Решение линейных регрессионных неравенств в задачах теории систем управления тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Зенкин Артемий Михайлович

• Зенкин Артемий Михайлович
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Зенкин Артемий Михайлович

Оглавление

Реферат

Synopsis

Введение

Глава 1 Обзор существующих решений и обобщенная постановка задачи

1.1 Введение

1.2 Мотивационные примеры

1.2.1. Линейные регрессионные неравенства и функция Ляпунова

1.2.2. Линейные регрессионные неравенства при неизвестных матрицах системы

1.2.3. Применение линейных регрессионных неравенств к анализу вибрационного состояния квадрокоптера

1.2.4. Применение линейных регрессионных неравенств к задаче настройки ПИД-регулятора

1.3 Обобщенная постановка задачи

1.3.1. Общая форма системы ЛРН

1.3.2. Декомпозиция общей системы

1.3.3. Цель и направления дальнейшего исследования

1.4 Заключение по главе

Глава 2 Аналитический метод построения области существования решений линейных регрессионных неравенств

2.1 Введение

2.2 Обзор решения задач линейных регрессионных неравенств

2.2.1. Классические решения задач линейных регрессионных неравенств

2.2.2. Современные направления решения задач линейных регрессионных неравенств

2.3 Построение аналитических оценок решений ЛРН: от частных подходов к общему методу

2.3.2. Частный случай метода аналитической оценки решений ЛРН

2.3.3. Аналитический метод построения области существования решений линейных регрессионных неравенств

2.4 Заключение по главе

Глава 3 Метод определения функции Ляпунова для нелинейных динамических систем, основанный на сведении условий второго метода Ляпунова к системе линейных регрессионных неравенств, содержащих неизвестные постоянные параметры

3.1 Введение

3.2 Анализ существующих подходов к поиску функции Ляпунова для нелинейных систем

3.2.1. Классические аналитические подходы

3.2.2. Аналитико-численные и вычислительные подходы

3.2.3. Вывод

3.3 Постановка задачи

3.4 Метод поиска параметров потенциальной функции Ляпунова с использованием генетического алгоритма

3.4.2. Сравнительный анализ с методом на основе нейронной сети и контраргументов

3.4.3. Оценка сходимости генетического алгоритма

3.4.4. Вывод

3.5 Заключение по главе

Заключение

Список литературы

Приложение А

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Решение линейных регрессионных неравенств в задачах теории систем управления»

Реферат

Общая характеристика работы Актуальность работы. Диссертация выполнена в области теории автоматического управления и направлена на развитие алгоритмов оценивания неизвестных параметров, а также аналитических и вычислительных методов анализа и синтеза нелинейных динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями. Особое внимание уделено задаче интеграции методов анализа устойчивости, параметрической идентификации и синтеза регуляторов в рамках единого математического формализма. В качестве такого формализма предложено использование линейных регрессионных неравенств (ЛНР).

Необходимость использования данного формализма связана с развитием методов оценивания параметров и анализа устойчивости. В ранних работах по адаптивным системам процесс подстройки параметров формулировался как решение последовательности неравенств, связывающих параметры с наблюдаемыми переменными. На этой основе были разработаны алгоритмы типа «Полоска» [1], обеспечивающие конечную сходимость и обоснованные с применением функций Ляпунова. Несмотря на теоретическую завершенность, алгоритм «полосок» Якубовича имеет ряд недостатков. Пересечение растущего числа гиперплоскостей приводит к экспоненциальному росту вычислительной сложности и делает применение метода затруднительным при большом объеме данных. В реальных условиях измерения подвержены шумам и выбросам, вследствие чего вновь формируемые полосы нередко оказываются несовместимыми с ранее построенными. В этом случае пересечение множеств может оказаться пустым, и алгоритм утрачивает решение. Кроме того, высокая вычислительная нагрузка существенно осложняет практическую реализацию метода: для каждой новой итерации требуется решение задачи выпуклого программирования с возрастающим числом ограничений. Алгоритм

одинаково учитывает все ранее полученные полосы. При медленном дрейфе параметров объекта старые ограничения теряют актуальность.

