Таккера и ТТ-формате.

6. Исследовать возможность обобщения метода восполнения тензора, измеренного по слоям, с канонического формата на формат Таккера и ТТ.

7. Исследовать влияние расположения измерительных слоёв на точность восполнения тензора.

8. Разработать правила расположения измерительных слоёв, основываясь на перестановочных полиномах.

9. Разработать метод мультиплексирования измерительных сигналов, позволяющий измерить необходимые для восполнения слои тензора.

10. Исследовать пропускную способность OFDM MIMO системы связи в нисходящем канале при построении пространственного фильтра базовой станции на базе тензора, восполненного по слоям с учётом методов мультиплексирования сигналов и при наличии шума.

Научная новизна:

1. Впервые предложено мультиплексировать разреженные измерительные сигналы в OFDM-MIMO системах с помощью перестановочных полиномов, доказаны правила на коэффициенты полинома, гарантирующие близкие к оптимальным свойства сигналов в смысле взаимной неортогональности, получена верхняя оценка

модуля скалярного произведения различных векторов получаемого фрейма, получены необходимые условия для высокого значения скалярного произведения.

2. Впервые предложен подход к оценке канала, заключающийся в разделении методов измерения элементов тензора канала и методов восполнения этого тензора. Показано, что такой подход позволяет применить общую теорию восполнения тензоров и переиспользовать алгоритмы из других областей (магнитно-резонансная томография, обработка аудио и видео).

3. Впервые предложено обобщение с канонического формата на формат ТТ и Таккера алгебраического метода восполнения тензора, измеренного по перекрёстным слоям. Показано, что при восполнении тензоров OFDM MIMO канала предложенный алгоритм позволяет уменьшить среднеквадратичную ошибку восполнения более чем в два раза по сравнению с исходным алгоритмом на базе канонического разложения.

4. Впервые предложены правила выбора апериодического расположения слоёв тензора, основанные на перестановочных полиномах и существенно повышающие точность восполнения в сравнении с периодическим расположением слоёв.

Практическая значимость работы заключается в создании новых методов оценки канала на базе алгоритмов восполнения тензоров, что

4

без потери пропускной способности по сравнению с классическими методами одномерной оценки при периодическом расположении измерительных сигналов по частоте. Предложены методы мультиплексирования, позволяющие осуществить необходимые измерения не более, чем за 9 символов в случае MIMO систем со сверхбольшим числом антенн (256 антенн

32

быть использованы для оценки как восходящего, так и нисходящего канала в сетях 5G, 6G и Wi-Fi. Предлагаемые методы подразумевают режим обратной совместимости с сигналами, определёнными в стандарте 5G NR Release 19.

Методология и методы исследования. В диссертации используются методы цифровой обработки сигналов и прикладного Фурье-анализа, линейной, полилинейной алгебры и теории оптимизации. Применяются

результаты аналитической теории чисел. При математическом моделировании использовалась платформа С^иаБШСа п модели канала, основанные на стандарте ЗСРР 38.901. Для нахождения канонического разложения используется популярный пакет вычислительных программ ТепйогЬаЬ.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Способ мультиплексирования измерительных сигналов на основе перестановочного полинома и соответствующий метод построения набора гармонических жёстких фреймов, близких к равноугольным, в сравнении с существующими методами многократно увеличивающие количество пар (число поднесущих - число пилотов), для которых доступно аналитическое задание нерегулярного расположения измерительных сигналов.

2. Новый подход к оценке канала, разделяющий оценку элементов тензора и восполнение тензора, что позволяет применять широкий класс алгоритмов жадной аппроксимации и восполнения тензоров и тем самым добиться большей устойчивости к шуму и в несколько раз снизить требования на количество измерений.

3. Способ мультиплексирования многомерных псевдослучайных измерительных сигналов на основе перестановочного полинома, не уступающий по точности восполнения случайному расположению сигналов и в то же время позволяющий аналитически определить требуемое для реализации измерений количество символов.

4. Обобщение алгоритма восполнения канонического тензора, измеренного по перекрёстным слоям, на формат Таккера и ТТ, позволяющее повысить точность восполнения в 2 — 6 раз для тензоров широкополосного канала стандарта ЗСРР 38.901.

5. Метод измерения перекрёстных слоёв на основе методов сжатых измерений и ступенчатой аппроксимации, позволяющий реализовать измерения слоёв для тензора 256 х 32 х 2304 не более, чем за 9 символов и в совокупности с методами восполнения снижающий

2—4

спектральной эффективности по сравнению с одномерной интерполяцией по периодическим измерениям.

Достоверность полученных результатов обеспечивается математическим моделированием с использованием стандартизированных

комитетом 3GPP моделей, использованием развиваемых математическим сообществом пакетов программ для вычисления канонического разложения, сравнения предлагаемых методов и подходов с аналогами, а также численными экспериментами.

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены на: международной конференции IEEE Advanced Networks and Telecommunication Systems, конференции «Ломоносовские чтения» (секция вычислительной математики и кибернетики), международной школ е-конференции по тензорным методами в математике и задачах ИИ, международной конференции DSPA-2025. Результаты также обсуждались на семинарах лаборатории дискретной и комбинаторной оптимизации МФТИ и лаборатории «Многомерная аппроксимация и приложения» механико-математического факультета МГУ.

Личный вклад. Все основные результаты работы были получены автором лично.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 6 печатных изданиях, 3 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК и входящих в «белый список» (категория К1), 2^в изданиях, индексируемых Web of Science и Scopus, 1 —в тезисах докладов.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и 5 приложений. Полный объём диссертации составляет 202 страницы, включая 46 рисунков и 6 таблиц. Список литературы содержит 179 наименований.

Наиболее важные логические элементы диссертации, взаимосвязь между ними, а также соответствие этих элементов положениям, выносимым на защиту (ПВЗ), схематически изображены на рисунке 1. Красным цветом внутри некоторых блоков буквой «И» с соответствующим номером отмечена принадлежность положения, выносимого на защиту, конкретному логическому блоку. В скобках после названия каждого блока указан номер раздела или подраздела диссертации, в котором этот блок описан.

В качестве двух фундаментальных тем, составляющих основу диссертации, следует выделить гармонические жёсткие фреймы, описанные в разделе 2.1, и тензорные разложения (раздел 3.2) с различными алгоритмами восполнения тензоров (разделы 3.4-3.5). Новый подход к оценке канала, составляющий ПВЗ-2, заявлен в конце раздела 1.2, возможности по

и

Рисунок 1 Взаимосвязь основных элементов диссертации и положений, выносимых на защиту.

применению алгоритмов восполнения тензора и методов сжатых измерений теоретически исследуются в разделах 3.1, 3.4-3.6 и экспериментально проверяются в разделах 4.2-4.5.

На теорию гармонических фреймов опираются методы оценки канала, основанные на теории сжатых измерений (раздел 2.1). В разделе 2.2 сформулирована задача мультиплексирования-1, учитывающая практические ограничения при применении таких методов к многоантенным системам. Решение этой задачи, составляющее ПВЗ-1, приведено в разделе 2.2.3. В разделе 2.3.3 отмечается связь задачи построения гармонических фреймов с задачей выбора строк матрицы с ортогональными столбцами. Эта связь в дальнейшем помогает описать влияние расположения слоев на точность восполнения (раздел 3.6.3). В разделе 3.1.3 теоретически исследуется влияние многомерной псевдослучайной маски измерений на точность восполнения. Необходимая для практического применения таких методов задача мультиплексирования-2 формулируется и решается в разделе 3.1.4. Это решение составляет ПВЗ-З. В разделе 3.6.1 приведён вывод формул восполнения по перекрёстным слоям в формате Таккера и тензорного поезда, анализ условий, необходимых для точного восполнения, приведён в разделе 3.6.2. Разделы 3.6.1 и 3.6.2 составляют ПВЗ-4.

В разделе 4.4 ставится задача мультиплексирования-3, необходимая для эффективной реализации измерений по перекрёстным слоям. Для части слоёв предлагается использовать решение задачи мультиплексирования-1. Приведённый в разделе 4.4 метод измерений тензора канала по перекрёстным слоям составляет ПВЗ-5. Наконец, в разделе 4.5 с учётом методики численного моделирования по стандарту ЗвРР 38.901 (раздел 4.1) проводится сравнение спектральной эффективности системы при оценке канала классическими (раздел 1.1) и предложенными методами. В приложении Г приведён акт об использовании в учебном процессе, в приложении Д приведён акт о практическом использовании результатов диссертации.

Глава 1. Обзор методов оценки канала.

MIMO системы с большим количеством антенн стали повсеместно применяться в сетях мобильной связи пятого поколения [1]. Современные базовые станции могут иметь до 64 антенных элементов, а мобильные пользовательские устройства оснащаются 4-8 антеннами. И хотя этого достаточно, чтобы удовлетворить текущим требованиям, переход к следующему поколению систем мобильной связи требует значительно большей средней пропускной способности в соте. Прогнозируется, что требования к этому показателю увеличатся с 1 до 16 Гб/с [2].

