Решение некоторых осесимметричных задач теории упругости в напряжениях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Гасратова, Наталья Александровна

• Гасратова, Наталья Александровна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Гасратова, Наталья Александровна

§1. Уравнения равновесия..........................................................19

§2. Определение перемещений по компонентам деформации. Уравнения

сплошности........................................................................21

§3. Основные уравнения осесимметричной задачи теории упругости в напряжениях ............................................................................22

§4. Статические и кинематические краевые величины в напряжениях .... 24

Глава III. Решение в напряжениях осесимметричных задач со сферической границей 26

§1. Разложение напряжений в степенной ряд по cos в и вывод уравнений для

определения коэффициентов ряда..............................................27

§2. Введение новых неизвестных и упрощение системы (1.6)....................30

§3. Приведение системы уравнений (2.5), (2.6) к виду, удобному для интегрирования ........................................................................31

§4. Преобразование соотношений (1.7), (1.11) ....................................34

§5. Напряженно-деформированное состояние, симметричное относительно

плоскости z = 0 ..................................................................36

§6. Определение напряженно-деформированного состояния упругого пространства со сферической неоднородностью..................................40

§7. Неоднородность, близкая к сфере..............................................54

Заключение Список литературы

Введение. На современном этапе развития науки и техники уже сложно представить проектирование изделий и конструкций без специализированного программного обеспечения. Наиболее распространенные программные пакеты базируются на методе конечных элементов. Круг решаемых ими задач охватывают почти все сферы инженерных расчетов: прочность, колебания, акустика, гидродинамика и т.д. Казалось, проблемы в определении напряженно-деформированного состояния тел, в частности, решены.

Однако, данные программные продукты в подавляющем большинстве используют стандартные и широко известные алгоритмы и стандартный математический аппарат для решения задач, что указано в статьях Назарова Д. И. [53], Ясницкого Л. Н. [54] и др. Таким образом, ожидать принципиальных отличий того или иного пакета не приходится. Кроме того, из-за особенностей конечно-элементной теории и программирования в используемом обеспечении существуют ошибки, что отражено в ряде исследований. В подтверждение этого, характерной особенностью программ данного класса является то, что производитель снимает с себя всякую ответственность за достоверность результатов, которые следует рассматривать как ознакомительные, что указано в лицензии к программному продукту.

Таким образом, без применения аналитических методов проверить и получить достоверные результаты не представляется возможным. Разработка аналитических методов решения задач теории упругости остается важным и актуальным направлением, особенно с появлением новых материалов, например, композиционных.

Поскольку указанные материалы в своей структуре имеют некоторые особенности, которые представляют собой тела вращения, то задачу об определении напряженно-деформированного состояния вблизи неоднородностей (полостей, упругих или жестких включений) следует рассматривать как осесимметричную с учетом того, что внешняя нагрузка и граничные условия обладают той же симметрией, что и сам рассматриваемый объект. Существует два пути решения задач теории упругости: в перемещениях с использованием уравнений Ламе или в напряжениях.

Конечно, при обоих подходах общее решение пространственной задачи не существует, и обычно речь идет о частном решении. При решении осесимметричных задач чаще встречаются следующие приемы и их комбинации: представление искомых величин в рядах: представление искомых функций в той форме, которая позволяет разрешаю-

щую систему уравнений записать в виде бигармонического или иного хорошо изученного уравнения; применение каких-либо интегральных преобразований. Как отмечено в работах Новацкого В.[20], Хана X.[28], указанные подходы к решению осесиммет-ричной задачи теории упругости обладают общим недостатком - это сложность удовлетворения граничным условиям. Например, впервые осесимметричную задачу для упругого пространства со сферической полостью при одноосном растяжении рассмотрел Саусвелл при применении функции Лява. Аналогичная задача была рассмотрена Соляник-Крассой К.В. [26] с использованием- двух гармонических функций. Неудобство используемых методов заключается в том, что при использовании функции Лява в граничных условиях при заданных перемещениях появляются вторые производные, а в случае заданных напряжений третьи производные функции Лява. При использовании же двух гармонических функций порядок их производных в выражениях для напряжений и перемещений ниже, но краевые задачи для определения этих функций не являются независимыми. Сложность удовлетворения граничным условиям или громоздкость получаемых решений при применении других представлений искомых функций и методов решения остается, убедиться в этом можно, если просмотреть работы авторов, работающих в данном направлении, за последние годы [39, 40, 52]. Поскольку, в случае осесимметричной задачи граничные величины, в том числе и кинематические, можно записать в напряжениях, то постановку задачи возможно полностью сформулировать в напряжениях. Основываясь на данном подходе, в работе изложен метод решения осесимметричных задач теории упругости, в которых граница близка к сферической, который позволяет избежать обычных сложностей удовлетворения граничным условиям.

Цель работы - представить постановку осесимметричной задачи линейной теории упругости в напряжениях и продемонстрировать эффективность ее использования на примере построения аналитических решений некоторых пространственных задач.

Научная новизна

В отличие от известных подходов к решению подобных задач в качестве основных использованы два уравнения равновесия и два уравнения сплошности, записанные в напряжениях. В напряжениях представлены и кинематические краевые величины.

Решение представлено в виде степенных рядов по косинусу угла между осью враще-

ния и радиусом сферы. Коэффициенты этих рядов, зависящие от радиальной координаты сферической системы координат, вычисляются при помощи системы обыкновенных дифференциальных уравнений типа Эйлера. Преимущество представленного здесь подхода заключается в том, что неизвестные этой системы совпадают с кинематическими и статическими краевыми величинами, а это в свою очередь упрощает удовлетворение краевых условий на сферической поверхности.

Методы исследования

При выполнении диссертационной работы использовались различные аналитические методы: алгебраические, методы дифференциальной геометрии, математической физики и другие.

Результаты, выносимые на защиту

1. Постановка пространственной осесимметричной задачи линейной теории упругости в напряжениях, которая включает в себя два уравнения равновесия и записанные в напряжениях два уравнения сплошности, статические и кинематические граничные величины.

2. Метод решения задач для тел со сферической границей: использование для неизвестных степенных рядов по косинусу угла между осью вращения и радиусом сферы с коэффициентами, зависящими от радиальной координаты сферических координат. Преобразование уравнений для определения коэффициентов к виду, удобному для интегрирования и подчинения краевым условиям.

3. Определение напряженно-деформированного состояния пространства с эллипсоидальной полостью, близкой к сферической, при помощи метода малого параметра в сочетании с методом, использованным для пространства со сферическим включением.

