Решение основных краевых задач для некоторых сингулярных и вырождающихся эллиптических уравнений методом потенциалов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Асхатов, Радик Мухаметгалеевич

• Асхатов, Радик Мухаметгалеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Асхатов, Радик Мухаметгалеевич

Введение.

Глава 1. Решение основных краевых задач для некоторых сингулярных эллиптических уравнений методом потенциалов.

§1. Фундаментальные решения (п. 1.1-1.2).

§2. Интегральное представление Т^ и Т^-гармонических функций. Принцип максимального значения для Т^ и гармонических функций (п. 1.3-1.4).

§3. Краевые задачи и теоремы единственности (п. 1.5-1.6)

§4. Решение основных краевых задач методом потенциалов п. 1.7-1.8).

§5. Краевые задачи для одного вырождающегося эллиптического уравнения (п. 1.9-1.12).

Глава 2. Решение основных краевых задач для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений методом потенциалов.

§1. Фундаментальные решения (п. 2.1).

§2. Интегральное представление -гармонических функций. Принцип максимального значения для 2-гармонических функций (п. 2.2).

§3. Краевые задачи и теоремы единственности (п. 2.3).

§4. Решение основных краевых задач методом потенциалов (п. 2.4).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Решение основных краевых задач для некоторых сингулярных и вырождающихся эллиптических уравнений методом потенциалов»

Краевые задачи для вырождающихся и сингулярных эллиптических уравнений представляют собой один из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. (См. работы А. В. Бицадзе [17, 18], М. М. Смирнова [40, 41, 42], И. А. Киприянова [26, 27] и М. В. Келдыша [25]). Известно [35], что уравнения вида

Ави = 0, (0.1) д2 к д где Ав = Ах>+ВХр, Д^- оператор Лапласа, Вг = — сингулярный оператор Бесселя, связаны с вырождающимися эллиптическими уравнениями.

Вырождающиеся эллиптические уравнения встречаются при решении многих важных вопросов прикладного характера (теории малых изгибаний поверхностей вращения, безмоментной теории оболочек и т.д.). Особо значительную роль играют такие уравнения в газовой динамике.

Связь теории сингулярных эллиптических уравнений с теорией вырождающихся эллиптических уравнений позволила применить к ней методы, разработанные для последних. Работа И. Н. Векуа, где доказана корректность постановки задачи Дирихле для уравнения (0.1) в полуплоскости а?2 > 0 при р = 2 и к < 1, относится к числу первых и была основой для дальнейших исследований М. Н. Олев-ского, С. П. Пулькина, В. Ф. Волкодавова и др. В работах Ю. П. Кривенкова получены интегральные представления решения уравнения (0.1) при р = 2 через аналитические функции и применены к обоснованию постановки граничных условий на характеристической части границы области.

Впервые фундаментальные решения уравнения (0.1) при к = 1 и р — 2 были построены Е. Beltrami; А. Вайнштейном этот результат был распространен на любое значение к > 0, а И. А. Киприяновым и В. И. Кононенко - на общие линейные Б-эллиптические уравнения. В этих работах фундаментальные решения с особенностью в произвольной точке были построены с помощью оператора обобщенного сдвига. Такие фундаментальные решения могут быть применены к исследованию краевых задач с условием типа четности на характеристической части границы. В наших работах [1, 2, 3, 4] построены фундаментальные решения уравнения (0.1) с особенностью в произвольной точке, выраженные через гипергеометрические функции, и применены к исследованию краевых задач с обычными граничными условиями на характеристической части границы.

Число опубликованных работ по вырождающимся эллиптическим уравнениям весьма значительно. В этих исследованиях в основном рассматривались вырождающиеся эллиптические уравнения первого рода. (См., напр., работы А. В. Бицадзе, И. Н. Векуа, Л. С. Парасюк и т.д.). Что касается вырождающихся эллиптических уравнений второго рода, то к числу первых в этом направлении относится работа М. В. Келдыша (1951 г.), где впервые указаны случаи, когда характеристическая часть границы области может освобождаться от граничных условий и заменяется условием ограниченности решения. Позже А. В. Бицадзе в работе [18] указал, что условие ограниченности может быть заменено граничным условием с некоторой весовой функцией.

Одним из представителей вырождающихся эллиптических уравнений второго рода является уравнение вида д2и д2и ди л ,п которое впервые было рассмотрено И. Л. Каролем [24]. Им были построены фундаментальные решения этого уравнения при а < 1. Позже Р. С. Хайруллин в работе [45] с помощью этих фундаментальных решений исследовал основные краевые задачи для уравнения (0.2) при тех же значениях а.

