Развитие теории универсальных регуляторов в задачах инвариантности и отслеживания тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат физико-математических наук Проскурников, Антон Викторович

• Проскурников, Антон Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Проскурников, Антон Викторович

Введение.

1 Основные задачи и обзор известных результатов.

1.1 Задачи инвариантности и асимптотического отслеживания

1.2 Универсальные регуляторы в задачах линейно-квадратичной оптимизации.

2 Параметризация стабилизирующих регуляторов.

2.1 Основные понятия и обозначения.

2.2 Общий вид стабилизирующего регулятора.

2.3 Реализуемость стабилизирующих регуляторов.

3 Универсальные регуляторы в задачах инвариантности и асимптотического отслеживания.

3.1 Некоторые понятия и обозначения.

3.2 Решение задачи об инвариантности системы управления.

3.3 Приближенное решение задачи инвариантности без измерения внешнего воздействия.

3.4 Задача асимптотического отслеживания.

4 Универсальные регуляторы в линейно-квадратичных задачах оптимального отслеживания.

4.1 Введение.

4.2 Вспомогательные бесконечномерные задачи оптимизации.

4.3 Универсальные регуляторы для отслеживания полигармонических внешних сигналов.

4.4 Универсальные регуляторы в линейно-квадратичных задачах оптимального отслеживания стохастических сигналов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Развитие теории универсальных регуляторов в задачах инвариантности и отслеживания»

Задачи управления неопределенными системами имеют чрезвычайно большое практическое значение, поскольку параметры и внешние условия функционирования любой реальной системы, как правило, неизвестны или известны неточно. Вопросы управления в условиях неопределенности послужили стимулом к развитию целого ряда разделов современной теории управления, в том числе минимаксной оптимизации, стохастического управления, адаптивного управления, теории абсолютной устойчивости и др.

Процессы неопределенной системы, удовлетворяющие цели управления, обычно зависят от неизвестных параметров и явно быть найдены не могут. Тем не менее, в некоторых задачах управления неопределенными системами существуют регуляторы (операторы обратной связи, формирующие управление по выходу системы), не зависящие от неизвестных параметров системы, но при этом обеспечивающие достижение цели управления при любых значениях этих параметров. Такой регулятор, решающий по сути одновременно целое семейство задач управления, будем следуя [72,97] называть универсальным (в данной задаче для данного класса неизвестных параметров).

Несмотря на то, что существование универсальных регуляторов кажется "исключительным" свойством, такие регуляторы удается построить для целого ряда важных задач. Большинство примеров регуляторов такого рода дает теория адаптивного управления. Применяя методы данной теории, удается построить универсальные регуляторы специальной структуры (содержащие контур "подстройки параметров"), называемые адаптивными, в целом ряде задач стабилизации, минимаксного и стохастического оптимального управления, фильтрации и др. с неопределенным объектом управления.

Точные постановки подобных задач, а также определение адаптивного регулятора могут быть найдены, например, в работах [59,61,94] и многих других (см. ссылки в указанных источниках).

Вместе с тем, существуют и другие примеры универсальных регуляторов. Один из самых простых примеров такого регулятора - стандартный линейный регулятор, порождающий оптимальный процесс в задаче линейно-квадратичной оптимизации при произвольных неизвестных начальных данных объекта управления. Задолго до формирования теории адаптивного управления, в 1939 г. Г.В.Щипановым был поставлен вопрос о существовании универсального 1 регулятора, обеспечивающего асимптотическую стабилизацию выхода системы при наличии в системе неизвестного внешнего возмущения. В этой задаче, получившей позже название задачи инвариантности, в роли неизвестного параметра выступает внешнее воздействие, то есть элемент бесконечномерного пространства.

Проблема инвариантности практически сразу привлекла к себе внимание специалистов и стала предметом серьезной дискуссии, продолжавшейся в течение нескольких десятилетий. Однако, несмотря на значительное число работ по этой проблематике, полного решения задачи инвариантности, которое включало бы условия разрешимости и полное описание множества универсальных регуляторов, решающих задачу, получено не было.

Получение полного описания универсальных регуляторов в задаче инвариантности, близкой к ней задаче асимптотического отслеживания и некоторых естественно обобщающих указанные проблемы линейно-квадратичных задачах оптимального управления и является целью настоящего диссертационного исследования.

