Редукции бездисперсионных интегрируемых иерархий и уравнение Левнера тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.00.00, кандидат наук Ахмедова, Валерия Эдуардовна

• Ахмедова, Валерия Эдуардовна
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Ахмедова, Валерия Эдуардовна

Содержание

1 Введение 4

2 Уравнения Левнера 14

2.1 История уравнения Левнера........................ 14

2.2 Радиальное уравнение Левнера..................... 15

2.3 Хордовое уравнение............................... 16

2.4 Бездисперсионная иерархия КП и связь с уравнением Лев-

нера ............................................ 18

2.4.1 Редукция .................................. 19

2.4.2 Пример .................................... 22

3 Бездисперсионные Пфаффовы иерархии 23

3.1 Алгебраическая формулировка.......................23

3.1.1 Бездисперсионная иерархия Пфафф-КП .........23

3.1.2 Бездисперсионная иерархия Пфафф-Тоды .......24

3.2 Эллиптическая формулировка........................27

3.2.1 Бездисперсионная иерархия Пфафф-КП .........27

3.2.2 Бездисперсионная иерархия Пфафф-Тоды ...... 33

3.3 Сравнение с другими иерархиями ...................35

4 Однокомпонентные редукции 39

4.1 Бездисперсионная иерархия Пфафф-КП .............. 39

4.1.1 Условие согласованности для однокомпонентной редукции ...................................... 39

4.1.2 Система уравнений и их решение..............42

4.1.3 Связь с Пенлеве VI ........................ 43

4.2 Бездисперсионная иерархия Пфафф-Тоды ............ 44

5 N-компонентные редукции бездисперсионной иерархии

Пфафф-КП 47

5.1 Эллиптическое уравнения Левнера и бездисперсионная иерархия Пфафф-КП ........................................ 47

2

5.2 (Система Гиббонса-Царева

5.3 Обобщенный метод годографа

5.4 Метрические коэффициенты g^

5.5 Сохраняющиеся величины..........................

6 Заключение

7 Приложения

49

54

59

61

63

65

7.1 Приложение I. Необходимые сведения о тэта-функциях,

некоторые тождества...................................65

7.2 Приложение II. Доказательство уравнения (110)........68

7.3 Приложение III. Доказательство основного тождества ... 72

7.4 Приложение IV. Вывод эллиптического уравнения Левне-ра из (111) ..............................................

74

7.5 Приложение V. Некоторые вычисления для Пфафф-Тоды..........................................76

7.6 Приложение VI. Коэффициенты Гц....................

7.7 Приложение VII. Доказательство Гц = 2 dy. logg^ ..

Приложение VIII. Доказательство Гц Гц ГЦк + rikГЩ Г^кГц .

79

89

93

7.9 Приложение IX. Доказательство уравнения (185)........101

Список литературы

107

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Редукции бездисперсионных интегрируемых иерархий и уравнение Левнера»

1 Введение

На сегодняшний день хорошо известно, что параметрические семейства однолистных конформных отображений областей с разрезом вдоль некоторой кривой на фиксированную каноническую область (как правило, верхнюю полуплоскость или единичный круг) подчиняются дифференциальному уравнению Левнера (см., например, [1]). Именно с этого уравнения мы начнем наше исследование. Обыкновенное дифференциальное уравнение Левнера задает однопараметрическое семейство конформных отображений канонических областей в себя и служит мощным инструментом исследования свойств однолистных функций. Впервые оно появилось в работе Карла Левнера в 1923 году [2] и относилось к функциям, определенным в единичном круге D. Уравнение содержит произвольную измеримую функцию, которая играет роль "управляющей" функции. Позднее в новых версиях уравнения Левнера рассматривались другие канонические области: полуплоскость, полоса, кольцо. Наибольшее внимание в последние годы уделяется "радиальному" уравнению для D и "хордовому" уравнению для верхней полуплоскости Н. В первой главе данной работы описаны некоторые исторические факты развития метода Левнера и уравнений, носящих сегодня его имя.

