Режимы кластерной синхронизации и дискретных бегущих волн в полносвязной сети осцилляторов Мэки–Гласса тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Алексеев Владислав Владимирович

• Алексеев Владислав Владимирович
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Алексеев Владислав Владимирович

Введение

Глава 1. Анализ асимптотических свойств периодического

решения уравнения Мэки—Гласса

1.1 Постановка задачи

1.2 Релейное уравнение Мэки-Гласса

1.2.1 Переход к релейному уравнению

1.2.2 Множество начальных функций

1.2.3 Решение релейного уравнения

1.2.4 Ограничения на параметры уравнения

1.3 Асимптотика уравнения Мэки-Гласса

1.3.1 Общая схема построения асимптотики

1.3.2 Вспомогательные асимптотические соотношения

1.3.3 Асимптотическое поведение в окрестностях точек излома

1.3.4 Построение асимптотики

1.3.5 Доказательство существования периодического решения

1.3.6 Выводы к главе

Глава 2. Дискретные бегущие волны в полносвязной системе

осцилляторов Мэки—Гласса

2.1 Постановка задачи

2.2 Анализ вспомогательного уравнения

2.2.1 Вспомогательные результаты

2.2.2 Метод шагов

2.2.3 Описание области допустимых значений параметров

2.2.4 Доказательство периодичности решения вспомогательного уравнения

2.3 Дискретные бегущие волны

2.4 Результаты численного анализа системы

2.5 Выводы к главе

Стр.

Глава 3. Режимы двухкластерной синхронизации в

полносвязной сети осцилляторов Мэки—Гласса

3.1 Постановка задачи

3.2 Обратимость замены

3.3 Переход к релейной системе

3.3.1 Метод шагов

3.3.2 Ограничения на параметры системы

3.3.3 Доказательство теоремы

3.4 Существование периодического решения

3.5 Результаты численного моделирования

3.6 Выводы к главе

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Режимы кластерной синхронизации и дискретных бегущих волн в полносвязной сети осцилляторов Мэки–Гласса»

Введение

Объект исследования. Объектом исследования диссертационной работы являются дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, или дифференциально-разностные уравнения, — дифференциальные уравнения, в которые неизвестная функция и её производные входят при разных значениях аргумента.

Простейшее уравнение с запаздыванием имеет вид

х(1) = /(1,х(1),х(1 — т)), (1)

где х(р) — скалярная функция или вектор-функция, т > 0 — запаздывание.

Основная начальная задача для уравнения (1) заключается в определении непрерывного решения при £ > 0 при условии, что х(р) = Ф^) при —т ^ £ ^ 0, где ф(Ъ) — заданная непрерывная функция, называемая начальной.

В случае уравнения с т запаздываниями

х(р) = — Т1),...,ж(£ — тто)), т > 0, г = 1 (2)

начальная функция задаётся на промежутке длины наибольшего запаздывания.

Специфика исследования дифференциальных уравнений с запаздыванием заключается в том, что для корректной постановки основной начальной задачи нужно знать значение функции не в одной точке (как для ОДУ), а на промежутке длины запаздывания. Таким образом, элементом фазового пространства является не точка в евклидовом пространстве, а функция, и для исследования свойств решений используются методы функционального анализа. Объемлющее введение в теорию дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом дано в книге [1].

При исследовании свойств конкретного уравнения с запаздыванием, его полное описание, т. е. аналитическое описание всех решений (для произвольных начальных функций и значений параметров модели) не представляется возможным, и исследование может пойти по пути поиска решений какого-то конкретного вида. Это может быть задача поиска периодических решений, или решений, близких к периодическим. С другой стороны, это может быть задача

поиска хаотических решений и условий, при которых они появляются. В диссертационной работе избран первый путь — производится описание периодических решений и условий (ограничений на начальные функции и параметры модели), при которых эти решения возникают.

В первой главе диссертации проводится исследование методом большого параметра для модели Мэки-Гласса [2; 3]:

где параметры а,Ь,у, 9 — положительные числа. Данная модель была предложена в работе [2] для описания функции кроветворения в организме человека, более развёрнуто её биологический смысл будет приведён далее во введении.

Вторая и третья главы посвящены поиску периодических решений для систем дифференциальных уравнений с запаздыванием, являющихся обобщением модели Мэки-Гласса.

Методология и методы исследования. В работе использованы следующие методы исследования уравнений с запаздыванием.

Метод шагов. Рассмотрим основную начальную задачу для уравнения (1), где т > 0, х(Ь) = фо(£) при —т ^ £ ^ 0.

Решение х(Ь) рассматриваемой задачи на промежутке 0 ^ £ ^ т определяется из начальной задачи Коши для дифференциального уравнения без запаздывания

х(1) = /(1,х(1), фо(£ — т)), ж(0) = Фо(0),

так как при 0 ^ £ ^ Т аргумент £ — т изменяется на множестве [—Т, 0] и, следовательно, х(Ь — т) = ф0(£ — т).

