Развитие метода ВПС для сложных геометрий и задач выгорания с использованием метода средних хорд тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Карпушкин, Тимофей Юрьевич

• Карпушкин, Тимофей Юрьевич
• кандидат технических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат технических наук Карпушкин, Тимофей Юрьевич

Содержание

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. МЕТОДИКИ РАСЧЁТА ВЕРОЯТНОСТЕЙ ПЕРВЫХ СТОЛКНОВЕНИЙ В ЯЧЕЙКАХ И КАССЕТАХ РЕАКТОРА

1.1 Уравнение метода ВПС

1.2 Методики расчёта вероятностей первых столкновений нейтронов

1.3 Метод обобщённых вероятностей первых столкновений

ГЛАВА 2. РАСЧЁТ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ПЕРВЫХ СТОЛКНОВЕРИЙ МЕТОДОМ СТОХАСТИЧЕСКИХ ТРАЕКТОРИЙ НЕЙТРОНОВ

2.1 Вероятности первых столкновений

2.2 Построение рабочей геометрической области

2.3 Стандартные фигуры

2.4 Программное представление геометрии

2.5 Объединение в нерегулярную сетку

2.6 Программный модуль построения стохастических траекторий и

расчёта ВПС

2.6.1 Подготовка геометрической сетки

2.6.2 Стохастические траектори

2.6.3 Расчёт матриц вероятностей первых столкновений

2.6.4 Пример расчёта матриц вероятностей первых

столкновений нейтронов в ячейке

ГЛАВА 3. МЕТОДИКА ВОССТАНОВЛЕНИЯ МАТРИЦ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ПЕРВЫХ СТОЛКНОВЕНИЙ НЕЙТРОНОВ С ПОМОЩЬЮ СРЕДНИХ ХОРД ДЛЯ РАСЧЁТА ВЫГОРАНИЯ

3.1 Методика расчёта средних хорд

3.2 Методика восстановления матриц ВПС через средние хорды

3.3 Комбинация средних хорд для наиболее близких реперных

макросечений

3.4 Расчёт ячеек с изменённым материальным составом относительно реперного

ГЛАВА 4. ВЕРИФИКАЦИОННЫЕ РАСЧЁТЫ ЯЧЕЕК И КАССЕТ

4.1 Расчёт бесконечного коэффициенат размножения ячеек

4.1.1 Ячейка LWR

4.1.2 Ячейка реактора ВВЭР-1000

4.2 Расчёт бесконечного коэффициенат размножения TBC ВВЭР-1000

4.3 Расчёт качссеты плавучего энергоблока

4.4 Расчёт коэффициента размножения ячейки в процессе выгорания материалов ячейки

4.5 Расчёт коэффициента размножения сегмента кассеты ВВЭР с поглощающим элементом в процессе выгорания

4.6 Расчёт коэффициента размножения кассеты ВВЭР-1000 в процессе

Q0

выгорания

4.7 Расчёт коэффициента размножения ледокольной кассеты в

процесе выгорания

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Развитие метода ВПС для сложных геометрий и задач выгорания с использованием метода средних хорд»

ВВЕДЕНИЕ

Современные прогностические исследования перспектив развития атомной энергетики предполагают различные варианты, которые можно агрегировано рассматривать как три базовых сценария мирового ядерно-энергетического развития [1].

Низкий сценарий предполагает, что доля атомной энергетики в общем объёме энергопотребления сохранится примерно на современном уровне.

Умеренный сценарий предполагает, что масштаб роста ядерной энергетики будет ориентироваться на замещение различных видов органического топлива в электроэнергетике, и, возможно, наибольшей мотивацией такого решения станут экологические преимущества.

Высокий вариант ориентируется на крупномасштабное развитие ядерной энергетики с высокими темпами во второй половине 21-го столетия. При этом, кроме сферы электроэнергетики, ядерная энергия начнёт использоваться и для неэлектрических целей (производство пресной воды, искусственной моторное топливо, технологические процессы, требующие высокого температурного потенциала.

По всей видимости, до середины века будет преобладать умеренный сценарий с постепенной трансформацией в высокий к концу столетия. Об этом свидетельствуют прогнозы спроса на энергию до конца столетия и возможности различных энергопроизводящих технологий удовлетворить этот спрос. Исследования предсказывают [1], что примерно с настоящего времени возникает неудовлетворённый спрос по энергии, быстрый рост которого уже в течение следующих 40 лет не способны будут удовлетворить суммарно все технологии получения энергии при современном их

состоянии и ценах. Изменить ситуацию может лишь ядерная энергетика при вовлечении в топливный цикл изотопов уран-238 и торий-232, что предусматривает значительное увеличение доли реакторов на быстрых нейтронах в общем парке ядерных реакторов. Крупномасштабное развитие ядерной энергетики предполагает выделение ядерных реакторов различной спецификации, совершенствование уже существующих моделей, внедрение новых материалов и технологий.

Вместе с тем последние события в Японии на АЭС Фукусима-1 независимо от причин возникновения и развития аварий на её энергоблоках приведут к ещё большему ужесточению требований к безопасности существующих и строящихся ядерных энергетических установок во всём мире.

Всё это подводит к выводу, что всё возрастающую роль будет иметь компьютерное моделирование при создании и исследовании всех систем ядерной установки, и в частности нейтронно-физический расчёт, которое позволит с существенно более высокой точностью, по сравнению с современными расчетами предсказывать основанные характеристики реактора, в том числе и такие, которые имеют существенное значение для оценки его безопасности.

Выбор оптимальных схем конструкции, материалов, режимов и параметров при создании наиболее жизнеспособных безопасных и экономичных ядерных энергетических установок предъявляет к результатам нейтронно-физических расчётов высокие требования по точности, и даже с учетом существенного прогресса в области вычислительной техники, постоянным остается проблема получения качественных решений с минимальными затратами времени. Несмотря на развитие компьютерной техники и появившимся возможностям значительного сокращения времени расчётов посредством внедрения технологий распараллеливания проблема прямого совершенствования алгоритмов нейтронно-физического расчёта с точки зрения сокращения временных затрат по прежнему сохраняет свою остроту. Это связано с необходимостью проведения серийных многовариантных итерационных нейтронно-физических расчётов как на уровне ячеек и кассет, так и на уровне полномасштабных реакторов с вовлечением теплогидравлических и прочностных расчётов в этот

итерационный процесс. Развитие вычислительной техники за последние десятиления привело к тому, что стало возможным проводить за приемлемое время полномасштабный нейтронно-физический расчёт реактора методом Монте-Карло[2]. Этот метод позволяет обходиться практически без приближений и считается эталонным, приближающимся по достоверности к эксперименту. Однако время расчёта этим методом составляет десятки и сотни часов процессорного времени [3]. Поэтому актуальность инженерных методов и программ расчёта сохраняется.