Достоверность полученных результатов

обеспечивается корректностью постановки математической задачи, использованием строгих аналитических методов, а также сравнением полученных результатов рассматриваемых задач с результатами, полученными другими методами.

Теоретическая и практическая ценность

Теоретическая значимость работы определяется тем, что разрабатываемый подход к решению осесимметричных задач позволяет расширить круг аналитических решений в теории упругости. Практическая тем, что подобные решения можно использовать для оценки точности и достоверности численных результатов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Решение некоторых осесимметричных задач теории упругости в напряжениях»

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Объем работы составляет 78 страниц и содержит 11 рисунков. Список литературы включает 59 наименований

Содержание работы

В первой главе даны основные соотношения осесимметричной задачи теории упругости в цилиндрической системе координат (р,ср,г). Рассмотрены основные методы решения рассматриваемых задач. Сделан обзор предшествующих исследований по данной тематике.

В второй главе наряду с цилиндрической системой координат в плоскости ц> = const вводятся криволинейные координаты (г. в) таким образом, чтобы граница рассматриваемого тела совпадала с координатными поверхностями (г = const и в = const). Таким образом, основная система уравнений осесимметричной задачи, состоящей из двух уравнений равновесия и двух уравнений сплошности, записана в напряжениях, где неизвестными являются компоненты тензора напряжения орр{г, 9). azz{r, в). сгр2(г, в) и величина <73 (г, в), имеющая размерность напряжения Кроме того, в напряжениях формулируются граничные величины, как статические, так и кинематические.

В третьей главе рассматриваются задачи со сферической границей тела. При использовании степенных рядов основная система уравнений для определения их коэффициентов, преобразована так, что ее неизвестные совпадают с граничными величинами, что в свою очередь облегчает удовлетворение граничным условиям. Указанное преимущество излагаемого в диссертации подхода продемонстрировано на решении некоторых задач, а именно:

-определение напряженно-деформированного состояния сферического сосуда;

-определение напряженно-деформированного состояния упругого пространства со сферическим упругим включением при одноосном растяжении;

-определение напряженно-деформированного состояния упругого пространства со сферической полостью при одноосном растяжении;

-определение напряженно-деформированного состояния упругого пространства со сферическим жестким включением при одноосном растяжении;

-определение напряженно-деформированного состояния упругого пространства с эллипсоидальной полостью, близкой к сфере, находящейся под гидростатическим давлением.

Апробация работы Основные результаты работы докладывались на конференциях:

- Международная конференция "Пятые поляховские чтения"(3-6 февраля 2009 г.) ;

- "XVI Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов "(Москва, 14-17 апреля 2009 г.);

-ХЬУ1 Международная конференция "Актуальные проблемы прочности"(Витебск, Беларусь, 15-17 октября 2007 г.);

-XVII Петербургские чтения по проблемам прочности (Санкт-Петербург, 10 - 12 апреля 2007 г.).

Публикации По теме диссертации опубликованы печатные работы [55, 56, 57].

В заключении формулируются основные положения выносимые на защиту.

Глава I. Осесимметричные задачи и методы их решения

§1. Основные соотношения осесимметричной задачи теории упругости

Осесимметричное напряженно-деформированное состояние возникает в телах вращения, нагруженных осесимметричным образом. Исследование таких задач целесообразно проводить в цилиндрических координатах (р,<р,г) с ортами (ер,е^,к).

В силу осесимметричного распределения деформаций и напряжений, компоненты тензора деформаций, тензора напряжений и вектора перемещений не будут зависеть от угла </?.

Основные соотношения рассматриваемой задачи можно найти в ряде литературных источников [20, 27, 44, 46]. Ниже приведем их без вывода. Вектор перемещений

и = ирер + игк, (1.1)

тензор напряжений

£ = сгрр(г, в)ерер + ст22(г, 0)кк + <т„(г, 9)е1ре<р + арг(г, в)(ерк + кер), (1.2) тензор деформаций

Е — €-рр&р&р -Ь в22кк -Ь е^е^е^ -Ь вр2(ерк -Ь квр). (1.3)

Уравнения равновесия имеют вид:

дорр дарг (трр - а^

--"" "я--1---г/'р-и,

ор ог р

+ + ^ + = 0. (1.4)

ор ог р

Компоненты тензора деформации (1-3) вычисляются по формулам

_дир _-ир _дщ _1(9иЕ + 9иЛ ~ др ' ^ р" 22 дг ■ ерг ~~ 2 V + Эр ) ' {

Связь между компонентами тензора деформации и компонентами тензора напряжений описывается законом Гука:

орр = 2рерр + Ле, а^ = + Ле,

агг = 2/хегг + Ле, арг = 2рерг, е = ерр + е22 + е№. (1.6)

Выражая напряжения через перемещения, вместо системы уравнений (1.4) получим два уравнения Ламе.

Аи - ^ + Х + ^ д + + ^Л + р = о

р р2 р др\др р дг ) р

А + р д (ди0 ди, \ „ . „.

р дг \ др дг }

Величины, в которых будут формулироваться граничные условия, будем называть статическими и кинематическими. К статическим краевым величинам относятся компоненты вектора напряжений (ап) на границе тела

ап = £ • п,

где п-орт-нормаль к поверхности тела. Кинематическими краевыми величинами являются компоненты вектора перемещения (1.1): осевая составляющая иг и радиальная и р.

§2. Сведение основных уравнений осесимметричной задачи теории упругости к решению гармонического и бигармо-нического уравнений

Пространственные задачи линейной теории упругости, как правило, решаются в перемещениях с использованием уравнений Ламе. В общем случае эти уравнения сложны, и обычно речь идет об их частных решениях, имеющих достаточно широкую область применения. Из всех известных решений такого вида чаще всего для перемещения и используется представление Паиковича-Нейбера:

и = дгсиЦ(р + ~Й-1$)-4(1-1>)'$. (2.1)

Здесь (р и ^-соответственно скалярная и векторная функции, подлежащие определению, Д-р ад и ус- вектор точек среды. Отметим, что функции <р, гр -удовлетворяют уравнению Лапласа, методы решения которого хорошо разработаны.

Несмотря на общность подхода Папковича-Нейбера, для осесимметричной задачи рассматривались и иные пути сведения соответствующих ей уравнений к уравнениям Лапласа или бигармоническому уравнению. При этом количество новых неизвестных ограничивалось двумя скалярными функциями, каждая из которых удовлетворяет уравнению Лапласа, или одной скалярной функцией, удовлетворяющей бигармоническому уравнению. Тем самым преследуется цель понизить порядок производных определяемых функций в выражениях для компонент напряжений или перемещений. Ниже будут представлены некоторые варианты таких преобразований.

