Решение плоских упругопластических задач методом потенциала тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.03, кандидат технических наук Куликов, Владимир Леонидович

• Куликов, Владимир Леонидович
• кандидат технических наук
• 1983

Оглавление диссертации кандидат технических наук Куликов, Владимир Леонидович

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

1.1. Исходные соотношения для трехмерного тела.

1.2. Плоская деформация.

1.3. Обобщенная плоская деформация. Два варианта

1.4. Плоское напряженное состояние

1.5. Внешняя задача.

Глава 2. СОЧЕТАНИЕ МЕТОДА. УПРУГИХ РЕШЕНИЙ ПЛОСКОЙ УПРУГО

ПЛАСТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ С МЕТОДОМ ПОТЕНЦИАЛА.

2.1. Интегральные представления перемещений и деформаций

2.2. Граничные значения деформаций и интегральное уравнение

2.3. Вывод форьдел для неинтегральных слагаемых.

2.4. Вывод формулы для торцевых моментов при обобщенном плоском состоянии.

Глава 3. РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ. ЧИСЛЕННЫЕ

АЛГОРИШЫ.

3.1. Алгоритм вычисления двумерных интегралов. Сведение к одномерным интегралам.

3.2. Вычисление одномерных интегралов.

3.3. Алгоритм сведения интегрального уравнения к системе алгебраических уравнений.

3.4. Решение системы уравнений.

3.5. Алгоритм вычисления деформаций.

3.6. Учет собственного вектора при решении системы

Глава 4. РАСЧЕТ ПЛОСКИХ КОНЦЕНТРАТОРОВ.

4.1. Решение тестовой задачи и анализ погрешности

4.2. Влияние двухосности нагружения на концентрацию деформаций в сварных швах

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Решение плоских упругопластических задач методом потенциала»

Настоящая работа посвящена разработке методов решения плоских упругопластических задач в различной постановке с силовыми граничными условиями.

Актуальность проблемы обусловлена широким распространением элементов строительных конструкций, в которых удовлетворяются условия плосконапряженного или плоскодеформированного состояния. Общая тенденция в практике строительства - наиболее полно использовать прочность материалов в конструкциях. Это приводит к допущению пластических деформаций в зонах концентрации напряжений. Весьма актуальна, в частности, задача определения коэффициента концентрации деформаций в зоне сварных швов при их различной геометрии, в случае расчета на малоцикловую усталость.

Среди универсальных методов решения задач упругости и пластичности в основном ввделяются метод конечных разностей и метод конечных элементов. Большей универсальностью при решении упруго-пластических задач для тел сложной формы обладает метод конечных элементов.

Первые сообщения о решении плоских упругопластических задач методом сеток появились в 60-х годах /^9,15^7 с примерами о наг-ружении прямоугольной пластинки и пластинки с круглым отверстием. В дальнейшем метод конечных разностей получил определенное развитие как вариационно-разностный метод в криволинейной системе координат /~33,52J,

Метод конечных элементов получил значительно болыше распространение. Среди первых работ можно отметить работы зарубежных авторов /"66,53,63^7. Расчет в них производился методом пошагового нагружения. В развитие /~537 в г.Горьком был создан комплекс программ по решению двумерных нелинейных задач /"45,16J, Среди последующих работ можно отметить /""327 по расчету пластин с использованием метода переменных жесткостей, J с применением метода секущих модулей. О создании универсальной программы решения плоской задачи термопластичности сообщается в В

347 решается задача для прямоугольной пластинки с использованием прямоугольного конечного элемента и метода переменных параметров упругости. В описан набор программ, решающих упруго-пластическую задачу методом начальных напряжений. Метод начальных деформаций на основе деформационной теории изложен в Z~477. В /~377 описана программа решения плоской задачи теории малых упругопластических деформаций с применением метода Ньютона-Раф-сона. Основные методы решения упругопластических задач на основе метода конечных элементов можно найти в монографиях Зенкевича /"20JT и Одена /"39J.