Таким образом, повышение точности инженерных нейтронно-физических расчётов ядерных реакторов и повышение быстродействия является важной задачей. В современных программах обычная структура расчёта представляется в виде двух этапов. Расчёт ячейки (или кассеты) реактора с использованием подробных библиотек ядерных данных и детальным описанием геометрии фрагмента. Целью этого этапа расчёта является получение усредненных по пространству ячейки и энергии малогрупповых нейтронно-физических констант с целью последующего их использования в полномасштабном расчёте реактора. На втором этапе выполняется полномасштабный расчёт реактора. Очевидно, что определяющим фактором успешного расчёта является расчёт ячейки и кассеты. Именно на этой стадии в наиболее полной степени учитываются физические особенности изотопов входящих в состав топливной композиции и геометрия ячейки. В современных программах нейтронные сечения изотопов обычно получаются из файлов оцененных ядерных данных типа ЕИБР/В [4], ШШЬ [5], РОСФОНД [6], [7]. Решение задачи переноса нейтронов в ячейке (или кассете реактора) выполняется на основе решения уравнения переноса в интегральной или интегро-дифференциальной формах.

Наиболее распространенный способ решения таких задач - метод вероятностей первых столкновений (далее ВПС). Данный метод использует понятие вероятности первого столкновения нейтрона. При точных значениях таких вероятностей расчёт стационарного состояния, плотностей потоков и коэффициента размножения представляется рутинной задачей. Однако, аналитические способы расчёта таких вероятностей развиты лишь для простых геометрических конфигураций, чаще всего

такими методами рассчитывают вероятности для многослойных плоскостей, сфер, цилиндров. Для более сложных геометрий используются численные методы расчёта. Для успешного вычисления вероятностей такими методами, в их основе должен быть подробный учёт всех геометрических особенностей данной расчётной области, а также распределения материалов в ней. Это особенно важно для кассет с неравномерным распределением поглощающих материалов по периметру.

Другим важным этапом расчёта является моделирование выгорания материалов ячеек и кассет в течение заданного времени работы в реакторе. Особенностью такого расчёта является решение пространственно-энергетической задачи переноса нейтронов на каждом временном шаге. В процессе выгорания изменяются макроскопичекие сечения материалов, и если пространственно-энергетическая задача переноса нейтронов решается методом вероятностей первых столкновений, то необходим пересчёт матриц вероятностей для новых сечений на очередном временном шаге. Использование прямых численных способов расчёта вероятностей для сложных областей как по геометрии так и по материальному составу обычно связано с большими временными затратами и повторение таких вычислений в процессе расчёта выгорания приводит к достаточно длительному времени расчёта. Развитию методов вычисления стандартных изотропных вероятностей первых столкновений нейтронов в сложных геометрических областях и посвящена данная работа

Структура, объём и содержание диссертации

Диссертационная работа изложена на 128 страницах текста, включая 56 рисунков, 46 таблиц, состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы из 72

наименований и одного приложения.

В главе 1 дан обзор существующих методик расчёта вероятностей первых

столкновений в ячейках и кассетах реактора.

В главе 2 представлена методика расчёта вероятностей первых столкновений методом стохастических траекторий нейтронов (метод Монте-Карло [8]). Основной особенностью представленного метода является сеточное представление исходной

геометрии, при котором все элементы конструкции проецируются в плане на сетку элементарных квадратов. Такое представление позволяет эффективно отражать в памяти ЭВМ достаточно сложные геометрические построения без изменения и усложнения базовых принципов построения траектории нейтрона на сетке. Методика расчёта на основе стохастических траекторий за счёт реализованных способов отражения траектории на границе системы грамотно учитывает все неравномерности размещения материалов в кассете, что приводит к более точным значениям вероятностей относительно других способов их расчёта. Описаны основные особенности реализующего данную методику программного модуля PIJMK [9], встроенного в программный комплекс UNK [10], [11].

В главе 3 представлена методика вычисления вероятностей первых столкновений на очередном шаге выгорания с помощью средних хорд до первого столкновения. Расчёт данных хорд реализован в модуле построения стохастических траекторий PIJMK параллельно с расчётом данным модулем вероятностей первых столкновений. Представлено описание методика восстановления ВПС на основе рассчитанных ранее средних хорд, которая позволяет с высокой степенью точности при достаточно больших изменениях материального состава ячейки восстанавливать матрицы ВПС с небольшими вычислительными затратами. Преимущество использования данной методики в расчетах НФХ реакторов заключается так же и в том, что она позволяет оценивать не только большие, но и малые возмущения материального состава ячеек, и получать, в частности, коэффициенты реактивности с высокой точностью, для геометрически сложных фрагментов реактора. Средние хорды рассчитываются только для свежего состояния кассеты, и основное время расчёта затрачивается только на этом этапе. Дальнейшее восстановление вероятностей на следующих шагах по времени происходит без существенных временных затрат, что приводит к общему сокращению времени расчёта.

В главе 4 представлены верификационные расчёты ячеек и кассет реакторов как в стационарном состоянии, так и в процессе выгорания. Основная задача представленных результатов верификационных исследований состоит в том, чтобы определить наиболее

эффективную область применения разработанных методики и программы, оценить точность получаемых расчетных результатов.

В приложении представлены описания ячеек и кассет, результаты расчёта

которых приведены в главе 4.

Актуальность работы определяется:

- необходимостью совершенствования программного обеспечения для расчета ядерных реакторов и обеспечения на этой основе более надежных и достоверных оценок нейтронно-физических характеристик реакторов не только в стационарном состоянии, но и в процессе выгорания топлива, когда избыточная реактивность компенсируется выгорающими поглотителями.

-повышением требований к быстродействию взаимосогласованных комплексных расчетов, в которых используются программные модули, обеспечивающие высокую точность расчета отдельных физических процессов. Требование высокого быстродействия позволяет расширить спектр анализируемых задач.

- необходимостью эволюционной модернизации программного обеспечения в области нейтронно-физических расчетов, ориентированных на современные базы ядерных данных, в полной мере использующих возможности современной вычислительной техники и обеспечивающих проведение вычислений в геометрически сложных областях с детальным описанием изотопной кинетики.

Цель работы

Развитие методик и алгоритмов расчёта матриц вероятностей первых столкновений нейтронов в сложных геометрических областях, как для единичного нейтронно-физического расчёта, так и для расчётов выгорания.

Создание программы расчёта матриц вероятностей первых столкновений в произвольной в плане геометрии. Создание подпрограмм быстрого восстановления матриц вероятностей первых столкновений нейтронов на каждом шаге по выгоранию.

Научная новизна результатов работы состоит в следующем.

Разработаны оригинальные алгоритмы:

- представления произвольной в плане геометрии в виде её регулярной сеточной модели и последующего объединения однотипных по материалам (или регистрационным зонам) ячеек геометрической сетки в более обширные структуры;

- расчёта матриц вероятностей первых столкновений нейтронов, на основе алгоритма построение лучей траекторий нейтронов от рождения до точки первого столкновения в заданной геометрии с одновременным вычислением длин хорд в регистрационных зонах;

- восстановления матриц вероятностей первых столкновений на основе рассчитанных ранее реперных средних хорд; Оптимизации алгоритма расчета матриц ВПС на основе хорд с целью минимизации вычислительных погрешностей и увеличения быстродействия программы.

Данные алгоритмы были реализованы в виде:

- программы PIJMK, входящей в пакет комплекса UNK, которая производит перевод любой заданной исходной геометрии на плоскости в сеточное представление, затем вычисляет матрицы первых столкновений и средние хорды до первого столкновения для заданного количества энергетических групп на основе построения нейтронных лучей, используя заданные граничные условия

подпрограмм, добавленных в модуль CELLHI комплекса UNK, предназначенных для восстановления матриц вероятностей первых столкновений для отличающейся от исходной топливной композиции на основе реперных средних хорд, рассчитанных для начального состояния.