Уравнения Ламе (1.7) записываем, полагая массовые силы равными нулю:

Аип -

ип

Р о р2

+ Х + р д (дир ир + ди^ р др \ др р дг

ди

= 0,

где

Аи + ^ + ^ ^ (^ир + 2 р дг \ др дг

д2

дп = - + -— + —

др2 р др дг2

(2.2)

(2.3)

1. Функция Лява [15]. Выведем уравнение для определения функции Лява. Для этого первое из уравнений (2.2) записываем в виде

^(Д ип-ир X + р

д2

ип

дг2

+

д2щ дрдг

= 0.

Нетрудно проверить, что

А + 2 р А + р

Тогда при

д2 дрдг

д2 дрдг

и7 =

А + 2 р

_ 1 д2 р2 дрдг

А + 2р _ А + р и дг2

д2Х ир~ дрдг'

ДХ - 0 = 2(1 - и)АХ

/ д2 \ дг2 \дрдг)

д2х

(2.4)

А + дг2 дг2

первое из уравнений (2.2) удовлетворяется тождественно. Подставляя (2.4) во второе из уравнений (2.2), получаем бигармоническое уравнение для определения функции Лява X'-

ААХ = 0. (2.5)

При известной функции Лява напряжения вычисляются по формулам

арр 1 + идг

Ед( д\\

Ед( 1дх

1 + и дг Е

о,=

1 + и Е д

=

(2 - и)~ (1 - 1^)Ах

д2Х дг2

&Х дг2

1 + V др

2. Функции Буссинеска [20, 28].

В преобразовании Буссинеска используется теорема Гельмгольца, согласно которой векторную функцию можно представить в виде суммы безвихревого и соленоидального поля. Если такой функцией является вектор перемещения и, то для него справедливо выражение

и = Адгай Ф + Вго№,

где Ф и Ф-соответственно скалярная и векторная функции координат, постоянные А, В выбираются из соображений удобства. Для вектора перемещения осесимметричной задачи (1.3)

Ф = Ф(р,г),Я? = Щр,г)еЧ1. (2.8)

Функции (2.8) выбираются так, чтобы первое из уравнений (2.2) удовлетворялось тождественно. Итак,

, , лдФ 0<ЭФ

Подставляя (2.9)в уравнения (2.2), получаем:

д + _ _ 1 (лХ + 2/лдФ _ б5Ф

(2.9)

р др А

дг )

X + 2и дФ „/0Ф Ф

А- 7Г + В(7Г + -

р, дг \др р

р др дг = 0.

= 0,

(2.10)

Первое из уравнений (2.10) будет удовлетворено тождественно, если

А + 2идФ ЯФ л А + 2 р 2(1-и)

л-^г ~ = - = —

р др дг р 1 — 2и

Полагая

А = -(1 - 2и), В — 2(1 - и)

(2.11)

находим, что

дФ дФ _ др дг

(2.12)

и второе из уравнений (2.10) принимает вид

Д

Следовательно,

дФ дФ Ф

дг др р

= 0.

дг др р

где Ф°-гармоническая функция.

Используя (2.12) и (2.13), нетрудно показать, что

дф°

(2.13)

ДФ = 2-

дг

Тогда

где </?°-гармоническая функция.

Ф = ч>0 + гф°,

(2.14)

Подставляя в (2.9) значения постоянных А и В согласно (2.11) и учитывая при этом (2.12)-(2.14), получаем следующие формулы:

и„

дФ дш° дф° - * +г

др др

др'

дФ

д<р° д'ф°

- (3 - 4и)ф°.

(2.15)

дг 4 'г дг дг Представление перемещений (2.15) через две гармонические функции предложил Бус-синеск. Гармонические функции у?0 и -0°-функции Буссинеска. Выражения для напряжений имеют вид:

Е (д2® дяЛ

^= ттД^ -"Лф; •

Е (1дФ \

1 + V \р др

Е

0?.7. =

1 + 1У

Е

1 + V

д2Ф п.п ,дф° - 2(2 - и)

дг2

д2Ф дрдг

-2(1-

~др

(2.16)

3. Преобразование Соляник-Красса К.В. [26]. Соляник-Красса К. В. использовал уравнения равновесия как в напряжениях (1.7)1 при нулевых массовых силах, так и в перемещениях (2.2) представляя их в виде

\ де дтл / > ~ ч де 1 дрш „,

Л + 2/х —+ 2/х—= 0, Л + 2/х— -2р—2.17 ар дг дг р др

где

(2л8)

Второе уравнение (2.17) удовлетворяется, если положить

2(1 — и) 1 д(р \-udip . . ,плп.

А + 2/и р ор рр ог

Подставляя (2.19) в первое из уравнений (2.17), получаем уравнение для определение функции <р(р, г):

+ ^ = (2.20) др2 р др дг2

Однородные уравнения равновесия (1.4) имеют вид

дсГРР + °РР ~ + = 0

др р дг

^ + ^ + (2.21)

дрр дг

Второе из уравнений (2.21) удовлетворяется при

1 ЭФ _ 1 дФ

р др' рг р дг

В силу (1.6)

1 дФ ., „ . диг , (див и0 <т22 = — — = А + 2р —^ + А ( —^ + — р др дг \др р

1 дФ / дир диг

арг р дг ^ \ дг др

и 1 дФ

орр = 2(А + р)е — 2р— -\——(2.22) Р РОР

'дир ир

, др Р

Подставляя последние три из выражений (2.22)в первое из уравнений (2.21), находим.

сгрр - а^ = 2р[-^ + ) .

