Разупорядочение и реориентация молекул в фуллерите С60 тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.17, кандидат физико-математических наук Изотов, Дмитрий Егорович

• Изотов, Дмитрий Егорович
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Изотов, Дмитрий Егорович

Введение

1 Литературный обзор

1.1 Экспериментальные факты.

1.2 Теоретические подходы к описанию свойств Сбо.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разупорядочение и реориентация молекул в фуллерите С60»

Открытие фуллеренов в 1985 г., а затем и способа их получения в макроскопических количествах в 1990 г. явилось новым этапом развития химии углерода и стимулировало начало интенсивных исследований фуллеренов различного состава и строения.

Фуллерены в конденсированном состоянии принято называть фуллеритами. Наиболее известным представителем семейства фуллеренов является фуллерен Сбо, который представляет собой пластический кристалл с быстро вращающимися в широком температурном интервале молекулами. С изменением температуры характер вращения изменяется, что вызывает фазовые переходы ориентационного типа, которые являются структурно чувствительными. Накопленный экспериментальный материал, касающийся фуллерита Сбо, достаточно обширен, однако существующие модельные представления, с позиций которых пытаются интерпретировать его поведение в ряде случаев либо неудовлетворительно описывают эксперимент, либо противоречат друг другу.

Многие макроскопические свойства фуллерита Сбо существенно зависят как от ориентационных состояний молекул в решетке, так и от их динамических свойств. Одним из наиболее подходящих методов исследования движения молекул Сбо в фул-лерите является метод ЯМР на ядрах 13С (измерение температурной зависимости времени спин-решеточной релаксации и формы линии). Экспериментальные данные ЯМР в фуллерите до настоящего времени интерпретировали исключительно в рамках модели диффузионного вращения как выше так и ниже температуры ориентационного фазового перехода при 260 К, что, вообще говоря, противоречит дифракционным данным, согласно которым молекулы Сбо ниже 260 К занимают дискретный набор ориентационных состояний. Для того, чтобы корректно описать динамику движения молекул в эксперименте ЯМР необходимо действовать в рамках детально разработанной теории, которая до настоящего времени применительно к таким сложным объектам как фуллерит Сбо не существовала.

Процессы ориентационного упорядочения, протекающие в Сбо, в свою очередь, отражаются на его теплофизических свойствах. Так, температурная зависимость теплоемкости Сбо, измеренная методом адиабатической калориметрии, в области 260 К имеет А-образный вид. Эксперименты ДСК, эксперименты по измерению теплопроводности и ряд других экспериментов показывают, что в фуллерите Сбо существует длительный релаксационный период (порядка десятка часов), связанный с релаксацией ориентационных степеней свободы в среде. Представленные в литературе модели, направленные на описание этих явлений рассматривают в основном квазистационарные процессы, оставляя без внимания важный класс неравновесных процессов, к которым относятся фазовые превращения в реальных условиях их протекания. Интерпретация экспериментов с нагреванием или охлаждением с конечной скоростью, релаксационных процессов в фуллерите Сбо является важной задачей, которая ранее в отношении Сбо не рассматривалась.

В связи с этим целью настоящей работы являлось:

1. проведение комплексного описания процессов упорядочения и связанных с ними тепловых эффектов в области ориентационного фазового перехода в фуллерите Сбо;

2. разработка моделей, позволяющих описывать ЯМР эксперимент для фуллерита Сбо на базе представлений об ориентационных состояниях молекул в кристалле;

3. сопоставлениие микро- и макроскопического подходов с экспериментальными данными.

Разработанные модели позволяют не только качественно, но и количественно описывать экспериментальные факты, а также предсказывать поведение фуллерита Сбо в теплофизических экспериментах при различных внешних условиях. Кроме того, эти модели могут быть применены для анализа результатов исследований недавно синтезированной в макроколичествах ГПУ-фазы фуллерита С6о

Заключение диссертации по теме «Химическая физика, в том числе физика горения и взрыва», Изотов, Дмитрий Егорович

Выводы

1. В рамках теории Ландау фазовых переходов рассмотрена модель теплового поведения термоупругой среды с внутренней ориентацией. Показано, что процессы упорядочения/разупорядочения в фуллерите Сбо могут описываться скалярным параметром порядка. Предложена система уравнений механики сплошной среды с учетом релаксации параметра порядка. Приведены решения ряда задач, имеющих прикладное значение: (1) задача о квазистатическом однородном нагревании тела при отсутствии внешних поверхностных сил; (2) задача о нагревании при гидростатическом давлении при отсутствии релаксации параметра порядка; (3) нестационарная задача об однородном нагревании с учетом релаксации параметра порядка в области температуры фазового перехода; (4) нестационарная задача о релаксации параметра порядка при адиабатической изоляции тела.