Практическая ценность полученных результатов определяется: - использованием комплекса UNK для подготовки констант, используемых затем комплексами расчёта энергетических, транспортных и транспортабельных реакторов (BARS [12], [13], [14], [15], SUHAM-U [16] и др.). Предполагается использование

программы PIJMK в качестве основного модуля для расчёта стандартных и альбедных матриц вероятностей первых столкновений нейтронов в составе комплекса UNK .

- использованием программы PIJMK в составе UNK для расчёта изменения нуклидного состава топливной композиции в зависимости от выгорания с дальнейшим использованием полученных данных в расчётах кампании реактора комплексом BARS.

На защиту выносятся:

- методика автоматического преобразования геометрии расчетной области в сеточное описание с неравномерными по пространства размерами ячеек сетки;

- методика расчёта вероятностей первых столкновений нейтронов и средних хорд на основе построения траекторий нейтронов на сеточной модели задачи;

- методика восстановления матриц вероятностей для изменённой относительно реперной топливной композиции на основе средних хорд;

- расчетно-аналитические исследования по выбору оптимальных параметров в модели восстановления матриц ВПС методом хорд;

- программа расчёта вероятностей первых столкновений и средних хорд методом стохастических траекторий нейтронов, подпрограммы восстановления матриц ВПС в процессе выгорания.

Личный вклад

Автор создал программный модуль PIJMK:

- разработал алгоритмы создания и преобразования сеточной модели геометрии из произвольной в плане исходной геометрии;

-разработал оригинальные алгоритмы расчёта матриц ВПС и средних хорд с помощью стохастических траекторий нейтронов, которые позволяют с хорошей точностью выполнять решения как стационарных задач, так и задач выгорания.

Автор создал подпрограммы восстановления матриц ВПС для изменённой топливной композиции относительно исходной с помощью средних хорд до первого столкновения.

Обоснованность результатов и выводов уравнений и алгоритмов основывается на результатах тестовых расчётов ячеек и кассет, и сравнении результатов с расчётами по другим методикам и программам.

Апробация работы

Результаты работы докладывались на 19 и 21 семинаре по нейтронно-физическим проблемам атомной энергетики ("Нейтроника 2008", "Нейтроника 2010").

Публикации автора

По результатам исследований опубликовано 5 печатных работ, в том числе 3 в рецензируемых научных изданиях. Основные научные положения и выводы сдержатся в работах:

1. Карпушкин Т.Ю., Цибульский В.Ф. Расчёт матриц вероятностей первых столкновений методом Монте-Карло с использованием сеточной разбивки геометрии. Препринт ИАЭ-6492/5., М., 2007.

2. Карпушкин Т.Ю. Расчёт матриц вероятностей первых столкновений и средних хорд до первого столкновения методом Монте-Карло. Вычисление матриц вероятностей первых столкновений на основе средних хорд в процессе выгорания. Препринт ИАЭ-6654/5., М., 2010.

3. Давиденко В.Д., Карпушкин Т.Ю., Цибульский В.Ф. Расчёт выгорания сильных поглотителей методом вероятностей первых столкновений. Атомная энергия, 2010, том 109, вып. 3, стр. 130-133.

4. Карпушкин Т.Ю. Расчёт выгорания методом вероятностей первых столкновений с помощью хорд до первого столкновения. ВАНТ. Сер. Физика ядерных реакторов, 2011, вып. 2, стр. 45-52.

5. Карпушкин Т.Ю. Расчёт выгорания геометрически сложной системы с сильным поглощением методом вероятностей первых столкновений. Известия вузов. Ядерная энергетика, 2011, вып. 3., стр. 3-9, г. Обнинск.

ГЛАВА1 МЕТОДИКИ РАСЧЁТА ВЕРОЯТНОСТЕЙ ПЕРВЫХ СТОЛКНОВЕНИЙ В ЯЧЕЙКАХ И КАССЕТАХ РЕАКТОРА

1.1 Уравнение метода ВИС

Система уравнений метода ВПС получается из интегрального равнения переноса нейтронов.

со

Ф(г,Е,С1) = Ji#exp(-r(r', r))S(f\E,Cl), (1.1)

о

где Ф(г,Е,П) - дифференциальная плотность потока нейтронов в точке г с энергией Е,

летящих в направлении Q; ¥' = r-tCl - точка на луче r-tCl', t~\r-r'\ - расстояние между

i

точками гиг'; т{г,г') =|Ei(r -tCl,E)dt' - оптический путь между точками гиг;

о

exp(-r(r,F)) - вероятность нейтрону, родившемуся в точке г', долететь до точки г без столкновений; S(rf,E,Cl) = S,(f,E,n) + S/(f,E) - источник рассеяния и деления в точке г .

Источник рассеяния определяется как

00

(г,Е,й) = \dE' J dCl%(г,Е' Е,Ой')Ф(г,Е\О').

О 4л

Источник деления определяется как

Sf(r,E) = Е)\dE'vLf (г, Е')Ф(г,Е'),

к 0

где %(г, Е) - средний спектр деления.

Считая источник S(r',E,&) изотропным, проинтегрируем (1.1) по углу и перейдём к групповому приближению, проинтегрировав (1.1) по интервалам энергетических групп. В результате получим групповое уравнение переноса в предположении изотропного источника:

1 00

ФЦг) = — J d&\dt ехр(-т(г', f))Ss{r'), (1.2)

4л О

где Фг (?) = | { ¿Ш>(г, Е, □) - групповой поток;

с 1 е

5« ^ = ^ (У)Ф^ (г) + -%8 Xу/2/ (О " групповой источник.

г' к г'

Перейдём к приближению плоских потоков. Для этого рассмотрим систему из N геометрических зон. Предполагая поток нейтронов в зоне постоянным, проинтегрируем (1.2) по объёму зоны/':

Ф У. = У $ Г ¿г— [ ¿Й [ Л, ехр(-г(г, г - (р)), (1.3)

" £ I АлУ11 I

где , - точки входа и выхода из зоны г; Фу = у | Ф(г)с1г;

} к,.

^ • с1-4)

г' К я'

Помножив (1.3) на полное сечение Ъц и заменив интегрирование по углу с!0. интегрированием по объёму с!г получим

* 3 1 & '4^1 >{ 1 (г.-^)2

Выражение

Р^^^Ш. (1.6)

" 4пуХ >{ (к-Г})2

имеет смысл вероятности нейтрону, рождённому в зоне / испытать первое столкновение в зоне]. Тогда уравнение метода ВПС есть

С1-7)

1.2 Методики расчёта вероятностей первых столкновений нейтронов

Метод вероятностей первых столкновений [17], [18] является одним из методов повышенной точности, который используется для решения интегрального транспортного уравнения переноса нейтронов в многогрупповом представлении. Идея метода состоит в том, что если для каждой энергетической группы известны вероятности первых столкновений в зоне j для нейтронов, родившихся или испытавших предыдущее рассеяние в зоне /, то нахождение пространственного распределения нейтронов в системе сводится к решению интегрального уравнения переноса нейтронов, которое представляется в виде системы линейных уравнений. Для решения таких систем уравнений разработаны современные быстродействующие алгоритмы. Таким образом, основная задача метода сводится к нахождению значений самих ВПС.

