Развитие и обобщение теорий R-функций и атомарных функций в задачах электродинамики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, доктор физико-математических наук Басараб, Михаил Алексеевич

• Басараб, Михаил Алексеевич
• доктор физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Басараб, Михаил Алексеевич

Введение.

1. R-функции и атомарные функции в задачах аппроксимации и численного анализа.

1.1. Основные понятия теории R-функций. Структуры решения краевых задач .:.

1.2. Почти R-функции. Сингулярные R-функции.

R-функции в полярных координатах

1.3. Уравнения границ фрактальных областей

1.4. Атомарные функции и новые методы аппроксимации на их основе

Выводы.

2. Алгебрологические методы и алгоритмы решения внутренних краевых задач электродинамики.

2.1. Постановки краевых задач и классический вариант метода R-функций.

2.2. Глобальный базис. Полуаналитические структуры

Фурье-Канторовича и Фурье-Канторовича-Рвачева.

2.3. Локальный базис. Структурный метод на основе аппроксимации функции области финитными функциями

2.4. Совместное использование обобщенного метода Шварца и метода R-функций.

2.5. Расчет электромагнитных полей в областях фрактальной геометрии.

Выводы.

3. Применение метода R-функций к задачам излучения и дифракции электромагнитных волн.

3.1. Излучение из открытого конца регулярного волновода произвольного поперечного сечения.

3.2. Метод R-функций и обобщенный метод собственных колебаний для решения скалярных задач дифракции.

3.3. R-функции и построение вспомогательных контуров метода разложения по неортогональным функциям.

Выводы.

4. Атомарные функции и R-функции в задачах анализа и синтеза линейных антенн.

4.1. Обобщенные ряды Котельникова, полиномы Левитана и ядра Фей-ера в задачах теории антенн.

4.2. Аппроксимация атомарными функциями fup„(x) в задаче синтеза линейного излучателя.

4.3. Синтез безлепестковых и секторных диаграмм направленности

4.4. Конструирование самоподобных антенных решеток

Выводы.

5. Алгебрологические методы в задачах анализа и синтеза плоских излучателей

5.1. Постановка задачи анализа и синтеза антенн с плоским раскрывом.

5.2. Амплитудно-фазовый синтез антенн с плоским раскрывом.

5.3. R-функции и соотношение неопределенности в теории антенн. 229 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Развитие и обобщение теорий R-функций и атомарных функций в задачах электродинамики»

Разработка численных и численно-аналитических методов решения задач электродинамики имеет большое теоретическое и практическое значение, в частности, при проектировании антенн и устройств СВЧ. В настоящее время, в связи с развитием вычислительной техники, появились широкие возможности моделирования радиофизических процессов в телах сложной формы. Существующие вычислительные методы можно условно разбить на три класса: аналитические, численные и численно-аналитические. Первые пригодны для решения задач в узком классе областей канонической формы (метод Фурье в системах координат с разделяющимися переменными); вторые универсальны, но дают решение в виде набора чисел, неудобном при качественном анализе результатов. Кроме того, численным методам свойственно накопление погрешности вследствие того, что в общем случае приближения к точному решению априори не удовлетворяют ни дифференциальному уравнению, ни краевым условиям. Этих недостатков можно избежать, используя численно-аналитические методы. Особое распространение получили вариационные и проекционные методы решения краевых задач (Ритца, Бубнова-Галеркина, коллокации, наименьших квадратов и др).

Благодаря своей простоте, гибкости и универсальности, метод R-функций (структурный метод), предложенный B.JL Рвачевым в 60-х гг. XX в., занимает особое место в ряду других численно-аналитических методов решения краевых задач. Его основной особенностью является использование идей алгебры логики в комбинации с известными вариационными и проекционными методами. Разработка метода R-функций применительно к внутренним и внешним задачам электродинамики (расчет полей в волноводах и резонаторах, включая сверхпроводящие, дифракция электромагнитных волн на объектах сложной формы) выполнялась в работах В.Ф. Кравченко. Определенный вклад в развитие этого направления внесли также другие исследователи. Вместе с тем, многие вопросы использования теории R-функций в радиофизических приложениях до сих пор недостаточно хорошо разработаны в силу сложностей математического и вычислительного характера. Особенно это касается решения внешних задач дифракции на объектах сложной формы. Решение внутренних краевых задач классическим вариантом метода R-функций также не всегда эффективно и зачастую уступает в быстродействии методам конечных или граничных элементов.

Еще одна сложность заключается в появлении в последние десятилетия принципиального нового объекта исследований - областей с фрактальной геометрией границ. Метод R-функций изначально был разработан как метод описания границ объектов хоть и сложной, но классической конфигурации. В этой связи, для решения указанных задач возникла необходимость существенного обобщения и развития метода R-функций в комбинации с другими средствами вычислительной математики.

К наиболее актуальным проблемам электродинамики можно отнести задачи анализа и синтеза антенн простой и сложной геометрии. При этом особый интерес представляют задачи синтеза антенн со специальной формой диаграммы направленности (ДН), малым уровнем боковых лепестков, высоким коэффициентом направленного действия (КНД) и т.п. Основы математической теории синтеза антенных излучателей были заложены в работах отечественных ученых Л.Д. Бахраха, JI.C. Бененсона, JI.A. Вайнштейна, Е.Г. Зелкина, Г.Т. Маркова, Б.М. Минковича, А.А. Пистолькорса, Д.М. Сазонова, Я.Н. Фельда, А.З. Фрадина, Я.И. Хургина, А.Ф. Чаплина, А.В. Чечкина, Я.С. Шифрина, В.П. Яковлева и др. Для строгого и приближенного решения задач синтеза антенн ими широко были использованы результаты классической теории аппроксимации, теории целых функций экспоненциального типа, гармонического анализа, специальных функций, теорий функций вещественного и комплексного переменного. Существенный прогресс в данной области оказался возможен благодаря классическим работам Н.И.Ахиезера, С.Н.Бернштейна, Н.Винера, А.Н. Колмогорова, В.А. Котельникова, Р. Пэли, Е. Титчмарша, А.Н. Тихонова, Э.Т. и Дж.М. Уиттекеров, К. Шеннона и др. Была отмечена также глубокая связь между такими областями, как радиофизика, теория связи, оптика, теория управления, цифровая обработка сигналов, основанная на общности применяемого в них математического аппарата.