Один из возможных способов достижения таких показателей - это переход в частотный диапазон 7-24 ГГц, обычно называемый FR-3 диапазоном. Как было замечено в работе [3], комитет по стандартизации 3GPP рассматривает этот диапазон как один из кандидатов для сетей шестого поколения. Завершение исследований и публикация технического отчёта по перспективам использования диапазона 14.8-15.35 ГГц планируется в рамках подготовки девятнадцатой версии стандарта (Release 19) [4].

Переход к FR-3 диапазону позволит существенно увеличить полосу сигнала из-за практического отсутствия лицензированных частот в этом диапазоне. Увеличение полосы приведёт к увеличению количества поднесугцих в OFDM-системах, а также к использованию большего расстояния между поднесугцими. Например, компания Nokia Bell Labs прогнозирует увеличение полосы сигнала до 400 МГц [2], а в техническом отчёте [5] компании Qualcomm оценивается, что операторам сотовой связи

1

Переход к диапазону FR-3 также приведёт к уменьшению длины волны, что позволит расположить больше антенных элементов, сохраняя

5

этой причине технический отчёт компании Nokia Bell Labs предполагает использование до 1024 антенных элементов на базовой станции [2]. Более того, на мероприятии Mobile World Congress в 2024 году компания Qualcomm представила систему Giga-MIMO, прототип базовой станции шестого поколения, оперирующий в диапазоне 13 ГГц и использующий 4096 антенных 256

пользовательских устройствах также растёт. Ещё в FR-1 диапазоне (ниже 5

12

32

миллиметровом диапазоне, как предлагается в [7].

В целом, все размерности канала в MIMO OFDM системах имеют тенденцию к увеличению в процессе развития систем связи. Таким образом, системы с большим количеством антенн (Massive MIMO) превращаются в системы со сверхбольшим количеством антенн (Extra-Large/Ultra-Massive MIMO). Практическое осуществление перехода к таким системам возможно только при решении двух ключевых проблем:

— снижение затрат частотно-временных ресурсов на оценку и отслеживание состояния канала

— снижение вычислительной сложности алгоритмов обработки сигналов Основное внимание в рамках диссертации и этой главы в частности сосредоточено на снижении затрат частотно-временных ресурсов при оценке канала. Вопрос вычислительной сложности при этом не затрагивается в виду отсутствия в открытых источниках сведений о производительности вычислительных устройств, предназначенных для сетей шестого поколения.

Дальнейшее изложение построено следующим образом: в разделе 1.1 приводится краткий обзор существующих методов разделения (мультиплексирования) измерительных сигналов различных антенн передатчика и соответствующих им методов оценки канала. Особое внимание уделяется принципиальным ограничениям на минимальное число частотно-временных ресурсов, достаточных для точной оценки. Следующий далее раздел 1.2 посвящён обзору попыток современных исследователей преодолеть эти ограничения. Особое внимание уделяется использованию тензорных методов обработки сигналов, отмечаются их практические недостатки, формулируется новый подход к оценке канала.

1.1 Измерительные сигналы в стандарте 5G NR

Методы мультиплексирования измерительных сигналов в текущем стандарте беспроводной связи 5G NR [8] опираются на два механизма:

разделение с помощью «гребёнчатого» расположения сигналов (раздел 1.1.1) и разделение с помощью циклического сдвига последовательности, определяющий сам измерительный сигнал (раздел 1.1.2). В текущем разделе эти методы будут рассмотрены на примере измерительного сигнала SRS (Sounding Reference Signal) восходящего канала, однако аналогичные методы применимы и к другим измерительным сигналам.

Рассмотрим для простоты изложения оценку канала, соответствующую одной антенне приёмника и ¿-той антенне передатчика. Здесь и далее будем полагать, что расположение пилотных поднесущих ¿-той антенны передатчика определяется некоторым набором индексов В стандарте 5G NR [8] и в большинстве современных систем связи используется регулярное (периодическое) расположение измерительных сигналов, то есть выбирается

Ф = {к • comb, к = 1, 2,... NPi}, (1)

где comb - период «гребёнки», a Np. - число пилотов, используемое ¿-той

comb 12

Обозначим последовательность, используемую для ¿-той антенны передатчика в качестве измерительного сигнала, KaKS^(n):

I s'n, если п Е Ф^, s г(п) = < (2)

I 0, иначе

В измерительных сигналах SRS используются последовательности Франка-Задова-Чу, однако в рамках данной работы конкретный вид последовательности не имеет принципиального значения.

1.1.1 Гребёнчатое расположение измерительных сигналов

Если в рамках одного символа на пилотных поднесущих, определяемых множеством индексов Ф^, передаёт измерительные сигналы только ¿-тая антенна, то сигнал на одной антенне приёмника в отсутствие шума можно записать как

y = h © Si,

(3)

где hj - частотная характеристика канала, соответствуюгцая ¿-той антенне передатчика, а © обозначает поэлементное произведение (произведение Адамара). При этом «гребёнку» индексов можно сдвигать в пространстве поднесу гцих, получая таким образом comb непересекающихся наборов индексов пилотных поднесугцих, что в рамках одного символа позволяет

comb

На стороне приёмника оценка канала на пилотных поднесугцих в самом простом случае может быть получена за счёт поэлементного домножения на комплексно-сопряжённую последовательность Sj:

h = y © s* = hj © Sj © s*. (4)

В таком случае, опуская для удобства индекс i антенны поднесущей, измерение частотной характеристики на поднесущих с индексами Ф можно также описать с помощью бинарной маски П £ CNsc:

Ii п £ Ф

ОД = { (5)

п £ Ф,

С помощью этой маски можно связать идеальную частотную характеристику h с оценкой на пилотах h:

h = h © п £ сNs. (6)

По теореме о свёртке из этого уравнения следует связь между ОДПФ частотной характеристики, измеренной на пилотах hT = F^ h, импульсной характеристикой hT = F^h и ОДПФ маски измерений = F^Q:

hT = hT * Пт, (7)

где * обозначает циклическую свёртку. При этом ОДПФ маски измерений представляет собой в некотором смысле эквивалентную импульсную характеристику измерительной системы:

Nsc-1 Лр-1

(к) = £ П(п]е2П tc = £ е2^^^, (8)

п=0 /=0

где pi - /-тый элемент множества индексов Ф.

comb

таких сигналов при одномерной обработке ограничено рассеянием задержки

Дт в канале. В самом деле, при регулярном расположении пилотных сигналов в частотной области

П(п)

1 п mod comb = 0

0 иначе

(9)

эквивалентная измерительная характеристика системы будет иметь вид

Np-1

Пт (к) = £

■ comb-п-к

Nsc =

n=0

Np-1

£

n=0

e2ni • Пк

NP —

&kmodNp,0, к = 0, 1;

..Nsc - 1, (10)

где 6П,^ - индикатор равенства элементов:

1 п = к, 0

(и)

Уравнение (10) иллюстрирует ограничение теоремы Котельникова: представляет собой comb периодически расположенных пиков, расстояние между которыми составляет Np = Comb отсчётов, как показано на рисунке 2.

Если в OFDM-системе с частотой дискретизации fs разброс задержек канала Дт превышает Np/fs секунд:

N.„

Лт >^p,

JS

(12)

то измерения канала периодическими пилотами будут подвержены эффекту наложения (англ. aliasing), что может существенно снизить качество оценки.

Рисунок 2 — Эффект наложения при периодическом расположении пилотов.

Этот факт является фундаментальным ограничением при уменьшение числа пилотных сигналов в ОРБМ-системах.

Стоит отметить, что аналогичные рассуждения справедливы и при измерении других физических параметров канала. При периодическом расположении измерительных сигналов в пространстве антенн приёмника (или передатчика) максимальный пространственный период сигнала ограничен угловым разбросом углов прихода (или отправления). При периодическом расположении измерительных сигналов во времени в случае мобильных систем максимальный период измерительных сигналов ограничен шириной доплеровского спектра.

1.1.2 Мультиплексирование с помощью циклического сдвига

измерительного сигнала

Помимо мультиплексирования измерительных сигналов с помощью «гребёнчатого» расположения по поднесугцим, мультиплексировать сигналы от нескольких антенн передатчика можно, задавая циклические сдвиги последовательностей, располагаемых на пилотных поднесугцих.

При разделении антенн циклическими сдвигами в рамках

«гребёнки» Ф последовательности для каждой антенны формируют из одной базовой последовательности й0(п), домножая её на экспоненту с линейно изменяющейся фазой:

( 2П ?'•

• е , если п £ Ф^, Бг(п) = < (13)

I 0, иначе,

и в этом случае г = 0,1, 2,... — 1. Сигналы вида (13) задаются в частотной области. Принятый сигнал на одной антенне приёмника и Ы8С поднесугцих выражается через частотные характеристики Ь каждой антенны как

N^ — 1

у(п) = ^ Ь © (14)

1=00

и при обработке на приёмнике поэлементно домножается на комплексно сопряжённую последовательность с нулевым циклическим сдвигом.