Как было показано в работах Дж. Гиббонса и С. Царева [3, 4], возникает интересная связь уравнения Левнера с интегрируемыми иерархиями нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Хордовое уравнение Левнера играет ключевую роль в классификации редукций иерархии Кадомцева-Петвиашвили (КП, KP) в бездисперсион-ном (длинноволновом) пределе. А именно, оно является условием согласованности однокомпонентной редукции со всей бесконечной иерархией. Радиальное уравнение Левнера играет аналогичную роль в иерархии бездисперсионной двумеризованной цепочки Тоды. Увидеть связь без-дисперсионных иерархий с уравнением Левнера легче всего с помощью иерархии КП. Бездисперсионное уравнение КП выглядит следующим образом:

( _3 ) _3 -о

(1)

Бездисперсионная иерархия Кадомцева-Петвиашвили представляет собой бесконечную систему нелинейных дифференциальных уравнений (в частных производных). Эта иерархия неплохо изучена, и у нее есть несколько эквивалентных представлений, однако для иллюстрации связи с уравнением Левнера мы будем пользоваться только соответствую-

4

щим уравнением Хироты:

dti(D(z) - D(())F

(2)

z - Z

Рассмотрев однокомпонентные редукции данной иерархии, мы увидим связь с уравнением Левнера.

После иллюстрации возникающей связи, мы перейдем непосредственно к изучению бездисперсионного предела иерархий Пфафф-КП и Пфафф-

Тоды.

Иерархия Пфафф-КП (также известная как DKP, спаренная иерархия КП, Пфаффова решетка) является иерархией с Doo-симметриями. Впервые она была предложена М. Джимбо и Т. Мивой в 1983 году [5]. Впоследствии она появлялась под разными названиями в различных контекстах [6]-[11]. Ее алгебраическая структура и некоторые частные решения были изучены в [12, 13, 14]. Термин “пфаффова” обусловлен тем, что солитоноподобные решения выражаются через пфаффианы. В тексте диссертации мы будем называть эту иерархию Пфафф-КП или DKP.

Хотя в данном исследовании мы будем изучать только бездисперси-онные иерархии, полезно, однако, посмотреть на "полную" иерархию, чтобы увидеть, что происходит при переходе к бездисперсионному пределу. Итак, первое уравнение иерархии Пфаффовой решетки, так называемое уравнение DKP, выглядит следующим образом:

Как можно увидеть, левая сторона первого уравнения - уравнение КП, а правая сторона представляет собой спаренный член поля v±. Именно поэтому уравнение DKP иногда и называют спаренным КП (cKP). Тут мы воспользовались привычными обозначениями x = t1, y = t2 и t = t3.

В терминах т-функций, u и определяются как

Pn±1

Pn

5

Можно воспользоваться операторами Хироты (производными Хиро-ты), которые определяются следующим образом:

Dkf-g :=

f )g(tk)

С их помощью уравнение DKP задается

(-4D1D3 + D4 + 3D2)TnTn — 24Tn+i Tn-i (3)

(2D3 + D3 3DiD2)Tn±iTn — 0.

Хотя данная иерархия имеет определенное сходство с иерархией КП и цепочкой Тоды, она, безусловно, существенно отличается от них и на данный момент гораздо хуже изучена.

Бездисперсионная версия иерархии Пфафф-КП (dPfaff-KP, dDKP) была предложена в [17, 18]. В форме Хироты она представляет собой бесконечную систему дифференциальных уравнений

z - Z

eD(z)D(Z)F /1____L e2dto(2dto +D(z)+D(Z))^ = 1 - D(z)F D(Z)F

\ z2(2 7 z - ( '

(4) e-D'z'D<z )F---------Z---------------= z+Z - dti(2d,, + D(z) + D(Z ))ғ

(5) на функцию F — F(t) от бесконечного числа (действительных) времен t — {to,ti, t2,...}, где

z - Z

z-к

D(Z) — X .

к> 1

(6)

Функция F является бездисперсионным аналогом тау-функции. Дифференциальные уравнения получаются из уравнений (4), (5) разложением по степеням z и Z. Тогда бездисперсионное уравнение Пфаффовой решетки задается

6F2 + 3F22 - 4Fi3 — 12e4F00

2Ғоз + 4F0i + 6F0i Fii - 6F0iFo2 — 3Fi2.

