Реконструкция динамики геофизических систем из геометрии и топологии матричных данных тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.03.03, доктор физико-математических наук Макаренко, Николай Григорьевич

• Макаренко, Николай Григорьевич
• доктор физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Макаренко, Николай Григорьевич

Введение

Глава 1 Математическая морфология и геометрия случайных полей

1.1 Задача о выбросах случайной функции в Л

1.2 Случайные поля \ д

1.3 Функционалы Минковского

Глава 2 Элементы вычислительной топологии

2.1 Связность

2.2 Множество Кантора

2.3 Ковер Серпинского

2.4 Группы гомологий

Глава 3 Математическая морфология и топология глобального магнитного поля Солнца

3.1 Основные структуры в атмосфере Солнца

3.2 Магнитный цикл активности Солнца

3.3 Морфологические функционалы и топология синоптических карт

3.4 Вычислительная топология На - карт

Глава 4 Фрактальная геометрия и мультифрактальный анализ

4.1 Размерности и меры

4.2 Мультифрактальный формализм

4.3 Поточечный анализ регулярности

4.4 Фрактальные и мультифрактальные свойства Солнечных индексов ЮЗ

Глава 5 Реконструкция динамических систем по хаотическим временным рядам

5.1 Исторические замечания

5.2 Элементы дифференциальной топологии

5.3 Эмбедология и Теорема Такенса

5.4 Корреляционная размерность

5.5 Динамические инварианты Солнечных индексов

Глава 6 Приложения к геофизике

6.1 Гельдеровская диагностика волновой динамики атмосферы по 155 вариациям интенсивности космического излучения

6.2 Морфологические меры в сейсмологии

6.3 Мультифрактальный и морфологический анализ радионуклидных 166 полей

Глава 7 Нелинейный прогноз временных рядов с помощью искусственных нейронных сетей

7.1 AR прогноз

7.2 Локальная параметрическая AR модель

7.3 Нелинейный многомерный AR прогноз

7.4 Общие принципы аппроксимации

7.5 Элементы теории искусственных нейронных сетей

7.6 Нейропрогноз 194 Заключение 204 Список использованных источников

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Реконструкция динамики геофизических систем из геометрии и топологии матричных данных»

Стандартные подходы к моделированию динамических систем основаны главным образом на принципах классической аналитики, так что «непостижимая эффективность математики в естественных науках»[1], обязана прежде всего моделям, заданным дифференциальными уравнениями. На практике использование и верификация аналитических моделей связаны с определенным трудностям. Они возникают прежде всего потому, что "фазовые" переменные, входящие в уравнения обычно недоступны прямым наблюдениям. С другой стороны, стремление удовлетворить требованиям теоремы существования и единственности решений часто требуют "линеаризации" уравнений: при этом приходиться пренебрегать малыми членами, либо исключать "несущественные" связи. Известным примером таких процедур является "приближение линейных мод", основанное на предположении о справедливости принципа линейной суперпозиции. Нелинейные случаи, связанные с системами, имеющими много степеней свободы обычно описывались уравнениями гиперболического типа, либо редуцировались к линейным уравнениям с малыми возмущениями. Редукция уравнений нередко приводила к чрезмерно упрощенным моделям, которые описывали ситуации, далекие от реальности. Поэтому, во многих случаях стали популярными численные решения исходных уравнений. Они привели к двум новым теоретическим конструкциям нелинейной физики: солитону и странному аттрактору[4- 9].

В численных решениях существуют свои трудности. Они связаны с обоснованием корректности дискретизации уравнений, выбором устойчивого метода интегрирования, подходящей модели для динамического и наблюдаемого шума и принципов оценки "ошибки модели"[25-28,286].

В прикладных областях стандартное численное моделирование сводилось главным образом к полуэмпирическим линейным схемам1, основанным на фильтрованных суммах случайных стационарных процессов -AR,ARMA,ARIMA и т.д. или методам спектрального оценивания временных рядов[2,3]. Такие модели в принципе не могли ответить на вопрос о природе источника сигнала, поскольку последняя, периодическая или стохастическая, уже содержалась ipso facto в самом методе. Моделирование сводилось, таким образом, к нахождению набора свободных параметров, при неявном предположении о выполнении условий эргодичности, стационарности и конечномерности данных [284]. Таким образом, вера в то, что аналитическая схема "изоморфна" реальности, которую можно представить как суперпозицию простых линейных фактов, в теории и эксперименте стала почти апокрифической догмой.

Однако, за последние двадцать пять лет наши представления о природе нелинейности изменились радикальным образом. Оказалось, что даже в системах детерминированных уравнений с небольшим числом степеней

1 Исключением являются пороговые AR модели для описания предельных циклов[214]. 3 свободы может возникать стохастическое поведение[4-7,9,12]. При этом тип нелинейности оказался более значимым, нежели размерность или форма самих уравнений. Если решения сильно зависят от начальных условий, малые погрешности начальных данных экспоненциально растут в фазовом потоке и, начиная с некоторого момента времени, будущее состояние системы становится непредсказуемым. Траектории такой системы заполняют низкоразмерное инвариантное притягивающее подмножество {аттрактор) в фазовом пространстве[13,221]. Траектории на аттракторе разбегаются в одних (неустойчивых) направлениях и сжимаются в других[4-5,9-10].

Вследствие диссипации сжатие преобладает и в устойчивых направлениях аттрактор копирует сам себя: сечение фазового потока приобретает самоподобную (странную) структуру канторова множества с дробной размерностью[4,11]. С точки зрения внешнего наблюдателя аттрактор ведет себя как гибкий информационный процессор, обрабатывающий информацию о начальных данных. Новая информация порождается не только каскадом бифуркаций, приводящих к нарушению симметрии, но и последовательными итерациями, приводящими к все более тонкому разрешению геометрической структуры[9,12]. Такая "аппаратурная реализация" может исполнять очень сложный функциональный репертуар, меняя поведение от относительно простого, квазипериодического (ламинарного) до турбулентного стохастического) [4-7, 9,12]. Стохастичность может возникнуть и в консервативных системах[7-8], если их фазовый объем сжимается в < 2 некоторых направлениях. Так возникла новая парадигма Динамического

Хаоса [6,12,217,219,233].

Первой структурой описанного типа был аттрактор Лоренца [7], предложенный в 1968г. в качестве наглядной модели турбулентности для системы, полученной из уравнений Навъе-Стокса с помощью галеркинской процедуры. Строгое понятие (гиперболического) аттрактора, было предложено Смейлом, для выделенного класса диффеоморфизмов, однако универсального определения не существует до сих пор[ 10,13,221]. Математической моделью аттрактора, в общем случае, являются дифференцируемые или фрактальные многообразия^, 13], для описания которых необходимы современные методы геометрии и топологии [10,11,14,222].

С физической точки зрения, все что наблюдаемо, т.е. проявляется с ненулевой вероятностью, тем или иным образом ассоциируется с чем-то типичным или притягивающим, т.е. находиться на аттракторе. Поскольку сценарий перехода к хаосу зависит лишь от типа нелинейности, простые «игрушечные» модели {toy models), наследующие этот тип, часто более полезны для практики, нежели сложные системы уравнений. Поэтому новые идеи были безболезненно восприняты экспериментаторами, огромный интерес которых к новой парадигме был вызван по меньшей мере двумя обстоятельствами. Во-первых, большинство типичных природных систем

2 Синоиимы: диссипативный или детерминированный Хаос 4 являются диссипативными и описываются нелинейными уравнениями. Во-вторых, появился практический метод восстановления образа аттрактора по проекции фазовой траектории на произвольное направление, т.е. по наблюдаемому временному ряду[4,6,215-220,223-228,231-237]. Формально такая реконструкция представляет собой дифференцируемое вложение ряда в обычное евклидово пространство подходящей размерности. Таким образом, экспериментатор получил уникальную возможность получить универсальную модель системы или даже уравнения [24], прямо из наблюдений, почти в точности следуя стратегии узников, следящих за тенями на стенах пещеры, в аллегории Платона[29]. Следует заметить, что в истории науки уже были удачные попытки получить модель непосредственно из данных. Наиболее известная из них - гелиоцентрическая модель эллиптического движения планет. Три знаменитых закона были получены Иоганном Кеплером из Вюртенберга (1571-1630гг.) посредством чудовищных по объему ручных вычислений по наблюдениям пражского астронома Тихо Браге (1546-1601гг.). Модель Кеплера не только замечательный пример получения явных знаний из таблиц данных. Она имела замечательные предсказательные возможности, реализованные Кеплером в, так называемых, Рудольфовых таблицах - наперед рассчитанных эфемеридах нескольких планет.

Метод реконструкции аттрактора из скалярных временных рядов был предложен в 1980г., как эвристический, в статье Геометрия из временных рядов [15]. Год спустя он стал строгим, благодаря работе Такенса[\6], который обобщил теорему Уитни о вложении дифференцируемых многообразий в R" на динамические потоки и каскады. Эта теорема утверждает[17], что любое гладкое многообразие X с размерностью dimХ = п может быть вложено в Rm,m>2n, так что для подходящего диффеоморфизма / \Х -» Г; Г с: Rm, его образ: f(X)aY будет дифференцируемым подмногообразием Y.

Пусть диссипативная динамическая система, определена на некотором компактном многообразии M,d\mM = n системой п обыкновенных дифференциальных уравнений:

Решение (0.1) - ^'(х) определяет поток ф' (х) :ТМ -» ТМ, на касательном расслоении ТМ. Рассмотрим некоторую непрерывную, возможно нелинейную функцию фазовой точки: х s dxjdt = v(x); х е М,

0.1)

0.2) которую назовем наблюдаемой , в том смысле, что она может в принципе наблюдаться в эксперименте как функция времени. Предположим, что h\M -»R является гладкой функцией Морса, т.е. она либо не имеет критических точек, либо все они изолированные и невырожденные. В противном случае, поток ^'(х) может зависеть от некоторого числа параметров р eRp, так что функция h(x) будет принадлежать семейству р- параметрических функций, которые, в общем случае, могут иметь катастрофы[ 18]. Следовательно, при некоторых значениях параметров pi функция /2(х(^)) может и не наблюдаться. При этих предположениях теорема Такенса [16] утверждает, что отображение запаздывающих координат Ф : М —> R2n+], определенное как:

Ф(х) = (и{х),И(фг(х)),.,КФ2т (х)) (0.3) будет вложением в R2n+1, с точностью до предположения о типичности. Последнее означает, что такие функции плотны в пространстве дифференцируемых функций[217,220].

Таким образом, для получения копии аттрактора в R2n+l, следует взять первые 2п + \ отсчетов измеренного временного ряда st = h{iht),i = 0,1,.2и, в качестве первого вектора реконструкции. Траектория модели получается последовательными сдвигами такого кортежа на один отсчет вправо. Вложение гарантирует, что полученный образ будет диффеоморфной копией реального аттрактора и, следовательно, наследует все его динамические свойства;, размерность, энтропию и Ляпуновские показатели можно вычислить по реконструкции[11,223]. В действительности, копия содержит даже топологию аттрактора, поскольку существует связь между структурой множества критических точек функции h\ С(/г) = |уе и топологией многообразия М. В самом деле, каждая критическая точка у в h(у) имеет индекс Морса т(у), который равен числу линейно независимых направлений, вдоль которых d2h(у) отрицательно определена[19,20]. Для компактного М, число Nm (h) невырожденных критических точек4 функции h(x) конечно. Теорема Морса об индексе[ 19] утверждает, что Эйлерова характеристика z{M) многообразия М выражается через Nm (h)\

X(M) = S;.0(-1 TNm{h). (0.4)

3 Термин используется, как существительное: то, что наблюдается.

4 т.е. максимумов, минимумов и седел.

Приемы извлечения топологии из временных рядов основаны на вычислении гомологий аттрактора, т.е. его чисел Бетти[21,22].

Новый способ построения модели из наблюдаемого сигнала сформировал совершенно новую область численных методов топологической динамики - «эмбедологию». Название было предложено Зауером [217,218] как производное от английского слова embedding -вложение5. Техническая сторона эмбедологии основана на богатом арсенале разработанных ad hoc алгоритмов [23,219,225,232,234,237] для численных оценок динамических инвариантов аттрактора. На базе алгоритма Такенса возникли новые нелинейные методы анализа временных рядов[25,26,221] и, что особенно важно, нелинейная многомерная техника прогноза временных рядов[27,28,154]. Для дальнейшего важно, что эмбедология адаптирована, вообще'говоря, к точечному источнику сигнала, для которого динамика не зависит пространственной сложности.