В целом по указанным работам можно сказать, что хотя в теории метода конечных элементов разработано большое количество элементов с высокой степенью точности, при практической реализации на ЭВМ в основном используется простейшие треугольный и прямоугольный элементы. Как известно /"*487, в этих элементах точность представления напряжений и деформаций порядка h - характерного размера элемента. 0 проблемах повышения точности весьма интересный вывод содержится в работе /~54Jf, в которой сравнивались два алгоритма. Один построен на треугольном конечном элементе с тремя узловыми точками и постоянной деформацией. Во втором алгоритме используется шестиузловой треугольник с линейной аппроксимацией деформаций. На примере задачи о растяжении полосы с выточкой показано, что в новом алгоритме за некоторое уточнение решения приходится платить большим перерасходом машинного времени, в связи с чем предпочтение отдается старому методу.

Перейдем к обзору работ, связанных с методом потенциала. Наиболее полно теоретические вопросы этого метода в теории упругости нашли отражение в монографии /~49/. Метод потенциала сводит упруга задачу к решению сингулярного интегрального уравнения, при этом размерность области определения неизвестных понижается на единицу по сравнению с размерностью задачи. Важным преимуществом метода потенциала является возможность повышения точности решения путем повышения точности аппроксимации исходных соотношений без увеличения размерности матрицы алгебраических уравнений. Развитие численных алгоритмов на основе метода потенциала отражено в обзорах "419Ю7 и монографиях /"42,П,437. Особо следует отметить работы /~23,67, в которых разработан алгоритм высокой точности и погрешность в определении напряжений в плоской задаче имеет порядок .

Применение сингулярных интегральных уравнений в плоских уп-ругопластических задачах в основном получило развитие за рубежом. Вообще, метод потенциала в зарубежных работах (называемый методом граничных элементов) основывается на интегральном тождестве Сомилиана, которое связывает поверхностные усилия и перемещения тела. Первые результаты для трехмерной упругости были получены в 1969 г.Крузе в 1971 г. Сведлов и Крузе /"46J сформулировали теоретические положения о применении метода граничных элементов в решении задач пластичности. Все последующие работы основывались на положениях этой статьи. Все соотношения между функциями записывались в приращениях, применялся пошаговый метод нагружения. В статье не были представлены соотношения для начальных напряжений и деформаций, необходимые при пошаговом методе. Эти выражения были опубликованы Мендельсоном /"64J в 1973 г. для двух- и трехмерных тел, но с ошибкой в случае плоской деформации, которую исправил Мукержье /"б5/ только в 1977. Ни один из указанных авторов не дал правильное выражение для деформаций во внутренних точках, которое связано с дифференцированием объемного интеграла с особенным ядром. В 1978 г. Бгои /~60J опубликовал правильные выражения для таких интегралов в трехмерном случае. Наконец, в 1979 г. Теллес и Бреббиа ^"67J представили полное правильное изложение применения метода граничных элементов в двух- и трехмерных упругопластических задачах. В нескольких работах Банержье /""56-587 приводятся численные примеры решения плоских задач и сравнение с методом конечных элементов. В J отмечаются следующие преимущества метода граничных элементов: I) дискретизация границы и области независимы; 2) порядок матрицы системы уравнений зависит только от числа граничных элементов; 3) в процессе расчета матрица остается неизменной; 4) объемные интегралы распространяются только на зоны пластичности. На задачах о растяжении полосы с выточками и с отверстием авторы провели сравнение с методом конечных элементов и отдали предпочтение методу граничных элементов. В работе /~59J в рамках теории течения с трансляционным упрочнением приведен расчет с циклическим нагружением полосы с круглым отверстием. Сравнение с методом конечных элементов показало большее быстродействие программы. Авторы отмечают меньшую трудоемкость метода в задачах со сравнительно небольшой зоной пластичности.