(7)

Для краткости мы используем обозначения Fmn = dtn F. Этот же результат мы могли получить непосредственно из уравнения DKP (3), воспользовавшись пределами — exp(log Tn±i - log Tn) exp(±h-iF0) и v+v- — exp(log Tn+i - 2 log Tn + log Tn-i) exp(F0o) при h 0.

6

Двумерная иерархия Пфафф-Тоды, предложенная в [11, 17], является обобщением иерархии Пфафф-КП и связана с ней так же, как двуме-ризованная цепочка Тоды связана с иерархией КП. В частности, обобщение Пфафф-КП —Пфафф-Тода предполагает удвоение набора иерархических времен. В данной работе мы будем работать с “вещественными формами” иерархий, что означает, что времена КП считаются действительными числами, в то время как два набора времен Тоды являются комплексно сопряженными друг другу.

Бездисперсионная версия иерархии Пфафф-Тоды (dPfaff-Toda) [17] пишется для функции F, зависящей от бесконечного в обе стороны набора времен {..., *2, Д, r, s, t1, t2, - - -}. Поскольку различные иерархии в данной работе не пересекаются, мы сохраним обозначение F для бездис-персионной тау-функции. Действительная форма иерархии, с которой мы будем иметь дело, подразумевает, что время Д комплексно сопряжено к Д, s действительно, а r - чисто мнимое. Основные уравнения выглядят следующим образом:

eD(z)D(Z )F

D(z)F _ Zg-TD(Z)F

(8)

(

gD(z)D(Z)F

zg3,D(:)F _ ^(<)F

,

g.D(z).D(OF Л _ gd^ds-dr+D(z)+D(Z))_

z* 7 z - *

_ gdr (d.+dr+D(z)+D(Z))F_ zg-d,D(z)F - Zg-dsD(Z)F

zZ 7 z - Z ,

(10) zg-ds^(z)F - zg-d,D(Z)F

(9)

gD(7)D(7)F

_ g-d^T-dr+.D(z)+.D(O)F^

z* 7

g-D(z)D(Z)F

_ еТ(dr +D(z)-.D(7^F

z*

_ gd^d,+D(z)+.D(^)F

zZ* ,

(11)

(12)

z _ Z

z _ Z

z _ Z

g^d.+dr+D(z^ ^(7)^ 1

_ _ *-k

Здесь D(z)_Y2 -ДТ

1

_ zg-d^a,+D(z)+.D(o)ЩеДа.-а.+^Ӣ^D(z)F - p .

(13) dfk является комплексно сопряженным аналогом

дифференциального оператора (6). Заметим, что уравнения (9), (11) получаются, соответственно, из (8), (10) с помощью “оператора постановки черты” D D, z z, Z *, , s s _ s, r r _ -r, действие

7

которого можно рассматривать как комплексное сопряжение при условии, что функция F действительна. Мы видим, что у каждого уравнения есть "чертованный аналог”. В то же время уравнения (12) и (13) действительны, т.е. они не меняются при комплексном сопряжении. Далее в тексте мы не будем постоянно выписывать пары комплексно-сопряженных уравнений и ограничимся написанием лишь одного из каждой пары, не забывая при этом о том, что оба выполняются одновременно. Для дальнейшего удобно будет ввести комплексно-сопряженные "нулевые времена” to = s + r, to = s - r, тогда d,, = 2(ds + dr), do, = 1 (ds - dr).

Дифференциальные уравнения иерархии получаются из уравнений (8)-(13) разложением по степеням z, Z, Д Д Первые два уравнения имеют вид

eFo0 Foi = е^ Foi,

(14) F14 = 2 eFoo+Foo sinh^FOo) -

Мы пользуемся обозначениями = dt dt F, = dt do F, =

ЕЕ dom don F.

Во второй главе мы подробно рассмотрим Пфаффовы иерархии в алгебраической формулировке, затем перейдем к рассмотрению эллиптической формулировки бездисперсионной иерархии Пфафф-КП, и обобщим результат на случай иерархии бездисперсионной Пфафф-Тоды [21], [22],[21]. Мы докажем теоремы об эллиптической параметризации пфаффовых иерархий.