Актуальность темы. Намного менее изученной остаются пока распределенные динамические системы. Хаотические сценарии ее динамики принято называть пространственно-временным хаосом[5,Ъ0-ЪЪ~\. Они реализуются нелинейными процессами в неоднородных и неизотропных средах, и описывается дифференциальными уравнениями в частных производных[5, 30-33]. Взаимодействие распределенного процесса и среды, в которой он протекает, порождает нелинейные поля. Последние демонстрируют не только сложное поведение во времени, но имеют нетривиальную пространственную структуру. Проекциями их динамики в «Мир Экспериментатора» являются не столько скалярные временные ряды, сколько «мгновенные снимки - snapshots», изображения или «сцены» -собирательным синонимом является понятие «паттерна» [34]. Таким образом, приходится иметь дело уже с двумя видами сложности: временной, которая отслеживается вариациями каких-либо интегральных параметров, и пространственной, которая определяется геометрией и топологией паттернов. Для многих природных систем они могут иметь самоподобную мультифрактальную структуру[38] и предельно сложные, многомерные статистические характеристики; примером могут служить высококонтрастные изображения природных ландшафтов [39-40]. Экспериментальные массивы данных имеют различную форму: прямые фотографические или цифровые изображения, карты или просто числовые матрицы, строки и столбцы которых содержат скалярные или векторные значения измеряемого поля в пространственно различных точках процесса или системы. Изображения в значительной степени загрязнены шумами различной природы, для редукции которых в последнее время эффективно применяется техника мультифрактального формализма[35,36] и вейвлет анализа[37].

5 Синонимом является термин алгоритмическое моделирование, предложенный в [218]. 7

Существуют немногочисленные попытки прямого обобщения алгоритма Такенса на матричные наблюдаемые[78-80]. Так, для последовательности мгновенных снимков пространственного поля динамической системы градиентного типа определялась фрактальная размерность. Оказалось, что "эволюционно зрелым" снимкам соответствует целочисленная размерность Хаусдорфа, а снимки, предшествующие бифуркациям, давали дробную размерность[78]. К сожалению, реализация вложений для матричных наблюдаемых, так же как оценки корреляционной размерности и других инвариантов, требуют трудоемких вычислений.

В качестве альтернативы, в диссертации предлагается подход, основанный на преобразовании пространственной информации в скалярные временные ряды.

Идеи извлечения значимой информации из изображений пришли из интегральной геометрии[41,54,83,85]. Бинарное изображение можно рассматривать как набор кластеров, состоящих из некоторых базисных элементов - basic sets. Формально, пусть кольцо, состоящее из всех подмножеств Ае Rd, которые можно представить как конечное объединение замкнутых выпуклых множеств. Эйлерова характеристика х наД ^ вводится как аддитивный функционал так, что для V'А, В е 91 х(АиВ) = х(А) + х(В)-х(Ап В) (0.5)

Кроме того, х(Л) = 1, если А выпуклое множество и ^(0) = 0.

Функционалы Минковского [41,83,85] над определяются как

Wt (А) =\х(Ап E,)d/j(Et)t Ae%i = 1,2,.J -1 Wd(A) = codx(A), cod = 7zd/2/Г (l + d/2) где Ej - г-мерная гиперплоскость в Rd; dju^E^ - кинематическая плотность[41], нормированная так, что для d -мерного шара Вг с радиусом г, Wi(Br) = codrd~'; cod -объем единичного шараи Г(*)-гамма функция.

В геометрических терминах, для d = 2, фукционалы W0, Wx, W2 являются площадью, периметром и Эйлеровой характеристикой А, соответственно. Все Щ. обладают морфологическими свойствами-. С - непрерывностью, аддитивностью и инвариантностью относительно группы твердотельных движений на плоскости[85].

Они легко вычисляются для бинарных изображений, т.е. функций I (х, у) = 0,1, где образовано кластерами с фиксированным значением I. Для «серых» изображений, т.е. i(x.y) = [a,b], для каждого h'.a<h<b можно определить множество уровней Bh = |(д:.>')|/ = или мноэ/сество выбросов за уровень Ah = {(л\у)|/ > /г}, и перейти к бинарному варианту. Поскольку цифровые изображения заданы на решетках, для компьютерных вычислений функционалов используются методы цифровой топологии, адаптирующей понятия непрерывности, кривой, кривизны, площади и т.д. на дискретный случай[45-48].

Описанные идеи лежат в основе морфологического анализа изображений[42-44,83,85], который нашел широкое применение в разных областях физики (см. например [49-53]). Оказалось, например, что основной функционал Минковского Wd = % в (0.9) тесно связан со статистикой выбросов6 случайных полей[54,55,84,145]. Невозможно получить аналитическое выражение для вероятности P{sup,er X(t) > /г| "пиков" произвольного случайного вещественнозначного процесса X{t), Т с Rd. Однако, эту величину можно оценить[84], как среднее значение (х), определенной на множестве выбросов Ah = е T\x{t) > /г|. Этот факт лег в 7 основу методов названных контурной статистикой [54-58].

Заметим, что функционал х связывает, согласно теоремы Гаусса-Боннер 7], локальные (кривизна) и глобальные (род поверхности) свойства компактных кусочно-дифференцируемых многообразий и, следовательно, эту технику можно с успехом использовать для анализа глобальных векторных полей. С другой стороны, триангулируемые многообразия можно аппроксимировать симплициальными структурами [102-104]. Следовательно, особенности векторных полей и ландшафтов можно изучать методами комбинаторной теории Морса[59,60]. На этом пути был предложен эффективный способ кодирования медицинских изображений, основанный на типах морсовских неподвижных точек[61,62]. Для исследования, паттернов по их сечениям стали активно развиваться методы основанные на графах Риба [63-65].

Однако, упомянутых методов не всегда достаточно для описания сложного паттерна. Например, фрактальный объект в эксперименте, физическом или компьютерном, доступен лишь в конечно-точечном приближении. В общем случае, фрактал не гомеоморфен конечному политопу, однако гомотопически эквивалентен ему. Это обстоятельство можно использовать, определив симплициальные группы гомологий на системе £ -окрестностей конечно точечного приближения[101]. Пусть, например, X - компактное подмножество метрического пространства (M,d). Рассмотрим конечное число точек, образующих множество, которое аппроксимирует X в метрическом смысле, так что системы окрестностей Se = {xeM\d{x,S)<e} и Х£ ={х & M\d(x,X)< е} близки при некотором £>р, где р-расстояние Хаусдорфа. Гомологии Нот(Хе) сходятся к

6 В иностранной литературе используют термин - exursion

7 топографию компонент Ah, при некоторых условиях регулярности X(t), можно представить контурной картой.

Нот(Х) при £->0 в смысле обратного предела[103]. Следовательно, если р достаточно мало, можно экстраполировать этот предел из структуры Se, £ > р. Эта идея позволила Ванессе Робине ввести персистентные числа Бетти[66] в рамках гомологии Чеха[22]. С другой стороны, понятие конечной е -окрестности естественным образом определяет канторово £ -связное множество и позволяет исследовать изменение связности 2D паттерна при разных разрешениях. Скорость такого изменения измеряется индексом несвязности[67,68], который совпадает с бокс-размерностью для самоподобных фракталов. С этой работы и началось собственно развитие вычислительной топологии[68,69,72,106-108].

Последние работы в этой области связаны со следующими идеями. На множестве р-симплексов a = [z0,z1,.zpJ или «облаке» точек Z, для некоторого г>0, можно определить различные комплексы[22]. Наиболее известным является упомянутый выше комплекс Чеха или нерв покрытия

Cech(Z,r), который образован замкнутыми шарами Z?(zy,r/2),y = 0,1,./?, радиуса г/2, имеющими непустые пересечения. Другой комплекс

Rips(Z,г), получается из ребер условию \zj — zk zpzk р -симплекса сг, удовлетворяющих г. Наконец а -комплекс[69,72] строится на основе диаграммы Вороного[70]. Каждая клетка такой диаграммы определяет область близости (локус) точки z} так, что v(z J ) = {xei?21 d(x,z. ) <d(x,zk)}, \/k Ф j. (0.7)

Тогда а-комплекс A(Z,a) состоит из таких точек р - симплекса <т, для которых . Комплекс A(Z,a) позволяет провести фильтрацию комплексов, соответствующих различным значениям а. В частности, удается построить иерархию комплексов Морса с увеличивающейся «грубостью», на которые можно разложить кусочно-линейное 2В-многообразие. Такой подход позволяет упростить комплекс Морса за счет сокращения пар критических точек и тем самым увеличить персистентность гомологий[71,72]. Большие надежды связаны с предложенным недавно комплексом, названным авторами «подходящим -witness»[73,75]. Его определение основано на «слабой» триангуляции Делоне и некоторых идеях, инициированных способностью нейронных сетей обучаться топологии[74].

Таким образом, современные методы математической морфологии и вычислительной топологии позволяют извлекать физически интересную информацию из геометрии и топологии паттернов. Скейлинговые свойства паттернов с успехом описываются мультифрактальным формализмом. Иначе говоря, каждому мгновенному снимку можно сопоставить набор морфологических (функционалы Минковского), топологических (числа Бетти) и скейлинговых «координат», позволяющих идентифицировать пространственную сложность паттерна. Полученные в результате временные ряды этих дескрипторов можно использовать для реконструкции динамики распределенных систем методами эмбедологии.

Цель и задачи исследования. Главной целью диссертации является разработка комплексного подхода к моделированию пространственно распределенных систем. Он основан на комбинации современных методов извлечения геометрических, топологических и масштабных характеристик из временной последовательности паттернов и численных методов топологической динамики. Дескрипторами для описания геометрии и топологии паттерна могут служить в 2D три функционала Минковского, индекс несвязности, ранги группы гомологий и фрактальные размерности. Временная последовательность дескрипторов образует векторную наблюдаемую, компоненты которой используется затем для моделирования и прогноза динамики распределенной системы[82,151].

Любой новый подход должен быть апробирован на практике. В качестве первого и основного примера распределенной системы в диссертационной работе рассматривается динамика глобального магнитного поля Солнца. Оно складывается из двух компонент: слабого глобального (фонового) поля и поля пятен с напряженностью на 2-3 порядка выше и локализацией в экваториальной (королевской) зоне[26] и является "ритмоводителем" всего комплекса явлений, который называют Солнечной Активностью. Одной из интригующих загадок является, например, причина возникновения так называемых Grand-минимумов — глобальных депрессий Солнечной активности, проявляющихся в подавлении 11-летней моды циклов Вольфа - наиболее известных проявлений Солнечной активности в количестве наблюдаемых пятен[134]. С фазами этих циклов связаны солнечные вспышки, создающие локальные возмущения плазмы солнечного ветра. Глобальная структура последнего определяется фазами другого, 22-х летнего магнитного цикла Хеша. Состояние солнечного ветра контролирует динамические режимы широкого диапазона геофизических и биофизических процессов на Земле. До сих пор существуют две конкурирующие точки зрения на взаимную связь 2-х магнитных компонент: первая сводится к тому, что фоновое поле - результат распада и диффузии пятен; вторая предполагает разные механизмы происхождения фоновой и пятенной составляющей[255]. Известны многочисленные попытки реконструкции Солнечной динамики по инструментальному временному ряду чисел Вольфа, охватывающему около 250 лет[127,251-254,256], хотя этот ряд не является "наблюдаемой" в смысле теоремы Такенса.

Информация о фоновых полях доступна в форме сечений глобального поля на нулевом уровне (так называемые синоптические На -карты), а также в виде магнитограмм радиальной компоненты поля. Анализ таких карт проводился главным образом лишь на качественном уровне[ 121-123]. Но даже в таком варианте эти данные привели к ряду важных результатов, например, открытию эффекта переполюсовок или инверсий глобального поля. Синоптические карты являются уникальным инструментальным матричным рядом, отслеживающим распределенную динамику Солнца на почти вековом интервале времени.

Следовательно, первой задачей диссертации является исследование магнитной динамики Солнца, используя комплексный метод на множестве доступных синоптических карт[135,136,140-142,147,151].

Вторая задача диссертации заключается в приложении методов математической морфологии, вычислительной топологии и мультифрактального анализа к некоторым геофизическим полям. В качестве последних рассматриваются:

• волновая динамика атмосферы в проблеме обнаружения грозовых фронтов на основе анализа измеренного потока мезонов

• потоки сейсмических событий в проблеме выделения и сравнения сейсмических режимов в различных регионах

• стохастические поля радионуклидных загрязнений на бывшем Семипалатинском Испытательном Ядерном Полигоне и прилегающих территориях

Протоны первичного космического излучения с энергией больше 10 ГэВ, попадая в верхнюю атмосферу Земли, рождают короткоживущие частицы я--мезоны, которые, распадаются практически в точке их образования, на высотах 10-20 км, и превращаются в ц- мезоны, достигающие наземного детектора. Количество регистрируемых мюонов у поверхности Земли зависит от температуры и плотности атмосферы над пунктом регистрации частиц [275,276]. Наблюдения за вариацией интенсивности мюонов N(t), позволяет дистанционно проследить динамику термодинамических процессов в атмосфере во времени при различных погодных условиях.