В указанных работах область триангулировалась, граница заменялась ломаной линией. Начальные напряжения в пластических зонах считались кусочно-постоянными. Функции на границе принимались кусочно-постоянными или кусочно-линейными. Следует отметить, что анализ, проведенный в J для упругой задачи, показал, что замена гладкой границы ломаной не позволяет получить решение с точностью, превышающей по порядку h -характерного размера отрезка границы. Как отмечалось еще в докладе при использовании тождества Сомилиана нельзя вычислять прямое значение деформаций, исходя из их интегрального представления. В указанных выше работах иностранных авторов некоторые компоненты деформаций на границе определялись численным дифференцированием, что, конечно, ограничивает возможности метода.

Подводя итог, можно сказать, что метод интегральных уравнений успешно конкурирует с методом конечных элементов при решении упругопластических задач и в некоторых аспектах имеет перед ним преимущество. Вместе с тем реализация этого метода как метода граничных элементов обладает рядом недостатков, которые можно преодолеть, исходя не из тождества Сомилиана, а из потенциала простого слоя. Фундаментом для применения этого метода в задачах пластичности является отмеченный выше /~23,67 алгоритм решения плоской упругой задачи, превосходящий по точности все известные алгоритмы. Следует отметить, что такой подход был разработан в работах Z~2T\<L7 применительно к упругопластической осесимметрич-ной задаче и был реализован в работе /~287. Однако в этом алгоритме двумерные интегралы учитывающие нелинейные члены, вычислялись по простейшим кубатурам, не учитывающим особенности в поведении ядер, и алгоритм в целом не был достаточно эффективным.

Потенциал простого слоя применяется во второй основной задаче, когда на границе тела задаются усилия. Если задача не обладает двумя осями симметрии, запрещающими жесткое смещение тела, в решении интегрального уравнения будет присутствовать собственный вектор. Это приводит к почти вырожденной матрице системы уравнений. При однократном решении системы прямым методом Гаусса никакой потери точности не происходит однако в итерационных процессах при решении упругопластических задач плохая обусловленность матрицы может повлиять на сходимость. Поэтоиу необходима разработка специальных мер, не допускающих потери точности в решении.

Выполняя работу автор преследовал следующие цели:

- разработать алгоритм решения плоских упругопластических задач на основе метода потенциала простого слоя с сохранением такой отличительной особенности этого метода, как простота и малая трудоемкость в подготовке исходных данных при ориентации алгоритма на расчет геометрических концентраторов;

- расширить класс решаемых двухмерных задач, включив в рассмотрение обобщенное плоскодеформированное состояние;

- исследовать с помощью разработанной программы коэффициенты концентрации деформаций в реальных сварных соединениях металлоконструкций.

Новизна работы заключается в решении указанных задач. На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Алгоритм учета влияния объемных сил при решении плоской упругой задачи методом потенциала, позволяющий использовать в пластических задачах метод упругих решений.

2. Алгоритм сведения пластической задачи в условиях обобщенной плоской деформации к решению задачи в условиях плоской деформации.

3. Алгоритм нейтрализации влияния собственного решения интегрального уравнения второй основной задачи теории упругости.

4. Расчет по созданной программе напряженно-деформированного состояния в зоне сварного шва и исследование влияния на концентрацию деформаций двухосности прикладываемой нагрузки.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения.

Заключение диссертации по теме «Строительная механика», Куликов, Владимир Леонидович

Основные результаты работы состоят в следующем:

1. В рамках метода упругих решений разработан алгоритм по определению деформаций при обобщенном плоскодеформированном состоянии, отличающемся от плоской деформации тем, что продольная деформация не равна нулю и ее распределение следует гипотезе плоских сечений,

2. Разработан алгоритм получения частного решения упругой задачи при наличии объемных сил. Искомое решение представимо в виде двумерного интеграла с плотностью потенциала равной объемной силе. Для получения деформаций частного решения и их производных предложены новые кубатурные формулы, учитывающие все особенности в поведении ядровых функций.