В данной диссертационной работе рассматривается более общее вырождающееся эллиптическое уравнение второго рода

Строятся фундаментальные решения и исследуются основные краевые задачи для этого уравнения при некоторых значениях тф 1, к в двумерном и многомерном случаях.

Среди методов решения краевых задач для сингулярных и вырождающихся эллиптических уравнений серьезного внимания заслуживает метод потенциалов. Суть этого метода такова: решение задачи ищется в виде суммы заранее построенных потенциалов с неопределенными плотностями. Затем, требуя, чтобы она удовлетворяла краевым условиям, получают относительно этих плотностей систему интегральных уравнений. Метод потенциалов неоднократно применялся разными авторами к решению краевых задач для эллиптических уравнений как второго порядка, так и высших порядков и систем. Соответствующие работы, обзор которых имеется в литературе, хорошо известны. В наших работах [3, 4, 5, б, 8, 9,10,11,12,13] построены и применены потенциалы типа двойного и простого слоев к исследованию краевых задач для сингулярных и вырождающихся эллиптических уравнений (0.1) и (0.3).

Результаты настоящей работы могут найти приложение в теории краевых задач для вырождающихся и сингулярных эллиптических уравнений, а также уравнений смешанного типа, применяемых при решении многих важных вопросов прикладного характера.

Диссертация состоит из введения и двух глав.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Асхатов, Радик Мухаметгалеевич, 2000 год

1. Асхатов Р. М. Принцип экстремума и задача Дирихле для од-лного сингулярного эллиптического уравнения / Казанский гос. пед. университет. — Казань, 1999. 14 с. - Библиогр.: 5 назв. - Деп. в ВИНИТИ 04.11.99, No.3289 - В99.

2. Асхатов Р. М. Принцип экстремума и задача Дирихле для одного сингулярного эллиптического уравнения в многомерном случае / Казанский гос. пед. университет. — Казань, 1999. -14 с. Библ.: 4 назв. - Деп. в ВИНИТИ 29.11.99, No.3525 - В99.

3. Асхатов Р. М., Мухлисов Ф. Г. О потенциалах для одного сингулярного эллиптического уравнения в многомерном случае / Казанский гос. пед. университет. — Казань, 2000. 21 с. -Библ.: 4 назв. - Деп. в ВИНИТИ 02.02.00, No.234 - В00.

4. Асхатов Р. М. О Т-гармонических потенциалах // Тез. докл. 10-й Саратовской зимн. школы "Современные проблемы теории функций и их приложения". Изд-во Саратовского унив-та. - Саратов, 2000. - С. 10-11.

5. Асхатов Р. М. О потенциалах для одного вырождающегося эллиптического уравнения // Труды 10-й науч. межвуз. конф. "Математическое моделирование и краевые задачи." — Ч.З. -СамГТУ, И АР. Самара, 2000. - С. 20-21.

6. Асхатов Р. М. Краевые задачи для одного вырождающегося эллиптического уравнения / Казанский гос. пед. университет.- Казань, 2000. 26 е.- Библиогр.: 7 назв.- Деп. в ВИНИТИ 30.05.00, No.1559 - В00.

7. Асхатов Р. М. Решение краевых задач для одного вырождающегося эллиптического уравнения методом потенциалов (часть 1) / Казанский гос. пед. университет. — Казань, 2000.- 21 с. Библиогр.: 7 назв. - Деп. в ВИНИТИ 23.06.00, No.1774- В00.

8. Асхатов Р. М. Решение краевых задач для одного вырождающегося эллиптического уравнения методом потенциалов (часть 2) / Казанский гос. пед. университет. — Казань, 2000.- 21 с. Библиогр.: 7 назв. - Деп. в ВИНИТИ 23.06.00, No.1775 -BOO.

9. Асхатов Р. М. О потенциалах для одного вырождающегося эллиптического уравнения второго рода в многомерном случае / Казанский гос. пед. университет. — Казань, 2000. 27 с. -Библиогр.: 5 назв. - Деп. в ВИНИТИ 23.06.00, No.1776 - В00.

10. Асхатов Р. М. О потенциалах для одного вырождающегося эллиптического уравнения второго рода / Казанский гос. пед. университет. — Казань, 2000. 26 с. - Библиогр.: 3 назв.-Деп. в ВИНИТИ 23.06.00, No.1777 - В00.