Получается сигнал

Nsh-1

s = y © so = ^ h © s, © s*. (15)

i=0

Преобразуя выражение s^ ©s0 в предположении использования всех поднесугцих (Ф = {1, 2, 3,...NSC})

(s, © s0) (п) = е~2пП• th, (16)

получаем

Nsh-1

s(n) = h,(n)e-2nrt~h. (17)

¿=o

Применяя ДПФ к левой и правой части и пользуясь теоремой о циклическом сдвиге, приходим к выражению

srW = hr,i (к) + h^ (к - ^ + • • • + hr^h (к - ^ • (Nah - , (18)

где hT,j - импульсная характеристика, соответствующая ¿-той антенне передатчика.

Таким образом, при мультиплексировании с помощью циклического сдвига происходит разделение Nsc бинов задержки на равные блоки по Nsc/Nsh отсчётов. Импульсные характеристики капала различных антенн передатчика сдвигаются в эти блоки. Из массива sT с помощью окопной обработки можно выделить импульсную характеристику отдельной антенны и восстановить канал подобно тому, как это делается в одноантенном случае.

Мультиплексирование с помощью циклических сдвигов обычно комбинируется с периодическим расположением наподобие (1), однако это не имеет принципиального значения. И максимальное значение comb, и максимальное количество антенн Nsh7 мультиплексируемых циклическим сдвигом, ограничены эффектом наложения, что иллюстрирует рисунок 3.

На рисунке 3 (а) и (б) показаны импульсные характеристики hT,i, hT,2, соответствующие двум соседним антеннам передатчика. Рисунок 3 (г) показывает оценку импульсной характеристики hT по уравнению (38) при comb = 8 и выборе Ф согласно (1). Несмотря на то, что на рисунке 3 (г) оценки импульсной характеристики приведены на одном графике, мультиплексирование происходит в пространстве частот и измерительные

сигналы двух антенн никак не интерферируют между собой. Из рисунка 3 (г) видно, что при comb = 8 эффекта наложения не наступает, импульсные характеристики можно выделить без искажений. Попытки уменьшить количество частотных ресурсов, занимаемых измерительными сигналами, приводят к искажениям. Например, рисунок 3 (в) соответствует выбору comb = 16. Сравнивая с идеальными импульсными характеристиками (а) и

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Дорохин Семен Владимирович, 2025 год

Список литературы

1. Massive MIMO is a reality What is next?: Five promising research directions for antenna arrays [Текст] / E. Bjornson [и др.] // Digital Signal Processing. - 2019. - T. 94. - C. 3 20.

2. Holma, H. Extreme massive MIMO for macro cell capacity boost in 5G-Advanced and 6G [Текст] / H. Holma, H. Viswanathan, P. Mogensen // White paper. — Nokia Bell Labs, 2021.

3. Cui, Z. 6G wireless communications in 7-24 GHz band: Opportunities, techniques, and challenges [Текст] / Z. Cui, P. Zhang, S. Pollin // arXiv preprint arXiv:2310.06425. - 2023.

4. 3GPP. Study on International Mobile Telecommunications (IMT) parameters for 4400 - 4800 MHz, 7125 - 8400 MHz and 14800 - 15350 MHz [Текст] : Technical report (TR) / 3GPP ; 3rd Generation Partnership Project (3GPP). - 06.2024. - № 38.922. - URL: https: / / portal.3gpp.org/desktopmodules/Specifications / SpecificationDetails. aspx?specificationld=4300 ; Version 0.1.0.

5. Vision, market drivers, and research directions on the path to 6G [Текст] : тех. отч. — 2022. — URL: https: / / www. qualcomm. com / content / dam / qcomm- martech / dm - assets / documents / Qualcomm - Whitepaper- Vision-market-drivers- and- research-directions-on-the-path-to-6G.pdf.

6. 12-port 5G massive MIMO antenna array in sub-6GHz mobile handset for LTE bands 42/43/46 applications [Текст] / Y. Li, Y. Luo, G. Yang [и др.] // IEEE access. - 2017. T. 6. C. 344 354.

7. Huo, Y. 5G cellular user equipment: From theory to practical hardware design [Текст] / Y. Huo, X. Dong, W. Xu // IEEE access. - 2017. - T. 5. -C. 13992^14010.

8. Project;, 3. G. P. 5G NR Physical channels and modulation (3GPP TS 38.211 version 17.1.0 Release 17) [Текст] : Standard / 3. G. P. Project ; European Telecommunications Standards Institute. — Sophia Antipolis Cedex, FRANCE, 2022. — URL: https://www.etsi.org/deliver/etsi_ts/ 138200_ 138299/138211/17.01.00_60/ts_ 13821 lvl70100p.pdf.

9. Tensor decompositions in wireless communications and MIMO radar [Текст] / H. Chen [и др.] // IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing. — 2021. - T. 15, № 3. - C. 438 453.

10. Tensor-based channel estimation for massive MIMO-OFDM systems [Текст] / D. C. Araujo [и др.] // IEEE Access. - 2019. - T. 7. - C. 42133 42147.

11. Caiafa, C. F. Multidimensional compressed sensing and their applications [Текст] / С. F. Caiafa, A. Cichocki // Wiley Interdisciplinary Reviews: Data Mining and Knowledge Discovery. — 2013. — T. 3, № 6. — C. 355^380.

12. Bacci, G. MMSE Channel Estimation in Large-Scale MIMO: Improved Robustness with Reduced Complexity [Текст] / G. Bacci, A. A. DAmico, L. Sanguinetti // arXiv preprint arXiv:2404.03279. - 2024.

13. A Tensor-Based Millimeter Wave Wideband Massive MIMO Channel Estimation Technique Using Uniform Planar Arrays [Текст] / J. Hong [и др.] // IEEE Wireless Communications Letters. — 2024.

14. Low-rank tensor decomposition-aided channel estimation for millimeter wave MIMO-OFDM systems [Текст] / Z. Zhou [и др.] // IEEE Journal on Selected Areas in Communications. - 2017. - T. 35, № 7. - C. 1524 1538.

15. Structured tensor decomposition-based channel estimation for wideband millimeter wave MIMO [Текст] / Y. Lin [и др.] // 2019 53rd Asilomar Conference on Signals, Systems, and Computers. — IEEE. 2019. — C. 421 420.

16. Tensor-based channel estimation for millimeter wave MIMO-OFDM with dual-wideband effects [Текст] / Y. Lin [и др.] // IEEE Transactions on Communications. - 2020. - T. 68, № 7. - С. 4218 4232.

17. Tensor decomposition-based channel estimation for hybrid mmWave massive MIMO in high-mobility scenarios [Текст] / R. Zhang [и др.] // IEEE Transactions on Communications. - 2022. - T. 70, № 9. - C. 6325 6340.

18. Wei, X. Channel estimation for extremely large-scale massive MIMO: Far-field, near-field, or hybrid-field? [Текст] / X. Wei, L. Dai // IEEE Communications Letters. - 2021. - T. 26, № 1. - C. 177-181.

19. Hybrid-field channel estimation for extremely large-scale massive MIMO system [Текст] / Z. Ни [и др.] // IEEE Communications Letters. — 2022. — T. 27, № 1. - C. 303 307.

20. Yang, W. A practical channel estimation strategy for XL-MIMO communication systems [Текст] / W. Yang, M. Li, Q. Liu // IEEE Communications Letters. - 2023. - T. 27, № 6. - C. 1580^1583.

21. Tensor Decomposition-based Time Varying Channel Estimation for mmWave MIMO-OFDM Systems [Текст] / R. Wang [и др.] // arXiv preprint arXiv:2403.02942. - 2024.

22. S0rensen, M. Fiber sampling approach to canonical polyadic decomposition and application to tensor completion [Текст] / M. S0rensen, L. De Lathauwer // SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications. — 2019. - T. 40, № 3. - C. 888^917.

23. Low-Overhead Channel Estimation via 3D Extrapolation for TDD mmWave Massive MIMO Systems Under High-Mobility Scenarios [Текст] / В. Zhou [и др.] // arXiv preprint arXiv:2406.08887. — 2024.

24. Beyond MMSE: Rank-1 Subspace Channel Estimator for Massive MIMO Systems [Текст] / В. Li [и др.] // IEEE Transactions on Communications. — 2024.

25. Beamspace esprit [Текст] / G. Xu [и др.] // IEEE Transactions on Signal Processing. - 1994. - T. 42, № 2. - C. 349 350.

26. Tensor decomposition based beamspace ESPRIT for millimeter wave MIMO channel estimation [Текст] / F. Wen [и др.] // 2018 IEEE Global Communications Conference (GLOBECOM). - IEEE. 2018. - C. 1-7.