Для одномерной цилиндрической геометрии традиционно используется одна из разновидностей метода Карлвика, впервые опубликованного в трудах 2-й международной конференции по мирному использованию атомной энергии [19]. Для кольцевых зон такой системы в предположении азимутальной однородности и изотропности рассеяния, вероятности определяются по квадратурным формулам. Данный метод был развит и реализован в таких известных программах, как WIMS [20], где метод ВПС позволяет вести расчёт одномерных и кластерных ячеек, HELIOS [21], ТВС-М [22], APOLO-2 [23], [24], UNK [11], GETERA [25,26], DRAGON [27], [28]. Для учёта анизотропии рассеяния в этих программах используется транспортное приближение. ВПС в данных программах вычисляются в элементарной ячейке различной формы: квадратной, гексагональной, прямоугольной. Основное преимущество данного метода состоит в том, что для простых одномерных и двумерных ячеек вероятности вычисляются очень быстро. Для расчёта одномерных систем были разработаны быстродействующие модификации метода[29], которые основывались на приближении изотропного потока на границах зон ячейки. Эти методики были развиты и реализованы в отечественных программах [30], [31], [32], [33]. Для расчёта больших двумерных систем без сложной процедуры численного интегрирования был разработан метод интерфейсных токов [34], используемый как для получения вероятностей в

двумерных системах, так и реализованный в виде матриц отклика [35]. Методики получения уравнений метода ВПС и способы расчёта вероятностей описаны в многочисленных работах: [36], [34], [37], [38], [39].

Для сложных геометрий существуют программы, численно интегрирующие выражение (1.6), для чего каждую зону системы разбивают на элементарные объёмы [40].

Однако чаще всего для точных расчётов матриц вероятностей первых столкновений нейтронов в сложных геометриях используют так называемый метод лучей (ray tracing или tracking [34]), реализованный в виде геометрического блока построения лучей в фиксированной или универсальной геометрии и взаимодействующего с ним блока расчёта вероятностей, где от вычисления интегралов шестой степени по объёму осуществлён переход к интегралам по углам вдоль луча [34], [37].

Частотный метод расчёта вероятностей по случайным траекториям

Самый простой способ расчёта матриц ВПС методом лучей состоит в использовании при построении лучей элементов нейтронно-физического расчёта методом Монте-Карло [41], [9]. Внутри расчётной геометрической области разыгрываются координаты точки рождения нейтрона, его направление полёта, и оптический путь. Определяется номер регистрационной зоны, в которой находится точка рождения, и в соответствующую переменную-счётчик рождений NSf в зоне номер i

добавляется единица. Затем в направлении полёта производится процесс построения луча, как суммы хорд в пройденных лучом зонах. Пройденный оптический путь постоянно сравнивается с разыгранным оптическим путём, и при достижении их равенства вычисляются координаты точки первого столкновения, номер регистрационной зоны столкновения и к счётчику столкновений JVC? в данной зоне j ,

при условии старта из зоны i, прибавляется единица. Луч обрывается и начинается процесс построения следующего луча. После построения заданного количества лучей вероятности первых столкновений вычисляются по прямому частотному определению вероятности: If = Щ/NSf . Достоинствами данного способа расчёта являются

- возможность отслеживания точки рождения и точки первого столкновения, с тем, чтобы вычислять на их основе различные характеристики системы, такие как средние хорды до первого столкновения, или времена;

- применимость в любой геометрии;

- отсутствие каких либо других вычислений в процессе построения луча, кроме хорд и оптических путей.

Недостаток такого метода очевиден: на одной траектории рассчитывается только единичный вклад в вероятность Р*, а информация о длине хорд используется только для сравнения оптических путей. Поэтому данный метод применим лишь при быстрых алгоритмах построения траектории.

Вычисление вероятностей на основе информации о длинах хорд вдоль луча

Все остальные способы расчёта так или иначе используют информацию о длинах хорд вдоль луча. В работе [42] приведены основные схемы такого рода вычислений. В их основе лежит простое соображение о том, что вероятность первого столкновения нейтрону вдоль луча внутри зоны _/ оптической толщины AгJ при рождении в зоне

номер г есть

Р9 = ехр(-г)[1-ехр(-Лг;)],

где т - оптический путь вдоль луча от точки рождения в зоне г до точки первого пересечения с зоной у.

В самом деле, для трёхмерных систем вероятность того, что нейтрон, родившийся в зоне с номером г с равномерным по зоне и изотропным распределением источников, испытает первое столкновение в зоне с номером], выражается интегралом:

о-«

4 я V, У /

где - вероятность того, что нейтрон, родившийся в точке г системы и летящий в

направлении О испытает первое столкновение в зоне с номером]. Очевидно, что

/.(г,О) = ехр(-ту.(г,а))[1-ехр(-Ат.(г,П))],

где Tj(r,Ù.) - оптическая длина пути нейтрона от точки г вдоль направления Q до

первого пересечения с поверхностью j-й зоны; ДгД^П) - оптическая длина отрезка пути

этого нейтрона в j-й зоне.

Вычисление интеграла методом Монте-Карло для N лучей можно произвести по

формуле

j» п=1

Первоначальный алгоритм расчёта А следующий.

1. Вычисляются координаты начала траектории г, Î2.

2. Задаётся длина траектории (для конечных систем это число, превышающее диаметр системы, а для бесконечных такое, чтобы траекторию можно было оборвать, когда она превысит заданное значение, без существенной погрешности для оценки В ПС). Проводится траектория заданной длины из точки г в

направлении Û.

3. При каждом пересечении траекторией границы какой-либо геометрической зоны системы с номером j вычисляются величины х] и Дт\. Траектория обрывается,

если она пересечёт границу системы, или её длина превысит заданное максимальное значение.

4. Вычисляются вклады от данной траектории во все вероятности Pv, т.е. слагаемые

формулы (1.9). Номер исходной зоны i фиксирован, вклады подсчитываются для зон с номерами j, которые пересекла данная траектория (рис. 1.1). Алгоритм повторяется N раз. Затем тоже повторяется для другой начальной зоны с номером i' ф i. Недостаток данного алгоритма в том, что каждая траектория используется только для вычисления одной строки матрицы Рц, т.к. номер i фиксирован.

В основе улучшения приведённого алгоритма лежит соображение, что, вообще говоря, средняя вероятность нейтрону, стартовавшему из отрезка с длиной оптического пути А г,, вдоль луча с направлением О испытать первое столкновение в отрезке с длиной оптического пути Атк, пролетев при этом через зоны с оптическими толщинами Дг, ,Ат2 ... Дг„ (рис. 1.2) есть

„ (1 -ехр(-Дг„))ехр(-(ДГ| + Дг, +... +Аг„))(1 -ехр(-Дг;,))

Рис. 1.2 К вычислению вероятности Ра

Будем считать, что интересующая нас система составляет часть некоторого тела Ж произвольной формы. Каждая зона системы тогда также является частью тела Ж. Определим функции :

/у.(г,П), геГ

Тогда

О, г € К

4я 4Л К(П) УI

где ¥(0.) - любая область, являющаяся частью Я7, и в то же время включающая в себя всю систему. В дальнейшем будем предполагать, что У (О.) - это цилиндр с высотой Н с образующими, параллельными вектору О, в основании которого лежит произвольная область Обозначим г - радиус-вектор, характеризующий положение точки в

области , а к - расстояние от 5(0) до точки г . Тогда

4л- Я(П) О

Так как координата Ь изменяется вдоль направления траектории, то внутренний интеграл вычисляется аналитически. Поэтому имеем

с/О, с

где

5(Й)ехр(-г#)

и ММ)

" ад * '

[1-ехр(-Ат,.)-ехр(-Агу.) + ехр(-Агг - Агу.)], траектория е г,у

IV

Л I

О, траектория € /, j

Здесь 2г; - полное сечение в зоне, с номером /', которое предполагается постоянным внутри зоны; £(£!) - площадь основания цилиндра; Ту(?,С1.) - оптическая длина пути частицы от выхода из зоны /', до входа в зону у для траектории, начинающейся в точке

области £(Й) в направлении П; Ат,Ат. - оптическая длина отрезка той же траектории в зонах г,).