При отсутствии резких возмущений в атмосфере интенсивность мюонов высоких энергий на уровне Земли плавно изменяется на суточных масштабах времени. Такие данные можно рассматривать как фон. При нарушении стационарности, вызванное, перемещением грозовых облаков в атмосфере возникает волновой процесс. При этом происходит генерация и продольное распространение внутренних гравитационных волн (ВГВ). Колебания плотности воздуха на стратосферных высотах вызывают модуляцию потока мюонов, достигающего наземного годоскопа-томографа (МИФИ, РАН Москва) [277,278]. Волны в стратосфере намного опережают движение «грозовых ячеек», вызывающих в наземных барографах отклик в виде кратковременных всплесков давления - «грозовых носов». Волновой процесс оказывается устойчивым и существует в течение нескольких часов для каждой грозовой ячейки. Возникающие ВГВ имеют характерные периоды - от нескольких до десятков минут и сильно поглощаются в направлении поверхности Земли[277, 278]. Поэтому приземные барографы мало чувствительны к таким явлениям. В диссертации, в качестве предиктора грозовых фронтов, рассматривается Гельдеровская регулярность графиков N(t).

Одной из проблем региональной сейсмичности является оценка пространственной сложности эпицентров землетрясений внутри ограниченной области в выбранном диапазоне энергий [153,352]. Она необходима для выделения типичных "сейсмических режимов" по накопленному потоку сейсмических событий [353,354]. Для описания пространственной сложности эпицентров землетрясений обычно используются мультифрактальные меры, адекватные иерархической «блоковой» структуре литосферы[153]. Однако, надежные оценки мультифрактальных спектров удается получить лишь по большим выборкам событий, накопленных в максимально доступном временном окне. С другой стороны, часто возникает необходимость сравнивать сложность выборок малого объема, для которых не всегда применимы даже стандартные статистические тесты. Для этих случаев, в диссертации предлагается использовать морфологические функционалы [93].

Диагностика радионуклидных полей на территориях бывших ядерных полигонов относится к тем злополучным задачам, которыми приходится заниматься по необходимости. Множество неконтролируемых природных факторов, влияющих на распределение загрязнений приводят к результирующему случайному полю загрязнений, которое является продуктом нелинейного взаимодействия геофизических полей, активность которых охватывает масштабы от 10000 км до 1мм [360,361]. Одно из самых интересных свойств полей загрязнения — их масштабная инвариантность. Фрактальность была впервые обнаружена при изучении границ отдельных радионуклидных пятен вблизи Чернобыля[364]. Известны попытки обнаружить мультифрактальный скейлинг для Чернобыльских выпадений в Европе[365,366], однако, достоверность оценок крайне мала из за малой плотности измеренных точек.

Природа радионуклидных загрязнений территорий Казахстана совершенно уникальна. Поля загрязнений сформированы множеством ядерных взрывов на территории СИЯП в период 1949-1989гг. Общее число взрывов равно 470; из них 90-воздушных, 25-наземных и 355 подземных. Дополнительные выпадения были вызваны ядерными взрывами на китайском полигоне Лоп Нор, следами Южно-Уральской аварии и Чернобыля, а также промышленными ядерными взрывами на полигонах Азгир, Лира и других[367]. Проверка гипотезы о мультифрактальности для таких полей, аккумулирующих следы многих нелинейных геофизических процессов на длительном интервале времени при сопутствующих "сглаживающих" природных фильтрах имеет важное практическое значение. В диссертации, для анализа радионуклидных полей СИЯП используются мультифрактальные и морфологические дескрипторы [89-91, 95, 195, 196, 368-371].

Одна из основных целей моделирования - предсказание поведение динамической системы. В диссертации исследуются возможности комбинированной схемы глобального нелинейного прогноза. Предлагаемый подход основан на комбинации алгоритма Такенса и методов нейрокомпьютинга. Практическая реализация векторного нелинейного предиктора демонстрируется на предсказании временного ряда чисел Вольфа.

Методы исследования. Для достижения поставленных задач в диссертации использовались методы математической морфологии, вычислительной топологии, мультифрактального анализа, численные методы теории гладких эргодических динамических систем, теории искусственных нейронных систем, статистической теории обучения и нейрокомпьютинга.

Научная новизна. К настоящему времени, попытки использования морфологических и топологических дескрипторов для моделирования распределенных систем можно найти лишь в нескольких публикаций. Так, в работе[66] с помощью фукционалов Минковского описывался фазовый портрет квантовых биллиардов; в статье [50] эти функционалы использовались как дескрипторы устойчивых состояний в динамике клеточных автоматов на примере игры «Жизнь». Наконец, в работе [76] были получены оценки Ляпуновских показателей по временному ряду чисел Бетти. Последние вычислялись с помощью кубических гомологий[77] по последовательности мгновенных снимков турбулентного течения жидкости.

Научная новизна исследований, изложенных в диссертации, заключается в:

1. разработке концептуальных и методологических основ комплексного подхода к моделированию динамики распределенных систем в рамках обратной задачи;

2. использовании современных математических методов для получения топологических, морфологических и фрактальных дескрипторов для матричных данных;

3. разработке новых схем долгосрочного нелинейного векторного предсказания временных рядов, реализованных с помощью нейрокомпьютинга;

4. результатах практического применения комплексного подхода к распределенной динамики глобального магнитного поля Солнца и геофизическим данным. В частности:

• на основе морфологического анализа синоптических карт были получены новые индексы магнитной активности Солнца;

• на основе временных рядов морфологических функционалов были получены независимые реконструкции фазовых портретов динамики магнитной активности Солнца;

• с помощью оценок мультифрактальных спектров получено доказательство существования сингулярных мер для крупномасштабных магнитных структур на Солнце;

• методами вычислительной топологии был обнаружен степенной скейлинг, сопровождающий инверсии глобального магнитного поля Солнца;

• обнаружены мультифрактальные свойства в структуре радионуклидных полей СИЯП и прилегающих территорий.

Практическая ценность результатов полученных в работе состоит в возможности применения предложенных методов для анализа, диагностики и моделирования распределенных систем в геофизике, сейсмологии, экологии, гидрологии и других областях знаний. Рассмотренные в диссертации подходы могут быть с успехом применены в задачах космического мониторинга и ГИС-технологиях.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из Введения, семи глав, Заключения и библиографии. Объем диссертации составляет 229 страниц; объем библиографии - 372 наименования.

Заключение диссертации по теме «Физика Солнца», Макаренко, Николай Григорьевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Целью диссертационной работы является

• Развить формализм и алгоритмы для моделирования распределенных нелинейных динамических систем основанный на синтезе современных методов математической морфологии, вычислительной топологии и эмбедологии.

• Применить разработанный подход для исследования динамики глобального магнитного поля Солнца

• Использовать предложенные методы для анализа и диагностики геофизических полей

Актуальность задачи обусловлена тем, что большинство природных и техногенных систем не являются локальными источниками сигнала: они демонстрируют не только временную активность, но и пространственную сложность. В наблюдениях, такие системы продуцируют матричные временные ряды - изображения, сцены или карты.

Наиболее простой путь моделирования распределенных динамических систем заключается в использовании интегральных параметров, которые позволяют «свернуть» пространственную картину к одной скалярной переменной. Однако при этом полностью теряется информация о пространственной сложности системы.

Следовательно, необходимы новые подходы, сохраняющие нелокальные наблюдаемые аспекты пространственной информации при моделировании в рамках обратной задачи - получения модели из данных.

Выбор такого подхода в диссертационной работе был мотивирован следующими обстоятельствами:

1. Существует хорошо развитый формализм эмбедологии для реконструкции модели из скалярных временных рядов. Он позволяет получить универсальную модель наблюдаемой системы, как типичное вложение временного ряда в евклидово пространство подходящей размерности так, что полученный образ диффеоморфен оригиналу. Следовательно, его можно использовать для оценок динамических характеристик системы. Недостатком эмбедологии является то, что ее методы и алгоритмы адаптированы к модели точечного источника сигнала. Соответствующие обобщения на матричные данные очень трудоемки по объему вычислений и не дают приемлемой точности.

2. Известны хорошо разработанные методы извлечения геометрической информации из цифровых изображений. Они основаны на аппарате интегральной и стохастической геометрии и составляют предмет математической морфологии. Определенные на изображениях морфологические функционалы имеют простой геометрический смысл

- площади, периметра и связности компактов, образованных множествами выбросов поля за заданный уровень или сечениями поля (изображения). Функционалы непрерывны, аддитивны, инвариантны относительно группы твердотельных движений на плоскости и, следовательно, могут быть использованы в качестве робастных статистик. Они легко оцениваются для карт и изображений. Дополнительную информацию об алгебраических свойствах структур на изображениях позволяют получить методы вычислительной топологии.

3. Существуют развитые методы оценки масштабных (скейлинговых) свойств данных. Они основаны на мультифрактальном формализме и фрактальной геометрии. Эти методы позволяют обнаружить и оценить свойства масштабной инвариантности экспериментальных данных.

В диссертации предлагается комбинация упомянутых методов, состоящая в использовании геометрических и топологических дескрипторов, определенных на последовательности изображений, для получения скалярных временных рядов. Эти ряды можно использовать для реконструкции универсальных моделей и их прогноза методами эмбедологии.

В качестве основного объекта применения комплексного подхода была выбрана предельно сложная природная распределенная динамическая система - глобальное магнитное поле Солнца, представленное в наблюдениях временной последовательностью синоптических карт. В бинарном варианте такая карта изображает распределение линии раздела полярностей в цилиндрической проекции Солнечной поверхности для каждого оборота Солнца. В топографическом варианте, синоптическая карта визуализирует числовые значения радиальной компоненты магнитного поля Солнца.

Вторым объектом применения различных компонент комплексного подхода являются геофизические поля. В диссертации анализировались экспериментальные данные волновой динамики атмосферы, потоки сейсмических событий в регионе и стохастические радионуклидные поля загрязнений территории бывшего Семипалатинского Испытательного Ядерного Полигона (СИЯП). В результате проведенных исследований были получены следующие результаты:

• Оценки функционалов Минковского в форме трех скалярных временных рядов, описывающих геометрию крупномасштабного поля Солнца, усредненную на интервалах одного Кэррингтоновского оборота. Эти ряды являются новыми индексами солнечной активности, которые codepotcam информацию о динамике крупномасштабного поля.

• Обнаружена корреляционная связь функционала периметра линии раздела полярностей и размерности Буллигана-Минковского с вспышечным индексом. Запаздывание максимумов такой связи позволяет, в принципе, прогнозировать увеличение вспышечный активности приблизительно за 6-8 месяцев

• Реконструкции магнитных «аттракторов» Солнца. Оценки их корреляционных размерностей подтверждают существование низкоразмерной динамической модели Солнечной магнитной активности.

• Существование синхронизации между динамикой образования пятен и динамикой глобального поля; последнее играет роль драйвера в этой связи. Таким образом, гипотеза о происхождении глобального поля в результате распада магнитных полей пятен оказывается несостоятельной.

• Мультифрактальные спектры полученные по временным рядам морфологических функционалов. Существование таких спектров указывает на статистически самоподобную структуру крупномасштабного магнитного поля Солнца. Ранее такая структура была обнаружена лишь для малых локальных областей.

• Существование эффекта Самоорганизующейся Критичности, сопутствующей глобальным инверсиям полярного магнитного поля Солнца. Переполюсовки приводят к исчезновению выделенных масштабов в магнитных структурах Солнца.

• Схема нелинейного векторного долгосрочного прогноза временных рядов, основанная на методах эмбедологии и реализованная с помощью искусственной нейронной сети. Схема позволяет избежать экспоненциального роста ошибки долговременного предсказания, неизбежного в традиционных одношаговых предикторах.

• Мультифрактальные свойства радионуклидных полей загрязнения. Этот факт требует развития новых методик радиационного обследования, учитывающих статистическое самоподобие полей.

Все перечисленные результаты убедительно доказывают эффективность предложенного комплексного подхода для моделирования распределенных систем. Математические компоненты подхода могут быть с успехом использованы для анализа и диагностики матричных данных в различных областях геофизики.

Публикации по теме диссертации. Всего по теме диссертации было опубликовано 62 работы. Основные результаты содержатся в статьях [28,82, 89-93,95,96,100,141,142,147,148,151,165,195,196,211,227,332-334,349-351,368371]

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы, разработанные модели, методы, алгоритмы и результаты численных экспериментов были представлены в докладах и лекциях на международных, всероссийских конференциях и школах. Главные из них:

• Пулковские международные конференции по проблемам Солнечной активности (С-Петербург, ГАО РАН, 1998-2003гг.); международная конференция по Солнечно-земным связям (Иркутск, ИСЗФ,2001г.), Всероссийская научно-техническая конференция «Нейроинформатика» (Москва, МИФИ, 2002-2004гг.); «Нейроинформатика и ее приложения» (Красноярск, ИПМ, 1999-2002гг.);

• «Problems of Geocosmos» (С-Петербург, 1998, 2004гг.), JENAM-2000(Москва, 2000г.); «IAU-223» (С-Петербург, 2004г.); «EGS» (Ницца, 2003г.); «АСАТ» (Москва, 2002г.,Токио, 2003г.); «Econophysica» (Токио, 2002г.), «Cosmogenetic Climate Forcing factors during the last millennium» (Kaunas, 2003r.); «Fractal» (Мальта, 1998г.,Сингапур, 2000г., Гранада, 2002г., Ванкувер, 2004г.)