2. Показано, что релаксационная теория для параметра порядка позволяет описать в динамике как перегретые, так и переохлажденные состояния рассмотренной среды.

3. Объяснено температурное поведения теплоемкости фуллерита Сбо: (1) скачок в области фазового перехода в квазистатическом процессе; (2) для процессов нагревания/охлаждения с конечной скоростью — расплывание и сдвиг кривой теплоемкости.

4. В рамках модели дискретных ориентационных состояний предложен формализм описания динамики вращения молекул Сбо в фуллерите. Показано, что фазовый переход при 260 К моделируется движением молекул по ориентационно неэквивалентным состояниям. В рамках модели многоосевых прыжков описаны температурная зависимость времени спин-решеточной релаксации и форма линии 13С ЯМР Сбо с учетом сингулярности в области фазового перехода. Предложены алгоритмы расчетов и найдены кинетические параметры вращений молекул Сбо в фуллерите в рамках рассмотренных моделей.

5. Показано, что функция распределения молекул по ориентационным состояниям является базовой характеристикой, лежащей в основе предложенных моделей, как при микро-, так и при макроскопическом подходах к описанию процессов упорядочения в фуллерите С6о

Заключение

В данной работе мы попытались комплексно описать процессы ориентационного упорядочения и связанных с ними тепловых эффектов, а также динамику молекул в фуллерите Сво в области фазового перехода при 260 К. Встречающиеся в литературе модельные представления в отношении Сбо достаточно ограничены и не позволяют описывать многие экспериментальные факты.

Для описания теплофизических свойств фуллерита Сбо был использован макроскопический подход в рамках теории Ландау фазовых переходов. Для характеристики степени упорядочения среды вводился параметр порядка, изменение которого в каждом из рассмотренных процессов определяло соответствующие тепловые эффекты. Нужно отметить, что сам параметр порядка зависит, вообще говоря, от координат материальной точки, под которой в макроскопической теории понимается малый объем, содержащий достаточное число молекул, чтобы можно было вводить осредненные характеристики (такие как плотность, скорость и т.п.). Зная функцию распределения молекул по ориентационным состояниям и проводя осреднение по этому малому объему можно получить функцию распределения ориентаций для материальной точки, которую мы обозначали /(А, ¿) и которая была использована для определения скалярного параметра порядка.

Зависимость плотности свободной энергии среды от ориентационной степени свободы определялась через параметр порядка в виде полинома четвертой степени. Симметрия кристаллической решетки фуллерита Сбо и составляющих ее молекул учитывали использованием тензоров соответствующей симметрии. Использование разложения свободной энергии совместно с общими уравнениями механики сплошной среды позволило развить релаксационную теорию для параметра порядка, которая ранее в литературе не рассматривались и которая позволила описать динамические процессы нагревания/охлаждения. Как было показано, учет релаксации параметра порядка приводит к общей зависимости процессов от скорости нагревания/охлаждения, что согласуется с экспериментом. Из сравнения с экспериментальными данными были оценены параметры, фигурирующие в модели.

Для описания ЯМР эксперимента (спин-решеточная релаксация и форма линии) был использован подход, связанный с рассмотрением ориентационных состояний молекул Сбо- Ранее ЯМР эксперимент в фуллерите Сбо интерпретировался исследователями исключительно в рамках диффузионной модели вращения и непрерывного набора ориентационных состояний. Такой подход противоречил дифракционным данным, согласно которым молекулы Сбо в фуллерите принимают ориентации из дискретного набора при температуре ниже 260 К. Для устранения указанного недостатка, мы исходили из предположения, что набор ориентационных состояний молекул Сбо является дискретным. При Т > Тс молекулы могли занимать ориентационные состояния из некоторой ориентационной орбиты (точнее, из орбиты с кратностью 8). При Т < Тс каждая молекула могла могла занимать только одно положение из ориентационной орбиты. Предполагалось, что переходы между ориентационно эквивалентными состояниями осуществляются за счет случайных дискретных прыжков вокруг осей симметрии молекулы, а переходы между неэквивалентными состояниями — за счет прыжков вокруг осей симметрии куба элементарной ячейки. Таким образом, в области ниже 260 К молекулы переходят между ориентационно эквивалентными положениями за счет реориентаций вокруг собственных осей симметрии, а в области выше 260 К к ним добавляются вращения вокруг осей симметрии куба. Сами частоты прыжков определялись с точностью до множителя соответствующими вероятностями ориентационных состояний молекул, т.е. функцией распределения молекул по ориен-тационным состояниям, которая фигурировала в макроскопическом подходе.