Метод шагов, или метод последовательного интегрирования, заключается в следующем. Предположим, что решение начальной задачи х = ф1(£) существует на всём отрезке [0, т]. Можно этот отрезок рассмотреть в качестве начального множества, а решение ф1 (£) как начальную функцию, и аналогичным образом продлить решение на отрезок [т, 2т]. Повторяя данное построение, «шагами» длины т можно продлить решение на произвольный промежуток [1].

Для уравнения (2) метод шагов работает аналогично, и решение восстанавливается шагами длины наименьшего запаздывания.

Для сложных моделей в случае, когда не удается отыскать решение непосредственным интегрированием, уместно использование специальных методов

поиска решения. Одна из идей упрощения исследования — это переход к предельному объекту.

Метод большого параметра. При наличии в модели большого параметра Л часто оказывается удобным рассмотреть предельный объект при Л ^ Этот объект может обладать свойствами исходной модели, но быть проще в исследовании. В таком случае исследование исходной модели сводится к исследованию предельной модели и последующего доказательства асимптотической близости её решения к решению исходной модели. Такой подход называется методом большого параметра, и был развит в работах С. А. Кащенко, Ю. С. Колесова и др. [4—7]. Изложим коротко его суть.

Рассмотрим дифференциальное уравнение с большим параметром у

х(1) = /у(1, х(г),х(г — т))

Для упрощения исследования необходимо подобрать такую замену, чтобы при стремлении параметра у ^ получилось предельное уравнение, у которого, с одной стороны, имеется достаточно сложная динамика (периодические решения различной структуры), а с другой стороны, при стремлении у ^ можно было доказать сходимость решения исходного уравнения к периодическому решению предельной задачи. В частности, это получается сделать, если нелинейность в правой части уравнения близка к сигмоидальной функции, например, имеет вид Зу(х) = у^-^, х > 0 [8—11]. Такая функция при у ^ стремится к кусочно-постоянной функции, меняющей значение в 1.

В этом случае (и вообще, когда правая часть уравнения (1) имеет разрыв первого рода) уравнение, получаемое при предельном переходе, называют релейным. Тогда исходное уравнение можно заменить релейным, которое, как правило, существенно проще для анализа. После построения решения релейного уравнения доказывается существование асимптотически близкого решения исходной задачи.

Методология подобного исследования описана в работах А. Ю. Колесова, Ю. С. Колесова, Е. Ф. Мищенко и Н. Х. Розова [6; 7].

Так, для исследуемого в первой главе уравнения (3) после перенормировки времени, замены параметров и неизвестной функции

у(г) = ви(-), в = ьт, а = ат, - ^ г, (4)

тт

а также последующей экспоненциальной замены и(Ь) = получаем урав

нение

= —в + а

1)— ж(£) 1 + еу ж(t—1)

(5)

Здесь мы полагаем у большим параметром. Соответствующее (при у ^ релейное уравнение имеет вид

¿(¿) = —в + ае-:(ехр(ж(* — 1))),

(6)

где функция ^ (см. рис. 1) задаётся формулой

^ (и) = Нш

и

и,

у 1 +

= < 1,

0 < и < 1, и = 1,

(7)

0, м> 1.

^ (и)' 1.

0 и

Рисунок 1 — Релейная функция ^(и), задаваемая формулой (7)

Другая идея состоит в том, чтобы найти решение в специальном виде. Остановимся на описании этой процедуры подробнее.

Поиск решений специального вида. В настоящей работе используются два подхода к построению специальных решений системы дифференциально-разностных уравнений, разработанные в работах С. Д. Глызина и др. [12—14]: это построение дискретных бегущих волн (вторая глава диссертации) и поиск режимов кластерной синхронизации (третья глава диссертации). Опишем метод построения решений того и другого сорта в общем виде.

Дискретные бегущие волны. Рассмотрим симметричную систему осцилляторов, связанных либо в кольцо, либо в полносвязную сеть. Дискретной бегущей

волной называют периодическое решение, все компоненты которого представлены одной и той же периодической функцией и(Ъ) со сдвигом по времени, кратным некоторому параметру А.

Для полносвязной сети релейных осцилляторов Мэки-Гласса, рассматриваемой во второй главе диссертации, соответствующая система имеет вид

N

^(г) = —ви3(г) + аР (щ(г — 1)+ ^ ик(^ ) , где¿ = 0,1,...,м, (8)

к=0,к=з

функция Р (как и в первой главе) задаётся формулой (7).

После подстановки (1) = и(Ь + ]А) в систему (8) получаем вспомогательное уравнение

— 1) + — jА)^ .

й(Ъ) = —ви(Ъ) + аР | и(Ъ — + — ¿А) | . (9)

з=1

Дискретной бегущей волне соответствует периодическое решение уравнения (9), период которого кратен параметру А. Отметим, что из существования одного решения в виде дискретной бегущей волны следует одновременное существование сразу N! таких режимов, получаемых перестановкой компонент исходного решения, где N — количество уравнений в системе.