что

дЧ _ 1дФ + дЧ =2д^р

др2 р др дг2 дг2

Отсюда

Ф(p,z) = ф(р, z) + z

dip

где функция ф(р,г) удовлетворяет уравнению идентичному (2.20):

д2ф 1 дф д2ф _ др2 р dp dz2

(2.24)

(2.25)

Покажем, что функциями tp(p, г) и ф(р, z) полностью определяется осесимметричное напряженно-деформированное состояние тел вращения. Согласно формулам (2.22), для этого необходимо представить через эти функции перемещения ир и uz. Используя формулы (2.18), (2.19), (2.22), получаем следующие соотношения:

дир duz 2(1 — и) д<р dz dp рр dz'

1 ЗФ рр dz ' 2(1 -i/)ld(p

и г,

du

dp

dz

u, P

p + ^ ) +

duz

du, dz

dUp + Up dp p

Л + 2 p p dp '

Л + 2pduz _ 1 дФ A dz \p dp

Отсюда

Up =

2 pp duz _ 1 dp 2 pp

duz ___1_

dz 2 pp

[${p,z) + 2{l-v)4>{p,z)\,

(2.26)

dФ n dip

--h 2 u—

dp dp

(2.27)

С учетом (2.26), (2.27) формулы для напряжения принимают вид

13Ф

1<9Ф

@zz ^ ) Оpz

р dp р dz

2 dp 1дФ 1 гж п,

апп = -^ + ~----- Ф + 2 l-i/ ^ ,

р dp р dp р1

'рр

2 udip 1 ^ п, а1П1П = — + -2 Ф + 2(1 - v)<p] р ор р

ч>ч>

Таким образом, в преобразовании Соляник-Красса К. В. выражения для компонент напряжений и статических краевых величин содержат производные от основных функций не выше первого порядка. Для радиального смещения представлена формула (2.26). Определение осевого смещения требует интегрирования уравнений (2.27).

§3. Некоторые осесимметричные задачи и методы их решения

Проблема концентрации напряжений вблизи объемных неоднородностей в упругих телах привлекала внимание ученых-механиков еще в XIX веке [35]. За более чем вековой промежуток времени накопилась обширная литература, посвященная этим вопросам, где подавляющее большинство решений подобного рода получено в перемещениях на основе уравнений Ламе [14, 15, 20, 27]. Решения в напряжениях [30] и др. встречается гораздо реже.

Впервые задачу о концентрации напряжений в толстостенной сфере под действием внешнего давления Ламе решил в 1852 году [35]. Распределение напряжений в упругом пространстве со сферической полостью (при одноосном растяжении) установили в 1908 году А. Леон [28] и , независимо от него, Саусвелл и Гаф [43]. Позднее решение Леона было получено Нейбером [17].

Напряженное состояние в окрестностях сфероидальной полости и включения изучалось М.А. Садовским и Е. Стернбергом [41, 42], Миамото [36, 37], Р. Эдвардсом [33], К.В. Соляником-Красса [26] и др. В перечисленных работах рассматривался изотропный материал, следующий обобщенному закону Гука, а решение строилось с помощью определенных комбинаций функций напряжений. Однако такую комбинацию каждый раз необходимо находить заново. Общее же решение задачи, позволяющее однотипно получать эти решения, дано позднее в работе Подильчука Ю.Н. [23]. Относительно простое решение задачи для эллипсоидальных полостей в бесконечном одноосно растягиваемом теле было построено А. И. Лурье [13]. Обзор работ до 1967 года по данной теме отражен в статьях [1, 31, 18].

Соответствующие экспериментальные данные представлены в работе [38].

Что касается более современных исследований, в подавляющем большинстве они посвящены либо полупространству, содержащему одну особенность (пору, включение) в виде тела вращения, или же пространству, содержащему множество сферических включений или полостей.

Так, в работах японского ученого Ноды Нао-Аки (Nöda Nao-Aki) рассматривается напряженно - деформированное состояние упругого полупространства, ослабленного эллипсоидальной полостью [40] и пространства, содержащего несколько эллипсоидальных полостей [39] при растяжении. Решение данных задач базируется на методе объем-

ных сил Ниситани (Мэкаш) [32] и сводится к численному решению методом коллокаций интегральных уравнений, которые имеют логарифмическую особенность или имеют вид интегралов типа Коши (в работах даны численные значения напряжений при значении коэффициента Пуассона V = 0.3).

Физическая нелинейность и анизотропия материала. В работе Олегина И.П. рассмотрено осесимметричное напряженное состояние трансверсально-изотропной среды с двумя жесткими эллипсоидальными включениями [21].Решение этой задачи строится на базе метода суперпозиций, основанном на применении двумерных комплексных потенциалов. Аналогичная задача для изотропного материала, была решена в [16] методом суперпозиции сингулярных решений. В статьях Кирилюка [8, 34] рассмотрена концентрация напряжений в ортотропном пространстве со сферическим включением или эллипсоидальной полостью при растяжении. Методом эквивалентного включения Эшелби решение задачи было сведено к решению системы алгебраических уравнений. Отметим что, данный метод был предложен Эшелби для решения задачи бесконечного тела, содержащего эллипсоидальное включение [22-24]. Позднее данный метод был применен к решению других задач рассматриваемой категории [48, 49, 50, 51]. Как указано Садрае [52] этот метод имеет недостаток в точности выдаваемых результатов из-за выбора точек коллокаций. С работами о напряженно-деформированном состоянии анизотропных сред можно ознакомиться в [9, 12, 19, 29].

Теоретическое и экспериментальное исследование влияния внешней нагрузки на сферические поры с учетом как геометрической, так и физической нелинейности изложено в статье [3].

Что касается собственно методов исследования и точных аналитических решений пространственных, в том числе и осесимметричных, задач теории упругости, то наиболее развернуто этот вопрос освещен в работах [19, 24], а также в книге [5].

Отметим кратко наиболее употребительные аналитические методы исследования поставленных задач:

1. Метод разделения переменных.Применяя различные представления функций напряжений, данный метод позволяет свести задачу к более простым дифференциальным уравнениям, в которых каждая функция напряжения независима от остальных, но при этом в граничные условия входит вместе с остальными. Чаще других используется решение в форме Папковича-Нейбера или Треффца, которое представляют в

виде разложения в ряд по полиномам Лежандра. Указанным методом авторами [14, 52] решались различные задачи.

2. Применение интегрального преобразования позволяет свести решение задачи к решению обыкновенного дифференциального уравнения. Так как функция перемещений Лява удовлетворяет бигармоническому дифференциальному уравнению, то применив, например, интегральное преобразование Ханкеля получаем обыкновенное дифференциальное уравнение четвертого порядка [28]. Однако соотношения для определения напряжений и перемещений получаются запутанными. Указанным способом можно получить решения различных осесимметричных задач. Достаточно обширная библиография работ по применению данного метода при решении задач теории упругости дана в монографии Я.С. Уфлянда [47].

3. Применение аппарата теории функции комплексного переменного. В работе [2] представлены решения для задачи упругого пространства с полостью в виде интегральных операторов от аналитических функций. Помимо аналитических функций комплексного переменного для решения пространственных задач теории упругости возможно применение обобщений этих функций. Наиболее полно разработаны методы решения осесимметричных задач при помощи обобщенных аналитических и р-аналитических функций, в которых полностью формулируется постановка задачи [2, 7, 25].

