Развитие и применение метода последовательной частотно-динамической конденсации к решению задач устойчивости сложных систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.23.17, кандидат технических наук Катеринин, Константин Викторович

• Катеринин, Константин Викторович
• кандидат технических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат технических наук Катеринин, Константин Викторович

Введение

1. Современное состояние проблемы устойчивости сложных сооруже- 9 ний и конструкций и задачи исследования

1.1. Краткий обзор методов решения задач устойчивости сложных со- 9 оружений и конструкций

1.2. Обзор методов решения алгебраической проблемы собственных 13 значений и анализ возможности их использования при решении задач общей устойчивости сложных сооружений и конструкций

1.3. Выводы по главе

2. Решение задачи общей устойчивости сложных систем, представ- 23 ленных дискретной расчетной схемой в форме МКЭ

2.1. Введение

2.2. Методика решения задачи общей устойчивости сложных систем, 23 основанная на методе последовательной частотно-динамической конденсации с использованием собственных значений и собственных векторов парциальных систем

2.3. Решение задачи общей устойчивости сложных систем на основе 47 классических редукционных методов с повышением их эффективности путем применения блочного подхода

2.3.1. Методика, основанная на методе последовательной статической 48 конденсации

2.3.2. Методика, основанная на методе последовательной динамиче- 57 ской конденсации

2.3.3. Методика, основанная на методе последовательной частотнодинамическои конденсации 2.4. Выводы по главе

3. Решение задачи общей устойчивости сложных систем в форме МКЭ 69 на основе энергетического варианта метода последовательной частотно-динамической конденсации

3.1. Введение

3.2. Методика решения задачи общей устойчивости сложных систем, 69 основанная на энергетическом варианте метода последовательной частотно-динамической конденсации

3.3. Выводы по главе

4. Решение задачи общей устойчивости сложных систем в форме МКЭ 86 при представлении уравнения устойчивости в виде стандартной проблемы собственных значений

4.1. Введение

4.2. Методика решения задачи общей устойчивости сложных систем, 87 основанная на методе последовательной частотно-динамической конденсации с использованием базовых парциальных значений

4.3. Методика решения задачи общей устойчивости сложных систем, 91 основанная на методе последовательной частотно-динамической конденсации с использованием собственных значений и собственных векторов парциальных систем

4.4. Выводы по главе

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Развитие и применение метода последовательной частотно-динамической конденсации к решению задач устойчивости сложных систем»

Инженерная практика, связанная с проектированием строительных сооружений, конструкций авиа- и судостроения, ставит перед исследователями все более сложные задачи строительной механики, охватывая деформируемые системы сложной формы и строения. Требование рациональности проектирования таких сооружений и конструкций обусловливает необходимость выполнения расчета их как на прочность, так и на устойчивость, и в ряде случаев именно расчет на устойчивость является определяющим при оценке величины несущей способности.

Наиболее простой среди задач устойчивости, и поэтому широко используемой при практических расчетах является задача расчета конструкций и их элементов на потерю устойчивости первого рода на основе линейной теории (потеря устойчивости по Эйлеру). Несмотря на то, что линейная теория применительно к расчету сложных сооружений приводит только к качественным результатам анализа устойчивости, знание нескольких младших критических значений параметра внешней нагрузки и соответствующих им форм потери устойчивости позволяет решать некоторые вопросы оптимального проектирования сложных конструкций, такие как вопросы о количестве и местах постановки дополнительных связей с целью повышения несущей способности. Кроме того, линейная теория является основой для построения нелинейной теории устойчивости и решения задач продольно-поперечного изгиба, что представляет большой практический интерес.

Таким образом, исследование различных сооружений и конструкций на устойчивость первого рода является весьма важной задачей строительной механики, имеющей как самостоятельную теоретическую и практическую значимость, так и служащей основой для решения более сложных задач устойчивости. Однако существующие методы ее решения не всегда удовлетворяют растущим запросам практики, в частности тем из них, которые связаны с рассмотрением сложных сооружений и конструкций, и в особенности - с изучением влияния вариаций каких-либо параметров на соответствующие изменения их спектральных свойств. В последнем случае необходимость выполнения серий расчетов с постепенным изменением варьируемых параметров накладывает особенно строгие ограничения на допустимые величины затрат машинного времени.