Теорема 1.1. БезДисперсионная иерархия Пфафф-КП Допускает эллиптическую параметризацию, и 6 такой форме вместо (4) и (5) заДается уравнением:

tz-1 _ z-1) ev(zi)V(z2)F = Ө1 (u(zi)-u(z2))T) ( )

ӨДu(zi) -u(Z2)]n)

с Дифференциальным оператором

V(z) = d,, + D(z), (16)

и вспомогательным уравнением , определяющим функцию u(z)

V(z)F = z ^1(u(z))T)

^4(u(z)]F )

(17)

Аналогично формулируется теорема для бездисперсионной иерархии Пфафф-Тоды.

8

Теорема 1.2. БезДисперсионная иерархия Пфафф-ТоДы Допускает эллиптическую параметризацию. Параметризацию можно выбрать так, чтобы уравнения иерархии записывались в следующем виДе:

(z-1 - z-1)

eV(zi)^7(^2)F

(z-1 - z-1) e^(zi)^(z2)F

61(u(zi) - u(z2)]x)

^4(u(z1) - u(z2)]T)'

61(u(z1) + u(z2) + п]т)

^4(u(z1) + u(z2) + П]т)'

61(u(zj) - u(z2)]T)

^4(u(z1) - u(z2)]T)'

(18)

с Дифференциальными операторами

V(z) = d,, + D(z) ,

(19)

и

^(z) = df„ + D?(z), (20)

и вспомогательными уравнениями

edt0V(z)F = z ^1(u(z)]т) ed^0V(z)F = ^1(u(z) + n]т) (21)

e z66(u(z )]т), e 66(u(z)+ n ]т).

В такой формулировке число независимых уравнений уменьшается, и несколько неуклюжие на вид уравнения бездисперсионных иерархий Пфафф-КП и Пфафф-Тоды обретают более привлекательную форму, в которой они выглядят как естественные эллиптические деформации бездисперсионной иерархии КП или модифицированной иерархии КП (mKP) и двумеризованной цепочки Тоды (2DTL).

Обратим внимание на первое уравнение Пфафф-Тоды в эллиптической формулировке, оно такое же, как и в (15). Это означает, что “половина” бездисперсионной иерархии Пфафф-Тоды (с фиксированными временами “с чертой”) совпадает с бездисперсионной Пфафф-КП. Этот факт было бы нелегко увидеть в алгебраической формулировке. Третье уравнение является комплексно сопряженной версией первого. Оно представляет собой другую копию бездисперсионной иерархии Пфафф-КП, только уже относительно времен П, с фиксированными П. Второе уравнение содержит смешанные производные по временам {П} и {й} и, таким образом, объединяет две иерархии в одну более общую. Это уравнение инвариантно относительно комплексного сопряжения.

9

Хотелось бы также отметить, что в эллиптической параметризации модулярный параметр T является динамической переменной. Это свойство указывает на некоторое сходство с уравнениями Уизема для рода 1 [25] и интегрируемыми структурами, связанными с краевыми задачами в плоских двусвязных областях [26].

Так как Пфаффовы иерархии менее изучены, чем более привычные иерархии КП или Тоды, то мы нашли полезным дать подробное сравнение этих иерархий.

Третья глава посвящена однокомпонентным редукциям пфаффовых иерархий [21],[22]. Как и в предыдущей главе, начнем исследование с однокомпонентных редукций бездисперсионныой иерархии Пфафф-КП, считая, что все динамические переменные зависят от времен t через одну единственную переменную, в качестве которой, без ограниения общности, можно выбрать модулярный параметр T. Мы покажем, что такие редукции классифицируются решениями дифференциального уравнения, которое является эллиптическим аналогом уравнения Левнера (см. например, [27, гл. 6]). В комплексном анализе это "эллиптическое уравнение Левнера" также известно как уравнение Голузина-Комацу [28, 29], см. также [30, 31, 32, 33]. В тексте мы используем обозначение Z,(u,T) :— du log^(u]T).

Теорема 1.3. Функция u(z,T) совместна с бесконечной безДисперси-онной иерархией Пфафф-КП , если удовлетворяет Дифференциальному уравнению

u(z) — -Zi(u(z)+ z (T )IT ) - Z4 (u(z) + Z (T )IT) + <Ж (T )IT ) + Ct(Z (T )IT), (22) гДе (T) является произвольной функцией от T.