1по терминологии Г.В.Щипанова [67] - "идеального универсального"

Опишем содержание диссертационной работы. Первая глава является вводной, посвящена историческому обзору известных результатов и описанию рассматриваемых в дальнейшем задач. Раздел 1.1 посвящен истории задач инвариантности и асимптотического отслеживания, раздел 1.2 - линейно-квадратичным задачам оптимизации при неизвестных внешних сигналах.

В главе 2 приводятся вспомогательные утверждения о параметризации множества стабилизирующих линейного регуляторов для данного линейного объекта. Данная параметризация были установлена для основных случаев в работах В.А.Якубовича и несколько более удобна для применения в рассматриваемых задачах, нежели стандартные параметризации регуляторов. В параграфе 2.1 вводятся основные понятия и обозначения. Основным является раздел 2.2, где доказываются утверждения об общем виде стабилизирующего регулятора. Наконец, раздел 2.3 посвящен изучению вопроса о реализуемости (в различных смыслах) стабилизирующих регуляторов.

Глава 3 посвящена решению задач об инвариантности системы управления и асимптотическом отслеживании. В разделе 3.1 приводятся постановки задач и используемые в дальнейшем обозначения. В разделе 3.2 приводится полное решение задачи об инвариантности системы управления. В разделе

3.3 рассматривается вопрос о возможности приближенного решения задачи инвариантности в ситуации, когда точное решение невозможно. Раздел

3.4 посвящен задаче синтеза стабилизирующего регулятора, обеспечивающего отслеживание произвольного (заранее неизвестного) задающего сигнала.

Глава 4 посвящена исследованию некоторые линейно-квадратичные задачи оптимального управления при наличии в системе внешних сигналов. Эти задачи естественно обобщают задачи инвариантности и отслеживания на случай, когда условия их разрешимости не выполнены. Универсальный регулятор в классе всевозможных внешних сигналов в подобных задачах оптимизации, как правило, не существует, однако сохраняется возможность построения универсального регулятора в более узком классе внешних сигналов. Раздел 4.1 содержит постановки двух таких задач: задачи об оптимальном отслеживании (с одновременным подавлением вынужденных колебаний) полигармонического сигнала с известным спектром, но с неизвестными амплитудами, и аналогичной задачи для стохастических стационарных сигналов с неизвестной, но быстро убывающей спектральной плотностью. Первая из этих задач решена в разделе 4.3, а вторая - в разделе 4.4. В разделе 4.2 исследуются вспомогательные задачи оптимизации в гильбертовом пространстве.

В Приложение вынесены некоторые критерии равномерной малости выхода линейной системы на установившемся режиме при произвольном ограниченном внешнем входе, которые используются при решении задачи о приближенной инвариантности.

Заключение диссертации по теме «Дискретная математика и математическая кибернетика», Проскурников, Антон Викторович

Заключение.

Как правило, в задачах управления неопределенными системами невозможно явно найти процесс системы, который удовлетворял бы целевым условиям, невозможно, поскольку такой процесс определяется неизвестными параметрами системы. Однако известны ситуации, когда задача управления в условиях неопределенности имеет решение в виде универсального регулятора. Так называются операторы обратной связи, которые не зависят от неизвестных параметров, и вместе с тем для любых значений этих параметров обеспечивают выполнение цели управления. По сути дела такой регулятор одновременно решает целое семейство задач управления.

Диссертационная работа посвящена изучению вопроса о существовании универсальных регуляторов в классических задачах инвариантности и асимптотического отслеживания (в обеих задачах неизвестным параметром является функция, поступающая на вход системы, в первом случае имеющая смысл "нежелательного" внешнего воздействия, а во втором - задающего сигнала). Несмотря на длинную историю этих задач, полного их решения до сих пор получено не было. Кроме того, строятся универсальные регуляторы в некоторых линейно-квадратичных задачах оптимального отслеживания и подавления вынужденных колебаний при неизвестных внешних сигналах.

Перечислим основные результаты работы:

1) Получено полное описание регуляторов, решающих задачу об инвариантности системы управления (показывается, в том числе, что для разрешимости задачи необходимо выполнение условия, близкого к минимальнофазо-вости объекта). Изучается важный вопрос о достижимости инвариантности в условиях, когда внешнее воздействие не измеряется.