Большой интерес при исследовании сложных сооружений и конструкций на общую устойчивость представляет использование дискретных расчетных моделей, в частности МКЭ, позволяющих просто и с высокой степенью детализации учитывать нерегулярности в геометрии конструкции и характере нагрузки. Однако необходимость решения связанной с этим классом задач алгебраической проблемы собственных значений высокого порядка сильно снижает эффективность применения дискретного подхода.

В связи с вышесказанным разработка методик и алгоритмов эффективного и экономичного решения задач общей устойчивости сложных систем, представленных дискретной расчетной схемой, является актуальной задачей.

Целью данной работы является:

- дальнейшее развитие предложенных проф. В.А. Игнатьевым вариантов метода последовательной частотно-динамической конденсации (ЧДК);

- разработка на их основе методик и алгоритмов эффективного решения задачи общей устойчивости сложных систем, представленных дискретной расчетной схемой с большим числом степеней свободы;

- создание программ, реализующих эти алгоритмы и предназначенных для определения с высокой точностью низшей части спектра критических нагрузок и соответствующих форм потери устойчивости систем с большим числом степеней свободы, с ориентацией на их использование на современных персональных ЭВМ класса Реп1:шт-П-Ш, наиболее распространенных в настоящее время в научных и проектных организациях;

- апробация и оценка эффективности разработанных алгоритмов на примерах расчётов различных классов конструкций.

Научная новизна работы:

- разработаны методики и алгоритмы эффективного решения задачи общей устойчивости сложных систем на основе вариантов метода последовательной ЧДК В.А. Игнатьева: последовательной ЧДК с использованием собственных значений и собственных векторов парциальных систем, энергетического варианта метода последовательной ЧДК, последовательной ЧДК с использованием базовых значений парциальных систем.

- разработаны методики и алгоритмы эффективного решения задачи общей устойчивости сложных систем на основе методов статической конденсации, динамической конденсации и метода частотно-динамической конденсации при использовании предложенного В.А. Игнатьевым алгоритма последовательной блочной конденсации второстепенных неизвестных, существенно повышающего эффективность этих методов;

- разработан комплекс программ для ПЭВМ в среде математических процессоров Майюас! и МАТЪАВ, реализующий все указанные алгоритмы и использованный для расчета содержащихся в диссертации тестовых задач.

Достоверность результатов работы обеспечивается использованием общепринятых гипотез и допущений, апробированных расчетных схем и подтверждается сравнением результатов расчетов по предлагаемым методикам с результатами расчетов по тем же расчетным схемам по МКЭ. Правильность используемых расчетных схем проверена в свою очередь сопоставлением результатов с имеющимися точными аналитическими решениями и справочными данными.

Практическая ценность работы состоит в том, что разработанные в диссертации методики и алгоритмы, а также реализующие их программы могут быть рекомендованы к применению в практике проектирования при выполнении расчетов сложных сооружений и конструкций на общую устойчивость.

Внедрение результатов. Теоретические результаты диссертационной работы включены в рабочую программу по курсу строительной механики в раздел "Устойчивость сооружений" (спец. курс). Разработанные программы используются на кафедре строительной механики и САПР ВолгГАСА.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на ежегодных научных конференциях профессорско-преподавательского состава Волгоградской государственной архитектурно-строительной академии 1998-1999 г.г. и на юбилейной научно-технической конференции ВолгГАСА (Волгоград, май 2000). В целом диссертационная работа была доложена на научном семинаре кафедры строительной механики и САПР ВолгГАСА (Волгоград, июнь 2000).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы отражены в пяти публикациях.

Объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав и основных выводов. Основное содержание изложено на 108 страницах машинописного текста. Список литературы состоит из 118 наименований.

Заключение диссертации по теме «Строительная механика», Катеринин, Константин Викторович

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1. Существующие на сегодняшний день методы решения задачи общей устойчивости сложных сооружений и конструкций оказываются недостаточно эффективными из-за большого объема сопутствующих вычислений либо невысокой точности получаемых результатов.

2. В диссертации на основе метода последовательной частотно-динамической конденсации В.А. Игнатьева разработаны методики и алгоритмы, позволяющие эффективно решать задачи общей устойчивости сложных систем путем представления их дискретной расчетной схемой и последующего понижения порядка матричного уравнения.

3. К основным достоинствам метода последовательной частотно-динамической конденсации В.А. Игнатьева, являющегося основой предлагаемых методик и алгоритмов, можно отнести следующие: а) решение неполной проблемы СЗ и СВ для матриц высоких порядков заменяется решением проблемы СЗ и СВ для нескольких матриц меньшего порядка, что приводит к существенному снижению объема вычислений и требований к мощности используемой ЭВМ; б) использование парциальных СЗ и СВ при конденсации каждого блока неизвестных позволяет точнее аппроксимировать энергетические свойства этих подсистем в конкретном диапазоне и в итоге получать более точные результаты для всей системы.