• Всероссийская школа «Нелинейные Волны» (Нижний Новгород, ИПФ, 2002,2004гг.); VII международная школа «Хаос'04» (Саратов, СГУ, 2004г.), а также на научных семинарах в МИФИ, ФИАН, ИЗМИР АН (Москва,), ФТИ им. Иоффе, НИИФ, ГАО (С-Петербург), ИПФ (Нижний Новгород), ИСЗФ (Иркутск).

Направление дальнейших исследований.

Теоретические исследования и практические разработки, выполненные в рамках этой диссертационной работы предполагается продолжить по следующим направлениям:

1. развить алгебраические и нейросетевые методы оценки персистентных топологических дескрипторов для конечного множества точек на плоскости;

2. изучить поведение геометрии и топологии глобального поля на всех доступных уровнях сечения синоптических карт. Полученные результаты можно будет сравнить с теоретическими кривыми для различных случайных полей;

3. найти независимые методы оценки персистентных чисел Бетти (32 для синоптических карт;

4. получить оценки морфологических и топологических характеристик корональных синоптических карт по данным спутника SOHO. Полученная информация позволит связать структуры магнитных полей на всей толще Солнечной атмосферы;

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Макаренко, Николай Григорьевич, 2005 год

1. Вигнер Е. Этюды о симметрии. М.: Мир, 1971. - 320 с.

2. Кендэл М. Временные ряды. М.: Финансы и статистика, 1981. - 198 с.

3. Бриллинджер Д. Временные ряды. Обработка данных и теория. М.: Мир, 1980.-536 с.

4. Берже П., Помо И., Видал К. Порядок и хаос. М: Мир, 1991. - 386 с.

5. Akhromeyeva T.S., Kurdyumov S.P., Malinetskii G.G. Nonstationary dissipative structures and diffusion-induced chaos in nonlinear media //Phys. Rep. 1989.-Vol. 176, № 5-6.-P. 189-370.

6. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастичекие и хаотические колебания. -М.: Наука, 1987.-422 с.

7. Странные аттракторы /сб. под ред. Я. Г. Синая, Л. П. Шильникова. -М.: Мир, 1981.-253 с.

8. Табор М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике. -Едиториал УРСС, 2001. 320 с.

9. Николис Дж. Динамика иерархических систем. Эволюционное представление. М.: Мир, 1989. - 486 с.

10. ЮПалис Ж., Ди Мелу В. Геометрическая теория динамических систем. Введение. М.: Мир, 1968. - 296 с.

11. Yung Lai Sang. Entropy, Lyapunov exponents, and Hausdorff dimension in differentiable dynamical systems //IEEE Transactions on circuits and systems. 1983. - Vol. Cas-30, № 8. - P. 599-607.

12. Schaw R. Strange attractors, chaotic behavior, and information flow //Z.Naturforsch. 1981. - Vol. 36a. - P. 80-112.

13. Hirsch M.W. The dynamical systems approach to differential equations //Bull. (New series) Amer. Mathem. Soc. 1984. - Vol. 11. - P. 1-64.

14. Gilmore R., Lefranc M. The Topology of Chaos: Alice in Stretch and Squeezeland //Wiley, New York. 2002. - 495 p.

15. Packard N.H., Crutchfield J.P., Farmer J.D., Shaw R.S. Geometry from a time series //Phys. Rev. Lett. 1980. - Vol. 45. - P. 712-716.

16. Takens F. Detecting strange attractors in turbulence //Lecture Notes in Math. 1981.-Vol. 898.-P. 366-381.17Уорнер Ф. Основы теории гладких многообразий и групп Ли. М.: Мир, 1987.-302 с.

17. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф, т.2. М.: Мир, 1984. - 285 с.

18. Эльсгольц А.Э. Качественные методы в математическом анализе. М.: ГИТТЛ, 1955.-300 с.

19. Зейферт Г., Трельфалль В. Вариационное исчисление в целом. М.: ИЛ, 1947.- 146 с.

20. Muldoon М., MacKay R.S, Broomhead D.C., Huke J.P. Topology from Time Series//PhysicaD.- 1993.-Vol. 65.-P. 1-16.

21. Хилтон П., Уайли С. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. М.: Мир, 1966. - 452 с.

22. Parker, Т. S., Chua, L. O. Practical Numerical Algorithms for Chaotic Systems. Springer, 1989. - 348 p.

23. Gouesbet G., Meunier-Guttin-Cluzel S., Menard O. Global Reconstructions of Equations of Motion from Data Series, and Validation Techniques, A Review //Chaos and its reconstruction, Nova Science, Inc. N.Y. 2003. - P. 1-160.

24. Lay Ying-Cheng, Ye N. Recent developments in chaotic time series analysis //Int.J.Bifurcation and Chaos. 2003. - Vol. 13, № 6. - P. 1383-1422.

25. Bradley E, Time-series analysis //in Intelligent Data Analysis. An Introduction. M. Berthold and D. Hand, editors, Springer Verlag. 2003. -P. 199-227.

26. Farmer J.D., Sidorovich J.J. Predicting chaotic time series //Phys. Rev. Lett.- 1987. Vol. 59. - P. 845-848.

27. Макаренко Н.Г. Эмбедология и нейропрогноз //Лекции по нейроинформатике, ч.1, Нейроинформатика-2003, V Всерос.научн.-тех. конф. Москва, 2003. - С. 86-148.

28. Платон. Государство //собр. соч. М, 1971. - Т. 3, Ч. 1.

29. Mayer-Kress G., Kaneko К. Spatiotemporal Chaos and Noise //J. Stat. Phys.- 1989. Vol. 54, №5-6. - P. 1489-1508.

30. Kaneko K. Towards Thermodynamics of Spatiotemporal Chaos //Prog. Theor. Phys. Suppl. 1989. - Vol. 99. - P. 263-287.

31. Kaneko K. Pattern Dynamics in Spatiotemporal Chaos //Physica D. 1989 -Vol.34.-P. 1-41.

32. Crutchfield J. P., Kaneko K. Phenomenology of Spatiotemporal Chaos //Directions in Chaos, World Scientific. 1987. - P. 272-353.

33. Уолтер Г. Живой мозг. М.: Мир, 1966. - 229 с.

34. Berroir J.-P., Ldvy Vdhel J. Multifractal tools for image processing //8th SCIA, Tromso. 1993. - P. 209-216.

35. Levy Vehel J., Mignot P. Multifractal Segmentation of Images //Fractals. -1994. Vol. 2, № 3. - P. 371-378.

36. Starck J.L., Pantin E., Murtagh F., Deconvolution in astronomy // Pub. Astron. Soc. Рас.-2002.-Vol. 114.-P. 1051-1069.

37. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. М., ИКИ, 2002. -654 с.

38. Lee А. В., Kim S., Mumford P. The Nonlinear Statistics of High-Contrast Patches in Natural Images //APPTS Report № 01-3. 2001. //www.dam.brown.edu/ptg/publications.shtml

39. Mumford D., Gidas B. Stochastic Models for Generic Images //Quarterly Appl. Math. 2001. - Vol. 59. - P. 85-111.

40. Сантало Л. Интегральная геометрия и геометрические вероятности. -М.: Наука, 1983.-358 с.

41. Michielsen К., De Raedt Н. Morphological Image Analysis //Сотр. Phys. Commun. 2000. - Vol. 132. - P. 94-103.

42. Michielsen К., De Raedt H., Fraaije J.G.E.M. Morphological Characterization of Spatial Patterns //Prog. Theor. Phys. Suppl. 2000. -Vol. 138.-P. 543-548.

43. Michielsen K., De Raedt H. Integral-Geometry Morphological Image Analysis //Phys. Rep. 2001. - Vol. 347. - P. 461 -538.

44. Rosenfeld A., Klette R. Digital geometry. //Information Sciences. 2002. -Vol. 148.-P. 123-127. http://www.tcs.auckland.ac.nz/~rklette/

45. Klette R. Digital geometry The birth of a new discipline //Foundations of Image Understanding (L. S. Davis, ed), Kluwer, Amsterdam. - 2001. - P. 33-71.

46. Kovalevsky V. A. Algorithms and Data Structures for Computer Topology //Bertrand, G., Imiya, A., Klette, R. (Eds): Digital and Image Geometry. LNCS 2243. Springer. 2001. - P. 37-58.

47. Kovalevsky V. A. Digital Geometry Based on the Topology of Abstract Cell Complexes. //Proceedings of the Third International Colloquium "Discrete Geometry for Computer imagery". University of Strasbourg. 1993. - P. 259-284.

48. Beisbart C., Buchert Т., Wagner H. Morphometry of spatial patterns' //Physica A. 2001. - Vol. 293. - P. 592-604.

49. Kole J.S., Michielsen K., De Raedt H. Morphological Image Analysis of Quantum Motion in Billiards //Phys. Rev. E. 2001. - Vol. 63.-016201-1-7.

50. Mo H.J, Buchert T. A statistical discriminator among galaxy samples of different large-scale topology and geometry //Astron.&Astrophys. 1990. -Vol. 234.-P. 5-19.

51. Mecke K.R., Buchert Т., Wagner H. Robust morphological measures for large-scale structure in the Universe' //Astron.&Astrophys. 1994. - Vol. 288. - P. 697-704.

52. Kerscher M., Pons-Borderia M.J., Schmalzing J., Trasarti-Battistoni R., Buchert Т., Martinez V.J., Valdarnini R. A global descriptor of spatial pattern interaction in the galaxy distribution' //The Astrophys. J. 1999. -Vol. 513.-P. 543-548.

53. Worsley K.J. The geometry of random images //CHANCE. 1996. - Vol. 9, №1.-P. 27-40.

54. Worsley K.J. Testing for signals with unknown location and scale in a chiA2 random field, with an application to fMRI //Advances in Applied Probability. 2001. - Vol. 33. - P. 773-793.

55. Cao J., Worsley K.J. Applications of random fields in human brain mapping //In M. Moore (Ed.) Spatial Statistics: Methodological Aspects and Applications, Springer Lecture Notes in Statistics. 2001. - Vol. 159. - P. 169-182.

56. Worsley K.J. Estimating the number of peaks in a random field using the Hadwiger characteristic of excursion sets, with applications to medical images //Annals of Statistics. 1995. - Vol. 23. - P. 640-669.

57. Worsley K.J. Local maxima and the expected Euler characteristic of excursion sets of chiA2, F and t fields //Advances in Applied Probability. -1994.-Vol. 26.-P. 13-42.

58. Lewiner Т., Lopes H., Towards G. T. Optimality in Discrete Morse theory //Experimental Mathematics. 2003. - Vol. 12, № 3. - P. 271-285.

59. Lewiner Т., Lopes H., Tavares G. Visualizing Forman's Discrete Vector Field //Visualization and Mathematics III (Hege & Polthier ed): Springer-Verlag, Heidelberg. 2002. - P. 95-112.

60. Shinagawa Y., Tosiyasu L. Kunii, Belyaev A. G., Tsukioka T. Shape modeling and shape analysis based on singularities //The International Journal of Shape Modeling. 1996. -Vol. 2, № i.p. 85-102.

61. Shinagawa Y., Kunii T.L., Belyaev A.G., Tsukioka T. Shape modeling and shape analysis based on singularities //Int. J. of Shape Modeling. 1996. -Vol.2,№ 1,-P. 85-102.

62. Pascucci V., Cole-McLaughlin K. Parallel Computation of the Topology of Level Sets //Algorithmica. 2003. - Vol. 38, № 2. - P. 249-268.

63. Cole-McLaughlin K., Edelsbrunner H., Harer J., Natarajan V., Pascucci V. Loops in Reeb Graphs of 2-Manifolds //Proceeding of the 19-th ACM Symposium on Computational Geometry (SoCG). 2003. - P. 344-350.

64. Bajaj C., Pascucci V., Schikore D. R. The Contour Spectrum //Proceedings of IEEE Conference on Visualization. 1997. - P. 167-175.

65. Robins V., Meiss J.D., Bradley E. Computing connectedness: Disconnectedness and discreteness //Physica D. 2000. - Vol. 139. - P. 276-300.

66. Robins V., Meiss J.D., Bradley E. Computing connectedness: An exercise in computational topology //Nonlinearity. 1998. - Vol. 11. - P. 913-922.

67. Препарата Ф., Шеймос M. Вычислительная геометрия. Введение. М.: Мир, 1989.-478 с.