Режимы кластерной синхронизации. В третьей главе диссертации рассматривается система из N = п + т уравнений

N

й3 (г) = —вщ (г) + аРт (щ (г — 1) + б ^ ик (г)] , где ] = (10)

к=\1к=3

где

УК ] 1+иУ

с коэффициентом б > 1 в обратной связи. Решение вида

т^) = ... = ит(ь) = и(ь), ит+1 (ъ) = ... = ит+п(ъ) = (11)

при котором часть осцилляторов описывается одной функцией, а остальные — другой, называется режимом двухкластерной синхронизации. После подстановки (11) в систему (10) получается система из двух уравнений

й(г) = —ви(г) + аРу(и(г — 1) + б(т — 1)и(г) + бш (г)), -ъ(г) = —ву (г) + — 1) + бти(г) + б(п — 1М0),

для которой ищется периодическое решение.

Режимы двухкластерной синхронизации строятся в работах [15; 16]. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. Рассмотрим дифференциальное уравнение

ЭД = /у

где у — вещественный параметр. При переходе к предельному при у ^ уравнению

х(Ъ) = Нш /т(Ь,х) = /(Ь,х), (13)

у

правая часть может стать разрывной функцией. При этом возникает необходимость обобщить понятие решения уравнения так, чтобы оно удовлетворяло следующим естественным требованиям.

1. Для дифференциальных уравнений с непрерывной правой частью определение решения должно быть равносильно обычному.

2. Для уравнения х(Ъ) = /(£) решениями (в обобщённом смысле) должны быть функции х(Ь) = / /(^ & + с (и только они).

Наиболее известные определения обобщённого решения уравнения (13) излагаются в книге [17, §4]. Приведём два из них.

Пусть дано уравнение (13), где функция / кусочно непрерывна в области С С К х х Е М — множество точек разрыва функции /, состоящее из конечного числа гиперповерхностей в

Простейшее выпуклое доопределение [17]. Для каждой точки (Ь,х) Е С укажем множество Т(р,х) С Если в точке (Ь,х) функция / непрерывна, то Т(Ъ,х) состоит в точности из этой точки. Если же / разрывна в точке (Ь,х), то множество Т(Ъ, х) определяется как выпуклая оболочка всех предельных значений функции /(Ъ,х*), где х* Е М, при х* ^ х. Абсолютно непрерывная функция х(Ь), определённая на промежутке I, называется решением уравнения (13) на этом промежутке, если всюду на I верно включение х Е Т(Ь,х). Метод эквивалентного управления [18]. Пусть дано уравнение

х(Ъ) = /х(1),и1(1, х),..., иг(£, х)), (14)

где х : К ^ функция / непрерывна, а функции щ(Ь,х) разрывны на множествах М{, г = 1,...,г. В каждой точке (Ь,х) разрыва функции щ укажем множество и^Ь, х) — множество возможных значений аргумента щ функции /.

В точках, где щ(1,х) непрерывна, множество и,ь(1,х) состоит из одного значения щ(1,х). В точках разрыва функции и^Ь, х) множество и,ь(1,х) определяется как некоторое замкнутое множество, содержащее все предельные точки функции щ(Ь,х*) при х* ^ х. Для каждой точки Ь,х определим множество

— множество значений функции /(Ъ,х,и1,... ,иг), когда £, х постоянны, а и1,...,иг независимо друг от друга пробегают соответственно множества и1(Ъ,х),... ,иг(Ь,х). Функция х(Ъ) называется решением уравнения (14), если почти при всех Ь верно включение х(Ь) Е Т(Ь, х). В случае, когда и^, х) определяется как выпуклая оболочка предельных точек, данный метод эквивалентен методу выпуклого доопределения [17].

В третьей главе диссертации используется доопределение методом эквивалентного управления.

Актуальность и степень разработанности темы. Биологические модели занимают важное место в теории динамических систем, охватывая широкий спектр явлений, происходящих в биологических процессах. Эти модели включают как те, которые описывают концентрацию различных веществ в биологических системах, таких как химические реакции в клетках или процессы обмена веществ в организмах, так и популяционные уравнения, моделирующие изменение численности и структуру популяций живых существ. Обычно модели популяционной динамики описываются дифференциальными или дифференциально-разностными уравнениями. Эти модели с течением времени претерпели значительные изменения и усложнения.

Одной из первых популяционных моделей была модель Томаса Мальтуса, который предположил, что рост популяции, не сдерживаемой ограничениями на ресурсы, будет экспоненциальным.

Пьер Ферхюльст в работе [19] предложил добавить в модель Мальтуса квадратичное слагаемое, ограничивающее скорость роста популяции для больших значений её размера. Таким образом, он получил модель, называемую логистическим уравнением

Т(Ь, х) = /(Ь, х, и1(Ъ, х),..., иг(Ъ, х))

где функция х(Ъ) показывает текущую плотность (или численность) популяции, параметр Л характеризует скорость роста популяции, а параметр К — ёмкость среды.