4. Выполненные с использованием разработанных в диссертации методик и алгоритмов расчеты тестовых задач продемонстрировали высокую точность определения низшей части спектра критических нагрузок и соответствующих форм потери устойчивости, а также показали существенное снижение компьютерной ресурсоемкости, что позволяет сделать вывод об эффективности предлагаемых алгоритмов и целесообразности их использования при расчетах сложных систем на общую устойчивость.

97

5. Разработанные в диссертации методики и алгоритмы, а также реализующие их программы могут быть рекомендованы к применению в практике проектирования при выполнении расчетов сложных сооружений и конструкций на общую устойчивость.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Катеринин, Константин Викторович, 2000 год

1. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П., Савченков В.И. Численные методы в теории упругости и теории оболочек. Красноярск: Изд-во Красноярск. ун-та, 1986. - 383 с.

2. Аргирос Дж. Энергетические теоремы и расчет конструкций // Современные методы расчета статически неопределимых систем: Сб. ст./ Пер. с англ. -Л., 1961.-С. 37-256.

3. Абрамович В.И. Эффективный способ хранения глобальных матриц жёсткости, построенных на регулярных сетках узлов // Проблемы прочности. 1983.- №6. С.59-62.

4. Александров A.B., Лащеников Б.Я., Шапошников H.H., Смирнов В.А. Методы расчета стержневых систем, пластин и оболочек с использованием ЭВМ, ч. I / Под ред. А.Ф. Смирнова, М.: Стройиздат, 1976, - 248 с.

5. Александров A.B., Лащеников Б.Я., Шапошников H.H. Строительная механика. Тонкостенные пространственные системы. М.: Стройиздат, 1983. -488 с.

6. Аргирис Дж. Современные методы расчёта сложных статически неопределимых систем. Л.: Судпромгиз, 1961. - 190 с.

7. Айронс Б.М. Задачи о собственных значениях матриц конструкций: исключение лишних переменных // Ракетная техника и космонавтика, Т.З, №3, 1965.-С. 207.

8. Anna, Смит, Хьюз. Рациональное изменение масштаба в задачах о собственных значениях // Ракетная техника и космонавтика, Т. 10, №7, 1972. -С.133-134.

9. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П. Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987.- 598 с.

10. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов: Пер. с англ. М.: Стройиздат, 1982. - 466 с.

11. Бате К., Вилеон Е. Методы решения задач на собственные значения в строительной механике: Пер. с англ. Л., 1983. - 38 с.

12. Безухов Н.И., Лужин О.В., Колкунов Н.В. Устойчивость и динамика сооружений в примерах и задачах. М.: Стройиздат, 1969. 424 с.

13. Бенфилд В.А., Руда Р.Ф. Исследование колебаний конструкций, основанный на рассмотрении форм колебаний отдельных элементов // Ракетная техника и космонавтика, Т.9, №7, 1971. С. 52-63.

14. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Наука, 1966. Т.1. -632 с.

15. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Наука, 1966. Т.2. -640 с.

16. Блохина И.В. Сравнение эффективности различных вариантов метода динамической конденсации при определении частот собственных колебаний сложных стержневых систем / Волгоградский инж.-строит.ин-т Волгоград, 1987.- 25 е.- Деп. в ВИНИТИ 3.02.87, №1134.

17. Блохина И.В. Развитие суперэлементной методики статического и динамического расчёта тонкостенных коробчатых систем. Дис. . канд. техн. наук / Волгоград, 1989. 227 с.

18. Болотин В.В. Статистические методы в строительной механике. М.: Стройиздат, 1965.-284 с.

19. Борисов В.П., Шакирзянов P.A. Об одном алгоритме решения неполной собственной проблемы при расчёте на колебания сложных конструкций типа фюзеляж // Известия вузов. Авиационная техника. 1982. - Т.4 - С. 24-28.

20. Бурман З.И., Артюхин Г.А., Зархин Б.Я. Программное обеспечение матричных алгоритмов и метода конечных элементов в инженерных расчётах. М.: Машиностроение, 1988. - 254 с.

21. ВарвакП.М., Бузин И.М., Городецкий A.C. Метод конечных элементов. -Киев: Вища школа, 1981. 176 с.