68. Carlsson E., Carlsson G., de Silva V. An algebraic topological method for feature identification //preprint. August 12, 2003. http ://math. Stanford.EDU/comptop/preprints/

69. Martinetz Т., Schulten K. Topology representing networks //Neural networks. 1994. - Vol.7. - P. 507-522.

70. Zomorodian A. Persistence Barcodes for Shapes //with Gunnar Carlsson, Anne Collins, and Leonidas Guibas. Symposium on Geometry Processing, Nice, France, 2004. http://www.graphics.stanford.edu/~afra/papers.html

71. Gameiro M., Kalies W. D., Mischaikow K. Topological Characterization of Spatial Temporal Chaos, http://www.math.gatech.edu/ -mischaik/papers/

72. Kaczynski Т., Т. Mischaikow Т., Mrozek M., Computing Homology //Homology, Homotopy and Applications. 2001. - Vol. 5. - P. 233-256.

73. Рабинович М.И., Фабрикант А.П., Цимринг Л.Ш. Конечномерный пространственный беспорядок. УФН, 1992. - Т. 42. - С. 1-42.

74. Parlitz U., Merkwirth Ch. Time series Analysis of spatially extended systems //Intern.Symp. on Ninlinear Theory and its Applacations NOLTA'98, Crans-Montana, Switzerland, Sept.14-17, 1998. P. 775-778. http://WWW.DPI.Phvsik.Uni-Goettingen.DE/~ulli/

75. Brocker J., Parlitz U., Merkwirth Ch. Modelling and nonlinear noise reduction for spatio-temporal systems. http://WWW.DPI.Physik.Uni-Goettingen.DE/~ulli/

76. Mane R. On the dimension of the compact invariant sets of certain nonlinear maps //Lect.Notes in Math. 1981. - Vol. 898. - P. 230-242.

77. Макаренко Н.Г. Временные ряды из геометрии и топологии пространственно-временного хаоса //Прикладная Нелинейная динамика.-2004.- №6. -16с.

78. Serra J. Image analysis and mathematical morphology. Academ.Press, 1988.-610 p.

79. Adler R.J. The geometry of random fields. J.Wiley&Sons, N.Y., 1981. -280 p.

80. Stoyan D., Kendall W.S., Mecke K. Stochastic Geometry and its applications. J.Wiley&Sons, 1995. - 436 p.

81. Свешников А.А. Прикладные методы теории случайных функций. -М.: Наука, 1968.-464 с.

82. Rice S.O. Mathematical Analysis of random Noise //Bell. Syst.Thech. J. -1944. Vol. 23; 1945. - Vol. 24.

83. Лонге-Хиггинс. Статистический анализ случайной движущейся поверхности //Ветровые волны. М: ИЛ, 1962. С. 125-218.

84. Makarenko N.G., Karimova L.M., Novak M. M. Fractal and Morphological Analysis of Radioactive Contamination //in Proceed. Of the confer. "Fractals in Ingineering". 14-16 of June. Delft. 1999. - P. 167-174.

85. Makarenko N.G., Karimova L.M., Terekhov A.G., Novak M. Fractal and Topological Complexity of Radioactive Contamination //Paradigms of Complexity, Fractals and Structures in the Sciences, World Scientific Publ.Co, Singapour. 2000. - P. 269-278.

86. Makarenko N.G., Karimova L.M., Novak M. Dynamics of Solar magnetic fields from Synoptic charts //Emergent Nature.Patterns, Growth and Scaling in the Sciences. World Scientific. 2001. - P. 197-207.

87. Макаренко Н.Г., Каримова JI.M., Терехов А.Г., Кардашев А.В. Функционалы Минковского и сравнение дискретных выборок в сейсмологии //Известия РАН, Физика Земли. 2000. - № 4. - С. 48-52.

88. Каримова Л.М., Мажкенов С.А., Макаренко Н.Г., Терехов А.Г. Контурная статистика геомагнитных полей //ДАН РК. 1996. - № 1. -С. 51-56.

89. Makarenko N., Karimova L. Diagnosis of stochastic fields by the mathematical morphology and computational topology methods //Nuclear Instr.& Methods in Physics Res. 2003. - A502. - P. 802-804.

90. Макаренко Н.Г. Геометрия и топология случайных полей в физике Солнца //Исследования по геомагнетизму, аэрономии и физике

91. Солнца. -2001. вып. 113. - С. 202-213.

92. Келли Дж.Л. Общая топология. М.: Наука, 1968. - 432 с.

93. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. -М.: Наука, 1977.-368 с.

94. Шапиро И.С., Олынанецкий М.А. Лекции по топологии для физиков. -РХВ, Москва-Ижевск, 2001.- 128 с.

95. Макаренко Н.Г. Фракталы, аттракторы, нейронные сети и все такое //Лекции по нейроинформатике. 4.2. Нейроинформатика-2002, IV Всеросийская научно-техническая конференция. Москва, 2002. - С. 121-169.

96. Robins V. Computational Topology at Multiple Resolutions //PhD thesis. -2000. http://wwwrsphysse.anu.edu.au/~vbrl 10/thesis/thesis.html.

97. Матвеев C.B. Лекции по алгебраической топологии. ИКИ, Москва-Ижевск, 2003.-96 с.

98. Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. М.: Мир, 1976. - 463 с.

99. Hather A. Algebraic topology //http://www.math.cornell.edu/ ~hatcher/AT/ATpage.html

100. Bott R., Mather J. Topics in Topology and Differencial Geometry //Battelle Rencontres, ed. By C.M. DeWitt and J.A.Wheeler, Benjamin Press, N.Y. -1967.-P. 460-515.

101. Carlsson G., de Silva V. Topological approximation by small simplicial complexes //preprint September 21, 2003./ http://math.stanford.edu/ comptop/prepri nts/

102. Гибсон Э. Спокойное Солнце. M.: Мир, 1977. - 408 с.

103. Зирин Г. Солнечная атмосфера. М.: 1969. - 504 с.

104. Брей Р., Лоухер Р. Солнечные пятна. М.: 1967. - 383 с.

105. Курс астрофизики и звездной астрономии, часть 2, под ред. Б.П.Герасимович /ОНТИ Ленинград, Москва, 1936. - 579 с.

106. Аббатъ Морэ Т. Солнце. С-Петербург, тип. А.С. Суворина, 1904. -254 с.

107. Витинский Ю.И., Копецкий М., Куклин Г.В. Статистика пятнообразовательной деятельности Солнца. Москва, 1986. - 296 с.

108. Куклин Г.В. Пространственно-временные закономерности пятнообразования и магнитных полей на Солнце: Дис. . в виде науч. Докл. д-ра физ.-мат. наук. Иркутск, 1991. - 99 с.

109. Витинский Ю.И. Цикличность и прогнозы солнечной активности. Л., 1973.-258 с.

110. Currie R.G. Fine structure in the sunspot spectrum-2 to 70 years //Astrophys. and Space Science. 1973. - Vol. 20. - P. 509-518.

111. Watary Sh. Fractal dimensions of Solar activity // Solar Phys. 1995. - Vol. 158.-P. 265-377.

112. Макаров В.И., Тавастшерна К.И. Глобальные особенности процесса солнечной активности //Сб. Вариации глобальных характеристик Солнца. Киев, 1992.-С. 270-301.

113. Гневышев М.Н., Оль А.И. О 22-летнем цикле солнечной активности //Астрон. Журнал. 1948.-Т. 25.-С. 18-20.

114. Макаров В.И., Макарова В.В., Тлатов А.Г., Середжинов Р.Т. Собственное движение магнитных структур, связанное с полярными факелами //Сб. Солнце в эпоху смены знака магнитного поля, ГАО РАН Пулково, С-Петербург, 2001. С. 245-250.

115. Макаров В.И., Тлатов А.Г. О смене знака низких /-мод магнитного поля Солнца //Сб. Солнце в эпоху смены знака магнитного поля, ГАО РАН Пулково, С-Петербург, 2001. С. 251-258.

116. Makarov V.I., Makarova V.V., Callebaut D.K. Polar activity of the Sun during from 1960 to 1996 //Сб. Современные проблемы солнечной цикличности, ГАО РАН Пулково, С-Петербург, 1998. С. 149-154.

117. Беневоленская Е.Е. Структура и динамика магнитного Солнечного цикла: Автореф. дис. д-ра физ.-мат. наук. С-Петербург, 1999. - 34 с.

118. Yule G.U. On a method of investigation periodicities in disturbed series, with special reference to Wolfer's sunspot numbers //Philos. Trans. R. Soc. London, 1927. - ser. A. - Vol. 226. - P. 267-298.

119. Weiss N.O. Chaotic modulation of the solar cycle //Phil. Trans. R. London, 1994. - Vol. 348. - P. 445-447.

120. Mundt M.D. Maguire II W.B., Chase R.P.R. Chaos in the sunspot Cycles: analysis and prediction //J.Geophys.Res. Vol.96, № A2. - 1705-1716 p.

121. Гудзенко JI.И., Чертопруд В.Е. Модель циклической активности Солнца //Тр. Ордена Ленина физического ин-та им.П.Н.Лебедева, АН.СССР, Кинетика простых моделей теории колебаний. М., 1976. -Т. 90.-С. 154-197.

122. Соловьев А.А., Киричек Е.А. Диффузная теория солнечного магнитного цикла. С-Петербург, 2004. - 181 с.

123. Parker E.N. Cosmical magnetic fields: their origin and their activity. -Oxford University Press. 1979. - 858 p.

124. Parker E.N. The Origin of Solar Magnetic Fields //Ann. Rev. Astron. &Astrophys. 1970. - Vol. 8. - P. 1-30.

125. Рузмайкин A.A. Солнечный цикл как странный аттрактор. Препринт -90. ИПМ им.М.В.Келдыша. Москва, 1980.

126. Zeldovich Ya.B., Ruzmaikin А.А., Sokoloff D.D. Magnetic Fields in Astrophysics //Gordon and Breach. N.Y., 1983. - 381 p.

127. Эдди Дж. История об исчезнувших солнечных пятнах //УФН. 1978. -Т.125,вып.2.-С. 315-329.

128. Mouradian Z., Soru-Escaut I. On the dynamics of the large-scale magnetic fields of the Sun and the sunspot cycle //Astron. & Astroph. 1991. - Vol. 251.-P. 649-654.

129. Айманова Г.К., Макаренко Н.Г., Макаров В.И., Тавастшерна К.С. Оценка параметров порядка фоновых магнитных полей Солнца по Н-альфа картам. Период: 1914-1984г. //Солнечные данные. 1982. - № 2. -С. 97-102.

130. Макаренко Н.Г. Методы математической морфологии, топологической динамики и нейроматематики в физике Солнца: Автореф. . дис. канд. физ.-мат. наук. Санкт-Петербург, 1999. - 8 с.

131. Mcintosh P.S. Annotated Atlas of Ha Synoptic Charts (1964-1974). -Boulder, 1979.

132. Макаров В.И., Сивараман К.П. Ha-синоптические карты Солнца. Данные за цикл №19 (1955-1964гг.), Кэррингтоновские обороты №№1355-1664. //Материалы мирового центра данных. Москва, 1984.

133. Макаренко Н.Г., Каримова Л.М., Макаров В.И., Тавастшерна К.С. Контурная статистика крупномасштабных солнечных полей //сб. Современные проблемы солнечной цикличности. Санкт-Петербург, 1997.-С. 139-143.

134. Mordvinov A.V., Salakhutdinova I.I., Plyusnina L.A., Makarenko N.G., Karimova L.M. The topology of background magnetic fields and solar flare activity //Solar Physics. 2002. - Vol. 211. - P. 241-253.

135. Makarenko N.G., Novak M., Karimova L. Dynamics of Solar Magnetic Field from Synoptic Charts //Emergent Nature, ed. World Scientific. 2001. -P. 1-11.

136. Уиттекер Э., Робинсон Г. Математическая обработка результатов наблюдений //ОНТИ. Москва, Ленинград, 1935. - 363 с.

137. Coles P., Barrow J.D. Non-Gaussian statistics and the microwave background radiation //Mon.Not, Roy.Astron.Soc. 1987. - Vol. 228, № 2. -P. 407-426.

138. Adler R. A spectral moment estimation problem in two dimension //Biometrika. 1977. - Vol. 64, № 2. - P. 367-373.

139. Макаренко Н.Г., Терехов А.Г., Макаров В.И. Вычислительная топология Н-а карт //сб. Крупномасштабная структура Солнечной активности: достижения и перспективы. С-Петербург, 1999. - С. 145149.

140. Макаренко Н.Г., Каримова Л.М. Алгебраическая топология H-alpha карт //Тр.7-й международной. Конференции "Климатические и экологические аспекты Солнечной активности". С-Петербург, Пулково, 2004. - С. 287-292.

141. Altschuler M.D., Trotter D.E., Newkirk G. The large-scale solar magnetic field //Solar Physics. 1974. - Vol. 39. - P. 3-17.

142. Паркинсон У. Введение в геомагнетизм. М.: Мир, 1986. - 525 с.

143. Макаренко Н.Г. Как получить временные ряды из геометрии итопологиипространственныхпаттернов//Лекциипонейроинформатике, ч.2, Нейроинформатика-2004, VI Всерос.науч.-тех. кон. -М. 2004.-С. 140-199.

144. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Факты. Модели. М.: Фазис, 1998. - 489 с.

145. Садовский М.А., Писаренко В.Ф. Сейсмический процесс в блоковой среде. М.: Наука, 1991. - 95 с.

146. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. М.: УРСС, 2002. - 358 с.

147. Lu Е.Т., Hamilton R.J. Avalanches and the distribution of solar flares //Astrophys.J. 1991.- Vol. 380.-P. L89-L93.

148. Back P., Tang C., Wiesenfield K. Self-organized criticality//Phys. Rev.A. -1988. Vol. 38, № 1. - P. 364-374.

149. Konkle Sh., Moran P., Hamann В., Joy K. Fast methods for computing isosurface topology with Betti numbers //in Data Visualization: the State of the Art. -2004ю-Р. 1-15.

150. Jose A.C., Edelsbrunner H. An incremental algorithm for Betti numbers of simplicial complexes on the 3-shere //Computer Aided Geometric Design. -1995. Vol. 12, № 7. - P. 771-784.

151. Пуанкаре А. О Науке. M.: Наука, 1983. - 559 с.

152. Горелик Г. Е. Размерность пространства. -М.: МГУ, 1983. 216 с.

153. Лебег А. Об измерении величин. М.: ГУПИМП, 1960ю - 204 с.

154. Falconer К. Fractal geometry. Mathematical foundations and applications //John Wiley & Sons. 1990. - 288 p.

155. Федер E. Фракталы.-M.: Мир, 1991.-260 с.

156. Морозов А. Д. Введение в теорию фракталов. Москва-Ижевск: ИКИ, 2002.- 159 с.

157. Макаренко Н.Г. Фракталы, мультифрактальные меры и аттаракторы //Нелинейные волны'2002. Нижний Новгород, 2003. - С. 381-394.

158. Barnsly М. Fractals Everywhere. Orlando: Academic Press, 1988.

159. Баренблатт Г. И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика. Л.: Гидрометеоиздат, 1982. - 255 с.

160. Tricot С. Curves and Fractal Dimension. N.Y.: Springer-Verlag, 1994. -323 p.

161. Билленгслей П. Эргодическая теория и информация. М.: Мир, 1969. -238 с.

162. Зельдович Я. Б., Соколов Д. Д. Фракталы, подобие, промежуточная асимптотика //УФН. -1985. Т. 146, № 3. - С. 493-506.

163. Berry M.V., Lewis Z.V. On the Weierstrass-Mandelbrot fractal function. //Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. 1980. - Vol. 370, № 1743. - P. 459484.

164. Tasaki S., Gilbert Т., Dorfman J. R. An Analytical Construction of the SRB Measures for Baker-type Maps. available http://babbage.sissa.it/chao-dyn/9801031.

165. Колмогоров A.H., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. Москва, 1989. - 496 с.

166. Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. М.: Постмаркет, 2000. - 350 с.

167. Hatchinson J. Fractals and self-similarity //Indiana UniVol. J. Math. 1981. ' -Vol. 30.-P. 713-747.

168. Божокин С. В., Паршин Д. А. Фракталы и мультифракталы. Москва-Ижевск: РХД, 2001.- 128 с.

169. Riedi R., Scheuring I. Conditional and relative multifractal spectra //Fractals. 1997.-Vol. 5,№ 1. -P.153-168.

170. Riedi R. H. Multifractal Processes //Long range dependence: theory and applications, eds. Doukhan, Oppenheim and Taqqu, Birkhauser. 2002. - P. 625-715.

171. Песин Я.Б. Теория размерности и динамические системы: современный взгляд и приложения. Москва-Ижевск: ИКИ, 2002. - 404 с.

172. Halsey Т.С., Jensen М.Н., Kadanoff L.P., Procaccia I., Schraiman B.I. Fractal measures and their singularities: the characterization of strange sets //Phys.Rev.A. 1968. - Vol. 33, № 2. - P. 1141-1151.

173. Canus Ch., Vehel J., Tricot C. Continuous large deviation multifractal spectrum: definition and estimation //URL:http://www-rocq.inria. fr/fractales

174. Levy Vehel J. Numerical computation of the large deviation multifractal spectrum //URL: http://www-rocq.inria.fr/fractales

175. Devroye L. The double kernel method in density estimation //Ann.Inst.Henri Poincare. 1980. - Vol. 25, № 4. - P. 533-580.

176. Hutschinson J.E., Ruschendorf L. Random fractals and probability metrics //Advan. in Appl. Probab. 2000. - Vol. 32, № 4. - P. 925-947.

177. Hutschinson J.E. Deterministic and random fractals //Complex systems, Cambridge UniVol. Press, Cambridge. 2000. - P. 127-166 // http: //wwwmaths.anu.edu.au/~john/

178. Struzik Z.R. Determining local singularity strengths and their spectra with wavelet transform //Fractals. 2000. - Vol. 8, № 2. - P. 163-179.

179. Struzik Z.R. From Coastline Length to Inverse Fractal problem: The concept of fractal metrology, PhD, Amsterdam, 1996.

180. Bacry E., Muzy J. F., Arneodo A. Singularity spectrum of fractal signals: exact results //J.of Statist. Phys. 1993. - Vol. 70, № (3/4). - P. 635-674.

181. Mallat S., Hwang W. L. Singularity detection and processing with wavelets. //IEEE Trans. Inf. Th. 1992. - Vol. 38. - P. 617-643.

182. Jaffard S. Multifractal formalism for functions parts I and II //SIAM J. of Mathematical Analysis. 1997. - Vol. 28, №4. - P. 944-998.

183. Mallat St. A wavelet tour of signal processing. Academ. Press., 1999. -637 p.

184. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Москва, Ижевск: R&C, 2001. - 464 с.

185. Seuret St, Levy Vehel J. A Time Domain Characterization of 2-microlocal Spaces //In J. Fourier An. Appl. 2003. - Vol. 9, №. 5. - P. 472-495.

186. Макаренко Н.Г., Пушкарев О.А. Фрактальная размерность пространственного распределения квазаров //Письма в Астроном, журнал. 1992. - Том 18. - С. 404-407.

187. Makarenko N.G., Karimova L., Demchenko В.I.,Novak M. Analysis of terrestrial radioactivive contamination //Fractals. 1998. - Vol. 6, № 4. - P. 359-369.

188. Makarenko N.G., Karimova L., Novak M. Discriminating between the nature of radioactive contamination //Chaos, Solitons and Fractals. 2000. -Vol. 11.-P. 2091-2098.

189. Могилевский Э.И. Фракталы на Солнце. -М.: Физматлит, 2001. 152 с.

190. Lawrence J.K., Cadavid А.С., Ruzmaikin A.A. On the multifractal distribution of Solar magnetic fields //Astrophys.J. 1996. - Vol. 465. - P. 425-435.

191. Lawrence J.K., Cadavid A.C., Ruzmaikin A.A., Berger Т.Е. Spatio-Temporal Scaling of Solar surface flows, 2001 // http:xyz.lanl.gov/astro-ph/0101224

192. Pentland A.P. Fractal-based description of natural scenes //IEEE, Trans, on pattern analysis and machine intelligence. 1984. - Vol. Paml-6, № 6. - P. 661-674.

193. Turiel A., Parga N. The multi-fractal structure of contrast changes in natural images: from sharp edges to textures //Neural Computation. 2000. - Vol. 12.-P. 763-793.

194. Turiel A., Mato G., Parga N., Nadal J-P. The Self-Similarity properties of natural images resemble those of turbulent flows //Physical Rev. Lett. -1998. Vol. 80, №5. - P. 1098-1101.

195. Huang Q., Lorch J.R., Dubes R.C. Can the Fractal Dimension of Images be measured? //Pattern Recog. 1994. - Vol. 27, № 3. - P. 339-349.

196. Michielsen K., De Raedt H., De Hosson J.Th.M. Aspects of mathematical morphology //Advances in imaging and electron physics. 2002. - Vol. 125.-P. 119-194.

197. Goelho R.G., Costa L.F. On the Application of the Bouligand-Minkowski Fractal Dimension for Shape Characterisation //Applied Sig Process. -1996.-Vol.3.-P. 163-176.

198. Costa L. da F., Kaye B.H. and Montagnoli C. Accurate Fractal Estimation using Exact Dilations //Electronic Letters. 1999. - Vol. 35. - P. 18291836.

199. Kleczek J. Publ. Inst. Centr. Astron. Prague, 1952. № 22.

200. Kaplan D.I. Exceptional events as evidence for determinism //Physica D. -1994.-Vol. 73.-P. 38-48.

201. Dataplore http://www.datan.de/dataplore/edpdownl.html

202. Kuandykov Y.B., Karimova L.M., Makarenko N.G. Noise reduction in paleodata time series by the method of Holder regularity enchancement //Cosmogenic climate forcing factors during the last millennium. Kaunas,2003.-P. 50-55.

203. Karimova L.M., Kuadykov Y.B., Makarenko N.G. The genetic algorithm for a signal enhancement // Nuclear Instrument a Methods in Physics Research Sec.A: Accelerators, Spectrometers, Detectors and Associated Equipment.2004. -Vol, 534.-P. 170-174

204. Каримова JI.M., Куандыков Е.Б., Макаренко Н.Г. Мультифрактальные методы редукции шума в палеоданных //Тр. 7-й межд. конф. "Климат иэкологические аспекты Солнечной активности", 7-11 июля 2003г. -Пулково, С-Петербург, 2004. С. 261-266.

205. Seuret St., Levy Vehel J. The local Holder function of a continuous function //Appl. Comput. Harmon. Anal. 2002. - Vol. 13, № 3. p. 263-276.

206. Tong H., Lim K.S., Threshold Autoregression, Limit Cycles and Cyclical Data //J.R.Statist.Soc. B. 1980. - Vol. 42, № 3. - P. 245-292.

207. Takens F. Distinguising deterministic and random systems //Nonlinear dynamics and turbulence, ed. by Barenblatt G.J., Jooss G., Joseph D.D. -N.Y.: Pitman, 1983. P. 314-333.

208. Афраймович B.C., Рейман A.M. Размерности и энтропии в многомерных системах //Нелинейные волны. Динамика и эволюция. -М.: Наука, 1989. С. 238-262.

209. Sauer Т., Yorke J.A., Casdagli М. Embedology //J. Statist. Phys. 1991. -Vol. 65. - P. 579-616. URL: http: //math. gmu. edu/~tsauer /

210. Rapp P.E., Schah T.I., Mees A.I. Models of knowing and the investigation of dynamical systems //Physica D. 1999. - Vol. 132. - P. 133-149.

211. Ott E., Sauer Т., Yorke J.A. Coping with chaos: Analysis of chaotic data and the exploitation of chaotic systems //John Wiley and Sons. 1994. - 432 p.

212. Noakes L. The Takens embedding Theorem //Inter. J. Bifurcation and Chaos. 1991. - Vol. 1. - P. 867-872.

213. Ruelle D. Chaotic evolution and strange attractors //The statistical analysis of time series for deterministic nonlinear systems, Cambridge University Press. 1989.

214. Gilmore R. Topological analysis of chaotic dynamical systems //Rev. Mod. Phys. 1998.-Vol. 70.-P. 1456-1529.

215. Eckmann J.P., Ruelle D. Ergodic theory of chaos and strange attractors //Rev. Mod. Phys. 1985. - Vol. 57. - P. 617-656.

216. Engel M. Time series Analysis. A part III Essay // URL: http://www.m-engel.de/

217. Schreiber T. Interdisciplinary application of nonlinear time series methods //Phys.Rep. 1999. - Vol. 308, №2. // URL:http://xvz.lanl.gov/chao-dyn/980700.

218. Huke J The dynamical systems approach to nonlinear signal processing // URL: http://personalpages.umist.ac.Uk/staff/i.p. huke

219. Макаренко Н.Г. Реконструкция динамических систем по хаотическим временным рядам I //Нелинейные волны'2004. Нижний Новгород, 2004. - 15 с. (в печати)

220. Makarenko N.G. Analysis of Geophysical Data: the nonlinear tools //Problems of Geospace 2, Proc. of Intern.Conf. St.Peterburg, June 29-July 3, 1998, Wien, 1999.-P. 11-19.

221. Хирш M. Дифференциальная топология. M.: Мир, 1979. - 280 с.

222. Guillemin V., Pollak A. Differential topology //Prentice-Hall, Inc, Englewood Cliffs. New Jersey, 1974. - 219 p.

223. Stark J. Delay reconstruction: dynamics versus statistics //Nonlinear dynamics and statistics, A.I. Mees editor, Birkhauser, 2001. P. 81-104.

224. Grassberger, P. and Procaccia, I. Estimation of the kolmogorov entropy from a chaotic signal // Phys. Rev. A. 1983. - Vol. 28, № 4. - P. 25912593.

225. Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение. М.: Мир, 1968. - 233 с.