Дальнейшее развитие отечественных исследований было связано с переходом от итерационных схем к аналитическим формам метода Ляпунова, ориентированным на описание нелинейных, негладких систем с несколькими устойчивыми состояниями [2-4] В ряде работ предложены обобщенные и неявные функции Ляпунова, а также методы аналитической оценки размерности инвариантных множеств. Несмотря на аналитическую основу этих подходов, их реализация опирается на численные процедуры и не позволяет получить явные аналитические выражения для искомых функций Ляпунова.

Параллельно развиваются вычислительные направления, включающие методы сумм квадратов [5-8], функционалы Ляпунова-Красовского и интегральные квадратичные ограничения, применяемые к системам с запаздыванием [9-12], а также нейросетевые аппроксимации функций Ляпунова [13-18]. Эти подходы обеспечивают возможность анализа сложных нелинейных систем, однако остаются численными по своей природе и не позволяют получить аналитические оценки до выполнения оптимизационных процедур. Более подробное изложение указанных направлений представлено в разделе 3.2.

Таким образом, несмотря на значительный прогресс, большинство существующих методов построения функций Ляпунова для нелинейных систем и решения сопутствующих задач, связанных с линейными неравенствами, основаны на численных процедурах. Это снижает прозрачность получаемых результатов и затрудняет формулировку аналитических доказательств устойчивости. В связи с этим представляет интерес аналитический подход, использующий аппарат линейных регрессионных неравенств.

Целью работы является разработка аналитического метода оценки множества допустимых параметров системы линейных регрессионных

неравенств и его применение к определению (построению) функций Ляпунова нелинейных динамических систем.

Использование в рамках данной диссертационной работы аппарата линейных регрессионных неравенств к различным задачам теории управления позволяет получать не только численные результаты, но и аналитические оценки, позволяющие заранее определить, при каких параметрах система сохраняет устойчивость.

Реализация поставленной цели потребовала решения нескольких последовательных задач, каждая из которых раскрывает отдельный аспект предложенного подхода:

1) Разработка аналитического метода построения области существования

решений систем линейных регрессионных неравенств:

- формализовано применение линейных регрессионных неравенств в теории управления при решении задач оценивания неизвестных параметров, а также анализа и синтеза стабилизирующих регуляторов;

- сформулирована обобщенная постановка задачи и введено понятие множества допустимых параметров;

- проведен обзор и систематизация существующих методов решения систем ЛРН;

- разработан аналитический метод построения ограниченной внешней области параметров, в которой могут существовать решения систем ЛРН. Метод основан на формулах Крамера, неравенстве Адамара и процедуре динамического расширения регрессора.

2) Разработка численного алгоритма поиска функции Ляпунова для

нелинейных дифференциальных уравнений. В рамках данной задачи:

- показана применимость разработанного аппарата ЛРН к построению функций Ляпунова для нелинейных систем;

- предложен и реализован численный алгоритм поиска функции Ляпунова с использованием генетического алгоритма;

- выполнено сравнение предложенного алгоритма с нейросетевыми методами построения функций Ляпунова, подтвердившее корректность и применимость разработанного подхода.

Научная новизна работы. Разработан аналитический метод построения замкнутой внешней области параметров, содержащей множество возможных решений системы линейных регрессионных неравенств. Полученная область представляет собой достаточное аналитическое условие существования решений в пределах заданного диапазона параметров.

Сформулирована обобщенная постановка задачи линейных регрессионных неравенств, включающая разделение на основное неравенство и проверочное условие, а также введено понятие множества допустимых параметров, связывающего математические ограничения с физическими и конструктивными свойствами управляемой системы.

Показана применимость аналитического аппарата линейных регрессионных неравенств для построения функций Ляпунова нелинейных систем.

Разработан численный алгоритм построения функции Ляпунова, использующий эволюционный поиск коэффициентов разложения и функцию затрат, оценивающую степень выполнения условий положительности функции и отрицательности ее производной. Алгоритм демонстрирует практическую применимость разработанного аналитического аппарата.