27. Zhang, J. Gridless channel estimation for hybrid mmWave MIMO systems via tensor-ESPRIT algorithms in DFT beamspace [Текст] / J. Zhang, D. Rakhimov, M. Haardt // IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing. - 2021. - T. 15, № 3. - C. 816-831.

28. An ESPRIT-based supervised channel estimation method using tensor train decomposition for mmWave 3-D MIMO-OFDM systems [Текст] / X. Gong [и др.] // IEEE Transactions on Signal Processing. — 2023. — T. 71. — C. 555^570.

29. RIS-Assisted MIMO Channel Modeling with Spatially Consistent Sparsified Properties [Текст] / S. Dorokhin [и др.] // Wireless Personal Communications. — 2024. — C. 1—32.

30. Welch, L. Lower bounds on the maximum cross correlation os signals [Текст] / L. Welch // IEEE Trans. Inf. Theory. - 1967. - T. 13. - C. 619-621.

31. Strohmer, T. Grassmannian frames with applications to coding and communication [Текст] / T. Strohmer, R. W. Heath Jr // Applied and computational harmonic analysis. — 2003. — T. 14, № 3. — C. 257—275.

32. Mallat, S. G. Matching pursuits with time-frequency dictionaries [Текст] / S. G. Mallat, Z. Zhang // IEEE Transactions on signal processing. — 1993. — T. 41, № 12. - C. 3397-3415.

33. Pali, Y. C. Orthogonal matching pursuit: Recursive function approximation with applications to wavelet decomposition [Текст] / Y. С. Pati, R. Rezaiifar, P. S. Krishnaprasad // Proceedings of 27th Asilomar conference on signals, systems and computers. — IEEE. 1993. — C. 40—44.

34. Tropp, J. A. Signal recovery from random measurements via orthogonal matching pursuit [Текст] / J. A. Tropp, A. C. Gilbert // IEEE Transactions on information theory. - 2007. - T. 53, № 12. - C. 4655-4666.

35. Sparse channel estimation for multicarrier underwater acoustic communication: From subspace methods to compressed sensing [Текст] / С. R. Berger [и др.] // IEEE transactions on signal processing. — 2009. — T. 58, № 3. - C. 1708-1721.

36. Yang, B. Pixel-level image fusion with simultaneous orthogonal matching pursuit [Текст] / В. Yang, S. Li // Information fusion. — 2012. — T. 13, Л" 1. - C. 10-19.

37. Reconstruction for fluorescence molecular tomography via adaptive group orthogonal matching pursuit [Текст] / L. Kong [и др.] // IEEE Transactions on Biomedical Engineering. - 2020. - T. 67, № 9. - C. 2518-2529.

38. Tropp, J. A. Greed is good: Algorithmic results for sparse approximation [Текст] / J. A. Tropp // IEEE Transactions on Information theory. — 2004. — T. 50, № 10. - C. 2231-2242.

39. Candes, E. J. Decoding by linear programming [Текст] / E. J. Candes, T. Tao // IEEE transactions on information theory. — 2005. — T. 51, ..V" 12. - C. 4203-4215.

40. Mo, Q. A remark on the restricted isometry property in orthogonal matching pursuit [Текст] / Q. Mo, Y. Shen // IEEE Transactions on Information Theory. - 2012. - T. 58, № 6. - C. 3054 3656.

41. Chang, L.-H. An improved RIP-based performance guarantee for sparse signal recovery via orthogonal matching pursuit [Текст] / L.-H. Chang, J.-Y. Wu // IEEE Transactions on Information Theory. — 2014. — T. 60, Л'° 9. - С. 5702 5715.

42. Davenport, M. A. Analysis of orthogonal matching pursuit using the restricted isometry property [Текст] / M. A. Davenport, M. B. Wakin // IEEE Transactions on Information Theory. — 2010. — T. 56, № 9. — C. 4395—4401.

43. Restricted isometry property [Текст] / S. Foucart [и др.] //A Mathematical Introduction to Compressive Sensing. — 2013. — C. 133 174.

44. Zhang, T. Sparse recovery with orthogonal matching pursuit under RIP [Текст] / T. Zhang // IEEE transactions on information theory. — 2011. — T. 57, № 9. - C. 6215—6221.

45. Donoho, D. L. Stable recovery of sparse overcomplete representations in the presence of noise [Текст] / D. L. Donoho, M. Elad, V. N. Temlyakov // IEEE Transactions on information theory. — 2005. — T. 52, № 1. — C. 6—18.

46. Shuvalov, D. Complexity Reduction of the Super-Résolut ion Iterative Reweighted Algorithm [Текст] / D. Shuvalov, S. Dorokhin, M. Makurin // 2025 27th International Conference on Digital Signal Processing and its Applications (DSPA). - IEEE. 2025. - С. 1 6.

47. Candes, E. J. Near-optimal signal recovery from random projections: Universal encoding strategies? [Текст] / E. J. Candes, T. Tao // IEEE transactions on information theory. — 2006. — T. 52, № 12. — C. 5406 5425.

48. Rudelson, M. On sparse reconstruction from Fourier and Gaussian measurements [Текст] / M. Rudelson, R. Vershynin // Communications on Pure and Applied Mathematics: A Journal Issued by the Courant Institute of Mathematical Sciences. - 2008. - T. 61, № 8. - C. 1025^1045.

49. Мгхощ D. G. Sparse signal processing with frame theory [Текст] : дис. ... канд. / Mixon Dustin G. — Princeton University, 2012.

50. Yu, N. Y. New construction of a near-optimal partial Fourier codebook using the structure of binary m-sequences [Текст] / N. Y. Yu // 2012 IEEE International Symposium on Information Theory Proceedings. — IEEE. 2012. - C. 2436-2440.

51. Xia, P. Achieving the Welch bound with difference sets [Текст] / P. Xia, S. Zhou, G. B. Giannakis // IEEE Transactions on Information Theory. — 2005. - T. 51, № 5. - C. 1900-1907.

52. Ding, C. A family of skew Hadamard difference sets [Текст] / С. Ding, J. Yuan // Journal of Combinatorial Theory, Series A. — 2006. — T. 113, ..V" 7. - C. 1526-1535.

53. Tropp, J. A. Complex equiangular tight frames [Текст] / J. A. Tropp // Wavelets XI. T. 5914. - SPIE. 2005. - C. 591401.

54. Almost difference sets and their sequences with optimal autocorrelation [Текст] / К. Arasu [и др.] // IEEE transactions on information theory. — 2002. - T. 47, № 7. - C. 2934-2943.

55. Ding, C. Codebooks from almost difference sets [Текст] / С. Ding, Т. Feng // Designs, Codes and Cryptography. — 2008. — T. 46. — C. 113—126.

56. Общая алгебра [Текст] / О. В. Мельников [и др.]. — Наука; Физматлит, 1990.

57. Ни, Н. New constructions of codebooks nearly meeting the Welch bound with equality [Текст] / H. Hu, J. Wu // IEEE Transactions on Information Theory. - 2013. - T. 60, № 2. - C. 1348-1355.

58. Хансен, P. Сканирующие антенные системы СВЧ. Том 1 [Текст] / Р. Хансен // Пер. с англ. Под ред. ГТ Маркова и АФ Чаплина. М.: Советкое радио. — 1966.

59. Kopilovich, L. Two-dimensional aperiodic antenna arrays with a low sidelobe level [Текст] / L. Kopilovich, L. Sodin // IEE Proceedings H-Microwaves, Antennas and Propagation. T. 138. - IET. 1991. - C. 233-237.

60. Hakobyan, G. A novel OFDM-MIMO radar with non-equidistant dynamic subcarrier interleaving [Текст] / G. Hakobyan, B. Yang // 2016 European Radar Conference (EuRAD). - IEEE. 2016. - C. 45-48.

61. Oliveri, G. Synthesis of linear multi-beam arrays through hierarchical almost difference set-based interleaving [Текст] / G. Oliveri, F. Viani, A. Massa // IET Microwaves, Antennas & Propagation. — 2014. — T. 8, Л'0 10. - C. 794 808.

62. Autocorrelation-driven synthesis of antenna arrays The case of DS-based planar isophoric thinned arrays [Текст] / G. Oliveri [и др.] // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. — 2019. — T. 68, № 4. — C. 2895-2910.

63. Ding, C. Constructions of almost difference sets from finite fields [Текст] / С. Ding, A. Pott, Q. Wang // Designs, codes and cryptography. — 2014. — T. 72. - C. 581—592.

64. Fichus, M. Equiangular tight frames from group divisible designs [Текст] / M. Fickus, J. Jasper // Designs, Codes and Cryptography. — 2019. — T. 87. —

C. 1673-1697.

65. Constructions of divisible difference sets, almost difference sets and special partial direct product difference sets from binary sequences [Текст] / Y. Wang [и др.] // Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing. - 2025. - С. 1 25.