2) Изучен вопрос о приближенном решении задачи инвариантности, когда точное решение без измерения внешнего воздействия невозможно. Показано, что если объект минимальнофазовый (или удовлевторяет близкому условию) и неизмеряемое внешнее воздействие ограничено или имеет ограниченную производную какого-либо порядка, то задачу инвариантности можно решить приближенно с произвольной точностью. Формулы для соответствующих регуляторов близки к формулам, предложенным М.В.Мееровым [35], однако в отличие от этой и других работ по приближенной инвариантности, доказывается равномерная малость "установившегося" выхода системы. Это свойство не следует из равномерной малости передаточной функции.

3) Получено полное описание регуляторов, решающих задачу об отслеживании неизвестного заранее задающего сигнала.

4) Изучена общая задача линейно-квадратичной оптимизации при наличии в системе полигармонических внешних сигналов с известным спектром, но неизвестными амплитудами. Данная задача включает в качестве частных случаев задачи оптимального отслеживания и оптимального подавления колебаний и является естественным обобщением задач инвариантности и отслеживания на случай, когда необходимые условия их разрешимости не выполнены. Доказано существование линейных универсальных регуляторов, которые при любых внешних сигналах из указанного класса порождют оптимальный (на очень широком множестве) процесс в задаче.

5) Рассмотрена аналогичная линейно-квадратичная задача для случая, когда внешние сигналы есть стационарные случайные процессы с неизвестной спектральной плотностью, для которой задана лишь мажорирующая ее быстро (например, экспоненциально) убывающая функция. Построен линейный регулятор, который при любой спектральной плотности из указанного класса порождает субоптимальный (на широком множестве) с заданным уровнем оптимальности процесс в задаче.

Отметим, что в отличие от предшествующих результатов, указанные в пунктах 1-3 задачи рассмотрены не только для обыкновенных дифференциальных уравнений, но и для систем с запаздываниями.

При решении упомянутых задач использованы, в частности, частотная теорема (лемма Якубовича-Калмана) для однопараметрических Со-полугрупп, некоторые результаты М.Г.Крейна об аппроксимации функций, а также параметризация стабилизирующих регуляторов, предложенная для основных случаев В.А.Якубовичем и более удобная для рассматриваемых задач, чем стандартные параметризации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Проскурников, Антон Викторович, 2005 год

1. Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Р. Абсолютная устойчивость нелинейных регулируемых систем, М., Изд-во АН СССР, 1963

2. Андронов А.Л., Витт А.А., Хайкин С.Э.Теория колебаний, Физматлитиз-дат, 1959

3. Балакришнан А.В. Прикладной функциональный анализ, М., Наука, 1980

4. Барабанов А.Е. Синтез минимаксных регуляторов, СПб, Изд-во СПб-ГУ, 1996

5. Беллман Р., Кук К.Дифференциально-разностные уравнения, М., Мир, 1967

6. Вознесенский И.Н. К вопросу о выборе схемы регулирования теплофикационных турбин//За советское энергооборудование, 1934, вып.6, с.58-65

7. Вознесенский И.Н. О причинах и схемах автоматического регулирования/ /Прикладная математика и механика, 1942, т.6, с.101-110

8. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц, М., Наука, 1971

9. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович, В.А. Устойчивость систем с неединственным состоянием равновесия, М., Наука, 1978

10. Гельфанд И.М., Виленкин Я.Н. Обобщенные функции, вып.4: Некоторые применения гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства, М., Физматгиз, 1961

11. Данфорд Н., Шварц Дж.Т.Линейные операторы (общая теория), М., ИЛ, 1962

12. Дезоер Ч., Видьясагар М. Системы с обратной связью: вход-выходные соотношения, М.,Наука, 1983

13. Зайцев Г.Ф., Стеклов В.К. Комбинированные следящие системы, Киев, Техника, 1976

14. Ивахненко А.Г. Техническая кибернетика, Киев, Гостехиздат, 1959

15. Иосида К. Функциональный анализ, М., Мир, 1967

16. Ишлинский А.Ю. О компенсации внешних возмущений, вызванных маневрированием в гироскопических системах// В кн.: Тр. Всесоюз. со-вещ. по теории инвариантности и ее применениям в автоматических устройствах. Киев: Изд-во АН УССР, 1959. С. 81-92.