Произвольная непрерывная функция (T) называется "функцией управления" или "управляющей функцией". Данное уравнение является основным элементом теории параметрических конформных отображений двусвязных областей с разрезом на кольцо. На протяжении последних десяти лет интерес к этой теме возрос в связи с эволюцией Шрамма-Левнера (SLE); для SLE в кольце см. [34, 35]. Как уже отмечалось выше, подобная связь между хордовым уравнением Левнера и однокомпонентными редукциями бездисперсионной иерархии КП была известна из работ Дж. Гиббонса и С. Царева [3, 4]. Дальнейшее развитие обсуждается в [36]-[40].

Также мы отмечаем неожиданную связь с уравнением Пенлеве. А именно, мы покажем, что вторая производная по T эллиптического урав

10

нения Левнера (22), с определенным выбором управляющей функции, дает записанное в эллиптической форме уравнение Пенлеве VI со специальными значениями параметров.

Далее мы проделываем аналогичные вычисления для однокомпонентной редукции бездисперсионной иерархии Пфафф-Тоды. Как и предполагалось, получаем систему из уравнений Голузина-Комацу как условие согласованности редукции с иерархией.

Теорема 1.4. Достаточными условиями Для того, чтобы функции u(z, т), u(z, т) и п(т) были совместными с бесконечной иерархией Пфафф-ТоДы, являются уравнения

' 4(ЛдТДт) = —E (2 + in) — E (2 — in)

< 4nidTu(z,T) = —E(u + 2 у in) + E(2 у in) (23)

4nidTU(z,T) = —E(u + 2 — i^) + E(2 — in)

с

Щ) = V)

(т) = П(2Т) + iK(T),

iK(T

(24)

гДе к(т) - "управляющая функция".

В четвертой главе мы изучаем диагональные N -компонентные редукции иерархии dDKP [21], т.е. теперь u будет зависеть от времен через N вещественных переменных Д. Отправной точкой будет служить система N эллиптических уравнений Левнера, которая характеризует зависимость u(z) от переменных^:

4ni ду.Дщ {Д}) = — z^u+ф , 2^ у , х) (25)

В свою очередь их условие совместимости выражается эллиптической системой Гиббонса-Царева.

Теорема 1.5. Условием совместимости системы эллиптических уравнений Левнера

4ni ду.Дщ {А,}) = — 2^u+, 2^ у , г)

' дт

JaXj,

(26)

(27)

является система

д-\'

= 4^1 (Zi(—+ ^7',т') — Zi(^j,т'))

дт

11

д 2T дАк дАд

дт дт дАк дАд

(28)

?

Для всех j = 1,...,N, j = k.

Зависимость переменных Aj от времен фиксируется системой квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных сле-

дующего вида:

dAj dtk

({Ai} )

dAj dto

(29)

где фщ({Л)}) определена с помощью “эллиптической функции Фабера”. Мы докажем также, что система (29) совместна и может быть решена с помощью обобщенного метода годографа, разработанного С. Царевым в 41]. Для общей теории уравнений гидродинамического типа см. также 42, 43, 44].

Теорема 1.6. Рассмотрим следующую систему Для R. = R.({Aj}), 2 = 1,...,N

dR) дА7

= Гд(Rj - R.),

i,j = 1,...,N, 2 = j

(30)

гДе Г.д определяется

Г =

1 S(j)

4ni S'({.)

S"(?. - )

дт

дА7.

(31)

ТогДа выполняется слеДующее:

(i) Система (30) совместна в смысле /41).

(ii) ПреДположим, что R. уДовлетворяет системе (30). Если A.(t) опреДеляется неявно соотношением гоДографа

^0 + ({Aj})tn = Ri({Aj}), (32)

n>1

тогДа Aj (t) уДовлетворяет (29).

Кроме того, изучим тип метрики.

Лемма 1.1. Метрика g. преДставляет собой метрику егоровского ти-

па, т.е. имеет место соотношение

дд. dgk (33)

dAk = дА.. ()

12

Таким образом, пятая глава организована следующим образом: в первом параграфе мы определяем N-компонентные редукции с помощью системы эллиптических уравнений Левнера, далее во втором параграфе выводим условие их совеместности (эллиптический аналог системы Гиббонса-Царева), третий параграф посвящен обобщенному методу годографа, в четвертом параграфе доказываем, что соответствующая диагональная метрика принадлежит егоровскому типу и находим ее потенциальную функцию. Наконец, в пятом параграфе мы обсуждаем сохраняющиеся величины. Подробности вычислений в полном объеме содержатся в приложениях.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ахмедова, Валерия Эдуардовна, 2018 год

Список литературы

[1] L. Duren, Univalent Functions, Springer, 1983

[2] K. Lowner, Untersuchungen uber schlichte konforme Abbildungen des Einheitskreises. I, Math. Ann. 89, 1923, 103-121.