4. Метод интегральных уравнений. Данный метод изложен в монографиях [11, 22, 6] и служит (совместно с введением потенциала простого слоя) основой для численных алгоритмов решения пространственных задач теории упругости. Например^ книге Ержанова Ж. С. [6] даны численные значения напряжений в зависимости удаленности полости от границы полупространства, а в книге Партона[22] напечатан программный код численной реализации решения некоторых пространственных задач, в том числе и осесимметричной.

Глава II. Уравнения осесимметричной задачи в напряжениях

§1. Уравнения равновесия

В главе I основные соотношения осесимметричной задачи представлены в цилиндрических координатах. В меридиональной плоскости тела вращения это - координаты р, z. Наряду с ними в той же плоскости ср = const вводятся координаты (г, в) с ортами ei, ег соответственно так, чтобы граница рассматриваемого тела совпадала с поверхностями г = const и в = const. Связь между координатами р, z и г, 9 определим соотношениями:

р = р(г.в), z = z(r, 9),

dz 1 dp dp dr r d9' dr

1 dz r~d9

Орты (ei,e2) определяются формулами:

e - I —Ъ

1 A \dr p dr

1 f dp dz

где

A2 —

dp dr

+

dz dr

dpY d9 J

+

dz d9

(1.1)

(1.1a) (1.16)

(1.1c)

Компоненты вектора перемещений, тензора напряжений и тензора деформаций будут функциями от г, в. Учитывая это и формулы (1.1), преобразуем уравнения равновесия (1.1.4) к виду:

dopp dr dopp d9 dazp dr

+

+

dr dp dO dp dr dz

+

dazp d9

+

'pp

o,

ч><р

dazp dr l dozp d9 dazz dr

d9 dz dozzd9

+ Fp = 0,

On

dr dp d9 dp dr dz dd dz

-\—— + Fz = 0.

Так как

dr

1 dp d9

1 dp dr 1 dz d9 1 dz

dp A2 dr' dp r2A2 d6' dz A2 dr' dz r2A2 дв' то уравнения (1.2) можем записать в виде:

(1.2)

2 I dopp dp dopz dz\ dopp dp dopz dz f I --~--1--^--H +

dr dr dr dr

d9 d9 d9 d6

+ A2r2 fa

pp

о,

+ A2r2pFp = 0,

wJ

dazz дz dapz др\ dazz dz dapz dp

+ A r apz + A r pFz = 0. (1.3)

dr dr dr dr J дв дв дв дв Исключим из (1.3) компоненту используя соотношения закона Гука:

ЗА + 2 р А

Х + р

+

2{Х + р)

а

рр

а7_

Введем новое обозначение:

<т3 = 2 pew = 2 р

uD

(1.4)

(1.5)

Величина пропорциональна радиальному перемещению и имеет размерность напряжения. Тогда, учитывая (1.5), запишем (1.4) в виде:

ЗА+ 2 р

0"з +

А

2(А + рУл ' 2(А + р) vрр Подставим (1.6) в (1.3). В результате получим

(Срр + Оzz) ■

(1.6)

г2 / дарр др даpz <9г\ дарр др dapz dz

dr dr

+Агг

2„2

dr dr X

a

pp

— a

d0 dd dd de

ЗА+ 2 p

+

A + 2 p

2(A + p) ~ °zz 2(A + p) ~ аз2(А + p)

+ A2r2pFp = 0,

r2 / dazz dz dapz ¿VA dazz dz dapz dp

+ A2r2apz + A2r2pFz = 0.

дг дг • дг dr) ' de de ' de de_ ' " ' ' " '

Уравнения равновесия (1.7) в качестве неизвестных содержат четыре статические величины арр,а2г,арг,аз. Для определения указанных напряжений соотношения (1.7) необходимо дополнить еще двумя уравнениями, которые будут выведены в следующем параграфе.

§2. Определение перемещений по компонентам деформации. Уравнения сплошности

Ниже будет представлена система уравнений для определения перемещений по компонентам деформации, условие разрешимости которой представляют собой уравнения сплошности. Как и в предыдущем параграфе, все величины, определяющие напряженно- деформированное состояние тела, являются функциями, зависящими от г, в. Подобные соотношения были получены ранее Шаминой В.А. [30] для произвольной параметризации меридиана рассматриваемого тела.

Компоненты вектора перемещений и = ир(г, 6)ер + иг(г, #)к связаны с компонентами тензора деформаций формулами (1.1.3):

_дир _ир _ди± _1 (дщ диЛ , ,

ерр - р ' - дг' гр~ 2 \ др + дг )■ [ '

Переходим в (2.1) от цилиндрических координат р, г согласно (1.1) к связанным с ними переменными г, в. В результате получим:

1 / дир др 1 дир др ер(> = ¿2 + й~двдв

1 (ди, дг 1 ди, дг ег2 = — \^— +

А2 \ дг дг г2 дв дв

1 "

2

1 (диг др ( 1 диг др\ дир

А2 V дг дг г2 дв дв ) дг

д иг диг дг И дв

(2.2)

Решая систему (2.2) относительно ^ и , приходим к следующим уравнениям для

их определения:

диг _ 1 др _ др_ ^ \дреч>ч>

~~ ... яа Vе" еРР> + 1еРг

дг г дв 4 " рру дг г дв '

-2е -— — — (е -е ) - ЁЕ^е. (2 3)

гдв " гдв дгх " рр> дг Необходимое условие интегрируемости системы уравнений (2.3) есть соотношение

д (ди,\ д (ди

дг I дв ) дв V дг

Тогда первое уравнение сплошности примет вид:

Л(2е — г— (е -е ) - т^ дг\ р2дв дг рр) дг

дв{гдв[е" + +г дв

(е.. - ерр) + 2ерг-£ + ) = 0. (2.4)

Второе уравнение сплошности следует из первых двух формул (2 1)

_ дре^

дР

А2

дре^у др 1 др дре^ дг дг г2 дв дг

(2 5)

Радиальную составляющую вектора перемещения можно вычислить из соотношения

а осевое смещение является решением системы уравнений (2 3) Кроме того, отсюда получили два недостающих уравнения (2 4),(2 5) для системы (1 7), о которых говорилось выше