Позже рассматривались различные усовершенствования приведённой модели. Одна из идей усложнения правой части уравнения (15) — добавление запаздывания. Так в 1948 году Джордж Хатчинсон предложил модификацию логистического уравнения, обладающую запаздыванием по времени и простейшим образом учитывающую возрастную структуру популяции:

т) = лХ(1) (х - ,

1 р) ■ (16)

где х(Ъ) — плотность популяции, Л — скорость роста популяции, К — ёмкость среды, запаздывание т — возраст половозрелости [20].

Помимо уравнения Хатчинсона, рассматривались различные его обобщения с заменой квадратичной зависимости в правой части на более сложную. Например, в работе [21] предлагается модель, более тонко учитывающая возрастную структуру

-() = л ^ 1 - К (ц-( - т»)^ х(1)-

(17)

В работе [22] исследуется обобщение модели (16)

-(г) = л 11 - у (1г(т)-(г - т) I -(г), (18)

где г(т) — монотонная неотрицательная функция, — положительные

параметры.

В работе [7] методом большого параметра исследуется обобщённое уравнение Хатчинсона

х(г) = л/(х(г - 1))х(г), (19)

где функция обладает свойствами

то

¡(0) = 1, /(-) = -ао + ^ , х ^ ао > 0.

х к=\

После экспоненциальной замены x(t) = еЛу(^ уравнение (19) принимает вид

y(t) = f (еЛу^-1)). (20)

В качестве множества начальных функций рассматривается множество

Ф е С[-1 - ао, -ао], ф(£) < 0 Vt е [-1 - ао, -ао],

Ф(-Сто) = -ао, 0 < ао < ао- (21)

При достаточно большом Л правая часть уравнения (20) становится близкой к кусочно постоянной («релейной») функции R(y), меняющей значение при смене знака аргумента:

ВД = Н У> 0

(1, У< 0.

Предельное для (20) уравнение имеет вид

y(t) = R(y(t - 1)), (22)

решением которого при t > - ао для любой начальной функции ф является кусочно линейная периодическая функция (см. рис. 2)

It при - ао ^ t ^ 1,

1 - ao(t - 1) при 1 < t < ¿о + 1, хо (t + То) = хо(г). (23) -ао + t - to - 1 при to + 1 < t < То,

Затем для достаточно больших Л доказывается существование периодического решения уравнения (20), близкого к решению (23) [7].

Доказано, что при всех достаточно больших Л > 0 уравнение (20) имеет асимптотически орбитально устойчивый цикл1 x*(t, Л), х*(-ао, Л) = -ао периода Т*(Л), удовлетворяющий предельным равенствам

lim max lx*(t, Л) - хо^)1 = 0, lim Т*(Л) = То.

Л^+то t Л^о

1 Предельный цикл £ называется орбитально устойчивым, если для всякого е > о найдётся 5 > о такое, что всякая положительная полутраектория, начинающаяся в 5-окрестности цикла £, содержится в е-окрестности £. Предельный цикл £ называется асимптотически орбитально устойчивым, если он является орбитально устойчивым и, кроме того, найдётся 5о > о такое, что траектория всякого решения x(t), начинающегося в 5о-окрестности цикла £, стремится при t ^ к £, то есть

lim d(x(t), £) = о, где d(x, £) = inf \\х - у\\.

Уев

— расстояние от точки х до множества £ [23].

х

-«о-

Рисунок 2 — Решение уравнения (22). График (с небольшими модификациями) взят из статьи [7]

Рисунок 3 — График нелинейного слагаемого в уравнении (24) (как функции от переменной п = и{Ъ — т))

В диссертационной работе исследуется уравнение Мэки-Гласса:

у^) = —Ы{Ъ) +

авуу ^ — т)

ву + — т))у'

(24)

где параметры а, Ь, у, в — положительные вещественные числа. Эта модель была предложена в работе [2] для описания регуляторных функций в процессах кроветворения. На рисунке 3 показан вид нелинейного слагаемого уравнения.

Биологический смысл данной модели следующий: функция у(Ъ) — плотность циркулирующих в крови человека нейтрофилов (вид лейкоцитов) в

клетках на кг массы тела, Ь — скорость случайного распада нейтрофилов, положительное слагаемое означает текущий приток клеток в кровь, возникающий в ответ на запрос, создавшийся в некоторый момент т времени назад в прошлом.

В широком диапазоне изменений уровня циркулирующих нейтрофилов скорость образования нейтрофилов падает с увеличением их плотности. Однако благодаря действию различных факторов можно ожидать, что при очень низких уровнях нейтрофилов скорость их образования будет падать, приближаясь к нулю [2, с. 85]. Форма нелинейности выбирается из приведённых соображений.