Последние десятилетия XX в. ознаменовались появлением таких новых (неклассических) конструктивных средств теории аппроксимации, как сплайны, вейвлеты, а также атомарные функции (АФ). Последние представляют собой бесконечно-дифференцируемые финитные решения функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ) и могут в некотором смысле рассматриваться как сплайны бесконечной гладкости, а также предшественники вейвлетов. Простейшая базовая АФ ир(лг) была введена B.JI. Рвачевым в 1971 г. Впоследствии были обнаружены другие классы АФ и изучены их основные свойства. Практические вопросы приложения АФ (в том числе в комбинации с другими известными функциями) к решению ряда задач вычислительной математики, радиофизики и цифровой обработки сигналов рассматривались в работах В.Ф. Кравченко. Благодаря своим уникальным аппроксимативным свойствам, АФ позволяют по-новому взглянуть на постановку и решение различных задач анализа и синтеза антенн. Актуальной является разработка и обоснование методов и быстродействующих алгоритмов на основе АФ для решения этих задач.

В области теории антенн за последние годы произошли существенные перемены, связанные с прогрессом как в области антенной технологии, так и в сфере математического и компьютерного моделирования. Это касается разработки волноводных и рупорных излучателей сложной формы, а также антенных решеток на их основе, антенн фрактальной геометрии и т.д. При синтезе таких излучателей многие из классических аналитических подходов оказались неприемлемыми либо малоэффективными, в то время как прогресс вычислительных технологий позволил выйти на первый план численным и численно-аналитическим методам и алгоритмам. Принципиально задача анализа антенн заключается в приближенном (например, по Кирхгофу) нахождении поля вокруг излучателя при известном способе подвода электромагнитной энергии и конструкции излучателя и сводится к решению уравнений Максвелла при определенных граничных условиях.

Учет этих условий и нахождение поля в апертуре может быть выполнен с помощью теорий R-функций и АФ. Значительно более сложными являются обратные задачи синтеза антенных излучателей. Разработка новых методов и алгоритмов их решения является одной из актуальных проблем, исследуемых в данной работе.

Целью работы является развитие и обобщение конструктивных теорий R-функций и АФ, создание новых численных и численно-аналитических методов и алгоритмов на их основе для решения следующих типов внутренних и внешних задач электродинамики:

- задачи электростатики на двумерных объектах сложной конфигурации, включая области с фрактальной геометрией границ; учет сингулярно-стей решения в окрестности входящих углов;

- расчет электромагнитных полей в регулярных волноводах и волновод-ных резонаторах сложного поперечного сечения; учет особенностей решения в окрестности угловых точек (условия Мейкснера);

- моделирование излучения электромагнитных волн из открытого конца волновода произвольного поперечного сечения; анализ волноводных излучателей и антенных решеток;

- решение задач дифракции электромагнитных волн на диэлектрике, помещенном в закрытый или открытый резонатор сложной формы и на идеально проводящих цилиндрических экранах со сложной формой образующей;

- анализ и синтез линейных и двумерных антенных излучателей и антенных решеток.

В качестве методологической основы полученных в работе результатов следует выделить широкое использование результатов и средств следующих научных направлений:

- вычислительная электродинамика;

- теория анализа и синтеза антенн;

- цифровая обработка сигналов;

- алгебра логики и теория функций вещественного переменного;

- теория аппроксимации и интерполяции функций, в частности, теория целых функций экспоненциального типа и спектральный анализ;

- численный анализ: приближенные методы решения интегральных уравнений (ИУ) и дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП);

- фрактальная геометрия и фрактальная электродинамика.

В соответствии с поставленными в работе проблемами, использовался единый универсальный подход к их решению с помощью конструктивных теорий R-функций и АФ. На основе этих теорий были предложены и обоснованы новые методы и алгоритмы одномерной и многомерной аппроксимации функций (атомарная квазиинтерполяция, интерполяция обобщенным рядом Котельникова и полиномами Левитана), а также решения ряда задач численного анализа (ДУЧП, ИУ Фредгольма 1-го и 2-го рода). Новые подходы совместно с методами теории целых функций и фурье-анализа были использованы в задачах синтеза антенных излучателей по заданной диаграмме направленности. Часть основных результатов диссертации получена путем распространения методов теорий R-функций и АФ на новые классы задач, в частности это относится к нахождению излучения из открытого конца волновода регулярного произвольного поперечного сечения, а также исследованию электродинамических свойств объектов фрактальной геометрии методом R-функций. Эти задачи решались путем совместного использования R-функций с вариационными и проекционными методами.

Правомерность теоретических результатов работы основывается на строгости использования математического аппарата. Достоверность численных результатов подтверждается их сравнением с данными, полученными с использованием других приближенных методов, а также результатами численных экспериментов, опубликованными в отечественной и зарубежной литературе. Все используемые в работе алгоритмы и программы тестировались на модельных задачах, имеющих известные точные решения.