В рамках такого подхода для фуллерита Сбо удалось описать температурную зависимость времени спин-решеточной релаксации ТХ(Т) с учетом сингулярности в области фазового перехода при 260 К, а также форму линии 13С ЯМР. Было показано, что Ti(T) слабо зависит от типа и числа осей реориентации, в то время как форма линии от модели реориенитации зависит весьма заметно. В то же время в области фазового перехода при 260 К в фуллерите Сбо Т\ (Т) испытывает драматическое изменение вследствие "включения" дополнительных осей реориентации С4, в то время как изменения в форме линии ЯМР незаметны вследствие достаточно высоких скоростей вращения (по сравнению с шириной спектра жесткой решетки). Из сравнения с экспериментом была определена модель реориентации молекул, наиболее адекватно описывающая эксперимент (модель Н: одна "быстрая" ось Сз и все "медленные" оси С5) и определены кинетические параметры вращения, вполне согласующиеся с параметрами, определяемыми из диффузионной модели вращения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Изотов, Дмитрий Егорович, 2000 год

1. W. Kràtschmer, L.D. Lamb, К. Fostiropoulos, D.R. Huffman, Solid Ceo: a new form of carbon, Nature 347, 354-358, 1990.

2. M.S. Dresselhouse, G. Dresselhouse, P.C. Eldund, Science of Fullerenes and Carbon Nanotubes, Academic Press, San Diego, 1996.

3. V.S. Babu, S.Seehra, Temperature dependence of the infrared spectra of C^: orien-tational transition and freezing, Chem. Phys. Lett. 196(6), 569-572, 1992.

4. P.H.M. van Loosdrecht, P.J.M. van Bentum, G. Meijer, Rotational ordering transition in single-crystal Ceo by Raman spectroscopy, Phys. Rev. Lett. 68(8), 1176-1179, 1992.

5. P.A. Heiney, Structure, dynamics and ordering transition of solid C^, J. Phys. Chem. Solids 53(11), 1333-1352, 1992.

6. H. Парсонидж, Jl. Стейвли, Беспорядок в кристаллах, т. 1-2, М: Мир, 1982.

7. P.A. Heiney, J.E. Fischer, A.R. McGhie, W.J. Romanow, A.M. Denenstein, J.P. Mc-Cauley, A.B. Smith, Orientational ordering transition in solid Cqq, Phys. Rev. Lett. 66(22), 2911-2914, 1991.

8. W.I.F. David, R.M. Ibberson, T.J.S. Dennis, J.P. Hare, K. Prassides, Structural phase transitions in the fullerene C^o, Europhys. Lett. 18(3), 219-225, 1992.

9. R. Moret, P.A. Albouy, V. Agafonov, R. Ceolin, D. André, A. Dworkin, H. Szwarc, C. Fabre, A. Rassat, A. Zahab, P. Bernier, Structural phase transitions in single crystal C60, J- Phys. I France 2, 511-515, 1992.

10. P.A. Диланян, О.Г. Рыбченко, В.Ш. Шехтман, Кристаллографический анализ ориентационного упорядочения в кубическом Сбо, Кристаллография 40(4), 604610, 1995.

11. B.JI. Аксенов, Ю.А. Осипьян, B.C. Шахматов, Ориентационные состояния молекулы Сво е кристаллах, ЖЭТФ 113(3), 1081-1084, 1998.

12. E.V. Skokan, V.E. Alioshina, F.M. Spiridonov, I.V. Arkhngel'skii, V.Ya. Davydov, N.B. Tamm, L.N. Sidorov, Orientational ordering transition in solidC^o-' DSC, HPLC, and X-ray studies, J. Phys. Chem. 99, 16116-16119, 1995.

13. E.V. Skokan, V.E. Alioshina, F.M. Spiridonov, I.V. Arkhngel'sky, V.Ya. Davydov, N.B. Tamm, L.N. Sidorov, V.I. Privalov, T.L. Makarova, Phase transition behaviour in solid C60, Mol. Mat. 7(1), 277-282, 1996.