Уравнение Мэки-Гласса исследовалось во множестве работ: например, см. [10; 11; 24—27], а также статью [28], в которой представлен обширный обзор различных известных (к 2012 г.) результатов, связанных с исследованием уравнения Мэки-Гласса и его обобщений, со ссылками на соответствующие работы.

В оригинальной работе [2] М. Мэки и Л. Гласса приведены численные решения, как в случае периодических, так и непериодических колебаний. В работах [10; 11] аналитически и численно исследуются периодические решения уравнения Мэки-Гласса. В частности, в [11] доказано (при некоторых ограничениях на параметры и множество начальных функций) существование и единственность орбитально устойчивого предельного цикла. В работе [27] изучаются периодические решения уравнения Мэки-Гласса, бифурцирующие из его единственного состояния равновесия при изменении параметров уравнения.

Уравнение Мэки-Гласса и его различные модификации использовались для моделирования функционирования электрогенераторов [29—32], а также для симуляции хаотического сигнала [33—36].

Помимо моделей, описываемых одним уравнением, представляют интерес модели, получаемые объединением элементов, функционирующих некоторым известным образом, в сеть [16]. Можно выделить две естественные структуры для связи элементов сети: кольцо, где элемент связан с соседними элементами, и полносвязную сеть (рис. 4), где каждый элемент сети связан со всеми остальными.

Примером такой системы являются искусственные генные сети. Интерес к искусственным генным осцилляторам вызван тем обстоятельством, что они являются упрощёнными моделями таких ключевых биологических процессов, как клеточный цикл и циркадные ритмы. Простейший генетический осциллятор, предложенный в [37] и названный репрессилятором, состоит как минимум из трёх элементов, соединённых в кольцо [9; 38]. Функционирование такой сети

Рисунок 4 — Полносвязная сеть осцилляторов. Каждый осциллятор является передающим и принимающим для всех остальных осцилляторов

в сети

описывается системой

а

й,(*) = -и,М + 1+ ^у^ ^ , 3 = 1, 2,3, (25)

где щ(Ь) = и3(£), а, у > 0. Исследование генных сетей проводится в работах [39—43].

Аналогичным образом можно соединить в сеть элементы, функционирование которых описывается уравнением (24). Такие системы были исследованы в работах [29; 44—46]. Так, в [45] численно и экспериментально изучалась система из четырёх генераторов Мэки-Гласса, два из которых были вещательными, а два — принимающими. В работе [46] исследовалась потеря устойчивости состояния равновесия в этой системе, а также условия, при которых в результате бифуркации рождается устойчивый предельный цикл.

В диссертационной работе исследуются периодические режимы, возникающие в полносвязной сети осцилляторов, функционирование которых описывается уравнениями Мэки-Гласса. Доказывается существование периодических режимов специального вида: дискретных бегущих волн и двухкластерной синхронизации.

Цели и задачи. Целью данной работы является исследование периодических режимов в полносвязной сети релейных осцилляторов Мэки-Гласса.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи.

1) Описать достаточные условия, при которых уравнение Мэки-Гласса (24) имеет периодическое решение.

2) Исследовать полносвязную систему релейных осцилляторов Мэки-Гласса, описать условия и ограничения на параметры системы, при которых она имеет решение:

а) в виде дискретной бегущей волны,

б) в виде, соответствующем режиму двухкластерной синхронизации.

Научная новизна. Все полученные в работе результаты являются новыми и состоят в следующем.

1) Получены асимптотические формулы решения уравнения Мэки-Глас-са (5) по параметру у ^ 1 и доказано существование периодических решений при ограничении на параметры а > ехр (в(1 + е-в)).

2) Доказано существование периодических режимов в виде дискретной бегущей волны в полносвязной сети релейных осцилляторов Мэки-Гласса, а также сформулированы и доказаны условия их существования в виде ограничения на параметры соответствующей системы дифференциальных уравнений с запаздыванием.

3) Доказано существование периодических режимов двухкластерной синхронизации в полносвязной сети релейных осцилляторов Мэки-Гласса, а также сформулированы и доказаны условия их существования в виде ограничения на параметры соответствующей системы дифференциальных уравнений с запаздыванием.

Теоретическая и практическая значимость. Научная работа носит теоретический характер, в ней были применены методы нелинейного анализа динамических систем в бесконечномерном фазовом пространстве. Теоретическая ценность работы определяется тем, что асимптотический метод большого параметра, а также подходы к построению дискретных бегущих волн и режимов кластерной синхронизации были адаптированы для применения к уравнению Мэки-Гласса и составленной на его основе полносвязной релейной системы из N дифференциальных уравнений с запаздыванием (соответственно).

Полученные в диссертации результаты могут стать основой для дальнейших исследований в области нелинейной динамики и нелинейного функционального анализа, быть использованы специалистами для решения широкого спектра научных и прикладных задач. В частности, техника, представленная в диссертации, может быть перенесена на класс уравнений, обобщающих уравнение Мэки-Гласса, где вместо рациональной нелинейности в правой части уравнения рассматривается класс функций, имеющих в качестве предельного объекта релейную функцию.