22. Варвак П.М., Варвак Л.П. Метод сеток в задачах расчета строительных конструкций. М.: Стройиздат, 1977. - 154 с.

23. Вольмир A.C. Статика и динамика сложных структур. М.: Машиностроение, 1989. - 248 с.

24. Вольмир A.C. Устойчивость упругих систем. М.: Физматгиз, 1963. - 880 с.

25. Волынский М.И. Алгоритм итерационного поиска собственных значений в задачах устойчивости упругих систем // Строительная механика и расчет сооружений, №3, 1988. С. 44-48.

26. Воронёнок Е.А., Сочинский C.B. Интерполяционное редуцирование матриц жёсткости при решении задач строительной механики методом суперэлементов // Прикладная механика, Т. 17, №6, 1981. С. 114 - 118.

27. Гайан Р.Дж. Приведение матриц жёсткости и масс // Ракетная техника и космонавтика. Т.З, №2, 1965. С.287.

28. Галлагер Р., Падлог Д. Исследование устойчивости конструкций на основе анализа дискретных элементов // Ракетная техника и космонавтика. №6, 1963. С. 194-196.

29. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. Пер. с англ. М.: Мир, 1984.-428 с.

30. Геммерлинг A.B. Различные формы потери устойчивости рам // Строительная механика и расчет сооружений, №6, 1978. С. 31-36.

31. Геммерлинг A.B. Устойчивость сложных стержневых систем // Строительная механика и расчет сооружений, №4, 1979. С. 58-64.

32. Головин O.A., Троицкая O.A. Конденсация в задачах на собственные значения с использованием изопараметрических элементов /

33. Ленингр. политех, ин-т. Л., 1966. 12 с. Деп. в ВИНИТИ № 6509 - В86.

34. Гриненко Н.И., Мокеев В.В. О задачах исследования колебаний конструкций методом конечных элементов // Прикладная механика. 1985. Т.21, №3. - С.12-15.

35. Гриненко Н.И., Мокеев В.В. О повышении эффективности метода конечных элементов в задачах проектирования динамических систем // Расчёт и управление надёжностью больших механических систем. Свердловск -Ташкент, 1988. С.20-25.

36. Дашевский Е.М., Денисов Л.Д. Расчёт собственных колебаний и устойчивости при конечноэлементной дискретизации конструкции // Исследование динамики строительных промышленных зданий. Л.: Иад-во Ленпромст-ройизданий, 1983. - С.31-41.

37. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1960. - 659 с.

38. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. -М.: Наука, 1967. 368 с.

39. Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. Mathcad7 в математике, физике и в Internet. М.: Изд-во Нолидж, 1999. 345 с.

40. Еременко С.Ю. Методы конечных элементов в механике деформируемых тел. Харьков: Изд-во Харьковск. ун-та, 1991.- 272 с.

41. Залунин К.П. Деформационный расчет сжатых стержней переменного сечения и составных стержней. Ростовский инж.-строит. ин-т.: Ростов-на-Дону, 1958. - 50 с.

42. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. - 541 с.

43. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимации. М.: Мир, 1986.-318 с.

44. Ивантеев В.И., Чубань В.Д. Расчет форм и частот свободных колебаний конструкций методом многоуровневой динамической конденсации // Ученые записки ЦАГИ. 1984. Т. 15, №4. - С.81-92.

45. Игнатьев В. А. Методы супер дискретизации в расчетах сложных стержневых систем. Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1981. - 108 с.

46. Игнатьев В.А., Игнатьева О.М. Устойчивость сооружений (приближенные методы). Волгоград: Изд-во ВолгПИ, 1986. - 114 с.

47. Игнатьев В.А. Расчет стержневых пластинок и оболочек. Метод дискретных конечных элементов. Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1988. - 160 с.

48. Игнатьев В.А., Макаров A.B. Решение неполной алгебраической проблемы собственных значений по методу последовательной частотно-динамической конденсации / Волгоградский инж.-сроит. ин-т. Волгоград,1991. 25 с. Деп. в ВИНИТИ 18.02.91., №803-В91.

49. Игнатьев В.А. Редукционные методы расчета в статике и динамике пластинчатых систем. Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1992. - 145 с.

50. Игнатьев В.А., Соколов О.Л., АльтенбахИ., КиссингВ. Расчет тонкостенных пространственных конструкций пластинчатой и пластинчато-стержневой структуры. М.: Стройиздат, 1996. - 560 с.