14. B.M. Егоров, Б.И. Смирнов, В.В. Шпейзман, Р.К. Николаев, Изменение параметров фазового перехода при Т—250-260К в монокристаллах Сбо б результате механического сжатия, ФТТ 38(7), 2214-2219, 1996.

15. М. Gu, Т.В. Tang, Y. Wang, F. Yan, D. Feng, Order-disorder transition in Ceo-' possible role of stacking faults, Chin. Phys. Lett. 15(5), 357-359, 1998.

16. G.B.M. Vaughan, Y. Chabre, D. Dubois, Effect of stacking disorder on the orientational ordering transition of solid C^o, Europhys. Lett. 31(9), 525-530, 1995.

17. T. Atake, T. Tanaka, H. Kawaji, K. Kikuchi, K. Saito, S. Suzuki, Y. Achiba, I. Ikemoto, Heat capacity and orientational phase transition of solid Cqo prepared with different solvents, Chem. Phys. Lett. 196(3,4), 321-324, 1992.

18. G. Pitsi, J. Caerels, J. Thoen, Adiabatic scanning calorimetric results for the 260K orientational transition of Cm, Phys. Rev. В 55(2), 915-919, 1997.

19. A. Dworkin, Н. Szwarc, R. Ceolin, Influence of oxigen on crystalline fullerene C6о- a DSC study, Europhys. Lett. 22(1), 35-38, 1993.

20. J.E. Fischer, A.R. McGhie, J.K. Estrada, M. Haluska, H. Kuzmany, H.-U. Meer, Heat capacity and the orientational transition in solid C^o, Phys. Rev. В 53(17), 11418— 11423, 1996.

21. Т. Yildirim, P.M. Gehring, D.A. Neumann, P.E. Eaton, T. Emrick, Solid cubane: a brief review, Carbon 36(5-6), 809-815, 1998.

22. T. Matsuo, H. Suga, W.I.F. David, R.M. Ibberson, P. Bernier, A. Zahab, C. Fabre, A. Rassat, A. Dworkin, The heat capacity of solid C6o, Sol. State Comm. 83(9), 711— 715, 1992.

23. Y. Jin, J. Cheng, M. Varma-Nair, G. Liang, Y. Fu, B. Wunderlich, X.-D. Xiang, R. Mostovoy, A.K. Zettl, Thermodynamic characterization ofCw by differential scanning calorimetry, J. Phys. Chem. 96, 5151-5156, 1992.

24. B.M. Егоров, И.Н. Кременская, Б.И. Смирнов, В.В. Шпейзман, Теплоемкость порошкообразных Сбо и С70 в температурном диапазоне 230~420К, ФТТ 37(11), 3493-3496, 1995.

25. Б.В. Лебедев, К.Б. Жогова, Т.А. Быкова, Б.С. Каверин, В.Л. Карнацевич, М.А. Лопатин, Термодинамика фуллерена Сво в области 0-340 К, Изв. АН. Сер. хим. 9, 2229-2232, 1996.

26. Y. Miyazaki, М. Sorai, R. Lin, A. Dworkin, Н. Szwarc, J. Godard, Heat capacity of a giant single crystal of C60, Chem. Phys. Lett. 305, 293-297, 1999.

27. Н.П. Кобелев, P.K. Николаев, Я.М. Сойфер, С.С. Хасанов, Упругие модули кристаллического Сео, ФТТ 40(1), 173-175, 1998.

28. V.M. Levin, V.D. Blank, V.M. Prokhorov, Ja.M. Soifer, N.P. Kobelev, Elastic Modules of solid Ceo■' measurements and relationship with nanostructure, J. Phys. Chem. Sol. 61, 1017-1024, 2000.

29. R.C. Yu, N. Tea, M.B. Salamon, Thermal conductivity of single crystal C60, Phys. Rev. Lett. 68(13), 2050-2053, 1992.

30. O. Andersson, A. Soldatov, B. Sundqvist, Thermal conductivity of Сбо at pressures up to 1 GPa and temperatures in the 50-300 К range, Phys. Rev. В 54(5), 3093-3100, 1996.

31. G. Kriza, J.-C. Ameline, D. Jerome, A. Dworkin, H. Szwarc, C. Fabre, D. Schtitz, A. Rassat, P. Bernier, A. Zahab, Pressure dependence of the structural phase transition in C60, J. Phys. I France 1, 1361-1364, 1991.