Также полученные результаты могут применяться при разработке и чтении курсов и спецкурсов по теории дифференциальных уравнений с запаздыванием и методам их исследования.

Работа выполнена в рамках программы развития Регионального научно-образовательного математического центра Ярославского государственного университета им. П. Г. Демидова при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (Соглашение о предоставлении субсидии из федерального бюджета № 075-02-2025-1636).

Основные положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие результаты диссертации.

1) Получены асимптотические формулы периодического решения уравнения Мэки-Гласса (5) по параметру у ^ 1 при ограничении на параметры а > ехр (в(1 + е—в)) (Теорема 4). На основе полученных формул доказана теорема о существовании периодического решения уравнения Мэки-Гласса (Теорема 3).

2) Доказано существование периодических режимов в виде дискретной бегущей волны в полносвязной сети релейных осцилляторов Мэки-Гласса, сформулированы и доказаны достаточные условия их существования в виде ограничения на параметры соответствующей системы дифференциальных уравнений с запаздыванием (Теорема 6).

3) Доказана теорема о существовании (в смысле обобщённого решения системы дифференциальных уравнений с разрывной правой частью) периодических режимов двухкластерной синхронизации в полносвязной релейных осцилляторов Мэки-Гласса, сформулированы и доказаны достаточные условия их существования в виде ограничения на параметры

соответствующей системы дифференциальных уравнений с запаздыванием (Теорема 9).

Основные публикации по теме исследования и степень достоверности результатов. Все выносимые на защиту результаты опубликованы в следующих статьях.

1) В. В. Алексеев, М. М. Преображенская. Анализ асимптотической сходимости периодического решения уравнения Мэки—Гласса к решению предельного релейного уравнения. Теоретическая и математическая физика. — 2024. — Т. 220, № 2. — С. 213-236 [53].

2) V. Alekseev, M. Preobrazhenskaia, V. Vorontsova. Existence of Discrete Traveling Waves in Fully Coupled Network of Mackey-Glass Relay Generators. Differential Equations. — 2024. — Vol. 60, No 9. — P. 1217-1231 [54].

3) V. Alekseev. Two-cluster synchronization on a fully coupled network of Mackey-Glass generators. Partial Differential Equations in Applied Mathematics. — 2024. — Vol. 12. — P. 100930 [55].

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгими математическими доказательствами и высоким уровнем журналов, в которых они опубликованы (все журналы рекомендованы ВАК и индексируются Web Of Science или Scopus).

Личный вклад. Из работ, написанных в соавторстве, в диссертацию включены только результаты, полученные автором лично. Научным руководителем М. М. Преображенской осуществлялось общее руководство исследованием, постановка задач и предложения по редактуре текста.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих конференциях и семинарах.

1) Семинар кафедры «Функциональный анализ и его приложения» Владимирского государственного университета им. А. Г. и Н. Г. Столетовых, 13 февраля 2025 года.

2) Семинар по качественной теории дифференциальных уравнений в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова, 29 ноября 2024 года. [47],

https://www.elibrary.ru/item.asp?id=75144298

3) Научный семинар лаборатории динамических систем и приложений НИУ ВШЭ в Нижнем Новгороде, 25 сентября 2024 г., https://nnov.hse.ru/bipm/dsa/semtmd.

4) Семинар по нелинейной динамике Ярославского государственного университета им. П. Г. Демидова, 19 сентября 2024 г., https://cis.uniyar.ac.ru/index.php/event/460.

5) Конференция «Integrable Systems and Nonlinear Dynamics» (ISND -2024), Ярославль, 2024.

6) Конференция «Topological Methods in Dynamics and Related Topics VII», Нижний Новгород, 2024.

7) Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам DIFF-2024, Суздаль, 2024.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Алексеев Владислав Владимирович, 2025 год

Список литературы

1. Эльсгольц, Л. Э., Норкин, С. Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. — Наука, 1971.

2. Mackey, M. C, Glass, L. Oscillation and Chaos in Physiological Control Systems // Science. — 1977. — Vol. 197. — P. 287—289.

3. Glass, L., Mackey, M. C. From clocks to chaos. The rhythms of life. — Princeton, NJ: Princeton University Press, 1988.

4. Кащенко, С. А. Исследование методами большого параметра системы нелинейных дифференциально-разностных уравнений, моделирующей задачу хищник-жертва // Докл. АН СССР. — 1982. — Т. 266, вып. 4. — С. 792—795.

5. Кащенко, С. А. Стационарные режимы уравнения, описывающего колебания численности насекомых // Докл. АН СССР. — 1983. — Т. 273, вып. 2. — С. 328—330.

6. Колесов, А. Ю., Колесов, Ю. С. Релаксационные колебания в математических моделях экологии // Труды Математического института имени В. А. Стеклова. — 1993. — Т. 199. — С. 3—124.