Научная новизна работы состоит в создании новых численных и численно-аналитических методов и алгоритмов решения задач электродинамики, включая задачи анализа и синтеза антенных излучателей сложной формы. Она заключается в

- развитии теории R-функций, создании новых конструктивных средств на ее основе с целью повышения точности и быстродействия структурного метода решения внешних и внутренних краевых задач электродинамики, включая области фрактальной геометрии;

- развитии и обобщении аппроксимативного аппарата теории АФ, создании новых конструктивных средств на основе АФ и их применению к решению задач анализа и синтеза антенн;

- распространение аппарата теории R-функций на новую предметную область - анализ и синтез апертурных излучателей сложной геометрии, включая волноводные антенны и антенные решетки.

На защиту выносятся следующие основные положения и результаты диссертационной работы:

-метод квазиинтерполяции дифференцируемых функций одного и ' многих переменных на основе базисов сплайнов и АФ; метод решения ИУ Фредгольма 2-го рода с помощью представления ядра вырожденным на основе базиса АФ и алгоритма атомарной квазиинтерполяции; метод решения задачи Дирихле для ДУЧП с помощью квазиинтерполяции R-функции границы области базисом АФ;

- новые классы сингулярных и локально-сингулярных R-функций и структуры решения краевых задач электродинамики на их основе, учитывающие геометрические особенности (условия Мейкснера); алгоритм совместного использования обобщенного метода Шварца и метода R-функций для учета особенностей в угловых точках;

- алгебрологический метод конструктивного описания областей фрактальной геометрии (ковер и салфетка Серпинского, остров Коха) и решения краевых задач электродинамики в областях с фрактальными свойствами границ;

- 10- новые полуаналитические структуры Фурье-Канторовича и Фурье-Канторовича-Рвачева, а также гибридные структуры решения краевых задач для ДУЧП электродинамики вариационными и проекционными методами на основе обобщенной интерполяционной формулы Лагранжа;

- гибридный метод решения задач дифракции электромагнитных волн на диэлектрике в закрытых и открытых резонаторах на основе обобщенного метода собственных колебаний и метода R-функций;

- метод построения уравнений контуров сложной геометрии с помощью R-функций в полярной системе координат; алгоритм расчета электромагнитных полей в гофрированных волноводах сложного поперечного сечения с помощью R-операций в полярной системе координат; алгоритм построения вспомогательных контуров метода решения задач дифракции путем разложения по неортогональным функциям; алгоритм амплитудно-фазового синтеза многомерных излучателей с помощью описания границы сложной области R-функциями;

- метод расчета ДН антенного излучателя в виде открытого конца регулярного волновода произвольного поперечного сечения на основе теории R-функций;

- методы аппроксимации целых функций экспоненциального типа обобщенными рядами Котельникова и полиномами Левитана на основе АФ, а также алгоритмы синтеза антенн на их основе; новые конструкции ядер типа Фейера с использованием АФ;

- проекционные методы решения задачи синтеза линейного излучателя с помощью разложения искомого тока по базису АФ и алгоритма неявной регуляризации ИУ Фредгольма 1-го рода;

- синтез оптимальных безлепестковых, разностных и секторных ДН линейных антенн с использованием АФ в качестве токового распределения; новый тип самоподобной антенной решетки с распределением токов на основе рекуррентной последовательности, определяющей чередование знаков производных АФ.

Теоретическая и практическая значимость результатов работы заключается в развитии и совершенствовании теорий R-функций и АФ, разработке новых конструктивных средств на их основе, позволяющих повысить их эффективность при решении задач теории аппроксимации и математической физики. Обоснованные и разработанные методы и алгоритмы могут найти широкое применение при решении широкого класса задач электродинамики и техники СВЧ, включая задачи анализа и синтеза излучателей сложной формы и фазированных антенных решеток, используемых в радиолокации, радиоастрономии, дистанционном зондировании Земли и др. Все предложенные методы доведены до численной реализации, что позволило выявить некоторые закономерности и особенности электродинамических процессов, происходящих в ранее неизученных или слабоизученных областях сложной формы, включая объекты с фрактальной геометрией границ.

Автором самостоятельно определена проблематика исследований и предложены методы решения задач, представленных в главах 1 (разделы 1.2-1.4), 2, 5 а также разделах 3.3, 4.3-4.4 диссертационной работы. Постановки задач, описанных в разделах 3.1, 3.2, 4.1, 4.2 были определены совместно с д.ф.-м.н. проф. В.Ф. Кравченко и частично (раздел 4.1) с д.т.н. проф. Е.Г. Зелкиным. Методы и алгоритмы решения данных задач, а также их обоснование и численная реализация выполнены лично автором.

Основные результаты исследований, составляющих содержание диссертационной работы, прошли апробацию на международных научных конференциях и семинарах. В общей сложности по теме диссертации представлен, доложен и опубликован 31 доклад. Основные результаты диссертации опубликованы в 67 научных работах (из которых 13 выполнено лично автором и 54 — в соавторстве), включая 1 монографию, 35 статей в ведущих отечественных и международных научных журналах, 21 материалов и 10 тезисов докладов международных научных конференций.

С точки зрения структуры и объема работы диссертация содержит 289 страниц машинописного текста, 80 рисунков, 42 таблицы. Состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы (включающего 162 наименования отечественных и зарубежных источников, в том числе ссылки на 28 работ автора) на 13 страницах, приложения на 23 страницах.

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Басараб, Михаил Алексеевич

Выводы

В главе получены следующие основные результаты:

1) Рассмотрены вопросы амплитудно-фазового синтеза многомерных излучателей с помощью описания границы сложной области R-функциями.