Алгоритм автоматизированной разбивки приконтурных зон (зон пластичности) на четырехугольные элементы достаточно универсален и требует минимум затрат в подготовке исходных данных, что сохраняет преимущества, присущие методу потенциала при решении упругих задач.

3. Для областей с одной осью симметрии на основе матричного представления схемы решения построен алгоритм, устраняющий неустойчивость решения системы уравнений, характерную для второй основной задачи теории упругости.

4. Указанные алгоритмы вместе с известным алгоритмом решения плоской задачи теории упругости методом потенциала реализованы в виде программы на ЭВМ, позволяющей в рамках теории малых упругопластических деформаций решать широкий класс задач с заданными усилиями на границе. Реализованы алгоритмы решения для трех типов состояний: плоской деформации, обобщенной плоской деформации и плоского напряжения.

5. С помощью разработанной программы исследована работа стыкового сварного шва при двухосном растяжении. Получена зависимость коэффициента концентрации деформации от величины номинального напряжения Ох 5 действующего поперек шва. В диапазоне -б* < 6*2 < 1,5 б* исследовано влияние продольного номинального напряжения на коэффициент концентрации деформации. Построены соответствующие графические зависимости.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Куликов, Владимир Леонидович, 1983 год

1. Абдылбаев Э.К. Решение упругопластических задач методом конечных элементов. - Числ.методы механики сплош.среды, Новосибирск, 1978, т.9, № б, с.5-11.

2. Аляутдинов М.И. Решение осесимметричной задачи теории малых упруго-пластических деформаций. Проектирование метал, конструкций: Реф.сб, сер.УП, М.: ЦИНИС Госстроя СССР, 1974, вып. 4(51), с.З-б.

3. Амензаде Ю.А. Теория упругости. Учебник для университетов. Изд.3-е, доп.- М.: Высшая школа, 1976;- 272 с.

4. Бахвалов Н.С. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения). М.: Наука, 1973. - 632 с.

5. Биргер И.А. Некоторые общие методы решения задач теории пластичности. ПММ, 1951, т.ХУ, вып.6, с.765-770.

6. Бормот Ю.Л. Разработка и исследование прямого решения пространственной задачи теории упругости по методу потенциала: Автореф. Дис. . канд.физ.-мат.наук. М.: МГУ, 1978. - 14 с.

7. Быков Д.Л., Шачнев В.А. Об одном обобщении метода упругих решений. ПММ, 1969, т.33, вып.2, с.290-298.

8. Быков Д.Л. 0 некоторых методах решения задач теории пластичности. В кн.: Упругость и неупругость/ МГУ, 1975, вып.4,с.I19-139.

9. Васильев В.В. К решению плоской задачи при малых упругопластических деформациях. Прикл.механика, 1969, т.У, вып.6,с.81-85.

10. Верюжский Ю.В. Метод интегральных уравнений в механике деформируемых твердых тел. Киев, 1977.

11. Верюжский Ю.В. Численные методы потенциала в некоторых задачах прикладной механики.- Киев: Вшца школа, 1978. 184 с,

12. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. Изд. 3-е. -М.: Наука, 1976 - 528 с.

13. Ворович И.И., Красовский Ю.П. О методе упругих решений. Докл.АН СССР, 1959, т.126, № 4, с.740-743.

14. Гонтаровский П.П., Киркач Б.Н., Марченко Г.А. Решение плоской задачи термопластичности методом конечных элементов. -АН УССР, 1977. II с. (Препринт/Ин-т пробл.машиностроения:№ 55).

15. Горбатый А.В. О решении плоской задачи теории упругости и пластичности в случае многосвязной области методом сеток. Тр. Новосиб.ин-та инж.ж.-д. трансп., 1967, вып.62, с.182-195.

16. Горячев А.П., Санков Е.И. Численная реализация метода конечного элемента для плоских физически нелинейных задач. Уч. записки Горьков.ун-та, 1971, вып.134, с.20-28.

17. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. Изд.3-е, испр. - М.: Наука, 1966. - 664 с.