Теоретическая значимость работы состоит в развитии и обобщении методов анализа систем управления через формализм линейных регрессионных неравенств. В работе:

1) предложен аналитический аппарат, позволяющий в единой

математической форме рассматривать задачи устойчивости,

идентификации и синтеза стабилизирующих регуляторов через систему линейных регрессионных неравенств;

2) получены аналитические оценки возможных значений параметров, удовлетворяющих системам линейных регрессионных неравенств; оценки основаны на формулах Крамера, неравенстве Адамара и процедуре динамического расширения регрессора и задают условия существования решений ЛРН в ограниченной параметрической области.

3) показано, что классические условия Ляпунова - положительная определенность функции У(х) и отрицательная определенность (или полуопределенность) ее производной У(х) вдоль решений системы -могут быть сведены к системе линейных неравенств, что создает основу для построения аналитических доказательств устойчивости нелинейных систем без обращения к численным методам оптимизации. Практическая значимость работы заключается в возможности

применения разработанного аналитического аппарата и численных алгоритмов при анализе и проектировании динамических систем автоматического управления. Разработанный подход позволяет:

1) получать аналитические области допустимых параметров, при которых выполняются заданные ограничения и условия устойчивости, что может использоваться в задачах настройки и верификации регуляторов;

2) применять полученные аналитические оценки параметров для проверки корректности идентифицированных моделей и анализа чувствительности к неопределенности;

3) использовать аналитические ограничения в качестве основания для численного поиска функций Ляпунова, реализуемого в виде алгоритма, пригодного для программной реализации и применения к анализу устойчивости нелинейных систем.

Методология и методы исследования. Методологическую основу работы составляют положения современной теории автоматического

управления, системного анализа и идентификации динамических объектов. В исследовании использованы принципы параметрического описания систем, методы регрессионного анализа и аппроксимации, а также подходы к оцениванию параметров в условиях неопределенности.

В качестве основного инструмента выбран формализм линейных регрессионных неравенств (ЛРН), позволяющий с единых позиций описывать широкий класс задач теории систем. На его основе разработаны аналитические и численные методы построения множества допустимых параметров и аналитических оценок их значений.

При решении поставленных задач применялись методы линейной алгебры (формулы Крамера, неравенство Адамара, анализ определителей), элементы теории выпуклых множеств и функционального анализа. Для проверки корректности предложенных оценок и алгоритмов проведена компьютерная симуляция на примере нелинейных динамических систем.

Численные исследования и визуализация результатов выполнялись средствами Python с использованием библиотек NumPy, Matplotlib и cvxpy. Алгоритм эволюционного поиска функции Ляпунова реализован на основе генетического алгоритма, включающего процедуры селекции, кроссинговера и мутации.

Положения, выносимые на защиту. В результате проведенных исследований на защиту выносятся следующие положения:

1) Аналитический метод построения области существования решений линейных регрессионных неравенств;

2) Метод определения функции Ляпунова для нелинейных динамических систем, основанный на сведении условий второго метода Ляпунова к системе линейных регрессионных неравенств, содержащих неизвестные постоянные параметры.

Достоверность полученных результатов. Достоверность результатов исследования обеспечивается строгим математическим обоснованием всех

выводов, использованием проверенных методов линейной алгебры и теории систем, а также воспроизводимой процедурой численной проверки.

Выводы и аналитические соотношения основаны на общепринятых положениях линейной алгебры, функционального анализа и теории устойчивости.

Корректность разработанного метода аналитических оценок подтверждается строгими доказательствами на основе формул Крамера и неравенства Адамара, а также проверкой выполняемости полученных оценок на примерах систем различной размерности.

Достоверность численных результатов обеспечена независимой верификацией аналитических оценок с помощью моделирования на тестовых задачах, в том числе при построении функции Ляпунова для нелинейных систем.

Сходимость и корректность предложенного эволюционного алгоритма подтверждены серией вычислительных экспериментов и согласуются с известными теоретическими результатами о свойствах генетических алгоритмов.