2) Аппарат R-функций и АФ применен к решению задачи о нахождении распределений, оптимизирующих обобщенное соотношение неопределенности. Предложенный метод использован для расчета оптимального распределения тока излучателей.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Резюмируем основные результаты, полученные в диссертационной работе: разработаны и обоснованы новые методы аппроксимации одномерных и двумерных функций с помощью базиса АФ: атомарная квазиинтерполяция, метод аппроксимации ядра ИУ Фредгольма 2-го рода вырожденным на основе квазиинтерполяции АФ, аппроксимация функции области в структуре Дирихле для ДУЧП с помощью квазиинтерполяции АФ; теория R-функций развита и обобщена на случай решения краевых задач в областях с геометрическими сингулярностями (входящими углами); для учета условий Мейкснера разработаны новые конструкции сингулярных R-операций, а также гибридный метод на основе обобщенной альтернирующей процедуры Шварца и структурного метода R-функций; обоснован аппарат почти R-функций сглаживания углов области; введены новые полуаналитические структуры Фурье-Канторовича и Фурье-Канторовича-Рвачева, а также гибридные структуры на основе обобщенной формулы Лагранжа для решения краевых задач в сложных областях, образованных путем теоретико-множественного пересечения канонической области с другой областью; методом R-функций решена обратная задача аналитической геометрии для областей с фрактальными границами и решен ряд задач электростатики и электродинамики в таких объектах, как ковер Серпинского и остров Коха; предложен новый гибридный метод, основанный на совместном использовании ОМСК и метода R-функций для решения задач дифракции на диэлектрическом теле в резонаторе; с помощью теории R-функций разработаны методы построения уравнений границ сложных областей в полярных координатах, а также сглаживания угловых точек; эти подходы использованы при моделировании гофрированных волноводов сложного поперечного сечения, а также при построении вспомогательных контуров МРНФ для решения задач дифракции электромагнитных волн на цилиндрических экранах; разработаны и обоснованы новые методы аппроксимации и интерполяции целых функций экспоненциального типа на основе АФ (обобщенный ряд Котельникова, обобщенные полиномы Левитана), позволяющие решать задачи синтеза линейного излучателя и антенных решеток по заданной ДН; введены новые конструкции ядер типа Фейера на основе АФ; предложены проекционно-итерационные алгоритмы решения задачи синтеза линейной антенны с помощью разложения по базису АФ и неявной регуляризации ИУ Фредгольма 1-го рода с гладким ядром; на основе АФ, выбранных в качестве распределения тока в линейном излучателе, синтезированы новые типы безлепестковых и секторных ДН; разработана конструкция самоподобной равноамплитудной антенной решетки с распределением токов в соответствии с законом чередования знаков АФ ha(x);

R-функции в полярных координатах применены к моделированию опорных функций сложных областей, представляющих собой спектры двумерных целых функций экспоненциального типа (ДН антенн); рассмотрены вопросы амплитудно-фазового синтеза многомерных излучателей с помощью описания границы сложной области R-функциями; на основе АФ и R-функций в комбинации с процедурами БПФ и ДПФ предложены численные методы решения многомерных ИУ с ядрами, зависящими от разности аргументов на конечном промежутке; методы использованы для нахождения гиперсфероидальных функций и оптимизации соотношения неопределенности в сложных областях, что позволяет конструировать излучатели сложной формы с низкой реактивностью.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Басараб, Михаил Алексеевич, 2004 год

1. Рвачев В.Л. Методы алгебры логики в математической физике. - Киев: Наукова думка, 1974.

2. Рвачев В.Л., Рвачев В.А. Неклассические методы теории приближений в краевых задачах. Киев: Наукова думка, 1979.

3. Рвачев В.Л. Теория R-функций и некоторые ее приложения. Киев: Наукова думка, 1982.

4. Кравченко В.Ф. Лекции по теории атомарных функций и некоторым их приложениям-М.: Радиотехника, 2003.

5. Кравченко В.Ф., Басараб М.А. Булева алгебра и методы аппроксимации в краевых задачах электродинамики М.: Физматлит, 2004.

6. Карри Х.Б. Основания математической логики М.: Мир, 1969.

7. Басараб М.А., Кравченко В.Ф., Масюк В.М. R-функции, атомарные функции и их применение- Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники, 2001, № 8, с. 5-40.

8. Басараб М.А., Кравченко В.Ф. R-функции и атомарные функции в задачах цифровой обработки многомерных сигналов, Электромагнитные волны и электронные системы, 2001,т.6.,№4,с.3-26.

9. Бабич В.М., Капилевич М.Б., Михлин С.Г. и др. Линейные уравнения математической физики / Под ред. С.Г. Михлина. М.: Физматгиз, 1964.

10. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа-М.-Л.: Физматгиз, 1962.

11. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике.- М.: Наука, 1970.

12. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. М.: Наука, 1966.

13. МарчукГ.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы.-М.: Наука, 1981.

14. ХаррикИ.Ю. О приближении функций, обращающихся в нуль на границе области, функциями особого вида- Матем. сборник, 1955, т. 37(79), № 2, с. 353-384.

15. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике.-М.: Мир, 1985.

16. Стрельченко А.И. Определение собственных чисел и собственных функций оператора Лапласа в областях сложной формы. Дис. . канд. физ.-мат. наук Киев, 1971.

17. Рвачев В.Л., Гончарюк И.В. Кручение стержней сложного профиля. -Харьков: Харьк. политехи, инст., 1973.

18. Колодяжный В.М., Рвачев В.А. Структурное построение полных последовательностей координатных функций вариационного метода решения краевых задач. Препринт №10 Харьков: ИПМаш АН УССР, 1975.