17. Красовский А.А.(ред.) Справочник по теории автоматического управления, М., Наука, 1987

18. Крейн М.Г. Об одном обобщении исследований Г.Сегё, В.И.Смирнова и А.Е.Колмогорова! J Доклады АН СССР, 1945, т.46, с.95-98

19. Кулебакин B.C. О применимости принципа абсолютной инвариантности в физически реальных системах//ДАН СССР, 1948, т.60, N2, с.231-234

20. Кулебакин B.C. Об основных задачах и методах повышения качества автоматических регулируемых систем// В сб.:Тр. 2-го Всесоюз. совещ. по теории автоматического регулирования, т.2, Изд-во АН СССР, 1955

21. Кулебакин B.C. Высококачественные инвариантные системы регулирования// В сб.:Тр. Всесоюз. совещ. по теории инвариантности и ее применениям в автоматических устройствах. Киев: Изд-во АН УССР, 1959

22. Кулебакин В.С .Теория инвариантности автоматически регулируемых и управляемых системI/ В сб.: Тр. I Международного конгресса ИФАК, М., Изд-во АН СССР, 1961

23. Кулебакин B.C., Ларичев О.И. О полиинвариантности в системах автоматического регулирования//Известия ОТН, серия "Энергетика и автоматика", 1961, N5

24. Кухтенко А.И. Проблема инвариантности в автоматике, Киев: Техника, 1963, 270с.

25. Кухтенко А.И. Основные этапы формирования терии инвариантности//Автоматика, 1984, N2, с.3-13; 1985, N2, с.3-14; 1985, N6, с.3-14

26. Лакота Н.А.(ред.) Основы проектирования следящих систем, М. Машиностроение, 1978

27. Ларин В.Б., Науменко К.И., Сунцев В.Н. Спектральные методы синтеза линейных схем с обратной связью, Киев, 1971

28. ЛезинаЗ.М., Лезин В.И.(сост.) Г.В.Щипаное и теория инвариантности, М., Физматлит, 2004

29. Линдквист А., Якубович В.А. Универсальные регуляторы для оптимального отслеживания сигналов в линейных дискретных системах.// Доклады РАН, 1998, т.361, N 2, с.177-180.

30. Летов A.M. Устойчивость нелинейных регулируемых систем, М., Го-стехиздат, 1955

31. Лихтарников A.JI., Якубович В.А. Частотная теорема для однопара-метрических полугрупп// Известия АН СССР, серия "Математика", N4, 1977, с.895-911

32. Лурье А.И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования, М., Гостехиздат, 1951

33. Лузин Н.Н. К изучению матричной теории дифференциальных уравнений/ / Автоматика и телемеханика, 1940, N5, с.3-66

34. Лузин Н.Н., Кузнецов П.И. К абсолютной инвариантоности и инвариантности до е в теории дифференциальных уравнений, ч.1,2 //ДАН СССР, 1946, Т.51, N4, С.247-250 и N5, с.331-334.

35. Мееров М.В., Синтез структур автоматического регулирования высокой точности, М., Физматгиз, 1959

36. Мееров М.В., Системы многосвязного регулирования, М., Наука, 1985

37. Михайлов А.В. О методе проектирования регуляторов, предложенном Г.В.Щипановым //Автоматика и телемеханика, 1940, N5, с.129-143.

38. Михайлов Л.Н. Некоторые замечания относительно теории полной компенсации возмущений//Автоматика и телемеханика, 1940, N5, с.145-154

39. Нелепин Р.А. Методы исследования нелинейных систем, М., Наука, 1975

40. Николаи Е.Л. О работе Г.В.Щипанова//Прикладная математика и механика, 1942, Т.6, вып.1, с.11-23.

41. Первозванский А.А .Курс теории автоматического управления, М., Наука, 1986

42. Петров Б.Н. О реализуемости условий инвариантности //В кн.: Тр. Всесоюз. совещ. по теории инвариантности и ее применениям в автоматических устройствах. Киев: Изд-во АН УССР, 1959. С. 59-80.