66. Estrella, В. M. Construction of almost difference sets from unions of cyclotomic classes of order 10 [Текст] / В. M. Estrella // Book of abstracts: The 9th International Conference on Education. — 2023. — C. 42.

67. Estrella,, B. On Some New Almost Difference Sets Constructed from Cyclotomic Classes of Order 12 [Текст] / В. Estrella // Recoletos Multidisciplinary Research Journal. - 2023. - T. 11, № 2. - C. 57-67.

68. Gordon, D. M. Modular Golomb rulers and almost difference sets [Текст] /

D. M. Gordon // IEEE Transactions on Information Theory. — 2025.

69. DFT structured codebook design with finite alphabet for high speed wireless communication [Текст] / P. Xia [и др.] // 2009 6th IEEE Consumer Communications and Networking Conference. — IEEE. 2009. — C. 1—5.

70. Novel compressed sensing-based channel estimation algorithm and near-optimal pilot placement scheme [Текст] / Y. Zhang [и др.] // IEEE Transactions on Wireless Communications. — 2015. — T. 15, № 4. — C. 2590-2603.

71. Haviv, /. The restricted isometry property of subsampled Fourier matrices [Текст] / I. Haviv, 0. Regev // Geometric Aspects of Functional Analysis: Israel Seminar (GAFA) 2014-2016. - Springer. 2017. - C. 163-179.

72. Pilot design schemes for sparse channel estimation in OFDM systems [Текст] / С. Qi [и др.] // IEEE Transactions on Vehicular Technology. — 2014. — T. 64, ..V" 4. - C. 1493-1505.

73. Land, A. H. An automatic method for solving discrete programming problems [Текст] / A. H. Land, A. G. Doig // 50 Years of Integer Programming 1958-2008: From the Early Years to the State-of-the-Art. — Springer, 2009. - C. 105-132.

74. Masoumian, S. H. S. Greedy deterministic pilot pattern algorithms for OFDM sparse channel estimation [Текст] / S. H. S. Masoumian, В. M. Tazehkand // Wireless Personal Communications. — 2015. — T. 84. — C. 1119—1132.

75. Fedorov, M. Fast and Deterministic Method for Compressed Sensing Based Pilot Patterns Allocation [Текст] / M. Fedorov // 2024 8th International Conference on Information, Control, and Communication Technologies (IOCT). - IEEE. 2024. - C. 1-4.

76. Qi, C. A study of deterministic pilot allocation for sparse channel estimation in OFDM systems [Текст] / С. Qi, L. Wu // IEEE communications letters. — 2012. - T. 16, № 5. - C. 742-744.

77. Wang, Y. Kronecker product-based codebook design and optimisation for correlated 3D channels [Текст] / Y. Wang, L. Jiang, Y. Chen // Transactions on Emerging Telecommunications Technologies. — 2015. — T. 26, № 11. - С. 1225-1234.

78. Shi, К. Partial DFT Codebook-Based Hybrid Precoding in Limited Feedback Millimeter Wave Massive MIMO Systems [Текст] / К. Shi, X. Fang, X. Sha // IEEE Wireless Communications Letters. — 2024.

79. Haupt, J. On the restricted isometry of deterministically subsampled Fourier matrices [Текст] / J. Haupt, L. Applebaum, R. Nowak // 2010 44th Annual Conference on Information Sciences and Systems (CISS). — IEEE. 2010. — C. 1-6.

80. Korobov, N. M. Exponential sums and their applications [Текст]. T. 80 / N. M. Korobov. — Springer Science & Business Media, 2013.

81. Коробов, Н. Тригонометрические суммы и их приложения [Текст] / Н. Коробов. — Москва : Наука, 1989.

82. Gershgorin, S. A. Uber die abgrenzung der eigenwerte einer matrix [Текст] / S. A. Gershgorin // Известия Российской академии наук. Серия математическая. — 1931. — № 6. — С. 749—754.

83. Dolatahadi, Н. М. Deterministic design of Toeplitz matrices with small coherence based on Weyl sums [Текст] / H. M. Dolatabadi, A. Amini // IEEE Signal Processing Letters. - 2019. - T. 26, № 10. - C. 1501-1505.

84. Montgomery, H. L. Ten lectures on the interface between analytic number theory and harmonic analysis [Текст] / H. L. Montgomery. — American Mathematical Soc., 1994.

85. Виноградов, И. M. Суммы Гаусса и приложение их к доказательству закона взаимности квадратичных вычетов [Текст] / И. М. Виноградов // Чебышевский сборник. — 2021. — Т. 22, 4 (80). — С. 6-86.

86. Виноградов, И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел [Текст] / И. М. Виноградов, А. А. Карацуба // Труды Математического института имени В А Стеклова. — 1984. — Т. 168, Л'° 0. С. 4—30.

87. Dong, J. A combinatorial method for antenna array design in minimum redundancy MIMO radars [Текст] / J. Dong, Q. Li, W. Guo // IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters. — 2009. — T. 8. — C. 1150-1153.

88. Minimum redundancy MIMO array synthesis by means of cyclic difference sets [Текст] / J. Dong [и др.] // International Journal of Antennas and Propagation. - 2013. - T. 2013, № 1. - C. 323521.

89. MIMO radar array thinning optimization exploiting almost difference sets [Текст] / J. Dong [и др.] // Optik. - 2016. - Т. 127, № 10. - С. 4454-4460.

90. Pattern synthesis of thinned multi-input multi-output radar using difference set and differential evolution [Текст] / G. Shi [и др.] // Concurrency and Computation: Practice and Experience. — 2020. — T. 32, № 22. — e5847.

91. Pilot allocation for MIMO-OFDM systems: A structured compressive sensing perspective [Текст] / X. Wang [и др.] // 2016 International Wireless Communications and Mobile Computing Conference (IWCMC). — IEEE. 2016. - C. 227-232.

92. Non-uniform Pilot Pattern Design for Sparse Channel Estimation in MIMO-OFDM Systems [Текст] / Y. Zhou [и др.] // IEEE Transactions on Vehicular Technology. — 2024.

93. Hakobyan, G. OFDM-MIMO radar with optimized nonequidistant subcarrier interleaving [Текст] / G. Hakobyan, M. Ulrich, В. Yang // IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems. — 2019. — T. 56, № 1. — C. 572—584.

94. Mehrabani, M. R. Semi-blind Channel Estimation and Pilot Allocation for Doubly-Selective Massive MIMO-OFDM Systems [Текст] / M. R. Mehrabani, В. Abolhassani, F. Haddadi // IEEE Access. — 2024.

95. A compressive sensing based channel prediction scheme with uneven pilot design in mobile Massive MIMO systems [Текст] / Y. Shi [и др.] // 2021 13th International Conference on Wireless Communications and Signal Processing (WCSP). - IEEE. 2021. - C. 1-6.

96. Yu, N. Y. Kronecker-based non-orthogonal sequences of small phases for uplink grant-free access using the genetic algorithm [Текст] / N. Y. Yu // IEEE Communications Letters. - 2022. - T. 26, № 10. - C. 2510-2514.

97. Yu, N. Y. Design framework of Fourier-based non-orthogonal sequences for sparse activity detection in multicell massive connectivity [Текст] / N. Y. Yu // IEEE Access. - 2022. - T. 10. - C. 67019-67030.

98. Takeshita, O. Y. Permutation polynomial interleavers: An algebraic-geometric perspective [Текст] / О. Y. Takeshita // IEEE Transactions on Information Theory. - 2007. - T. 53, № 6. - C. 2116-2132.

99. Trifina, L. Improved QPP interleavers for LTE standard [Текст] / L. Trifina, D. Târniceriu, V. Munteanu // ISSCS 2011-International Symposium on Signals, Circuits and Systems. — IEEE. 2011. — C. 1—4.

100. Kashin, B. Some remarks on coordinate restriction of operators to coordinate subspaces [Текст] / В. Kashin, L. Tzafriri // Insitute of Mathematics Preprint. - 1993. - T. 12. - C. 1993-1994.

101. Rudelson, M. Contact points of convex bodies [Текст] / M. Rudelson // Israel Journal of Mathematics. - 1997. - T. 101, № 1. - C. 93-124.

102. ТА LA GRAND, M. Embedding Subspaces of Lp in lov [Текст] / M. TALAGRAND // Geometric Aspects of Functional Analysis: Israel Seminar (GAFA) 1992-94. T. 77. - Birkhauser. 2012. - C. 311.

103. Rudelson, M. Almost orthogonal submatrices of an orthogonal matrix [Текст] / M. Rudelson // Israel Journal of Mathematics. — 1999. — T. Ill, Л'° 1. - С. 143-155.

104. Paouris, G. Concentration of mass on convex bodies [Текст] / G. Paouris // Geometric к Functional Analysis GAFA. - 2006. - T. 16, № 5. -C. 1021-1049.

105. Temlyakov, V. The Marcinkiewicz-type discretization theorems [Текст] / V. Temlyakov // Constructive Approximation. — 2018. — T. 48, № 2. — C. 337-369.