Совпадение аналитических и численных результатов, а также воспроизводимость вычислений подтверждают обоснованность и корректность полученных научных выводов.

Апробация работы. Основные результаты диссертационного исследования были представлены и обсуждены на всероссийских научных и учебно-методических конференциях:

1) XIV Всероссийское совещание по проблемам управления (ВСПУ-2024), 17 июня 2024 г.;

2) XIII Конгресс молодых ученых Университета ИТМО, 8 апреля 2024 г.; Личный вклад автора. Диссертационное исследование выполнено

соискателем самостоятельно. Автором сформулирована научная проблема, обоснована актуальность исследования, поставлены цель и задачи работы.

Выполнена формализация применения линейных регрессионных неравенств в теории управления и предложена обобщенная постановка задачи, включающая введение множества допустимых параметров и структуру основного и проверочного неравенств. Разработан аналитический метод построения ограниченной внешней области параметров, согласованной с системой линейных регрессионных неравенств. Метод основан на переходе от недоопределенной регрессионной модели к квадратной системе, использовании динамического расширения регрессора, а также применении классических аналитических оценок, включая формулы Крамера и неравенство Адамара.

Предложен численный метод построения функции Ляпунова для нелинейных систем на основе генетического алгоритма, в котором условия положительности функции и отрицательности ее производной сводятся к системе линейных регрессионных неравенств. Проведено сравнение с существующими подходами, подтвердившее корректность и эффективность разработанного алгоритма.

Автором выполнены строгие теоретические выводы, получены аналитические оценки, разработаны математические модели и реализованы вычислительные алгоритмы, включая программную реализацию метода экстремальных точек и процедуры эволюционной оптимизации параметров полиномиальных кандидатов на функцию Ляпунова

Проведены компьютерные симуляции, включая задачу стабилизации математического маятника. Все теоретические результаты, программная реализация и вычислительные эксперименты выполнены соискателем лично.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем работы составляет 201 страница, содержит 12 рисунков, 3 таблицы и 121 литературный источник.

Заключение диссертации по теме «Другие cпециальности», Зенкин Артемий Михайлович

Заключение

Предложен метод поиска функции Ляпунова, в основе которого лежит технология машинного обучения. Данный подход характеризуется более общим подходом, поскольку рассмотрено разложение потенциальной функции в ряд Тейлора с неизвестными коэффициентами, вместо использования контрпримеров или шаблонных функций Ляпунова. Возможно применение метода для синтеза сигнала управления нелинейными системами, в основе которого использована функция

Ляпунова, поиск которой происходит через предложенный метод. Наряду с этим, функция затрат требует учет дополнительных параметров системы, а генетический алгоритм имеет тенденцию попадания в локаль-

ный минимум. Отмечен рост времени поиска функции Ляпунова с увеличением степени разложения ряда, что является обоснованным, так как затрачивается больше вычислительных ресурсов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Зенкин Артемий Михайлович, 2025 год

Литература

1. Li X., Yang X Lyapunov stability analysis for nonlinear systems with state-dependent state delay // Automatica. 2020. V. 112. P. 108674108680. https://doi.org/10.1016/j.automatica.2019.108674

2. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. Strelbytskyy Multimedia Publishing, 2018. 545 с.

3. Мирошник И.В., Никифоров ВО, Фрадков А Л Нелинейное адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб.: Наука. 2000. 549с.

4. Wu Y, Xie X. A new analysis approach to the output constraint and its application in high-order nonlinear systems // Science China Information Sciences. 2023. V. 66. N 5 P. 159206. https://doi org/10.1007/sl 1432-022-3 572-7

5. Иванов C.E., Телевной АД. Численно-аналитический метод преобразований для анализа нелинейных математических моделей полиномиальной структуры // Вестник Астраханского государственного технического университета. Серия: Управление, вычислительная техника и информатика. 2022. № 2. С. 97-109. https://doi.org/10.24143/2072-9502-2022-2-97-109

6. Snvastava Y., Srivastava S , Chaudhary D, Blanco Valencia X.P Performance improvement and Lyapunov stability analysis of nonlinear systems using hybrid optimization techniques // Expert Systems. 2022. P. el3140. in press, https://doi.org/10.1111/exsy. 13140