Вычисление методом Монте-Карло производится по формуле

Алгоритм расчёта Б следующий.

1. Вычисляются направление П и начальная точка траектории г в основании

цилиндра 5(0).

2. Проводится прямолинейная траектория заданной длины из точки г3 в направлении О.

3. При каждом пересечении траекторией границы очередной геометрической зоны системы с номером / вычисляется длина отрезка траектории в этой зоне /,..

4. После обрыва траектории подсчитываются функции иу и делается вклад в суммы

Рц для всех пар зон, которые пересекла данная траектория.

Алгоритм повторяется N раз. В результате, в отличие от алгоритма А, на одной траектории сразу вычисляется полная матрица Я, а не одна строка. Достоинство

данного алгоритма в том, что экспонента ехр(-Аг,) для каждого отрезка в зоне может быть вычислена только один раз и использована в качестве вклада в вероятность для всех встреченных зон на луче (рис.1.3).

-Дг, -А г, Л-Дг"з

е 1 е 2 е 3

-Дгл

-Л г«

-А г.

Зоны,

последовательно проходимые в направлении £5

Рис. 1.3. Рассчитываемый единожды вклад хорды текущей зоны в вероятности.

Другим важным преимуществом данного метода является возможность при определённом выборе угловых направлений О рассчитывать вероятности

одновременно и для направления -О.

Если исходная геометрия имеет постоянную структуру вдоль оси 02, то все хорды, вычисленные для всех положительных направлений, принадлежащих одной вертикальной плоскости, зависят от длин хорд, вычисленных для горизонтального направления и угла между направлением О и вертикалью (рис. 1,4).

Рис. 1.4 Вычисление хорд через хорды в горизонтальной плоскости и угол О

Это позволяет вычислять вероятности интегрально сразу для всех направлений в вертикальной плоскости, рассчитывая только длины хорд в плоскости XOY. На практике или выбирают несколько выделенных направлений внутри плоскости, а результирующие вероятности вычисляют но квадратурной формуле с некоторыми весами (такой алгоритм реализован в модуле UNKPIJ комплекса UNK [11]), или вычисляют интеграл по углу в с помощью функций Бикли:

где

А(Т, + Ar,)-Щхч + Аг;)+ юз(т.. + Ar, + Дг;)], при i Ф j

'Ii

О, траектория £ i, j

f£in (г) =—| ехр(-г/sin(0)) sin"4 {9)dв - функция Бикли [43].

о

Описанные выше алгоритмы были реализованы в программах РИММК [44], ВЕПС [45]. Особенностью данных программ является использование специальных сеток с особо равномерным распределением точек в многомерном пространстве для вычисления многомерных интегралов методом Монте-Карло [46], [47]. Вторая особенность -использование для вычисления аргумента подынтегральной функции геометрических модулей из состава программы, реализующей нейтронно-физический расчёт методом Монте-Карло [48]. Программа ВЕПС вошла в первую версию пакета прикладных программ ПЕРСТ [49], в котором с использованием ВПС, вычисленных в программе ВЕПС, решается транспортное уравнение переноса нейтронов в тепловой области энергий. В работах [50], [51] для ячеек и полиячеек была предложена модернизация алгоритма ВЕПС, которая позволила автоматически обеспечивать сохранение интегральных балансных соотношений.

1.3 Метод "обобщённых" вероятностей первых столкновений нейтронов

Естественным развитием метода вероятностей первых столкновений для учета анизотропии рассеяния является использование Рм приближения. Транспортное уравнение переноса нейтронов в Рм приближении, записывается для коэффициентов разложения углового потока нейтронов по сферическим гармоникам. Коэффициентами в транспортном уравнении являются так называемые "анизотропные" или "обобщенные" вероятности. В работах [52], [53] рассматривается проблема решения транспортного уравнения методом ВПС в линейно-анизотропном приближении. В работе [54] были разработаны методы расчёта ВПС в линейно-анизотропном приближении с линейной аппроксимацией потока в зоне (программа ОЕСОР [55]). Данные алгоритмы были реализованы в программе ВЕПС [56]. Для вычисления этих коэффициентов в Рк приближении в произвольной двумерной и трёхмерной геометрии в работе [57] были разработаны новые алгоритм. Эти алгоритмы были реализованы в современной модернизированной версии программы ВЕПС, которая входит в новый пакет прикладных программ МШ-ЕСР [58], [69], [60], в котором для решения транспортного уравнения используется метод вероятностей первых столкновений.

Интегральное транспортное уравнение переноса нейтронов в Рм приближении записывается в терминах анизотропных вероятностей. Оно выводится из третьей или интегральной формы уравнения Больцмана, в котором поток нейтронов и источник (внешний источник плюс источник нейтронов деления) разложены в бесконечный ряд по сферическим функциям У^, а сечение рассеяния - в ряд по полиномам Лежандра Рь Аргументом сферических функций является вектор направления полета нейтрона, а аргументом полиномов Лежандра - угол между направлениями полета нейтрона до и после столкновения. Как сферические функции, так и полиномы Лежандра образуют полные системы функций.

Как правило, для источника используется изотропное приближение, т.е. считается, что нейтроны деления рождаются изотропно в лабораторной системе координат. Разложение в ряд потока нейтронов характеризует анизотропию потока, в то время, как разложение сечения рассеяния - анизотропию рассеяния. На практике суммирование по 1 обрывают при достижении заданной величины Ь, поэтому в транспортном уравнении суммирование проводится: по индексу 1 - от 0 до Ь, а по индексу ш - от -1 до 1. При этом говорят, что транспортное уравнение решается в Рь или в Рц приближении, где N = Ь.

После ряда преобразований, в многогрупповом представлении транспортное уравнение переноса нейтронов относительно плотности столкновений записывается следующим образом:

¡=1 и=0/'=0т'=0

Здесь приняты следующие обозначения: - номера геометрических зон, / = /, Л/7?; g - номер энергетической группы, g=l,NG;

' угловые гармоники плотности столкновений, = ;

- угловые гармоники потока нейтронов;

- полное сечение в зоне г в группе

У1 - объем зоны г.

Угловые гармоники потока нейтронов при /=0,1 имеют ясный физический смысл:

Ф^ - скалярный поток нейтронов Ф;

Ф^, - х- и у- компоненты тока нейтронов Л-, ;

Ф\3> - г- компонента тока нейтронов .

Б^ - источники нейтронов в группе g в зоне I , появившиеся как в процессе деления

(£/), так и в процессе рассеяния из других групп:

т

с«г _ / с , V

ng

X

Т.к. принято, что распределение нейтронов деления изотропно в лабораторной системе координат, все высшее угловые гармоники источника деления равны нулю. При у=1=т=0 источники деления определяются по формуле:

ng

.Л

i,g~>g

к »•=!