11. Асхатов Р. М. Краевые задачи для одного вырождающегося эллиптического уравнения второго рода // Изв. вузов. Математика. — Казань, 2000. 21 с. - Библиогр.: 3 назв. - Деп. в ВИНИТИ 02.11.00, No.2782 - В00.

12. Асхатов Р. М. О потенциалах для одного вырождающегося эллиптического уравнения второго рода // Труды математич. центра им. Н.И.Лобачевского (Материалы Междунар. науч. конф.(Казань, 1.10-3.10.2000)). Т.5.- Казань.: УНИПРЕСС, 2000. - С. 25-27.

13. Берс JL, Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. — М.: Мир, 1966. С. 158-161.

14. Бицадзе А. В. Уравнения математической физики. — М.: Hayяка, 1976.- С. 40-84.

15. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. — М.: Наука, 1981.- 448 с.

16. Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа. — М.: Изд-во АН СССР, 1959. 164 с.

17. Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций. — Ч.1.- М.: ИЛ, 1949.

18. Вишик М. И. О краевых задачах для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области // ДАН СССР. — 1953.- т.93 No.2. - С. 225-228.

19. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. 4-е изд. - М.: Наука, 1981. - 512 с.

20. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. 3-е изд. - М.: Наука, 1977. -640 с.

21. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — М.: Физматгиз, 1963. 1100 е., илл.

22. Кароль И. Л. К теории краевых задач для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа // Матем. сб. 1956. -т.38(80). -N0.3.- С. 261-282.

23. Келдыш М. В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области // ДАН СССР. — 1951. т.77.- N0.2.- С. 181-183.

24. Киприянов И. А. Об одном классе сингулярных эллиптических операторов // Дифференц. уравнения. — 1971. т.7.- No.ll.

25. Киприянов И. А., Кононенко В. И. О фундаментальных решениях некоторых сингулярных уравнений в частных производных // Дифференц. уравнения. 1969. - т.5 - N0.8.- С. 14701483.

26. Кошляков Н. С., Глинер Э. В., Смирнов М. М. Уравнения в частных производных математической физики. — М.: Высшая школа, 1970. 712 е., илл.

27. Крикунов Ю. М. Лекции по уравнениям математической физики и интегральным уравнениям. — Казань: Изд-во Казанского унив-та, 1970. 248 с.

28. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа: Учеб. для студентов университетов и вузов. — 2-е изд., перераб. и доп.М.: Высшая школа, 1989. т.З.- 352 е., илл.

29. Кузнецов Д. С. Специальные функции. — М.: Высшая школа, 1962.- 248 с.

30. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. — М.: ИЛ, 1961. 256 с.

31. Михлин С. Г. Вырождающиеся эллиптические уравнения // Вестник Ленинградск. унив-та. 1954.- т.З.- N0.8.- С. 19-48.

32. Михлин С. Г. Курс математической физики. — М.: Наука, 1968.- 576 е., илл.

33. Мухлисов Ф. Г. Потенциалы, порожденные оператором обобщенного сдвига, и краевые задачи для одного класса сингулярных эллиптических уравнений. Дисс.док. физ.-мат. наук.Казань, 1993. 324 с.

34. Олейник О. А. Об уравнениях эллиптического типа, вырождающихся на границе области // ДАН СССР. — 1952. т.87-N0.6.-0. 885-888.

35. Парасюк Л. С. Краевые задачи для двух эллиптических дифференциальных уравнений второго порядка, вырождающихся награнице области // Укр. матем. журн.— 1962. т.14. - N0.2.-С.215-217.

36. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. — М.: Физматгиз, 1961. 400 с.

37. Раджабов Н. Р. Интегральные представления и граничные задачи для некоторых дифференциальных уравнений с сингуляряной линией или сингулярными поверхностями. Ч.З.- Душанбе, 1982. - 171с.

38. Смирнов М. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. — М.: Наука, 1966. 292 с.

39. Смирнов М. М. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. — М.: Наука, 1964. 206 с.

40. Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа. — М.: Высшая школа, 1985. 304 с.

41. Терсенов С. А. К теории уравнений эллиптического типа, вырождающихся на границе области // Сибирск. матем. журн. — 1965. т.6. - N0.5.- С. 1120-1143.

42. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1972.- 736 е., илл.

43. Хайруллин Р. С. Теория потенциала для модельного уравнения второго рода // Известия вузов. Математика. 1992.- N0.3-С. 64-73.

44. Янушаускас А. И. Задача о наклонной производной теории потенциала.— Новосибирск: Наука, 1985. 262 с.