§3. Основные уравнения осесимметричной задачи теории упругости в напряжениях

Осесимметричное напряженно-деформированное состояние тела описывается компонентами напряжений а рр, , арг , а22 а^ и компонентами перемещения ар. и. Соотношения, которые позволяют определить эти величины, можно представить только в

напряжениях При этом за основные неизвестные можно принять <т

рр1 )^ рг 1

Огг, СГЗ =

2 рСтш

_ 2 ¡лир

(см (1 5)) и иг, так как согласно (1 6)

ЗА + 2//

(?ШШ = .-гО"3 +

А

(сг рр + аг2)

™ 2(А + рУЛ ' 2(А + р) Уравнения равновесия (17) уже записаны в указанных величинах

Р

^ , да рр др дарг дг\ дарр др дарг дг

+А2г2

ап

дг дг А+ 2 р

дг дг А

— а

дв дв дв дв ЗА+ 2 р~

'рр2{\ + р) ""2(А + р) аз2(А + А0] 2 /дагг дг дарг др\ дагг дг дарг др

+ А2т2рГр = О,

+

+

+

+ А г ар2 + = О

дг дг ' дг дг) ' дв дв дв дв Остается преобразовать уравнения сплошности (2 4), (2 5) уравнения (2 3) для определения перемещения иг, а также краевые величины Используя соотношения обобщенного закона Гука(1 1 6), записанный в виде

2// (ерр - е2г) = арр - агг 2рерг = а1

рг,

2 (Л + р) (ерр + егг) = арр + стгг - —<т3, ст3 = 2реч>{р,

р,

получаем:

2рерр = ар

2р + X

Л

Л

^рр -РР2(Л + /х) ""2(Л + //) 2(Л + м)

Используя (3.1), (3.2), преобразуем уравнения сплошности к виду:

(3.1)

(3.2)

Л2

2/1 +Л Трр2(Х + р)

др д

X

о?

ЗА + 2р 2{Х + р) ~ 2(А + р)

- Р

( др да3 1 др да-.

\ дг дг г2 дв дО 2 дг да,

= 0,

, . 1 др д , дг дарг

Гдгдг {°рр ~ + гдвдв {арр ~ °гг) + + гдв дв

_д_ С драЛ _ д_ (1 драЛ = дг Г дг ) дв V г дв ) ~ '

Р*

Из первого уравнения (3.3) следует:

Л2

ап

2р + X

X

- а.

ЗА+ 2 р

= Р

{дрдаз 1 дрдо3 V дг дг г2 дв дв

(3.3)

(3.4)

рр2{Х + р) "гг2(А + р) 2(Л + рУ

Подставляя (3.4) в уравнения равновесия, получим уравнения равновесия в той форме, в которой они будут использоваться в дальнейшем:

доррдр даргдг\ даррдр даргдг

+

+

+ V

дрдоз 1 дрдоз

дг дг дг дг) дв дв дв дв дг дг г2 дв дв

2 I до2г дг | дарг др\ | да22 дг | дарг др

+ А2Т2РР = 0,

+

+

+ Л2г2арг + АгггрРг = 0.

2 „2 ,

(3.5)

дг дг дг дг) дв дв дв дв Запишем теперь в напряжениях соотношения (2.3), позволяющие определить перемещение и2:

диг 1 др др 1драг

= гдв ~ а"р) + + г~дв~'

-2-— а -—(о -а ) г дв г дг рг дг гг рр дг

(3.6)

Уравнения (3.3), (3.5) представляют собой основную систему уравнений для осесим-метричной задачи, записанную в напряжениях. Неизвестными являются компоненты тензора напряжения арр,агг.арх и величина ст3. Радиальное перемещение определяется по формуле

ир = ре^, аз = 2р

и п

Р

а для вычисления осевого перемещения имеем систему уравнений (3.6).

§4. Статические и кинематические краевые величины в напряжениях

Статическими и кинематическими краевыми величинами называем величины, в которых можно сформулировать краевые условия для уравнений (3.3),(3.5). Кинематические краевые величины описывают деформацию границы тела и , как правило,ими являются компоненты вектора перемещений. Однако в двумерных задачах (плоская задача теории упругости, теория тонких оболочек, осесимметричные задачи теории упругости ) возможны деформационные краевые величины [58], [57]. Их получают, используя правомерность дифференцирования перемещения вдоль границы. На поверхности г о = const можно задать

ир(г0,9) = ир1(в), uz{r0y9) = uzi(0), (4.1)

где иР1 (в), uzi (0)-известные величины.

Если задать и2(го,в), то можно вычислить

1 дщ(г0,9) = 1 duzi(9)

г0 дО г0 дв ' 1 ' }

В силу (3.6) вместо (4.1) в качестве кинематические краевых величин на поверхности г = г0 принимаем

сг3 = 2р

upi(9) р(г0>вУ

Uzi(r0,9)

2 dp

rd9apz

dp дрсъ

= 2 р

r=r о

1 duzi{9) r0 d,9 '

Аналогично для поверхности 9 = во- вместо перемещений

ир(г,60) = up2(r), uz(r, во) = uz2(r)

(4.3)

используем выражения

Up2{r)

Uz2{ro,0) =

°з(г,0о) = 2 р др 15/9

р(г,9 о)" 1 \ 1 <9рстз

г 09

(4.4)

г 09

Статические краевые величины, описывают напряженное состояние границы тела. Так на поверхности г — г0 можно задать вектор напряжения.

= £ ■ в! = aipep + crizk, 24

1 / dp dz \ . .

1 f dp dz \ а1г = A [d-rapz + ) ' (46)

где ei = ^ (|fep + -нормаль к рассматриваемой поверхности.

В (4.5), (4.6) crip и <712-заданные величины, а правые части этих равенств представляют статические краевые величины.

Аналогично получаем статические краевые величины для поверхности в = во'.

02 = £ • е2 = о2рер + a2zк,

_ 1 (dp dz \

а2р ~ Тт \дёа» + два") '

1 (dp dz \

a2z ~ Tr \deapz + дВа") '

гДе = £ (fgep + Ik) .

Глава III. Решение в напряжениях осесимметричных задач со сферической границей

Если граница рассматриваемого тела-сфера, то координаты г, в, <р естественно считать сферическими (рис.1).

Рис. 1.

Тогда

р = Rr sin в, z = Rr cos в. (0.1)

где /í-масштабный множитель, который совпадает с радиусом сферы, г-безразмерная величина.