где Xk,S'->g ' спектр деления изотопа к, содержащегося в материале зоны i. Анизотропные вероятности определены формулой:

drldr'^-^a^, J vi f. I 4/T г Г

где u=0,1,2,3; v=0,1,2,3; 1=0,L; m=0,l; /'=0,1 ;т'=0,Г.

q<v>(0,ç>), v=0,1,2,3; 1=1,L; m=l,l - функция двух переменных, зависящая от

азимутального и полярного углов 9,(р : Q(0) - Р

"о,о 1о

п® = (-l)ra X р;п(cosв) X cos(т<р) Çlfl = (-1)т X Р™(cos &) X sin(w^) ' Q.fl=p,( cose)

где Р, (cos в) - полиномы Лежандра;

Р™ (cos ff) - присоединенные функции Лежандра; В работах [61], [62] и [63] приведены основные формулы и алгоритмы расчёта "обобщённых" вероятностей, а также методики решения на их основе уравнения переноса.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Карпушкин, Тимофей Юрьевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе представлены основные способы расчёта матриц вероятностей первых столкновений нейтронов. Дан обзор литературы, методов и программ расчёта матриц ВПС.

Предложен способ преобразования исходной геометрии в сеточную модель на плоскости и её использования для построения стохастической траектории нейтрона. Представлена методика расчёта вероятностей первых столкновений нейтронов методом стохастических траекторий нейтронов на сеточной модели геометрии в плоскости. Данная методика ориентирована на вычисление вероятностей первых столкновений в сложных (в плане) геометрических системах и предусматривает нестандартное задание как геометрии материалов, так и регистрационных геометрических зон внутри расчётной области. Описаны основные алгоритмы программного модуля PIJMK, реализующего расчёт матриц вероятностей первых столкновений нейтронов данным способом. Этот модуль преобразует исходную геометрию в сеточную модель, затем производит расчёт вероятностей первых столкновений нейтронов на основе стохастических траекторий. Модуль полностью встроен в пакет программ UNK и использует стандартные входные и выходные файлы этого программного комплекса.

Представлен способ вычисления средних хорд до первого столкновения в процессе построения траектории нейтрона. Разработана методика вычисления вероятностей первых столкновений нейтронов для систем с изменённым материальным составом относительно реперного, на основе средних хорд до первого столкновения.

Предложен способ расчёта выгорания ячеек и кассет на основе данной методики. Вычисление средних хорд производится модулем PIJMK в процессе построения стохастических траекторий нейтронов. Алгоритмы вычисления матриц ВПС через средние хорды реализованы в виде дополнительных подпрограмм-процедур, встроенных в модуль CELLHI, который входит в состав комплекса UNK и производит нейтронно-физический расчёт заданной системы методом вероятностей первых столкновений нейтронов. При расчёте выгорания материалов ячеек и кассет реактора данный модуль (при выборе соответствующего канала расчёта) производит восстановление матриц ВПС для изменившихся на новом шаге по времени полных макроскопических сечений материалов, на основе средних хорд и корректировочных коэффициентов, вычисленных для начального (свежего) состояния, или нескольких состояний топливной композиции ячейки или кассеты. Затем использует полученные матрицы для решения уравнения переноса методом ВПС. Восстановление матриц вероятностей через средние хорды происходит за время на порядки меньшее времени, затрачиваемого на точный расчёт данных матриц методом стохастических траекторий, что позволяет свести суммарное время расчёта выгорания кассеты на персональном компьютере от нескольких суток к нескольким часам. Все программы по приведённым алгоритмам реализованы на языке FORTRAN-95 [71], [72].

Проведены верификационные нейтронно-физические расчёты ячеек и кассет реакторов. Представлены результаты тестовых сравнительных расчётов бесконечного коэффициента размножения комплексом UNK для ячеек и кассет, на основе вычисленных модулем PIJMK матриц ВПС методом стохастических траекторий нейтронов. Расчёты, выполненные с помощью вычисления матриц вероятностей первых столкновений модулем PIJMK, для всех рассмотренных топливных композиций ячеек ВВЭР-1000 согласуются в с точностью не хуже 0,06% с результатами, полученными с помощью аналитического вычисления матриц. Расчёты, выполненные с помощью вычисления матриц вероятностей первых столкновений модулем PIJMK, для всех рассмотренных топливных композиций TBC ВВЭР-1000 согласуются в Кт с точностью не хуже 0,2% с результатами, полученными с помощью вычисления матриц модулем UNKPIJ.

Проведён расчёт стационарного состояния кассеты плавучего энергоблока комплексом UNK с использованием модуля PIJMK для расчёта матриц ВПС. Показаны сравнения бесконечного коэффициента размножения и функционалов потока для данной кассеты со значениями этих величин, полученных расчётами по программам MCU-REA/1 и MCNP-4C2. Максимальное отклонение в Ксл, рассчитанного по коду

UNK, от значения, полученного по MCU, составляет -0,87% в холодном состоянии и 0,77% - в горячем.

Представлены результаты сравнительных тестовых расчётов комплексом UNK выгорания материалов ячейки, фрагмента кассеты ВВЭР-1000, и кассеты ВВЭР-1000 с МОХ топливом и твэгами. Эти результаты показывают принципиальную применимость методики восстановления матриц ВПС через средние хорды для расчёта выгорания топливных композиций с малым обогащением.

Представлены результаты расчёта бесконечного коэффициента размножения для кассеты ледокольного реактора в процессе выгорания при точном вычислении матриц ВПС модулем PIJMK на каждом временном шаге в сравнении с расчётом по программе MCU-TR. Представлены результаты расчёта бесконечного коэффициента размножения для кассеты ледокольного реактора в процессе выгорания при вычислении матриц ВПС через средние хорды. Данный тип кассеты является достаточно сложным для расчёта как по геометрии, так и по материальному составу и обогащению топливной композиции. Поэтому приведённые результаты являются показательными и свидетельствуют о пригодности модуля PIJMK для расчёта стандартных матриц ВПС в таких системах. Результаты расчёта с восстановлением матриц ВПС через средние хорды с пересчётом реперных хорд через некоторые интервалы времени также показывают возможность применения методики восстановления ВПС через средние хорды для расчёта таких систем, однако требуют её дальнейшего усовершенствования и доработки.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Карпушкин, Тимофей Юрьевич, 2011 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Велихов Е.П., Гагаринский А.Ю., Субботин С.А.., Цибульский В.Ф. Энергетика в экономике XXI века. М.: ИздАт., 2010.

2. Франк-Каменецкий А. Д. Моделирование траекторий нейтронов при расчёте реакторов методом Монте-Карло. М.: Атомиздат, 1978.

3. Дементьев В.Г., Олейник Д.С. Расчёт нейтронно-физических характеристик активной зоны ВВЭР-1000 методом Монте-Карло по программе MCU-PD, и сравнение результатов с программой БИПР-7А и с экспериментальными данными. ВАНТ. Сер. ФЯР, 2010, вып. I, с. 47-58.