19. Гончарюк И.В. Почти R-функции и некоторые их свойства. Вкн. Математические методы анализа динамических систем.- Харьков: Харьк. авиац. инст., 1984. Вып. 8, с. 35-40.

20. Кравченко В.Ф., Басараб М.А. Методы решения краевых задач электродинамики в областях сложной формы. Успехи современной радиоэлектроники, 2003, №12, с.3-92.

21. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров-М.: Физматлит, 1970.

22. Meixner, J. The Behavior of Electromagnetic Fields at Edges IEEE Trans., 1972, AP-20, July, pp. 442-446.

23. Басараб M.А. Сингулярные R-функции в краевых задачах электродинамики- Электромагнитные волны и электронные системы, 2003, т.8, №10, с.30-38.

24. Басараб М.А., Кравченко В.Ф. Численно-аналитические методы решения задач дифракции и рассеяния электромагнитных волн на объектах сложной формы. Успехи современной радиоэлектроники, 2004, №4, с. 3-71.

25. Басараб М.А. Решение краевых задач в областях фрактальной геометрии методом R-функций.- Электромагнитные волны и электронные системы, 2003, т. 8, № 9, с. 31-39.

26. Кравченко В.Ф., Басараб М.А. Решение краевых задач электродинамики в областях фрактальной геометрии методом R-функций Письма в ЖТФ, 2003, т. 29, вып. 24, с. 89-94.

27. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. -М.: Наука, 1981.

28. Рвачев В.Л., Шапиро В., Шейко Т.Н. Применение метода R-функций к построению уравнений л оку сов, обладающих симметрией Электромагнитные волны и электронные системы, 1999, т. 4, № 4, с.4-20.

29. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. -М.: Наука, 1976.

30. Варга Р. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе-М.: Мир, 1974.

31. Рвачев В.Л., Рвачев В.А. Атомарные функции в математической физике. В кн. Математизация знаний и научно-технический прогресс Киев: Наукова думка, 1975. С. 188-199.

32. Рвачев В.Л., Рвачев В.А. О применении функции ир(х) в методе конечных элементов-Математическая физика, 1975, вып.17, с. 170-175.

33. Рвачев В.А. Применение функции ир(х) в вариационно-разностных методах. Препринт №16 Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1975.

34. Кравченко В.Ф., Рвачев В.А. Применение атомарных функций для решения краевых задач математической физики Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники, 1996, № 8, с. 6-22.

35. Кравченко В.Ф., Басараб М.А. Приближение атомарными функциями и численные методы решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Дифференциальные уравнения, 2001, т.37, №10, с.1406-1414.

36. Басараб М.А. Периодическая атомарная квазиинтерполяция. -Украшський математичний журнал, 2001, т. 53, № 10, с. 1422-1426.

37. Басараб М.А., Кравченко В.Ф. Итерационный метод разложения интерполяционного алгебраического полинома по атомарным функциям — Электромагнитные волны и электронные системы, 2000, т. 5, №4, с. 4-10.

38. Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Методы решения интегральных уравнений с программами для ЭВМ.- Киев: Наукова думка, 1978.

39. Заргано Г.Ф., Jlepep A.M., Ляпин В.П., Синявский Г.П. Линии передачи сложных сечений. Ростов-на-Дону: Изд. РГУ, 1983.

40. Заргано Г.Ф., Ляпин В.П., Михалевский B.C. и др. Волноводы сложных сечений. М.: Радио и связь, 1986.

41. Волноводы с поперечным сечением сложной формы / под ред. В.М. Седых. Харьков: Изд. ХГУ, 1979.

42. Альховский Э.А., Головченко Г.С., Ильинский А.С. и др. Гибкие волноводы в технике СВЧ. М.: Радио и связь, 1986.

43. Марков Г.Т., Васильев Е.Н. Математические методы прикладной электродинамики. М.: Советское радио, 1970.

44. Ефимов И.Е., Сермина Г.А. Волноводные линии передачи. М.: Радио и связь, 1979.

45. Григорьев А.Д Электродинамика и техника СВЧ. М: Высшая школа, 1990.

46. Пименов Ю.В., Вольман В.И., Муравцов А.Д. Техническая электродинамика. — М.: Радио и связь, 2000.

47. Никольский В.В. Вариационные методы для внутренних задач электродинамики. М.: Наука, 1967.

48. Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн.-М.: Наука, 1989.

49. Сазонов Д.М. Антенны и устройства СВЧ. М.: Высшая школа, 1988.

50. Литвин О.Н., Рвачев В.Л., Ярмолюк В.К. О решении одного класса краевых задач со смешанными граничными условиями для областей сложной формы. Дифференциальные уравнения, 1968, т.4, №11, с.2089-2093.

51. Кравченко В.Ф., Рвачев ВJL, Торчинов ВВ. Метод R-функций в краевых задачах электродинамики с произвольными граничными условиями. -Электромагнитные волны и электронные системы, 1999, т.4, №5, с.7-20.

52. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы, спектральная теория. -М.: Мир, 1966.

53. Справочник по антенной технике. Т.1. Под ред. Я.Н. Фельда и

54. Е.Г. Зелкина.-М.: ИПРЖР, 1997.%

55. Ильинский А.С., Слепян Г.Я. Колебания и волны в электродинамических системах с потерями. М.: Изд-во МГУ, 1983.

56. Ерофеенко В.Т., Кравченко В.Ф. Об импедансных граничных условиях, учитывающих кривизну поверхности Радиотехника и электроника, 2000, т. 45, №11, с. 1300-1306.

57. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1965.

58. Jeng, G. and Wexler, A. Self-Adjoint Variational Formulation of Problems Having Non-Self-Adjoint Operators IEEE Trans, on Microwave Theory and Techniques, 1978, vol. MTT-26, no. 2, pp. 91-94.

59. Chen, Ch.H. and Lien, Ch.-D. The Variational Principle for Non-Self-Adjoint Electromagnetic Problems IEEE Trans, on Microwave Theory and Techniques, 1980, vol. MTT-28, no. 8, pp. 878-886.

60. Кравченко В.Ф., Полевой В.И., Рвачев В.Л. Применение R-функций для решения краевых задач электродинамики. Тез. докл. Междунар. симпозиума по дифракции и распространению волн. Тбилиси, сент. 1970.-М.: Наука, 1971, с.9-15.

61. Кравченко В.Ф., Манько Г.П., Рвачев В.Л., Ивахов В.В. Определение оптимальных параметров волноводов сложной формы. Метролог, вопросы радиофизики Л.: ВНИИ метрологии, 1974, вып. 158, с.55-70.

62. Кравченко В.Ф., Нефедов Е.И. Магнитные волны в волноводах одно-связного поперечного сечения сложной формы- ДАН СССР, 1981, т.256, №2, с.1097-1100.

63. Кравченко В.Ф., Кравченко ВВ., Рвачев ВЛ., ШейкоТИ, Манько ГЦ Расчет методом R-функций электродинамических характеристик волноводов сложной формы. Измерит, техника, 1993, № 1, с. 26-29.

64. Веретельник В.В., Кравченко В.Ф., Рвачев В.Л. Применение R-функций к расчету желобкового волновода. Измерит, техника, 1993, №2, с.59-61.

65. Кравченко В.Ф., Рвачев В.Ф., Талдыкин И.В. Об одном методе решения краевых задач электродинамики для областей сложной формы с различным импедансом. Докл. РАН, 1993, т.302, № 1, с. 72-74.

66. Веретельник В.В., Кравченко В.Ф., Рвачев В.Л. Расчет электродинамических характеристик биконического резонатора методом R-функций. Докл. РАН, 1993, т.329, №1, с.33-35.

67. Фаддеев Д.К., ФаддеваВ.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. -М.: Физматгиз, 1963.

68. Икрамов Х.Д. Численное решение матричных уравнений. М.: Наука, 1984.

69. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. М.: Мир, 1999.

70. Хейли С.Б. Обобщенная проблема собственных значений: вычисление полюсов и нулей. ТИИЭР, 1988, т.76, №2, с.7-29.

71. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. -М.: Мир, 1969.-26076. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969.

72. Басараб М.А. Полуаналитические структуры Фурье-Канторовича и Фурье-Канторовича-Рвачева для решения краевых задач в областях сложной формы Электромагнитные волны и электронные системы 2004, т. 9, №3-4, с. 19-30.

73. Басараб М.А., Кравченко В.Ф. Полуаналитические координатные последовательности для решения краевых задач Дирихле в областях сложной формы. Доклады РАН, 2004, т.398, №2, с. 172-176.

74. Басараб М.А. Гибридные структуры решений краевых задач электродинамики на основе обобщенной интерполяционной формулы Лагранжа, Радиотехника, 2004, № 9, с.60-65.

75. Смирнов В.И. Курс высшей математики, т. IV. М.: Гостехиздат, 1957.

76. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. -М:Мир, 1977.

77. Bulley, R.M. and Davies, J.B. Computation of Approximate Polynomial Solutions to ТЕ Modes in an Arbitrarily Shaped Waveguide. IEEE Trans, on Microwave Theory and Techniques, 1969, vol. MTT-17, no. 8, pp. 440-446.

78. Бахвалов H.C. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения). М.: Наука, 1973.

79. Веретельник В.В., Курпа Л.В., Манько Г.П. Применение метода R-функций к решению задач на собственные значения. В кн. Математические методы анализа динамических систем. Харьков: Харьк. авиац. инст., 1983. Вып. 7, с. 60-64.

80. Терешин Д.А. Численно-аналитический метод решения задачи Дирихле в областях, содержащих входящие углы. Моделирование процессов обработки информации и управления. Междувед. сб. М.: Моск. физ,-техн. инст., 1992. С. 79-87.

81. БасарабМА., Кравченко В.Ф. Новый численно-аналитический метод решения краевых задач в областях с входящими углами.-Элеюромагнитные волны и электронные системы, 2003, т.8, №11-12, с.63-69.

82. Falconer, К. Techniques in Fractal Geometry New York: John Wiley & Sons, 1997.

83. Фрадин А.З. Антенны сверхвысоких частот. -М: Советское радио, 1957.

84. Вендик О.Г., Парнес М.Д. Антенны с электрическим сканированием (Введение в теорию). М.: Радиотехника, 2002.

85. Амитей Н., Галиндо В., By Ч. Теория и анализ фазированных антенных решеток. М.: Мир, 1974.

86. Collin, R.E. Antennas and Radiowave Propagation. New York: McGraw1. Hill, 1985.

87. Зелкин Е.Г., Петрова P.A. Линзовые антенны. M.: Сов. радио, 1974.

88. ГоробецН.Н., Шишкова А.В. Характеристики электромагнитного излучения из открытого конца круглого волновода в ближней и промежуточной зонах. Радиотехника и электроника, 2002, т. 47, № 5, с. 579-582.

89. Войтович Н.Н., Каценеленбаум Б.З., Сивов А.Н. Обобщенный метод собственных колебаний в теории дифракции. М.: Наука, 1977.