226. Hegger R., Kantz Н., Schreiber Т. Practical implementation of nonlinear time series methods: The TISEAN package // CHAOS, 1999. Vol. 9. - P. 413-435.

227. Grassberger P., Procaccia I. On the characterization of strange attractors //Phys.Rev. Lett. 1983. - Vol. 50. - P. 346-349.

228. Pesin Ya. B. On rigorous mathematical definitions of correlation dimension and generalized spectrum for dimensions //Statistical Physics. 1993. -Vol. 71, № 3/4.-P. 529-547.

229. Ding M., Gregori C., Ott E., Sauer Т., Yorke J.A. Estimating correlation dimension from chaotic time series: when does plateau onset occur? // Physica D. 1993. - Vol. 69. - P. 404-424.

230. Уэрмер Дж. Теория потенциала. М.: Мир, 1980. - 133 с.

231. Cutler C.D. A theory of correlation dimension for stationary time series //Phil. Trans.R.Soc.Lond. A. -1994. P. 343-355.

232. Dies C. Estimating invariants of noisy attractors //Phys.Rev. E. 1996. -Vol. 53, № 5. - P. R4263-R4266.

233. Yu D.J., Small M., Harrison R.G.,. Diks C. Efficient implementation of the Gaussian kernel algorithm in estimating invariants and noise level from noisy time series data //Phys. Rev. E. 2000. - Vol. 61. - P. 3750-3756.

234. Borovkova S. Estimation and prediction for nonlinear time series //PhD, Amsterdam, 1998. http//docserver.ub.rug.nl/eldoc/dis/science/s.a.borovkova

235. Guerrero A., Smith L.A. Towards coherent estimation of correlation dimension //Phys. Let. A. 2003. - Vol. 318. - P. 373-379.

236. Бектасова Н.Г., Диденко A.B., Каримова Л.М., Макаренко Н.Г. Детерминированный хаос из кривой блеска геостационарного спутника //Письма в АЖ. -1994. Т. 12, № 12. - С. 928-933.

237. Каримова Л.М., Макаренко Н.Г. Диагностика хаотической компоненты в вариациях общего содержания озона //Известия РАН, Физика атмосферы и океана. 1997.-Т. 33, №2.-С. 283-286.

238. Пиковский А., Розенблюм М., Курте Ю. Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление. М.: Техносфера, 2003. - 493 с.

239. Quiroga Q. R., Arnhold J., Grassberger P. Learning driver-response relationships from synchronization patterns // Phys Rev. E. 2000. - Vol. 61.-P. 5142-5148.

240. Grassberger P., Schneider P. Studying Attractor Symmetries by Means of Cross Correlation Sums //Nonlinearity. 1997. - Vol. 10. - P. 749-762.

241. Cenis A., Lasiene G., Pyragas K. Estimation of interrelation between chaotic observable //Physica D. 1991. - Vol. 52. - P. 332-337.

242. Макаренко Н.Г., Куандыков Е.Б., Россиев A.A., Дергачев В.А. Как обнаружить синхронизацию двух динамических систем по наблюдаемым временным рядам с пропусками //Известия РАН, сер. Физ. 2001. - Т. 65, № 3. - С. 391-393.

243. Макаренко Н.Г., Айманова Г.К. К-энтропия и размерность Реньи Солнечного аттрактора //Астрон. Циркуляр. 1988. - № 1533. - С. 19Ж

244. Макаренко Н.Г., Айманова Г.К. О типе солнечного аттрактора //Астрон. Циркуляр, 1988.-№ 1535.-С. 19-20.

245. Айманова Г.К., Демченко Б.И., Макаренко Н.Г. О типе скейлинга для Солнечного аттрактора //Астрон. Циркуляр. 1989. - № 1541. - С. 1920.

246. Ostryakov V.M., Usoskin I.G. On the dimension of solar attractor //Solar Phys. 1990. - Vol. 127. - P.405-409.

247. Бектасова H.K., Макаренко Н.Г., Макаров В.И., Сагинтаев Б.С. Сложность, символическая динамика и временные ряды //Проблемы

248. Солнечной Активности, ФТИ им. А.Ф. Иоффе, Ленинград, 1991. С. 79-87.

249. Мосин А.П., Макаренко Н.Г. Топологическая размерность солнечного аттрактора по рядам Вольфа //Проблемы Солнечной Активности, ФТИ им. А.Ф. Иоффе, Ленинград, 1991. С. 89-94.

250. Serre Т., Nesme-Ribes Е. Nonlinear analysis of solar cycles //Astron. Astrophys. 2000. - Vol. 360. - P. 319-330.

251. Шильников Л.П, Шильников А.Л., Тураев Д.И., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Москва-Ижевск: ИКИ, 2004.-Ч. 1.-415 с.

252. Макаренко Н.Г., Данилкина Е. Существует ли стрела времени в солнечных циклах? //Физика Солнца и звезд. Тр. междун. научн. Сем. «Физика Солнца и звезд». Элиста: Калмыцкий госунивер., 2003. - С. 43-50.

253. Макаренко Н.Г., Данилкина Е.Б. Можно ли предсказать временной ряд в прошлое? //"Нейроинформатика-2004". Москва, 2004. - Ч. 1. - С. 11-17.

254. Макаренко Н.Г., Куандыков Е.Б., Данилкина Е.Б. О обратимости временного ряда чисел Вольфа //Тр. 7-й межд. конф. "Климатические и Экологические аспекты Солнечной активности". — С-Петербург, Пулково, 2004. С. 293-298.

255. Marwan, N. and Kurths, J. Cross recurrence plots and their applications //Benton, С. V., Ed. , Mathematical Physics Research at the Cutting Edge, Hauppauge. Nova Science Publishers. 2004. - P. 101-139.

256. Marwan N., Thiel M., Nowaczyk N.R. Cross Recurrence Plot Based Synchronization of Time Series //Nonlinear Processes in Geophysics. -2002.-Vol. 9.-P. 325-331.

257. Eckmann J.P., Kasmphorst S.O., Ruelle D. Recurrence Plots of dynamical systems //Europhys.Lett. 1987. - Vol. 4. - P. 973-977.

258. Thiel M., Romano M.C., Kurths J. and Read P. Estimation of Dynamical Invariants without Embedding by Recurrence Plots //Chaos. 2004. - Vol. 14.-P. 234-243.

259. Иудин Д.И., Григорьев А.Н., Трахтенгерц В.Ю. Фрактальная динамика грозового облака на предварительной стадии молниевого разряда //Тр. научн. конф.по радиофизике. ИНГУ, 2002. - С. 212-214.

260. Макаренко Н.Г., Мажкенов С.А., Белослюдцев О.М., Каримова Л.М., Курскеева Г.А. О корреляционной размерности геомагнитного аттрактора //ДАН РК. 1992. № 3. - С. 48-53.

261. Макаренко Н.Г:, Мажкенов С.А., Каримова Л.М., Терехов А.Г. Скейлинговые свойства аттрактора, реконструированного по геомагнитным данным //ДАН РК, 1991. №2. - С. 48-53.

262. Makarenko N., Mazhkenov S., Karimova L„ Kurskeeva G.About earthquake prediction by geomagnetic data //Inland Earthquakes. 1994. -Vol. 8, № 4. -P. 44-48.

263. Struzik Z. R. Econonatology: The Physics of the Economy in Labour //Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 2003. - Vol. 324(1-2).-P. 344-351.

264. Struzik Z. R., van Wijngaarden W. J. , Castelo R. Reasoning from non-stationarity //Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 2002. -Vol. 314(1-4).-P. 246-255.

265. Struzik Z. R., Siebes.A. P. J. M. Wavelet Transform Based Multifractal Formalism in Outlier Detection and Localisation for Financial Time Series //Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 2002. - Vol. 309(3-4).-P. 388-402.

266. Struzik Z. R. Revealing Local Variablity Properties of Human Heartbeat Intervals with the Local Effective Holder Exponent //Fractals. 2001. -Vol. 9(1).-P. 77-93.

267. Дорман Л.И. Метеорологические эффекты космических лучей. М.: Наука, 1972.-210 с.

268. Борог В.В. Мюонная томография и мониторинг окружающей среды //Труды Первой Баксанской Молодежной Школы ЭТФ, Нальчик: КБГУ. 2000. - С. 82-95.

269. Борог В.В., Буринский А.Ю., Дронов В.В., Мюонный годоскоп для исследования солнечно-земных связей в области энергий больше 10 ГэВ //Изв. РАН. Сер. Физ. 1995. - Т. 59, № 4. - С. 191-194.

270. Борог В.В., Дронов В.В., Изучение короткопериодических колебаний интенсивности мюонов, связанных с конвективно-грозовыми явлениями в атмосфере Земли //Изв. РАН. Сер. Физ. 1999. - Т. 63, № 8.-С. 1675-1677.

271. Марпл-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения. -Москва, 1990.-584 с.

272. Serio С. Discrimination Low-Dimensional Chaos from randomness a parametric time series modeling approach. //II Nuovo Cimento. 1992. -Vol. 107B.-P. 681-701.

273. Rissanen J. Stochastic complexity //J. Royal Statistical Society, Series B. -1987. Vol. 49, № 3. - P. 223-239.

274. Rissanen J. Hypothesis selection and testing by the MDL principle. The Computer Journal. 1999. - Vol. 42, № 4. - P. 260-269.

275. Виллемс Я.К. От временного ряда к линейной системе //Теория систем. Математические методы и моделирование. М.: Мир, 1989. - С. 8-191.

276. Тутубалин В.Н. Теория вероятностей и случайных процессов. М.: МГУ, 1992.-395 с.

277. McSharry Р.Е. Innovations in Consistent Nonlinear Deterministic Prediction. D.Phil. Thesis, University of Oxford. 1999. http://www. maths.ox.ac.uk/~mcsharry/papers.shtml

278. Такенс Ф. Хаос //сб. Структуры в динамике. Конечномерные детерминированные системы. Под ред. Х.В. Брун, Ф. Дюмортье, С. Ван Стрин, Ф. Такенс. Москва, Ижевск, 2003. - С. 119-132.

279. McNames J. A nearest trajectory strategy for time series prediction //Proc. of the Intern. Workshop on Advanced Black-Box Techniques for Nonlinear Modeling, Katholieke Universiteit Leuven, Belgium. 1998. - P. 112-128.

280. Abarbanel H., Carroll T.A., Pecora L.M., Sidorowich J.J., Tsimring L.S. Predicting physical variables in time-delay embedding //Phys. Rev. E.2000.-Vol. 62.-P. 1840-1853.

281. Abarbanel H. Prediction in chaotic nonlinear systems: Methods for time series with broad band Fourier spectra //Phys. Rev. A. 1990. - Vol. 41. -P. 1782-1807.

282. Poggio Т., Girosi F. A Theory of networks for approximation and learning //MIT AI Lab. Technical Report. 1989. - Memo No. 1140, Paper No. 31. / URL: http://citeseer.nj.nec.com/poggio89theory.html

283. Girosi F., Poggio T. Networks and the best approximation property //MIT AI Lab. Technical Report. 1989. - Memo No. 1164, Paper No. 45. / http://www.ai.mit.edu/people/poggio

284. Арнольд В.И. О представлении функций нескольких переменных суперпозицией функций меньшего числа переменных //Математическое просвещение. 1958. - Вып. 3. - С. 41-61.

285. Kainen Р. С. Recent results and mathematical methods for functional approximation by neural networks //Dealing with Complexity, M. Karny, K. Warwick and V. Kurkov'a, Eds., Springer. London, 1998. - P. 220-237.

286. Bishop Ch.M. Neural Networks for Pattern Recognition. //Clarendon Press. Oxford, 1996.

287. Терехов C.A. Лекции по теории и применению искусственных нейронных сетей // http://alife.narod.ru/lectures/neural/Neuindex. htm

288. Jordan M.I. Why the logistic function? A tutorial discussion on probabilities and neural networks // URL: ftp://psyche.mit.edu/pub/iordan/ uai.ps

289. Мак-Каллок У.С., Питтс У.В. Логическое исчисление идей, относящихся к нервной активности //сб. Нейронные сети: история развития теории. Книга 5. Под. ред. Галушкина А.И. Москва:

290. Радиотехника», 2001. С. 5-23; Нейрокомьютер, 1992. - № 3,4. - С. 40-52.

291. Ежов А.А., Шумский С.А. Нейрокомпьютинг и его приложения в экономике и бизнесе. М.: МИФИ, 1998. - 222 с.

292. Горбань А.Н. Обобщенная аппроксимационная теорема и вычислительные возможности нейронной сети //Сибирский журнал вычис. математики. 1998. - Т. 1. - С. 11-24.

293. Gorban A.N. Approximation of continuous functions of several variables by an arbitrary nonlinear continuous function of one variable, linear functions, and their superpositions //Appl. Math. Lett. 1998. - Vol. 11. - P. 45-49.

294. Розенблатт Ф. Персептрон: вероятностная модель хранения информации и организации мозга //сб. Нейронные сети: история развития теории. Книга 5. Под. ред. Галушкина А.И. Москва: «Радиотехника», 2001. - С. 29-58.