7. Колесов, А. Ю., Мищенко, Е. Ф., Розов, Н. Х. Об одной модификации уравнения Хатчинсона // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2010. — Т. 50, № 12. — С. 2099—2112.

8. Преображенская, М. М. Релейная модель Мэки-Гласса с двумя запаздываниями // Теоретическая и математическая физика. — 2020. — Т. 203, № 1. — С. 106—118.

9. Глызин, С. Д., Колесов, А. Ю., Розов, Н. Х. Существование и устойчивость релаксационного цикла в математической модели репрессилятора // Математические заметки. — 2017. — Т. 101, № 1. — С. 58—76.

10. Krisztin, T. Periodic solutions with long period for the Mackey-Glass equation // Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations. — 2020. — No. 83. — P. 1—12.

11. Bartha, F., Krisztin, T., Vigh, A. Stable periodic orbits for the Mackey-Glass équation // Journal of Differential Equations. — 2021. — Vol. 296. — P. 15—49.

12. Глызин, С. Д., Колесов, А. Ю., Розов, Н. Х. Релаксационные автоколебания в сетях Хопфилда с запаздыванием // Известия РАН. Серия математическая. — 2013. — Т. 77, № 2. — С. 53—96.

13. Глызин, С. Д., Колесов, А. Ю., Розов, Н. Х. Периодические решения типа бегущих волн в кольцевых цепочках однонаправленно связанных уравнений // Теоретическая и математическая физика. — 2013. — Т. 175, № 1. — С. 62—83.

14. Глызин, С. Д., Колесов, А. Ю., Розов, Н. Х. Явление буферности в континуальных цепочках однонаправленно связанных генераторов // Теоретическая и математическая физика. — 2014. — Т. 181, № 2. — С. 254—275.

15. Глызин, С. Д., Колесов, А. Ю., Розов, Н. Х. Периодические режимы двухкластерной синхронизации в полносвязных генных сетях // Дифференциальные уравнения. — 2016. — Т. 52, № 02. — С. 157—176.

16. Глызин, С. Д., Колесов, А. Ю. Периодические режимы двухкластерной синхронизации в полносвязных сетях нелинейных осцилляторов // Теоретическая и математическая физика. — 2022. — Июль. — Т. 212, № 2. — С. 213—233.

17. Филиппов, А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. — Наука, 1985.

18. Уткин, В. И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. — Наука, 1981.

19. Verhulst, P. F. Notice sur la loi que la populations suit dans son accroissement // Correspondance mathématique et physique. — 1838. — Vol. 3, issue 10, no. 4. — P. 113—121.

20. Hutchinson, G. E. Circular causal systems in ecology // Annals of the New York Academy of Sciences. — 1948. — Vol. 50, no. 4. — P. 221—246.

21. Глызин, С. Д. Учет возрастных групп в уравнении Хатчинсона // Моделирование и анализ информационных систем. — 2007. — Т. 14, вып. 3. — С. 29—42.

22. Кащенко, С. А. Асимптотика решений обобщённого уравнения Хатчинсона // Моделирование и анализ информационных систем. — 2012. — Т. 19, вып. 3. — С. 20—61.

23. Математическая энциклопедия / под ред. И. М. Виноградова. — 1984.

24. Junges, L., Gallas, J. Intricate routes to chaos in the Mackey-Glass delayed feedback system // Physics Letters. A. — 2012. — Vol. 376, no. 30/31. — P. 2109—2116.

25. Su, H., Ding, X., Li, W. Numerical bifurcation control of Mackey-Glass system // Applied Mathematical Modelling. — 2011. — Vol. 35, no. 7. — P. 3460—3472.

26. Wu, X.-M, Li, J.-W., Zhou, H.-Q. A necessary and sufficient condition for the existence of positive periodic solutions of a model of hematopoiesis // Computers and Mathematics with Applications. — 2007. — Vol. 54. — P. 840—849.

27. Кубышкин, Е. П., Морякова, А. Р. Бифуркации периодических решений уравнения Мэкки-Гласса // Моделирование и анализ информационных систем. — 2016. — Т. 23, № 6. — С. 784—803.

28. Berezansky, L., Braverman, E., Idels, L. The Mackey-Glass model of respiratory dynamics: Review and new results // Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications. — 2012. — Vol. 75, no. 16. — P. 6034—6052.

29. Tateno, M., Uchida, A. Nonlinear dynamics and chaos synchronization in Mack-ey-Glass electronic circuits with multiple time-delayed feedback // Nonlinear Theory Appl., IEICE. — 2012. — Vol. 3. — P. 155—164.

30. Namajunas, A., Pyragas, K., Tamasevicius, A. An electronic analog of the Mackey-Glass system // Physics Letters A. — 1995. — Vol. 201. — P. 42—46.

31. Глызин, С. Д., Колесов, А. Ю., Розов, Н. Х. Об одном подходе к моделированию искусственных генных сетей // Теоретическая и математическая физика. — 2018. — Т. 194, № 3. — С. 547—568.