90. Кравченко В.Ф. Методы определения скорости света, основанные на ^ импедансных измерениях сверхпроводников. Радиотехника

91. Электромагнитные волны, №3). 1995. № 10. С. 108-117.

92. Кравченко В.Ф., Басараб М.А. Функции В.Л. Рвачева в обобщенном методе собственных колебаний. Успехи современной радиоэлектроники, 2003, № 8, с.77-80.

93. Веретельник В.В. О реализации метода R-функций в задачах дифракции. Препринт 284. Харьков: ИПМаш АН УССР, 1988.

94. Веретельник В.В. Приближенное решение задач дифракции волн методом R-функций. В кн. Математические модели, методы и системы об* работки информации и принятия решений. Харьков: Харьк. авиац.инст., 1988, с. 33-35.

95. Kriegsman, G. and Morawetz, C.S. Numerical Solution of Exterior Problems with the Reduced Wave Equation. J.Comput.Phys., 1978, vol.28, pp.181-197.

96. Алексидзе М.А. Решение граничных задач методом разложения по неортогональным функциям. -М.: Наука, 1978.-262101. Алексидзе М.А. Фундаментальные функции в приближенных решениях граничных задач. М.: Наука, 1991.

97. Васильев Е.Н. Возбуждение тел вращения. М.: Радио и связь, 1987.

98. Кюркчан А.Г., Минаев С.А. Решение задач дифракции волн с использованием техники вейвлетов. Радиотехника и электроника, 2003, т.48, №5, с.552-557.

99. Кюркчан А.Г., Анютин А.П. Метод продолженных граничных условий и вейвлеты. Докл. РАН, 2002, т.385, №3, с.309-313.

100. Кравченко В.Ф., Рвачев B.JI. Применение метода R-функций для решения скалярной задачи теории дифракции. Радиотехника, 1970, вып. 13. Харьков: Изд. ХГУ им. A.M. Горького. С. 163-167.

101. Кравченко В.Ф., Поляков В.Ф., Рвачев В.JI. К решению задачи дифракции плоской волны на системе лент методом R-функций. Радиотехника, 1970, вып. 13. Харьков: Изд. ХГУ им. A.M. Горького. С. 168-176.

102. Кравченко В.Ф., Полевой В.И., Рвачев В.JI. Решение задачи дифракции на усеченном цилиндре с использованием аппарата R-функций. Радиотехника, 1971, вып. 17. Харьков: Изд. ХГУ им. A.M. Горького. С. 89-96.

103. Kravchenko V.F., Polevoy V.I., and Rvachyov V.L. Application of the R-function Theory for the Solution of Boundary-Value Problems in Electrodynamics. Труды международного симпозиума по дифракции и распространению волн.-М: Наука, 1971. С. 9-15.

104. Кравченко В.Ф., Полевой В.И., Поляков В.Ф., Рвачев В.JI. К теории дифракции и рассеяния электромагнитных волн на ограниченных телах сложной формы. В кн. Проблемы дифракции и распространения волн, 1973, вып. 12. Л.: Изд. ЛГУ. С. 29-34.

105. Кравченко В.Ф., Рвачев В.Л., Шейко Т.И. Метод построения новых структур решения внешних задач электродинамики для областей сложной формы. ДАН СССР, 1990, т. 311, № 1, с.67-71.

106. Ильинский А.С., Смирнов Ю.Г. Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких экранах. М.: ИПРЖР, 1996.

107. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.: Мир, 1987.

108. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. М.: Янус, 1995.

109. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики. М.: Изд. МГУ, 1987.

110. Миттра Р., Гао В., Рахмат-Самий Я. Применение интегральных преобразований в теории рассеяния электромагнитных волн. ТИИЭР, 1979, т.67, №11, с.20-39.

111. Потехин А.И. Некоторые задачи дифракции электромагнитных волн. -М.: Сов. радио, 1948.

112. Хургин Я.И., Яковлев В.П. Методы теории целых функций радиофизике, теории связи и оптике. М.: Физматгиз, 1962.

113. Хургин Я.И., Яковлев В.П. Финитные функции в физике им технике. -М.: Наука, 1971.

114. Хургин Я.И., Яковлев В.П. Прогресс в Советском Союзе в области теории финитных функций и ее применений в физике и технике. -ТИИЭР, 1977, т.65, №7, с. 16-45.

115. Котельников В.А. О пропускной способности "эфира" и проволоки в электросвязи. Всесоюзный энергетический комитет. Материалы к Всесоюзному съезду по вопросам реконструкции связи и развития слаботочной промышленности, 1933.

116. Джерри А. Дж. Теорема отсчетов Шеннона, ее различные обобщения и приложения. Обзор. ТИИЭР, 1977, т.65, №11, с.53-89.

117. Кравченко В.Ф., Рвачев В.А. Применение атомарных функций в задачах интерполяции. Электромагнитные волны и электронные системы, 1998, т.3,№3, с. 16-26.

118. Зелкин Е.Г., Кравченко В.Ф. Аппроксимация диаграммы направленности атомарными функциями. Антенны, 1999, т.2 (43), с.47-49.

119. Зелкин Е.Г., Кравченко В.Ф., Басараб М.А. Интерполяция сигналов с финитным спектром с помощью преобразований Фурье атомарныхфункций и ее применение в задачах синтеза антенн. Радиотехника и электроника, 2002, т.47, №4, с.461-468.

120. Кравченко В.Ф., Басараб М.А. Применение атомарных функций для восстановления сигналов с финитным спектром. Доклады РАН, 2002, т.385, №1, с.36-40.