51. Караманский Т.Д. Численные методы строительной механики. М.: Стройиздат, 1981.-430 с.

52. Катеринин K.B. Решение задач устойчивости сложных систем с помощью вариантов метода последовательной частотно-динамической конденсации -Инф. листок ЦНТИ № 51-215-00. Волгоград, 2000.

53. Киселев В.А. Строительная механика. Специальный курс. -М.: Стройиздат, 1980.-616 с.

54. Колкунов Н.В. Основы расчета упругих оболочек. М.: Высшая школа, 1972.-296 с.

55. Коллатц Л. Задачи на собственные значения. М.: Наука, 1968. - 504 с.

56. Костенецкий В.И. Приближенное определение перемещений шарнирно-стержневых систем со сжато-изогнутыми элементами // Строительная механика и расчет сооружений, №2, 1981. С. 51-53.

57. Крюков В.Н. Устойчивость стержней переменного сечения при действии системы сосредоточенных продольных сил // Строительная механика и расчет сооружений, №1,1986. С. 71-74.

58. Лейтес С.Д. Спектральная функция в задачах устойчивости упругих стержневых систем // Строительная механика и расчет сооружений, №5, 1971. — С.28-32.

59. ЛивслиР. Матричные методы строительной механики. М.: Стройиздат, 1980.-284 с.

60. Ляхович Л.С. Метод отделения критических сил и собственных частот упругих систем. Изд-во Томского ун-та: Томск, 1970. - 108 с.

61. Макаров А. В. Применение метода частотно-динамической конденсации для решения задач динамики в форме метода перемещений // Актуальные проблемы прикладной математики. Саратов.: Изд-во Саратовского ун-та, 1991. - С.208-213.

62. Макаров A.B., Макарова И.Г. Решение неполной алгебраической проблемы собственных значений, записанной в форме метода перемещений / Волгоградский инж.-сроит. ин-т. Волгоград, 1992. - 19 с. Деп. в ВИНИТИ 04.03.92., №707-В92.

63. Макаров A.B. Применение и развитие метода частотно-динамической конденсации для решения задачи о свободных колебаниях систем с большим числом степеней свободы: Дис. . канд. техн. наук / Волгоград, 1993. -142 с.

64. Манч X. Фишер У., Цен М. Применение метода конечных элементов к исследованию динамических проблем механики твёрдого тела // Успехи механики. Т.З, №2, 1980. С.113-139.

65. Мануйлов Г.А., Маслов Д.П., Смирнов М.Н., Осокин В.М. О вычислении частот и форм собственных колебаний строительных конструкций // труды Моск. ин-та инж. ж.-д. транс., №625, 1979. С. 136-144.

66. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977. -454 с.

67. Масленников A.M. Расчет строительных конструкций численными методами. Л.: Изд-во ЛГУ, 1987. - 224 с.

68. Матевосян P.P. Устойчивость сложных стержневых систем (качественная теория). -М.: Госстройиздат, 1961. 184 с.

69. Метод суперэлементов в расчётах инженерных сооружений / Под ред. В.А. Постнова. Л.: Судостроение, 1979. - 288 с.

70. Метод конечных элементов в механике твёрдых тел./ Под общ. ред. A.C. Сахарова и И.Г. Альтенбаха. Киев: Вища шк., 1982. - 480 с.

71. Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках бейсик, фортран и паскаль. Томск : МП Раско, 1992. - 270 с.

72. Немчинов Ю.И. Метод конечных элементов в механике тонкостенных пространственных и стержневых конструкций: Автореферат докт. дис. Л.: Ле-нингр. инж.-строит. ин-т., 1983.- 36 с.

73. Немчинов Ю.И., Козырь A.A. Использование конденсации динамических переменных в методе пространственных конечных элементов // Строительная механика и расчёт сооружений. 1985, №1. С. 10-13.

74. Норри Д., Ж. де Фриз. Введение в метод конечных элементов. М.: Мир, 1981.-300 с.

75. Нудельман Я.Л. Методы определения собственных частот и критических сил для стержневых систем. -М.: Гостехиздат, 1949.

76. Палагушкин В.И. Итерационный алгоритм решения проблемы собственных значении для систем с большим числом степеней свободы // Пространственные конструкции в Красноярском крае, Красноярск: Изд-во Красноярского ун-та, 1985. - С.64-68.

77. Парлет Б. Симметрическая проблема собственных значений. Численные методы. М.: Мир, 1983.-382 с.