32. Глызин, С. Д., Колесов, А. Ю., Розов, Н. Х. Квазиустойчивые структуры в кольцевых генных сетях // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2018. — Т. 58, № 5. — С. 682—704.

33. Grassberger, P., Procaccia, I. Measuring the strangeness of strange attrac-tors // Physica D. — 1983. — Vol. 9. — P. 189—208.

34. Amil, P. [et al.]. Organization and identification of solutions in the time-delayed Mackey-Glass model // Chaos. — 2015. — Vol. 25, no. 4. — P. 043112.

35. Amil, P., Cabeza, C, Marti, A. C. Exact Discrete-Time Implementation of the Mackey-Glass Delayed Model // IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Express Briefs. — 2015. — Июль. — Т. 62, № 7. — С. 681—685.

36. Shahverdiev, E. M. [et al.]. Chaos synchronization between the Mackey-Glass systems with multiple time delays // Chaos, Solitons and Fractals. — 2006. — Vol. 29, no. 4. — P. 854—861.

37. Elowitz, M. B., Leibler, S. A synthetic oscillatory network of transcriptional regulators // Nature. — 2000. — Vol. 403, no. 6767. — P. 335—338.

38. Глызин, С. Д., Колесов, А. Ю. Автоколебания в генных сетях. Учебное пособие. — Яросл. гос. ун-т им. П. Г. Демидова, 2018.

39. Лихошвай, В. А., Матушкин, Ю. Г., Фадеев, С. И. Задачи теории функционирования генных сетей // Сибирский журнал индустриальной математики. — 2003. — Т. 6, № 2. — С. 64—80.

40. Волокитин, Е. П. О предельных циклах в простейшей модели гипотетической генной сети // Сибирский журнал индустриальной математики. — 2004. — Т. 7, № 3. — С. 57—65.

41. Голубятников, В. П. [и др.]. Исследование фазовых портретов трехмерных моделей генных сетей // Сибирский журнал индустриальной математики. — 2006. — Т. 9, № 1. — С. 75—84.

42. Buse, O., Kuznetsov, A., Pérez, R. Existence of limit cycles in the repressilator equations // International Journal of Bifurcation and Chaos. — 2009. — Dec. — Vol. 19, no. 12. — P. 4097—4106.

43. Buse, O, Pérez, R., Kuznetsov, A. Dynamical properties of the repressilator model // Physical Review E. — 2010. — Vol. 81, no. 6. — P. 066206.

44. Preobrazhenskaia, M. M. Antiphase mode in a Pair of Mackey-Glass Type Generators with Two Delays // IFAC PapersOnLine. — 2021. — Vol. 54, no. 17. — P. 145—148.

45. Sano, S. [et al.]. Dual synchronization of chaos in Mackey-Glass electronic circuits with time-delayed feedback // Phys. Rev. E. — 2007. — Vol. 75. — P. 016207.

46. Wan, A., Wei, J. Bifurcation analysis of Mackey-Glass electronic circuits model with delayed feedback // Nonlinear Dynamics. — 2009. — Vol. 57, no. 1/2. — P. 85—96.

47. О семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений в московском государственном университете имени М.В. Ломоносова // Дифференциальные уравнения. — 2024. — Т. 60, № 11. — С. 1566—1584.

48. Rost, G., Wu, J.-H. Domain-decomposition method for the global dynamics of delay differential equations with unimodal feedback // Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. — 2007. — Vol. 463, no. 2086. — P. 2655—2669.

49. Глызин, С. Д., Колесов, А. Ю., Розов, Н. Х. Об одном способе математического моделирования химических синапсов // Дифференциальные уравнения. — 2013. — Т. 49, № 10. — С. 1227—1244.

50. Колесов, А. Ю., Мищенко, Е. Ф., Розов, Н. Х. Реле с запаздыванием и его С ^аппроксимация // Труды МИАН. — 1997. — Т. 216. — С. 126—153.

51. Краснов, М. Л. Интегральные уравнения. Введение в теорию. — М.: Наука, 1975.

52. Diekmann, O. [et al.]. Delay Equations. — Springer New York, 1995.

Публикации автора по теме диссертации

53. Алексеев, В. В., Преображенская, М. М. Анализ асимптотической сходимости периодического решения уравнения Мэки-Гласса к решению предельного релейного уравнения // Теоретическая и Математическая Физика. — 2024. — Т. 220, № 2. — С. 213—236.

54. Alekseev, V. V., Preobrazhenskaia, M. M., Vorontsova, V. K. Existence of Discrete Traveling Waves in Fully Coupled Network of Mackey-Glass Relay Generators // Differential Equations. — 2024. — Т. 60, № 9. — С. 1217—1231.

55. Alekseev, V. V. Two-cluster synchronization in a fully coupled network of Mackey-Glass generators // Partial Differential Equations in Applied Mathematics. — 2024. — Т. 12. — С. 100930.