[3] J. Gibbons, S. Tsarev, Reductions of the Benney equations, Phys. Lett. A211, 1996, 19-24.

[4] J. Gibbons, S. Tsarev, Conformal maps and reductions of the Benney equations, Phys. Lett. A258, 1999, 263-271.

[5] M. Jimbo, T. Miwa, Soliton equations and infinite dimensional Lie algebras, Publ. RIMS, Kyoto University 19, 1983, 943-1001.

[6] R. Hirota, Y. Ohta, Hierarchies of coupled soliton equations I, J. Phys. Soc. Japan 60, 1991, 798-809.

[7] M. Adler, E. Horozov, P. van Moerbeke, The Pfaff lattice and skew-orthogonal polynomials, Int. Math. Res. Notices 1999, 1999, no 11, 569-588.

[8] M. Adler, T. Shiota, P. van Moerbeke, Pfaff т-functions, Math. Ann. 322, 2002, 423-476.

[9] S. Kakei, Orthogonal and symplectic matrix integrals and coupled KP hierarchy, J. Phys. Soc. Japan 99, 1999, 2875-2877.

[10] S. Isojima, R. Willox, J. Satsuma, On various solutions of the coupled KP equation, J. Phys. A: Math. Gen. 35, 2002, 6893-6909.

[11] R. Willox, On a generalized Tzitzeica equation, Glasgow Math. J. 47A, 2005, 221-231.

[12] Y. Kodama, K.-I. Maruno, N-soliton solutions to the DKP hierarchy and the Weyl group actions, J. Phys. A: Math. Gen. 39, 2006, 40634086.

[13] Y. Kodama, V. Pierce, Combinatorics of dispersionless integrable systems and universality in random matrix theory, Commun. Math. Phys. 292, 2009, 529-568.

107

[14] M. Adler, V. Kuznetsov, P. van Moerbeke, Rational solutions to the Pfaff lattice and Jack polynomials, Ergodic Theory Dynam. Systems 22, 2002, 1365-1405.

[15] J. van de Leur, Matrix integrals and the geometry of spinors, J. Nonlinear Math. Phys. 8, 2001, 288-310.

[16] A. Orlov, Deformed Ginibre ensembles and integrable systems, Phys. Lett. A 378, 2014 319-328.

[17] K. Takasaki, Auxiliary linear problem, difference Fay identities and dispersionless limit of Pfaff-Toda hierarchy, SIGMA 5, 2009, 109.

[18] K. Takasaki, Differential Fay identities and auxiliary linear problem of integrable hiearchies, Advanced Studies in Pure Mathematics 61, 2011, 387-441.

[19] K. Takasaki, T. Takebe, Integrable hierarchies and dispersionless limit, Rev. Math. Phys. 7, 1995, 743-808.

[20] T. Takebe, Lectures on Dispersionless Integrable Hierarchies, Rikkyo Center of Mathematical Physics Lecture Note 2 , 2014

[21] V. Akhmedova, A. Zabrodin, Dispersionless DKP hierarchy and elliptic Lowner equation, J. Phys. A: Math. Theor. 47, 2014, 392001.

[22] V. Akhmedova, A. Zabrodin, Elliptic parametrization of Pfaff integrable hierarchies in the zero dispersion limit, Theor. Math. Phys. 185, 2015, 410-422.

[23] V. Akhmedova and A. Zabrodin, Dispersionless Pfaff-Toda hierarchy and elliptic Lowner equation, J. of Math. Phys. 57-10, 2016.

[24] V. Akhmedova, T. Takebe, A. Zabrodin, Multi-variable reductions of the dispersionless DKP hierarchy, J. Phys. A: Math. Theor. 50, 2017.