Из (1.1), (Il.l.la)-(11.1.1с) следует, что

А2 = Я2, ei = ер sin в + k cos в, е2 = ер cos в - к sin в. (0.2)

§1. Разложение напряжений в степенной ряд по соэб* и вывод уравнений для определения коэффициентов ряда

С учетом (0 1), (0 2) представляем уравнения равновесия (II 3 5)и уравнения сплошности (И 3 3) в виде [56]

да

рр

да,

дг

sm 9 + cos 9 + - .

дг г \ дв

1 (дарр да

cos в —

дал

— sin,

г sin(

daz: дг

cos в +

да,

дг Sm ^ ^ г \ дв

рг

pz

cos 9

да z

дв

sm#

1 д

--S-cos9 + RFp = 0, г д9

opz + RrsmeFz = 0, (1 1)

а

рр

2ц + А

2(Л + /¿) ""2(X + fj) "Л2(А + /i)

— а

А 2ц + ЗА / <9сг3 13о-3

— сзтгг;—:—г — r sm в | sin в—--1---— cos в ) = О

дг г дв

rsmé>J^ (арр - azz) + cos^ íaPP ~ azz) + 2г cos в^^ -

a i 2^з . 0 да3 д2аЛ да3

Sm ~дг2' ~дг "дв2 / C0S ~дв

= 0,

(1 2)

где 0 < 9 < 7г

Тогда границе тела будет соответствовать г = covst, и в качестве статических краевых величин достаточны (II 4 5,11 4 6 )

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Гасратова, Наталья Александровна, 2013 год

Список литературы

1. Абрамян Б. Л., Александров А. Я. Осесимметричные задачи теории упругости.-В кн.: Механика твердого тела: Труды II Всесоюзн. съезда по теор. и прикл. механике. М.: Наука, 1966, с. 7-37.

2. Александров А.Я., Соловьев Ю.И. Пространственные задачи теории упругости (применение методов теории функций комплексного переменного).-М.: Наука. Глав, редакция физ.-мат. лит-ры, 1978, 464 с.

3. Бетехтин В. И., Веселков С. Ю., Даль Ю, М., Кадомцев О. В., Амосова О. В. Теоретическое и экспериментальное исследование влияния внешней нагрузки на поры в твердых телах.// Физика твердого тела, 2003, т. 45, вып.4. с. 618-624.

4. Волъперт В. С. Решение основных задач осесимметричной теории упругости для эллипсоида вращения и пространства с эллипсоидальной полостью // Тр. Ново-сиб. ин-та инженеров ж.-д. транспорта. 1967. Вып. 62: Строительная механика, с. 103-110.

5. Вычислительные методы в механике разрушения: Пер. с англ./ Под. ред. С. Атлури.-М.: Мир, 1990.-392 с.

6. Ержанов Ж. С., Калыбаев А. А., Мадалиев Т. Б. Упругое полупространство с полостью. ; АН КазССР, Ин-т сейсмологии. - Алма-Ата : Наука КазССР, 1988.222 с.

7. Капшивый А. А., Маслюк Г.Ф. Решение смешанной осесимметричной задачи теории упругости для полупространства методом р-аналитических функций.// Прикл. механика, 1967, т.З, вып. 7, с. 21-27.

8. Кирилюк В. С., Левчук О. И. О распределении напряжений в упругой ортотроп-ной среде со сферическим включением. // Теорет. и прикладная механика. 2004. Вып. 39. с. 19-25.

9. Космодиаманский А. С. Напряженное состояние анизотропных сред с отверстиями или полостями. Киев; Донецк: "Вища Школа 1976.- 200 с.

10. Крутиков Ю. А. Тензор функций напряжений и общие решения в статике теории упругости.-M.-JL: Изд-во АН СССР в Мск.,-1949. 200 с.

11. Купрадзе В. Д. Методы потенциала в теории упругости. М.: Физматгиз, 1963. 472 с.

12. Лехницкий Теория упругости анизотропного тела. Изд.2-е. М.: Наука., 1977. 416 с.

13. Лурье А. И. Напряженное состояние вокруг эллипсоидальной полости. — Докл. АН СССР, 1952, 87, № 5, с. 709-710.

14. Лурье А. И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 940 с.

15. Ляв А. Математическая теория упругости. ОНТИ НКТП СССР, 1935. 674с. Перевод с четвертого английского издания Б.В. Булгакова, В.Я. Натанзона (A treatise on the mathematical theory of elasticity by A.E.H.Love, Cambridge, at the university press, 1927)

16. Метод суперпозиций сингулярных решений в осесимметричных задачах теории упугости/Овсянников А. С., Стариков В. А.: Отв. ред. Подильчук Ю. Н.; АН УССР. Институт механики. -Киев: Наук, думка, 1989.-100 с.

17. Нейбер Г. Концентрация напряжений. Перевод с немецкого Н. Н. Лебедева под редакцией проф. А. И. Лурье. ОГИЗ Гос. изд-во тех.-теор. лит-ры, 1947. 204 с.

18. Нейбер Г., Хан Г. Проблема концентрации напряжений в научных исследованиях и технике. // Механика. Периодич. сборник переводов иностранных сиаией. Изд-во иностр. лит-ры. М.: 1967, № 3. с. 109-131.

19. Немиш Ю. Н. Развитие аналитических методов в трехмерных задачах статики анизотропных тел (Обзор).// Прикладная математика, т. 36, N2 2. 2000. с. 3-38.

20. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 871 с.

21. Олегин И. П. Осесимметричное напряженное состояние в трансверсально-изотропной упругой среде с двумя жесткими эллипсоидальными включения-ми//Сибирский журнал индустриальной математики. Январь-март, 2002. Том V, № 1(9).С.127-132.

22. Партон В. 3., Перлин П. И. Математические методы теории упругости: Учебное пособие.-М.: Наука. Главная реакция физ.-мат. лит-ры. 1981.-688 с.

23. Подильчук Ю. Н. Пространственные задачи механики горных пород. Киев: Наук, думка, 1983.-160 с.

24. Подильчук Ю. Н. Точные аналитические решения пространственных граничных задач статики трансверсально-изотропного тела канонической формы (Обзор).// Прикладная математика, т. 33, № 10. 1997. с. 3-30.

25. Положий Г. Н. Теория и применение р-аналтитческих и (р, ^-аналитических функций. Изд 2-е. Киев: Наук, думка, 1973. 424 с.

26. Соляник-Красса К. В. Осесимметричная задача теории упругости.-М.: Стройиздат, 1987. 336 с.

27. Тимошенко С. П., Гудъер Дж. Теория упругости. Наука, М.: 1975. 575 с.