295. Дискуссия о нейрокомьютерах //Нейроинформатика-99. М., 2000.

296. Розенблатт Ф. Принципы нейродинамики. Перцептроны и теория механизмов мозга. М.: Мир, 1965. - 480 с.

297. Минский М., ПейпертС. Персептроны. -М.: Мир, 1971.-261 с.

298. Горбань А.Н. Быстрое дифференцирование, двойственность и обратное распространение ошибки //Сб. Нейроинформатика. Новосибирск: Наука, 1998.-С. 73-100.

299. Vapnik V.N. The Nature of Statistical Learning Theory //Springer. 1995. -185 p.

300. McSharry P.E., Smith L.A. Better Nonlinear Models from Noisy Data: Attractors with Maximum Likelihood //Phys. Rev. Lett. 1999. - Vol. 83(21).-P. 4285-4288.

301. Kugiumtzis D. State Space Reconstruction Parameters in the Analysis of Chaotic Time Series the Role of the Time Window Length //Physica D. -1996.-Vol. 95.-P. 13-28.

302. Bagarinao E., Nomura Т., Pakdaman K., Sato Sh. Generalized one-parameter bifurcation diagram reconstruction using time series //Physica D. 1998. - Vol. 124. - P. 258-270.

303. Judd K., Small M. Towards long-term prediction //Physica D. 2000. - Vol. 136.-P. 31-44.

304. Judd K., Small M. and Mees A.I. Achieving Good Nonlinear Models: Keep it Simple, Vary the Embedding, and Get the Dynamics Right //Nonlinear Dynamics and Statistics, Birkhauser. Boston, 2001. - P. 65-80.

305. Данилкина Е.Б., Куандыков Е.Б., Пак И.Т. О методах коррекции долгосрочного нейропрогноза временных рядов //Сб. науч. тр. Нейроинформатика-2003. М., 2003. - Ч. 1. - С. 200-206.

306. Small М., Yu D.J., and Harrison R.G. Non-stationarity as an embedding problem. //Space Time Chaos: Characterization, Control and Synchronization, ed. S. Boccaletti et al. World Scientific, 2001. - P. 3-18.

307. Small M., Tse C.K. Minimum description length neural networks for time series prediction //Phys. Rev. E. 2002. - Vol. 66, 066701.

308. Small M., Tse C.K. Optimal embedding: A modelling paradigm //Physica D. Vol. 194. - 2004. - P. 283-296.

309. Smith L.A. Local optimal prediction: exploiting strangeness and the variation of sensitivity to initial condition //Phil. Trans. R. Soc. Lond. A. -1994. Vol.348, № 1688. - P. 371-381.

310. Nakamura Т., Kilminster D., Judd K., Mees A. A Comparative study of model selection methods for nonlinear time series //Int. J. of Bifur. And Chaos. 2004. - Vol. 14, № 3. - P. 1129-1146.

311. Parlitz U., Hornstein A. Dynamical prediction of chaotic time series, 2004 /http://WWW.DPI.Phvsik.Uni-Goettingen.DE/~ulli/ preprints.html

312. Judd K., Smith L.A. Indistinguishable states I: The Perfect Model Scenario //Physica D. 2001. - Vol. 151. - P. 125-141.

313. Judd K., Smith L.A. Indistinguishable states II: Imperfect model scenarios //Physica D.-2001.-Vol. 151.-P. 125-141.

314. Бэстенс Д.Э., Ван ден Берг В.М., Вуд Д. Нейронные сети и финансовые рынки. Принятие решений в торговых операциях. М.: ТВП, 1997. -229 с.

315. Wiggins S. Introduction to Applied nonlinear dynamical systems and chaos //Springer. 1996.-683 p.

316. Boffetta G., Cencini M., Falcioni M., Vulpiani A. Predictability: a way to characterize Complexity // 2001, arXiv:nlin.CD/0101029

317. Wolf A., Swift J.B., Swinney H.L., Vastano Determining Lyapunov exponents from a time series //Physica D. 1985. - Vol. 16. - P. 285-317.

318. Sano M., Sawada Y. Measurements of the Lyapunov spectrum from a chaotic time series //Phys. Rev. Lett. 1985. - Vol. 72, № 13. p. Ю82-1085.

319. Eckmann J.-P., Kamphorst S.O., Ruelle D. and Ciliberto S., Lyapunov exponents from time series //Phys. Rev. A. 1986. - Vol. 34. - P. 49714979.

320. Ziehmann C., Smith L.A., and Kurths J. The bootstrap and Lyapunov exponents in deterministic chaos //Physica D. 1999. - Vol. 126. - P. 4959.

321. Макаренко Н.Г. Каримова JIM., Беляшов Д.Н., Емельянова И.В, Тищенко А.В. Опыт применения нейросетового имитатора Multineuron в гео- и гелиофизике //Нейроинформатика-99, Сборник научных трудов. Москва, 1999. -Ч. З.-С. 31-38.

322. Макаренко Н.Г., Каримова Л.М., Нагай Т.В. Эмбедология, солнечные циклы и прогноз динамики Каспийского моря //в сб. Современные проблемы солнечной цикличности. Санкт-Петербург, 1997. - С. 144148.

323. Makarenko N.G., Karimova L.M., Kvandvkov Y.B., Novak M.M. Nonlinear Dynamics and Prediction of the Caspian Sea Level //in Thinking in Patterns, M. M. Novak (ed). World Scientific, 2004. - P. 91-102.

324. Данилкина Е.Б., Куандыков Е.Б., Каримова Л.М., Макаренко Н.Г. Методы топологического вложения в нейропрогнозе финансовыхвременных рядов //Сб. науч. тр. Нейроинформатика-2001. М., 2001. -Ч. 2.-С. 13-20.

325. Tribelskv М., Harada Y„ Kuandykov Y., Makarenko N. Predictability of Market Prices //In Empirical Science of Financial Fluctuations: The Advent of Econophysics. Tokyo: Springer-Verlag, 2002. - P. 241-249.

326. Sornette D. Why Stock Markets Crash, Critical Events in Complex Financial Systems //Princeton UniVol.Press. 2003. - 418 p.

327. Cao L. Nonlinear deterministic forecasting of daily dollar exchange rates //Intern.J.of Forecasting. 1999. - Vol. 15. - P. 421-430.

328. Struzik Z.R. Econophysics vs. Cardiophysics: The dual face of multifractality //The Application of Econophysics. Proc. Of the Second Nikkei Econophysics Symposium, H.Takayasu ed. Springer. 2002. - P. 210-222.

329. Muzy J.F., Delour J., Bacry E. Modeling fluctuations of financial time series: from cascade process to stochastic volatility model //Euro. Phys. Jour. B. 2000. - Vol. 17. - P. 537-548.

330. Макаренко Н.Г., Нагай T.B., Тищенко A.B. Прогноз Солнечных циклов и Нейронные сети //Новый цикл активности Солнца: наблюдательный и теоретический аспекты. Конф. посвященная 50-летию Горной Астрон. Станции ГАО РАН. С-Петербург, 1998. - С.107-110.

331. Macpherson К. Neural network computation techniques applied to solar activity prediction //Advan. Space Res. 1993. - Vol. 13, № 9. - P. 447450.

332. Fessant F., Bengio S., and Collobert D. On the prediction of solar activity using different neural network models //Ann. Geophys. 1995. - Vol. 14. -P. 20-26.

333. Barkhatov N. A., Korolev A. VOL., Ponomarev S. M., Sakharov S. Yu. Long-Term Forecasting of Solar Activity Indices Using Neural Networks //Radiophysics and Quantum Electronics. 2001. - Vol. 44, № 9. - P. 742749.

334. Orfila A., Ballester J. L., Oliver R., Alvarez A., and Tintore J. Forecasting the solar cycle with genetic algorithms //Astron. & Astroph. 2001. - Vol. 386, № 1.-P. 313-318.

335. Bishop Ch. Training with noise is equivalent to Tikhonov regularization //Neural Computation. 1995. - Vol. 7, № 1. - P. 108-116.

336. Макаренко Н.Г., Ахматуллина Н.Б., Искандорова К.А., Чередниченко О.Г., Ким С.А. Математический анализ генетических эффектов малых доз ионизирующих излучений //Радиационная биология. Радиоэкология. 2002. - №6. - С. 614-617.

337. Макаренко Н.Г., Югай И.С., Долматова И.А. Применение нейронных сетей для выбора оптимальных признаков при дифференциальной диагностике опухолей орбиты //Нейрооинформатика 2001, сб. трудов. -Москва, 2001.-Ч. 2.-С. 163-168.

338. Макаренко Н.Г., Югай И.С., Долматова И.А., Мустафина Ж.Г. Определение информативности клинических признаков и интегральных показателей крови опухолей орбиты с помощью нейронных сетей //Вестник новых медицинских технологий. 2001. -Т. 8, №2.-С. 10-12.

339. Makarenko N.G., Gorban A., Rossiev A. Kuandykov Y., Dergachev V. Recovering data gaps through neural network methods //Int. J. of Geomagnetism and Aeronomy. 2002. - Vol. 3, № 2. - P. 191-197.

340. Makarenko N.G., Dergachev V.A., Karimova L. M., Danilkina Y.B. Nonlinear Methods of Analysis of Data with Gaps //Geochronometria. -2001.-Vol. 20.-P. 45-50.

341. Makarenko N.G., Karimova L., Steier P. Kuandykov Y., Dergachev V., Gorban A, Rossiev A. The filling of gaps in geophysical time series by artificial neural networks //Radiocarbon. 2001. - Vol. 43, № 3. - P. 343350.

342. Арефьев С.С., Шебалин Н.В. Оценка уровня скученности (кластеризации) землетрясений Кавказа // ДАН СССР. 1988. - Т. 298. -С. 1349-1352.

343. Zoller G., Engbert R., Hainzl S., Kurths J. Characteristic Spatial Scales in Earthquake Data // http://xxx.lanl.gov/chao-dvn/9701025.

344. Мажкенов C.A., Макаренко Н.Г., Терехов А.Г. Графодинамика и особенности региональной сейсмичности в Восточном Тянь-Шане // ДАН РК 1994. - №3. - С. 67-73.

345. Southern Californian Hypocenter's Data File. 1932-1993. USGS/CIT. USA. 1993.

346. Крестников B.H., Темерецкий А.Л., Штанге Д.В. О современных тектонических процессах Тянь-Шаня и Памира (по механизмам очагов землетрясений) // Известия АН СССР. Сер. Физика Земли. 1992. - № 1.-С. 35-47.

347. Израэль Ю. А. Радиоактивное загрязнение земной поверхности // Вестник РАН. 1998. - Т. 68, № 10. - С. 898-915.

348. Юнге X. Химический состав и радиоактивность атмосферы. М.: Мир, 1965.-423 с.

349. Salvadori G., Ratti S.P., Belli G. An analysis of time-dependence for Chernobyl falloyt in Italy // Health Physics. 1997. - Vol. 72, № 1. - P. 6076.

350. Lovejoy S., Schertzer D. Scaling, Fractals, and nonlinear Variability in Geophysics // EOS. Meetings reports. 1988. - № 8. - P. 143-145.

351. Lovejoy S., Mandelbrot B.B. Fractal properties of rain, and a fractal model // Tellus. 1985. - Vol. 37A. - P. 209-232.

352. Андерсон Т.В. Введение в многомерный статистический анализ. М.: Физматгиз, 1963. - 500 с.

353. Сердобольский В.И. Теория существенно многомерного анализа // УМН, 1999. Т. 54, вып. 2(326). - С. 85-112.

354. Барьяхтар В.Г., Гончар В.Ю., Яновский В.В. Природа сложной структуры пятна загрязнений радионуклидами в результате аварии на ЧАЭС // Укр.ф1з.журн. 1993. - Т. 38, № 7. - С. 967-975.

355. Salvadori G., Ratti S.P., Belli G. Modelling the Chernobyl radioactive fallout (I): A fractal approach in Northern Italy // Chemosphere. 1996. -Vol. 33, № 12. - P. 2347-2357.

356. Myasnikov K.V., Kazatkin V.V., Akhunov V.D. Scientific-Technical and Environmental Aspects of Peaceful Underground Nuclear Explosions Conducted in Russia // Environmental Geocsience. 1999. - Vol. 2, № 1. -P. 69-72.

357. Makarenko N.G., Karimova L., Novak M., Terekhov A. Topological classification of radioactive contamination //Physica A. 2001. - Vol. 289. -P. 278-289.

358. Makarenko N.G., Karimova L., Novak M. Application of fractal and morphological methods in radioecology // Health Physics 2003. - Vol. 85, №3. - P. 330-338.

359. Макаренко Н.Г., Каримова JI.M., Бурмистров В.Р. R К ревизии измерений и выводов по оценке радиационных загрязнений, выпавших из атмосферы // «Радиоактивность при ядерных взрывах и авариях».