43. Петров Б.Н .Принцип инвариантности и его применимость при расчете линейных и нелинейных систем//В кн.: Тр. I Международного конгресса ИФАК, М., Изд-во АН СССР, 1961

44. Петров Ю.П.Оптимизация управляемых систем, испытывающих воздействие ветра и морского волнения, М.Судостроение, 1973

45. Попов В.М. Об абсолютной устойчивости нелинейных систем автоматического регулирования// Автоматика и телемеханика, 1961, т.22, N8

46. Попов В.М. Гиперустойчивость автоматических систем, М., Наука, 1970

47. Проскурников А.В. О построении регуляторов, обеспечивающих почти инвариантность системы управления//Вестник СПбГУ, 2002, вып.4, с.37-43

48. Проскурников А.В. О свойствах системы управления, обеспечивающих малость установившегося выхода//Вестник СПбГУ, 2004, вып.1, с.43-49

49. Проскурников А.В., Якубович В.А. Задача об инвариантности системы управления//Доклады РАН, 2003, т.389, N6, с.742-746

50. Проскурников А.В., Якубович В.А. Приближенное решение задачи об инвариантности системы управления//Доклады РАН, 2003, т.392 N6 с. 750-754

51. Проскурников А.В., Якубович В.А. Задача об абсолютной инвариантности для систем управления с запаздываниями/fj\оклады РАН, 2004, т.397, N5, с.610-614

52. Проскурников А.В., Якубович В.А. Синтез стабилизирующего регулятора в задаче отслеживания//Доклады РАН, 2005, т.404, N3, с.321-325

53. Ройтенберг Я.Н.Автоматическое управление, М., Наука, 1978

54. Рябов Б.А .Автоматическое регулирование постоянства подачи воздуха при подземной газификации углей//Автоматика и телемеханика, 1939, N4, с.26-35

55. Рябов Б.А. Возникновение, развитие и состояние теории инвариантности/ / В сб. "Теория инвариантности в системах автоматического управления", М., Наука, 1964, с.10-18

56. Уланов Г.М.Регулирование по возмущению, М., Госэнергоиздат, 1960

57. Уонэм У.М. Линейные многомерные системы управления, М., Наука, 1980

58. Фельдбаум А.А. Вычислительные устройства в автоматических системах, М., Физматгиз, 1959

59. Фомин В.Н. Рекуррентное оценивание и адаптивная фильтрация, Изд-во ЛГУ, 1972

60. Фомин В.Н. Методы управления линейными дискретными объектами, Изд-во ЛГУ, 1985

61. Фомин В.Н., Фрадков А.Л., Якубович В.А. Адаптивное управление динамическими объектами, М., Наука, 1981

62. Фрадков A.JI. Адаптивная стабилизация минималънофазового объекта с векторным входом без измерения производных выхода//Доклады РАН, 1994, т.337, N5, с.592-594

63. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений, М., Мир, 1984

64. Христианович С.А., Гантмахер Ф.Р. Анализ основных положений работы Г.В.Щипанова "Теория и методы построения автоматических регуляторов " //Автоматика и телемеханика,1940, N5, с.41-49.

65. Ширяев А.С., Якубович В.А. Оптимальное отслеоюивание гармонических сигналов в линейных системах при наличии помех в измерениях.// ДАН, 1997, т.353, N 1, с.29-33

66. Щипанов Г.В. Гироскопические приборы слепого полета, Оборониз, 1938

67. Щипанов Г.В. Теория и методы построения автоматических регуляторов //Автоматика и телемеханика, 1939, N1, с.4-37.

68. Якубович В.А. К теории адаптивных систем.//ДАН СССР, т.182, N 3, с.518-522

69. Якубович В.А. Оптимизация и инвариантность линейных стационарных систем управления//Автоматика и телемеханика, 1984, N8, с.5-44

70. Якубович В.А. Линейно-квадратичная задача оптимального гашения вынужденных колебаний при неизвестном гармоническом внешнем воздействии.// Доклады РАН. т.332, N2, 1993, с. 170-172.

71. Якубович В.А. Оптимальное гашение вынужденных колебаний по заданному выходу системы.// Доклады РАН, т.337., N 3, 1994, с.323-327

72. Якубович В.А. Универсальные регуляторы в стохастических задачах управления линейными стационарными объектами.// Автоматика и телемеханика, 1997, N6, с. 170-182

73. Якубович В.А. Задача об оптимальном отслеживании детерминированных гармонических сигналов с известным спектром.// Доклады РАН, т.337, N 4, 1994, с.463-466.