106. Temlyakov, V. N. The Marcinkiewicz-type discretization theorems for the hyperbolic cross polynomials [Текст] / V. N. Temlyakov // Jaen Journal of Approximation. — 2017.

107. Sampling discretization and related problems [Текст] / В. Kashin [и др.] // Journal of Complexity. - 2022. - T. 71. - C. 101653.

108. Civril, A. Column subset selection via sparse approximation of SVD [Текст] / A. Civril, M. Magdon-Ismail // Theoretical Computer Science. — 2012. — T. 421. - C. 1-14.

109. Boutsidis, C. An improved approximation algorithm for the column subset selection problem [Текст] / С. Boutsidis, M. W. Mahoney, P. Drineas // Proceedings of the twentieth annual ACM-SIAM symposium on Discrete algorithms. - SIAM. 2009. - C. 968-977.

110. Deshpande, A. Efficient volume sampling for row/column subset selection [Текст] / A. Deshpande, L. Rademacher // 2010 ieee 51st annual symposium on foundations of computer science. — IEEE. 2010. — C. 329-338.

111. Boutsidis, C. Deterministic feature selection for k-means clustering [Текст] / С. Boutsidis, M. Magdon-Ismail // IEEE Transactions on Information Theory_ _ 2013. - T. 59, № 9. - C. 6099-6110.

112. Randomized dimensionality reduction for &-means clustering [Текст] / С. Boutsidis [и др.] // IEEE Transactions on Information Theory. — 2014. - T. 61, № 2. - C. 1045-1062.

113. Kromer, P. Genetic algorithm for sampling from scale-free data and networks [Текст] / P. Kromer, J. Platos // Proceedings of the 2014 annual conference on genetic and evolutionary computation. — 2014. — C. 793^800.

114. Clauset, A. Power-law distributions in empirical data [Текст] / A. Clauset, C. R. Shalizi, M. E. Newman j j SIAM review. - 2009. - T. 51, № 4. -C. 661-703.

115. Kromer, P. A comparison of differential evolution and genetic algorithms for the column subset selection problem [Текст] / P. Kromer, J. Platos // Proceedings of the 9th International Conference on Computer Recognition Systems CORES 2015. - Springer. 2016. - C. 223-232.

116. Optimal column subset selection for image classification by genetic algorithms [Текст] / P. Krdmer [и др.] // Annals of Operations Research. — 2018. — T. 265, № 2. - C. 205-222.

117. Temlyakov, V. N. Weak greedy algorithms [Текст] / V. N. Temlyakov // Advances in Computational Mathematics. — 2000. — T. 12, № 2. — C. 213-227.

118. Liu, E. The orthogonal super greedy algorithm and applications in compressed sensing [Текст] / E. Liu, V. N. Temlyakov // IEEE Transactions on Information Theory. - 2011. - T. 58, № 4. - C. 2040-2047.

119. Eldar, Y. C. Block-sparse signals: Uncertainty relations and efficient recovery [Текст] / Y. C. Eldar, P. Kuppinger, H. Bolcskei // IEEE Transactions on Signal Processing. - 2010. - T. 58, № 6. - C. 3042-3054.

120. Bo, L. Hierarchical matching pursuit for image classification: Architecture and fast algorithms [Текст] / L. Во, X. Ren, D. Fox // Advances in neural information processing systems. — 2011. — T. 24.

121. Tropp, J. A. Algorithms for simultaneous sparse approximation. Part I: Greedy pursuit [Текст] / J. A. Tropp, A. C. Gilbert, M. J. Strauss // Signal processing. - 2006. - T. 86, № 3. - C. 572-588.

122. Song, G.-J. Tensor completion by multi-rank via unitary transformation [Текст] / G.-J. Song, M. K. Ng, X. Zhang // Applied and Computational Harmonic Analysis. - 2023. - T. 65. - C. 348-373.

123. Zhang, W. Restricted Isometry Property of Rank-One Measurements with Random Unit-Modulus Vectors [Текст] / W. Zhang, Z. Wang / / International Conference on Artificial Intelligence and Statistics. — PMLR. 2024. - C. 1900-1908.

124. Измерительные сигналы на основе перестановочных полиномов для восполнения тензоров канала OFDM MIMO [Текст] / С. В. Дорохин [и др.] // T-comm: телекоммуникации и транспорт. — 2025.

125. Lee, N. Fundamental tensor operations for large-scale data analysis using tensor network formats [Текст] / N. Lee, A. Cichocki // Multidimensional Systems and Signal Processing. — 2018. — T. 29. — C. 921—960.

126. De Lathauwer, L. A multilinear singular value decomposition [Текст] / L. De Lathauwer, B. De Moor, J. Vandewalle // SIAM journal on Matrix Analysis and Applications. - 2000. - T. 21, № 4. - C. 1253-1278.

127. Oseledets, I. V. Tensor-train decomposition [Текст] / I. V. Oseledets // SIAM Journal on Scientific Computing. - 2011. - T. 33, № 5. - C. 2295-2317.

128. Gandy, S. Tensor completion and low-n-rank tensor recovery via convex optimization [Текст] / S. Gandy, В. Recht, I. Yamada // Inverse problems. - 2011. - T. 27, № 2. - C. 025010.

129. Tensor completion for estimating missing values in visual data [Текст] / J. Liu [и др.] // IEEE transactions on pattern analysis and machine intelligence. — 2012. - T. 35, № 1. - C. 208-220.

130. Square deal: Lower bounds and improved relaxations for tensor recovery [Текст] / С. Mu [и др.] // International conference on machine learning. — PMLR. 2014. - C. 73-81.

131. Romera-Paredes, B. A new convex relaxation for tensor completion [Текст] / В. Romera-Paredes, M. Pontil // Advances in neural information processing systems. - 2013. - T. 26.

132. Grothendieck, A. Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires [Текст]. T. 16 / A. Grothendieck, A. Grothendieck. — American Mathematical Society Providence, 1955.

133. Yuan, M. On tensor completion via nuclear norm minimization [Текст] / M. Yuan, C.-H. Zhang // Foundations of Computational Mathematics. — 2016. - T. 16, № 4. - C. 1031-1068.

134. Zhang, Z. Exact tensor completion using t-SVD [Текст] / Z. Zhang, S. Aeron // IEEE Transactions on Signal Processing. — 2016. — T. 65, ..V" 6. - C. 1511-1526.

135. Nonconvex low-rank tensor completion from noisy data [Текст] / С. Cai [и др.] // Advances in neural information processing systems. — 2019. — T. 32.

136. Guarantees of riemannian optimization for low rank matrix completion [Текст] / К. Wei [и др.] // Inverse Problems and Imaging. — 2020. — T. 14, ..V" 2. - C. 233-265.

137. Xia, D. On polynomial time methods for exact low-rank tensor completion [Текст] / D. Xia, M. Yuan // Foundations of Computational Mathematics. — 2019. - T. 19, № 6. - C. 1265-1313.

138. Jain, P. Provable tensor factorization with missing data [Текст] / P. Jain, S. Oh // Advances in Neural Information Processing Systems. — 2014. — T. 27.

139. Budzinskiy, S. Tensor train completion: Local recovery guarantees via Riemannian optimization [Текст] / S. Budzinskiy, N. Zamarashkin // Numerical Linear Algebra with Applications. — 2023. — T. 30, № 6. — e2520.

140. Fast cross tensor approximation for image and video completion [Текст] / S. Ahmadi-Asl [и др.] // Signal Processing. — 2023. — C. 109121.

141. Hendrikx, S. Multilinear singular value decomposition of a tensor with fibers observed along one mode [Текст] / S. Hendrikx, M. S0rensen, L. De Lathauwer // 2023 IEEE Statistical Signal Processing Workshop (SSP). - IEEE. 2023. - C. 566-570.

142. So_fiS. S. Tensor train completion of multi-way data observed along one mode [Текст] / S. S. Sofi, S. Hendrikx, L. De Lathauwer // 2024 32nd European Signal Processing Conference (EUSIPCO). - IEEE. 2024. - C. 1067-1071.

143. Tensor completion from regular sub-Nyquist samples [Текст] / С. I. Kanatsoulis [и др.] // IEEE Transactions on Signal Processing. — 2019. - T. 68. - C. 1-16.

144. Candes, E. Exact matrix completion via convex optimization [Текст] / E. Candes, B. Recht // Communications of the ACM. - 2012. - T. 55, № 6. - C. 111—119.

145. Recht, B. A simpler approach to matrix completion. [Текст] / В. Recht // Journal of Machine Learning Research. — 2011. — T. 12, № 12.

146. Ding, L. Leave-one-out approach for matrix completion: Primal and dual analysis [Текст] / L. Ding, Y. Chen // IEEE Transactions on Information Theory. - 2020. - T. 66, № 11. - C. 7274-7301.