[25] I. Krichever, The method of averaging for two dimensional integrable equations, Funct. Anal. Appl. 22, 1989, 200-213.

[26] I. Krichever, A. Marshakov, A. Zabrodin, Integrable Structure of the Dirichlet Boundary Problem in Multiply-Connected Domains, Commun. Math. Phys. 259, 2005, 1-44.

[27] C. Pommerenke, Univalent functions, Gottingen, 1975.

108

[28] Г. М. Голузин, О параметрическом представлении функций, однолистных 6 кольце Матем. сб., 1951, 29(71):2, 469-476.

[29] Y. Komatu, Untersuchungen uber lonf^orme Abbildung von zweifach zusammenhangenden Gebieten, Proc. of the Physico-Mathematical Society of Japan 25, 1943) 1-42 (Avaliable via J-Stage: https://www.jstage.jst.go.jp).

[30] Александров И.А., Параметрические продолжения в теории однолистных функций, М. Наука. 1976г. 344 с.

[31] M. D. Contreras, S. Diaz-Madrigal, P. Gumenyuk, Loewner Theory in annulus I: evolution families and differential equations, Trans. Amer. Math. Soc. 365, 2013, 2505-2543.

[32] M. D. Contreras, S. Diaz-Madrigal, P. Gumenyuk, Loewner Theory in annulus II: Loewner chains, Anal. Math. Phys. 1, 2011, 351-385.

[33] F. Bracci, M. D. Contreras, S. Diaz-Madrigal, A. Vasil'ev, Classical and stochastic Lowner-Kufarev equations, Harmonic and Complex Analysis and Applications, Birkhauser-Verlag, 2013, pp. 39-134.

[34] R. Bauer, R. Friedrich, Stochastic Loewner evolution in multiply connected domains, C. R. Math. Acad. Sci. Paris 339, 2004, 579-584.

[35] D. Zhan, Stochastic Loewner evolution in doubly connected domains, Probability Theory and Related Fields 129, 2004, 340-380.

[36] M. Manas, L. Martinez-Alonso, E. Medina, Reductions and hodograph solutions of the dispersionless KP hierarchy , J. Phys. A: Math. Gen. 35, 2002, 401-417.

[37] M. Manas, S-functions, reductions and hodograph solutions of the rth dispersionless modified KP and Dym hierarchies, J. Phys. A: Math. Gen. 37, 2004, 11191-11221.

[38] K. Takasaki, T. Takebe, Radial Lowner equation and dispersionless cmKP hierarchy.

[39] T. Takebe, L.-P. Teo, A. Zabrodin, Lowner equation and dispersionless hierarchies, J. Phys. A: Math. Gen. 39,2006, 11479-11501.

[40] T. Takebe, Dispersionless BKP hierarchy and quadrant Lowner equation, SIGMA 10,2014, 023 (13 pp.).

109

[41] С. П. Царев, Геометрия гамильтоновых систем гиДроДинамического типа. Обобщенный метоД гоДографа Изв. АН СССР. Сер. матем., 1990, 54:5, 1048-1068

[42] B.A. Dubrovin, S.P. Novikov, Hydrodynamics of weakly deformed soliton lattices. Differential geometry and Hamiltonian theory, Russian Math. Surveys 44, no. 6, 1989, 35-124.

[43] M. Pavlov, Algebro-geometric approach in the theory of integrable hydrodynamic-type systems, Comm. Math. Phys. 272, 2007, 469-505.

[44] E. Ferapontov, K. Khusnutdinova, On integrability of (2+1)-dimensional quasilinear systems, Comm. Math. Phys. 248, 2004, 187206.

[45] L. de Branges,A proof of the Bieberbach conjecture , Acta Math. 154, 1985, 137-152.

[46] C. H. Fitzgerald, Ch. Pommerenke,The de Branges theorem on univalent functions, Trans. Amer. Math. Soc. 290, 1985, 683-690

[47] G. F. Lawler, O. Schramm, W. Werner, Values of Brownian intersection exponents. I. Half-plane exponents, Acta Math. 187, 2001, 237-273.

[48] G. F. Lawler, O. Schramm, W. Werner, Values of Brownian intersection exponents. II. Plane exponents, Acta Math. 187 , 2001, 275-308

[49] J. R. Lind, A sharp condition for the Loewner equation to generate slits, Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. 30,2005) 143-158.