18. Зенкевич 0. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. - 541 с.

19. Ильюшин А.А. Пластичность. M.-JI.: Гостехиздат, 1948. -376 с.

20. Копейкин Ю.Д. Прямое решение двух и трехмерных краевыхзадач теории упругости и пластичности при помощи сингулярных интегральных уравнений метода потенциала. Числ.методы механики сплошной среды, Новосибирск, 1974, т.5, № 2.

21. Копейкин Ю.Д., Аляутдинов М.И., Бормот Ю.Л. Решение двумерных задач расчета элементов конструкций. В кн.: Материалыпо метал.конструкциям. Вып.18: Сб. статей/ЦВИИпроектстальконст-рукция, М.,1975, с.96-108.

22. Кордиано X. Влияние остаточных напряжений на малоцикловую усталостную прочность сварных соединений большого размера из высокопрочной стали. В кн.конструирование и технология машиностроения: Тр.американ.о-ва инж.-мех., 1970, т.92, № I.

23. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1968. - 720 с.

24. Красовский Ю.П. Разрешимость плоской задачи теории малых упруго-пластических деформаций. Докл.АН СССР, 1959, т.126, }р 5, с.961-963.

25. Куликов В.Л. Расчет патрубка, соединенного с толстой плитой. Проектирование метал, конструкций: Реф.информ.,сер. ХУП/ЦИНИС Госстроя СССР, М., 1977, вып.3(69), с.6-9.

26. Куликов В.Л. Расчет напряженного состояния элементов конструкций с концентраторами за пределом упругости. Проектирование метал.конструкций: Реф.информ.,сер.ХУП/ЦИНИС Госстроя СССР, М., 1978,вып.4(82), с.21-25.

27. Куликов В.Л. Решение упругопластических плоских задач методом потенциала. М., 1983. - 13 с. - Рукопись представленаин-том ВДИИпроектстальконструкция им.Мельникова. Деп.в ВНМИИС 2 июня 1983 г., № 4210.

28. Ларионов В.В. Экспериментальная проверка деформационных критериев малоциклового разрушения сварных соединений. Про-бл. прочности, 1977, № 4, с.35-39.

29. Лосинская К.С. Расчет пластин в упругопластической стадии методом конечного элемента. В кн.: Теорет. и эксперим. исслед. по строит, конструкциям, М., 1976, с.30-35.

30. Любимов А.К. Решение плоской задачи пластичности и упругости для односвязных областей с использованием криволинейных координат. Уч.зап.Горьков.ун-т. Сер.мех, 1971, вып.138, с.13-16.

31. Любовско.й Е.П. Некоторые вопросы расчета прямоугольных пластинок за пределом упругости. Тр.Моск.ин-та инж.ж.-д.трансп., 1977, вып.532, с.65-74.

32. Мяченков В.И., Петров В.Б. Численное решение плоской задачи теории пластичности. Изв.вузов. Машиностроение, 1980, №11, с. 8-12.

33. Нормы расчета на прочность элементов реакторов, парогенераторов, сосудов и трубопроводов атомных электростанций,опытныхи исследовательских ядерных реакторов и установок. -М.: Металлургия, 1973. 408 с.

34. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Мир, 1976. - 464 с.

35. Папкович П.Ф. Теория упругости. JI.-M.: Оборонгиз, 1939.- 640 с.

36. Партон В.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения основных пространственных и плоских задач упругого равновесия: Механика твердых деформируемых тел (Итоги науки и техники). М.:ВИНИТИ, 1975, т.8. - 84 с.

37. Партон В.3.,Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости. -М.: Наука, 1977. 312 с.

38. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. -М;: Наука, 1981. 688 с.

39. Перлин П.И. Применение регулярного представления сингулярных интегралов к решению второй основной задачи теории упругости. ПММ, 1976, т.40, вып.2, с.366-371.