28. Хан X. Теория упругости: Основы линейной теории и ее применения: Пер. с нем.Е. А. Когана под редакцией Э. И. Григолюка—М.: Мир, 1988. — 344 c.(Elastizitatstheorie. Grundlagen der linearen Theorie und Anwendungen auf eindimensionale, ebene und raumliche Probleme.Von Dr. rer. nat. Hans Georg Hahn o. Professor an der Universität Kaiserslautern.-B. G. Teubner Stuttgart, 1985.)

29. Чен(Chen W. Т.) Осесимметричное поле напряжений вокруг сфероидальных включений и полости в трансверсально-изотропном материале, (перевод «Transaction ASME», ser. Е).// Прикл. механика №4, 1968. с. 160-164.

30. Шамина В. А. Постановка линейной осесимметричной задачи механики деформируемого тела в напряжениях //Вестик СПбГУ. Сер. 1, 2000, вып. 1 (№ 1). с. 145-148.

31. Штернберг Э. Трехмерная концентрация напряжений.// Механика. Периодич. сборник переводов иностранных статей. Изд-во иностр. лит-ры. М.: 1958, № 6. с.73-80.

32. Chen D.C., Nisitani H. Body force method.//International Journal of Fracture 86: 1997, p. 161-189.

33 Edwards R H Stress concentrations around spherical inclusions and cavities // J Appl Mech , 1951, 18, p 19-30

34 Kirilyuk V S The stress state of an elastic orthotropic medium with an ellipsoidal cavity // International Applied Mechanics, vol 41, N° 3, 2005

35 Lame G Lecons sui la theone mathematique de 1 elasticite — Pans Bachelier, 1852

36 Miyamoto Hiroshi Steiss concentration araund a heterogeneous insertion of spheroidal cavity m an infinite elastic body //Trans JSME (m Japanese) 19(87) 1953 p 60-66

37 Miyamoto Hiroshi On the problem of the theory of elasticity for a region containing more than two spherical cavities (1-st Report, Theoretical calculation) - Trans JSME (m Japanese) 23 (131), 1957 p 431-436

38 Miyamoto Hiroshi On the problem of the theory of elasticity for a region containing more than two spherical cavities (2 nd Report Experiment by Photoelasticity) //Trans JSME (m Japanese) 23(131) 1957 p 437-443

39 Noda Nao Aki Nozomu Ogasawara, Tadatoshi Matsuo Asymmetric problem of a row of revolutional ellipsoidal cavities using smgulai integral equations //International Journal of Solids and Structures 40 (2003) p 1923-1941

40 Noda Nao-Aki, Yasvhiro Moriyama Stress concentration of an ellipsoidal inclusion of ievolution m a semi-infinite body undei biaxial tension //Ai chive of Applied Mechanics 74 (2004) p 29-44

41 Sadowsky M A , Sternberg E Stiess concentration around an ellipsoidal cavity m an infinite bod'y undei arbitiaiv plane stress perpendicular to the axis of levolution of the cavity //I Appl Mech v 69, 1947, p 191-201

42 Sadowsky M A , Sternberg E Stress concentration around a triaxial ellipsoidal cavity // J Appl Mech , 1949 v 16 p 149—157

43 Southwell R V Govgh H J On the concentiation of stress m the neighboihood of a small spherical flaw //Philos Mag , VII 1926 1,]) 71—97

44 Филин А П Прикладная механика твердого деформируемого тела т 1 М Наука 1975 832 с

ч

45. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теоретическая физика. В 10-ти т. Т.VII. Теория упругости: Учеб.пособие.-4-е изд., испр. и доп.-М.:Наука. Гл.ред. физ.-мат. лит., 1987.248 с.

46. Новожилов В. В. Теория упругости. — JL: Судпромгиз, 1958.

47. Уфлянд Я. С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости: Изд. 2-е, доп. Изд-во "Наука".Ленингр. отд., JI.,1967. 402 с.

48. Moschovidis ZA, Мига Т. Two-ellipsoidal inhomogeneities by the equivalent inclusion method. J Appl Mech—Trans ASME 1975;42 p 847-852

49. Rodm GJ, Hwang YL. On the problem of linear elasticity for an infinite region containing a finite number of non-intersecting spherical inhomogeneities. //Int J Solids Struct 1991;27 p.145-159.

50. Tandon GP, Weng GJ. Stress distribution in and around spheroidal inclusions and voids at finite concentration. J Appl Mech—Trans ASME 1986:53:511-518.

51. Taya M, Chou TW. On two kinds of ellipsoidal inhomogeneities in an infinite elastic body: an application to a hybrid composite. Int J Solids Struct 1981;17. p.553-563.

52. Hamid R. Sadraie, Steven L. Crouch, Sofia G. Mogilevskaya. A boundary spectral method for elastostatic problems with multiple spherical cavities and inclusions//Engineering Analysis with Boundary Elements 31 (2007) p.425-442.

53. Назаров Д.И. Обзор современных программ конечно-элементного анализа // САПР и графика, №2, 2000 г. http://www.sapr.ru/article.aspx?id=6797iid=278

54. Ясницкого Л. Н. Удержаться "на плечах гигантов"(вместо предисловия)//Труды семинара "Компьютерные методы в механике сплошной среды"2006-2007 г./под ред. А.Л. Смирнова, Е.Ф. Жигалко.-СПб.:Изд-во С.-Петерб. ун.-та, 2008.-158 с.

55. Гасратова Н. А. Напряженно-деформируемое состояние упругого пространства со сферическим жестким включением. //Вестник С.-Петерб. ун-та. Сер. 10, 2009. С. 14-18,

ч

Гасратова Н. А., Шамина В. А. Решение в напряжениях линейной осесиммет-ричной задачи для сферы и упругого пространства со сферической полостью.// Вестник С.-Петерб. ун-та. Сер.1, 2008, вып.2. С.122-128.

57. Гасратова Н. А., Шамина В. А. Об одном подходе к решению осесимметричных задач линейной теории упругости. // Вестик С.-Петерб. ун-та. Сер. 1, 2007, вып. 2. С. 101-107.

58. Общая нелинейная теория упругих оболочек/Авт.:С.А. Кабриц, Е.И. Михайловский, П.Е. Товстик, К.Ф. Черных, В.А. Шамина/Под ред. К.Ф. Черныха, С.А. Кабрица.-СПб.:Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2002.-388с.

59. Goodier J. N. Concentration of stress aruond spherical and cylindrical inclusions and flaws.//Trans. ASME, 55, №7, 1933. p.39-44.