[50] J. R. Lind, D. E. Marshall, S. Rohde, Collisions and spirals of Loewner Traces, to appear in Duke Math. J.

[51] D. E. Marshall, S. Rohde, The Loewner differential equation and slit mappings, J. Amer. Math. Soc. 18,2005, 763-778.

[52] D. Prokhorov, A. Vasil'ev, Singular and tangent slit solutions to the Lowner equation, in Analysis and Mathematical Physics, Trends in Mathematics, Birkhauser Verlag, 2009, 455-463.

[53] Куфарев П.П. Об интегралах простейшего Дифференциального уравнения с подвижной полярной особенностью правой части Ученые записки Томского ун-та. 1946.- т. 1.- с. 35-48.

110

[54] Куфарев П.П., Соболев В.В., Спорышева Л.В. Об оДном метоДе исследования экстремальных заДач Для функций, оДнолистных в полуплоскости, Вопросы геометрическ. теории функций: Труды Томского унта. 1968. - т. 200, вып. 5. - с. 142-164.

[55] Куваев М.Р., Куфарев П.П. Об уравнении типа Левнера Для многосвязных областей, Ученые записки Томского ун-та. 1955. - т. 25. - с. 19-34.

[56] П. П. Куфарев, Об оДнопараметрических семействах аналитических функций, Матем. сб., 1943, 13(55):1, 87-118

[57] S. T. Aleksandrov, V. V. Sobolev,Extremal problems in some classes of functions, univalent in the half plane, having a finite angular residue at infinity, Siberian Math. J. 27, 1986, 145-154. Translation from Sibirsk. Mat. Zh. 27, 1986, 3-13.

[58] В. В. Горяйнов, Полугруппы конформных отображений Матем. сб., 1986, 129(171):4, 451-472

[59] V. V. Goryainov, I. Ba,Semigroups of conformal mappings of the upper half-plane into itself with hydrodynamic normalization at infinity, Ukrainian Math. J. 44, 1992, 1209-1217.

[60] И. А. Александров, В. В. Черников, Павел Парфеньевич Куфарев (некролог) УМН, 1969, 24:4(148), 181-184

[61] Yu. Manin, Sixth Painleve equation, universal elliptic curve, and mirror of P2, Am. Math. Soc. Transl. 186 (2), 1998, 131-151.

[62] A. Odesskii, V. Sokolov, Systems of Gibbons-Tsarev type and integrable 3-dimensional models.

[63] А. В. Одесский, В. В. Соколов, Интегрируемые (2+1)-мерные системы гиДроДинамического типа ТМФ, 2010, 163:2, 179-221

[64] А. В. Одесский, В. В. Соколов, Интегрируемые эллиптические псевДопотенциалы ТМФ, 2009, 161:1, 21-36

[65] V. Shramchenko, Integrable systems related to elliptic branched coverings, J. Physics A: Math. and Gen.,36 (42), 2003, 1058510605,

[66] M. Sato, Y. Sato, Soliton equations as dynamical systems on infinite dimensional Grassmann manifold, Lecture Notes in Num. Appl. Anal. 5, 1982, 259-271.

111

[67] T. Takebe, Toda lattice hierarchy and conservation laws, Commun. Math. Phys. 129, 1990) 281-318.

[68] K. Takasaki, Painleve-Calogero correspondence revisited, J. Math. Phys. 42, 2001, 1443-1473.

[69] A. Zabrodin, A. Zotov, Quantum Painleve-Calogero correspondence for Painleve VI, J. Math. Phys. 53,2012, 073508.

[70] S. Kharchev, A. Zabrodin, Theta vocabulary I, Journal of Geometry and Physics, 94, 2015, 19-31.

[71] D. Mumford, Tata Lectures on Theta I, Birkhauser , 1982.

[72] Ch. Pommerenke, Uber die Subordination analytischer Funktionen, J. Reine Angew. Math. 218, 1965, 159-173.

[73] O. Schramm, Scaling limits of loop-erased random walks and uniform spanning trees, Israel J. Math. 118, 2000, 221-288.

[74] А. В. Забродин, Разностные уравнения Хироты, ТМФ, 1997, 113:2, 179-230