40. Санков Е.И., Горячев А.П. Решение двумерных нелинейных задач методом конечного элемента. Уч.зап.Горьков. ун-т.Сер.Механика, 1970, вып.108, с.49-57.

41. Сведлов Дж., Крузе Т. Вывод граничных интегральных уравнений для трехмерного упруго-пластического течения. Механика, 1972, 4(134).

42. Скрипченко В.И. Применение метода дополнительных деформаций к решению упругопластических задач. -Пробл.прочности,1979, № 10, с.12-16.

43. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М#: Мир, 1977. - 352 с.

44. Трехмерные задачи математической теории упругости/Под ред.В.Д.Купрадзе. Изд.2-е перераб. и доп. - М.: Наука, 1976.664 с.

45. Труфяков В.И. Усталость сварных соединений. Киев: Наукова думка, 1973. - 216 с.

46. Фадцеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. -М.: Физматгиз, I960. 656 с.

47. Христенко В.Н. Алгоритм численного решения плоской задачи термопластичности в перемещениях для областей сложной формы. Тр.Николаев. кораблестроит.ин-та, 1982, № 184,с.31-36.

48. Экюз, Мервин. Решение нелинейных задач упруго-пластичности методом дискретных элементов. Ракетная техника и космонавтика, 1968, т.6, № 10, с.3-10.5V. Jlnxnd SaShash С., Shaw Royez Н.Н. list of LST element in elastic plastic solution. - Compvct. Meth.

49. Appt. Meek and Eng., <978, v.115tj/*1t p. 11-12.

50. Banezjee P.K., Cathie д.М Boanduvj element methods foz plasticity &nd сгеер incfading a viscopl&stcc CLpptoath. Res МесМаШса>19$1^Л,М&1 ^p. 5-22.

51. Bocne^jee P.K., Mastoe The Soandazy element method foz two-dimensional pxollems of etas to-plasticity . In: Recent Advances in Boandocxy

52. Elem. Methods, London Plynoat JSJb, p. 283-300.

53. В anezjee P.K., Cathie дЖ} DavitsT.G. Two-clv\d thiee dimensional pioSlems of elasto-plasticity. -Ih: developments in Вoucndazy bbivn. Meth-1,1.ndon, 1979, p. 65-95.

54. Banexjee RK., Cathie D.M A direct fozmu1.ctcon ojnd namzzCcal implementation of the Soandazy element method fot two- dimensional pzoilems of elasto-plcisticity, Int. J. of Mechanical Science, MO, v.lljlht p. Z33-2V5.

55. Bzanet M. Mumzzical analysis of cyclic plastccity asin<j the Soundazy intzyza,I equationmethod. -In: Вотуму Elem. Meth. Ргос. 3id Int. SemM., Ixvine, Ca£tf., Juty, W1, Berlin, e.a., 1П1, p. 337 -3W.

56. Bui H.D. Some zevncLiks a£oat the. fozmu.Pa.tion of three dcvn ens Con at the,%moetasto-plastcc pioSCems Cnttcjiai expicaUoms.- fni. 1. ofSobds and Siiuct,197S,v.1(t,J^119 p.93£-939.

57. Сгиse T.A NavnerUal Solatcons Cn Three-dimensionaI Etastostatics. Int. 1. of Solids and

58. Stxad., 1969, v.ff, pil53-illk.

59. Eimermachez J.P. t l.-Chih, В го win M.L. Application of the deformation theory of plasticity, foz determining elastoftastic stress aW strain conceuitx^tion factozs. Tzctns. ASME , iciUiv.b(ii)1. МЧ, p. 1151-1156.

60. SoMs Stxvitt^mi /3, p. 33M3S.

61. Pope fi-.G. Л discrete element methods of the analysis of plane etas to plastic sizesspго 6 lewis.- Aeronaut. Qaazt., , * f?, f, рЛЪ-№.

62. U Telles 7.C.F., Bietfca С.А the. appticationof the £ou.ndazy element method to plasticity, rApplied Mathematical Modelli^m3iv.\Mz6,pW-m.