7. Giesl P., Hafstein S. Computational methods for Lyapunov functions // Discrete and Continuous Dynamical Systems — Series B. 2015 V 20. N 8. P. l-ii. https://doi.org/10.3934/dcdsb.2015.20.8i

8. Papachristodoulou A., Anderson J., Valinorbida G., Prajna S., Seiler P., Pamlo P., PeetMM, Jagt D. SOSTOOLS Version4.00 Sum of Squares Optimization Toolbox for MATLAB // arXiv. 2013 arXiv: 1310.4716. https://doi.org/10.48550/arXiv. 1310.4716

9. Hemández-Solano Y, Atencia M. Numerical methods that preserve a Lyapunov function for ordinary differential equations // Mathematics. 2022. V. 11. N 1. P. 71. https://d0i.0rg/l0.3390 inatill 1010071

10. Hafstein S., Giesl P. Review on computational methods for Lyapunov functions // Discrete and Continuous Dynamical Systems — Series В 2015. V. 20. N 8. P 2291-2331. https://doi.org/10.3934/ dcdsb.2015.20.2291

11. Verdier C.F., Mazo M. Fonnal synthesis of analytic controllers for sampled-data systems via genetic programming // Proc. of the 2018 IEEE Conference on Decision and Control (CDC). 2018. P. 48964901. https://d01.0rg/l0.1109/CDC.2018.8619121

12. Ben Sassi M.A., Sankaranarayanan S., Chen X., Abraham E. Linear relaxations of polynomial positivity for polynomial Lyapunov function synthesis // IMA Journal of Mathematical Control and Information 2016. V. 33. N 3. P. 723-756. https://doi.orgT0.1093 imamci/dnv003

13 Бородин И.Д. Метод статистического синтеза функции Ляпунова для исследования устойчивости искусственного спутника Земли // Вестник Уфимского государственного авиационного технического университета. 2022. Т. 26. № 3(97). С. 14-23. https://doi.org /10.54708/19926502_2022_263 9714

14 Феофинов С В., Козырь А.В., Хапкин Д.Л. Синтез гарантированно устойчивых нейросетевых регуляторов с оптимизацией качества переходного процесса /V Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2022. № 12. С. 128-133. https://doi .org/10.24412/2071-6168-2022-12-128-134

15. Abate A., Ahmed D., Giacobbe M., Peruffo A. Fonnal synthesis of Lyapunov neural networks // IEEE Control Systems Letters. 2021 V. 5. N 3. P 773-778. https://doi.org/10.1109/LCSYS.2020.3005328

16. Lainbora A., Gupta K, Chopra К Genetic algorithm- a literature review // Proc. of the 2019 International Conference on Machine Learning, Big Data, Cloud and Parallel Computing (COMITCon). 2019. P. 380-384 https://doi.ois/10.1109/COMITCon.2019.8862255

17. Katoch S., Chaulian S. S., Kumar Л* A review on genetic algonthm: pa st, present, and future // Multimedia Tools and Applications. 2021. V. 80 N5. P 8091-8126. https://doi.org/l0.1007/s 11042-020-10139-6

18 Zenkin A.M., Peregudin A.A., Bobtsov A.A. Lyapunov function search method for analysis of nonlinear systems stability using

References

1. Li X., Yang X Lyapunov stability analysis for nonlinear systems with state-dependent state delay. Automatica, 2020, vol. 112, pp. 108674108680. https://doi.org/10.1016/j. automatica.2019.108674

2. Lyapunov A.M. The General Problem of the Stability of Motion Taylor & Francis, 1992,270 p.

3. Miroshnik I.V., Nikiforov V.O., Fradkov A.L. Nonlinear Adapti\>e Control of Complex Dynamic Systems. St. Petersburg, Nauka Publ., 2000, 549 p. (in Russian)

4. Wu Y., Xie X. A new analysis approach to the output constramt and its application in high-order nonlinear systems. Science China Information Sciences, 2023, vol. 66. no. 5, pp 159206. https://doi. oig/10.1007/sl 1432-022-3572-7