4. Data Formats and Procedures for the Evaluated Nuclear Data File ENDF/B-VI and ENDF/B-VII. National Nuclear Data Center, Brookhaven National Laboratory, Upton, N.Y. 11973-5000. Written by the Members of the Cross Section Evaluation Working Group

5. K. Shibata, O. Iwamoto, T. Nakagawa, N. Iwamoto, A. Ichihara, S. Kunieda, S. Chiba, К. Furutaka, N. Otuka, T. Ohsawa, T. Murata, H. Matsunobu, A. Zukeran, S. Kamada, and J. Katakura. JENDL-4.0: A New Library for Nuclear Science and Engineering. J. Nucl. Sei. Technol.. 48(1), 1-30 (2011).

6. Энциклопедия нейтронных данных РОСФОНД (Российская библиотека файлов оценённых ядерных данных). Полный пакет обоснований отбора оценок. Обнинск, 2006.

7. http://www.ippe.obninsk.ru/podr/abbn/libr/intr-rosfond.php (дата обращения 29.03.2011)

8. Соболь И. М. Численные методы Монте-Карло. М.: Наука, 1973

9. Карпушкин Т.Ю. Расчёт матриц вероятностей первых столкновений и средних хорд до первого столкновения методом Монте-Карло. Вычисление матриц вероятностей первых столкновений на основе средних хорд в процессе выгорания. Препринт ИАЭ-6654/5., М., 2010.

Ю.Давиденко В.Д., Цибульский В.Ф. Разработка программы детального расчета спектра нейтронов в элементарной ячейке ядерного реактора - В сб. - Нейтроника-96. Обнинск, 1998, с. 168-173.

11. Davidenko V.D., Tsibulskiy V.F. Detailed calculation of neutron spectrum in cell of a nuclear reactor. Intern. Conf. on the Physics of Nuclear Science and Technology. Oct.5-8. New York 1998, pp. 1755 -1760.

12.Малофеев В. M. Метод трёхмерного моделирования выгорания и ксенонового переходного процесса в гетерогенном реакторе с учётом теплогидравлики (программа BARS) . Препринт ИТЭФ 91-111, 1991.

13. Аввакумов А.В., Малофеев В.М. Трехмерное моделирование переходных процессов на запаздывающих нейтронах в гетерогенном реакторе. - Атомная энергия, 1991, т.70, вып. 1, с. 8-12.

14. Акимушкин С.В., Малофеев В.М., Сидоров B.C. Программный комплекс BARS для трёхмерного нейтронно-теплогидравлического расчёта реактора ПУГР. Верификационный отчёт. Отчёт ИПБ РНЦ КИ, инв. №91-10/12 от 15.04.1999.

15. Аввакумов А.В., Ариетархова Е.А., Каплар Е.П., Лиеицин И.С., Малофеев В. М., Сидоров B.C., Увакин М.А., Чичулин Н. Л. Верификация нейтронно-физического кода BARS для расчётов активных зон транспортного типа. Отчёт РНЦ КИ инв № 4619/309, Москва 2008.

16.Бояринов В. Ф., Давиденко В.Д., Цибульский В.Ф., Полисмаков А.А. Комплекс программ SUHAM-U вариант SUHAM-U-VVER-01. Препринт ИАЭ-6341/5, 2004.

17.Bonalumi R. Neutron first collision probabilities in reactor physics. Energy nucleare, V.8, (5), 1961.

18.Федулов M. В. Вычисление вероятностей первых столкновений, зависящих от параметров активной зоны. Препринт ИАЭ 1632, 1968.

19.Carlvik. A method for calculating collision probabilities in general Cylindrical Geometry and applications to flux distributions and Dancoff factors, proc. 3rd intr. Conf. Peaceful Uses of Atomic Energy, Geneva 2, UN, New York, 1965, pp 225-231.

20. Askew J. R., Fayers F.Ji, Kemshell P.B. A general description of lattice code WIMS. Journal of the British nuclear energy society vol. 5 issue; 1966 pp 564-585

21.Casal J.J, Stamm'Ier R.J.J. Vilarino E.A. and Ferri A.A. HELIOS: Geometric Capabilities of New Fuel-Assembly Program. Proc. Int. Topical Mtg. Advances in Math., Сотр. and reactors physics, Pittsburg, Vol. II, Sect 10.2.1 1-13, April 28-May 2 (1991)

22. Сидоренко В.Д., Большагин. C.H., Бычков C.A., Лазаренко А.П., Рубин И.Е., Днепровская Н.М., Абагян Л.П., Юдкевич М.С. Паспорт программы ТВС-М. регистрационный номер ПС в ЦОЭП РНЦ КИ-239, 31.07.2006/

23.Kavenoky A. APOLLO: a general code for transport, slowing-Down and thermalisation calculations in heterogeneous media. Proc. Natl. Top. Mtg. mathematical models and computational techniques for analysis of nuclear systems, Ann Arbor, Michigan, April 9-11 (1973)

24. Coste-Delclaux M., Mengelle S. New resonant mixture self-shielding treatment in the code AP0LL02. Physor 2004, Chicago, April 25-29 (2004)

25. Пряничников A.B. Описание программы GETERA. ВАНТ, сер. ФЯР, вып. 3, 2009

26. Белоусов Н. И., Бычков С. А., Пряничников А.В. Использование метода вероятностей первых столкновений для расчёта ячеек реакторов со сложной геометрией. Инженерная физика, вып. 4, 2002.

27. G. Marleau et al. A user's guide for DRAGON. IGE-174, Rev.3, Ecole Polytechnique de Montreal, December 1997

28. T. Courau, G. Marleau. Adjoint and generalized adjoint flux calculations using collision probability technique. Nuc. Sci. Eng., 141, 46-54, 2002

29.Benoist P. Streaming Effect and Collision Probabilities in lattices. Nuclear Science and Engineering, v. 34, p. 285-307 (1968)

30. Иванов A.C. Аннотация программы расчёта вероятностей первого столкновения. ВАНТ, сер. ФиТЯР, вып. 6(43), с. 55-56

31.Солодов А.Ф. Быстродействующие модификации метода вероятностей первого столкновения, часть 1. Препринт ИАЭ 2110, М. 1971

32. Программа САПФИР ВВР95 с библиотекой БНАБ-78/С-95. Регистрационный номер ПС в ЦЕП-378 от 08.07.96. Регистрационный номер паспорта аттестации ПС-90 от 18.12.97

33.Рубин И.Е. Метод вероятностей пропускания в одномерной цилиндрической геометрии. Известия АН БССР, сер. физ-энерг. наук №2, с. 25-31,1983

34. R. Sanchez and N.J. McCormick A Review of Neutron Transport Approximations. Nuc. Sci. Eng., 80, 508-527 (1982)

35. R. Sanchez A transport multicell method for two dimensional lattices of hexagonal cells. Nuc.Sci.,Eng., 92,247-254 (1986)

36. Белл Д., Глесстон С. Теория ядерных реакторов. М.: Атомиздат, 1974.

37.Кочуров Б.П. Численные методы в теории гетерогенного реактора. М., Атомиздат, 1980, с. 66-83

38. A. Mueller and Е. Linnartz, Zur Berechtung des thermischen Nutzfaktors einer Zilindrishen Zelle aus mehereren konzentrischen Zonen. Nucleonic, 5, 23 (1963)

39.R.D.M. Garcia. A numerical method for computing collision, escape and translation probability in three dimensions. Nuc.Sci.,Eng., 144, 200-210 (2003)

40. Меркл. Г. Новые аспекты применения вероятности столкновения в теории реакторов. Доклады третьей межд. конф. по мирному использованию атомной энергии, Женева. М.: Атомиздат, 1967.