147. Yuan, M. Incoherent tensor norms and their applications in higher order tensor completion [Текст] / M. Yuan, C.-H. Zhang // IEEE Transactions on Information Theory. - 2017. - T. 63, № 10. - C. 6753-6766.

148. Barak, B. Noisy tensor completion via the sum-of-squares hierarchy [Текст] /

B. Barak, A. Moitra // Conference on Learning Theory. — PMLR. 2016. —

C. 417-445.

149. Kressner, D. Randomized low-rank approximation of parameter-dependent matrices [Текст] / D. Kressner, H. Y. Lam // Numerical Linear Algebra with Applications. - 2024. - T. 31, № 6. - e2576.

150. Cross tensor approximation methods for compression and dimensionality reduction [Текст] / S. Ahmadi-Asl [и др.] // IEEE Access. — 2021. — T. 9. - C. 150809-150838.

151. Regular sampling of tensor signals: Theory and application to fMRI [Текст] / С. I. Kanatsoulis [и др.] // ICASSP 2019-2019 IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing (ICASSP). — IEEE. 2019. — C. 2932-2936.

152. Дорохин, С. В. ВОССТАНОВЛЕНИЕ ТЕНЗОРОВ ПРИ СТРУКТУРНЫХ ОГРАНИЧЕНИЯХ НА ОПЕРАТОР ИЗМЕРЕНИЙ [Текст] / С. В. Дорохин, В. А. Ляшев //. Т. 4. - 2023. - С. 121.

153. Dorokhin, S. 6G XL-MIMO Channel Estimation with Sub-Nyquist Tensor Completion [Текст] / S. Dorokhin, V. Lyashev, M. Makurin // 2025 27th International Conference on Digital Signal Processing and its Applications (DSPA). - IEEE. 2025. - C. 1-6.

154. Дорохин, С. В. ОЦЕНКА КАНАЛА БОЛЬШИХ MIMO OFDM СИСТЕМ КАК ВОСПОЛНЕНИЕ СУБДИСКРЕТИЗИРОВАННОГО ТЕНЗОРА: ЧАСТЬ 1 [Текст] / С. В. Дорохин, Д. Шувалов, В. А. Ляшев // Журнал Радиоэлектроники. — 2025.

155. Oseledets, I. TT-cross approximation for multidimensional arrays [Текст] / I. Oseledets, E. Tyrtyshnikov // Linear Algebra and its Applications. — 2010. - T. 432, № 1. - C. 70-88.

156. Zhengqing Yun, M. F. I. Ray Tracing for Radio Propagation Modeling: Principles and Applications [Текст] / M. F. I. Zhengqing Yun // IEEE Access. - 2015. - Июль. — Т. 3. — С. 1089-1100.

157. Jesus Torres, A. de. Intelligent Reconfigurable Surfaces vs. Decode-and-Forward: What is the Impact of Electromagnetic Interference? [Текст] / A. de Jesus Torres, L. Sanguinetti, E. Björnson // 2022 IEEE 23rd International Workshop on Signal Processing Advances in Wireless Communication (SPAWC). - IEEE. 2022. - C. 1-5.

158. A Survey on Channel Estimation and Practical Passive Beamforming Design for Intelligent Reflecting Surface Aided Wireless Communications [Текст] /

B. Zheng [и др.] // IEEE Communications Surveys & Tutorials. — 2022. — T. 24, № 2. - C. 1035-1071.

159. Björnson, E. Rayleigh fading modeling and channel hardening for reconfigurable intelligent surfaces [Текст] / E. Björnson, L. Sanguinetti // IEEE Wireless Communications Letters. — 2020. — T. 10, № 4. —

C. 830-834.

160. IST-2003-507581 WINNER D5. 4 v. 1.4 Final Report on Link Level and System Level Channel Models [Текст] / M. В. Zetterberg [и др.]. — 2005.

161. Study on channel model for frequencies from 0.5 to 100 GHz [Текст] / 3GPP. - 07.2018. - version 15.0.0.

162. Investigation and Comparison of 5G Channel Models: From QuaDRiGa, NYUSIM, and MG5G Perspectives [Текст] / L. Pang [и др.] // Chinese Journal of Electronics. - 2022. - T. 31, № 1. - C. 1-17.

163. A general 3-D non-stationary 5G wireless channel model [Текст] / S. Wu [и др.] // IEEE Transactions on Communications. — 2017. — T. 66, № 7. — C. 3065-3078.

164. Sun, S. A novel millimeter-wave channel simulator and applications for 5G wireless communications [Текст] / S. Sun, G. R. MacCartney, T. S. Rappaport / / 2017 IEEE International Conference on Communications (ICC). - IEEE. 2017. - C. 1-7.

165. QuaDRiGa: A 3-D multi-cell channel model with time evolution for enabling virtual field trials [Текст] / S. Jaeckel [и др.] // IEEE transactions on antennas and propagation. - 2014. - T. 62, № 6. - C. 3242-3256.

166. Technical Specification Group Radio Access Network 5G; Study on channel model for frequencies from 0.5 to 100 GHz [Текст] : TR / Technical Specification Group Radio Access Network ; 3rd Generation Partnership Project (3GPP). - 03.2022. - № 38.901. - Version 17.0.0.

167. Dvoretzky, A. Asymptotic minimax character of the sample distribution function and of the classical multinomial estimator [Текст] / A. Dvoretzky, J. Kiefer, J. Wolfowitz // The Annals of Mathematical Statistics. — 1956. — C. 642-669.

168. Birnhaum, Z. A Distribution-Free Upper Confidence Bound for \Pr{Y<X\}, Based on Independent Samples of X and Y [Текст] / Z. Birnbaum, R. McCarty // The Annals of Mathematical Statistics. — 1958. - C. 558-562.

169. Massart, P. The tight constant in the Dvoretzky-Kiefer-Wolfowitz inequality [Текст] / P. Massart // The annals of Probability. - 1990. - C. 1269-1283.

170. Vervliet, N. Tensorlab 3.0—numerical optimization strategies for large-scale constrained and coupled matrix/tensor factorization [Текст] / N. Vervliet, O. Debals, L. De Lathauwer // 2016 50th Asilomar Conference on Signals, Systems and Computers. — IEEE. 2016. — C. 1733—1738.

171. Grasedyck, L. Stable ALS approximation in the TT-format for rank-adaptive tensor completion [Текст] / L. Grasedyck, S. Kramer // Numerische Mathematik. - 2019. - T. 143, № 4. - C. 855-904.

172. Towards flexible sparsity-aware modeling: Automatic tensor rank learning using the generalized hyperbolic prior [Текст] / L. Cheng [и др.] // IEEE Transactions on Signal Processing. - 2022. - T. 70. - C. 1834-1849.

173. Дорохин, С. В. ОЦЕНКА КАНАЛА БОЛЬШИХ MIMO OFDM СИСТЕМ КАК ВОСПОЛНЕНИЕ СУБДИСКРЕТИЗИРОВАННОГО ТЕНЗОРА: ЧАСТЬ 2 [Текст] / С. В. Дорохин, Д. Шувалов,

B. А. Ляшев // Журнал Радиоэлектроники. — 2025.

174. Berndt, В. Gauss and Jacobi Sums [Текст] / В. Berndt. — 1998.

175. Hardy, G. H. Some problems of diophantine approximation: Part II. The trigonometrical series associated with the elliptic ^-functions [Текст] / G. H. Hardy, J. E. Littlewood // Acta mathematica. — 1914. — T. 37, ..V" 1. - C. 193-239.

176. Королёв, M. А. О неполных суммах Гаусса [Текст] / М. А. Королёв // Труды Математического института имени ВА Стеклова. — 2015. — Т. 290, ..V" 0. - С. 61-71.

177. Oskolkov, К. On functional properties of incomplete Gaussian sums [Текст] / К. Oskolkov // Canadian Journal of Mathematics. — 1991. — T. 43, 1.

C. 182-212.

178. Fiedler, H. Asymptotic expansions of finite theta series [Текст] / H. Fiedler, W. Jurkat, O. Korner // Acta Arithmetica. - 1977. - T. 32, № 2. -C. 129-146.

179. Мансур, С. X. Об одном обобщении суммы Гаусса [Текст] / С. X. Мансур, В. Н. Чубариков // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. — 2009. 2. С. 77—80.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

И

12

13

14

15

16

17

18

19

Список рисунков

Взаимосвязь основных элементов диссертации и положений, выносимых на защиту...........................

Эффект наложения при периодическом расположении пилотов. . .

Эффект наложения при мультиплексировании сигналов.......

Предлагаемый подход к оценке канала.................

Оценка OFDM канала как задача сжатых измерений........

Модуль матрицы Грамма для Nsc = 256 (слева) и модуль

(справа) при случайном выборе положения пилотов.........

Самоинтерференция при нерегулярном расположении пилотов. . .

Исследование оценки (56)........................