32. H. Wang, B. Xie, Y. Li, Q. Wang, J.G. Hou, B. Xu, M. Tan, H. Li, Y. Xu, Investigation of high pressure induced orientational phase transition in Ceo single crystal, Phys. Stat. Sol. В 207, 243-248, 1998.

33. B. Sundqvist, The structure and properties of Ceo under pressure, Physica В 265, 208-213, 1999.

34. R. Tycko, G. Dabbagh, R.M. Fleming, R.C. Haddon, A.V. Makhija, S.M. Zahurak, Molecular dynamics and the phase transition in solid Ceo, Phys. Rev. Lett. 67(14), 1886-1889, 1991.

35. C.S. Yannoni, R.D. Johnson, G. Meijer, D.S. Bethune, J.R. Salem, 13C NMR of the Ceo cluster in the solid state: molecular motion and carbon chemical shift anisotropy, J. Phys. Chem. 95, 9-10, 1991.

36. R. Tycko, R.C. Haddon, G. Dabbagh, S.H. Glarum, D.C. Douglass, A.M. Mujsce, Solid-state magnetic resonance spectroscopy of fullerenes, J. Phys. Chem. 95, 518520, 1991.

37. R.D. Johnson, C.S. Yannoni, M.S. de Vries, H.C. Dorn, J.R. Salem, D.S. Bethune, Сбо solid state rotational dynamics and production and EPR spectroscopy of fullerenes containing metal atoms, Nanotechnology 3(4), 164-166, 1992.

38. В.И. Привалов, Ю.Б. Муравлев, И.В. Архангельский, Е.В. Скокан, JI.H. Сидоров, Фазовый переход в кристаллическом Сео при 260 К по данным спин-решеточной релаксации 13С, ЖНХ 42(6), 1031-1038, 1997.

39. K. Mizoguchi, Magnetic resonance of fullerene solids and their compaunds, J. Phys. Chem. Solids 54, 1693-1698, 1993.

40. У. Хеберлен, M. Меринг, ЯМР высокого разрешения в твердых телах, М: Мир, 1980.

41. P. Bernier A. Zahab, L. Ferlej, Ordering phase transition in Сбо, Sol. State Comm. 84(4), 429, 1992.

42. M. Gu, T.B. Tang, C. Hu, D. Feng, Order-disorder transition in solid C^o charged with О2 and with N2: a study with dielectric and nC NMR spectroscopies, Phys. Rev. В 58(2), 659-663, 1998.

43. Z. Belahmer, P. Bernier, L. Firlej, Phase transition in Cqq: 13C NMR studies, Phys. Rev. В 47(23), 15980, 1993.

44. D.A. Torchia, A. Szabo, Spin-lattice relaxation in solids, J. Magn. Reson. 49,107-121, 1982.

45. А. Абрагам, Ядерный магнетизм, M: ИЛ, 1963.

46. J.I. Kaplan, G. Fraenkel, NMR of chemichally exchanging systems, Academic Press, New York, 1980.

47. A. Cheng, M.L. Klein, Molecular dynamics simulations of solid buckminsterfullerenes, J. Phys. Chem 95, 6750-6751, 1991.

48. A. Cheng, M.L. Klein, Molecular dynamics investigation of orientational freezing in solid C60, Phys. Rev. В 45(4), 1889-1895, 1992.

49. Y. Guo, N. Karasawa, W.A. Goddard, Prediction of fullerene packing in C6 о and CV0 crystals, Nature 351, 464-467, 1991.

50. H. Xin, L. Yang, L. Ouyang, Calculation of the orientational phase transition temperature in solid C60, Chin. Phys. Lett. 12(8), 473-476, 1995.

51. L. Pintschovius, S.L. Chaplot, G. Roth, Rotational dynamics of Ceo above and below Ts, Physica В 219-220, 148-150, 1996.

52. Z.J. Xu, J.M. Yan, The rotation and the phase transition in solid Ceo, Chin. J. Chem. 14(6), 481-489, 1996.

53. Yu.I. Prilutski, E.V. Buzaneva, L.A. Bulavin, P. Scharff, Structure, dynamics and optical properties of fullerenes Ceo, CVo, Carbon 37, 835-838, 1999.

54. D. Lamoen, K.H. Michel, Crystal field, orientational order, and lattice contraction in solid Ceo, J- Chem. Phys. 101(2), 1435-1443, 1994.