74. Якубович В.А. Универсальные регуляторы в задачах инвариантности и отслеживания// Доклады РАН, 1995, том 343, N 2, с.172-175

75. Якубович В.А. Универсальные регуляторы в линейно-квадратичной задаче оптимального отслеживания.// Докл. РАН, 1996, т.348, N3, 313317

76. Якубович В.А. Универсальный регулятор для оптимального гашения вынужденных колебаний в линейных системах с запаздыванием.// Докл. РАН, 1996, т.346, N 3, с.319-323.

77. Якубович В.А. Синтез стабилизирующих регуляторов, обеспечивающих независимость выходной переменной системы управления от внешнего воздействия.// Докл. РАН, т.380, N 1, 2001, с. 27-30

78. Astrom K.J. Introduction to Stochastic Control Theory Lund;N.Y.: Academic Press, 1970

79. Brockett R. New Issues in the Mathematics of Control, In: Mathematics Unlimited 2001 and Beyond, Engquist B. and Schmid W. (Eds.), Springer, 2001, pp. 189-220

80. Cruz J.В., Perkins W.R. Conditions for Signal and Parametrical Invariance in Dynamical Systems// IEEE Transactions on Automatic Control, 1966, pp.614-615

81. E.J.Davison and A.Goldenberg,Robust control of a general servomechanism problem:The servo compensator//Automatica 11 (1975),461 -471.

82. E.J.Davison and B.M.Scherzinger,Perfect control of the robust servomechanism problem, IEEE Transactions on Automatic Control AC-32 (1987),689 -702.

83. Desoer C.A., Liu R.W., Murray J., Saeks R. Feedback system design: the fractional representation approach//IEEE Transactions on Automatic Control, AC-25, 1980, pp.399-412

84. Desoer C.A., Vidyasagar M. Feedback systems: input-output properties, Academic Press, New York, San Francisco, London, 1975

85. Francis B.A. Linear Multivariable Regulator Problem //SIAM J. Contr. and Opt., 1977, v.15, N3, pp.486-504

86. Francis B.A. Course in H^ control theory, Springer-Verlag, New York, Berlin, Tokyo, 1988

87. B.A.Francis and W.M.Wonham, The internal model principle of control theory Automatica 12 (1977),457-465.

88. Hoagg J.В., Bernstein D.S. Direct Adaptive Dynamic Compensation for Minimum Phase Systems with Unknown Relative Degree//Proceedings of 43rd IEEE Conference on Decision and Control, Atlantis, Paradise Island, Bahamas, 2004, pp. 183-188

89. Lindquist A., Yakubovich V.A. Optimal Damping of Forced Oscillations in Discrete-Time Systems.// IEEE Transactions on Automatic Control, 1997, v.42, N 6, pp.786-802.

90. Lindquist A., Yakubovich V.A. Universal Regulators for Optimal Tracking in Discrete-Time Systems Affected by Harmonic Disturbances./] IEEE Transactions on Automatic Control, AC-44, No 9, 1999, pp. 1688-1704.

91. Makarov I.A., Zuber I.E., Yakubovich V.A. Trajectory Tracking Problem for Automatic Steering and Related Topics.// Transactions of French-Russian A.M.Liapunov Institute for Applied and Computer Science, Moscow, Russia, v.2, 2001, pp.5-19.

92. Minorsky N. Directional Stability of Automatically Steering Bodies// J.Amer.Soc. Naval Eng., 1922, v.34, N2, pp.280-309

93. Proskurnikov A.V. Universal regulators for optimal tracking of poly harmonic signals in delay systems, Preprints of 10th International Students Olympiade on Automatic Control (Baltic Olympiade), pp.7-11, St.-Petersburg, May 2004

94. Sastry S., Bodson M. Adaptive Control: Stability, Convergence and Robustness, Prentice Hall, New Jersey, 1989

95. Wiener N., Hopf E. Uber eine Klasse Singularer Integral Gleichun-#en//Sitz.Acad.Bull., 1931, s.696-706

96. Wonham W.M. Linear Multivariable Control: a Geometric Approach, Springer-Verlag, New York, Heidelberg, Berlin, 1980

97. Yakubovich V.A. Universal Regulators in Linear-Quadratic Optimization Problem. In "Trends in Control: a European Perspective", Alberto Isidori (Ed.), 1995, pp.53-67.

98. Youla D.C., Jabr H.A., Bongiorno, J.J. Modern Wiener-Hopf Design of Optimal Controllers, Part II j j IEEE Transactions on Automatic Control, AC-21, No 3, 1976, pp.319-338