5. Ivanov S.E., Televnoy A.D. Numerical-analytical transformation method of analyzing nonlinear mathematical models with polynomial stmcture. Vestnik of Astrakhan State Technical University. Series: Management, Computer Science and Informatics, 2022, no. 2,pp 97109. (in Russian), https://doi.oi-g/10.24143/2072-9502-2022-2-97-109

6. Srivastava Y., Srivastava S.; Chaudhary D , Blanco Valencia X.P Performance improvement and Lyapunov stability analysis of nonlinear systems using hybrid optimization techniques. Expert Systems, 2022, pp el3140. in press, https://doi.org/10.llll/ exsy.13140

7. Giesl P., Hafstein S. Computational methods for Lyapunov functions. Discrete and Continuous Dynamical Systems — Series B, 2015, vol. 20, no. 8, pp. 1-11. https://doi.org/10.3934/dcdsb.2015.20.8i

8. Papachristodoulou A., Anderson J., Valinorbida G., Prajna S., Seller P., Parnlo P., Peet M M, Jagt D. SOSTOOLS Version 4.00 Sum of Squares Optimization Toolbox for MATLAB arXix, 2013, arXiv: 1310.4716. https://doi.org/10.48550/arXiv.1310.4716

9. Hemández-Solano Y, Atencia M. Numerical methods that preserve a Lyapunov function for ordinary differential equations. Mathematics, 2022, vol. ll,no. 1, pp. 71. https://doi.org/10.3390/mathl 1010071

10. Hafstein S., Giesl P. Renew on computational methods for Lyapunov functions. Discrete and Continuous Dynamical Systems — Senes B, 2015, vol. 20, no 8, pp 2291-2331. https://doi.org/10.3934/ dcdsb.2015.20 2291

11. Verdier C.F., Mazo M Fonnal synthesis of analytic controllers for sampled-data systems via genetic programmnig. Proc. of the 2018 IEEE Conference on Decision and Control (CDC), 2018, pp. 48964901. https://d01.0rg/l 0.1109/CDC.2018.8619121

12. Ben Sassi M.A., Sankaranarayanan S., Chen X., Abraham E. Linear relaxations of polynomial positivity for polynomial Lyapunov function synthesis. IMA Journal of Mathematical Control and Information, 2016, vol. 33, no. 3, pp. 723-756. https://doi. org' 10.1093/imamci dnv003

13 Borodin I D. The method of statistical synthesis of the Lyapunov function for the study of the stability of an artificial Earth satellite. Vestnik UGATU, 2022, vol. 26, no. 3(97), pp. 14-23. (in Russian) https //doi.org,' 10.54708/19926502_2022_263 9714

14. Feofilov S V, Kozyr AV., Khapkin D.L. Synthesis of guaranteed stable neural network controllers with transient quality optimization. Proceedings of the 7SU. Technical Sciences, 2022, no. 12, pp. 128-133. (in Russian), https://doi.org/10.24412/2071-6168-2022-12-128-134

15. Abate A., Ahmed D , Giacobbe M., Peruffo A. Fonnal synthesis of Lyapunov neural networks. IEEE Contwl Systems Letters, 2021, vol. 5, no. 3, pp. 773-778. https://doi.org/10.1109/ LCSYS.2020.30053 28

16. Lambora A., Gupta K, Chopra K Genetic algorithm- a literature review. Proc. of the 2019 International Conference on Machine Learning, Big Data, Cloud and Parallel Computing (COMITCon), 2019, pp 380-384. https: 'doi.oi^TO 1109 COMITCon.2019 SS62255

17. Katoch S., Chaulian S.S., Kumar V A review on genetic algonthm: past, present, and future. Multimedia Tools and Applications, 2021, vol. 80, no. 5, pp 8091-8126. https://doi.org/10 1007/s 11042-02010139-6

18. Zenkin A.M., Peregudin A.A., Bobtsov A.A. Lyapunov function search method for analysis of nonlinear systems stability using