41.Мусихин С. Г. Геометрический модуль для реакторной ячейки с твэлами сложной формы и особенности его использования при расчётах методом Монте-Карло и расчётах вероятностей первого столкновения. ВАНТ, сер. ФиТЯР, вып 7, с. 55-57, 1985.

42.Гомин. Е.А., Майоров Л.В. О расчёте вероятностей первых столкновений в системах со сложной геометрией,- ВАНТ, Сер. ФиТЯР. Вып. 8(21), 1981, с. 62-69.

43.Kerim F. Slipchevic and Mihailo I. Markovic. First Flight Escape Probability in Basic Geometries for symmetrical source distribution. Publikacije Elektrotehnickogo Fakulteta Univerziteta u Beogradu, serija: matematika i fizika N412-N460 (1973)

44.Гомин E.A., Майоров Л.В. Программа PIJMMK расчёта вероятностей первых столкновений в геометрически сложных системах. Отчёт ИАЭ инв. № 36/245381, 1982.

45.Гомин Е.А., Майоров JI.B. Программа ВЕПС для расчёта вероятностей первых столкновений в трёхмерных системах. Препринт ИАЭ-4207/5, 1985.

46. Соболь И.М. Многомерные квадратурные формулы и функции Хаара. М.: Наука, 1969.

47. Коробов Н.М. Теоретикочисловые методы в приближённом анализе. ФМЗМАТЛИТ, Москва 1963.

48.Гуревич. М.И. Алгоритмы поиска геометрических зон. ВАНТ, сер. ФЯР, вып. 4, 1993.

49. Гомин Е.А. Программа ПЕРСТ расчёта функционалов потока тепловых нейтронов в трёхмерных системах. Препринт ИАЭ-4208/5, 1985.

50.Гуревич М.И. О вычислении вероятностей первых столкновений в ограниченных системах. Препринт ИАЭ-5122/5, М - 1990.

51.Гуревич М.И. О вычислении вероятностей первых столкновений в ограниченных системах для полиячеек. Препринт ИАЭ-5123/5, М - 1990.

52. Повещенко Т.С., Шевелёв Я.В. Метод решения интегрального уравнения переноса в линейно-анизотропном приближении. Отчёт РНЦ КИ, Инв. №36/603585, М. - 1985.

53.Takeda Т., Sekia Т. Anisotropie Collision Probabilities in Cell Problems. Journal of Nuclear Science and Technology, 8[12], p. 663-672, December 1971.

54. Повещенко T.C., Шевелёв Я.В. Полиномиальная аппроксимация потока нейтронов в методе вероятностей первых столкновений. Атомная энергия, т. 48, вып. 2, с. 80, 1980.

55.Повещенко Т.С. Результаты верификационных расчётов нейтронно-физических характеристик и кассет водо-водяных реакторов по программе GECOP и по комплексу WIMS-GECOP. Препринт ИАЭ-6212/5, Москва 2001.

56. Гомин Е.А., Повещенко Т.С. Расчёт обобщённых вероятностей первых столкновений по программе ВЕПС. Отчёт ИАЭ инв. №36/603485, 1985.

57.Гуревич М.И., Калугин М.А., Пряничников A.B., Тельковская О.В., Шкаровский Д.А. Алгоритмы расчёта компонент транспортного тензора в

обобщенном методе вероятностей первых столкновений. Вопросы атомной науки и техники. Сер. Физика ядерных реакторов. 2009. Вып. 2. С. 3-10.

58. Е.А. Гомин, М.И. Гуревич, А.П. Жирнов, М.А. Калугин, И.М. Рождественский, М.С. Юдкевич. Программа MCU-FCP, предназначенная для решения уравнения переноса нейтронов методом вероятностей первых столкновений. Доклад на семинаре "Нейтроника-2007", 30 октября 2 ноября, 2007 г., Обнинск, Россия.

59.М.И. Гуревич, А.П. Жирнов, М.А. Калугин, И.М. Рождественский, М.С. Юдкевич. Методы и алгоритмы программы MCU-FCP, предназначенной для решения уравнения переноса нейтронов методом вероятностей первых столкновений. Отчёт РНЦ КИ инв. № 36/7-2007. М., 2007.

60.М.И. Гуревич, Е.А. Гомин, М.А. Калугин, A.B. Пряничников. Развитие программы нейтронно-физического расчёта MCU-FCP. Доклад на 19-м семинаре "Нейтроника - 2008", 28-31 октября, 2008 г., Обнинск, Россия.

61.Повещенко Т.С. Развитие метода вероятностей первых столкновений для расчёта ячеек реакторов. Автореферат дис. канд. физ.-мат. наук: 05.13.18, М.: 1995.

62. Калугин М. А. Разработка и применение новых алгоритмов метода Монте-Карло для решения нейтронно-физических задач и верификации инженерных программ расчёта реакторов. Диссертация на соискание учёной степени доктора технических наук, Москва 2009.

63.Пряничников А. В. Разработка и развитие программного комплекса GETERA, предназначенного для расчёта нейтронно-физических характеристик ячеек и TBC реакторов типа ВВЭР методом вероятностей первых столкновений. Диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук, Москва 2010.

64. Белоусов Н. И., Давиденко В. Д., Цибульский В.Ф. Программа UNK для детального расчёта спектра нейтронов в ячейке ядерного реактора. М.: препринт ИАЭ-6083/4, 1998.

65.Рыбкин A.A., Рывкин А.З., Хренов JI.C. Справочник по математике. М.: Высш. Шк., 1987.

66. Бартоломей Г.Г, Бать Г.А, Байбаков В.Д., Алтухов М.С.; под ред. Г.А. Батя.

Основы теории и методы расчёта ядерных энергетических реакторов. М.: Энергоиздат, 1982.

67. Takahashi. H. Approximation for the calculation of the generalized first-flight collision probability. - Nuclear science and engineering. 1966, vol. 26, pp. 254-261.

68. Abagian L.P., Glushkov A.E., Gomin E.A., Gorodkov S.S., Gurevich M.I., Mayorov L.V., Marin S.V., Shkarovsky D.A., Yudkevich M.S. MCU-REA/1 with data bank DLC/MCUDAT-2.2. Editors Gomin E.A., Maiorov L.V. Report RRC KI, № 36/16-2006.

69. J. F. Briesmeister, Ed. MCNP - A General Monte Carlo N-Particle Transport Code. Version 4C-, LA-13709-M, 2000.

70. H. И. Алексеев, П.А. Андросенко, C.H. Большагин, В.И Брызгалов, Е.А. Гомин, С.С. Городков, М.И. Гуревич, М.А. Калугин, A.C. Кулаков, C.B. Марин, Д.С. Олейник, A.B. Пряничников, Д.А. Шкаровский, М.С. Юдкевич. Разработка программы MCU-TR для расчёта физических характеристик активных зон транспортных реакторов, реализующей для решения уравнения переноса нейтронов метод Монте-Карло на основе информации, хранящейся в файлах оцененных ядерных данных. Отчёт РНЦ КИ инв. № 36-10/35-09

71.Бартеньев О.В. Современный Фортран. М.: Диалог-МИФИ, 1998.

72. Бартеньев О.В. VISUAL FORTRAN: новые возможности. М.: Диалог-МИФИ, 1999.