78. Плетнёв В.И. Расчёт многосекционных зданий методом подструктур // Расчёт строительных конструкций на статические и динамические нагрузки : Межвуз. сб.тр. Л.: Изд-во Ленингр. инж.-строит, ин-та, 1985. - С.18-22.

79. Постнов В.Д., Москалёв Л.И. О применении метода подструктур в задачах колебаний и устойчивости / Прочность судовых конструкций. Л.: Тр. Ленингр. кораблестроит. ин-та, 1979.-С.69-72.

80. Постнов В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчётах судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1974. - 344 с.

81. Постнов В.А. Численные методы расчёта судовых конструкций Л.: Судостроение. 1977. - 280 с.

82. Постнов В.А., Дмитриев СЛ., Елтышев Б.К., Родионов A.A. Метод суперэлементов в расчётах инженерных сооружений. Л.: Судостроение, 1979. -288 с.

83. Потемкин В.Г. Введение в MATLAB. М.: Диалог-МИФИ, 2000. - 247 с.

84. Раевский А.Н. Примеры расчета стержневых систем на устойчивость Изд-во Саратовского ун-та.: Саратов, 1991. - 92 с.

85. Райе Дж. Матричные исследования и математическое обеспечение. М.: Мир, 1984. - 264 с.

86. Ржаницын А.Р. Строительная механика. М.: Высш. шк., 1991. - 440 с.

87. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М.: Наука, 1989. - 432 с.

88. Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности. М.: Высш. шк., 1982.-264 с.

89. Сегердинд JL Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. -392 с.

90. Смирнов А.Ф., Александров A.B., Лащеников Б.Я., Шапошников H.H. Строительная механика. Динамика и устойчивость сооружений. М.: Стройиздат, 1984. -415 с.

91. СниткоН.К. Устойчивость конструкций. Руководство к проектированию. Л., 1973.-92 с.

92. Справочник по теории упругости (для инженеров-строителей). Под ред. П.М. Варвака. Киев, Буд1вельник, 1971.

93. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М., 1977. 349 с.

94. Турский В. Методология программирования: Пер. с англ. М.: Мир, 1981.-264 с.

95. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1970. - 564 с.

96. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: Физматгиз, 1963. - 734 с.

97. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина: пер. с англ. -М.: Мир, 1988.-352 с.

98. Харти Р. Динамический анализ конструкций, основанный на исследовании форм колебаний отдельных элементов // Ракетная техника и космонавтика. Т.З, №4, 1965. С.132-138.

99. Хейгеман Jl., Янг Д. Прикладные итерационные методы. М.: Мир, 1986. - 448 с.

100. Хечумов Р.А., Кепплер X., Прокопьев В.И. Применение метода конечных элементов к расчету конструкций. М.: Изд-во АСВ, 1994. - 353 с.

101. Шапошников Н.Н. Строительная механика транспортных сооружений. -М.: МИИТ, 1983. 80 с.

102. Chowdhury P.S. An alternative to the normal mode method // J. Comput and Struct. /, 1975, v.5, No.5-6, P.315.

103. Crandall S.H. Iterative Procedures Related to Relaxation Methods for eigenvalue problems. Proceedings Royal Society. London. A207. 1951 - P.416.

104. Falk S., Langemeyen P. Das Jacobische Rotationsverfahren fur Reellsymmetrische Matrizenpaare Electronische Datenver-arbeitung. 1960. -s.30-34.

105. Forsythe G.E., Henrici P. The cyclic Jacobi method for computing the principal values of a complex matrix. / Transactions of the Amer. Mathem. Society, v.94, 1960.-P.1-23.

106. Giwens J.W. A Method of Computing eigenvalues and eigenvectors suggested by classical results on Symmetric matrices // National bureau of standards applied mathematics series 29, Government printing office, Washington, D.C., L.953. -P.117-122.

107. Gupta K.K. Vibration of frames and other structures with banded stiffness matrix // Int. J. of numerical methods in engineering, v.2, 1970. P.221-228.

108. Gupta K.K. Solution of eigenvalue problems by the Sturm sequence method // Int. J. of numerical methods in engineering, v.4, 1972. P.379-404.

109. Octega J., Kaiser H. The LLT and QR methods for symmetric tridiagonal matrices / Computer Journal, v.6, 1963. P.99-101.

110. Rutishauser H. Computational Aspects of F.L. Bauer's Simultaneous Iteration Method // Numerische Mathematik. v.13, 1969. P.4-13.