121. Басараб М.А., Зелкин е.Г., Кравченко В.Ф., Яковлев В.П. Аппроксимация финитными функциями и теорема Уиттекера-Котельникова-Шеннона в цифровой обработке сигналов. Успехи современной радиоэлектроники, 2003, № 9, с. 3-36.

122. Литвин О.М., Рвачов В.Л. Класична формула Тейлора, ii узагальнен-ня та застосування. — Киев: Наукова думка, 1973.

123. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1996.

124. Зелкин Е.Г. Построение излучающей системы по заданной диаграмме направленности. -М.-Л.: Госэнергоиздат, 1963.

125. Андрейчук М.И., Войтович Н.Н., Савенко П.А. Синтез антенн по амплитудной диаграмме направленности. Численные методы и алгоритмы. Киев: Наукова думка, 1993.

126. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами.-М.: Наука, 1977.

127. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. М.: Наука, 1965.

128. Басараб М.А., Кравченко В.Ф. Конструктивные методы аппроксимации целых функций экспоненциального типа с использованием атомарных функций. Электромагнитные волны и электронные системы, 2002, т.7, №8, с.4-13.

129. Минкович Б.М., Яковлев В.П. Теория синтеза антенн. М.: Сов. радио, 1969.135.3елкин е.Г., Соколов В.Г. Методы синтеза антенн. -М: Сов.радио, 1980.

130. Морозов В.А., Гребенников А.И. Методы решения некорректно поставленных задач. Алгоритмический аспект. М.: Изд. МГУ, 1992.

131. Басараб М.А., Кравченко В.Ф., Пустовойт В.И. Атомарные функции и прямые методы решения интегрального уравнения Фредгольма 1-города в задаче синтеза линейных антенн. Доклады РАН, 2000, т.374, №3, с.324-329.

132. Басараб М.А. Синтез антенн с безлепестковыми диаграммами направленности на основе атомарных функций. Антенны, 2002, вып. 5(60), с.4-8.

133. Басараб М.А., Матвеев В.А. Рекуррентные алгоритмы построения новых классов дифференцирующих и плосковершинных фильтров,-Электромагнитные волны и электронные системы, 2004,т.9,№8,с.39-49.

134. Werner, D.H., Haupt., R.L., and Werner, P.L. Fractal Antenna Engineering: The Theory and Design of Fractal Antenna Arrays. IEEE Antennas and Propagation Magazine. 1999. V.41. №5. P.37-58.

135. Kmvchenko,VP. and Basarab, MA, Atomic Functions and the Construction of New Types of Self-Similar Antenna Arrays. Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники, 2001, №8, с.69-72.

136. Кравченко В.Ф., Басараб М.А. Новый класс самоподобных антенных решеток. Докл. РАН, 2002, т.383, №3, с.337-342.

137. Stutzman, W.L. and Thiele, G.A. Antenna Theory and Design. New York: Wiley, 1981.

138. Peitgen, H.O., Jurgens, H., and Saupe, D. Chaos and Fractals: New Frontiers of Science. New York: Springer Verlag, 1992.

139. El-Khamy, S.E. and Elkashlan, M.I. Combined Double-Scaled Fractal Arrays. Proc. of the URSI Int. Symp. on Electromagnetic Theory. May 1317, 2001. Victoria, Canada, pp. 16-18.

140. Бахрах JI.Д., Кременецкий С.Д. Синтез излучающих систем (теория и методы расчета). М.: Сов. радио, 1974.

141. Лейхтвейс К. Выпуклые множества. -М.: Наука, 1985.

142. Басараб М.А., Кравченко В.Ф. R-функции и соотношение неопределенности для пространственных сигналов с финитным носителем-Электромагнитные волны и электронные системы, 2003, т. 8,№ 1,с. 16-25.

143. Папулис А. Теория систем и преобразований в оптике М.: Мир, 1971.

144. Винер Н., Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной плоскости-М.: Наука, 1964.

145. Slepian, D. and Pollak, Н.О. Prolate Spheroidal Wave Functions, Fourier Analysis and Uncertainty, I.-Bell Syst. Tech. J., 1961,vol.40,no.l,pp.43-64.

146. Landau, H.J. and Pollak, H.O. Prolate Spheroidal Wave Functions, Fourier Analysis and Uncertainty, II Bell Syst. Tech. J., 1961,vol.40,no.l,pp.65-84.

147. Красичков И.Ф. Системы функций со свойством двойной ортогональности- Мат. заметки, 1968, вып. 4, № 5.

148. Крейн М.Г., Нудельман П.Я. О некоторых новых задачах для функций класса Харди и континуальных семействах функций с двойной ортогональностью.- Докл. АН СССР, 1973, т.209, №3, с.537-540.

149. Функции с двойной ортогональностью в радиоэлектронике и оптике. США, 1961-1968 гг. Пер. с англ. под ред. М.К. Разманихина и В.П. Яковлева. М.: Сов. радио, 1971.

150. Комаров И.В., Пономарев JI.И., Славянов С.Ю. Сфероидальные и ку-лоновские сфероидальные функции. М.: Наука, 1976.

151. Фламмер К. Таблицы волновых сфероидальных функций. М.: ВЦ АН СССР, 1962.

152. Slepian, D. Prolate Spheroidal Wave Functions. Fourier Analysis and Uncertainty IV. Extension to Many Dimensions Bell Syst. Tech. J., 1964, vol. 43, no. 6, pp. 3009-3057.

153. Виленчик JI.C., Катулев A.H., Малевинский М.Ф. Метод вычисления вытянутых волновых сфероидальных функций на основе ряда Котельникова. Электромагнитные волны и электронные системы, 1997, т.2, №4, с.5-9.