55. A.B. Harris, What does Landau theory tell us about the orientational state of fullerenes?, Phisica A 205, 154-182, 1994.

56. K.H. Michel, J.R.D. Copley, Orientational mode coupling, diffuse scattering, and order-disorder phase transition in solid Ceo, Z. Phys. В 103, 369-376, 1997.

57. J.R.D. Copley, K.H. Michel, Multiple orientational order parameters in solid Ceo, Physica В 241-243, 454-455, 1998.

58. JI.Д. Ландау, Собрание трудов, т. 1, М., 1969.

59. Ж.К. Толедано, П. Толедано, Теория Ландау фазовых переходов, М: Мир, 1994.

60. М.А. Fradkin, On thermoelastic phenomena around the orientational ordering transition in crystalline C60, J. Phys. Chem. Sol. 58(11), 1861-1864, 1997.

61. R. Saito, G. Dresselhaus, M.S. Dresselhaus, Thermodynamic model of the ordering transition in solid C60, Phys. Rev. В 49(3), 2143-2147, 1994.

62. K.H. Michel, Spin-lattice relaxation and molecular reorientations near Tc with application to NH4CI, J. Chem. Phys. 58(1), 142-152, 1973.

63. E.C. Вентцель, Л.А. Овчаров, Теория случайных процессов и ее инженерные приложения, М: Наука, 1991.

64. А.К. Roy, A.A. Jones, The application of simultanious model for multicite exchange to solid-state NMR lineshape, J. Magn. Res. 64, 441-450, 1985.

65. M.S. Greenfield, A.D. Ronemus, R.L. Void, R.R. Void, P.D. Ellis, Т.Е. Raidy, Deuterium quadrupole-echo NMR Spectroscopy. Practical aspects of lineshape calculations for multiaxis rotational process, J. Magn. Res. 72, 89-107, 1987.

66. J. Hirschinger, A.D. English, Differentiation of models of rapid molecular motion by 2 Я NMR lineshape simulations, J. Magn. Reson. 85, 542-553, 1989.

67. C.I. Ratcliffe, G.W. Buchanan, J.K. Denike, Dynamics of 12~crown~4 ether in its LiNCS complex as studied by solid-state 2H NMR, J. Am. Chem. Soc. 117, 29002906, 1995.

68. Голубятников A.H., В.В. Лохин, Тензорные инварианты подгрупп группы Лоренца, ДАН СССР 187(2), 249-251, 1969.

69. В.В. Лохин, Л.И. Седов, Нелинейные тензорные функции от нескольких тензорных аргументов, ПММ 27(3), 393-417, 1963.

70. А.С. Сонин, Введение в физику жидких кристаллов, М: Наука, 1983.

71. Л.И. Седов, Механика сплошной среды, т. 1-2, М: Наука, 1994.

72. В.Л. Бердичевский, Вариационные принципы механики сплошной среды, М: Наука, 1983, 448с.

73. М.А. Гринфельд, Методы механики сплошных сред в теории фазовых превращений, М: Наука, 1990.

74. J. Peternelj, М.М. Pintar, Semiclassical analysis of spin-lattice relaxation of a tetra-hedrally coordinated four-spin-1/2 system, Phys. Rev. В 15(11), 5097-5106, 1977.

75. Д.Е. Изотов, В.П. Тарасов, Спин-решеточная релаксация дейтеронов при многоосевой реориентации тетраэдра XD±, ДАН РАН 361(5), 648-653, 1998.

76. Z.T. Lalowicz, S.F. Sagnowski, Multiaxial reorientations of ND± ions studied by 2H-NMR spectroscopy, Z. Naturforsch. 46a, 829-840, 1991.

77. A. Keller, S. Benz, U. Haeberlen, NMR lineshape analysis of exchanging systems. Mapping onto harmonic oscillator equations; a new analytically solvable case and experiments on K2C202 ■ D20, J. Magn. Res. 72, 434-448, 1987.

78. H.H. Калиткин, Численные методы, M: Наука, 1978.

79. D.W. Alderman, M.S. Solum, D.M. Grant, Methods for analysing spectroscopic line shapes. NMR solid powder patterns, J. Chem. Phys. 84(7), 3717-3725, 1986.

80. Дж. Уилкинсон, С. Райнш, Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра, М: Машиностроение, 1976.

81. Г. Корн, Т. Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров, М: Наука, 1977.