К вопросу мультиплексирования измерительных сигналов при нерегулярном расположении с помощью циклического сдвига . . . Мультиплексирование измерительных сигналов нескольких антенн

передатчика с помощью перестановочного полинома.........

Поведение верхней границы рив(NpGS, N) (83). Круглым маркером отмечена точка минимума. Крестовые маркеры и подписи к ним соответствуют примерам на рисунке 12 и рисунке 13 при

НОД(т,^с) = 1.............................

Nsc = 210 = 1024, Np = 512.......................

Nsc = 23 • 32 • 52 = 1800, Np = 900 ...................

Нижняя граница как необходимое условие возникновения пиков,

Nsc = 1800, Np = 225...........................

Сравнение РМ, ПРМ и перестановочного полинома..........

Сравнение количества общих поднесугцих у разных антенн при задании маски с помощью РМ, случайным образом и с помощью предлагаемого квадратичного перемежителя с коэффициентами

а1 = 7, а2 = 34...............................

К доказательству о контроле за количеством пересечений......

К выполнению условия (155) при Np2;0 = 2NSC (коэффициенты

полинома ai = 7, а2 = 34).....................

К выполнению условия (155) при N^D = 4NSC (коэффициенты полинома ai = 7, а2 = 34).....................

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

Сравнение взаимной неортогональности масок «QPP-reshape» и

«1D-QPP».................................. 94

Построение маски «2D-QPP»....................... 94

Развёртки трёхмерного тензора по каждой из размерностей...... 96

Вычисление элемента тензора в ТТ-формате через факторы

разложения.................................101

Исследование влияния маски на сходимость итеративного

алгоритма восполнения..........................112

Предлагаемое сочетание маски «QPP-reshape» и периодического

расположения................................113

Сочетание двумерной псевдослучайной маски с периодическим

расположением и влияние на сходимость.................114

Восполнение с помощью кросс-тензорной аппроксимации (242). ... 116

Восполнение канонического тензора....................118

Предлагаемое восполнение тензора в ТТ-формате............121

Зависимость точности восполнения в формате Таккера от

количества слоёв..............................125

Зависимость нормированной ошибки восполнения тензора в ТТ-формате от количества слоёв при различных способах преобразования трёхмерного тензора % Е СМпх хМтх в четырёхмерный У Е СМяХххМтхxNsc*NRxy_ Числа над каждым

графиком соответствуют разложению Nrx = Nrxx х Nrxv......126

Зависимость точности восполнения от количества слоёв в каноническом формате (253) и при кросс-тензорной аппроксимации (242)..................................... 127

Райсовская модель.............................133

Модель канала 3GPP...........................134

Зависимость (315) величины доверительного интервала от

доверительной вероятности........................142

Сравнение эффективности представления MIMO OFDM канала

различными тензорными моделями....................144

Зависимость ошибки аппроксимации на каждом шаге алгоритма HOSVD от рангов по размерностям антенн базовой станции и поднесущих.................................148

38 Зависимость сходимости итеративного алгоритма восполнения от выбора рангов Таккера при случайной маске d............149

39 Распределение ошибки восполнения при различном выборе рангов, расположении слоёв и различной мощности шума............150

40 Распределение ошибки аппроксимации тензора

% G CnbsixnuexnscxnBs2 ot ранга на каждом шаге алгоритма TT-SVD.151

41 Предлагаемые способы реализации измерений по перекрёстным

слоям.....................................153

42 Реализация ступенчатой аппроксимации при псевдослучайном расположении слоёв.............................153

43 Зависимость ошибки ступенчатой аппроксимации от размера шага ступеньки стах для различных значений отношения сигнал/шум (SNRul) ПРИ оценке канала........................154

44 Зависимость ошибки оценки слоёв (239) от эквивалентного периода расположения пилотных поднесущих при одномерной интерполяции и при использовании алгоритма SOMP из раздела

3.1.2 с использованием псевдослучайного расположения (82)......155

45 Зависимость ошибки восполнения от количества слоёв с учётом предложенной схемы измерений. Красным выделены

конфигурации, использующиеся для итогового сравнения.......156

46 Спектральная эффективность нисходящего канала при различных способах оценки восходящего канала...................160

1 Сравнение условий точного восполнения тензора, измеренного по перекрёстным слоям, для разных тензорных моделей. Для ТТ-формата используется представление Nrx = ^rxx • Nrxv .... 123

2 Ранги моделей ТТ и Таккера, использованные в экспериментах на рисунке 30 и рисунке 31. R3 принимается равным Nrxv........124

3 Сравнение платформ для моделирования MIMO OFDM систем . . . 139

4 Параметры модели канала.........................140

5 Выбранные ранги канонического тензора и ТТ-модели........152

6 Итоговые параметры измерения перекрёстных слоёв..........157

Приложение А Свойства сумм Гаусса

В этом приложении приведены известные результаты по вычислению значений или оценке сумм Гаусса. Приведённые оценки позволяют получить качественное представление о влиянии коэффициентов полинома на взаимную неортогональность задаваемого им фрейма и тесно связаны с содержанием разделов 2.1.3 и 2.2.3.

Классическим результатом теории чисел является вычисление значений квадратичной суммы Гаусса

= £ *

п=0

для простых N. Показывается [174], что

5 (*) = (*)5 (i), где (jr) символ Лежандра:

2 щ-"t

(А.1)

(А.2)

Ш

0,

-) = < 1,

-1,

если а | N

если а2 = 0 mod N,a \ N если а2 ф 0 mod N,a \ N,

(А.З)

а квадратичная сумма Гаусса с единичным коэффициентом а =1 принимает следующие значения:

Ш

(1 + если р = 0 mod 4

л/N, если р = 1 mod 4

0, если р = 2 mod 4

гл/N, если р = 3 mod 4

(А.4)

Видно, что квадратичная сумма Гаусса (А.1) имеет некоторое сходство с выражением (41) в случае квадратичных полиномов р1 = а212 + а\I. Разница

заключается, например, в том, что в выражении (41) верхний предел суммирования меньше числа в знаменателе показателя экспоненты Ы8С. По этой причине имеет смысл рассматривать неполные суммы Гаусса

s(wp) = Е

р-1

= Ее

п=0

(А.5)

при (а, N) = 1. Оказывается, при частичном суммировании модуль такой тригонометрической суммы не очень сильно отличается от значения полной суммы Гаусса (А.1). В частотности, ещё в 1914 году в работе [175] было

показано, что

SGH1=° И

(А.6)

Константа в этой оценке несколько раз уточнялась. Насколько осведомлён автор, на момент написания диссертации последний результат представлен в работе [176]:

< 3.9071

(А. 7)

Тем не менее, оценка (А.7) даёт только качественное представление о поведении |(п) (41). В самом деле, в квадратичной сумме Гаусса присутствует только квадратичный член ап2, в то время как выражение (41) содержит также линейный член а\п. По этой причине интерес представляют не просто квадратичные суммы Гаусса, а обобщённые квадратичные суммы Гаусса. Полные обобщённые квадратичные суммы Гаусса

/ и \ n-i

4 7 п=0

an2+bn N

(А.8)

тоже довольно хорошо изучены. Модуль таких сумм вычисляется явно [177]:

если N = 1 mod 2

i (i + (-i) f+),

(А.9)

иначе.

то есть, если сравнивать с обычными полными суммами (А.4), добавление линейного члена не сильно изменяет модуль самой суммы. Отметим также, что сдвиг индекса суммирования в сумме (А.8) на N не изменяет значения

суммы. В самом деле

, \ 2N—1

s\

fa b\ 11 / an2 + bn\

{n'N) = 5exp Г7 —N~ j

n=N N-1

iV —1 /

^ ехы 2nj

n=0 ^

a(n — N )2 + 6(n — N)

ж

)

w—1 , ^ exp ( 2п'

n=0 ^

an2 — 2 a n N + aN2 + bn — bN N

)

^1 / an2 + &n\ / аж2 — 2anN — bN exP ( 2П--^- ) exP ( 2П

n=0 ^ ' ^

ж

)

n—1 ,

Y^ exW2n j

n=0 ^

n2 + n

N

. (A.10)

НОД(а,с) > 1^Д(а,с) \b ^ М — — = 0.

(а_ Ь_\ \N,NJ

(А.11)

Для неполных обобщённых квадратичных сумм Гаусса справедливы оценки, похожие па оценки полных сумм. При не очень маленьких Р (как правило, Р > л/а") модуль неполной обобщённой квадратичной суммы Гаусса

=£

\ / г,— П

р—1 =

п=0

2nj- ап+ьп

(А.12)

не сильно отличается от модуля полной суммы. Асимптотическая оценка модуля неполных обобщённых сумм была впервые доказана в 1977 году в работе [178]:

р—1+Т

Е

п=Т

an^+Ьп N

= 4 TN +

(А.13)

для произвольного сдвига Т индексов суммирования. Из этой оценки при полной сумме Гаусса Р = N получаем

\N, N, J что согласуется с (А.9).

= О